角平分线模型的构造
初中数学常见模型之角平分线四大模型
角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
N M OAB P 2图4321A CP B D AB C图1A B DC模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
热搜精练1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。
求线段BC 的长。
A B DCPP O N M B A 图2DP AB C D C 1图P B A ABCD2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。
角平分线四大模型总结+习题+解析（最全版）
⾓平分线四⼤模型总结+习题+解析（最全版）⾓平分线四⼤辅助线模型⾓平分线的性质为证明线段或⾓相等开辟了新的途径，同时也是全等三⾓形知识的延续，⼜为后⾯⾓平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到⾓平分线的考点主要是性质、判定以及四⼤辅助线模型，在初⼆上期中、期末考试中都是经常考察的⽅向。
⾓平分线性质：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等．⾓平分线判定：到⾓的两边距离相等的点在⾓的⾓平分线上．四⼤模型1、⾓平分线+平⾏线，等腰三⾓形必出现已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．则△ODC为等腰三⾓形，OD=CD．2、⾓平分线+两垂线，线等全等必出现已知：OC平分∠AOB．辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、⾓平分线+⼀垂线，中点全等必出现已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、⾓平分线+截长补短线，对称全等必出现已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．【核⼼考点⼀】⾓平分线的性质与判定1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:163．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB ，另⼀把直尺压住射线OA 并且与第⼀把直尺交于点P ，⼩明说：“射线OP 就是BOA ∠的⾓平分线．”他这样做的依据是( )A ．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B ．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C ．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确6．（2019秋?梁平区期末）如图，若BD AE ⊥于B ，DC AF ⊥于C ，且DB DC =，40BAC ∠=?，130ADG ∠=?，则DGF ∠=．7．（2018春?开江县期末）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆⼼，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆⼼，⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交边BC 于点D ．下列说法错误的是( ) A ．CAD BAD ∠=∠B ．若2CD =，则点D 到AB 的距离为2C ．若30B ∠=?，则CDA CAB ∠=∠D ．2ABD ACD S S ??=8．（2014秋?西城区校级期中）如图，点E 是AOB ∠的平分线上⼀点，EC OA ⊥，ED OB ⊥，垂⾜分别是C ，D ．下列结论中正确的有( )（1）ED EC =；（2）OD OC =；（3）ECD EDC ∠=∠；（4）EO 平分DEC ∠；（5）OE CD ⊥；（6）直线OE 是线段CD 的垂直平分线．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．（2019春?杜尔伯特县期末）如图：在ABC ?中，90C ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =，证明：（1）CF EB =．（2）2AB AF EB =+．10．（2019秋?垦利区期中）如图，ABC⊥⊥且平分BC，DE AB中，AD平分BAC∠，DG BC于E，DF AC⊥于F．（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；（2）如果8AB=，6AC=，求AE、BE的长．11．（2017秋?遂宁期末）某地区要在区域S内（即COD∠内部）建⼀个超市M，如图所⽰，按照要求，超市M到两个新建的居民⼩区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【核⼼考点⼆】⾓平分线+⾓两边垂线12．（2019秋?肥城市期末）如图，//AB CD ，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P ，且与AB 垂直，垂⾜为A ，交CD 于D ，若8AD =，则点P 到BC 的距离是．13．（2015?湖州）如图，已知在ABC ?中，CD 是AB 边上的⾼线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，5BC =，2DE =，则BCE ?的⾯积等于( )A ．10B ．7C ．5D ．414．（2010秋?涵江区期末）如图所⽰，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BC AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC CD =+．15．（2012秋?蓬江区校级期末）如图，已知90∠=∠=?，M是BC的中点，DM平分B C∠．求证：ADC（1）AM平分DAB∠；（2）DM AM⊥．16．（2016秋?西城区校级期中）已知：如图，12∠=∠，P为BN上的⼀点，PF BC⊥于F，=，PA PC（1）求证：180∠+∠=?；PCB BAP（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．【核⼼考点三】⾓平分线+垂线17．（2017秋?和平区校级⽉考）如图．在ABC ?中，BE 是⾓平分线，AD BE ⊥，垂⾜为D ，求证：21C ∠=∠+∠．18．（2013秋?昌平区期末）已知：如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于点D ，DCB B ∠=∠，若10AC =，6AD=，求AB 的长．19．如图所⽰，ABC ?中，ACB ABC ∠>∠，AE 平分BAC ∠，CD AE ⊥于D ，求证：ACD B ∠>∠．20．已知：如图，在ABC ?中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21．（2019秋?下陆区期中）如图，BD 是ABC ∠的⾓平分线，AD BD ⊥，垂⾜为D ，20DAC ∠=?，38C ∠=?，则BAD ∠=．22．（2019秋?曲⾩市校级⽉考）如图，在ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，过C 作CE BD ⊥交BD 延长线于E ．求证：12CE BD =．23．（2019?沂源县⼀模）（1）如图（a）所⽰，BD、CE分别是ABC的外⾓平分线，过点A作AD BD⊥，AE CE⊥，垂⾜分别为D、E，连接DE，求证：1() 2DE AB BC AC=++；（2）如图（b）所⽰，BD、CE分别是ABC的内⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边有怎样的数量关系？并证明这个数量关系；（3）如图（c）所⽰，BD为ABC的内⾓平分线，CE为ABC的外⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边⼜有怎样的数量关系？并证明这个数量关系．24．（2017秋?夏⾢县期中）如图，在ABC ?中，ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于F ，过F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①BDF ?、CEF ?都是等腰三⾓形；②DE DB CE =+；③AD DE AE AB AC ++=+；④BF CF =．正确的有．25．（2019秋?垦利区期末）如图，平⾏四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =；，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ，则DE DF +的长度为．26．（2010秋?海淀区期末）如图，BD 是ABC ?的⾓平分线，//DE BC ，DE 交AB 于E ，若AB BC =，则下列结论中错误的是( )A ．BD AC ⊥B ．A EDA ∠=∠C ．2AD BC =D ．BE ED =27．如图，若BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过D 作//DE AB 交BC 于E ，作//DF AC 交BC 于F ，求证：BC 的长等于DEF ?的周长．28．（2018秋?邳州市期中）如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC平分BAD >，∠，AB AD 下列结论正确的是()A．AB AD CB CD->-B．AB AD CB CD-=-C．AB AD CB CD-<-D．AB AD-与CB CD-的⼤⼩关系不确定29．（2012?⿇城市校级模拟）在ABC∠的外⾓平分线，P是AD上的任意中，AD是BAC⼀点，试⽐较PB PC+与AB AC+的⼤⼩，并说明理由．30．（2018秋?万州区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD ∠，CE AB⊥于=+．E，且180B D∠+∠=?，求证：AE AD BE31．（2017秋?海淀区期中）如图，已知AD是BAC∠=?，C=+，31的⾓平分线，AC AB BD 求B∠的度数．32．（2019秋?平⼭县期中）如图，90∠=?，OM平分AOB∠，将直⾓三⾓板的顶点PAOB在射线OM上移动，两直⾓边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．33．（2016秋?丰宁县期中）如图，在ABC ?中，100A ∠=?，40ABC ∠=?，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD ⾄E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+．34．（2018秋?丰城市期中）在ABC ?中，2ACB B ∠=∠，（1）如图1，当90C ∠=?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，当90C ∠≠?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需要证明；（3）如图3，当AD 为ABC ?的外⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．35．（2019春?利津县期末）如图，在ABC∠平分线，AD的垂直平分线分中，AD是BAC别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）EAD EDA∠=∠；（2）//DF AC；（3）EAC B∠=∠．36．（2014?西城区⼆模）在ABC>，AD平分BAC∠交BC于点∠为锐⾓，AB AC，BACD．（1）如图1，若ABC是等腰直⾓三⾓形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若60∠=?，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；ABE②如图3，若AC AB+，求BAC∠的度数．⾓平分线四⼤辅助线模型--解析⼀．⾓平分线的性质与判定（共11⼩题）1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．【分析】⾸先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据⾓平分线的性质，即可求得PB 的值，⼜由垂线段最短，可求得PQ 的最⼩值．【解答】解：过点P 作PB OM ⊥于B ， OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，3PB PA ∴==，PQ ∴的最⼩值为3．故选：C ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:16【分析】利⽤⾓平分线的性质，可得出ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼相等，估计三⾓形的⾯积公式，即可得出ABD ?与ACD ?的⾯积之⽐等于对应边之⽐．【解答】解：AD 是ABC ?的⾓平分线，∴设ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼分别为1h ，2h ，12h h ∴=，ABD ∴?与ACD ?的⾯积之⽐:8:64:3AB AC ===，故选：B ．3．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【分析】根据⾓平分线的性质得到ED EC =，计算即可．【解答】解：BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90ACB ∠=?， ED EC ∴=，3AE DE AE EC AC cm ∴+=+==，故选：B ．4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn【分析】过点D 作DE AB ⊥于E ，根据⾓平分线上的点到⾓的两边距离相等可得DE CD =，然后根据三⾓形的⾯积公式即可得到结论．【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，BD 是ABC ∠的平分线，90C ∠=?，DE CD m ∴==，ABD ∴?的⾯积122n m mn =??=，故选：A．5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB，另⼀把直尺压住射线OA并且与第⼀把直尺交于点P，⼩明说：“射线OP就是BOA∠的⾓平分线．”他这样做的依据是()A．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【分析】过两把直尺的交点C作CE AO=，再根据⾓⊥，CF BO⊥，根据题意可得CE CF的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上可得OP平分AOB∠；【解答】解：（1）如图所⽰：过两把直尺的交点P作PE AO⊥，⊥，PF BO两把完全相同的长⽅形直尺，PE PF∴=，∠（⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上），OP∴平分AOB故选：A．。
专题 三角形中的重要模型-平分平行(平分射影)构等腰、角平分线第二定理模型(老师版)
专题08三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。
（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1图2图3条件：如图1，OO ’平分∠MON ，过OO ’的一点P 作PQ//ON.结论：△OPQ 是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC 。
结论：△BDE 是等腰三角形。
条件：如图3，在ABC 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，过点O 作BC 的平行线与AB ，AC 分别相交于点M ，N ．结论：△BOM 、△CON 都是等腰三角形。
2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE 平分∠CBA ，∠ACB ＝∠CDA ＝90°.结论：三角形CEF 是等腰三角形。
A ．20︒B ．25︒【答案】B 【分析】根据作图可知AB 是CAE ∠【详解】解：∵12l l ∥，∴BCA ∠∵130BCA ∠=︒，∴50CAE ∠=︒例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于F ，交AC 于E ，若3AE =，2DF =，则AD =_____________．【答案】5【详解】由角度分析易知AEF AFE ∠=∠，即AE AF =，∵3AE =∴3AF =∵2DF =∴5AD AF DF =+=【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC 中，AB =AC ，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F .(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF 与BE 、CF 之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC 中∠B 的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于O ，过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F .这时图中还有等腰三角形吗?EF 与BE 、CF 关系又如何?说明你的理由.【答案】（1）△AEF 、△OEB 、△OFC 、△OBC 、△ABC 共5个，EF =BE +FC ；（2）有，△EOB 、△FOC ，存在；（3）有，EF =BE -FC ．ABC EBO模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型1）内角平分线定理图1图2图32【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质得出A ．1:1:1B ．1:2:3【答案】D 【分析】过点O 作OD BC ⊥于点条角平分线，根据角平分线的性质，OA ，OB ，OC 是ABC 的三条角平分线，ABC 的三边AB 、BC 、AC 长分别为111():():(222AB OF BC OD AC =⨯⨯⨯⨯证明：过C 作AD 的平行线交AB 于点E ．∵//EC AD ∴BD CD AB AE =::，∠1=∠3，∠∵AD 为∠BAC 的外角平分线∴∠1=∠2∴AE=AC ∴BD CD AB AC=::例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在（3）∵AD DE =，∴由（1）知：:1:1ABD EBD S S =，∵10BDE S ∆=，∴10ABD S =△，∵3,5AC AB ==，AD 平分BAC ∠，∴由（2）知：::5:3ABD ACD S S AB AC ==△△，∴6ACD S =，∴10616ABC S =+=△，故答案为：16．【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．课后专项训练A．1B．【答案】C【分析】根据三角形内角和定理可验证结论①；如图所示，在△≌△，根据全等三角形的性质可验证结论②；如图所示，连接BOE BOK(ASA)∵,AE BD 是ABC 的角平分线，∴∴在,AOD AOK △△中，AD AO ⎧⎪∠⎨⎪⎩∵,AE BD 是ABC 的角平分线，OF AC ⊥，OF n =，∴OC 平分ACB ∠，OF OG OH n ==，且AB AC BC ++=∵111222ABC AOC AOB S S S S AB OG AB OF BC OH =++++△△△△∴11(ABC S OF AB BC mn mn =++=≠，故结论③错误；∴12AOBS AO BM=△，BOES EO BM△，∴1212BOEAOBOESS OA=△△∴13BE OEAB OA==，同理，ADAB，如图所示，1BE OE A．1个B．2个【答案】C【分析】①根据角相等推出线段相等，再将线段进行转化，即可证明；AEB ∵BE 平分ABC ∠，∴EM ∵CE 平分ACD ∠，∴EN 设ACE DCE x ∠=∠=，则1802BAC z ∠=︒-，∠FCA．EC＝EF B．FE＝FC【答案】C【分析】求出∠CAF＝∠BAF，∠是等腰三角形，而可得A ．AD 是BAC ∠的平分线C ．点D 在线段AB 的垂直平分线上【答案】D【分析】由作图可得：AD 30B ∠=︒，2,AB AC ∴=ACAC A BC5∠【答案】95【分析】根据角平分线的判定与性质可知【详解】解：过点D作DF1【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的判定与性质是解题关键．11．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）（1）如图1，当AD 平分BAC ∠时，若5AB =，延长AD 到E ，使得AD DE =，连接BE ，如果AC 【答案】53/2139AD 是BAC ∠的角平分线，5AB =，3AC =，12.（2023.广东九年级期中）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【答案】12【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC ，∴∠CBM =∠EMBBM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM ，∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM ，∴EP +BP =EP +PM =EM CQ =13CE ，∴EQ =2CQ由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ∴2 212 12EM EQEM BC EP BP BC CQ==∴==∴+=(1)求证：CDM V 是等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)1.8【分析】（1）根据题意和图形，可以求得（2）根据勾股定理可以求得BC 的长，设∵BD 平分ABC ∠，BCD ∠=∠设CD x =，则CM x =，DF x =∴6BC BF ==，∴AF AB BF =-在Rt ADF 中222AD AF DF =+【答案】见解析【分析】根据直角三角形两锐角互余求得对等边求得CE CF =，从而求得【详解】证明：∵在ABC（2）如图2，若将（1）中“ABC 中，10AB AC ==”改为“若ABC 为不等边三角形，8AB =，10AC =”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；EF 与BE 、CF 之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出AEF △的周长．（3）已知：如图3，D 在ABC 外，AB AC >，且BD 平分ABC ∠，CD 平分ABC 的外角ACG ∠，过点D 作DE BC ∥，分别交AB 、AC 于E 、F 两点，则EF 与BE 、CF 之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．【答案】（1）5，EF BE CF =+，20（2）2，EF BE CF =+，证明见详解，18（3）EF BE CF =-，证明见详解【分析】（1）根据角平分线的定义可得,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，再根据平行线的性质，“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”可知DB DC =,AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，即可求出AEF AFE ∠=∠，,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，根据“等角对等边”可知,,BE DE CF DF AE AF ===，即可确定等腰三角形的数量，EF 与BE 、CF 之间的数量关系以及AEF △的周长；（2）若ABC 为不等边三角形，根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，即可推导,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，然后解答即可；（3）根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD GCD ∠=∠∠=∠，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC GCD ∠=∠∠=∠，即可推导,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，即可证明EF 与BE 、CF 之间的数量关系．【详解】解：（1）∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，∴DBC DCB ∠=∠，∴DB DC =，∵EF BC ∥，∴,AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，∴AEF AFE ∠=∠，,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，∴,,BE DE CF DF AE AF ===，∴等腰三角形有,,,,ABC AEF DEB DFC DBC ，共计5个，∴EF DE DF BE CF =+=+，即EF BE CF =+，∴AEF △的周长AE EF AF =++AE DE DF AF =+++AE BE CF AF =+++AB AC =+1010=+20=，故答案为：5，EF BE CF =+，20；（2）若ABC 为不等边三角形，∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，∵EF BC ∥，∴,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，∴,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，个，故答案为：，最后依据三角形内角和求解即可．小明的解法如下：过点D 作DE AB ⊥于点∵AD 是BAC ∠的角平分线，且DE AB ⊥∴，1212ABD ADCAB DES AB S AC AC DF ⨯==⨯△△，的延长线交于点于【答案】(1)DE DF =(2)见解析(3)20(4)67【分析】(1)根据角的平分线性质定理解答即可．(2)过点D 作DN AB ⊥于N ，过点D 作DM AC ⊥于M AP BD ⊥于点P ．仿照第一问的解答求解即可．(3)过点D 作DN AB ⊥于N ，证明ADC ADN ≌，直接利用证明的结论，列式计算即可．(4)先算2210AC AB BC =+=，后两次运用证明的结论，依次计算即可．AC ⊥，∵AD 是NAM ∠的角平分线，∴DM DN =．∴1212ABD ADCAB DNS AB SAC AC DM ⨯==⨯，1212ABD ADCBD S S CD ⨯=⨯（3）∵Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠∵DC DN AD AD =⎧⎨=⎩，∴ADC ADN ≌，∴∴12820AB AN BN =+=+=，故答案为：（4）解：∵90ABC ∠=︒，6AB =∵将ABC 先沿BAC ∠的平分线AD ∴6AB AE ==，BAD EAD ∠=∠∴4EC =，由（1）可得AB BD AC DC =∴13462DECS =⨯⨯=，同理可求：∴318677DEFS=⨯=，∴6FCGS =(1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明；(2)如图②，ABC ，①画出BAC ∠的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用②若BAC ∠的平分线交BC 于D ，求证：AB BDAC CD=；(3)如图③，E 是平行四边形延长，交AD 的延长线于点F ，连接,AE CF ，若ADE V 的面积为2，则CEF △②证明：如图，过点D 作DE ⊥∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DE ∴1212ABD ACDAB DE S AB SAC AC DF ⋅==⋅，由共高定理，得：∴,EDF ECB EFD ∠=∠∠又∵AD BC =，∴DF AD ∴,DEF DEFS S =S ∴AC CD。
角平分线四大基本模型
12
例题4 （1）在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交 于点F，过点F作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，若 BD+CE=9，则线段DE之长为________
13
（2）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB， DE//AB，FD//AC，如果BC=6，求△DEF的周长
【提示】“图中有角平分线，可将图形对折看，对称以后关系现”
10
例题3 （1）已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC， BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证： BD=2CE
11
（2）在△ABC中，AB=3AC，∠BAC的平分线交BC于 点D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD=DE
角平分线四大基本模型 角平分线在初中几何中常见， 现总结以下四种基本类型 已知P是∠MON平分线上一点
2
【模型1】 若PA⊥OM于点A，可过P作PB⊥ON于点B，则 PB=PA 口诀：“图中有角平分线，可向两边作垂线”
3
【模型2】 若点A是射线OM上任意一点，可在ON上截取OB=OA，连接PB， 构造△OPB≌△OPA 口诀：“图中有角平分线，可将图形对折看，对称以后关系现”
“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”
14
ห้องสมุดไป่ตู้
4
【模型3】 若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造等腰 △AOB，OP是底边AB垂线，进而利用三线合一 口诀：“角平分线加垂线，三线合一试试看”
5
【模型4】 若过点P作PQ//ON交OM于点Q，从而构造等腰△POQ 口诀：“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”
专题16 角平分线四大模型(解析版)
专题16 角平分线四大模型(解析版)角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线是一种重要且常见的构造，它具有许多有用的性质和应用。
本专题将介绍角平分线的四大模型，并对其进行解析。
1. 模型一：角内角平分线模型角内角平分线是指从一个角的内部点出发，将该角分成两个相等的内角的线段。
这种模型在解决一些与角相关的问题时非常有用。
例如，考虑一个三角形ABC，D点在角BAC的内部，且BD与CD分别是角BAC的内角平分线，我们可以推导出：∠BDC = 1/2 * ∠BAC。
这个模型在证明角内角平分线性质时发挥了关键作用。
2. 模型二：角外角平分线模型角外角平分线是指从一个角的外部点出发，将该角的外角分成两个相等的外角的线段。
这种模型在解决一些与外角相关的问题时也非常有用。
以正五边形ABCDE为例，点F在边AB延长线上，且∠BCD为角ACD的外角，则可以得出：∠BCD = 1/2 * ∠ACD。
这个模型在讨论外接角平分线性质时起到了重要作用。
3. 模型三：角平分线的垂直性模型角平分线的垂直性模型是指在一个三角形中，三条角平分线相交于一个点，且该点与三个三角形的顶点连线垂直。
以三角形ABC为例，如果AD、BE、CF为三个角平分线，且它们交于点O，则有AO ⊥BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。
这个模型在解决垂直关系问题时具有重要的应用价值。
4. 模型四：角平分线的外角关系模型角平分线的外角关系模型是指一个三角形的三个外角等于一个直角的两倍。
以三角形ABC为例，∠BAC的外角是∠ACD，∠ABC的外角是∠BCE，∠BCA的外角是∠CAD，则∠ACD + ∠BCE + ∠CAD = 2 * 90°。
这个模型在研究外角关系时起到重要的辅助作用。
综上所述，角平分线四大模型提供了解决各种与角有关问题的有力工具。
这些模型不仅在几何学中具有广泛的应用，而且在其他科学领域中也有其独特的价值。
角平分线四大模型(完整版)
角平分线四大模型模型一：这个模型的基本思想是过角平分线上一点P 作角两边的垂线。
如图中PA ⊥OA ，PB ⊥OB 。
容易通过全等得到PA=PB （角平分线性质）。
注意：题目一般只有一条垂线，需要自行补出另一条垂线。
甚至只给你一条角平分线，自行添加两条垂线。
例题1：AF 是△ABC 的角平分线。
P 是AF 上任意一点。
过点P 作AB 平行线交BC 于点D ，作AC 的平行线交BC 与点E 。
证明：点F 到DP 的距离与点F 到EP 的距离相等。
拓展，如果点P 在AF 延长线上，结论是否依然成立？例题2：如图正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值是__2√2__E模型二：这个模型的基础是，在角平分线上任意找一点P ，过点P 作角平分线的垂线交角的两条边与A 、B 。
这样就构造出了一个等腰三角形AOB ，即OA=OB 。
这个模型还可以得到P 是AB 中点。
注意：这个模型与一之间的区别在于垂直的位置。
并且辅助线的添加方法一般是延长一段与角平分线垂直的线段。
如图中的PB 。
例题1：如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD 垂直AD 于点D ，H 是BC 的中点。
求证：DH=1/2（AB-AC ）提示：要使用到三角形中位线的性质，即三角形中位线是对应边的一半。
模型三：这个模型的基础是在角的两边分别截取OA=OB ，然后在对角线上取任意一点P ，连接AP ，BP 。
容易证得△APO ≌△BPO 。
注意：一般这样的模型最容易被孩子忽略，因为这个模型里没有的角度，因而对于孩子而言添出PB 这条辅助线是有难度的。
添加这条辅助线的基本思想是在ON 上截取OB ，使得AP=BP 。
从而构造出一个轴对称。
这样的模型一般会出现在截长补短里。
BBN例题1：在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 是△ABC 的角平分线，则AC ，CD ，AB 三条线段之间的数量关系为_AC+CD=AB __ 模型四：这个模型是在角平分线上任意找一个点P 。
角平分线模型构造三角形全等
角平分线模型构造三角形全等
一、作垂线构造AAS型全等
1、如图，在四边形ABDC中，∠D=∠B=90°，O为BD 的中点，且AO平分∠BAC.
求证∶（1）CO平分∠ACD；（2）0A⊥OC；（3）AB＋CD=AC.
2、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD⊥AB于点E，∠B+∠ADC=180°.
求证：（1）BC=CD；（2）AB+AD=2AE.
3、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF=∠BAE.求证：AF=BC+FC.
二、截长补短构造SAS型全等
4、如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，使DE=AD，连接EC，求证：AB+CE=BC.
5、如图，AD∥BC，E是CD上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AD+BC.
三、角平分线+垂线——延长法构造ASA型全等
6、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，探究∠ACE，∠B和∠ECD之间的数量关系.
7、如图，在△ABC中，AB<BC，BP平分∠ABC，AP⊥BP，连接PC，若△ABC的面积为4，求△BPC的面积.
8、如图，在△AOB中，AO=BO，∠AOB=90°，BD平分∠ABO，AE⊥BD交BD延长线于点E，求证：BD=2AE.。
初中数学建模案例集精之2第二章 角平分线四大模型
N MOA B P 2图4321A CP B D AB C图1A B D C AB D CPP ONM BA 第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
图2DP AB C D C 1图P B A ABC DA BC DE DC B AP ONM B A 模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二讲角平分线模型的构造3月
角平分线
(I)定义：如图2-1，如果/ AOB = / BOC，那么/
A0C=2 / AOB=2 / BOC，像OB 这样，从一个角的
顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫
作这个角的角平分线.
⑷若过P点作PQ// ON交OM于点Q,如图2-2(d)，
可以构造厶POQ是等腰三角形，可记为“角平分线
十平行线，等腰三角形必呈现” •
例1
(1)如图2-3(a),在厶ABC 中，/ C=90。
，AD 平分
/ CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D
到直线AB的距离是( )cm.
(2)角平分线的性质定理
①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个
角分成两个相等的角，
②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相
等.
(3)角平分线的判定定理
①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重
合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这
个角的平分线，
②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个
角的平分线上，
与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的
四大基本模型，
已知P是/ MON平分线上一点，
(I)若PA丄OM于点A，如图2-2(a)，可以过P点作
PB丄ON于点B，贝U PB=PA.可记为“图中有角平
分线，可向两边作垂线”
图2-3 (a)
⑵如图2-3(b)，已知：/仁/2，Z 3=Z4, 求
证：AP平分/ BAC .
⑵若点A是射线OM上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△ OPB
OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”.
⑶若AP丄OP于点P,如图2-2(c)，可以延长AP 交ON于点B，构造△ AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合
、亠、亠K
”
(b)
例2
如图 2-4(a), Rt △ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB ，垂足为D. AF 平分/ CAB ,交CD 于点E , 交CB 于点F
⑴求证：CE= CF.
例3
阅读下列学习材料：
如图2-5(a)所示，0P 平分/ MON ，A 为0M 上一 点，C 为0P 上一点，连接AC ，在射线ON 上截 取OB =0A ，连接BC(如图2-5(b))，易证△ AOC
BOC.
请根据上面的学习材料，解答下列各题：
(I )
如图
2-5(c )
所示，在厶
A B C
中，
A D
是厶
B A C
的
平分线，P 是A D 上异于点A 的任意一点，试比较P B + P C 与A B + A C 的大小，并说明理
⑵将图2-4(a)中的△ ADE沿AB向右平移到△ A，D，E，
的位置，使点E，落在BC边上，其它条件不变，如图2-
4(b)所示•试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论.
⑵如图2-5(d)所示，AD是
厶
A
B
C
的
内
角
平
分
线
，
其
它
条
件
不
变
，
试
比
较
P
C
—
P
B
C
—
A
B
的
大
小
，
并
说
明
理
由
.
C
图2-5
( d)
例4
如图2-6(a),已知等腰直角三角形ABC中，/
A=90°, AB=AC , BD 平分/ ABC , CE丄BD , 垂
足为点E,
求证：BD=2CE.
⑵如图2-7(b), BD、CE分别是△ ABC的内角平
分线，其它条件不变；
⑶如图2-7(c), BD ABC的内角平分线，CE
ABC的外角平分线，其它条件不变，
则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下，DE与BC还
平行吗？它与△ ABC三边又有怎样的数量关系？请
写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。
(1)如图2-7(a), BD、CE分别是△ ABC的外角平
分
线，
为
D、
过点A作AD上BD、AE
丄CE
,垂足分别
E,连接DE.
DE // BC, DE=；(AB+BC+AC);
C
变式
如图2-8,在厶ABC中，AB=3AC, / BAC的平分线交
BC于点D，过点B作BE丄AD，垂足为E, 求证：
AD=DE
(4)如图2-9(d), BD平分/ ABC , CD平分外角/
ACG. DE // BC 交AB 于点E,交AC 于点F 线段
EF与BE、CF有什么关系？并说明理由.
例6
如图2-9(a), AB=AC , BD, CD 分别平分/ ABC , /
ACB .问：
(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形？
⑵过D点作EF// BC,如图2-9(b)，交AB于点E, 交
AC于点F,图中又增加了几个等腰三角形？⑶如图
2-9(c)，若将题中的△ ABC改为不等边三角形，其
他条件不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线
段EF与BE、CF有什么关系？
A
图2-9 (c)
⑸如图2-9(e), BD、CD 为外角/ CBM、/ BCN 的平
分线，DE // BC交AB延长线于点E,交AC 延长线于
点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？
例7如图2-10(a)所示，已知△ ABC中，AC=BC , /
C=90°, AD 平分/ CAB ,
求证：AB=ACD
B
C
变式1
如图2-11所示，已知△ ABC 中，AB=AC , / A=108 ° , BD 平分/ ABC. 求证：BC=AB + CD.
例8
如图2-13(a), OP 是/ MON 的平分线，请你利用 该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角
请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问 题：
(1)如图2-13(b),在厶ABC 中，/ ACB 是直角，/ B=60°, AD 、CE 分别是/ BAC 、/ BCA 的平分 线，AD 、CE 相交于点F.请你判断写出FE 与FD 之间的数量关系；
变式2
如图 2-12,已知△ ABC 中，AB=AC , / A=IOO BD 平分/ ABC , 求证：BC=BD + AD.
⑵如图2-13(c),在厶ABC 中，如果/ ACB 不是直 角，而(I)中的其他条件不变，请问，你在(1)中 所得结论是否依然成立？若成立请证明；若不成 立，请说明理由.
C
牛刀小试
(I)如图2-14 (a),在厶ABC 中，/ ABC 与/ ACB
的角平分线相交于点F,过点F作DF // BC,交
AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段
DE之长为( )
3、已知如图2-16，四边形ABCD 中，/ B+ =
D=180°, BC=CD.
求证：AC平分/ BAD.
(2)如图2-14(b)，在△ ABC中，BD、CD分别平分 / ABC 和/ACB , DE / AB , FD // AC., BC=6, 求厶DEF 的周长，
4
.
如
图
2
-
1
7
,
^
A
B
C
的
外
角
/
A
图2-14(b)
C
C D 的平分线C P 与内角/ A B C 的平分线B P 交于点P ,连接A P 、C P , 若/ B P C = 4 0。
,求/ C
A
P
的
度
数
.
2.已知：如图2-15,Z BAD= / CAD , AB>AC , CD丄AD
于点D.H是BC中点.
1
求证：DH =—(AB —AC).
2
5.已知：如图2-18,在四边形中，BC>AB , AD=CD ,
BD 平分/ ABC.
求证：/ A+ / C=180°
⑵若/ABC=90 ° , G是EF的中点(如图2-19(b),
直接写出/ BDG的度数；
6.在平行四边形ABCD中，/ BAD的平分线交直线BC
于点E,交直线DC于点F.
⑴在图2-19(a)中证明CE= CF;
⑶若/ABC= 120°, FG// CE, FG=CE，分别连
7.已知：如图2-20,在厶ODC中，/ D 一90°, EC
是/DCO的角平分线，且OE= CE,过点E 作EF丄OC
交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并
证明.
8.已知：如图2-21,在四边形ABCD中，AB+BC =CD
+ DA，/ ABC的外角角平分线与/ CDA的外角平分线
交于点P，
求证：/ APB= / CPD.
【本文档内容可以自由复制内容或自
由编辑修改内容期待你的好评和关
注，我们将会做得更好】。