高数上复习题1-6章

高数上
第一章 复习题
1. 计算下列极限: (1)2)1( 321lim n
n n -+⋅⋅⋅+++∞→;
(2)35)3)(2)(1(lim n
n n n n +++∞→;
(3))1311(lim 3
1x x x ---→;
(4)x
x x 1sin lim 20→;
(5)x
x x arctan lim ∞→.
(6)145lim
1---→x x x x ;
(7))(lim 22x x x x x --++∞→.
(8)x
x x sin ln lim 0→;
(9)2)11(lim x
x x +∞→;
(10))1(lim 2x x x x -++∞
→;
(11)1)1
232(lim +∞→++x x x x ;
(12)30sin tan lim x
x x x -
→;
2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:
(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;
(2)x x
y tan =, x =k , 2
π
π+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);
3. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0
)(x x a x e x f x
应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？
4. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .
5. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞
→n
n n n n .
6. 已知f (x )=⎩
⎨⎧≥<0 0 sin x x x x , 求f '(x ) .
第二章 复习题
1. 求下列函数的导数:
(1) y =ln(1+x 2);
(2) y =sin 2x ;
(3)22x a y -=;
(4)x
x y ln 1ln 1+-=; (5)x
x y 2sin =; (6)x y arcsin
=; (7))ln(22x a x y ++
=;
(8)x x y +-=11arcsin
.
(9)x x y -+=11arctan ;
(10)x x x y tan ln cos 2
tan ln ⋅-=;
(11))1ln(2x x e e y ++
=;
2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:
(1) y =(sinx)^n
(2) y =x e x .
3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dx
y d
.
4.
求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dx y d :
5. 求下列函数的微分:
(1)21arcsin x y -=;
(3) y =tan 2(1+2x 2);
(3)2211arctan x
x
y +-=;
6. 讨论函数
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
00 1sin )(x x x x x f 在x =0处的连续性与可导性.
第三章 复习题
1.设F(x)=(x-1) 2f(x),其中f(x)在[1,2]上具有二阶导数且f(2)=2,证明:至少存在一点ξ∈(1,2),使得F ”(ξ)=0.
2.设b>a>0,证明：(b-a)/(1+b 2) <arctan b –arctan a<(b-a)/(1+a 2).
3. 用洛必达法则求下列极限: (1)x e e x x x sin lim 0-→-;
(2)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;
(3)x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→;
4. 证明不等式 ：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;
5.判定曲线y=x arctan x的凹凸性:
6.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1)y=xe-x (2) y=ln(x2+1);
7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使
f (ξ)+ξf '(ξ)=0.
第四、五、六章 复习题
1. 求下列不定积分:
(1)⎰dx e x x 3;
(2)⎰+++dx x x x 1
133224;
(3)⎰dt t t sin
;
(4)⎰
-+dx e e x x 1;
(5)⎰
--dx x x 2491;
(6)⎰
-+dx x x )
2)(1(1;.
(8)⎰
-dx x x 92;
(9) ⎰-xdx e x cos ;
(10)⎰dx x 2)(arcsin ;
(11)⎰xdx e x 2sin .
(12)dx x x )1(12+⎰
;
2. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=x a dt t f a x x F )(1)(.
证明在(a , b )内有F '(x )≤0.
3. 计算下列定积分:
(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ; (2)dx x ⎰-2
022;
4. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的
图形的面积.
5.计算曲线y=sin x(0≤x≤π)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.
.。