电动力学-第二章静电场
电动力学第二章
R r
y
r R l 2 Rl cos
2 2 2
2l
x -Q
求近似值：
r R 1 2l cos / R 1 2l cos R (1 ) R l cos 2 R
(l R)
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos 2 2 2 2 r r r r R l cos R
1 R 2 / M 2 1 1 R 2 / M 2 1 0 P P0 lim ln 1 R 2 / M 2 1 1 R 2 / M 2 1 M 4 0 0
R2 1 R2 1 2 1 2 M 2M R02 R P P0 ln 2 ln 4 0 R 2 0 R0
2Ql cos 2QlR cos PR ( P) 2 3 3 4 0 R 4 0 R 4 0 R
x- y
平面为等势面（Z = 0的平面）。
若电偶极子放在均匀介质 中（无限大介质）：
均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电 荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与 束缚偶极子产生的势的迭加，设 Q p 为束缚电荷， 0 0 0 Q p (1 )Q Pp 2QP l ez 2Ql ez ( 1) ( 1) P
（4） W
1 dV中的 是由电荷分布 激发的电势； 2
（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有
独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。 （6）若全空间充满了介电常数为ε的介质，可得到电荷 分布ρ所激发的电场总能量
1 ( x) 1 ( x ) ( x) W ( x )dV dV dV r dV 2 4 r 8 与 点的距离。 式中r为 x x
电动力学-第二章练习题
第二章一、选择题1、 静电场的能量密度等于（ ） A ρϕ21 B E D ⋅21 C ρϕ D E D ⋅ 2、下列函数（球坐标系a 、b 为非零常数）中能描述无电荷区电势的是（ ）A a 2rB a b r +3C ar(2r +b)D b ra + 3、真空中两个相距为a 的点电荷1q 和2q ，它们之间的相互作用能是（ ） A a q q 0218πε B a q q 0214πε C a q q 0212πε D aq q 02132πε 4、电偶极子p 在外电场e E 中所受的力为（ ）A (∇⋅P )e EB —∇(⋅P e E )C (P ⋅∇)e ED (eE ⋅∇)P5、电导率为1σ和2σ，电容率为1ε和2ε的均匀导电介质中有稳恒电流，则在两导电介质面上电势的法向微商满足的关系为（ ） A n n ∂∂=∂∂21ϕϕ B σϕεϕε-=∂∂-∂∂n n 1122 C nn ∂∂=∂∂2211ϕσϕσ D n n ∂∂=∂∂122211σσϕσ 6. 用点像法求接静电场时，所用到的像点荷___________ 。
A) 确实存在；B) 会产生电力线；C) 会产生电势；D) 是一种虚拟的假想电荷。
7.用分离变量法求解静电场必须要知道__________ 。
A) 初始条件；B) 电场的分布规律；C) 边界条件；D) 静磁场。
8.设区域V 内给定自由电荷分布)(x ρ，S 为V 的边界，欲使V 的电场唯一确定，则需要给定（ ）。
A. S φ或S n ∂∂φB. S QC. E 的切向分量D. 以上都不对9.设区域V 内给定自由电荷分布()ρx ,在V 的边界S 上给定电势s ϕ或电势的法向导数s n ϕ∂∂，则V 内的电场（ ）A ． 唯一确定 B. 可以确定但不唯一 C. 不能确定 D. 以上都不对10.导体的静电平衡条件归结为以下几条,其中错误的是( )A. 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面B. 导体内部电场为零C. 导体表面电场线沿切线方向D. 整个导体的电势相等11.一个处于x ' 点上的单位点电荷所激发的电势)(x ψ满足方程（ ）A. 2()0x ψ∇=B. 20()1/x ψε∇=-C. 201()()x x x ψδε'∇=-- D. 201()()x x ψδε'∇=-12.对于均匀带电的球体，有（ ）。
电动力学 第2章 2-4
3、线电荷对无限大导体平面的镜像
位于无限大接地导体平面附近的无限长直线电荷问题也可由镜像 法求解。设线电荷距导体平面为h，单位长度带电荷ρl ，则其像 电荷仍是无限长线电荷，其中像电荷的线密度为 ρl ’=- ρl ，像 电荷的位置为z’=-h 在z>0的上电Q，则还需要在球心放置一个点电荷Q。
3、球内点电荷的镜像
在半径为a的接地导体球壳内，有一点电荷q，它与球心相距为d (d<a),如图所示。求球内的电位分布和球面上总感应电荷。 解：与点电荷位于导体球外的情况做类似的 处理。这里像电荷q’应位于导体球壳 外 且在球心与点电荷q的连线的延长线上， 如图所示。设像电荷距球心为d，同样 有 球壳内任一点的电位则为
§2.4
镜像法(电象法)
在许多静电场问题中，电荷位于导体表面附近、或位于电介质 分界面附近。对这类问题，直接求解泊松方程（或拉普拉斯方 程）会遇到很大困难，这时可采用镜像法间接求解。 镜像法是一种间接求解方法，它是在所求解的场区域以外的空 间中某些适当的位置上设置适当的等效电荷（称为像电荷）， 在保持场域边界面上所给定的边界条件下，用像电荷替代导体 面上或介质面上的复杂电荷分布，把求解边值问题转换为求解 无界空间的问题。 根据唯一性定理，只要由源电荷与像电荷共同产生的位函数既 满足场域内的泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足边界上所 给定的边界条件，则这个位函数就是唯一正确的解。
在介质分界面z＝0处，电位满足边界条件
总
结：
（１）点电荷对导体平面的镜象 一个点电荷Q，若距无限大的电位为零的导体平面为d， 则其镜象电荷为在平面另一侧，距平面为d处的点电荷-Q。 （２）点电荷对导体球的镜象 一个点电荷Q，若离半径为a的接地导体球球心为d，则其 镜象电荷Q’位于球心及Q所在点的联线上，距球心为b， a 并且 a2 Q Q ' = − b= d d （３）点电荷对电介质平面的镜像 其中：q’位于点电荷的异侧， q’’位于点电荷的同侧。
电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用).
电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇AA A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(AA ⨯∇=⨯∇证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R ）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
电动力学第三版答案
电动力学第三版答案第一章：静电学1.1 静电场静电场是由电荷所产生的场，它是一种无时间变化的电磁场。
静电场的性质可以通过电场强度、电势和电荷分布来描述。
电场强度表示单位正电荷所受到的力，并且是一个向量量。
在任意一点的电场强度可以通过库仑定律计算。
电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。
电势可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。
1.2 电场的高斯定律电场的高斯定律是描述电场在闭合曲面上的通量与该闭合曲面内的电荷有关系的定律。
它可以通过以下公式表示：\[ \oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} \, ds =\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \]其中，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(\mathbf{n}\) 是曲面上的单位法向量，\(ds\) 是曲面上的微元面积，\(Q_{\text{enc}}\) 是闭合曲面内的总电荷，\(\varepsilon_0\) 是真空电容率。
1.3 电势电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。
它可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。
电势可以通过以下公式计算：\[ V = - \int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \]其中，\(V\) 是电势，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(d\mathbf{l}\) 是路径上的微元长度。
1.4 静电场中的导体在静电场中，导体内部的电场强度为零。
当导体受到外部电场作用时，其表面会产生等效于外部电场的电荷分布，这种现象被称为静电感应。
静电感应可以通过以下公式来计算表面电荷密度：\[ \sigma = \mathbf{n} \cdot \mathbf{E} \]其中，\(\sigma\) 是表面电荷密度，\(\mathbf{n}\) 是表面法向量，\(\mathbf{E}\) 是外部电场强度。
电动力学
4. 磁场的散度
磁场的通量
磁场的散度 S 任意
S B dS 0
S B dS V ( B)dV 0
B 0
恒定磁场的另一基本方程。
B 0J
B 0
结论： 恒定磁场 ——无源，有旋
5. 例题（p.13 例）
电流 I 均匀分布于半径为 a 的无穷长直导线内，求空
间各点磁感应强度，并由此计算磁场的旋度。
1. 介质的概念
介质
分子
原子核：正电荷 电子： 负电荷
电中性 分子电流杂乱
宏观物理量 ← 微观量的平均 （宏观无穷小 内包含 大量的微观粒子）
外场
正负电荷相对位移，极性分子取向 —— 极化
分子电流取向规则化
—— 磁化
束缚电荷（极化电荷）→ 附加电场 E’
诱导电流（磁化电流等）→ 附加磁场 B’
2. 介质的极化
r
dV
'
JdV ' JdSdl Idl
B( x)
0 4
Idl
r
r3
3. 磁场的环量和旋度
安培环路定理：
L B dl 0I 0 S J dS
磁场的旋度
L B dl S ( B) dS
S 任意
B 0J
讨论： (1) 安培环路定理的微分形式，恒定磁场的基本方程 (2) 某点磁场的旋度只与该点的电流密度有关
）
t
(1) 法拉第电磁感应定律的微分形式
(2) 感应电场是有旋场
(3) 感应电场是由变化磁场激发的
2. 位移电流
电荷守恒定律
J
0
非恒定电流
磁场旋度
t
B 0J
矛盾！？
B 0 J 0
电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用).
电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：2. 设是空间坐标的函数，证明：，，证明：3. 设为源点到场点的距离，的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：；；；，。
（2）求，，，，及，其中、及均为常向量。
4. 应用高斯定理证明，应用斯托克斯（Stokes）定理证明5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为，利用电荷守恒定律证明p的变化率为：6. 若m是常向量，证明除点以外，向量的旋度等于标量的梯度的负值，即，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
8. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。
9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。
10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，今在两板接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度和；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。
(若介质是漏电的，电导率分别为和当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？12.证明：（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足其中和分别为两种介质的电导率。
13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。
电动力学-静电场4
2 ，并满足如下定解条件：
1
2
2
2
1
1
0
Q ( x a, y, z)
2 0
a
x
1 1
R R0
2 2
Q Q Q
哈尔滨工程大学理学院
镜像法
1
1 4 1 1 4
2
第二章 静电场
R0
2
Q
R0
[
(x a) y z
2 2
2
Q (x a) y z
2 2 2
]
x0
Q (x a) y z
2 2 2 x0
Q
1
Q
我们所说的象，然后把物和象在场点处的贡献迭加起 来，就是我们讨论的结果。
哈尔滨工程大学理学院
镜像法
第二章 静电场
2、镜象法的理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所 研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的 “象电 荷” 来代替真实的导体感应电荷或介质的极化电荷对 场点的作用。 在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件
1
2换成1
r'
P(x,y,z) R r
P(x,y,z)
2
y
r"
o
1换成2
Q' b o
S
θ a Q x
R S
c Q" x
右半空间
哈尔滨工程大学理学院
左半空间
镜像法 在x>0的区域，空间一点的电势为
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En为平均值,有限值
导体
• 内部E=0,ρ=0,导体内部是等势体,表面是 等势面
E 0 0
常量, .
n
ε是导体外的介质电容率；σ为导体 表面的电荷面密度
静电问题的介质分类
处理静电问题时,需要分介质和导体两种类型
介质中的自由分布电荷不变,但束缚电荷是介
质与电场相互作用的结果
P
• (2)电势的法线方向偏导数
n |S
则V内的电势由泊松方程和边值关系唯一确定。
2 i
给定
i j
n由j指向i
i
n
i
j
n
j
给定
2．有导体存在时的唯一性定理
定理二:己知区域V内的电荷分布、区
域V的边界面上的φ或 n 值及每
个导体上的总电荷Qi或导体的电势φi,则 区域V内的电势分布有泊松方程及介质 分界面上的边值关系唯一地确定。
R r 4dr Q2
0
8 0
1 R r 2 dr
Q2 Q2 3Q2
40 0a 8 0a 20 0a
a→0?
电子的经典半径
• 电子半径为re,静电能数量级为
e2
We 40re
根据质能关系 W mc2
取We=W e2
re 40mc2
2.81015 m
关于静电能的说明
We W自 W互
第二章 静电场
在给定的电荷和介质条件下通过标势求解静电场
• §2-1 静电场的标势及其微分方程
• §2-2 唯一性定理
• §2-3 拉普拉斯方程 分离变量法
• §2-4 镜像法
• §2-5 格林函数 • §2-6 电多极矩
讲方法同时讲例题 用例题加深理解
§2-1 静电场的标势 及其微分方程
• 1．静电场的标势 • 2．标势的微分方程和边值关系 • 3．静电场能量的标势表示
rr r2
r r l cos
ql cos 40r 2
pr rr
4 0 r 3
记住！ p r qlr cos
一个极性原子的电场
E
pr
4 0 r 3
1
4 0
pr r3
1
4 0
3
p r rr
r5
pr r3
p rr r3
1 r3
p
rr
p
rr
1 r3
p rr pr pr为常矢量
选取无穷远为电势为零的参考点
单位电荷从无穷远处 移到P点外界所作的功
分布电荷的标势 根据叠加原理
E
r
q
4
r r3
r q C
4 r
1 r
r r3
r 1
4
N i 1
rqi
ri
C
r 1
4
V
r
r r
dV C
可以用等位面形象地表述电势的 分布,点电荷的等位面是同心球面
E垂直于等位面,指向电势下降最 快的方向。
P
e
D
1
1
P
导体中的电荷会自动重新分配,直到导体内部
电场强度处处为零
导体的静电条件
• 1、导体内电场为零 • 2、导体内不带净电荷(如果有电荷必
然有电场),电荷只能分布在导体表面 • 3、导体表面上电场必沿法线方向,导
体表面为等势面,整个导体为等势体
3、静电场能量
对于静电场,总能量
由 1 ED H B.
r r r r 角动量密度
M r E B 0
光子的自 旋和轨道 角动量
涡旋光束与光的角动量
电荷在直流电路中的分布
问题：为 什么在电 源两边分 布着正负 电荷
Why is Maxwell’sTheory so hard to understand?
FREEMAN DYSON
professor of physics at the Institute for Advanced Study in Princeton
• 将各带电体qi从无穷远处移到现有位置所 作的功W互
• 将各带电体从无穷分散状态汇聚成qi所作 的功W自
• 两点电荷之间的相互作用能
W互
1 2
q121 q212
1 q1q2
4 0 r12
自能呢？
多个点电荷的相互作用能
W互
1
40
n i1
i1 qiq j r j1 ij
1 n
8 0 i1,i j
P 0
E
0
dl
0
E0
xr.
φ0为坐标原点的电 势,x为P点的位矢。
等位面？
例二．求电偶极
子激发的电场
取-q所在处为坐标
原点,y轴沿电矩p
的方向(p=ql),r+,r和r分别为+q,-q和
电偶极子中心到观
察点P的矢径
q
4 0 r
q
4 0 r
q
4 0
r r r r
r>>l 时 θ是p与r-间夹角
R
E2
dr
qf
4 0 r
K
0
ln
R r
0
K
0
,r
R
§2-2 唯一性定理
• 1．静电问题的唯一性定理 • 2．有导体存在时的唯一性定理
给出静电问题求唯一解的条件
一个矢量场被唯一确定的条件
• 问题：已知哪些条件,就可以完全决定一个 矢量场
• 设 矢有量一在区V中域每V,一其点边的界散面度为、闭旋合度面及S,矢若量已知ar
E
E指向“减少”最快的方向
l
r l
r E
r dl
l
电势的物理意义
单位电荷在某个 位置的电势能
Ñ E dl 0
L
积分与路径C无关,由此可以引
进只与起始位置决定的静电势
E dl E dl
C1
C2
P2 P1
P2 P1
E dl
电势的差具
注意负号
有物理意义
r
Pr
(P) P E dl E dl
0 0 r2
0
P e0E, D 1 e 0E E
E1
P
0
K
0
rr r2
,r
R
E2
qf
4 0
rr r3
KR
0 0
rr r3
,r
R
E1
P
0
K
0
rr r2
,r
R
E2
qf
4 0
rr r3
KR
0 0
rr r3
,r
R
2
r
E2
dr
qf
4 0 r
0
KR
0
r
,r
R
1
R
r E1 dr
在 Sar面 上 的x, 法y, z线 分量在V内 ar r x, y, z 在V内
an f M
在S面上
ρ、 r 、f为已知函数
则可以证明,由条件可以完全决定矢量,
与矢量场唯一 性问题的关系
1．静电问题的唯一性定理
• 定理一:设已知V内自由电荷
分布,在V的边界S上给定
• (1)电势 或 S
习题1.14问题
• 1、轴对称,且电荷只分布在导体面
介质中
D dS dV
S
V
D
f 2r
eˆ
r E
f 2
eˆ
Jf
E
f
2
eˆ
r JD
D t
1
2
eˆ
f
t
J 0
t
ÑS J
dS
V
t
dV
2J f
f
t
2
f 2
f
r JD
1
2
eˆ
f
t
1
2
eˆ f
J f
例四,半径R电介质球,电容率ε,极化强度
n qiq j r j1 ij
• 计算—维正负离子相间的链状晶体的结合
能 .离子间距离为a,带电为±q,第i个粒子受
到的静电相互作用能为
W
1
8
q
2q
a
2q
2a
2q
3a
2q
4a
L
1
8
2q2
a
N 1n
n1 n
晶体是放在介电常数为ε的介质中,当离子数N→∞时
Wi
q2
4
a
x
x2 2
x3 3
P Kr r 2
2.1题
求束缚电荷、自由电荷、电势
P
P
K r2
P
en
P2
P1
err
P
rR
K R
1指介质, 2为真空
qP
K V r 2 dV
K
R 0
4 r
r2
2
dr
4
KR
K
q R
4 R2
4 KR
f
0
P
0
K r2
1.9题结论
qf
V
f dV
0
K
1 dV r rR 2
K R 4 r2 dr 4 KR
• 两均匀区界面上 • 区域V的边界S上
i
n
i
j
n
j
0
或
0
S
S
S
n S n S n S
r
Ñ 第i个均匀区Vi的界面Si积分 Si i dS
Ñ r
Si i dS
Vi i dV
Vi i 2 dV