江苏省泰州市2020届高三数学第一次模拟考试试题

2020届高三年级第一次模拟考试

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝1

3

Sh

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．

2. 已知集合A ＝{4，a 2

}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________． 3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．

4. 函数y ＝1－x 2

的定义域是________． 5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________． 6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．

7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3

a 3＋a 1

＝________．

8. 若抛物线y 2

＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2

－y 2

＝1的一条准线重合，则p ＝________． 9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1

V 2

的值是________．

10. 已知函数f(x)＝2x 4

＋4x 2

，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________．

11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2

＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2

＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．

12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB →

＋PC →

＝0，则λμ＝________．

13. 已知函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，

x 3＋3x －4a ，x

值范围是________．

14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2

C ，其中tan θ＝12⎝

⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，若

1

tan A ＋1tan B ＋2

tan C

为定值，则实数λ＝________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分) 已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)． (1) 若a ∥b ，求x 的值；

(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．

16. (本小题满分14分)

如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：

(1) 直线PB ∥平面OEF ； (2) 平面OEF ⊥平面ABCD.

如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π

3

，记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总长度为y 千米．

(1) 将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；

(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2

a 2＋y

2

b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，B 是椭圆C

上异于左、右顶点的任意一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为1

2

，点A 到右准线的距离为6.

(1) 求椭圆C 的标准方程；

(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．

设A ，B 为函数y ＝f(x)图象上相异两点，且点A ，B 的横坐标互为倒数，过点A ，B 分别作函数y ＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．

(1) 若函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧ln x ，0

ax 2， x>1不存在“优点”，求实数a 的值；

(2) 求函数f(x)＝x 2

的“优点”的横坐标的取值范围；

(3) 求证：函数f(x)＝ln x 的“优点”一定落在第一象限．

已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.

(1) 若a2＝3a1，求r的值；

(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；

(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．

2020届高三年级第一次模拟考试

数学附加题

(本部分满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)

B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1

2

－t ，y ＝12＋t

(t 为参数)，曲线C 的

参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，

y ＝2sin θ(θ为参数)．若直线

l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段

AB 的长．

C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)

设正数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝1，求1a ＋1a ＋b ＋1

b ＋

c 的最小值．