第十四章模糊数学分析方法
第2讲 模糊数学方法解析
22
2020年9月23日
三、模糊聚类分析方法
1. 数据标准化 (1)获取数据
设论域U {x1, x2 ,, xn}为所需分类的对象，每个对象又
由 m 个指标表示其性态，即 xi {xi1, xi2 ,, xim }(i 1,2,, n) ，
则 A
xij
．
nm
(2) 数据的标准化处理
定义 2 设模糊集 A, B F(U ) ，其隶属函数为 A (x), B (x) , (1) 若 x U ，有 B (x) A (x) ，则称 A 包含 B ，记 B A；
(2) 若 A B 且 B A，则称 A 与 B 相等，记为 B A ．
定义 3 设模糊集 A, B F(U ) ，其隶属函数为 A (x), B (x) , 则称 A B 和 A B 为 A 与 B 的并集和交集；称 Ac 为 A 的补集
的过渡点，即是模糊性最大的点．
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一、模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 (1) 模糊集与隶属函数的定义
对一个确定的论域U 可以有多个不同的模糊集，记 U 上的模糊集的全体为 F (U ) ，即
F(U ) {A | A : U [0,1]}
则 F (U ) 就是论域U 上的模糊幂集，显然 F (U ) 是一个 普通集合，且U F(U ) ．
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二、模糊关系与模糊矩阵
3. λ－截矩阵与传递矩阵
定义 8 设 R (rij )mn 为模糊矩阵，对任意的 [0,1] ．
(1)
如果令 rij ()
1, rij 0, rij
i 1,2,, m j 1,2,, n
模糊分析法
模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法。
该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。
它具有结果清晰,系统性强的特点,能较好地解决模糊的、难以量化的问题,适合各种非确定性问题的解决。
模糊集合理论的概念于1965 年由美国自动控制专家查德（L．A． Zadeh）教授提出，用以表达事物的不确定性。
编辑本段模糊综合评价法的术语及其定义为了便于描述，依据模糊数学的基本概念，对模糊综合评价法中的有关术语定义如下：1．评价因素（F）：系指对招标项目评议的具体内容（例如，价格、各种指标、参数、规范、性能、状况，等等）。
为便于权重分配和评议，可以按评价因素的属性将评价因素分成若干类（例如，商务、技术、价格、伴随服务，等），把每一类都视为单一评价因素，并称之为第一级评价因素（F1）。
第一级评价因素可以设置下属的第二级评价因素（例如，第一级评价因素“商务”可以有下属的第二级评价因素：交货期、付款条件和付款方式，等）。
第二级评价因素可以设置下属的第三级评价因素（F3）。
依此类推。
2．评价因素值（Fv）：系指评价因素的具体值。
例如，某投标人的某技术参数为120，那么，该投标人的该评价因素值为120。
3．评价值（E）：系指评价因素的优劣程度。
评价因素最优的评价值为1（采用百分制时为100分）；欠优的评价因素，依据欠优的程度，其评价值大于或等于零、小于或等于1（采用百分制时为100分），即0≤E≤1（采用百分制时0≤E≤100）。
4．平均评价值（Ep）：系指评标委员会成员对某评价因素评价的平均值。
平均评价值（Ep）=全体评标委员会成员的评价值之和÷评委数5．权重（W）：系指评价因素的地位和重要程度。
第一级评价因素的权重之和为1；每一个评价因素的下一级评价因素的权重之和为1 。
6．加权平均评价值（Epw）：系指加权后的平均评价值。
数学建模方法详解--模糊数学
数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。
例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。
随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。
模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。
本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。
1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。
在此，总是假设问题的论域是非空的。
为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。
对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。
于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。
所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。
模糊数学方法
0.5 u1 0.9 u2 1 u3 0.8 u4 1 u5
A B 0.2 u1 0.6 u2 0.4 u4
A 0.8 u1 0.4 u2 0.2 u4 1 u5
AB 0.1 u1 0.54 u2 0.32 u4
A B 0.7 u1 1 u2 1 u3 1 u4 1 u5
u A (u) uB (u)
交集：若 D A B ，则对一切 u U ，有
其中 和 分别表示“取大”和“取小”运算。除上述运算 外，还有一些模糊集之间的代数运算也是常用的： 代数积：AB 记为，其隶属函数 u AB 规定为
uD min[u A (u), uB (u)] u A (u) uB (u)
九 管理学科中的主要应用领域
在软科学方面,模糊技术已用到了投资决策、 企业效益评估、区域发展规划、经济宏观 调控、中、长期市场模糊预测等领域.模糊 理论将大大促进软科学的科学化、定量化 研究.比如东京的Yamaichi Securities用模 糊逻辑系统去管理大型的股票有价评证,该 系统使用了约一百条规则去作买进和卖出 决策.
例如： “明天的气温是30摄氏度的概率是0.9” “明天高温的可能性是0.9”
五
模糊数学的广泛应用性
• 软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等 • 地震科学方面：地震预报、地震危害分析 • 工业过程控制方面：模糊控制技术是复杂系统控制的有效 手段 • 家电行业：模糊家电产品,提高了机器的“IQ” • 航空航天及军事领域：飞行器对接C3I指挥自动化系统， NASA • 人工智能与计算机高技术领域：模糊推理机、F专家系统、 F数据库、F语言识别系统、F机器人等，F-prolog、F-C等 • 其它：核反应控制、医疗诊断等
模糊决策与分析方法
当f 为非单射，如图，f (x1) f (x2 ) y，
但A (x1) 0，A (x2 ) 1，显然应有： f (A) ( y) 1。
因此应有： f (A) ( y)
f
(x)
y
A
(
x)
（2）扩张原理：设映射f : X Y，模糊集A X，则
A经f 映射后为Y中模糊集f ( A)， f (A) ( y) sup A (x)。
f (x)y
直观解释：
y
f (x)
f (A)
x
A
x
对于有限论域X x1， ，xn，sup即为。
例2：设X 1，2，……，6，Y a，b，c，d，
a，x 1，2，3 f (x) b，x 4，5
c，x 6
A 1 0.2 0.1 0.9 13 5 6
x m
u u
0
x [l，m] x [m，u] x (，l) (u， )
则称I为三角模糊数，l和u分别称为下、上界。
记为I (l，m，u)。
例6中的两个模糊数均为三角模糊数。
对称的三角模糊数
在三角模糊数I的隶属函数
xl
m
l
I
(
x)
x m
性质：(1)A是凸模糊集 A的任意截集A是一个区间， [0，1]。
证： 对任 [0，1]，若x，z A，即A (x) ，A(z) 。 不妨设x z，则对任y [x，z]，A ( y) A (x) A (z) ，
y A，这说明，若两点在A中，则以两点为端点的整 个区间也包含于A， A只能是一个区间。（注：这里关 键要证是一个区间而非多个）。
模糊数学方法
经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延 的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明 确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的， 决不能模棱两可。
但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。由 于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着 复杂性出现。
各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学” 的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向 中心地位。
0.6 0.6 0.5 B x1 x2 x3
d A, B 0.8 0.6 0.4 0.6 0.7 0.5 0.6 1 A, B d A, B 0.2 3 e A, B 0.2 3 A, B 0.2 A和 B 的 在有限论域X上有两个模糊子集 A 和 B ，
2 2 A 2 A, A e A, B n n
x x
i 1 A i B i
n
2
1 0 1 A x1 x2 x3
1 1 0 B x1 x2 x3
A, A 0.3 B, B 0.433 A 0.6 B 0.866
欧几里得距离定义如下： 绝对欧几里得距离： e A, B
x x
i 1 A i B i
n
2
1 相对欧几里得距离： A, B e A, B n
怎样用距离来描述一个模糊集合的模糊程度呢？要定 义一个跟 A 最贴近的集合，这个集合用来 A 表示，如 A 的相应元素的隶属度 果 A 里某元素的隶属度>0.5， 为1，如果<=0.5，则相应的隶属度为0，即
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
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模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
模糊数学及加权系数法
模糊数学及加权系数法
模糊数学是一种数学分支，它用来处理那些不确定或模糊的信息。
在传统的数学中，所有的变量都有确切的值，但在现实世界中，很多情况下我们无法准确地给出某个变量的确切值，这时就需要用
到模糊数学。
模糊数学的核心概念是模糊集合和隶属函数，它们可
以描述模糊的概念和模糊的关系。
模糊数学在控制系统、人工智能、决策分析等领域有着广泛的应用。
加权系数法是一种常用的决策分析方法，它是一种多属性决策
方法。
在加权系数法中，我们首先确定各个属性对最终决策的重要
程度，然后为每个属性赋予一个权重，最后将各属性的取值乘以对
应的权重并求和，得到最终的综合评价值。
这种方法简单直观，易
于实施，因此在实际决策中得到了广泛的应用。
模糊数学和加权系数法之间的关系在于，模糊数学可以用来处
理那些属性之间关系模糊的情况。
在传统的加权系数法中，我们通
常假设各个属性之间的关系是确定的，但在现实情况中，这些关系
往往是模糊的。
因此，我们可以利用模糊数学的方法来描述这种模
糊关系，然后将模糊数学的概念和方法引入到加权系数法中，从而
使得我们能够更准确地处理那些模糊的属性之间的关系，提高决策
的准确性和可靠性。
总的来说，模糊数学和加权系数法都是决策分析中重要的工具，它们可以相互结合，使得我们能够更好地处理那些模糊的信息和关系，从而更好地进行决策分析。
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Y= X ~
~
×R
~
= （0.167，0.333，0.417，0.083）
二、模糊综合评判的原理 （1）确定评价指标集合论域U： （2）确定评语集合论域V：
R=
~
r11 r21 rm1
r12 … r1n r22 … r2n rm2 … rmn
其中0≤rij≤1，1≤i≤m，1≤j≤n。 模糊矩阵是研究模糊关系的重要工具，当它用来表示模糊关系时，其中 rij表示集合A中第i个元素和集合B中第个j元素之间的关联程度，例14-7中小组 成员外语成员与外语学科的关联程度可以用如下矩阵形式表示它们之间的模糊 关系。
2、集合的基本运算 并集、交集、差集、补集。 三、模糊集合及其隶属函数 1、模糊集合：无明确边界的集合。 2、模糊集合的特点：把原来普通集合对类属、性态的非此即彼的绝对属于 或不属于的判定，转化为对类属、性态做从0互1不同程度的相对判定。 3、隶属函数：为了将普通集合与模糊集合加以区别，把模糊集合的特征函 数称为隶属函数。
第二节 隶属函数的确定
一、隶属函数的分布统计求法 利用统计试验计算隶属函数或隶属度的步骤： 1、确定集合的因素 2、选择部分学生进行试验 3、找出各因素数据中的最大值和最小值算出分组组距、计算数据落在各 组中的数，根据次数分布情况确定较为适合的隶属度。 二、对比平均法求隶属函数
设论域U={x1，x2， x3，… ，xn} 论域中各因素之间按照某一种性为标准，以每两个因素为一组，判定它们各自们归 属这一标准的程度，并用符号g(xi,xj)表示(i,j=1，2，…，n)。 三、模糊统计法求隶属函数 模糊统计法的步骤： （1）确定论域与因素集。 （2）要求参与实验者就论域中各给出的点是否属于因素集的各元素进行投票。 （3）统计投票结果，求出隶属函数。
隶属函数 的确定
模糊综合 评判方法
模糊聚类 分析方法
第一节 模糊数学分析的基本概念
在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里 所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、 某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候 对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就属于模糊的概
其中，“∧”表示rij与sij相比较后取较小者 “∨”表示rij与sij相比较后取较大者
五、模糊关系合成图解法 图解法计算模糊关系的合成的步骤： 1、画出关系合成图 2、在图中找出xi到zj的各种可能途径； 3、在同一路径中相比较取隶属度最小者作为该路径 的隶属度； 4、把路径所取得隶属度中最大者作为qij的元素值； 5、画出模糊关系合成矩阵。
例14-7 设有一组同学（徐X，张X，王X），他们选修英，日，俄，法四种外语中 的任几门，他们选修和结业成绩如下： 徐X 英语 85 徐X 日语 70 徐X 俄语 75 张X 英语 90 王X 英语 70 王X 法语 80
用A表示学生集合：A={徐X，张X，王X}， 用B表示语种集合：B={英，日，俄，法}。 若用成绩除以100折合成隶属度来描述掌握外语的程度，则由如表14.10可以构 造出一个在A×B直积空间中存在的模糊关系 R ，用它来表示小组成员“掌握外 ~ 语程度”的模糊关系。 表14.10 掌握外语的程度 英语 徐X 张X 王X 0.85 0.90 0.70 俄语 0.75 0 0 日语 0.70 0 0 法语 0 0 0.8
第四节 模糊综合评判方法 一、模糊变换 1、模糊向量 对于一个有限模糊集合X可以表为： X = {x ，x ，x ，…，x } ~ 1 2 3 n xi是各元素相应的隶属度 R (xi)，其中0≤xi≤1 ~ （i=1，2，…，n）对于只有一行的模糊矩阵又可以 看成模糊向量，如： X = {x1，x2，x3，…. ，xn}是一个模糊向量 ~ 2、模糊变换 现有一个模糊矩阵： R ={ rij}，其中0≤rij≤1, ~ X × R =Y称为模糊变换。
3、归一化处理 由于
Y~中各元素之源自，即 y =1，为了保证处理后 y ≠1，需
i i 1 1
m
m
要进行归一化处理，其方法是取Y’i=
yi
y
1
n
，故有：
i
Y’i=0.2/1.2=0.167 Y’i=0.4/1.2=0.333 Y’i=0.5/1.2=0.417 Y’i=0.1/1.2=0.083 经归一化后的模糊变换结果为：
R=
~
0.85 0.90 0.70
0.70 0 0
0.70 0 0
0 0 0.80
三、模糊关系矩阵的运算 设 和 S 是A×B中模糊关系。 ~ ~
R
（1）
R和 S
~
的并。
~
R
~
∪
S
~
=(rij∨sij)
（2）
R和 S
~ ~
的交。
~ ~
R
~
∨
S
~
=(rij∩sij)
（3）
R和 S
的补。
R=(1－Rij) S=(1－Sij)
二、模糊矩阵
1、矩阵 矩阵可以用来表现关系，如果集合A有m个元素，集合B有n个元素、我 们可以用矩阵R来表示由集合A到集合B的关系
r11 R= r21 rm1 r12 … r1n r22 … r2n rm2 …rmn
其中rij=0或1，1≤i≤m，1≤j≤n。
2、模糊矩阵 当论域A×B为有限集时，模糊关系可以用矩阵形式 来表示，该矩阵元素rij 仅在闭区间[0，1]中取值，即0 ≤rij ≤1，此矩阵称为模糊矩阵。
~
~
模糊变换的结果为：
Y={y1，y2，…，ym}
~
式中的各分量：
Yi=
k 1
(xk∧rkj)(k=1,2,…,m)
m
[例14-10]给出
X =（0.2，0.5，0.3），
~
0.2 0 0.2 0.7 0.4 0.2 0.1 0.5 0.4 0 0.1 0.1
R=
~
模糊变换：
× R Y= X ~ ~
模糊数学分 析的基概念 教育技术研究中的不确定性 普通集合及其特征函数 模糊集合及其隶属函数 隶属函数的分布统计求法 对比平均法求隶属函数 模糊统计法求隶属函灵敏 模糊关系与 模糊矩阵 模糊关系 模糊矩阵 模糊关系矩阵的运算 模糊关系的合成 模糊关系合成图解法 模糊变换 模糊综合评判的原理 模糊综合评判应用实例-网络课程评价 模糊聚类分析基本原理 模糊等价矩阵聚类法 最大树法
第三节 模糊关系与模糊矩阵
一、模糊关系 1、关系，描写事物之间联系的数学模型之一就是关系，常用符号“X”来表 示。 2、模糊关系，是普遍关系的推广，普通关系只能描述元素间关系的有无， 而模糊关系则描述元素之间关系的多少。 例14-6 在医学上常用公式：体重B（公斤）=身高A（厘米）－100来表示 标准体重，这就给出了身高（A）与体重（B）的普通关系。 若A={140，150，160，170，180} B={40，50，60，70，80} 身高与体重的普通关系如表14.8所示：
确 定 性
必 然 性
随 机 性
精 确 性
模糊数学
不 确 定 性
以事物性态、类 属边界为判据
模 糊 性
随机性与模糊性的关系
二、普通集合及其特征函数 1、集合的基本概念
论域，被讨论对象的全体叫做论域，对称全域，通常用大写字母U、E、X、Y等 来表示。 元素，组成某一集合的单个对象就称为该集合的一个元素，通常用小写字母表 示。 子集，由同一集合中的部分元素组成一个新集合，称为原集合的一个子集，通 常用大写字母表示。 集合的表示方法，把集合中的全部元素列出，并用括事情把它们括起来表示集 合的全域。
例14-4 设论域U年龄={20，35，50，65}，因素A={年青人，老年人}，20
个人参与投票，结果如表14.7所示：
表14.7投票结果表
U∈A的次数
u
20 20 0
35 16 0
50 2 18
65 0 19
A 年表人 老年人
则有u20对“年青人”这一概念的隶属度： μ20=20/20=1 u20对“老年人”这一概念的隶属度： μ20=0/20=0 所以，μ20={1，0}。同理可求出年龄论域中各点对于因素集的隶属度 μ35={0.8，0} μ50={0.1，0.9} μ65={0，0.95}
~
0.2 = (0.2，0.5，0.3) × 0 0.2 =（0.2，0.4，0.5，0.1）
0.7 0.4 0.3
0.1 0.5 0.4
0 0.1 0.1
式中Y 各分量的计算如下： ~
Y1=(0.2∧0.2)∨(0.5∧0)∨(0.3∧0.2) =0.2∨0∨0.2 =0.2 y2=(0.2∧0.7)∨(0.5∧0.4)∨(0.3∧0.3) =0.2∨0.4∨0.3 =0.4 y3=(0.2∧0.1)∨(0.5∧0.5)∨(0.3∧0.4) =0.1∨0.5∨0.3 =0.5 y4=(0.2∧0)∨(0.5∧0.1)∨(0.3∧0.1) =0∨0.1∨0.1 =0.1
念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一， 且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种 努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965年美国自动控制专 家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。 模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学 在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、 交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋 势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。