电动力学第二章郭硕鸿第三版

第二章 静 电 场

静电场：静止电荷或电荷分布不随时间变化产生的电场

一．主要内容：应用电磁场基本理论解决最简单的问题：电荷静止或电荷分布不随时间变化，产生的场不随时间变化的静电场问题。

本章研究的主要问题是：在给定自由电荷分布及介质和导体分布的情况下如何求解静电场。由于静电场的基本方程是矢量方程，求解很难，并不直接求解静电场的场强，而是通过静电场的标势来求解。

首先根据静电场满足的麦克斯韦方程，引入标势，讨论其满足的微分方程和边值关系。在后面几节中陆续研究求解：分离变量法、镜像法和格林函数法。最后讨论局部范围内的电荷分布所激发的电势在远处的展开式。

知 识 体 系：

1.静电场的微分方程：0=⨯∇E

D ρ∇⋅= 边值关系：()

12-⨯E E n

()

21n D D σ⋅-=

静电场的能量：12W E DdV ∞=

⋅⎰1

2

V W dV ρϕ=⎰ 2.静电边值问题的构成：

引入电势：

12

212

1

S S

S

S

n

n

ϕ

ϕϕϕεεσ

⎧=⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩

2

1122121

S S S S S S n n n

ρϕεϕϕϕϕεεσϕϕ⎧∇=-⎪⎪

=⎪⎪

∂∂⎨-=-⎪∂∂⎪

∂⎪⎪∂⎩

或

3．静电边值问题的基本解法： （1）镜像法 （2）分离变量法

条件：电势满足拉普拉斯方程：20ϕ∇= （3）电多极矩 (4) 格林函数法 二．内容提要：

1．静电场的电势及其微分方程： （1）电势和电势梯度

因为静电场为无旋场,即0=⨯∇E

，所以可以引入标量函数ϕ，引入

后

ϕ-∇=E

电势差：空间某点电势无物理意义，但两点间电势差有意义

选空间有限两点Q P →

⎰

⋅-=-Q

P

P Q l d E ϕϕ

参考点：

（1）电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点

)(0

∞→=∞Q ϕ ⎰

∞⋅=P

P l d E ϕ

（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。

电荷分布在有限区域时的几种情况的电势

（1） 真空中点电荷

300()44P

Qr Q

P dl r r

ϕπεπε∞

'=⋅='⎰

无限大均匀线性介质中点电荷 ： r

Q πεϕ4=

（2） 电荷组 ： ∑

==n

i i

i r Q P 1

04)(πεϕ

（3） 连续分布电荷：无穷远处为参考点

⎰

'

'=V

r

V d x P 04)()(περϕ

（2）电势满足的微分方程和边值关系

泊松方程：ε

ρ

ϕ-=∇2

○

1 其中ρ仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。 ○2对0=ρ的区域：电势满足拉普拉斯方程：20ϕ∇= 边值关系

A.两介质界面上边值关系

⎪⎩

⎪

⎨⎧-=∂∂-∂∂=σ

ϕεϕεϕϕS

S S

S n n 1

12221

B.导体与介质界面上的边值关系

.S const n

ϕϕ

εσ=⎧⎪

∂⎨=-⎪∂⎩

n S

S

S

S

E Q dS dS n

n σϕ

ϕ

ε

σε∂∂⇒=

=-=-=∂∂⎰⎰

C.导体与导体界面上的边值关系

12212

1S S S S n n ϕϕϕϕσσ⎧=⎪

⎨∂∂=⎪∂∂⎩

其中12,σσ 是导体的电导率 （3）静电场的能量

（S 为分界面）

1

2W E DdV ∞

=

⋅⎰ 用电势表示： 1

2V

W dV ρϕ=

⎰ 注意：○

112

ρϕ不是静电场的能量密度; ρ是自由电荷密度,而ϕ则是空间所有电荷的电势

○2 12

V

W dV ρϕ=⎰只适用于静电场。 2．唯一性定理： A ．均匀单一介质

当区域V 内自由电荷分布ρ（x）已知，ϕ满足ε

ρ

ϕ-=∇2，

若V 边界上S ϕ已知，或V 边界上

S

n ∂∂ϕ

已知，则V 内场（静电场）唯一确定。 B. 均匀单一介质中有导体

当区域V 内有导体存在，给定导体之外的电荷分布ρ（x），当○

1S ϕ或S

n ∂∂ϕ

已知，○

2每个导体电势i ϕ或带电量，则V '内电场唯一确定。 静电边值问题的构成：

2

1122121

S S S S S S n n n

ρϕεϕϕϕϕεεσϕϕ⎧∇=-⎪⎪

=⎪⎪

∂∂⎨-=-⎪∂∂⎪

∂⎪⎪∂⎩

或

3．静电边值问题的基本解法： （1）镜像法：

理论依据：唯一性定理，采用试探解的方法。

1．镜像法概念、条件

镜像法：用假想点电荷来等效地代替导体或介质边界面上的面电

荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。

条件：①所求区域内只能有少许几个点电荷（只有点电荷产生的

感应电荷才能用点电荷代替。）或是简单的连续分布。

②导体边界面形状规则，具有一定对称性。 ③给定边界条件。

要求：①做替代时，不能改变原有电荷分布（即自由点电荷位置、

Q 大小不

——边界条件