05-测量数据处理

第二节测量不确定度的评定与表示

1.重点

测量不确定度的评定与表示。

2、本节内容

统计技术的应用，评定测量不确定度的步骤和方法;

3、考纲要求

根据测量不确定度评定与表示方法，分析测量不确定度的来源，评定测量结果的a 类和b类标准不确定度分量，处理不确定度分量间的相关性，计算合成标准不确定度，确定测量结果的扩展不确定度。

知识点：统计技术应用

（一）概率分布

概率分布(p)是一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率随取值而变化的函数，该函数称为概率密度函数。概率分布通常用概率密度函数随随机变量变化的曲线来表示“概率分布曲线”

测量值x落在区间[a，b]内的概率p可用式(3－32)计算

(3－32)

式中，p(x)为概率密度函数，数学上积分代表面积。

由此可见，概率p是概率分布曲线下在区间[a，b]内所包含的面积，又称包含概率或置信水平。

当p=0.9，表明测量值有90%的可能性落在该区间内，该区间包含了概率分布下总面积的90%。在(－∞ ~ +∞)区间内的概率为1，即随机变量在整个值集的概率为1；

当p=1(即概率为1)表明测量值以100%的可能性落在该区间内，也就是可以相信测量值必定在此区间内。

(二)概率分布的数学期望、方差和标准偏差 1.期望 ——μ

期望又称(概率分布或随机变量的)均值(mean)或期望值，有时又称数学期望。常用符号μ表示，也可用e(x)表示被测量x 的期望。离散随机变量的期望为

连续随机变量的期望为

式中，p(x)为概率密度函数，数学上积分代表面积。

期望是在无穷多次测量的条件下定义的，通俗地说：无穷多次测量的平均值。期望是概率分布曲线与横坐标轴所构成面积的重心所在的横坐标，所以期望是决定概率分布曲线位置的量。

对于单峰、对称的概率分布来说，期望值在分布曲线峰顶对应的横坐标处。因为实际上不可能进行无穷多次测量，因此测量中期望值是可望而不可得的。

2．方差

——σ2

（随机变量或概率分布的）方差用符号σ2 表示

测量值与期望值之差是随机误差，用δ表示，δi =x i －μ，方差就是随机误差平方的期望值。

测量值x的方差还可写成v(x)，是随机变量x的每一个可能值对其期望e(x)的偏差的平方的期望，也就是测量的随机误差平方的期望

已知测量值的概率密度函数时，方差可表示为

当期望值为零时方差可表示成

方差说明了随机误差的大小和测量值的分散程度。

但由于方差是平方，使用不方便、不直观，因此引出了标准偏差这个术语。

3．标准偏差

——σ

（概率分布或随机变量的）标准偏差是方差的正平方根值，用符号σ表示，又可称标准差。

标准偏差是表明测量值分散性的参数，σ小表明测量值比较集中，σ大表明测量值比较分散。

4．用期望与标准偏差表征概率分布

期望和方差是表征概率分布的两个特征参数。

由于方差不便使用，通常用期望和标准偏差来表征一个概率分布。

——μ影响概率分布曲线的位置；

对于单峰、对称的概率分布来说，期望值在分布曲线峰顶对应的横坐标处。

——σ影响概率分布曲线的形状，表明测量值的分散性。

（σ小表明测量值比较集中，σ大表明测量值比较分散。）

期望与标准偏差都是以无穷多次测量的理想情况定义的，无法由测量得到μ和σ2，因此都是概念性的术语。

(三)有限次测量时的算术平均值和实验标准偏差 1.算术平均值

算术平均值x 是有限次测量时概率分布的期望μ的估计值。

由大数定理证明，若干个独立同分布的随机变量的平均值以无限接近于1的概率接近于其期望值μ，所以算术平均值是其期望的最佳估计值。因此，通常用算术平均值作为被测量的最佳估计值，即作为测量结果。

在相同条件下对被测量x 进行有限次n 的重复测量，得到一系列测量值x l ，x 2，…，x n ，其算术平均值为

算术平均值是有限次测量的平均值，它是由样本构成的统计量，它也是有概率分布的。

2.实验标准偏差

用有限次测量的数据得到的标准偏差的估计值称为实验标准偏差，用符号s 表示。实验标准偏差s 是有限次测量时标准偏差σ的估计值。最常用的估计方法是贝塞尔公式法，即在相同条件下，对被测量x 作以次重复测量，每次测得值为x i ，测量次数为n ，则实验标准偏差按式(3－41)估计

式中：

－－－－－－－n 次测量的算术平均值；

vi=xi —

——残差(是测量值与算术平均值之差)；

v=n —1——自由度；

s(x)——(测量值x 的)实验标准偏差。

在给出标准偏差的估计值时，自由度越大，表明估计值的可信度越高。

[(n —1)越大，1/ n —1值越小，则其s(x)值也越小]

(四)正态分布

正态分布又称高斯分布，其概率密度函数p(x)为

1.正态分布的特性

正态分布曲线：正态分布图，具有如下特征： ①单峰：概率分布曲线在均值μ处具有一个极大值；

②对称分布：正态分布以x= －μ为其对称轴，分布曲线在均值μ的两侧是对称的； ③当x ∞ 时，概率分布曲线以x 轴为渐近线；

④概率分布曲线在离均值等距离(即x=μ±σ)处两边各有一个拐点； ⑤分布曲线与x 轴所围面积为1，即各样本值出现概率的总和为1； ⑥μ为位置参数，σ为形状参数。

由于μ，σ能完全表达正态分布的形态，所以常用简略符号x~n(μ,σ)表示正态分布。

当μ=0,σ=1时表示为x~n (0，1)，称为标准正态分布。

2.正态分布的概率计算

测量值x 落在[a,b]区间内的概率为

式中，u=（x －μ）/σ。

，称为标准正态分布函数，见表3－7。

表3－6标准正态分布函数表(摘录)

令δ=x －μ，若设，由于u=（x －μ）/σ，即：u=δ/σ=±3，u 1=z 2=3，按公

式计算

同样，

由此可见，区间[－2σ，2σ]在概率分布曲线下包含的面积约占概率分布总面积的95%左右。也就是：当k=2时，置信概率为95.45%。

用同样的方法可以计算得到正态分布时测量值落在[u －k σ, u+k σ]置信区间内的置信概率，如表3－7所列。置信概率与k 值有关，在概率论中k 被称为置信因子。表3－7 正态分布时置信度概率与k 值的关系

z 1.0

2.0

2.58

3.0 φ(z)

0.84134

0.97725

0.99506

0.99865

置信概率 0.5 0.6827 0.9 0.95 0.9545 0.99 0.9973 置信因子 0.675

1.645

1.96

2.576