有理数题型归纳最新版
有理数章节题型归纳
必考点1表示相反意义的量
解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.
0.03表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的例题1如图，是图纸上一个零件的标注，φ30±0.02
直径最大可以是30.03mm，最小可以是（）
A．30mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm
【分析】根据标注可知，零件直径标准30mm，最大多0.03mm，最小少0.02mm，则最小为30﹣0.02＝29.98mm．
0.03可知，零件的直径范围最大30+0.03mm，最小30﹣0.02mm，
【解析】由零件标注φ30±0.02
∴30﹣0.02＝29.98（mm）；选D．
【小结】本题考查正数与负数；理解题意，找准零件直径的变化范围是解题的关键．
变式1某公交车上原有10个人，经过三个站点时乘客上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+2，﹣3），（+8，﹣5），（+1，﹣6），则此时车上的人数为（）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据有理数的加法，原有人数，上车为正，下车为负，可得答案．
【解析】10+2﹣3+8﹣5+1﹣6＝10+2+8+1﹣3﹣5﹣6＝7，选C．
【小结】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键．
变式2纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京时间1月7日8时时，纽约的时间是（）
A．1月6日21时B．1月7日21时C．1月6日19时D．1月6日20时
【分析】纽约与北京的时差为﹣13小时，表示纽约的时间比北京时间晚13个小时，比得北京时间1月7日8时晚13个小时的时间为1月6日19时，从而得出答案．
【解析】24﹣[8+（﹣13）]＝19，选C．
【小结】考查有理数的意义，具有相反意义的量一个用正数表示，则与之相反的量就用负数表示，理解有理数的意义是解决问题的关键．
变式3实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用A﹣C表示观测点A相对观测点C的高度）
A﹣C C﹣D E﹣D F﹣E G﹣F B﹣G
90米80米﹣60米50米﹣70米40米
根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（）米．
A．210B．170C．130D．50
【分析】观察表中数据，个别式子取其相反数，依次相加，可得答案．
【解析】由表中数据可知：
A﹣C＝90① C﹣D＝80② D﹣E＝60③
E﹣F＝﹣50④ F﹣G＝70⑤ G﹣B＝﹣40⑥
①+②+③+④+⑤+⑥得：
（A﹣C）+（C﹣D）+（D﹣E）+（E﹣F）+（F﹣G）+（G﹣B）＝A﹣B＝90+80+60﹣50+70﹣40＝210
∴观测点A相对观测点B的高度是210米．选A．
【小结】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，根据题意正确列式，是解题的关键．
必考点2有理数相关概念
解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
例题2下列说法中，不正确的是（）
①符号不同两个数互为相反数②所有有理数都能用数轴上的点表示③绝对值等于它本身的数是正数④两数相加和一定大于任何一个加数⑤有理数可分为正数和负数
A．①②③⑤B．③④C．①③④⑤D．①④⑤
【分析】根据有理数的加法、相反数、绝对值判断即可．
【解析】①只有符号不同的两个数互为相反数，错误；②所有有理数都能用数轴上的点表示，正确；
③绝对值等于它本身的数是非负数，错误；④两数相加和不一定大于任何一个加数，错误
⑤有理数可分为正数、0和负数，错误；选C．
【小结】此题考查有理数的加法，关键是根据有理数的加法、相反数、绝对值解答．
变式4下列说法正确的个数为（）
（1）0是绝对值最小的有理数；（2）﹣1乘以任何数仍得这个数；
（3）0除以任何数都等于0；（4）数轴上原点两侧的数互为相反数；
（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；（6）一对相反数的平方也互为相反数
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】利用乘方的意义，乘法法则，倒数的性质计算，判断即可．
【解析】（1）0是绝对值最小的有理数，这个说法正确；
（2）﹣1乘以任何数仍得这个数，这个说法错误，例如﹣1乘以3得到﹣3；
（3）0除以任何数都等于0，这个说法错误，例如0除以0没有意义；
（4）数轴上原点两侧数互为相反数，说法错误，如﹣1和6是数轴上原点两侧的数，但不是互为相反数（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数，这个说法错误，例如﹣1的平方是正数，但是﹣1的立方也是﹣1，是负数；
（6）一对相反数的平方也互为相反数，说法错误，例如﹣2和2互为相反数，它们平方就不互为相反数．则说法正确的个数为1个．选B．
【小结】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式5下列说法正确的是（）
①任何一个有理数的平方都是正数
②任何一个有理数的绝对值都是非负数
③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1
④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0．
A．①④B．②③C．③④D．②④
【分析】根据有理数的定义和特点，绝对值、相反数的定义及性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解析】①任何一个有理数的平方都不是负数，错误；
②任何一个有理数的绝对值都是非负数，正确；
③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1或﹣1，错误
④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0，正确；选D．
【小结】此题考查有理数问题，牢固掌握正数、负数、自然数、整数、倒数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
变式6下列说法中正确的有（）
①若两数的差是正数，则这两个数都是正数；
②任何数的绝对值一定是正数；
③零减去任何一个有理数，其差是该数的相反数；
④在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大．
⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】利用数轴、相反数、绝对值及有理数的减法的有关性质进行判断即可得到答案．
【解析】①若两数的差是正数，则这两个数不一定都是正数，如1﹣（﹣2），故错误；
②0的绝对值是0，故错误；
③零减去任何一个有理数，其差是该数的相反数，故正确；
④在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大，如﹣1和﹣6，故错误．
⑤0没有倒数，故错误．选B．
【小结】本题考查了数轴、相反数、绝对值及有理数的减法有关知识，属于基础题，但比较容易出错．必考点3数轴上点的表示
解决此类问题关键是掌握数轴上点的表示方法，明确数轴的特点能根据题目中的信息，判断各个数在数轴上对应哪一个点．
例题3数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B，再向右移动6个单位长度到达点C，若C表示的数为3，则点A表示的数为（）
A．6B．0C．﹣6D．﹣2
【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案．
【解析】3﹣6+3＝0，选B．
【小结】本题考查了数轴，注意C点左移6个单位再右移3个单位，得A点．
变式7如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.8cm”对应数轴上的数为（）
A．5.8B．﹣2.8C．﹣2.2D．﹣1.8
【分析】根据数轴上点的表示方法，直接判断即可．
【解析】刻度尺上5.8cm 对应数轴上的点距离数轴上原点（刻度尺上表示3的点）的距离为2.8，
且该点在原点的左侧，故刻度尺上“5.8cm ”对应数轴上的数为﹣2.8．选B ．
【小结】本题主要考查数轴，解决此题的关键是掌握数轴上点的表示方法是关键．
变式8 若数轴上A ，B 两点之间的距离为8个单位长度，点A 表示的有理数是﹣10，并且A ，B 两点经折叠后重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是（ ）
A ．﹣6
B ．﹣9
C ．﹣6或﹣14
D ．﹣1或﹣9
【分析】分点B 在点A 的左侧和点B 在点A 的右侧两种情况找出点B 表示的有理数，结合折线与数轴的交点表示的有理数为点A ，B 表示的有理数的平均数，即可求出结论．
【解析】当点B 在点A 的左侧时，点B 表示的有理数是﹣10﹣8＝﹣18，
∴折线与数轴的交点表示的有理数是?10?182=?14；
当点B 在点A 的右侧时，点B 表示的有理数是﹣10+8＝﹣2，
∴折线与数轴的交点表示的有理数是?10?22=?6．选C ．
【小结】本题考查了数轴以及有理数，分B 在点A 的左侧和点B 在点A 的右侧两种情况，找出点B 表示的有理数是解题的关键．
变式9 如图，半径为1的圆从表示3的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A 与表示3的点重合，滚动一周后到达点B ，点B 表示的数是（ ）
A ．﹣2π
B ．3﹣2π
C ．﹣3﹣2π
D ．﹣3+2π
【分析】线段AB ＝2πr ＝2π，点A 到原点的距离为3，则点B 到原点的距离为2π﹣3，点B 在原点的左侧，因此点B 所表示的数为﹣（2π﹣3）＝3﹣2π，于是得出答案．
【解析】由题意得：AB ＝2πr ＝2π，点A 到原点的距离为3，则点B 到原点的距离为2π﹣3，
∵点B 在原点的左侧，∴点B 所表示的数为﹣（2π﹣3）＝3﹣2π，选B ．
【小结】考查实数的意义，数轴等知识，理解符号和绝对值是确定一个数在数轴上位置的两个必要条件． 必考点4 数轴中的规律应用
例题4一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2019次落下时，落点表示的数是（）
A．2019B．2020C．﹣2020D．1010
【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．
【解析】设向右跳动为正，向左跳动为负，
由题意可得（+2）+（﹣4）+（+6）+（﹣8）+…+（4034﹣4036）+4038
═（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（24034﹣4036）+4038＝﹣2018+4038＝2020，选B．
【小结】此题考查了数轴，数字变化规律．此题比较简单，注意正负数的表示方法是解题的关键．
变式10等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2019次后，则数2019对应的点为（）
A．点A B．点B
C．点C D．这题我真的不会
【分析】根据随着翻转点变化，可找出点变化周期为3，结合2019为3整数倍可得出数2019对应的点为A．【解析】∵翻转1次后，数1对应的点为B，翻转2次后，数2对应的点为C，翻转3次后，数3对应的点为A，翻转4次后，数4对应的点为B，…，∴点的变化周期为3．
又∵2019÷3＝673，∴连续翻转2019次后，则数2019对应的点为A．选A．
【小结】本题考查了数轴以及变化类：数的变化，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键．
变式11一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，x n表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①x3＝3；②x5＝1；③x108＜x104；④x2018＞x2019．其中，正确的结论的序号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②④
【分析】本题应先解出机器人每5秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导出答案．
【解析】①依题意得：机器人每5秒完成一个前进和后退，即前5个对应的数是1，2，3，2，1；6～10是2，3，4，3，2．根据此规律即可推导判断①和②，显然正确；
③中，108＝5×21+3，故x108＝21+1+1+1＝24，104＝5×20+4，故x104＝20+3﹣1＝22，24＞22，③错误；
④中，2018÷5＝403…3，故x2018＝403+3＝406，2019÷5＝÷5＝403…4，故x2019＝403+2＝405，④正确．所以正确的结论的序号为：①②④．选D．
变式12一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2019，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是（）A．1969B．1968C．﹣1969D．﹣1968
【分析】根据移动的规律，列方程求解即可．
【解析】设P0所表示的数是a，则a﹣1+2﹣3+4﹣…﹣99+100＝2019，
即：a+（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣99+100）＝2019．a+50＝2019，解得：a＝1969．
点P0表示的数是1969．选A．
必考点5利用数轴判断符号
解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.
例题5如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中，正确的有（）①a+b+c
＞0 ②a?b?c＞0 ③a+b﹣c＜0 ④0＜b
a＜1
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先由数轴得出a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则等分别分析，可得答案．
【解析】由数轴可得：a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，∴a+b+c＜0，故①错误；
∵a，b，c中两负一正，∴a?b?c＞0，故②正确；∵a＜0，b＜0，c＞0，∴a+b﹣c＜0，故③正确；
∵a＜﹣2＜b＜﹣1，∴0＜b
a＜1，故④正确．综上，可知，正确的有3个．选C．
变式13如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论：①ab＞0；②a﹣b＞0；③a+b＞0；
④|a|﹣|b|＞0中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据数轴可知a＜﹣1，0＜b＜1，从而可以判断题目中的结论哪些是正确的，哪些是错误的，从而解答本题．
【解析】∵由数轴可知，a＜﹣1，0＜b＜1，∴ab＜0，a﹣b＜0，a+b＜0，|a|﹣|b|＞0，
故①②③错误，④正确．选A．
变式14在数轴上表示有理数a，b，c，d如图所示，则正确的结论是（）
A．a+b＞c+d B．ab＜cd
C．（a+3）（b+1）＞0D．（a﹣d）（c﹣b）＞0
【分析】由数值上的各个点所表示的数，可以得出a、b、c、d的符号和取值范围，进而逐个分析判断各个选项的正确与否．
【解析】由数轴上表示有理数a，b，c，d可得，﹣4＜a＜﹣3，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，1＜d＜2，
∴a+b＜0，c+d＞0，因此A选项不正确，
ab＞cd因此选项B不正确，
（a+3）＜0，（b+1）＜0，∴（a+3）（b+1）＞0，因此C选项正确，
∵（a﹣d）＜0，（c﹣b）＞0，∴（a﹣d）（c﹣b）＜0，因此D选项不正确，选C．
【小结】考查数轴表示数意义，理解数符号和绝对值是正确判断的前提，掌握有理数的加减法法则是关键．
变式15观察图中的数轴，用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数，则ab，b﹣a，c的大小关系是（）
A．ab＜b﹣a＜c B．b﹣a＜c＜ab C．b﹣a＜ab＜c D．ab＜c＜b﹣a
【分析】根据各点在数轴上的位置判断出a、b、c的符号及大小，再对各选项进行逐一判断即可．
【解析】由数轴上a、b、c的位置可知﹣1＜a＜b＜0＜1＜c，且a=?2
3，b=?
1
3，
所以ab=2
9，b﹣a＝（?
1
3）﹣（?
2
3）=?
1
3
+23=13，所以ab＜b﹣a＜c选A．
【小结】此题主要考查了利用数轴比较实数的大小，解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大．
必考点6有理数大小比较
有理数大小比较注意两点：（1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；（2）在数轴上右边点表示的数总比左边点表示的数大.
例题6下列比较有理数的大小，正确的是（）
A．﹣105＞0 B．﹣0.0001＜?1
10C．?
1
2019＞?
1
2020D．?
2019
2018＜?
2020
2019
【分析】根据有理数比较大小的法则负数都小于零；两个负数相比较，绝对值大的反而小可得答案．【解析】A．∵负数都小于零，∴﹣105＜0，故本选项不合题意；
B．∵|﹣0.0001|＜?1
10，∴﹣0.0001＞?
1
10，故本选项不合题意；
C．∵|?
1
2019
|＞|?1
2020
|，∴?1
2019＜?
1
2020，故本选项不合题意；
D．∵|?2019
2018
|＞|?2020
2019
|，∴?2019
2018＜?
2020
2019，故本选项符合题意．选D．
变式16已知a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则下列关系正确的是（）
A．b＜﹣a＜a＜﹣b B．﹣a＜b＜a＜﹣b C．﹣a＜b＜﹣b＜a D．b＜a＜﹣b＜﹣a
【分析】根据：a＞0，b＜0，|a|＜|b|，可得：﹣a＜0，﹣b＞0，﹣a＜b，据此判断出a、﹣a、b、﹣b的大小关系即可．
【解析】∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|，∴﹣a＜0，﹣b＞0，﹣a＜b，∴b＜﹣a＜a＜﹣b．选A．
【小结】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；
②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
变式17若0＜m＜1，m、m2、1
m
的大小关系是（）
A．m＜m2＜1
m B．m
2＜m＜1
m C．
1
m
＜m＜m2D．
1
m
＜m2＜m
【分析】利用特殊值法进行判断．
【解析】当m=1
2时，m
2=1
4，
1
m
=2，所以m2＜m＜1m．选B．
变式18有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、b、﹣a、﹣b、0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）
A．﹣a＜a＜0＜﹣b＜b B．a＜﹣a＜0＜﹣b＜b
C．﹣b＜a＜0＜﹣a＜b D．a＜0＜﹣a＜b＜﹣b
【分析】根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可解答．
【解析】根据数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，则﹣b＜a＜0＜﹣a＜b．选C．
必考点7科学记数法
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
例题7随着环境污染整治的逐步推进，某经济开发区的40家化工企业已关停、整改38家，每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为（）
A．167×103B．16.7×104C．1.67×105D．0.167×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】167000＝1.67×105，选C．
【小结】科学记数法表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，要正确确定a值以及n的值
变式19从河南省工商联获悉，自新型冠状病毒引发的肺炎疫情出现以来，截止2月13日下午6点，全省民营企业、商会及企业家个人累计7412家（人），共向武汉等疫情严重地区及我省定点防治新冠肺炎的医院、政府部门、执勤卡点等捐赠物款约10.1亿元．10.1亿用科学记数法表示应为（）
A．101×107B．10.1×108C．1.01×109D．1.01×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于10.1亿＝1010000000有10位，所以可以确定n＝10﹣1＝9．
【解析】10.1亿＝1010000000＝1.01×109．选C．
变式20今年9月世界计算机大会在湖南省长沙市开幕，大会的主题是“计算万物，湘约未来”．从心算、珠算的古老智慧到“银河”“天河”“神威”创造的中国速度，“中国计算”为世界瞩目．超级计算机“天河一号”的性能是4700万亿次，换算成人工做四则运算，相当于60亿人算一年，它1秒就可以完成．数4700万亿用科学记数法表示为（）
A．4.7×107B．4.7×1011C．4.7×1014D．4.7×1015
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】4700万亿＝4700 0000 0000 0000＝4.7×1015，选D．
【小结】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
变式21光速约为3×108米/秒，太阳光射到地球上时间约为5×102秒，地球与太阳的距离约是（）米．A．15×1010B．1.5×1011C．15×1016D．1.5×1017
【分析】先计算地球与太阳的距离，再根据科学记数法的形式选择即可．
【解析】3×108×5×102＝1.5×1011，选B．
【小结】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式a×10n是解题的关键．
必考点8近似数
近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字说法．例题8下列说法正确的是（）
A．0.750精确到百分位B．3.079×104精确到千分位C．38万精确到个位D．2.80×105精确到千位
【分析】根据近似数的精确度分别进行判断，即可得出答案．
【解析】A、0.750精确到千分位，故本选项错误；B、3.079×104精确到十位，故选项错误；
C、38万精确到万位，故本选项错误；
D、2.80×105精确到千位，故本选项正确；选D．
变式22台风“杜鹃”给某省造成的经济损失达16.9亿元，近似数16.9亿精确到（）
A．十分位B．千万位C．亿位D．十亿位
【分析】根据近似数的精确度可判断近似数16.9亿精确到0.1亿位．
【解析】近似数16.9亿精确到千万位．选B．
【小结】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
变式23近似数3.20×105的精确度说法正确的是（）
A．精确到百分位B．精确到十分位
C．精确到千位D．精确到万位
【分析】近似数3.20×105中3表示三十万，应是万位，3.20最后一位应是千位，因而这个数精确到千位数．【解析】近似数3.20×105精确到千位，选C．
【小结】本题主要考查近似数和有效数字，对于用科学记表示的数，有效数字的计算方法，与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
变式24 已知a ＝3.50是由四舍五入得到的近似数，则a 的可能取值范围是（ ）
A ．3.45≤a ＜3.55
B ．3.495≤a ＜3.505
C ．3.495≤a ≤3.505
D ．3.495＜a ＜3.505
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【解析】a 的可能取值范围为3.495≤a ＜3.505．选B ．
必考点9 绝对值及偶次乘方的非负性
直接利用绝对值及偶次乘方的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案．
例题9 已知（x ﹣3）2+|2x ﹣3y ﹣3|＝0，则y ＝ ．
【分析】根据非负数的性质列出二元一次方程组，求解得到x 、y 的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【解析】根据题意得，{x ?3=0①2x ?3y ?3=0②
，由①得，x ＝3， 把x ＝3代入②得，6﹣3y ﹣3＝0，解得y ＝1．故答案为：1．
【小结】本题考查了解二元一次方程组，利用非负数的性质．解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，能够正确利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0求出x 、y 的值．
变式25 已知|x ﹣y +3|与（x ﹣2）2互为相反数，则x+2y x?y = ．
【分析】根据绝对值非负数，偶次方非负数的性质列出二元一次方程组，然后再利用加减消元法求出y 的值，再代入其中一方程求出x 的值，进一步计算即可．
【解析】∵|x ﹣y +3|与（x ﹣2）2互为相反数，∴|x ﹣y +3|+（x ﹣2）2＝0，
∴{x ?y +3=0x ?2=0，解得：x ＝2，y ＝5，x+2y x?y =2+102?5
=?4．故答案为：﹣4． 【小结】本题考查了绝对值、偶次方的非负性，相反数和解二元一次方程组等知识点，能得出关于x 、y 的方程组是解此题的关键．
变式26 若（a +b ）2+|b +4714|＝b +4714，且8a ﹣11b +1＝0，则ab ＝ ． 【分析】根据有理数的乘方和绝对值解答即可，先根据非负数的性质求出a 、b 的值，进而可求出ab 的值．
【解析】∵（a +b ）2≥0，|b +4714|≥0，∴（a +b ）2+|b +4714|＝b +4714≥0，∴b ≥﹣4714， ∴（a +b ）2+b +4714=b +4714，∴（a +b ）2＝0，∴a ＝﹣b ， 代入8a ﹣11b +1＝0，得﹣8b ﹣11b +1＝0，∴﹣19b ＝﹣1，∴b =119，∴a =?119，
∴ab =?119×119=?1361．
变式27当2020+（﹣2a+1）2有最小值时，4040a﹣1＝．
【分析】根据题意得到（﹣2a+1）2＝0，求得a的值，代入代数式即可得到结论．
【解析】∵2020+（﹣2a+1）2有最小值，∴（﹣2a+1）2＝0，∴a=1 2，
∴4040a﹣1＝14040×1
2
?1＝2019，故答案为：2019．
必考点10乘方的意义
例题10把（?1
2）×（?
1
2）×（?
1
2）×（?
1
2）×（?
1
2）写成幂的形式（不用计算）为
【解析】把（?1
2）×（?
1
2）×（?
1
2）×（?
1
2）×（?
1
2）写成幂的形式（不用计算）为（?
1
2）
5．
变式28计算（﹣3）2018?（﹣1）2019的结果为．
【分析】原式变形后，逆用积的乘方运算法则计算即可求出值．
【解析】原式＝（﹣3）2018?（﹣1）2018?（﹣1）＝[（﹣3）×（﹣1）]2018×（﹣1）＝﹣32018，
变式29计算（﹣2）100×(1
2
)99的结果是．
【解析】原式=(?2×1
2
)99×（﹣2）＝（﹣1）99×（﹣2）＝﹣1×（﹣2）＝2．
【小结】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．
变式3022018×42019×（﹣0.125）2017＝．
【分析】将各幂指数统一为2017，逆用积的乘方公式可简便计算．
【解析】22018×42019×（﹣0.125）2017＝2×22017×42×42017×（﹣0.125）2017
＝32×[2×4×（﹣0.125）]2017＝32×（﹣1）＝﹣32
必考点11乘方中的规律应用
解决找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
例题11你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条，捏合一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多细的面条，如图所示：这样，第4次捏合后可拉出根细面条；第次捏合后可拉出256根细面条．
【分析】根据题意归纳得到第n次捏合后可拉出2n根细面条，即可得到结果．
【解析】根据题意得：第n次捏合后可拉出2n根细面条，
则第4次捏合后可拉出24＝16根细面条；第8次捏合后可拉出256根细面条．
【小结】此题考查了有理数的乘方，弄清题中的规律是解本题的关键．
变式31某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，4小时后分裂成18个并死去1个．按此规律，10小时后细胞存活的个数是．【分析】根据题意，n小时后细胞存活的个数是2n+1．求出n＝10时的值即可．
【答案】根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；
3小时后分裂成10个并死去1个，剩9个，9＝23+1；
4小时后分裂成18个并死去1个，剩17个，17＝24+1；
……
n小时后细胞存活的个数是2n+1．
由此可得10小时后细胞存活的个数是210+1＝1025．
变式32观察下列各式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，
37＝2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32012的个位数字是．
【分析】观察不难发现，每4个数为一个循环组依次进行循环，用2012除以4，余数是几则与第几个的个位数相同．
【解析】31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，
∵2012÷4＝503，∴32012的个位数字与第4个数的个数数相同，是1．
【小结】本题考查了有理数的乘方，观察得到每4个数为一个循环组依次进行循环是解题的关键．
变式33将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虛线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第6次对折后得到的折痕比第5次对折后得到的折痕多条．
【分析】由题意得出对折n+1次比对折n次折痕多2n条，据此可得．
【解析】∵对折2次比对折1次折痕多3﹣1＝2条，
对折3次比对折2次折痕多7﹣3＝4＝22条，
对折4次比对折3次折痕多15﹣7＝8＝23条，
……
∴对折6次比对折5次折痕多25＝32条，
必考点12定义新运算
正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算.
例题12对于有理数a、b，定义一种新运算“※”如下：a※b=ab?b
2a，则（﹣3）※（?
3
4）＝．
【分析】根据a※b=ab?b
2a，可以求得所求式子的值．
【解析】∵a※b=ab?b
2a，∴（﹣3）※（?
3
4）=
(?3)×(?34)?(?34)
2×(?3)=
9
4
+34
?6=
3
?6=?
1
2，
【小结】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
变式34在有理数的原有运算法则中，我们定义一个新运算“★”如下：x≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y ＝y．则（﹣2★﹣4）★1的值为．
【分析】根据x≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y＝y，可以求得所求式子的值，本题得以解决．
【解析】∵x≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y＝y，
∴（﹣2★﹣4）★1＝﹣4★1＝（﹣4）2＝16，
【小结】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
变式35定义新运算：若a@b＝n（n是常数），则（a+1）@b＝n+1，a@（b+1）＝n﹣2．若1@1＝2，则1@2＝，2@2＝，2020@2020＝．
【分析】根据题目中的新定义，可以分别计算出题目中所求式子的值．
【解析】∵若a@b＝n（n是常数），则（a+1）@b＝n+1，a@（b+1）＝n﹣2，1@1＝2，
∴1@2＝1@（1+1）＝2﹣2＝0，
2@2＝（1+1）@2＝0+1＝1，
2@3＝﹣1，
3@3＝0，
3@4＝﹣2，
4@4＝﹣1，
∴2020@2020＝﹣2017，
变式36 规定：[x ]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n +0.5，n 为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．当﹣1＜x ≤0时，化简[x ]+（x ）+[x ）的结果是 ．
【分析】分三种情况讨论x 的范围：①﹣1＜x ＜﹣0.5，②﹣0.5＜x ＜0，③x ＝0即可得到答案．
【解析】①﹣1＜x ＜﹣0.5时，[x ]+（x ）+[x ）＝﹣1+0﹣1＝﹣2；
②﹣0.5＜x ＜0时，[x ]+（x ）+[x ）＝﹣1+0+0＝﹣1；
③x ＝0时，[x ]+（x ）+[x ）＝0+0+0＝0．
故[x ]+（x ）+[x ）的结果是﹣2，﹣1，0．
【小结】本题考查了学生对[x ]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n +0.5，n 为整数）的理解，难度适中，解此题的关键是分类讨论思想的应用．
必考点13 利用有理数相关性质求值
解决此类问题需熟知两个互为相反数的数和为0，两个互为倒数的数乘积为1，值得注意的是已知一个数的绝对值为非0的数，那么这个数应该有两个，此时应注意分类讨论，结果往往有两个.
例题13 已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，求x 3+cdx 2?a+b 2的值．
【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，可以求得a +b ，cd ，x 的值，然后即可.
【解析】∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，∴a +b ＝0，cd ＝1，x ＝±2，
当x ＝2时，x 3+cdx 2?a+b 2＝23+1×22?02＝8+1×4﹣0＝8+4﹣0＝12；
当x ＝﹣2时，x 3+cdx 2?a+b 2＝（﹣2）3+1×（﹣2）2?02＝﹣8+1×4﹣0＝﹣8+4﹣0＝﹣4， 由上可得，x 3+cdx 2?a+b 2的值为12或﹣4．
【小结】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
变式37 若a 与b 互为相反数，c 与d 互为负倒数，|m |＝2，求代数式a+b 3?2cb +2m 3的值．
【分析】根据a 与b 互为相反数，c 与d 互为负倒数，|m |＝2，可以求得a +b ，cd 和m 的值
【解析】∵a 与b 互为相反数，c 与d 互为负倒数，|m |＝2，∴a +b ＝0，cd ＝﹣1，m ＝±2，
∴当m ＝2时，
a+b 3?2cb +2m 3=03?2×(?1)+2×23＝0+2+2×8＝0+2+16＝18； 当m ＝﹣2时，a+b 3?2cb +2m 3=03?2×(?1)+2×（﹣2）3＝0+2+2×（﹣8）＝0+2+（﹣16）＝﹣14． 变式38 已知a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，|m |＝2，求代数式2m ﹣ab +3（c +d ﹣1）的值．
【分析】由题意根据倒数和相反数以及绝对值的性质得出ab ＝1，c +d ＝0，m ＝±2，再把它们值代入即可．
【解析】依题意有ab ＝1，c +d ＝0，m ＝±2，
当ab ＝1，c +d ＝0，m ＝﹣2时，2m ﹣ab +3（c +d ﹣1）＝﹣4﹣1+3×（0﹣1）＝﹣8；
当ab ＝1，c +d ＝0，m ＝2时，2m ﹣ab +3（c +d ﹣1）＝4﹣1+3×（0﹣1）＝0．
故代数式2m ﹣ab +3（c +d ﹣1）的值是﹣8或0．
变式39 若a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，并且m 的立方等于它本身．
（1）求2a+2b m+2+ac 值．
（2）若a ＞1，且m ＜0，S ＝|2a ﹣3b |﹣2|b ﹣m |﹣|b +12|，求2a ﹣S 的值．
（3）若m ≠0，试讨论：x 为有理数时|x +m |﹣|x ﹣m |是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，得出a +b ＝0，bc ＝1，再代入所求代数式计算即可；
（2）根据a ＞1及m 的立方等于它本身确定b 、m ，再化简S ，最后求出2a ﹣S 的值；
（3）根据m ≠0，确定m ，把m 值代入|x +m |﹣|x ﹣m |，再根据绝对值性质去绝对值符号，求出代数式值即可
【解析】（1）∵a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，∴a +b ＝0，bc ＝1，∴ac ＝﹣1
∴2a+2b m+2
+ac =2(a+b)m+2?1＝0﹣1＝﹣1； （2）∵a ＞1，∴b ＜﹣1，2a ﹣3b ＞0，b +12＜0，∵m 的立方等于它本身，且m ＜0。∴m ＝﹣1，b ﹣m ＝b +1
＜0．∴S ＝2a ﹣3b +2b +2+b +12=2a +52．∴2a ﹣S ＝2a ﹣2a ?52=?52．
（3）存在最大值．若m ≠0，此时m ＝±1
①若m ＝1，则|x +m |﹣|x ﹣m |＝|x +1|﹣|x ﹣1|
当x ≤﹣1时，|x +1|﹣|x ﹣1|＝﹣x ﹣1+x ﹣1＝﹣2；当﹣1＜x ≤1时，|x +1|﹣|x ﹣1|＝x +1+x ﹣1＝2x
当x ＞1时，|x +1|﹣|x ﹣1|＝x +1﹣x +1＝2；∴当x 为有理数时，存在最大值为2；
②若m ＝﹣1，同理可得：当x 为有理数时，存在最大值为2．
综上所述，当m ＝±1，x 为有理数时，|x +m |﹣|x ﹣m |存在最大值为2． 必考点14 有理数的计算
解决此类问题需熟练掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.
例题14 计算：
（1）﹣5﹣（﹣4）+（﹣3）﹣[﹣（﹣2）]
（2）2×（﹣5）+23﹣3÷12
（3）（14?59?13+712）÷（?136）
（4）﹣12﹣2×（﹣3）2﹣（﹣2）2+[313÷（?23）×15]4
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加法可以解答本题；
（3）先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律即可解答本题；
（4）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【解析】（1）﹣5﹣（﹣4）+（﹣3）﹣[﹣（﹣2）]＝﹣5+4+（﹣3）+（﹣2）＝﹣6；
（2）2×（﹣5）+23﹣3÷12＝（﹣10）+8﹣3×2＝（﹣10）+8﹣6＝﹣8；
（3）(14?59?13+712)÷(?136)＝（14?59?13+712
）×（﹣36）＝（﹣9）+20+12+（﹣21）＝2； （4）?12?2×(?3)2?(?2)2+[313÷(?23)×15]4＝﹣1﹣2×9﹣4+（103×32×15）4＝﹣1﹣18﹣4+14＝﹣22． 变式40 计算
（1）(?6.5)?(?414)+834?(+312)+5 （2）﹣312×(?67)?(?10)÷(?23) （3）﹣1﹣48×(425?316+16) （4）?22?[(?3)×(?43)?(?2)3]
【分析】（1）原式利用减法法则变形，结合后相加减即可求出值；
（2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值；
（3）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（4）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．
【解析】（1）原式＝﹣6.5﹣312+414?312+5＝﹣10+5+34=?414； （2）原式=72×67?10×32
=3﹣15＝﹣12； （3）原式＝﹣1?
19225+9﹣8=?19225； （4）原式＝﹣4﹣4﹣8＝﹣16．
变式41 计算题：
（1）[?34?214×(?4)]÷(14913?16913)
（2）?16?(0.5?23)÷13×[?2?(?3)3]?|18?0.52|
【分析】（1）原式下计算括号中的运算，再计算除法运算即可求出值；
（2）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解析】（1）原式＝（﹣81+94×4）÷（﹣2）＝（﹣81+9）÷（﹣2）＝（﹣72）÷（﹣2）＝36；
（2）原式＝﹣1﹣（12?23）×3×（﹣2+27）﹣|18?14|＝﹣1﹣（?16）×3×25?14+18＝﹣1+252?18=918． 变式42 计算：
（1）6﹣（﹣14）+（﹣16）+18
（2）（?12）×（﹣8）÷（?23）
（3）﹣3573435÷17
（4）0.7×1311?6.6×37?3.2÷73+0.7×911
（5）﹣12019?{(?3)3?[6?|?512÷119?72|÷(?2)]}
【分析】（1）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘除法可以解答本题；
（3）根据乘法分配律可以解答本题；
（4）先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律可以解答本题；
（5）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【解析】（1）6﹣（﹣14）+（﹣16）+18＝6+14+（﹣16）+18＝22；
（2）（?12）×（﹣8）÷（?23）=?12×8×32 ＝﹣6；
（3）﹣357
3435÷17＝﹣（357+3435）×117＝﹣21?235＝﹣21235； （4）0.7×
1311?6.6×37?3.2÷73+0.7×911 ＝0.7×（
1311+911）﹣6.6×37?3.2×37 ＝0.7×2211?（6.6+3.2）×37＝1.4﹣9.8×37
＝1.4﹣5.2＝﹣3.8； （5）﹣12019?{(?3)3?[6?|?512÷119?72
|÷(?2)]} ＝﹣1﹣{（﹣27）﹣[6﹣|?112×911?72|×（?12）]} ＝﹣1﹣{（﹣27）﹣[6﹣|?92?72|×（?12）]}
＝﹣1﹣[（﹣27）﹣（6+8×12）]＝﹣1+27+（6+4）＝﹣1+27+10＝36．
必考点15有理数中的实际应用
对于应用题理解题意是解决此类题型的关键.
例题15某天早上，一辆交通巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km）
第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次
+15﹣8+6+12﹣4+5﹣10
（1）巡逻车在巡逻过程中，第次离A地最远．
（2）B地在A地哪个方向，与A地相距多少千米？
（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？
【分析】（1）根据有理数的加法运算，分别计算出每次距A地的距离，可得离A地最远距离；
（2）根据有理数的加法运算，可得正数或负数，根据向东记为正，向西记为负，可得答案；
（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据总价＝单价×数量即可求解．
【解析】（1）第一次距A地：15千米，
第二次距A地：15﹣8＝7千米，第三次距A地：7+6＝13千米，
第四次距A地：13+12＝25千米，第五次距A地：25﹣4＝21千米，
第六次距A地：21+5＝26千米，第七次距A地：26﹣10＝16千米，
26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，答：巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远；
（2）15﹣8+6+12﹣4+5﹣10＝16（千米），答：B地在A地东方，与A地相距16千米；
（3）|+15|+|﹣8|+|+6|+|+12|+|﹣4|+|+5|+|﹣10|＝60（千米），
60×0.2＝12（升），12×7＝84（元）．答：这一天交通巡逻车所需汽油费84元．
变式43在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，﹣8，+9，﹣6，+14，﹣5，+13，﹣4．
（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；