湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题
【分析】
由等差数列的性质可求得a4=13，a6=9，从而有a4+a6=22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．
【详解】
解：∵在等差数列 中， ， ，
， ，
，
∴数列 的前9项之和 ，
故选：B
【点睛】
本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键，属于基础题．
5．D
【解析】
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
2．下列命题中正确的是（）
A．第一象限角必是锐角；B．相等的角终边必相同；
25．过点Q 作圆C： 的切线，切点为D，且QD＝4．
(1)求 的值；
(2)设P是圆C上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆C的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，设 ，求 的最小值(O为坐标原点).
26．如图， ， ， 是同一平面内的三条平行直线， 与 之间的距离是1， 与 之间的距离是2，三角形 的三个顶点分别在 ， ， 上.
3．A
【分析】
由指数函数的性质，可得函数 恒过点坐标为 ，且函数 是增函数，图象不经过第二象限，得到关于 的不等式，即可求解.
【详解】
由指数函数的性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得t≤–1．故选A．
【点睛】
本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中熟记指数函数的图象与性质，特别是指数函数的图象恒过定点是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2020-2021学年湖南省部分重点高中高二上学期期中联考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省部分重点高中高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．命题“4x ∀>，2log 2x >”的否定是（ ） A ．04x ∃>，20log 2x ≤ B ．4x ∀>，2log 2x ≤ C ．04x ∃≤，20log 2x ≤ D ．4x ∀≤，2log 2x ≤【答案】A【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题“4x ∀>，2log 2x >”为全称命题，该命题的否定为“04x ∃>，20log 2x ≤”.故选：A. 2．抛物线2116y x =的准线方程是（ ） A ．4y = B ．8y =C ．4y =-D ．8y =-【答案】C【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可. 【详解】化为标准方程为216x y =， 易知该抛物线的准线方程为4y =-. 故选：C.3．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.6y x a=+，则ˆa =（ ）A ．4.2B ．4.6C ．4.7D ．4.9【答案】D【分析】求出,x y ，利用样本点的中心必过线性回归方程，代入求解即可. 【详解】由表可得，12345 5.567783, 6.755x y ++++++++====，代入回归直线0.6ˆˆyx a =+， 得ˆ6.70.63a =⨯+， 解得ˆ 4.9a=. 故选：D.4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 22sin cos 0b A a A B -=，则ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】利用二倍角公式以及0A π<<，可得cos cos 0b A a B -=，再利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可判断. 【详解】由sin 22sin cos 0b A a A B -=， 得2sin cos 2sin cos 0b A A a A B -=， 即()2sin cos cos 0A b A a B ⨯-=. 又0A π<<， 则sin 0A ≠，cos cos 0b A a B -=，由正弦定理得sin cos cos sin 0B A B A -=， 即()sin 0B A -=，因为角,,A B C 在ABC 中， 所以A B =. 故选：B.5．已知{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=，则这个数列的前9项和等于（ ） A ．45 B ．452C ．55D ．552【答案】B【分析】利用等差数列的性质得到195a a +=，再利用等差数列的前n 项和公式求解即可.【详解】数列{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=， 则128910a a a a +++=， 所以195a a +=，所以()19994522a a S +⨯==.故选：B.6．已知正数,m n 满足1250.2m n -=，则12m n+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．12【答案】B【分析】由指数函数的性质得出22m n +=，然后由“1”的代换配出积为定值，应用基本不等式求得最小值．【详解】由1250.2m n -=，可得2255m n --=，所以22m n +=，1211214424(2)224222n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当,112m n ==时，取得等号. 故选：B ．7．已知平面向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+，则“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据,m n 的夹角为锐角，可得0m n ⋅>，且,m n 不共线，由此列出不等式组即可求出λ的范围，再根据集合法判断充分条件和必要条件即可. 【详解】若,m n 的夹角为锐角，则0m n ⋅>，且,m n 不共线，则2220m n ⋅=+++>λλ，且2(2)(1)0-++≠λλ，解得43λ>-且0λ≠.所以“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B【点睛】结论点睛：本题考查了已知向量夹角求参数的范围，可按如下规则转化： (1)若向量11(,)ax y ，22(,)b x y 的夹角为锐角，则12120a b x x y y ⋅=+>且12210x y x y -≠；(2) 若向量11(,)ax y ，22(,)b x y 的夹角为钝角，则12120a b x x y y ⋅=+<且12210x y x y -≠；8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F，过原点O 作斜率为3的直线交C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．31+C ．23102+D ．3210+【答案】D【分析】推导出112FOA F AF ，可计算出12F A c =，利用余弦定理求得21022AF c-=，进而可得出该双曲线的离心率为1212F F e AF AF =-，即可得解. 【详解】题可知123FOA π∠=，121AFO F AF ∠=∠，112FOA F AF ∠=∠，112FOA F AF ∴△△， 所以11112FO F A F AF F =，可得12F A c =.在12F AF 中，由余弦定理可得22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅， 即2222220AF c AF c ⋅-=，解得21022AF =.双曲线的离心率为1212F FeAF AF===-.故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、多选题9．已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，点()00,M x y)在抛物线C上，若||4MF=，则（）A．03x=B．y=C．||OM=D．F的坐标为()0,1【答案】AC【分析】先求出焦点F的坐标，再利用抛物线的焦半径公式以及点在抛物线上即可求出00,x y，即可判断.【详解】由题可知：(1,0)F，由014MF x=+=，2004y x=，所以003,x y==±OM===故选：A C.10．已知,,a b c是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线,,c a bαβ⊂⊂，若,a b为异面直线，则下列说法可能成立的是（）A．a与c相交，且b与c也相交B．//aβ，且//bαC．//a c，且b与c相交D．a c⊥，且b c⊥【答案】ACD【分析】根据异面直线的定义与判定判断各选项．【详解】在画异面直线时，用平面衬托直线，一般有如下作法：,a b 是异面直线，且各画在一个平面内，前面一个图形说明A ，D 均可能成立，后面一个图形说明C 可能成立， 既然有⋂=c αβ，则B 就是不可能成立的， 故选：ACD.11．已知点()1,1P -是角α终边上的一点，则（ ）A ．函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()382k x k Z ππ=+∈B ．函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()82k x k Z ππ=+∈C ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭是奇函数 D ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数 【答案】AD【分析】α为第四象限角得tan 1α=-，所以 ()24k k Z παπ=-+∈，可求得()f x 的对称轴方程，可对()g x 的奇偶性进行判断.【详解】根据题意知角α为第四象限角，且tan 1α=-，则()24k k Z παπ=-+∈，所以()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()242x k k Z πππ-=+∈，解得()382k x k Z ππ=+∈，所以函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()382k x k Z ππ=+∈，()()5cos 3cos 3cos34g x x x x παπ⎛⎫=++=+=- ⎪⎝⎭为偶函数. 故选：AD.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，解题的关键点是由P 点坐标求出角α，可得()f x 和()g x 的解析式，要熟悉三角函数的性质才能对选项作出正确的判断.12．已知ln ln x y >，1x ≠，1y ≠，01m <<，则（ ） A ．m mx y > B ．()()111log 1log y x x m y m +++<+ C ．xym m x y > D ．log log 1x m m y ⋅>【答案】AB【分析】由对数函数单调性知0x y >>；令()mf t t =，根据幂函数单调性知A 正确；令()ln f t t t =，利用导数确定()f t 单调性，确定()()()()1ln 11ln 10x x y y ++>++>，结合ln 0m <和换底公式可确定B 正确；由反例可知CD 错误.【详解】由ln ln x y >得：0x y >>.对于A ，令()mf t t =，又01m <<，()f t ∴在()0,∞+上单调递增，m mx y ∴>，A正确；对于B ，令()ln f t t t =，则()ln 1f t t '=+，∴当10,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f t '<；当1,t e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f t '>；∴当10,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f t 单调递减；当1,t e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f t 单调递增；0x y >>，111x y ∴+>+>，()()()()1ln 11ln 10x x y y ∴++>++>， ()()()()1101ln 11ln 1x x y y ∴<<++++，01m <<，ln 0m ∴<，()()()()ln ln 1ln 11ln 1m mx x y y ∴>++++，()()()()1ln 1ln ln 1ln 1y m x m x y ++∴>++，即()()111log 1log y x x m y m +++<+，B 正确； 对于C ，x ymmxy >等价于()()11yx mmxy>，当4x =，3y =时，3464y x ==，4381xy ==，此时0yxx y <<，令()1mf t t =，由01m <<知：()f t 在()0,∞+上单调递增，()()6481f f ∴<， 即()()yxf xf y <，y x mmxy ∴<，C 错误；对于D ，若2x =，12y =，12m =，则21log log 12x m ==-，121log log 12m y ==， 此时log log 10x m m y ⋅=-<，D 错误. 故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数单调性确定不等关系的问题，解题关键是能够根据每个选项不同的特点构造出不同的函数，根据初等函数单调性或利用导数确定函数单调性，进而确定选项所给的不等关系的正误.三、填空题13．在等差数列{}n a 中，已知143,1a a =-=，则7a =_______. 【答案】5【分析】直接利用等差中项求解即可. 【详解】因为147,,a a a 成等差数列， 所以1742a a a +=， 即74125a a a =-=. 故答案为：5.14．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF 的周长是___.【答案】16【分析】根据椭圆的定义求解． 【详解】由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==.故答案为：16．15．已知函数1,0()ln ,0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，若函数()()g x f x a =+恰有一个零点，则a 的取值范围是______. 【答案】(,1)-∞【分析】依题意画出函数图象，函数()()g x f x a =+的零点转化为函数()y f x =与y a =-的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为1,0()ln ,0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，函数图象如下所示，令()0f x a +=，得()f x a =-，即函数()y f x =与y a =-的交点，结合函数图象可知，1a ->-，解得1a <，即(),1a ∈-∞-故答案为：(),1-∞-【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的离心率13,23e ⎛∈ ⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________.【答案】9⎛ ⎝⎭【分析】用分离常数法求得函数的对称中心，代入椭圆方程得,a b 的关系，变形后得221911a e=+-，然后由e 的范围得出2a 的范围． 【详解】因为31xy x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31xy x =-的对称中心为11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b+=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e -==+--.因为1,23e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而2,93a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：9⎛ ⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长a 与离心率e 的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用222b a c =-进行转化是是解题的基本方法．四、解答题17．在①212AB BD ==，②sin BAD ABD ∠=∠，D 为BC 的中点，③6DAB π∠=，AB =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求AC 的长；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，在ABC 中，4ACB π∠=，点D 在线段BC 上，10AD =，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【分析】选择条件①：由余弦定理可得5cos 9B =，进而可得sin 9B =，再由正弦定理即可得解；选择条件②：由正弦定理可得BD D =，进而可得102CD ，再由余弦定理即可得解；选择条件③：由余弦定理得10BD =，进而可得3ADC π∠=，再由正弦定理即可得解.【详解】选择条件①：212AB BD ==，10AD =，在ABD △中，由余弦定理可得2225cos 29AB BD AD B AB BD +-==⋅，又()0,B π∈，∴sin 9B ==， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB ACC B=，∴12sin sin 2AB BAC C⨯===选择条件②：在ABD △中，由sin BAD ABD ∠=∠可得BD ==，又D 为BC 的中点，∴102CD ，在ADC 中，由余弦定理得2222cos AD CD AC CD AC ACB =+-⋅∠， ∴210020020AC AC =+-，∴10AC =； 选择条件③：在ABD △中，由余弦定理可得2222cos 100BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=， 即10BD =，则10AD BD ==，23ADB π∠=，3ADC π∠=， 在ADC 中，由正弦定理得sin sin AD ACC ADC=∠，可得sin sin AD ADC AC C ∠==18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c C 为锐角，且3,ab ABC =的面积为4. （1）求角C ；（2）若ABC外接圆的半径为3，求ABC 的周长. 【答案】（1）60；（2）9.【分析】（1）由三角形面积公式可求得C ；（2）由正弦定理可得c ，然后由余弦定理得出,a b 的关系，结合3ab =可直接求得+a b ，从而得三角形周长．【详解】（1）因为13sin sin 224ABCSab C C ===，所以sin 2C =， 又C 为锐角，所以60C ︒=. （2）设ABC 外接圆的半径为R，则2sin 3c R C ==，所以4c ==. 因为2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-， 所以216()9a b =+-，解得5a b +=， 所以549a b c ++=+=，即ABC 的周长为9.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理与余弦定理解三角形．考查三角形面积公式．已知一边及其对角，可用正弦定理建立边角关系，也可由余弦定理建立另两边的关系，解题时需要根据具体条件具体要求选择． 19．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，32n a +是6和124n S +的等比中项，且12a ≠. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若等比数列{}n b 的公比为12，且123111,,2b b b -成等差数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）32n a n =-；（2）3442n nn T +=-. 【分析】（1）先由题设231()6()224n n a S ⇒+=+，又21131()6()224n n a S --+=+，2n ，两式相减整理得：13n n a a --=，2n ，再求得1a ，即可得到：数列{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，进而求得n a ；（2）先由题设求得n b ，进而求得n n a b ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可．【详解】（1）因为32n a +是6和124n S +的等比中项，所以231624n n a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭①， 当2n 时，21131624n n a S --⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭②，由①-②得2211336622n n n n a a S S --⎛⎫⎛⎫+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2213322n n a a -⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13322n n a a --=+或者133022n n a a -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（舍去），故13(2)n n a a n --=，数列{}n a 为等差数列.因为21131624a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得11a =或12a =（舍去），所以数列{}n a 是首项为1、公差为3的等差数列，所以32n a n =-.（2）由123111,,2b b b -成等差数列，可得1321122b b b +-=， 可得23122q b q +-=，又12q =，所以112b =， 所以12n n b =.由（1）得322n n nn a b -=，所以234147103222222n nn T -=+++++，2345111471035322222222n n n n n T +--=++++++， 两式相减得23411111113232222222n nn n T +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭， 所以123111111111323213222131313112222222212n n n n n n nn n n T ---⎛⎫- ⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=+⨯-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-3442nn +=-. 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．20．2020年“国庆、中秋”国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元.如果每天有x 人游玩该项目，需要另投入成本2120,0500,2()3600000410100000,500,x x x x f x x x x x ⎧+<<∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩N N（单位：元）.同时为了满足防疫要求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800.（1）求该游乐项目每天的利润y （元）关于每天游玩该项目的人数x 的函数关系式； （2）当每天游玩该项目的人数x 为多少时，该游乐公司获利最大？【答案】（1）2138010000,0500,23600001090000,500800,x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N ；（2）600.【分析】（1）由票价收入减去投入成本和维护费可得利润函数；（2）分段求出最大值，一个由二次函数性质得最大值，一个由基本不等式得最大值，然后比较可得．【详解】（1）当0500x <<时，2211400201000038010000(0500,)22y x x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-<<∈ ⎪⎝⎭N ；当500800x 时，3600000360000400410100000100001090000(500800,)y x x x x x x x ⎛⎫=--+-=-++∈ ⎪⎝⎭N .所以2138010000,0500, 23600001090000,500800,x x x xyx x xx⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++∈⎪⎪⎝⎭⎩NN；（2）由（1）可得，当0500x<<时，221138010000(380)6220022y x x x=-+-=--+，当380x=时，max62200y=. 当500800x时，36000036000010900002090000120009000078000 y x xx x⎛⎫=-++-⋅+=-+= ⎪⎝⎭，当且仅当600x=时，max78000y=.综上，当每天游玩该项目的人数x为600时，该游乐公司获利最大，为78000元.【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数模型的应用．利用票价收入减去投入成本和维护费即得利润可得出函数解析式，然后分段求得最大值后比较．解题时注意对不同的表达式选取不同的方法求最值，目的是求解简捷．21．如图，四棱锥P ABCD-的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，点E是AB的中点，过点E作平行于平面PAD的截面，与直线,,CD PC PB分别交于点,,F G H.（1）证明：//GH EF.（2）若四棱锥P ABCD-的体积为83，求四边形EFGH的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）32.【分析】(1)根据线面平行的判断定理可得//BC平面PAD，再由平面//PAD平面EFGH，可得//BC平面EFGH，再由线面平行的性质定理可得//BC GH和//BC EF，即可证出//GH EF；(2)根据四棱锥P ABCD-的体积为83，可求出2PD=，再根据面面平行的性质定理可得//EH PA ，//FG PD ,从而可得四边形 EFGH 为直角梯形，根据梯形面积公式即可求出四边形 EFGH 的面积.【详解】（1）证明：因为//,BC AD BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BC 平面PAD ，又平面//PAD 平面 EFGH ，BC ⊄平面 EFGH ，所以//BC 平面 EFGH ， 又BC ⊂平面PBC ，平面PBC平面EFGH GH =，.所以//BC GH ,同理，//BC EF ， 所以//GH EF . （2）由18433P ABCD V PD -=⋅⋅=，得2PD =. 因为平面//PAD 平面 EFGH ，且平面PAB ⋂平面EFGH EH =，平面PAB ⋂平面PAD PA =，所以//EH PA ，同理//FG PD ,又点E 是AB 的中点，可知,,G H F 分别为,,PC PB CD 的中点， 所以2EF =，1GH =，1GF =,又PD ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，所以PD EF ⊥,所以FG EF ⊥， 所以四边形EFGH 为直角梯形，所以四边形EFGH 的面积为(12)1322+⨯=. 【点睛】关键点点睛：本题求四边形EFGH 的面积的关键是根据面面平行的性质定理，证出//EH PA ，//FG PD ,进而证出四边形EFGH 为直角梯形.22．已知椭圆22:221(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别是12,F F，点M 为椭圆下上动点，12F MF △面积的最大值为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 是椭圆C 的上顶点，直线1MF 交椭圆C 于点N ，过点1F 的直线l (直线l 的斜率不为1)与椭圆C 交于P Q 、两点，点P 在点Q 的上方．若11:3:2F MPF NQS S=，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）770x +=．【分析】（1）由12F MF △面积的最大值为1可得1bc =，再结合离心率即可求出,a b ，得出椭圆方程；（2）联立直线1MF 与椭圆可得41,33N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，进而得出1113NF MF =，再结合11:3:2F MPF NQSS=可得112QF PF =，再设出直线l 方程，利用韦达定理可求出.【详解】（1）12F MF △面积的最max 12112122S F F b c b bc =⋅=⋅⋅==又2c a =，所以b c =，解得11b c =⎧⎨=⎩．即1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）由题可得直线1MF 的方程为1y x =+，联立22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得41,33N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1113NF MF =， 因为11:3:2F MP F NQSS=，则111111121sin sin 232NF QF QF N MF PF PF M ∠∠⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 得112QF PF =，当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为()()11221,,,,x my P x y Q x y =-，由点P 在点Q 的上方，则212y y =-联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my +--=，则1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩得12121212y y y y y y +=-⎧⎨=-⎩，则22221222m m m -⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，得22,77m m ==± 又1212202m y y y m +==-<+，则m =m = 故直线l的方程为770x ++=．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题含答案
（ ）根据频率分布直方图估计这 位男生身高的中位数；
（ ）用分层抽样的方法在身高为 内抽取一个容量为 的样本，从样本中任意抽取 位男生，求这两位男生身高都在 内的概率．
23.已知数列 的前 项和为 ，且 对任意 都成立.
（Ⅰ）求 值；
（Ⅱ）证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（Ⅲ）设 ，求数列 的前 项和 .
24.已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P 轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4.
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且 （O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
16.某中学高二年级甲班的学生共有25名女生和35名男生，现以简单随机抽样的方法从甲班全班同学中推选5名学生代表甲班参加全校演讲比赛，则甲班中某女生被抽到的概率是________．
17.已知函数 （ ，且 ）的图像恒过定点 ，则 __________．
C. 有最大值， 有最大值D. 有最小值， 有最小值
二、多项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对得1分）
11.下列关于函数 的说法中正确的是（）
A. 为奇函数
B. 上单调递减
C. 不等式 的解集为
D. 不等式 的解集为
12.如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点，异面直 与 所成角的余弦值为 ，则（）
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+y−12=0的倾斜角是( )A. π4B. π2C. 3π4D. π32.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|等于A. 5B. 34C. 41D. 523.长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为A. x29+y2=1 B. x281+y29=1C. x29+y2=1或y281+x29=1 D. y29+x2=1或x281+y29=14.已知方程x22+m −y2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围为A. (−2,−1)B. (−∞,−2)∪(−1,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)5.在正四棱锥P−ABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值是( )A. 612B. 68C. 38D. 56246.已知椭圆C:x29+y25=1的右焦点为F,P是椭圆上任意一点，点A(0,23)，则▵APF的周长的最大值为A. 9+21B. 14C. 7+23+5D. 15+37.已知A(−3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为A. 210B. 6C. 26D. 268.已知A,B两点的坐标分别是(−1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为A. y=−x2+1(x≠±1)B. y=x2+1(x≠±1)C. x=−y2+1(y≠±1)D. x=y2+1(y≠±1)二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A(−3,−4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则a的值可取A. −13B. 13C. −79D. 7910.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，过点F1的直线与C的左支相交于P,Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|=3|PF2|，则( )A. |PQ|=4aB. 3PF1=PQC. 双曲线C的渐近线方程为y=±223x D. 直线PQ的斜率为411.已知椭圆C1:x29+y25=1，将C1绕原点O沿逆时针方向旋转π2得到椭圆C2，将C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆C3，动点P,Q在C1上，且直线PQ的斜率为−12，则A. 顺次连接C1,C2的四个焦点构成一个正方形B. C3的面积为C1的4倍C. C3的方程为4x29+4y25=1D. 线段PQ的中点R始终在直线y=109x上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
(2)若
AB
=
42 3
，求
Q
点的坐标.
七、解答题
20．设抛物线 y2 = 2 px ( p > 0) 的准线为 l，A、B 为抛物线上两动点， AA¢ ^ l 于 A¢ ，定
点 K (0,1) 使 KA + AA¢ 有最小值 2 ．
(1)求抛物线的方程；
(2)当
uuur KA
=
uuur l KB
（
l
1．A
参考答案：
【分析】根据法向量
r u
=
(1,
2,
-1)
,
r v
=
(-3,
-6,
3)
，可得
r v
=
r -3u
，可得法向量
r v
和
r u
平行即可
得解.
【详解】由
r v
=
r -3u
，
所以法向量
r v
和
r u
平行，
所以平面a 和 b 平行， 故选：A. 2．A 【分析】设 5 人分到的面包数量从小到大记为{an}，设公差为d ，可得
uuur uuuur uAuuNr × BuuMuur AN × BM
=
3 5´
= 6
30 10 .
故 BM 与 NA 所成的角的余弦值为 30 . 10
故选：C. 5．A
【分析】由椭圆方程求得半焦距 c ，则渐近线方程及焦点位置设出双曲线方程，再由半焦
距 c 求得参数值得双曲线标准方程．
c= 【详解】由题意知
A． -
30 10
B． 30 6
C． 30 10
D． -
30 6
长沙市长郡中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题(含答案)
长郡中学2021-2022学年度高二第一学期期中考试数学2021.11本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分100分．第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量()0,1,1a =- ，则向量a 的模a为（）A ．1B ．2C D ．122．数列{}n a 为等差数列，若244a a +=，则3a =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．双曲线221x y -=的离心率是（）A ．1B ．12C ．2D 4．直线123x y-+=在x 轴上的截距为（）A ．2B ．2-C ．3-D ．35．已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）A ．64πB ．48πC ．32πD ．16π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A ，(0,B ，动点M 满足4MA MB +=，则MA MB ⋅的最大值为（）A ．2-B ．0C ．1D ．27．如图所示，在正方体ABCD A B C D ''''-中，点E 是棱BC 的中点，点G 是棱DD '的中点，则异面直线GB 与B E '所成的角为（）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°8．对任一实数序列()123,,,A a a a = ，定义序列()213243,,A a a a a a a =--- …，它的第n 项为1n n a a +-．假定序列()A 的所有项都为1，且1820170a a ==，则2021a =（）A ．1000B ．2000C ．2003D ．4006二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）9．数列{}n a 满足11a =，对任意n *∈N ，都有11n n a a +=+，数列{}n a 前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A ．22a =B ．36a =C ．1060a =D ．()12n n n S +=10．已知直线:10l mx y ++=，A （1，2），B （3，3），则下列结论正确的是（）A ．当1m =时，直线l 的倾斜角为45°B 当0m =时，直线l 的斜率不存在C ．直线恒过定点()0,1-D ．当2m =时，直线l 与直线AB 垂直11．若函数y =的图象与直线20x y m -+=有公共点，则实数m 的可能取值为（）A ．1-B ．1C ．1-D ．012．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则以下结论正确的是（）A ．2p =B ．F 为AD 中点C ．2BD BF=D ．2BF =第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．已知M 是椭圆22:195x y C +=上的一点，则点M 到两焦点的距离之和是．14．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为．15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为钱．16．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离．我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点O ，探测器在()A 处以12km/s 的速度匀速直线飞向距月心2000km 的圆形轨道上的某一点P ，在点P 处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18km /s 的速度匀速直线飞至()0,3000B ，这一过程最少用时s ．四、解答题（本题共6小题，每小题8分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）已知ABC △三个顶点是()1,4A -，()2,1B --，()2,3C ．（1）求BC 边上的垂直平分线的直线方程；（2）求点A 到BC 边所在直线的距离．18．（8分）已知双曲线C 与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且它的一条渐近线为43y x =．（1）求椭圆的焦点坐标；（2）求双曲线C 的标准方程．19．（8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,31n S n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭在直线12y x =上．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ，以及数列{}n a 通项公式；（2）若数列{}n b 满足：10n n b a =-，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值．20．（8分）已知m ∈R ，直线()2:14l mx m y m -+=和圆22:84160C x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？21．（8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ，90PBC ∠=︒，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，222AB AD BC ====．（1）求证：CD ⊥平面PBD ；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为，求二面角B PC D --的正切值．22．（10分）设抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，已知OM =，3MF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，P 为C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别与C 的准线相交于D ，E 两点，证明：以线段DE 为直径的圆经过x 轴上的两个定点．长郡中学2021—2022学年度高二第一学期期中考试数学参考答案题号123456789101112答案C B D B CCBDADCDABCDABC一、单项选择题1.C2.B3.D4.B5.C6.C易知M 的轨迹为椭圆，其方程为2214y x +=，设(),M x y ，则2214y x =-，∴()()222223,313244y y MA MB x y x y x y y ⎛⎫⋅=--⋅--=+-=+--=- ⎪⎝⎭ ，因为[]2,2y ∈-，所以[]230,34y ∈，即[]2322,14y -∈-，∴()max1MA MB ⋅= .故选C.7.B 8.D【解析】依题意知A ∆是公差为1的等差数列，设其首项为a ，通项为n b ，则()111n b a n n a =+-⨯=+-，于是()()()()()()1111111111221122n n n k k k k k n a n a n n a a a a a b a a n a --+==-++-⎡⎤--⎣⎦=+-=+=+=+-+∑∑.由于1820170a a ==，即111713602016201510080a a a a ++=⎧⎨++⨯=⎩，解得1016a =-，117136a =.故()202120192020171362020101640062a ⨯=+⨯-+=.故选D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.AD10.CD11.ABCD12.ABC 【解析】如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l ，则直线方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，联立222y pxp y x ⎧=⎪⎨⎫=-⎪⎪⎭⎩，得22122030x px p -+=.解得32A x p =，16Bx p =，由32422pAF p p =+==，得2p =.∴抛物线方程为24y x =.1163B x p ==，则14133BF =+=；4831cos 6032BF BD ===︒，∴2BD BF =，48433BD BF +=+=，则F 为AD 中点.∴运算结论正确的是A 、B 、C.故选：ABC.三、填空题13.614.83【解析】：∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积211822333V Sh ==⨯⨯=.15.23【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a d +，2a d +，则根据题意有()()()()()()()()22522a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎪⎨-+-=++++⎪⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=.16.80009【解析】设PA a =，PB b =，飞行过程所用时间121218123PA PB t a b ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令23PC b =，即23PC PB =，设点()0,C m 在圆形轨道内，取点P 坐标为()0,2000，而()0,3000B ，由23PC PB =得()22000300020003m -=-，40003m =，即40000,3C ⎛⎫⎪⎝⎭，设动点(),P x y ，当23PC PB ==，化简整理得2222000x y +=，即满足23PC PB =的动点P 的轨迹就是给定的圆形轨道，所以距月心2000km 的圆形轨道上的任意点P 均有23PC PB =成立，如图，连PC ，于是有320003PA PC AC +==≥，当且仅当P 为线段AC 与圆形轨道交点时取“＝”，即有()111320008000121812121239PA PB t PA PC AC =+=+⋅=⋅=≥，所以这一过程最少用时8000s 9.四、解答题17.【解析】（1）∵()2,1B --，()2,3C ，∴31122BC k +==+，则所求直线的斜率为：1k =-.又BC 的中点D 的坐标为()0,1，所以BC 边上的中垂线所在的直线方程为：10x y +-=.（2）直线BC 的方程为：10x y -+=，则点()1,4A -到直线:10BC x y -+=的距离为：d ==.18.【解析】（1）椭圆2214924x y +=的焦点坐标为()5,0±.（2）设C 的方程为()220916x y λλ-=>，即221916x y λλ-=，依题意91625λλ+=，解得1λ=，所以C 的标准方程为：221916x y -=.19.【解析】（1）由题意知：312n S nn =+，则232n n n S +=，当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，131n n n a S S n -=-=-；而13112a =⨯-=，∴31n a n =-，*n ∈N .（2）311n b n =-，当1,2,3n =时0n b <，当4n ≥时0n b >，故()3min 15n S S ==-.20.【解析】（1）∵21mk m =+，∴20km m k -+=（*），（求出斜率表达式给2分）∵m ∈R ，∴当0k ≠时，0∆≥，解得1122k -≤≤且0k ≠，又当0k =时，0m =，方程（*）有解，综上所述，1122k -≤≤.（2）假设直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧.设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，则120ACB ∠=︒.∵圆()()22:424C x y -++=，∴圆心()4,2C -到l 的距离为1.1=，整理得423530m m ++=∵254330∆=-⨯⨯<，∴423530m m ++=无实数解.因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧.21.【解析】（1）证明：在四边形ABCD 中，ADBC ∥，90ABC ∠=︒，22AB AD BC ===，所以ABD △，BCD △都为等腰直角三角形，即CD DB ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，90PBC ∠=︒，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，所以直线PB ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，所以PB CD ⊥，又PB BD B ⋂=，所以CD ⊥平面PBD .（2）以B为原点，BC ，BP ，BA 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，如图，2BC =，则1AB =，CDBD ==，因为直线PD 与底面ABCD 所成角的正切值为，所以在Rt PBD △中，tan PB PDB BD ∠===∴4PB =.设平面PBC 和平面PDC 法向量分别为m ，n ，易知可取()0,0,1m = ，(),,n x y z，因为()2,4,0PC =- ，()1,0,1CD =-，所以00PC n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2400x y x z -=⎧⎨-+=⎩，令2z =，解得()2,1,2n = .设所求二面角为θ，所以2cos 3m nm nθ⋅===，∴tan 2θ=.22.【解析】（1）设点()00,M x y ，因为点M 在抛物线C上，OM =2002200212y px x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得200212x px +=，即()22012x p p +=+.因为00x >，则0x p =-.因为3MF =，则032p x +=32p -=，所以221232p p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得2440p p -+=，解得2p =，所以抛物线C 的方程是24y x =.（2）设直线l 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=.设点211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，则124y y t +=，124y y =-.设点2,4m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12211444PA y m k y m y m -==+-，直线PA 的方程为2144m y m x y m ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭.令1x =-，得21114414my m y m y m y m ⎛⎫-=-+= ⎪++⎝⎭，所以点1141,my D y m ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.同理，点2241,my E y m ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.设以线段DE 为直径的圆与x 轴的交点为(),0N a ，则1141,my DN a y m ⎛⎫-=+- ⎪+⎝⎭ ，2241,my EN a y m ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭.因为DN EN ⊥，则0DN EN ⋅= ，即()212124410my my a y m y m--++⋅=++，∴()()()()()()()2221212122212121244416416161444my my m y y m y y m mt a y m y m y y m y y m m mt ---+++-+=-=-==++++++-，得1a =或3-.故以线段DE 为直径的圆经过x 轴上的两个定点()1,0和()3,0-。
2024最新长郡中学高二上学期期中数学试卷(新题型：19题)(提高篇)(解析版)
2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（提高篇）参考答案与试题解析第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（23-24高二上·广东清远·期中）在四面体OOOOOOOO 中，点MM ,NN 分别为线段OOOO ,OOOO 的中点，若MMNN�������⃗=xxOOOO�����⃗+yyOOOO �����⃗+zzOOOO �����⃗，则xx +yy +zz 的值为（ ）A ．32B ．1C ．12D ．14 【解题思路】先依据空间向量基本定理利用向量OOOO �����⃗,OOOO �����⃗,OOOO �����⃗表示向量MMNN �������⃗，进而求得xx ,yy ,zz 的值，即可求得xx +yy +zz 的值. 【解答过程】由MMNN �������⃗=OONN ������⃗−OOMM ������⃗=12OOOO �����⃗+12OOOO �����⃗−12OOOO �����⃗ 又MMNN �������⃗=xxOOOO �����⃗+yyOOOO �����⃗+zzOOOO �����⃗，则⎩⎪⎨⎪⎧xx −12yy =12zz =12 所以xx +yy +zz =12故选：C. 2．（5分）（23-24高二上·广东广州·期中）已知点OO (2,−3),OO (−5,−2)，若直线ll :mmxx −yy +mm +1=0与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．�−43,34�B ．�−∞,−43�∪�34,+∞�C ．�−34,43�D ．�−∞,−34�∪�43,+∞� 【解题思路】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解.【解答过程】由mmxx −yy +mm +1=0，得yy −1=mm (xx +1)，所以直线l 的方程恒过定点PP (−1,1)，斜率为mm .因为OO(2,−3)，OO(−5,−2)，所以kk PPPP=−3−12+1=−43，kk PPPP=−2−1−5+1=34.由题意可知，作出图形如图所示，由图象可知，mm≥34或mm≤−43，所以实数m的取值范围为�−∞,−43�∪�34,+∞�.故选：B.3．（5分）（23-24高二上·重庆·期中）已知EEEE是棱长为8的正方体的一条体对角线，点MM在正方体表面上������⃗⋅MMEE������⃗的最小值为（）运动，则MMEEA．−48B．−32C．−16D．0������⃗⋅MMEE������⃗的表达式|OOMM������⃗|2−48，确【解题思路】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得MMEE������⃗|的最小值，即得答案.定|OOMM【解答过程】如图，EEEE是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为√82+82+822=4√3,�����⃗=−OOEE�����⃗，设外接球球心为OO，则OOEE������⃗⋅MMEE������⃗=(MMOO������⃗+OOEE�����⃗)⋅(MMOO������⃗+OOEE�����⃗)=(MMOO������⃗+OOEE�����⃗)⋅(MMOO������⃗−OOEE�����⃗)则MMEE=|MMOO������⃗|2−|OOEE�����⃗|2=|MMOO������⃗|2−(4√3)2=|OOMM������⃗|2−48,由于点MM在正方体表面上运动，������⃗|2的最小值为球心OO与正方体面的中心连线的长，故|OOMM即为正方体棱长的一半，为82=4，������⃗⋅MMEE������⃗的最小值为42−48=−32，所以MMEE故选：B.4．（5分）（23-24高二上·广东珠海·期中）已知抛物线yy2=2ppxx，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且OOEE=2EEOO，则直线AB的斜率为（）A．1 B．√2C．2√2D．无法确定【解题思路】结合题意及抛物线的定义，分析该几何图形，利用△OOOOOO为直角三角形，得到边角关系，进而求得斜率.【解答过程】结合题意：可知抛物线yy2=2ppxx的准线为：xx=−pp2，如图所示：过OO,OO分别作准线的垂线OOMM,OONN，垂足为MM,NN,过点OO作OOMM的垂线，垂足为点OO,设OOEE=2xx，直线OOOO的倾斜角为αα，因为OOEE=2EEOO,所以EEOO=xx,OOOO=3xx，由抛物线的定义：OOEE=OOMM=2xx,OOEE=OONN=xx，结合图形易知：OONN=OOMM，∠OOOOOO=αα,所以OOOO=OOMM−OOMM=xx，在直角三角形△OOOOOO中，OOOO=√OOOO2−OOOO2=2√2xx，所以直线AB的斜率kk=tanαα=tan∠OOOOOO=PPBB PPBB=2√2xx xx=2√2.故选：C.5．（5分）（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：xx29+yy2=1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：xx2+(yy−4)2=1上一点，则|PPPP|−|PPEE|的最小值为（）A．−2√6B．2√6C．−5+2√6D．−7+2√6【解题思路】要求的|PPPP|−|PPEE|最小值，根据椭圆的定义可以转化为|PPPP|+|PPEE|−6（其中EE为椭圆的左焦点），即求|PPPP|+|PPEE|的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题．【解答过程】如图，由题可知，圆MM的圆心坐标为(0,4)，半径为1，设椭圆OO的左焦点为EE，即EE�−2√2,0�，则|PPPP|−|PPEE|=|PPPP|−(2aa−|PPEE|)=|PPPP|+|PPEE|−6，故要求|PPPP|−|PPEE|的最小值，即求|PPPP|+|PPEE|的最小值，所以|PPPP|+|PPEE|的最小值等于|MMEE|−1=√8+16−1=2√6−1，即|PPPP|−|PPEE|的最小值为−7+2√6，故选：D．6．（5分）（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆OO的方程为xx2+yy2=9，直线ll:xx+2yy−10=0，点PP是直线ll上的一动点，过PP作圆OO OO,OO，当四边形PPOOOOOO的面积最小时，直线OOOO的方程为（）A．2xx+4yy+9=0B．4xx+2yy+9=0C．4xx+2yy−9=0D．2xx+4yy−9=0【解题思路】由题意可得当点PP到圆心的距离最小时，切线PPOO,PPOO的长度最小，此时四边形PPOOOOOO的面积最小，求出点PP的坐标，以OOPP为直径的圆的方程，两圆相减得到直线OOOO的方程.【解答过程】由圆OO 的方程为xx 2+yy 2=9可知圆心OO (0,0)，半径rr =3，点PP 到圆心的距离最小时，切线PPOO ,PPOO 的长度最小，此时四边形PPOOOOOO 的面积最小，所以kk OOPP ×�−12�=−1，kk OOPP =2，所以直线OOPP 的方程为yy =2xx ， 联立�yy =2xx xx +2yy −10=0 ，解得PP (2,4)， 以OOPP =√22+42=√20为直径，以OO ,PP 中点(1,2)为圆心的圆方程为(xx −1)2+(yy −2)2=5， 两圆方程相减可得直线OOOO 的方程2xx +4yy −9=0，故选：D.7．（5分）（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线OO ：xx 2aa 2−yy 2bb 2=1(aa >0,bb >0)的左、右焦点分别为EE 1(−cc ,0)，EE 2(cc ,0)，过点EE 1的直线ll 与双曲线OO 的左支交于点OO ，与双曲线OO 的一条渐近线在第一象限交于点OO ，且|EE 1EE 2|=2|OOOO |（OO 为坐标原点）.下列三个结论正确的是（ ）①OO 的坐标为(aa ,bb )；②|OOEE 1|−|OOEE 2|>2aa ；③若OOOO �����⃗=3EE 1OO �������⃗，则双曲线OO 的离心率1+√173； A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③【解题思路】按题意利用双曲线的定义或进行坐标运算逐个判断即可【解答过程】对于①：由题意可知直线OOOO :yy =bb aa xx ， 设OO �xx 0,bb aa xx 0�(xx 0>0)，则|OOOO |=�xx 02+�bb aa xx 0�2=ccxx 0aa =cc ，可得xx 0=aa即OO (aa ,bb )，故①正确； 对于②：设直线ll 与双曲线的右支交于点MM ，由双曲线的定义可得：|MMEE 1|−|MMEE 2|=2aa ， 在△MMOOEE 2中可得|MMOO |>|MMEE 2|−|OOEE 2|，即|MMOO |−|MMEE 2|>−|OOEE 2|， 所以|MMEE 1|−|MMEE 2|=|OOEE 1|+|MMOO |−|MMEE 2|>|OOEE 1|−|OOEE 2|，即|OOEE 1|−|OOEE 2|<2aa ，故②错误； 对于③：设OO (xx 1,yy 1)(xx 1<0)，由EE 1(−cc ,0)，可得OOOO �����⃗=(aa −xx 1,bb −yy 1)，EE 1OO �������⃗=(xx 1+cc ,yy 1)， 因为OOOO �����⃗=3EE 1OO �������⃗，则�aa −xx 1=3(xx 1+cc )bb −yy 1=3yy 1 ，解得�xx 1=aa−3cc 4yy 1=bb 4 ， 即OO �aa−3cc 4,bb 4�，由点OO 在双曲线上可得�aa−3cc 4�2aa 2−�bb 4�2bb 2=1，整理得3cc −aa =√17aa ，解得ee =1+√173，故③正确；故选：C.8．（5分）（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体OOOOOOAA−OO1OO1OO1AA1中，P为线段OO1OO上的动点，则下列结论错误的是（）A．直线OO1PP与OOAA所成的角不可能是ππ6B．当OO1PP=2PPOO时，点AA1到平面OO1OOPP的距离为23C．当OO1PP=2PPOO时，OOPP=2√143D．若OO1PP�������⃗=13OO1OO�������⃗,则二面角OO−OO1PP−OO1的平面角的正弦值为√36【解题思路】建立如图的空间直角坐标系，利用反证法可判断A的正误，利用空间中的距离公式计算BC 后可判断它们的正误，利用向量法可求面面角的余弦值后结合同角的三角函数基本关系式计算后可判断D 的正误.【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系，则OO(0,0,0),OO(2,0,0),OO(2,2,0),AA(0,2,0)，OO1(0,0,2),OO1(2,0,2),OO1(2,2,2),AA(0,2,2)，对于A，设OO1PP�������⃗=ttOO1OO�������⃗=tt(0,2,−2)=(0,2tt,−2tt)(0≤tt≤1)，故PP(2,2tt,2−2tt)，故OO1PP�������⃗=(2,2tt,−2tt)，而OOAA������⃗=(−2,2,0)，设直线OO1PP与OOAA所成的角为θθ，则cosθθ=�PPBB������⃗⋅PPPP�����⃗�PPBB������⃗��PPPP�����⃗��=4−4tt2√2×√4+4tt2+4tt2，若直线OO1PP与OOAA所成的角是π6，则4−4tt2√2×√4+8tt2=√32，整理得到：4tt2+4tt+1=0，此方程在[0,1]上无实数解，故直线OO1PP与OOAA所成的角不可能是π6，故A正确.对于B，当OO1PP=2PPOO时，结合A中分析可得tt=23，故PP�2,43,23�，�����⃗=�0,43,23�，而OOOO1��������⃗=(−2,0,2)，设平面OO1OOPP的法向量为mm��⃗=(xx,yy,zz)，故OOPP则�mm��⃗⋅OOPP�����⃗=0mm��⃗⋅OOOO1��������⃗=0即�43yy+23zz=0−2xx+2zz=0，取xx=2，则yy=−1，zz=2，故mm��⃗=(2,−1,2)，又AA1OO1����������⃗=(0,−2,0)，故AA1到平面OO1OOPP的距离为�mm���⃗⋅BB1PP1�����������⃗|mm���⃗|�=23，故B正确.对于C，当OO1PP=2PPOO时，又B的分析可得PP�2,43,23�，故OOPP�����⃗=�2,43,23�，�����⃗�=�4+209=√563=2√143，故C正确.故�OOPP对于D，当OO1PP�������⃗=13OO1OO�������⃗时，结合OO的分析可得tt=13，此时PP�2,23,43�，�����⃗=�0,23,43�，而OOOO1��������⃗=(−2,0,2)，设此时平面OO1OOPP的法向量为nn�⃗=(aa,bb,cc)，故OOPP则�nn�⃗⋅OOPP�����⃗=0nn�⃗⋅OOOO1��������⃗=0即�23bb+43cc=0−2aa+2cc=0，取aa=1，则bb=−2，cc=1，故nn�⃗=(1,−2,1)，又OO1PP�������⃗=PP�2,23,−23�，OO1OO1���������⃗=(2,0,0)，设平面OO1OO1PP的法向量为ss⃗=(uu,vv,ww)，则�nn�⃗⋅OO1PP�������⃗=0nn�⃗⋅OO1OO1���������⃗=0即�2uu+23vv−23ww=02uu=0，取vv=1，则uu=0，ww=1，故ss⃗=(0,1,1)，故cos⟨ss⃗,nn�⃗⟩=2√6×√2=√36，故二面角OO−OO1PP−OO1的平面角的正弦值为√336，故D错误.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
参考公式： ，
25．已知椭圆 ( )的左右焦点分别为 ， 为椭圆 上位于 轴同侧的两点， 的周长为 ， 的最大值为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)若 ，求四边形 面积的取值范围.
C． ，
D． ，
3．某高级中学共有学生3000人,其中高二年级有学生800人,高三年级有学生1200人,为了调查学生的课外阅读时长,现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为（ ）
A．20B．25C．30D．35
4．从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（）
日期
1月20日
2月20日
3月20日
4月20日
5月20日
6月20日
昼夜温差
10
11
13
12
8
6
就诊人数 人
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程 ；
12． ，使 ，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
13．已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，点 在抛物线 上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”
B．“ ”是“ ”的充要条件
【条件】湖南省长沙市长郡中学学年高二上学期期中考试数学理试题含答案
【关键字】条件数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，集合是奇数集，集合是偶数集.若命题：，，则（）A．：，B．：，C．：，D．：，2.如果方程表示双曲线，则的取值范围是（）A．B．C．D．3.命题“若，则且”的逆否命题是（）A．若，则且B．若，则或C．若且，则D．若或，则4.已知具有线性相关的两个变量，之间的一组数据如表：且回归线方程是，则（）A．6.7 B．6.6 C.6.5 D．6.45.在正方体中，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A．B． C. D．6.已知为双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线距离为（）A．B．3 C. D．7.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差（）A．B．3 C. D．8.双曲线的左焦点在抛物线的焦线上，则（）A．B． C.2 D．49.与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上 C.一条抛物线上D．一个圆上10.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为（）A．B． C. D．11.若，为实数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C. 充要条件D．既不充分也不必要条件12.柜子里有3双不同的鞋，随机取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成对的概率是（）A．B． C. D．13.双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，点在第一象限内且在上，若，，则该双曲线的离心率为（）A．B． C. D．214.椭圆与直线相交于，两点，过中点与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（）A．B． C. D．215.设集合，，如果命题“”是真命题，则实数的取值范围是（）A．B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）2、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）16.为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为．17.抛物线的焦点坐标是．18.给出下列命题：①已知集合，则“”是“”的充分不必要条件；②“”是“”的必要不充分条件；③“函数的最小正周期为”是“”的充要条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的充要条件的“”.其中正确命题的序号是．（把所有正确命题的序号都写上）19.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是．20.若曲线和曲线有三个不同的交点，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21. （本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)[)[)[)[)[)[]160,180,180,200,200,220,220,240,240,260,260,280,280,300分组的频率分布直方图如图所示.（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)[)[)[]220,240,240,260,260,280,280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？22. （本小题满分12分）设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.（1）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a 是从区间[]0,3任取的一个数，b 是从区间[]0,2任取的一个数，求上述方程有根的概率.23. （本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点()4,P m 到焦点的距离为6.（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 与直线2y kx =-相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值.24. （本小题满分12分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax =--有最小值.若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围.25. （本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是()1F 、)2F ，并且经过点12P ⎫-⎪⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与圆O ：221x y +=相切，并与椭圆C 交于不同的两点A 、B .当OA OB λ=，且满足1223λ≤≤时，求AOB ∆面积S 的取值范围. 试卷答案一、选择题1-5: CBDAB 6-10: ACDBA 11-15：DBDCA二、填空题16.20 17.()0,1 18.①② 19.71620.3332,2222⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭三、解答题21.【解析】（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075.（2）月平均用电量的众数为2202402302+=， ()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，∴月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=，得224a =.即月平均用电量的中位数为224.（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，用平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，用平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，用平均用电量为[)280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例为11125151055=+++， ∴用平均用电量为[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户. 22.【解析】设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”.当0a ≥，0b ≥时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥.(){},|03,02,a b a b a b ≤≤≤≤≥，所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯.23.【解析】（1）设抛物线C 的方程为22y px =，其准线方程为2p x =-， ()4,P m 到焦点的距离为6，∴462p +=，∴4p =. 即抛物线C 的方程为28y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22,8y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得()224840k x k x -++=， 由条件0k ≠，且()6410k ∆=+>，∴1k >-且0k ≠， 又12248k x x k ++=，∴2242k k +=，解得2k =或1k =-（舍）. ∴2k =. 24.【解析】若p 真，则()()0,01,00,10,a f f ∆>⎧⎪<<⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即2210,01,120,240,a a a a a ⎧+->⎪<<⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩112a <≤. 若q 真，()()()1,,01,,a x a x a g x a a x a x a --≥⎧⎪=>⎨-++<⎪⎩∴()10a -+<，即()g x 在(),a -∞上是单调递减的，要使()g x 有最小值，则()g x 在[),a +∞上单调递增或为常数，即10a -≥，∴01a <≤.若()p q ⌝∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题，∴101,201a a a ⎧<≤>⎪⎨⎪<≤⎩或即01a <≤或112a <≤. ∴实数a的取值范围为(11,12⎛⎤⎤ ⎥⎦⎝⎦. 25.【解析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由条件有2223,1,2a b b a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得2a =，1b =. ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=. （2）依题结合图形知直线l 的斜率不为零，∵直线l 即0x my n --=与圆O ：221x y +=相切，1=得221n m =+.设()11,A x y ，()22,B x y ，由22,440,x my n x y =+⎧⎨+-=⎩ 消去x 整理得()2224240m y mny n +++-=， 得212122224,44mn n y y y y m m -+=-=++. 又2121AB m y y =+-，点O 到直线l 的距离1d ==， ∴2122111221AOB n S d AB m y y m ∆==+-+ ()()22122222112323244n m n y y m m +=-==++， ()()()()12121212222221212225441144OA OB x x y y my n my n y y n m m m y y mn y y n m m λ==+=+++--+=++++==++.1223λ≤≤,令21t m =+，则[]12,3,6323t t t λ⎡⎤=∈⇒∈⎢⎥+⎣⎦， ∴()()2222212323239634AOB m t t S t t t m t ∆+====+++++∴3AOB S ∆⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴AOB S ∆的取值范围为：3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
2020-2021学年湖南省部分重点高中高二上学期期中联考数学试题 Word版
湖南省部分重点高中2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题考生注意：1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第11卷(非选择题)两部分，共 150 分．考试时间 120 分钟．2. 请将各题答案填写在答题卡上．3. 本试卷主要考试内容：人教 A 版必修1~5，选修 2 — l 第一、二章．第 I 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“∀x >4，log 2x >2”的否定是A. ∃x 0>4，log 2x 0≤2B. ∀x >4，log 2x ≤2C. ∃x 0≤4，log 2x 0≤2D.∀x ≤4，log 2x ≤22. 抛物线 y = 116x 2的准线方程是A.y =4B.y = 8C.y = - 4D.y = -83. 已知 x ,y 的取值如下表所示，若 y 与 x 线性相关，且 y =0.6x +ˆa,则ˆa =A.4.2 D.4.9 4. 在△ABC 中，角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 b sin2A -2a sin A cos B = 0,则△ABC 的形状为A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D. 等边三角形 5. 已知{a n }是等差数列，且a 1 +a 2＝4，a 8+a 9＝6，则这个数列的前 9 项和等于A.45B.452C.55D.5526. 已知正数 m ,n 满足25m -1=0.2n , 则1m +2n的最小值为A.2B.4C.8D. 127. 已知平面向量 m = (l,λ+1)，n =(λ+2，2),则“λ>－43”是“m ,n 的夹角为锐角”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过原点O 作斜率为3的直线交 C 的右支于点A ,若∠F 1AF 2=2π3，则双曲线的离心率为A. 3B. 3+1C. 23+102D. 32+102二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线 C :y 2=4x 的焦点为 F ,点 M (x 0，y 0)在抛物线C 上，若| MF |= 4,则A.x 0= 3B.y 0=2 3C.|OM |=21D.F 的坐标为(0,1)10. 巳知a ,b ,c 是三条不重合的直线，平面α ,β相交于直线c ,a ⊂α,b ⊂β , 若a ,b 为异面直线，则下列说法可能成立的是 A.a 与c 相交，且b 与c 也相交 B.a //β，且b //α C.a //c ，且 b 与c 相交D. a ⊥c ，且 b ⊥c11. 已知点 P (1, −1)是角α终边上的一点，则A.函数f (x )＝sin(2x +α) 的对称轴方程为x ＝3π8+k π2(k ∈Z )B. 函数f (x )＝sin(2x +α) 的对称轴方程为x ＝π8+k π2(k ∈Z )C.函数g (x )＝cos(3x +α+5π4) 是奇函数D.函数g(x ) ＝cos(3x +α+5π4) 是偶函数12. 已知ln x >ln y ，x ≠l,y ≠l,0<m <l,则A.x m >y mB.(x +1)log y +1m <(y +l)log x +1mC.y x mmx y >; D.log x m •log m y >1第II 卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上 13. 在等差数列{a n }中，已知a 1= -3，a 4 = 1，则 a 7＝ .14. 已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为F 1,F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是 .15. 已知函数 f (x )=1,0,ln ,0,x x x x -⎧⎨>⎩≤若函数g (x )=f (x )+a 恰有一个零点，则a 的取值范围是 .16. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的离心率e 13(,)2∈，则 C 的长轴长的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (10分)在①AB = 2BD = 12 ；②sin ∠BAD = 2 sin ∠ABD ,D 为BC 的中点；③∠DAB =π6,AB =103这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求AC 的长； 若问题中的三角形不存在，说明理由．问题:是否存在△ABC ，在△ABC 中，∠ ACE =π4,点D 在线段BC 上，AD =l0,?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. (12分)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b , c ,C 为锐角，且ab =3, △ABC 的面积为334 .(1)求角C ；(2)若△ABC 外接圆的半径为433, 求△ABC 的周长．19. (12分)记S n 是正项数列{a n }的前n 项和，a n +32是6和S n +124的等比中项，且a 1≠2.(1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }的公比为12 ，且1b 1 ，1b 2 , 1b 3 - 2成等差数列，求数列{a n b n }的前n 项和T n .20. (12分)2020年“ 国庆、中秋” 国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元．如果每天有x 人游玩该项目，需要另投入成本f (x )2120,0500,,23600000410100000,500,x x x x x x x x ⎧+<<∈⎪⎪⎨⎪+-∈⎪⎩N N≥(单位：元)．同时为了满足防疫要求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800.(1)求该游乐项目每天的利润y (元)关于每天游玩该项目的人数x 的函数关系式； (2)当每天游玩该项目的人数x 为多少时，该游乐公司获利最大？21. (12分)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为2的正方形，PD ⊥平面ABCD . 点E 是AB 的中点，过点E 作平行于平面PAD 的截面，与直线CD ,P C,PB 分别交于点F ,G ,H .(1)证明： GH //EF .(2)若四棱锥P -ABCD 的体积为83 ，求四边形EFGH 的面积．22. (12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>左、右焦点分别是F 1,F 2，且离心率为22 ，点M 为椭圆C 上的动点，△F 1MF 2面积的最大值为1.(1)求椭圆C 的标准方程，(2)若M 是椭圆C 的上顶点，直线MF 1交椭圆C 于点N , 过点F 1的直线l (直线l 的斜率不为1)与椭圆C 交于P ,Q 两点，点P 在点Q 的上方，若11:3:2F MPF NQS S=，求直线l 的方程．。