微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详细讲解
第9章
习题9-1
1． 判定下列级数的收敛性：
(1) 1
1
5n n a ∞
=?∑（a ＞0）； (2)
∑∞
=-+1
)1(
n n n ;
(3) ∑∞
=+13
1
n n ; (4)
∑∞
=-+1
2)1(2n n
n
; (5) ∑∞
=+11ln n n n
; (6)
∑∞
=-12)
1(n n
;
(7) ∑∞
=+11
n n
n ; (8)
0(1)21
n n n
n ∞
=-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1||1a <,即1a >时，级数收敛，当1
||1a
≥即01a <≤时，级数发散.
（2）
Q n S =+++L
1=
lim n n S →∞
=∞
∴
1
n ∞
=∑发散.
（3）113
n n ∞
=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11
n n ∞
=∑发散，故原
级数
1
1
3n n ∞
=+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22
2n n n
n n n n ∞
∞-==??
+--=+ ???∑∑ 而11
12n n ∞
-=∑,1(1)2m n
n ∞=-∑是公比分别为1
2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知111(1)2
2n n n n ∞
-=??
-+ ???∑收敛，即原级数收敛.
（5）Q ln
ln ln(1)1
n
n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞
=-∞,所以级数
1
ln 1n n
n ∞
=+∑发散.
（6）Q 2210,2n n S S +==-
∴
lim n n S →∞
不存在，从而级数1
(1)2n n ∞
=-∑发散.
（7）Q 1
lim lim
10n n n n U n
→∞
→∞+==≠
∴ 级数
1
1
n n n ∞
=+∑发散. （8）Q (1)(1)1
, lim 21212
n n n n n n U n n →∞--==++
∴ lim 0n x U →∞
≠，故级数1(1)21
n n n
n ∞
=-+∑发散.
2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：
(1) ∑∞
=??? ??+13121n n n ； (2) ※
∑∞
=++1
)2)(1(1
n n n n ; (3) ∑∞
=?1
2sin n n n π
; (4)
π
cos
2
n n ∞
=∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞
∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112
3n n n ∞
=??
+ ???∑收敛，且其
和为1+
12=3
2
. （2）Q
11121(1)(2)212n n n n n n ??
=-+ ?++++??
∴121112111211121122322342345212n S n n n ????????=
-++-++-+++-+ ? ? ? ?++????????
L
11112212n n ??=-+ ?++??
1lim 4n n S →∞
=
故级数收敛，且其和为14
. （3）πsin 2n U n n =,而π
sin
ππ2lim lim 0π222n n n U n
→∞→∞=?=≠，故级数1
πsin
2n n n ∞
=?∑发散. （4）π
cos 2
n n U =,而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞==,42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-
故lim n n U →∞不存在，所以级数
π
cos
2
n n ∞
=∑发散. 3※
． 设
1n
n U
∞
=∑ (U n ＞0)加括号后收敛，证明
1
n
n U
∞
=∑亦收敛．
证：设
1
(0)n
n n U
U ∞
=>∑加括号后级数1
n n A ∞
=∑收敛，其和为S .考虑原级数1
n n U ∞
=∑的部分和
1
n k k S U ∞
==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=L ，故存在0n ,使
1
1
n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑
又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim n
n S →∞
存在，即原级数
1
n
n U
∞
=∑亦收敛.
习题9-2
1． 判定下列正项级数的收敛性：
(1) ∑∞
=++1n n n )2)(1(1
; (2)
∑
∞
=+1n n n 1; (3) ∑∞
=++1n n n n )2(2; (4)
∑
∞
=+1n n n )
5(12
；
(5) 1
11n
n a
∞
=+∑ (a ＞0); (6) ∑∞
=+1
n n
b
a 1
(a , b ＞0);
(7)
(
)
∑∞=--+1n a n a n 2
2 (a ＞0); (8)
∑∞
=-+1
n n
n 1
21
4
； (9) ∑∞
=?1n n
n n 23； (10) ※
∑∞
=1
n n
n n !; (11) ∑∞
=+????+????1
n n n )13(1074)
12(753ΛΛ; (12)
∑∞
=1
n n n
3； (13) ※
∑∞
=1n n n 22
)!(2； (14)
∑∞
=??? ?
?+1n n
n n 12; (15)
∑∞
=1
πn n
n
3sin
2
; (16) ∑
∞
=1
π
n n n n 2cos 3
2
．
解：（1）因为211
(1)(2)n n n <++而211n n
∞=∑收敛，由比较判别法知级数11(1)(2)n n n ∞
=++∑收
敛.
（2
）因为lim lim
10n n n U →∞
→∞
==≠，故原级数发散. （3）因为21
(1)(1)1n n n n n n n +>=+++，而111
n n ∞
=+∑发散，由比较判别法知，级数
1
2
(1)n n n n ∞
=++∑发散. （4）
3
2
1n
<
=
,
而
1
n ∞
=是收敛的p -
级数3
(1)2
p =
>,由比较判别法知,
级数
1
n ∞
=收敛.
（5）因为1
1
1lim lim lim(1)111n n n n n n n n a a a a
a
→∞→∞→∞+==-++ 11112001
a a a >???
==??<
而当1a >时，11n n a ∞
=∑收敛，故11
1n
n a
∞
=+∑收敛; 当1a =时，11
n n a
∞
=∑=
1
1n ∞
=∑发散，故1
1
1n
n a ∞
=+∑
发散; 当01a <<时1lim
101n n a →∞=≠+，故1lim
1n
n a →∞+发散; 综上所述，当01a <≤时，级数1lim 1n n a →∞+发散，当1
a >时，1
lim 1n
n a →∞+收敛. （6）因为1lim lim lim(1)1n n n n
n n n n
b a a b a b a b b →∞→∞→∞+==-++
1
1111
01b b a b >???==?+?<时, 1
1n n b ∞
=∑收敛，故11
n
n a b ∞
=+∑收敛; 当1b =时，1111n n n b ∞∞===∑∑发散，故而由0a >, 1
01a <<+∞+,故11n
n a b ∞
=+∑也发散; 当01b <<时，11
lim 0n n a b a →∞=≠+故1
1n n a b ∞
=+∑发散; 综上所述知，当01b <≤时，级数11n n a b ∞
=+∑发散;当b >1时，级数11
n
n a b
∞
=+∑收敛. （7
）因为n n n
→∞=
0n a ==>
而11n n ∞
=∑
发散，故级数1
0)n a ∞
=>∑发散.
（8）因为43443
1121lim lim 1212
n n n n n n n n →∞→∞++-==-
而31
1n n ∞
=∑收敛，故级数21121n n n ∞
=+-∑收敛.
（9）因为1113233
lim lim lim 1(1)232(1)2n n n n n n n n n
U n n U n n +++→∞→∞→∞??==>+?+由达朗贝尔比值判别法知，级数1
32n
n
n n ∞
=?∑发散. （10）因为11(1)!1
lim lim lim(1)1(1)!n n n n n n n n
U n n e U n n n ++→∞→∞→∞+=?=+=>+，由达朗贝尔比值判别
法知，级数1!
n
n n n ∞
=∑发散.
（11）因为1357(21)(23)4710(31)
lim
lim 4710(31)(34)357(21)n n n n
U n n n U n n n +→∞→∞????+?+????+=?????+?+????+L L L L
232
lim
1343
n n n →∞+==<+,
由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.
（12）因为111311
lim lim lim 1333n n n n n n n
U n n U n n ++→∞→∞→∞++=?==<，由达朗贝尔比值判别法知，
级数
13
n
n n
∞
=∑收敛. （13）因为2
222
1221(1)[(1)!]2(1)lim lim lim (!)22n n n n n n n n
U n n U n +++→∞→∞→∞++=?= 由2212121(1)2(1)1
lim lim lim 222ln 22ln 2
x x x x x x x x x +++→∞→+∞→+∞+++==??
212
1lim 022(ln 2)x x +→+∞==?知2
121(1)lim lim 012n n n n n
U n U ++→∞→∞+==<
由达朗贝尔比值判别法知，级数
2
21
(!)2
n n n ∞
=∑
收敛.
（14
）因为1lim 1212n n n n →∞==<+，由柯西根值判别法知级数121n
n n n ∞
=??
?+??
∑收敛.
（15）因为ππ
2sin
sin 33lim lim 1π2π
33n n n
n n n n n
→∞→∞==?
而112233n
n n n n ∞
∞
==??
= ???
∑∑是收敛的等比级数，它的每项乘以常数π后新得级数12π3n n n ∞=?∑仍收敛，
由比较判别法的极限形式知，级数
1
π
2sin
3n n
n ∞
=∑收敛. （16）因为
2
π
cos 322n n n n n ≤而与（12）题类似地可证级数1
2n n n ∞
=∑收敛，由比较判别法知级数
1
π
cos 32n
n n n ∞
=∑
收敛.
2． 试在(0，+∞)讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：
(1) ∑∞
=1
n n
n x ; (2)
n
n x n ∑∞
=??? ??1
23． 解：（1）因为11lim lim lim 11n n n n n n n
U x n nx
x U n x n ++→∞→∞→∞=?==++
由达朗贝尔比值判别法知，当1x >时，原级数发散;
当01x <<时，原级数收敛; 而当1x =时，原级数变为调
1
1
n n ∞
=∑，它是发散的. 综上所述，当01x <<时，级数1
n
n x n ∞
=∑收敛.
（2）因为1
31
3(1)2lim
lim 2
2n n n n n n
x n U x
U x n ++→∞→∞
??
+? ?
??==
??? ???
,由达朗贝尔比值判别法知，当12x >即
2x >时，原级数发散;
当012
x
<
<即02x <<时，原级收敛. 而当12x =即 2x =时，原级数变为31n n ∞=∑，而由3
lim n n →∞=+∞知31
n n ∞
=∑发散，综上所述，
当02x <<时，级数
31()2n
n x n ∞
=∑收敛.
习题9-3
1． 判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：
(1) ∑∞
=--1
121
)1(n n
n ; (2)
11
(1)2
(1)2n n n
n ∞
-=-+-?∑; (3) ∑∞
=12
sin n n nx
; (４) 1
1
1π
(1)sin πn n n n
∞
+=-∑; (5) ∑∞
=-??? ??-11210121
n n n ； (6)
∑∞
=+-1
)1(n n x n ; (7) ∑∞
=?1
!)
2sin(n n n x ．
解：（1）这是一个交错级数121n U n =
-, 1
lim lim 021
n n n U n →∞→∞==-, 111
2121n n U U n n +=>=-+ 由莱布尼茨判别法知1
1(1)21n
n n ∞
=--∑. 又1111(1)2121n n n n n ∞∞==-=--∑∑，由1
121lim 12n n n
→∞-=,及11n n ∞=∑发散，知级数1121
n n ∞
=-∑发散，所以级数
1
1
(1)21
n
n n ∞
=--∑条件收敛. （2）因为2111
(1)211
(1)22(1)2
n n n n n ----+-=+-?-?,故 11111
(1)21111
(1)22(1)22(1)2n n n n n n n n n ------+--=+≤+-?-?-?
1113
222n n n
-=
+=
而112n n ∞
=∑收敛，故132n n ∞
=∑亦收敛，由比较判别法知11(1)2(1)2n n n
n ∞-=-+-?∑收敛，所以级数11(1)2
(1)
2n n n n ∞
-=-+-?∑绝对收敛. （3）因为22sin 1,nx n n ≤而级数21
1n n ∞=∑收敛，由比较判别法知2
1sin n nx
n ∞
=∑收敛，因此，级数
2
1
sin n nx
n ∞
=∑绝对收敛. （4）因为1
21ππ
|(1)sin |sin πlim
lim 11π
n n n n n n n n
+→∞
→∞-==
而211n n
∞
=∑收敛，由比较判别法的极限形式知，级数111π|(1)
sin |πn n n n ∞
+=-∑收敛，从而级数1
1π
(1)sin πn n n
+-绝对收敛. （5）因为212121111111210210210n n n n n n ----≤+=+,而级数11
2n
n ∞
=∑收敛的等比级数1()2q =;由比值判别法，易知级数211110n n ∞-=∑收敛，因而2111
12
10n n n ∞
-=??+ ???∑收敛，由比较判
别法知级数
211
11210n n n ∞
-=-∑
收敛，所以原级数211112
10n n n ∞
-=-∑绝对收敛. （6）当x 为负整数时，级数显然无意义；当x 不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因1
1
n x n ∞
=+∑发散，故原级数当x 不为负整数时仅为条件收敛.
（7）因为
sin(2)1
!!
n x n n ?≤ 由比值判别法知11!n n ∞
=∑收敛(Q 1
(1)!
lim 01!
n n n →∞+=)，从而由比较判别法知1
sin(2)!n n x n ∞=?∑收
敛，所以级数1
sin(2)
!n n x n ∞
=?∑，绝对收敛.
2． 讨论级数
∑∞
=--1
1
1
)
1(n p n n
的收敛性(p ＞0)． 解：当1p >时，由于
1
1
111(1)
n p p n n n n ∞
∞-==-=∑∑收敛，故级数11
1(1)n p n n ∞
-=-∑绝对收敛. 当01p <≤时，由于111,(1)
n n p p u u n n +=
>=+ lim 0n n u →∞=,由莱布尼茨判别法知交错级数1
11(1)
n p n n ∞
-=-∑收敛，然而，当01p <≤时，11111(1)n p p n n n n
∞∞
-==-=∑∑发散，故此时，级数1
1
1
(1)n p
n n ∞
-=-∑条件收敛. 综上所述，当01p <≤时，原级数条件收敛;当p >1时，原级数绝对收敛.
3※
． 设级数
∑∞
=1
2n n
a
及
∑∞
=1
2
n n
b
都收敛，证明级数
∑∞
=1
n n
n b
a 及
()∑∞
=+1
2
n n n
b a
也都收敛．
证：因为2222
||||110||222
n n n n n n a b a b a b +≤≤
=+ 而由已知1n
n a ∞
=∑及2
1
n n b ∞
=∑都收敛，故221111,22n n n n a b ∞
∞==∑∑收敛，从而2211122n n n a b ∞
=??
+ ???∑收
敛，由正项级数的比较判别法知
1n n
n a b
∞
=∑也收敛，从而级数
1
n n
n a b
∞
=∑绝对收敛.又由
2
2
2
()2,n n n n n n a b a a b b +=++及2
2
11,n n n n a b ∞
∞
==∑∑,以及1
n n n a b ∞
=∑收敛，利用数项级数的基本性
质知，2
2
1
(2)n
n n n n a
a b b ∞
=++∑收剑，亦即21
()n n n a b ∞
=+∑收敛.
习题9-4
1． 指出下列幂级数的收敛区间：
(1) ∑∞
=0
!n n
n x (0!=1)； (2)
∑∞
=0
!n n
n x n n ； (3) ∑∞
=?022n n n
n
x ； (4)
∑∞
=++-0
1212)1(n n n
n x ．
(5) ∑∞=?+0
2)2(n n n
n x ； (6)
∑∞
=-0)1(2n n n
x n
． 解：（1）因为1
1
1(1)!
lim
lim lim 01
1!
n n n n n
a n p a n n +→∞
→∞→∞+====+，所以收敛半径r =+∞，幂级数1!
n
n x n ∞
=∑的收敛区间为(,)-∞+∞. （2）因为-1
11lim lim lim 1e 11n n
n n n n n
a n p a n n +→∞→∞→∞??===-= ?++??，所以收敛半径1e r p ==. 当x =e 时，级数01!!e n n n n n n n n x n n ∞
∞===∑∑，此时11(1)n n n u e u n
+=+，因为1(1)n
n +是单调递增
数列，且1(1)n
n
+ 1 n n u u +>1,从而lim 0n n u →∞≠，于是级数当x =e 时，原级数发散. 类似地，可证当x =-e 时，原级数也发散(可证lim ||0n n u →∞ ≠),综上所述，级数 0!n n n n x n ∞ =∑的收敛区间为(-e,e). （3）因为2111 lim lim ()212 n n n n a n p a n +→∞ →∞===+,所以收敛半径为r =2. 当2x =时，级数22101 2n n n n x n n ∞ ∞===?∑∑是收敛的p 一级数（p =2>1）; 当x =-2时，级数2201 1(1)2n n n n n x n n ∞ ∞ ===-??∑∑是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件， 故它收敛. 综上所述，级数202n n n x n ∞ =?∑的收敛区间为[-2,2]. （4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间. 令21(1)21n n n x u n +=-+，则2 2121lim lim 23n n n n u n x x u n +→∞→∞+=?=+. 当2 1x <时，即||1x <时，原级数绝对收敛. 当2 1x >时，即||1x >时，级数0 ||n n u ∞ =∑发散，从而21 0(1)21n n n x n +∞ =-+∑发散，当1x =时， 级数变为01(1)21n n n ∞ =-+∑;当1x =-时，级数变为1 1(1)21n n n ∞ +=-+∑;它们都是交错级数，且 满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛. 综上所述，级数21 (1)21n n n x n +∞ =-+∑的收敛区间为[-1,1]. （5）此级数为（x +2）的幂级数. 因为11lim lim 2(1)2 n n n n a n p a n +→∞ →∞===+. 所以收敛半径1 2r p = =，即|2|2x +<时，也即40x -<<时级数绝对收敛.当|2|2x +>即4x <-或0x >时，原级数发散. 当4x =-时，级数变为 1 (1)n n n ∞ =-∑是收敛的交错级数， 当x =0时，级数变为调和级数 11 n n ∞ =∑,它是发散的. 综上所述，原级数的收敛区间为[-4,0). （6）此级数（x -1）的幂级数 12lim lim 21 n n n n a n p a n +→∞ →∞===+ 故收敛半径1 2r = . 于是当1|1|2x -<即13 22x <<时，原级数绝对收敛. 当1|1|2x ->即12x <或3 2 x >时，原级数发散. 当3 2x =时，原级数变为01n n ∞ =∑是调和级数，发散. 当12x =时，原级数变为1 1(1)n n n ∞=-∑，是收敛的交错级数. 综上所述，原级数的收敛区间为13, 22?????? . 2． 求下列幂级数的和函数： (1) ∑∞ =-1 )1(n n n n x ； (2) ∑∞ =-11 22n n nx ； (3) n n x n n ∑ ∞ =+1) 1(1 ； (4) ∑∞ =+0 )12(n n x n ． 解：（1）可求得所给幂级数的收敛半径r =1. 设1 ()(1)n n n x S x n ∞ ==-∑,则 1 11 1()(1)(1)1n n n n n n x S x x n x ∞ ∞ -=='??'=-=-=-??+??∑∑ ∴001 ()()d d ln(1) (||1)1x x S x S x x x x x x -'===-+<+?? 又当x =1时，原级数收敛，且()S x 在x =1处连续. ∴1 (1)ln(1) (11)n n n x x x n ∞ =-=-+-<≤∑ （2）所给级数的收敛半经r =1，设21 1 ()2n n S x nx ∞ -== ∑,当||1x <时，有 21 210 11 ()d 2d 2d x x x n n n n S x x nx x nx x ∞ ∞ --====∑∑? ? ? 2 22 1 1n n x x x ∞ == =-∑ 于是2222 2()1(1) x x s x x x '??== ?--?? 又当1x =±时，原级数发散. 故 2122 1 22 (||1)(1) n n x nx x x ∞ -== <-∑ （3）可求所给级数的收敛半径为1. 令1 11 1()(0)(1)(1)n n n n x x s x x n n x n n +∞ ∞====≠++∑∑ 令11()(1)n n x g x n n +∞ ==+∑,则1 1 1()1n n g x x x ∞ -=''==-∑ 01 ()d ()(0)d 1x x g x x g x g x x ''''=-=-? ? (0)0,()ln(1)g g x x ''==-- ()d ()(0)ln(1)d ,(0)0x x g x x g x g x x g '=-=--=? ? 所以0 ()ln(1)d ln(1)ln(1)x g x x x x x x x =- -=+---? ; 所以1()11ln(1),||1,S x x x x ?? =+--< ??? 且0x ≠. 当1x ±时，级数为11(1)n n n ∞ =+∑和1 1(1)(1)n n n n ∞ =-+∑,它们都收敛.且显然有(0)0S =. 故111ln(1)(1,0)(0,1) ()00,1x x S x x x x ??? +--∈-?? ?=?? ??=±? . （4）可求得所给级数的收敛半径为r =1且1x ±时，级数发散，设1 ()n n S x nx ∞ -== ∑, 则 1 ()d .1x n n s x x x x ∞ === -∑? 于是211()()1(1)S x x x '==--,即1 2 1 1(1)n n nx x ∞ -==-∑. 所以 1 1 1 (21)2n n n n n n n x x nx x ∞ ∞ ∞ -===+=+∑∑∑ 22 1112(1)1(1)x x x x x +=?+=--- (||1)x < 3． 求下列级数的和： (1) ∑∞ =12 5 n n n ； (2) ∑∞ =-12 )12(1 n n n ； (3) ∑∞ =--1122 1 2n n n ； (4) 1 (1) 2n n n n ∞ =+∑． 解：（1）考察幂级数 21 n n n x ∞ =∑，可求得其收敛半径1r = ，且当1x ±时，级数的通项2n n u n x =， 2 lim ||lim n n n u n →∞ →∞ ==+∞，因而lim 0n n u →∞ ≠，故当1x ±时，级数21 n n n x ∞ =∑发散，故幂级数 21 n n n x ∞ =∑的收敛区间为（-1，1）. 设21() (||1)n n S x n x x ∞ == <∑，则211 ()n n S x x n x ∞ -==∑ 令2 1 11 ()n n S x n x ∞ -== ∑,则 110 1 1 ()d x n n n n S x x nx x nx ∞∞ -====∑∑? . 再令1 21 ()n n S x nx ∞ -== ∑,则 20 1 ()d 1x n n x S x x x x ∞ === -∑? . 故221()(||1)1(1) x S x x x x ' ??==< ?--??，从而有120()d (1)x x S x x x =-?. 123 1() (||1)(1)(1)x x S x x x x '??+==< ?--?? 于是 2 13 ()() (||1)(1) x x S x xS x x x +==<- 取15x =，则22 3111() 11555()5532115n n n S ∞ =+===?? - ??? ∑. （2）考察幂级数 211 21 n n x n ∞ =-∑，可求得收敛半径r =1，设 2211111() (||1)2121 n n n n S x x x x x n n ∞ ∞ -====<--∑∑ 令21111()21n n S x x n ∞ -==-∑,则2212 1 1()1n n S x x x ∞ -='==-∑. 120 0d 11()d ln 1-21x x x x S x x x x +'==-? ? 即 1111()(0)ln (,(0)0)21x S x S s x +-= =-. 于是 111()ln ,(||<1)21x S x x x +=-，从而 11()()ln (||1)21x x S x xS x x x +==<- 取x = 则11(21)2 1n n S n ∞ ===-∑ = （3）考察幂级数 21 1 (21)n n n x ∞ -=-∑，可求得其级数半经为r =1,因为 21 21 211 1 1 (21)2n n n n n n n x nx x ∞ ∞ ∞ ---===-=-∑∑∑ 令21 11 ()2n n S x nx ∞ -== ∑，则 22120 1 ()d 1x n n x S x x x x ∞ ===-∑? . 所以21222 2() (||1)1(1)x x S x x x x '??==< ?--?? ,于是 21 21 211 1 1 (21)2n n n n n n n x nx x ∞ ∞ ∞ ---===-=-∑∑∑ 3 22222 2 (||1)(1)1(1)x x x x x x x x += -=<--- 取1 2 x = ，得 3212111() 1211022 12291()2n n n S ∞-=+-??=== ?????- ?? ?∑. （4）考察幂级数 1 (1)n n n n x ∞ =+∑，可求得其收敛半径r =1. 设1 ()(1) (||1)n n S x n n x x ∞ == +<∑ 则 1 2 1 1 1 ()d x n n n n S x x nx x nx ∞ ∞ +-====∑∑? . 又设1 11 ()n n S x nx ∞ -== ∑则 10 1 ()d 1x n n x S x x x x ∞ === -∑? . 从而12 1()1(1)x S x x x ' ??== ?--?? , 2 2 12 ()d ()(1)x x S x x x S x x ==-? 223 2() ||1(1)(1) x x S x x x x '??==< ?--?? 取1 2 x = ，则 311 21(1)2822112n n n n S ∞=? +??=== ????? - ??? ∑ 习题9-5 1． 将下列函数展开成x 的幂级数： (1) 2cos 2 x ; (2) 2sin x ； (3) 2 x x -e ; (4) 211x -； (5)πcos()4 x -． 解：（1）22 01cos 11cos (1)2222(2)! n n n x x x n ∞=+==+-∑ 21 1(1) (-)2(2)!n n n x x n ∞ ==+-∞<<+∞∑ （2）21 01sin (1) ()2(21)!2n n n x x x n +∞=?? =--∞<<+∞ ? +?? ∑ （3）2 22100 11e ()(1) ()!!x n n n n n x x x x x n n ∞ ∞ -+===-=--∞<+∞∑∑ （4） 211111211x x x ?? =+??--+?? 000 2011(1)221[(1)] 2 ||1 n n n n n n n n n n n x x x x x x ∞∞ ==∞=∞ ==+-=+-=<∑∑∑∑ （5）πππcos cos cos sin sin 444 x x x ??- =+ ?? ? 221 0(cos sin )2 (1) ()2(2)!(21)!n n n n x x x x x n n +∞== +??=-+-∞<<+∞??+?? ∑ 2． 将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间： (1) x -31,在x 0＝１； (2) cos x,在x 0=3 π ; (3) 3412++x x ,在x 0=1; (4) 21 x , 在x 0＝３． 解：（1）因为111 1 3212 x x =? ---,而 0111 (||112212 n n x x x ∞ =--?? =< ?-??-∑即13x -<<). 所以100111(1) (13)3222 n n n n n x x x x ∞∞ +==--??=?=-<< ?-??∑∑. 收敛区间为：（-1，3）. （2）π ππ2π2cos cos ()cos cos()sin sin()3 33333x x x x ??=+-=---? ??? 22100()()133(1)(1)2(2)!2(21)! n n n n n n x x n n ππ +∞ ∞ ==--=-+-+∑∑ 221011(1)()[)2(2)!3(21)!3n n n n x x n n ππ∞+=??=--+-? ?+?? ∑ ()x -∞<<+∞ 收敛区间为(,)-∞+∞. （3） 211111111 ()11 43213481124 x x x x x x =-=?-? --++++++ 00 1111(1)(1)4284n n n n n n x x ∞∞==--????=--- ? ?????∑∑ 2230 1 1(1)(1)22n n n n n x ∞ ++=??=--- ???∑ 由 112x -<且1 14 x -<得13x -<<，故收敛区间为（-1，3） （4）因为011113(1)()333313n n n x x x ∞=-=?=-?-+∑ 1 (3)(1)3n n n n x ∞ +=-=-∑ 而21 011(3)(1)3n n n n x x x ∞+=''??-??=-=-- ??????? ∑ 1 11(1)(3)3 n n n n n x ∞ -+=-=-?-∑ 11 11(1)(3)3n n n n n x +∞ -+=-=-∑ 2 (1)(1)(3)3n n n n n x ∞ +=-+=-∑ 由 3 13 x -<得06x <<. 故收敛区间为（0，6）.