您的位置：文档网› 北京市大兴区第一中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试题

北京市大兴区第一中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试题

2020北京大兴一中高二（上）期中数 学2020-11一、单选题(共40分)1．经过(2,0), (5,3)A B −−两点的直线的倾斜角是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．135︒2．已知向量()0,1,1a =，()1,2,1b =−.若a b +与()2,,4c m =−−平行，则实数m 的值是（ ）A ．2B ．2−C ．10D ．10−3．若向量()()1,2,3,3,2,1AB AC ==,则平面ABC 的一个法向量为（ ）A ． ()1,2,1−B ．()1,2,1C ．()1,2,1−−D ．()1,2,1−4．无论m 取何值，直线()()31411210m x m y m +++−−=都恒过一个定点，则定点的坐标为（ ）A ．(8,9)−B ．(9,8)−C ．(15,14)−D ．(14,15)−5．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若AB =，1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．D ．46．已知直线l 的方向向量为m ,平面α的法向量为n ,则“0m n ⋅=”是“l ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，C 的面积为，且短轴长为C 的标准方程为（ ）A ．22112x y +=B ．22134x y +=C ． 22143x y +=D ．221163x y +=8．已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且4136PA PB xPC DB =−+，则实数x 的值为（ ） A ．13 B ．13−C ．12D ．12−9．设椭圆22221x y a b+=0)a b >>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c −，，点(,)2a N c 在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232MF MN F F +<恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围是A ．(02，B ．1)2C ．5)26， D ．5(,1)610．过圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4的圆心，作直线分别交x ，y 正半轴于点A ，B ，△AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S I +S Ⅳ＝S Ⅱ+S Ⅲ，则这样的直线AB 有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条二、填空题(共25分)11．椭圆2214x y +=的焦距为 .12．已知圆的方程是221x y +=，则经过圆上一点,22M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的切线方程是__________．13．在正方体1111ABCD A B C D −中，则直线1BC 与平面1A BD 所成角的正弦值为__________14．在空间中，四条不共线的向量OA 、OB 、OC 、OD 两两间的夹角均为α．则cos α的大小为__________． 15．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹的长度为_______三、解答题(共85分)16．已知ABC ∆的三个顶点(,)37A ，(,)25B −，(,)35C −−，点D 为AC 的中点．（1）求点D 的坐标； （2）求直线BD 的方程． （3）求△ABD 的面积．17．已知圆22: 4230C x y x y +−+−=和点(0,8)M −，（1）判断点M 与圆C 的位置关系（2）过点M 作一条直线与圆C 交于,A B 两点，且||4AB =，求直线AB 的方程； （3）过点M 作圆C 的切线，切点为,E F ，求EF 所在的直线方程．18、已知焦点在x 轴上的椭圆，左右焦点分别为,12F F ，上顶点为B ，且三角形12F F B 为等腰直角三角形，过2F 斜率为1的直线l 交椭圆与,E F 两点。

（1）求椭圆的离心率；（2）若||83EF =，求椭圆标准方程。

19．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，设平面ABC 的法向量n a yb zc =++（1）用,,a b c 表示BM ； （2）求n 及n 的长度；； （3）求点M 到平面ABC 的距离20．如图,四棱锥S ABCD −的侧面SAD 是正三角形,//AB CD ,且AB AD ⊥,24AB CD ==,E 是SB 中点.（1）求证：//CE 平面SAD ；（2）若平面SAD ⊥平面ABCD ,且=SB 求平面EAC 与平面ACB 夹角的余弦值.21、设,A B 两点的坐标分别为(,),(,)2020−直线,AE BE 相交于点E ，且它们的斜率之积为14−,直线l 方程：4x =，直线,AE BE 与直线l 分别相交于,M N 两点，AN 交轨迹E 与点F（1）求点E 的轨迹方程。

（2）求证：,,M B F 三点共线（3）求证：以MN 为直径的圆过定点。

2020北京大兴一中高二（上）期中数学参考答案1D 2A 3C 4A 5B 6B 7C 8A 9D 10B11 0x y += 13314 1-316解：（1）设D （x ，y ），则()3302x +−==，()7512y +−==，∴点D 的坐标为（0，1）．（2）∵直线BD 的斜率为51220k −==−−−．∴直线BD 的方程为：y –1=–2（x –0），即2x +y –1=0．（3）∵BD ==∴A 到直线BD 的距离为d ==．∴△ABD 的面积为1112225ABDSBD d ==⨯=．17解：（1）点M 坐标代入圆方程得：0640163450+−−−=>，所以点M 在圆外（2）圆22:(2)(1)8C x y −++=，则圆心(2,1)C −，半径r = ①若直线AB 的斜率存在，设直线:8AB y kx +=，即4580,,28kx y d k −−===⇒=此时，直线AB 方程为458028x y −−=； ②若直线AB 的斜率不存在，则直线:0AB x =，代入2230y y +−=得121,3y y ==−，此时AB 4=，合乎题意.综上所求直线AB 的方程为：0x =或45282240x y −−=； （3）以CM 为直径的圆的方程()()()2180x x y y −+++=， 即：222980x y x y +−++=，①；224230x y x y +−+−=，②. ① -②得27110x y ++=，因此，直线EF 的方程为27110x y ++=. 18 解：（1）在等腰直角三角形12F F B中，121F F B =，2c =，所以2e =（2）由（1）设(,)20F c ，(,)11E x y ，(,)22F x y 得椭圆方程为222212x y c c+=直线l 方程：y x c =−，与椭圆方程联立，消元得： 2340x cx −=解得：,12403cx x ==所以|21EF x x =−|403c−83c =⇒= 所以椭圆方程为22142x y += 19解：（1）()11111222BM BA A M c a a a b c b −+=+=+−++= （2）由题意知12a b b c c a ⋅=⋅=⋅= 由00n a n b ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩ 得：1110221122y z y z⎧++=⎪⎪⎨⎪++⎪⎩ 解得：1,3y z ==−所以3n a b c =+−||2229266n a b c a b a c c b =+++⋅−⋅−⋅=（3）因为//1A M 平面ABC ，所以点M 到平面ABC 的距离等于点1A 到平面ABC 的距离所以||||c nd n ⋅==||113+−= 20解：（1）取SA 的中点F ,连接EF ,因为E 是SB 中点,所以EF AB ∥,且2AB EF =, 又因为AB CD ∥,2AB CD =, 所以EFDC ,EF DC =,即四边形EFDC 是平行四边形, 所以EC FD ∥,又因为EC ⊄平面SAD ,FD ⊂平面SAD , 所以CE平面SAD ；（2）方法一：取AD 中点O ,连接SO ,BO , 因为SAD 是正三角形,所以SO AD ⊥, 因为平面SAD ⊥平面ABCD ,AB AD ⊥ 所以SO ⊥平面ABCD ,AB ⊥平面ABCD , 所以AB SA ⊥, 故4==SA ,以O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −,则(0,0,0)O ,(0,2,0)A −,(4,2,0)B −,(2,2,0)C,(0,2,0)D ,S ,(2,−E ,所以(0,=−CE ,(2,4,0)=−−CA ,设平面ACE 的法向量为(,,)m x y z =,则30−=y ,240x y −−=, 令1y =得(2,1,3)=m ,易知平面ACB 的法向量为(0,0,1)n =,则3cos ,||||422m n m n m n ⋅===,所以平面EAC 与平面ACB 夹角的余弦值为4. 21解：（1）设(,)E x y ，由题意()22AE y k x x =≠−+，()22BE yk x x =≠− 由已知有()12224y y x x x ⋅=−≠±+− 化简得()22124x y x +=≠±（2）设AE 方程为：(2),(0)y k x k =+≠ 令4x = 得点(4,6)M k由22(2)44y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元得：2222(14)161640k x k x k +++−= 显然0∆>恒成立由2216414A E k x x k −=+，且2A x =−，得：222814E k x k −=+代入直线l 方程得2414E ky k =+又因为(2,0)B ，所以：14BE k k=−所以直线BE 为：1(2)4y x k=−− 令4x = 得点1(4,)2N k −，112AN k k=−联立方程221(2)1244y x kx y −⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去x 得：()22361120k y ky ++=所以212361F ky k −=+，22722361F k x k −=+6342BM kk k==−2221236137222361F FB BM F ky k k k k k y k −=+===−=−+ ,BM BF 有公共点B ，所以,,M B F 三点共线（3）设以MN 为直径的圆上点(,)P x y ，则MP NP ⊥所以圆方程为()()()()144602x x y k y k−−+−+= 即()()22146302x y k y k−++−−= 当220(4)30y x y =⎧⎪⎨−+−=⎪⎩时与k 无关 所以以MN为直径的圆过定点（4）。

合集下载

2021-2022学年北京市大兴区高二年级上册学期期中检测数学试题【含答案】

2021-2022学年北京市大兴区高二年级上册学期期中检测数学试题【含答案】

2021-2022学年北京市大兴区高二上学期期中检测数学试题一、单选题1．已知()1,4A 、()2,3B ，则直线AB 的倾斜角等于（ ） A ．6πB ．π4C ．3π4D ．5π6C【分析】求出直线AB 的斜率，进而可求得直线AB 的倾斜角. 【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则0πα≤<，所以，43tan 112α-==--，故3π4α=. 故选：C.2．点(1,2)P -到直线1x =的距离等于（ ）． A ．0 B ．1C ．2D ．3C【分析】由于直线1x =平行于y 轴，从而可求得结果. 【详解】点(1,2)P -到直线1x =的距离等于1(1)2--=， 故选：C3．圆222430x y x y +-++=的圆心为（ ）． A ．(1,2)- B ．(1,2)-C ．(2,4)-D ．(2,4)-A【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标. 【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=， 所以圆心为(1,2)-， 故选：A4．设a 、b 、c 是空间向量，则以下说法中错误的是（ ） A ．a 、b 一定共面 B ．a 、b 、c 一定不共面 C ．a b b a ⋅=⋅ D ．()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅B【分析】利用共面向量的定义可判断AB 选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，任意两个空间向量都共面，A 对；对于B 选项，a 、b 、c 可能共面，也可能不共面，B 错； 对于C 选项，a b b a ⋅=⋅，C 对； 对于D 选项，()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅，D 对. 故选：B.5．已知向量(1,2,3),(1,2,)a b x =-=-，若a b ，则x 等于（ ） A ．6- B ． 3- C ．3 D ．6B【分析】由a b ，列方程求解即可.【详解】因为向量(1,2,3),(1,2,)a b x =-=-，且a b ， 所以12123x -==-，得3x =-， 故选：B.6．已知圆1:C 221x y +=与圆2:C 22870x y y +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．内切 D ．外切D利用圆心距与半径和的关系可判断两者的位置关系. 【详解】圆2:C ()2249x y -+=，其半径为3， 又()()221204004C C =-+-=，因为413=+即圆心距为两个圆的半径之和，故两圆外切， 故选：D.7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 是11A C 与11B D 的交点，若1AA a =，AB b =，AD c =，且BM xa yb zc =++，则x y z ++等于（ ）A ．1B ．12-C ．0D ．1A【分析】利用空间向量基本定理结合平行六面体的性质用,,a b c 把BM 表示出来，可求出,,x y z ，从而可求得x y z ++的值. 【详解】由题意得11BB B M BM =+ 111111()2AA B A B C =++11()2AA AB AD =+-+11122AA AB AD =-+ 1122a b c =-+，因为BM xa yb zc =++， 所以111,,22x y z ==-=，所以1x y z ++=， 故选：A8．“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件A【分析】求出当12l l //时实数a 的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //； 当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //. 因为{}1- {}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件. 故选：A.9．已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3B设圆心坐标得到圆的圆心的轨迹方程，再利用点到线的距离公式求解.【详解】半径为2的圆经过点(1,0)，设圆心坐标为(,)a b ，则圆的方程为22(1)(0)4a b -+-= 所以该圆的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆故圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为点(1,0)到直线的距离减半径，即2231401215221534⨯-⨯+-=-=+故选：B结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的距离最值， 当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，圆上点到直线距离的min d r =-， max d r =+10．圆221x y +=由于其完美的对称性常被称为“完美曲线”，其实数学中还有许多形状优美的曲线，例如曲线:||||1x y Γ+=，如图所示．给出下列三个结论：①曲线Γ所围成的“星形”区域的面积小于2；②曲线Γ恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线Γ2其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．① B ．②C ．①②D ．①②③D【分析】根据正方形的面积可判断①的正误，根据曲线与坐标轴的交点可判断②的正误，根据基本不等式可判断③的正误.【详解】如图，设||||1x y Γ=与坐标轴的交点分别为,,,A B C D ，则()()()()1,0,0,1,1,0,0,1A B C D --，则四边形ABCD 为正方形，222，故曲线Γ所围成的“星形”区域的面积小于2，故①正确； 曲线Γ恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）即为：()()()()1,0,0,1,1,0,0,1A B C D --，故②正确.设曲线上的动点为(),P m n ||||1m n =， 故21m n mn ++=即122m n mn mn +=- 故1016mn ≤≤，当且仅当11,44m n =±=±时等号成立，而()()22222122OP m n m n mn mnmn =++---()22122412112114mn mn mn ⎛⎫-+=---- ⎪⎝⎭，故③正确. 故选：D.思路点睛：特殊曲线性质的讨论，需根据曲线方程的形式来研究，与最值有关的问题应利用基本不等式来处理.二、填空题11．已知(1,1,1),(2,0,1)OA OB =-=-，则||AB 等于_____________．6【分析】利用模长公式可求||AB .【详解】()1,1,2A OB O B A =-=-，故||6AB =， 故612．己知直线230x y ++=的一个方向向量是()1,k ，那么k 等于_________．2-【分析】根据直线的斜率可求得k 的值.【详解】由题意可知，直线230x y ++=的斜率为221k =-=-.故答案为.2-13．己知空间向量()1,2,3a =，则a 在坐标平面Oxy 上的投影向量是_________（用坐标表示）．()1,2,0【分析】根据投影向量的定义可得结果.【详解】因为空间向量()1,2,3a =，则a 在坐标平面Oxy 上的投影向量是()1,2,0. 故答案为.()1,2,014．如图，己知网格中每个小正方形的边长都是1，则点C 到直线AB 的距离为_____________．1017101717【分析】如图建立平面直角坐标系，表示出,,A B C 三点坐标，求出直线AB 的方程，再利用点到直线的距离公式可求得答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则(0,1),(4,0),(2,3)A B C ，所以直线AB 的方程为141x y+=，即440x y +-=，所以点C 到直线AB 的距离为22243410171714d +⨯-==+， 故答案为.101717三、双空题15．我们把横、纵坐标均为整数的点叫做“格点”，且把顶点都是格点的凸多边形称做“格点多边形”，已知“格点多边形”的面积公式为112S m n =+-（其中m 为多边形边上的格点数，n 为多边形内部的格点数），则由直线123:20,:240,:280l x y l x y l x y -+=+-=+-=围成的格点三角形边上的格点数m =___________，面积S =_________________．6 6【分析】根据题意画出图形，由图形可求出,m n ，从而可求出S ，【详解】直线123:20,:240,:280l x y l x y l x y -+=+-=+-=围成的图形如图所示，由280240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得40x y =⎧⎨=⎩，即(4,0)A ，由28020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得24x y =⎧⎨=⎩，即(2,4)B ，由20240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得02x y =⎧⎨=⎩，即(0,2)C ，由图可得还有点(1,3),(2,1),(3,2)在多边形边上， 所以格点三角形边上的格点数6m =，三角形内部的格点有(1,2),(2,2),(3,1),(2,3)，共4个，即4n =， 所以111641622S m n =+-=⨯+-=，故6，6四、解答题16．已知(1,2),(1,1)A B -，过点(3,1)P --且与直线AB 垂直的直线为l ． (1)求l 的方程；(2)设l 与坐标轴的交点分别为M 和N ，求||MN ． (1)270x y ++= 75【分析】（1）先求出直线AB 的斜率，再由直线AB 与直线l 垂直求出直线l 的斜率，然后利用点斜式可求出直线l 的方程，（2）分别令0,0x y ==求出直线l 与坐标轴的交点，再利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】(1)因为(1,2),(1,1)A B -，所以2111(1)2AB k -==--，因为直线AB 与直线l 垂直， 所以直线l 的斜率为2-， 因为直线l 过点(3,1)P --，所以直线l 的方程为12(3)y x +=-+，即270x y ++=， (2)由（1）可知直线l 为270x y ++=，当0x =时，7y =-，当0y =时，72x =-，不妨令7,0,(0,7)2M N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则22775722MN ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱1DD 的中点，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）．(1)求异面直线AE 和11B D 所成角的余弦值；(2)求平面ABE 的法向量，并判断点(2,4,2)F 是否在平面ABE 内． 10 (2)平面ABE 的一个法向量(0,1,2)m =-（答案不唯一），点(2,4,2)F 在平面ABE 内.【分析】（1）根据题意求出AE 和11B D 的坐标，然后利用向量的夹角公式求解即可， （2）设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z =，然后由,m AB m AE ⊥⊥可求出其法向量，再利用AF 与法向量是否垂直来判断点(2,4,2)F 是否在平面ABE 内. 【详解】(1)由题意可得11(0,0,0),(0,2,1),(2,0,2),(0,2,2)A E B D , 所以(0,2,1)AE =，11(2,2,0)B D =-，设异面直线AE 和11B D 所成角的大小为θ，则 111111410cos cos ,4144AE B D AE B D AE B D θ⋅====+⨯+ 所以异面直线AE 和11B D 10(2)设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z =， 因为(0,2,1)AE =，(2,0,0)AB =，所以2020m AE y z m AB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1y =，则(0,1,2)m =-，所以平面ABE 的一个法向量为(0,1,2)m =-， 因为(2,4,2)AF =，(0,1,2)m =-， 所以0440m AF ⋅=+-=， 所以m AF ⊥，因为点A 在平面ABE 内， 所以点(2,4,2)F 在平面ABE 内.18．已知直线:20l x y m -+=，以点(2,1)C 为圆心的圆C 与y 轴相切． (1)求圆C 的标准方程；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且||AB =m 的值． (1)22(2)(1)4x y -+-=，(2)m =【分析】（1）根据题意可知圆的半径为2，圆心(2,1)C ，从而可求出圆C 的标准方程； （2）先求出圆心到直线l 的距离，再由弦心距，弦和半径的关系结合勾股定理列方程可求出m 的值．【详解】(1)因为点(2,1)C 为圆心的圆C 与y 轴相切， 所以圆的半径为2，所以圆C 的标准方程为22(2)(1)4x y -+-=， (2)圆心(2,1)C 到直线:20l x y m -+=的距离为d =因为直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且||AB =所以2222+=，即210m =，得m =19．若E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A B 的中点．(1)求证：1//DB 平面1AED ；(2)求证：平面1AED ⊥平面1ACD ．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接1A D 交1AD 于点F ，连接EF ，利用中位线的性质可得出1//EF B D ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出1B D ⊥平面1ACD ，结合1//EF B D 可得出EF ⊥平面1ACD ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立.【详解】(1)证明：连接1A D 交1AD 于点F ，连接EF ，因为四边形11AA D D 为正方形，11A D AD F =，则F 为1A D 的中点，又因为E 为11A B 的中点，则1//B D EF ，因为1B D ⊄平面1AED ，EF ⊂平面1AED ，因此，1//B D 平面1AED .(2)证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，因为1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC BB ∴⊥，1BD BB B =，1BB 、BD ⊂平面1BB D ，所以，AC ⊥平面1BB D ，1B D ⊂平面1BB D ，1B D AC ∴⊥，同理可证11B D AD ⊥，1AC AD A =，AC 、1AD ⊂平面1ACD ，1B D ∴⊥平面1ACD ，1//EF B D ，所以，EF ⊥平面1ACD ，EF ⊂平面1AED ，因此，平面1AED ⊥平面1ACD .20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 、F 分别为CD 、PB 的中点，2AD PD ==，4AB =．(1)求点P 到平面AEF 的距离；(2)求平面PAD 与平面AEF 夹角的余弦值． 433【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点P 到平面AEF 的距离；（2）利用空间向量法可求得平面PAD 与平面AEF 夹角的余弦值．【详解】(1)解：因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()0,2,0E 、()1,2,1F 、()002P ,,， 设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，()2,2,0EA =-，()1,0,1EF =，则2200m EA x y m EF x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则()1,1,1m =-， ()2,0,2PA =-，所以，点P 到平面AEF 的距离为4433PA md m ⋅===(2)解：由题意可知，平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =， 13,3m n cos m n m n ⋅===⋅ 所以，平面PAD 与平面AEF 321．已知两个定点(4,0),(1,0)A B ，动点P 满足2PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)若Q 是直线:4l y x =+上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线,QM QN ，切点分别为M ，N ，试探究直线MN 是否过定点，若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由． (1)224x y +=(2)过定点(1,1)-【分析】（1）由2PA PB =列方程化简即可得到曲线E 的方程； （2）先求出圆F 的方程，再和曲线E 的方程联立可得直线MN 的方程，从而可得定点坐标. 【详解】(1)设点(,)P x y ，因为2PA PB =，所以224PA PB =，所以2222(4)4[(1)]x y x y -+=-+，化简得：224x y +=,曲线E 表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆.(2)由题意得：ON QN ⊥，OM QM ⊥， 所以,M N 在以OQ 为直径的圆F 上，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心F 的坐标为4(,)22t t -， 且圆F 经过原点，即圆F 的方程为：22(4)0x y tx t y +---=，联立2222+=4+(4)=0x y x y tx t y ---⎧⎨⎩得：(4)40tx t y +--=， 因为,M N 是曲线E 和圆F 的交点，所以直线MN 的方程为：(4)40tx t y +--=， ()440(R)x y t y t ∴+--=∈，令0,440x y y +=--=，得1,1x y ==-， 所以直线MN 恒过定点(1,1)-.。

2023-2024学年北京一零一中大兴分校高二上学期期中考试数学试卷含详解

2023-2024学年北京一零一中大兴分校高二上学期期中考试数学试卷含详解

北京一零一中2023-2024学年度第一学期期中考试高二数学一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.下列直线中，倾斜角为锐角的是（）A.21y x =-+ B.10x y -+= C.1y = D.2x =2.若()2,3,1a =- ，()2,0,3b = ，()0,2,2c = ，则()a b c ⋅+的值为（）A.4 B.15 C.7D.33.若直线l 过点()3,2--，且l 的方向向量为()1,2-，则直线l 的方程为（）A .280x y +-= B.280x y ++=C.280x y -+= D.260x y --=4.设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知向量()1,0,1a = ，()2,2,1b =- ，()3,4,c z = ，若a ，b ，c共面，则z 等于（）A.9- B.5- C.5 D.96.已知实数x ，y 满足10x y ++=的最小值为（）A.B. C.D.7.如图，二面角l αβ--等于120︒，A B 、是棱l 上两点，BD AC 、分别在半平面αβ、内，AC l ⊥，BD l ⊥，且2AB AC BD ===，则CD 的长等于（）A. B. C.4 D.28.如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数()5πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象，A ，B 分别是()f x 图象的一个最高点和最低点，M 是()f x 图象与y 轴的交点，⊥BD OD ，现将该卡片沿x 轴折成如图2所示的直二面角A ODB --，在图2中，则下列结果不正确的是（）A.AB =B.点D 到平面ABM 的距离为14C.点D 到直线AB 的距离为33D.平面OBD 与平面ABM 夹角的余弦值为1479.如图，在三棱锥OABC 中，三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ，OB ，OC 的长分别为a ，b ，c .M 为ABC 内部的任意一点，点M 到平面OBC ，平面OAC ，平面OAB 的距离分别为0a ，0b ，0c ，则0002a b c a b c ⎛⎫++=⎪⎝⎭（）A .4B.1C.23D.210.设直线系M ：()()cos 2sin 102x y πθθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：①M 中所有直线均经过一个定点；②存在无数多个点不在M 中的任一条直线上；③对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题为（）A.①②④B.②③C.②③④D.③④二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量()8,3,m a = ，()2,6,5n b = ，若m n∥，则a b +=____________.12.两条直线1:3420l x y --=与2:3480l x y -+=之间的距离是______.13.若实数,x y 满足222210x y x y +--+=，则24y x --的取值范围是____________.14.已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则点P 到直线AB 的距离的最大值为____________；当PBA ∠最大时，PB =____________.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BB ==，3BC =，90ABC ∠=︒，CH xCB =，()101,01CP yCB x y =<≤≤≤.记(),f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都不存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ；②(),f x y 的最小值为3；③当(),f x y 取最小时，过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，则截面面积为4；④满足(),f x y =的点P 有无数个.其中所有正确结论的序号是____________.三､解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形且22AD AB ==，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 是正三角形，E F ，分别是AD ，PB 的中点.（1）求证：AF //平面PCE ；（2）求直线CF 与平面PCE 所成角的正弦值，17.已知点(0,1)A 和点()2,3B 是圆C 直径的两个端点．（1）求线段AB 的中点坐标和圆C 的方程；（2）过点A 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===，120PDC ∠=︒.（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值；（3）设M 是棱PA 的中点，在棱BC 上是否存在一点F ，使//MF PC ？若存在，请确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.19.已知圆C ：()2210x a x y ay a -++-+=.（1）若圆C 与y 轴相切，求圆C 的方程；（2）如图，当5a =时，圆C 与x 轴相交于两点M ，N （点M 在点N 的左侧）.问：是否存在圆O ：222x y r +=，使得过点M 的任一条直线与该圆的交点为A ，B ，都有ANM BNM ∠=∠?若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.20.已知n A ：()12,,,4n a a a n ⋅⋅⋅≥为有穷数列.若对任意的{}0,1,,1i n ∈⋅⋅⋅-，都有11i i a a +-≤（规定0n a a =），则称n A 具有性质P .设()(){},1,22,1,2,,n ijT i j a aj i n i j n =-≤≤-≤-=⋅⋅⋅.（1）判断数列4A ：1，0.1，-0.2，0.5，5A ：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P ?若具有性质P ，写出对应的集合n T ；（2）若4A 具有性质P ，证明：4T ≠∅；（3）给定正整数n ，对所有具有性质P 的数列n A ，求n T 中元素个数的最小值.北京一零一中2023-2024学年度第一学期期中考试高二数学一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.下列直线中，倾斜角为锐角的是（）A.21y x =-+B.10x y -+= C.1y = D.2x =【答案】B【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得.【详解】设直线倾斜角为α，A 选项，直线21y x =-+，斜率tan 20k α==-<，即倾斜角为钝角；B 选项，直线1y x =+，斜率tan 10k α==>，倾斜角为45 ，是锐角；C 选项，直线1y =，斜率tan 0k α==，即倾斜角为0 ，不是锐角；C 选项，直线2x =，斜率不存在，即倾斜角为90 ，是直角不是锐角.故选：B.2.若()2,3,1a =- ，()2,0,3b = ，()0,2,2c = ，则()a b c ⋅+的值为（）A.4 B.15 C.7D.3【答案】D【分析】先求得b c +r r，由此求得()a b c ⋅+ 的值的值.【详解】依题意b c +r r()2,2,5=，所以()a b c ⋅+ ()2232154653=⨯+-⨯+⨯=-+=.故选：D【点睛】本小题主要考查空间向量加法和数量积的坐标运算，属于基础题.3.若直线l 过点()3,2--，且l 的方向向量为()1,2-，则直线l 的方程为（）A.280x y +-=B.280x y ++=C.280x y -+=D.260x y --=【答案】B【分析】由直线的方向向量与斜率的关系求得直线斜率，根据点斜式建立直线方程，化简为直线的一般式方程即可得解.【详解】解：∵l 的方向向量为()1,2-，∴直线l 的斜率221k -==-，又∵直线l 过点()3,2--，∴直线l 的方程为：()223+=-+y x ，即280x y ++=.故选：B.4.设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】计算直线平行等价于1a =或2a =-，根据范围大小关系得到答案.【详解】直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行，则()12a a +=，1a =或2a =-，验证均不重合，满足.故“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.5.已知向量()1,0,1a = ，()2,2,1b =- ，()3,4,c z = ，若a ，b ，c共面，则z 等于（）A.9-B.5- C.5D.9【答案】D【分析】根据,,a b c列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出z 的值.【详解】由于,,a b c 共面，所以存在,λμ，使得a b c λμ=+，即()()()()1,0,12,2,3,4,23,24,z z λλλμμμλμλμλμ=-+=-+++，所以1230241z λμλμλμ=-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得：12,9,77z μλ===-，所以9z =.故选：D.6.已知实数x ，y 满足10x y ++=的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【分析】表示直线10x y ++=上一动点(),P x y 到定点()()1,1,2,0A B 的距离之和，利用数形结合法求解.表示直线10x y ++=上一动点(),P x y 到定点()()1,1,2,0A B 的距离之和，如图所示：设点()1,1A 关于直线10x y ++=的对称点为()00,A x y '，则0000111111022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩，解得0022x y =-⎧⎨=-⎩，所以对称点为()2,2A '-，则A B '=+的最小值为故选：D7.如图，二面角l αβ--等于120︒，A B 、是棱l 上两点，BD AC 、分别在半平面αβ、内，AC l ⊥，BD l ⊥，且2AB AC BD ===，则CD 的长等于（）A. B. C.4 D.2【答案】C【分析】根据题意，可得DC DB BA AC =++uuu r uu u r uu r uuu r，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由二面角的平面角的定义知,120BD AC 〈〉︒=，∴cos ,22cos1202BD AC BD AC BD AC ⋅=〈〉=⨯⨯︒=-，由,AC l BD l ⊥⊥，得0,0AC BA BD BA ⋅=⋅=，又DC DB BA AC =++uuu r uu u r uu r uuu r，∴22222()222DC DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC=++=+++⋅+⋅+⋅ ()2222222122216BD AC =++-⋅=-⨯-=，所以4DC =，即4CD =.故选：C.8.如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数()5πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象，A ，B 分别是()f x 图象的一个最高点和最低点，M 是()f x 图象与y 轴的交点，⊥BD OD ，现将该卡片沿x 轴折成如图2所示的直二面角A ODB --，在图2中，则下列结果不正确的是（）A.AB =B.点D 到平面ABM 的距离为1414C.点D 到直线AB 的距离为33D.平面OBD 与平面ABM 夹角的余弦值为147【答案】C【分析】根据给定条件，求出图1中点A,B,D,M 的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点A,B,D,M 的坐标，再逐项判断作答.【详解】在图1中，由()5πsin π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得1,13A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,13B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则10,,13A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21,,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,1,1AB =-，得AB = ，A 正确．设平面ABM 的法向量为(),,n x y z =r，110,,32AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即011032x y z y z +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取3y =，则2z =，=1x -，所以平面ABM 的一个法向量()1,3,2n =-，所以点D 到平面ABM的距离为1414DB n n ⋅==，B 正确．取()1,0,0a DB == ，()33331,1,13333AB u AB ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则21a = ，33a u ⋅=，所以点D 到直线AB63=，C 错误．平面OBD 的一个法向量为()0,0,1m =，则平面OBD 与平面ABM夹角的余弦值为7m n m n ⋅== ，D 正确.故选：C.9.如图，在三棱锥OABC 中，三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ，OB ，OC 的长分别为a ，b ，c .M 为ABC内部的任意一点，点M 到平面OBC ，平面OAC ，平面OAB 的距离分别为0a ，0b ，0c ，则0002a b c a b c ⎛⎫++=⎪⎝⎭（）A.4B.1C.23D.2【答案】D【分析】根据O ABC M OBC M OAC M OAB V V V V ----=++，利用等体积法即可求得答案.【详解】如图，设点M 到平面OBC ，平面OAC ，平面OAB 的投影点分别为,,D E F ,连接,,,,,,MD ME MF MA MB MC MO ，则O ABC M OBC M OAC M OAB V V V V ----=++.而111326O ABC V abc abc -=⨯⨯=，0000001111111()3232326M OBC V bca abc acb bca abc acb -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++，所以00011()66abc bca abc acb =++，则0001a b c a b c ++=，则00022a b c a b c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故选：D.10.设直线系M ：()()cos 2sin 102x y πθθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：①M 中所有直线均经过一个定点；②存在无数多个点不在M 中的任一条直线上；③对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题为（）A.①②④B.②③C.②③④D.③④【答案】B【分析】点()0,2到直线系()():cos 2sin 102πM x y θθθ+-=≤≤中每条直线的距离d =，直线系()():cos 2sin 102πM x y θθθ+-=≤≤表示圆()2221x y +-=的切线的集合.从切线的角度逐一判断各个命题即可得到答案.【详解】因为点()0,2到直线系()():cos 2sin 102πM x y θθθ+-=≤≤中每条直线的距离d =，直线系()():cos 2sin 102πM x y θθθ+-=≤≤表示圆()2221x y +-=的切线的集合.①：由于直线系表示圆()2221x y +-=的所有切线，其中存在两条切线平行，M 中所有直线均经过一个定点不可能，故①不正确；②：直线系表示圆()2221x y +-=的所有切线，故圆内部的点不在M 中的任一条直线上，所以存在无数多个点不在M 中的任一条直线上，故②正确；③：由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故③正确；④：如图，M 中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如ABC 是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如ADE V 型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故④不正确.故选：B.二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量()8,3,m a = ，()2,6,5n b = ，若m n ∥，则a b +=____________.【答案】212##10.5【分析】由向量平行可设m tn =，可得82365bt t a t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解方程即可得解.【详解】由//m n 设m tn =，则82365bt t a t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得852b a =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以212a b +=，故答案为：212.12.两条直线1:3420l x y --=与2:3480l x y -+=之间的距离是______.【答案】2【分析】根据平行直线间距离公式可直接求得结果.【详解】由平行直线间距离公式可得：12,l l 之间的距离2d ==.故答案为：2.13.若实数,x y 满足222210x y x y +--+=，则24y x --的取值范围是____________.【答案】30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】已知等式变形后得到圆方程，找出圆心和半径，令24y t x -=-，得到420tx y t --+=，根据直线和圆有公共点列式求解即可.【详解】令24y t x -=-，即420tx y t --+=，表示一条直线，又方程222210x y x y +--+=可化为()()22111x y -+-=，表示圆心为()1,1，半径为1的圆，由题意可知圆与直线有公共点，所以圆心到直线的距离1d =≤，解得304t ≤≤，即24y x --的取值范围是30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：30,4⎡⎤⎢⎣⎦14.已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则点P 到直线AB 的距离的最大值为____________；当PBA ∠最大时，PB =____________.【答案】①.11545+②.【分析】先求出直线AB 的方程，由圆心到直线的距离加上半径可得最大值；找到当∠PAB 最大时P 点所在的位置，再结合勾股定理可得BP 的值.【详解】由题意可得AB 的直线方程为142x y+=，即240x y +-=，圆的圆心坐标为(5,5)，半径为4，圆心(5,5)到直线AB1155=，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为11545+，如图：，当∠PAB 最大或最小时，直线PB 与圆相切，上图的P 点位置满足∠PAB 最大的情况，BM =，4PM =，所以BP ==故答案为：45+；15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BB ==，3BC =，90ABC ∠=︒，CH xCB =，()101,01CP yCB x y =<≤≤≤.记(),f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都不存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ；②(),f x y 的最小值为3；③当(),f x y 取最小时，过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，则截面面积为154；④满足(),f x y =的点P 有无数个.其中所有正确结论的序号是____________.【答案】②③【分析】①问题化为对于任意点H ，是否存在点P ，使面AHP ⊥面11A B C ，由已知证面11A B C ⊥面11BB C C ，结合面面垂直判定判断存在性即可；②将ABC 绕BC 翻折到平面1BB C 内，证1AB C V 为等边三角形，进而确定(),f x y 的最小值；③P 为1CB 的中点，H 为1AB C V 的重心，平面11BCC B 中，延长HP 交11B C 于点M ，取1B M 的中点Q ，N 为11A C 的中点，证过点,,A H P 的三棱柱的截面为梯形AHMN ，根据已知求其面积；④由HB ≥152时，AH ≥332，进而得到(,)2AH HR f x y AH +≤≤，几何法确定不等式两端的范围，即可判断.【详解】①因为三棱锥111ABC A B C -为直三棱锥，所以1BB ⊥面111A B C ，又11A B ⊂面111A B C ，所以111BB A B ⊥，又90ABC ∠=︒，所以11190A B C ∠=︒，所以1111A B B C ⊥，由1111BB B C B = ，111,BB B C ⊂面11BB C C ，故11A B ⊥面11BB C C ，11A B ⊂面11A B C ，所以面11A B C ⊥面11BB C C ，而1,H BC P CB ∈∈且都在面11BB C C 内，由于面11A B P 即为面11A B C ，要使面AHP ⊥面11A B P ，只需面AHP ⊥面11A B C ，综上，HP ⊥面11A B C 时，HP ⊂面AHP ，此时面AHP ⊥面11A B C ，即面AHP ⊥面11A B P ，对于任意点H ，只需对应HP 平行于1BCB △中1CB 边上的高时，均满足要求，错；②将ABC 绕BC 翻折到平面1BB C 内，则AH HP +的最小值为点A 到直线1CB 的距离，又1AB BB ==3BC =，190ABC B BC ︒∠=∠=，所以11AC CB AB ===所以A 到直线1CB 的距离为3，所以(),f x y 的最小值为3，对；③当(),f x y 取最小时，P 为1CB 的中点，因为1AB C V 为等边三角形，B 为1AB 的中点，所以H 为1AB C V 的重心，故13BH BC =，在平面11BCC B 中，延长HP 交11B C 于点M ，因为1PC PB =，1PB M PCH ∠=∠，1B PM HPC ∠=∠，所以1PB M PCH ≅ ，故123B M CH ==，取1B M 的中点Q ，N 为11AC 的中点，则1//MN A Q ，因为1//BH B Q ，1BH B Q =，所以四边形1BB QH 为平行四边形，则11//,HQ BB HQ BB =，又1111//,AA BB AA BB =，所以1//A Q AH ，所以//MN AH ，故过点,,A H P 的三棱柱的截面为梯形AHMN，2AH ==，1112MN A Q ==，2MH ==，AN ==如下图，过M 作MG AH ⊥，设,HG x MG y ==，因为222222,()MH HG MG AN AG MN MG =+=-+，则()22222416x y MH x y ⎧+==⎪⎨++=⎪⎩，所以115,22x y ==，则梯形AHMN 的面积为1()2MN AH MG +⋅=4，错；④当HB ≥152时，AH ≥332，结合题设知12AH HP AH HB AH +≤+=，在下图中过点H 作HR BC ⊥，垂足为R ，则AH HP AH HR +≥+，综上，(,)2AH HR f x y AH +≤≤，又32AH HR AH HC AC BC BH +<+<+-<+-<，2AH ≥，（对于1532+-<：只需1532-<6<即23627<=+，则3<.）故对于任意的点H ，当HB ≥2时，都存在对应的点P ，满足AH HP +=故满足(),f x y =的点P 有无数个，对；故答案为：②③【点睛】关键点点睛：③利用平面基本性质找到截面并证明其为梯形，求出相关线段长为关键；④注意取HB ≥152时，AH ≥2，过点H 作HR BC ⊥，垂足为R ，并得到(,)2AH HR f x y AH +≤≤为关键.三､解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形且22AD AB ==，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 是正三角形，E F ，分别是AD ，PB 的中点.（1）求证：AF //平面PCE ；（2）求直线CF 与平面PCE 所成角的正弦值，【答案】（1）详见解析（2）13【分析】（1）作出辅助线，证明线线平行，进而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角；【小问1详解】取PC 的中点M ，连接MF ，ME，因为F 是PB 的中点，所以MF 是三角形PBC 的中点，所以MF ∥BC ，且12MF BC =，因为底面ABCD 为矩形，E 是AD 的中点，所以AE ∥BC ，12AE BC =，所以MF ∥AE ，且MF =AE ，所以四边形AFME 是平行四边形，故AF ∥ME ，因为AF ⊄平面PCE ，ME ⊂平面PCE ，所以AF ∥平面PCE .【小问2详解】因为侧面PAD 是正三角形，E 是AD 的中点，所以PE AD ⊥，又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，所以PE ⊥底面ABCD ，以E 为坐标原点，ED 所在直线为x 轴，取BC 中点H ，EH 所在直线为y 轴，EP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，(1,1,0)C，P ，(1,1,0)B -，11(,,222F -，(0,0,0)E ，设平面PEC 的法向量111(,,)m x y z =，则1110CE m x y EP m ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得：10z =，令11x =得：11y =-，所以(1,1,0)m =- ，313(,,222CF =-- ，设直线CF 与平面PCE 所成角为α，故26sin cos ,13CF m CF m CF mα⋅=== ；所以直线CF 与平面PCE 所成角的正弦值为2613.17.已知点(0,1)A 和点()2,3B 是圆C 直径的两个端点．（1）求线段AB 的中点坐标和圆C 的方程；（2）过点A 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程．【答案】（1）AB 中点(1,2)，22:(1)(2)2C x y -+-=（2）:10l x y +-=【分析】（1）根据中点坐标公式即可求得,A B 的中点，即圆心坐标，利用两点间距离公式可求得直径AB ，即可写出圆C 的方程；（2）根据直线和圆的位置关系可得切线l 的斜率，再利用点斜式方程即可求得切线l 的方程．【小问1详解】由点(0,1)A 和点()2,3B 是圆C 直径的两个端点，可得AB 的中点即为圆心C ，根据中点坐标公式可得(1,2)C ，即线段AB 的中点坐标为(1,2)C ，根据两点间距离公式得直径AB ==所以圆C 的半径为r =则圆的方程为22:(1)(2)2C x y -+-=【小问2详解】根据题意可知直线AB 与切线l 垂直，直线AB 的斜率为31120AB k -==-，设切线l 的斜率为k ，满足1AB k k =- ，得1k =-；又切线l 过点A ，利用直线的点斜式方程得:11(0)l y x -=-⨯-；即切线l 的方程为:10l x y +-=.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===，120PDC ∠=︒.（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值；（3）设M 是棱PA 的中点，在棱BC 上是否存在一点F ，使//MF PC ？若存在，请确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）25117（3）不存在，理由见解析【分析】（1）根据面面垂直的性质即可得出结论；（2）如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用向量法即可得出答案；（3）假设存在，设此时λBF BC =，分别求出,MF PC ，根据//MF PC ，可得存在唯一的实数μ，使得MF PC μ=，列出方程组，解得即可得出结论.【小问1详解】证明：因为平面ABCD ⊥平面PCD ，平面ABCD ⋂平面PCD CD =，AD DC ⊥，所以AD ⊥平面PCD ；【小问2详解】解：作z 轴⊥平面ABCD ，则z 轴在平面PCD 中，如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系，则(()()()()0,,0,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,0P D A B C -，则()((()2,0,0,0,1,,0,3,,2,1,0DA DP PC BC ==-==-，设()111,,m x y z = 为平面PAD 的法向量，()222,,n x y z =为平面PBC 的法向量，则有11120m DA x m DP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()m = ，同理，可取(1,2,n =，则cos,17m nm nm n⋅===，所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为17；【小问3详解】解：假设存在，设此时λBF BC=，131,,22M⎛-⎝⎭，()2,,0BF BCλλλ==-，131,,22MA⎛=-⎪⎝⎭，则312,,22MF MA AB BFλλ⎛⎫=++=-+-⎪⎪⎝⎭，因为//MF PC，则//MF PC，所以存在唯一的实数μ，使得MF PCμ=，即()312,,0,3,22λλμ⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭，所以1203322λλμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎪⎩，方程组无解，与题设矛盾，所以不存在一点F，使//MF PC.19.已知圆C：()2210x a x y ay a-++-+=.（1）若圆C 与y 轴相切，求圆C 的方程；（2）如图，当5a =时，圆C 与x 轴相交于两点M ，N （点M 在点N 的左侧）.问：是否存在圆O ：222x y r +=，使得过点M 的任一条直线与该圆的交点为A ，B ，都有ANM BNM ∠=∠?若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.【答案】19.220x x y -+=或225440x y x y +--+=20.存在；225x y +=【分析】（1）根据圆的一般方程确定圆心和半径，由题意列出方程，即可求得答案；（2）先求出点M 的坐标，假设符合题意的圆存在，当直线斜率存在时，设出直线的方程并和圆的方程联立，可得根与系数的关系，结合ANM BNM ∠=∠得出0NA NB k k +=，即1212055y y x x +=--，利用根与系数的关系化简求值，结合验证直线AB 的斜率不存在时是否适合题意，即可得出结论.【小问1详解】由已知圆C ：()2210x a x y ay a -++-+=知圆心为1(,)22a a +，半径为222(1)422122a a a a a R ++--+==，由于圆C 与y 轴相切，故21221||22a a a +-+=，即240a a -=，解得0a =或4a =，故圆C 的方程为：220x x y -+=或225440x y x y +--+=；【小问2详解】当5a =时，圆C 方程为226550x x y y -+-+=，令0y =，则2650x x -+=，解得1x =或5x =，故(1,0),(5,0)M N ，假设存在圆O ：222x y r +=，使得过点M 的任一条直线与该圆的交点为A ，B ，都有ANM BNM ∠=∠，则必有M 点在圆222x y r +=内，即1r >；当直线AB 与x 轴不垂直时，设其方程为(1)y k x =-，联立222x y r +=，得()22222120k x k x k r +-+-=，由于直线AB 经过点M ，M 在圆222x y r +=内，则必有0∆>，设()()1122,,,A x y B x y ，则22212122211,2k k r x x x x k k-+==++，由ANM BNM ∠=∠可知0NA NB k k +=，由题意知ANM BNM ∠=∠不可能为直角，故125,5x x ≠≠，故1212055y y x x +=--，即()()()()()()122112[1515]055k x x x x x x --+--=--，即()()()()()12211212151526100x x x x x x x x --+--=-++=即2222222210226100111k r k r k k k--⨯-⨯+==+++，则25r =，当直线AB 与x 轴垂直时，,A B 关于x 轴对称，显然ANM BNM ∠=∠，符合题意，综上可知，存在圆225x y +=，使得过点M 的任一条直线与该圆的交点为A ，B ，都有ANM BNM ∠=∠.【点睛】关键点睛：本题考查圆的方程的应用以及直线和圆的位置关系中的探索问题，解答的关键是假设探索性问题的结论存在，由此利用直线和圆的方程联立，结合根与系数的关系，由ANM BNM ∠=∠得0NA NB k k +=，进而列方程化简求解，即可得出结论.20.已知n A ：()12,,,4n a a a n ⋅⋅⋅≥为有穷数列.若对任意的{}0,1,,1i n ∈⋅⋅⋅-，都有11i i a a +-≤（规定0n a a =），则称n A 具有性质P .设()(){},1,22,1,2,,n i j T i j a a j i n i j n =-≤≤-≤-=⋅⋅⋅.（1）判断数列4A ：1，0.1，-0.2，0.5，5A ：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P ?若具有性质P ，写出对应的集合n T ；（2）若4A 具有性质P ，证明：4T ≠∅；（3）给定正整数n ，对所有具有性质P 的数列n A ，求n T 中元素个数的最小值.【答案】（1）4A 具有性质P ,{}4(2,4)T =,5A 不具有性质P（2）见解析（3）3n -【分析】（1）根据性质P 的定义判断4,5A A 是否满足题意，同时根据n T 的定义写出n T ；（2）利用反证法证明(1,3),(2,4)至少有一个在4T 中，4T ≠∅即可得证；（3）设n T 中元素个数最小为n d ，根据新定义可知11n n d d -≥+，以此类推可得44n d d n ≥+-，由（2）知41d ≥，则3n d n ≥-，再进行证明即可.【小问1详解】解：由题知4A ：1，0.1，-0.2，0.5，即12341,0.1,0.2,0.5a a a a ===-=，因为10142132430.51,0.91,0.31,0.71,a a a a a a a a a a -=-=≤-=≤-=≤-=≤所以4A 具有性质P ,又因为()(){},1,22,1,2,,n i j T i j a a j i n i j n =-≤≤-≤-=⋅⋅⋅，所以当4n =时，242j i ≤-≤-，即2j i -=，所以可得13241.21,0.41a a a a -=>-=≤，所以{}4(2,4)T =；又由题知5A ：1，2，0.7，1.2，2，即123451,2,0.7, 1.2,2a a a a a =====，因为32 1.31a a -=>，所以5A 不具有性质P ；所以4A 具有性质P ,{}4(2,4)T =,5A 不具有性质P .【小问2详解】证明：要证4T ≠∅，即证：(1,3),(2,4)两个元素至少有一个在4T 中，假设(1,3),(2,4)两个元素均不在4T 中，则13241,1a a a a ->->，不妨设12a a ≤，若23a a >，则122310,01a a a a -≤-≤<-≤，又由131223a a a a a a -=-+-，则1311a a -<-≤，与131a a ->矛盾，所以23a a ≤，同理可得：34a a ≤，所以1234a a a a ≤≤≤，所以1014414221421a a a a a a a a a a a a -=-=-=-+-≥->，这与4A 具有性质P 矛盾，所以假设不成立，即4T ≠∅得证.【小问3详解】设{}12min ,,,,(21)k n a a a a k n =≤≤- ，规定1k =时，1k n a a -=，k n =时，11k a a +=，则[]11,,1k k k k a a a a -+∈+，所以111k k a a +--≤，考虑数列311:,,k k k B a a a -+，1121,1:,,,,,n k k n C a a a a a --+ ，由题设可知，他们均具有性质P ，设n T 中元素个数最小为n d ，则可得11n n d d -≥+，所以124124n n n d d d d n --≥+≥+≥≥+- ，由（2）知41d ≥，则3n d n ≥-，当21n m =+时，令(1,2,,)i a i i m == ，3(1,2,,1)2m i a m i i m +=+-=+ ，当2n m =时，令(1,2,,)i a i i m == ，1(1,2,,)2m i a m i i m +=+-= ，此时均有3n d n =-，所以n T 中元素个数的最小值为3n -.【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题.关于新定义题型的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）根据已知条件和所求，通过分析把所求转化为数学语言；（3）将已知条件代入新定义要素中；（4）最后结合所学数学知识进行规范的解答.。

2020年北京大兴第一中学高二数学理上学期期末试题含解析

2020年北京大兴第一中学高二数学理上学期期末试题含解析

2020年北京大兴第一中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为（）A．C B．25 C．52 D．A参考答案：B【考点】计数原理的应用．【分析】直接利用分步乘法计数原理得答案．【解答】解：不妨设5名同学分别是A，B，C，D，E，对于A同学来说，第二天可能出现的不同情况有去和不去2种，同样对于B，C，D，E都是2种，由分步乘法计数原理可得，第二天可能出现的不同情况的种数为2×2×2×2×2=25（种）．故选：B．2. 函数的定义域是（）A．B．（1，2）C．（2，+∞）D．（－∞，2）参考答案：B略3. 椭圆的四个顶点为A、B、C、D，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是( ）A. B. C. D.参考答案：A4. 有一堆形状大小相同的珠子,其中只有一粒质量比其他的轻,某同学经过思考,认为根据科学的算法,利用天平(不用砝码),二次称量肯定能找到这粒质量较轻的珠子,则这堆珠子最多有( )粒A.6B.7C.9D.12参考答案：C5. 若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】利用直线与平面垂直的关系，再利用充要条件的判定方法，即可求解．【详解】由是两条不同的直线，垂直于平面，则“”可能“”或“”，反之，“”则“”，所以是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的应用，以及充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，准确利用充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6. 若框图所给程序运行的结果为，那么判断框中应填入的关于的判断条件是（）．A．B．C．D．参考答案：D7. 如图，OABC是四面体，G是△ABC的重心，G1是OG上一点，且OG=3OG1，则( )A．B．C．D．参考答案：C略8. 若“”为真命题，则下列命题一定为假命题的是（A）（B）（C）（D）参考答案：D9. 用反证法证明“如果a>b，那么”假设的内容应是A. B.C.且D.或参考答案：D10. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为( )A.B.C.D.参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知随机变量，且，则______．参考答案：0.34.12. 若函数在处取极值，则参考答案：略13. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A=．参考答案：【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵，∴cosA===，A∈（0，π），∴A=．故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14. 以A（-1，2 ），B（5，6）为直径端点的圆的方程是_______________。

2023-2024学年北京市大兴区高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市大兴区高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．直线的斜率为﹣1，其倾斜角的大小是（ ） A ．30°B ．45°C ．90°D ．135°2．已知两个向量a →=(1，−1，2)，b →=(2，m ，n)，且a →∥b →，则m +n ＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．63．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ） A ．至多一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶 D ．两次都没中靶4．点P （0，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离等于（ ）A ．√22B ．1C ．√2D ．25．圆x 2+（y +2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（ ） A ．（x +2）2+y 2＝2 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1 C ．（x +2）2+（y +2）2＝1D ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝26．“a ＝﹣1”是“直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知两点M （﹣2，0），N （0，2），则以线段MN 为直径的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣2x +2y ＝0 B ．x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣6＝0 C ．x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0D ．x 2+y 2+2x ﹣2y ＝08．在空间直角坐标系中，已知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），若点P （x ，1，1）在平面ABC 内，则x ＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．√2D ．19．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）A ．存在点E ，使EF ∥BDB ．三棱锥B 1﹣ACE 的体积随动点E 变化而变化C ．直线EF 与AD 1所成的角不可能等于60° D ．存在点E ，使EF ⊥平面AB 1C 1D10．如图，已知两点A （4，0），B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后射到直线OB 上，再经直线OB 反射后射到P 点，则光线所经过的路程PM +MN +NP 等于（ ）A ．2√10B ．6C ．3√3D ．2√5二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．直线2x +y ﹣1＝0的一个方向向量为 ．12．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知OA →=(1，−1，1)，OB →=(2，0，−1)，AC →=CB →，则OC →的坐标为 ．13．已知等腰三角形ABC 的顶点为A （4，2），底边的一个端点为B （5，3），则底边的另一个端点C 的轨迹方程为 ．14．甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为13，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是 ；第3次由甲射击的概率是 ．15．在平面直角坐标系中，定义P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）两点间的直角距离为d （P ，Q ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，如图BC ̂是圆A ：（x ﹣1）2+y 2＝1当x ≥32时的一段弧，D 是BĈ与x 轴的交点，将BC ̂依次以原点O 为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d （C ，D ）＝ ．若点P 为曲线上任一点，则d （O ，P ）的最大值为 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知△ABC 中，点A （﹣1，0），点B （2，0），点C(0，√3)． （1）求边AC 上的高所在直线的方程； （2）求∠BAC 角平分线所在直线的方程．17．（15分）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用（x ，y ）表示试的样本点，其中x 表示第一次取出球的数字，y 表示第二次取出球的数字．设事件A ＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B ＝“两次取出的球的数字之和是4”． （1）写出这个试验的样本空间；（2）分别求出P （A ），P （B ），P （AB ）的值； （3）判断事件A 和事件B 是否相互独立，并说明理由．18．（15分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，E 是DC 的中点．以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出DB 1→在平面ADD 1A 1上的投影向量的坐标； （2）求点B 1到平面AED 1的距离；（3）求直线DB 1与平面AED 1所成角的正弦值．19．（15分）已知圆C 经过点A （0，2）和点B （1，3），且圆心C 在直线x ﹣y ﹣1＝0上． （1）求圆C 的方程；（2）若线段DE 的端点D 的坐标是（4，3），端点E 在圆C 上运动，求线段DE 的中点M 的轨迹方程． 20．（15分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点． （1）求证：C 1D ⊥A 1B ； （2）求证：C 1D ∥平面A 1BE ；（3）在棱CC 1上是否存在一点P ，使得平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°？若存在，求CP CC 1的值；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知直线l 1，l 2的方程分别是l 1：x ＝0，l 2：3x ﹣4y ＝0，点A 的坐标为(1，a)(a ＞34)．过点A 的直线l 的斜率为k ，且与l 1，l 2分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）． （1）若k ＝﹣1，且A 为线段MN 中点，求实数a 的值及△AON 的面积； （2）是否存在实数a ，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．直线的斜率为﹣1，其倾斜角的大小是（ ） A ．30°B ．45°C ．90°D ．135°解：设直线的倾斜角为α，则tan α＝﹣1， ∵0°≤α＜180°，∴α＝135°． 故选：D ．2．已知两个向量a →=(1，−1，2)，b →=(2，m ，n)，且a →∥b →，则m +n ＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6解：因为a →∥b →，所以b →=λa →，λ∈R ，故（2，m ，n ）＝λ（1，﹣1，2），即{2=λm =−λn =2λ，解得{m =−2n =4，m +n ＝2．故选：A ．3．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ） A ．至多一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶D ．两次都没中靶解：连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶，②只有一次中靶，③两次都没中靶； 设事件P ：至少一次中靶，则P ＝{①，②}，A 选项：事件A ：至多一次中靶，则A ＝{②，③}，P ∩A ＝{②}，不互斥，不对立，B 选项：事件B ：两次都中靶，则B ＝{①}，P ∩B ＝{①}，不互斥，不对立，C 选项：事件C ：只有一次中靶，则C ＝{②}，P ∩C ＝{②}，不互斥，不对立，D 选项：事件D ：两次都没中靶；则D {③}，P ∩D ＝∅，且P ∪D ＝{①，②，③}，互斥且对立， 故选：D ． 4．点P （0，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离等于（ ）A ．√22B ．1C ．√2D ．2解：点P （0，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离等于√12+(−1)2=√2．故选：C ．5．圆x 2+（y +2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（ ） A ．（x +2）2+y 2＝2 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1 C ．（x +2）2+（y +2）2＝1D ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2解：圆x 2+（y +2）2＝1，圆心（0，﹣2），半径为1， 设（0，﹣2）关于（1，0）对称的对称点为C （x ，y ）， 则{x +0=2y −2=0，解得{x =2y =2，则C （2，2）， 故所求圆的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1． 故选：B ．6．“a ＝﹣1”是“直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直时， 有1×a +（﹣a ）（a +2）＝0，即a 2+a ＝0，解得a ＝﹣1或a ＝0，所以“a ＝﹣1”是“直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直”的充分而不必要条件． 故选：A ．7．已知两点M （﹣2，0），N （0，2），则以线段MN 为直径的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣2x +2y ＝0 B ．x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣6＝0 C ．x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0D ．x 2+y 2+2x ﹣2y ＝0解：因为M （﹣2，0），N （0，2）的中点为M （﹣1，1）， MN =√22+22=2√2，即MN 2=√2，所以以线段MN 为直径的圆的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝2， 化简得x 2+y 2+2x ﹣2y ＝0． 故选：D ．8．在空间直角坐标系中，已知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），若点P （x ，1，1）在平面ABC 内，则x ＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．√2D ．1解：已知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），P （x ，1，1）， 则AP →=(x −1，1，1)，AB →=(−1，1，0)，AC →=(−1，0，1)， 若点P 在平面ABC 内，则有AP →=mAB →+nAC →，m ，n ∈R ， 即（x ﹣1，1，1）＝（m ﹣n ，m ，n ）， 则{x −1=−m −n 1=m 1=n ，解得x ＝﹣1． 故选：A ．9．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）A ．存在点E ，使EF ∥BDB ．三棱锥B 1﹣ACE 的体积随动点E 变化而变化C ．直线EF 与AD 1所成的角不可能等于60° D ．存在点E ，使EF ⊥平面AB 1C 1D解：对于A ，因为 BD ∥B 1D 1，E 在线段A 1C 1上运动，当E 为A 1C 1的中点时，EF 与B 1D 1相交，其余情况下，EF 与B 1D 1为异面直线，不可能平行，故A 错误；对于B ，V B 1−ACE =V E−AB 1C ，而点E 所在的线段A 1C 1与平面AB 1C 平行，故点E 到平面AB 1C 的距离保持不变，故三棱锥B 1﹣ACE 的体积为定值，故B 错误；对于C ，当点E 为A 1C 1中点时，△C 1EF 为等边三角形，此时∠EFC 1＝60°，而AD 1∥BC 1，故此时EF 与AD 1所成的角为 60°，故C 错误；对于D ，当点E 为A 1C 1中点时，EF ∥A 1B ，而A 1B ⊥AB 1，故EF ⊥AB 1，由三垂线定理可得，EF ⊥AD ，故EF ⊥平面AB 1C 1D ，故D 正确； 故选：D ．10．如图，已知两点A （4，0），B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后射到直线OB 上，再经直线OB 反射后射到P 点，则光线所经过的路程PM +MN +NP 等于（ ）A ．2√10B ．6C ．3√3D ．2√5解：由题意知y ＝﹣x +4的点A （4，0），点B （0，4）则点P （2，0）设光线分别射在AB 、OB 上的M 、N 处，由于光线从点P 经两次反射后又回到P 点， 根据反射规律，则∠PMA ＝∠BMN ；∠PNO ＝∠BNM ．作出点P 关于OB 的对称点P 1，作出点P 关于AB 的对称点P 2，则： ∠P 2MA ＝∠PMA ＝∠BMN ，∠P 1NO ＝∠PNO ＝∠BNM ， ∴P 1，N ，M ，P 2共线， ∵∠P 2AB ＝∠P AB ＝45°， 即P 2A ⊥OA ；PM +MN +NP ＝P 2M +MN +P 1N ＝P 1P 2＝2√10；故选：A ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．直线2x +y ﹣1＝0的一个方向向量为 （1，﹣2）（答案不唯一） ． 解：直线2x +y ﹣1＝0的法向量为（2，1）， 则其一个方向向量为（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）（答案不唯一）．12．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知OA →=(1，−1，1)，OB →=(2，0，−1)，AC →=CB →，则OC →的坐标为 (32，−12，0) ．解：因为AC →=CB →，所以OC →−OA →=OB →−OC →， 所以OC →=12(OA →+OB →)，又OA →=(1，−1，1)，OB →=(2，0，−1)， 所以OC →=12(1+2，−1+0，1−1)=(32，−12，0)． 故答案为：(32，−12，0)．13．已知等腰三角形ABC 的顶点为A （4，2），底边的一个端点为B （5，3），则底边的另一个端点C 的轨迹方程为 x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0（x ﹣y ﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3）） ．解：设底边的另一个端点C 的坐标为（x ，y ），则√(4−x)2+(2−y)2=√(4−5)2+(2−3)2， 化简可得x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0，因为A ，B ，C 三点构成三角形，所以三点不共线且B ，C 不重合， 当A ，B ，C 三点共线时，k AB =3−25−4=1，由直线的点斜式可得y ﹣2＝1×（x ﹣4），化简可得x ﹣y ﹣2＝0，所以点C 的轨迹方程为x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0（x ﹣y ﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））． 故答案为：x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0（x ﹣y ﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））．14．甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为13，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是29；第3次由甲射击的概率是59．解：第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况：第1次甲击中，第2次甲未击中，故概率是13×23=29；第二空：第3次由甲射击有两种情况是：第1次甲击中，第2次甲还击中；第1次甲未击中，第2次乙也未击中， 故概率是13×13+23×23=59．故答案为：29；59．15．在平面直角坐标系中，定义P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）两点间的直角距离为d （P ，Q ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，如图BC ̂是圆A ：（x ﹣1）2+y 2＝1当x ≥32时的一段弧，D 是BĈ与x 轴的交点，将BC ̂依次以原点O为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d （C ，D ）＝ 1+√32．若点P 为曲线上任一点，则d （O ，P ）的最大值为1+√3+2√22．解：由图可得，点D （2，0），C(32，√32)，∴d(C ，D)=|2−32|+|0−√32|=1+√32； 根据对称性，只需讨论点P 在第一象限的情况：当点P 在CD 上时，设∠P AD ＝θ，θ∈[0，π3]，则P （1+cos θ，sin θ），∴d(O ，P)=|1+cosθ|+|sinθ|=1+cosθ+sinθ=1+√2sin(θ+π4)≤1+√2（当且仅当θ=π4时取等号）；当点P 不在CD 上时，所在圆的圆心坐标E(12，√32)，设∠PEC ＝α，α∈[0，2π3]， 可得P(12+cosα，√32+sinα)，cosα∈[−12，1]，sin α∈[0，1]， ∴d(O ，P)=|12+cosα|+|√32+sinα|=12+cosα+√32+sinα=1+√32+√2sin(α+π4)≤1+√3+2√22， （当且仅当α=π4时取等号）．综上所述，d （O ，P ）的最大值为1+√3+2√22．故答案为：1+√32，1+√3+2√22． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知△ABC 中，点A （﹣1，0），点B （2，0），点C(0，√3)． （1）求边AC 上的高所在直线的方程； （2）求∠BAC 角平分线所在直线的方程． 解：（1）∵点A （﹣1，0），点C(0，√3)， ∴边AC 所在直线斜率k AC =√3，∴边AC上的高所在直线BD的斜率k=−√33，且过点B（2，0）．∴边AC上的高所在直线的方程为y=−√33(x−2)．（2）由k AC=√3得∠BAC＝60°，∴∠BAC角平分线的倾斜角为30°，∴∠BAC角平分线所在直线AE的斜率k1=tan30°=√33．又∵∠BAC角平分线AE过点A（﹣1，0），∴∠BAC角平分线所在直线的方程为y=√33(x+1)．17．（15分）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用（x，y）表示试的样本点，其中x表示第一次取出球的数字，y表示第二次取出球的数字．设事件A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“两次取出的球的数字之和是4”．（1）写出这个试验的样本空间；（2）分别求出P（A），P（B），P（AB）的值；（3）判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由．解：（1）依题意试验的样本空间为：Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}；（2）因为A＝{（1，1），（1，2），（1，3）}，Β＝{（1，3），（2，2），（3，1）}，所以P(A)=n(A)n(Ω)=39=13，P(B)=n(B)n(Ω)=39=13．因为AB＝{（1，3）}，所以P(AB)=n(AB)n(Ω)=19；（3）因为P(A)P(B)=13×13=19=P(AB)，所以事件A和事件B相互独立．18．（15分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是DC的中点．以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出DB 1→在平面ADD 1A 1上的投影向量的坐标；（2）求点B 1到平面AED 1的距离；（3）求直线DB 1与平面AED 1所成角的正弦值．解：（1）依题意：D （0，0，0），B 1（1，2，1），A 1（1，0，1），所以DB 1→=(1，2，1)，因为在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1⊥平面ADD 1A 1，所以DB 1→在平面ADD 1A 1上的投影向量为DA 1→，坐标为（1，0，1）．（2）由题意知，D 1（0，0，1），A （1，0，0），E （0，1，0），所以AE →=(−1，1，0)，AD 1→=(−1，0，1)．设平面AED 1的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AE →=−x +y =0n →⋅AD 1→=−x +z =0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n →=(1，1，1)是平面AED 1的一个法向量，因为AB 1→=(0，2，1)，所以B 1到平面AED 1的距离为|AB 1→⋅n →||n →|=√3=√3．（3）设直线DB 1与平面AED 1所成角为θ，则sinθ=|cos〈DB 1→，n →〉|=|DB 1→⋅n →||DB 1→||n →|=3×6=2√23． 即直线DB 1与平面AED 1所成角的正弦值是2√23． 19．（15分）已知圆C 经过点A （0，2）和点B （1，3），且圆心C 在直线x ﹣y ﹣1＝0上．（1）求圆C 的方程；（2）若线段DE 的端点D 的坐标是（4，3），端点E 在圆C 上运动，求线段DE 的中点M 的轨迹方程．（1）解：设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0（D 2+E 2﹣4F ＞0），故圆心为(−D 2，−E 2)，由题意得{4+2E +F =01+9+D +3E +F =0−D 2−(−E 2)−1=0，解得{D =−4E =−2F =0， 所以圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0；（2）设点M 的坐标是（x ，y ），点E 的坐标是（x 0，y 0）．因为点D 的坐标是（4，3），且M 是线段DE 的中点， 所以x =x 0+42，y =y 0+32． 故x 0＝2x ﹣4，y 0＝2y ﹣3． ①因为点E 在圆C 上运动，所以点E 的坐标满足圆C 的方程，即x 02+y 02−4x 0−2y 0=0． ②把①代入②，得（2x ﹣4）2+（2y ﹣3）2﹣4（2x ﹣4）﹣2（2y ﹣3）＝0，整理，得(x −3)2+(y −2)2=54．20．（15分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点．（1）求证：C 1D ⊥A 1B ；（2）求证：C 1D ∥平面A 1BE ；（3）在棱CC 1上是否存在一点P ，使得平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°？若存在，求CP CC 1的值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：因为在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥平面ABC ．又∠ACB ＝90°，所以CC 1⊥AC ，CC 1⊥CB ，AC ⊥CB ．故AC ，CB ，CC 1两两垂直．以C 为原点，AC ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C 1（0，0，2），D （1，1，2），A 1（2，0，2），B （0，2，0），E （0，0，1），A （2，0，0），C （0，0，0），所以C 1D →=(1，1，0)，A 1B →=(−2，2，−2)．因为C 1D →⋅A 1B →=1×(−2)+1×2+0×(−2)=0，所以C 1D →⊥A 1B →，即C 1D ⊥A 1B ．（2）证明：设平面A 1BE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，因为A 1B →=(−2，2，−2)，A 1E →=(−2，0，−1)，则{n →⋅A 1B →=0n →⋅A 1E →=0，所以{−2x +2y −2z =0−2x −z =0，取x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝﹣2． 所以n →=(1，−1，−2)是平面A 1BE 的一个法向量．因为C 1D →⋅n →=1×1+1×(−1)+0×(−2)=0，所以C 1D →⊥n →．又因为C 1D ⊄平面A 1BE ，所以C 1D ∥平面A 1BE ．（3）设点P 满足，CP →=λCC 1→(0≤λ≤1)，则AP →=AC →+CP →=AC →+λCC 1→=(−2，0，2λ)．设平面P AB 的一个法向量为m →=(x 0，y 0，z 0)，因为AB →=(−2，2，0)，AP →=(−2，0，2λ)则{m →⋅AB →=0m →⋅AP →=0，所以{−2x 0+2y 0=0−2x 0+2λz 0=0，取z 0＝1，则x 0＝λ，y 0＝λ． 所以m →=(λ，λ，1)是平面P AB 的一个法向量．由（1）得，n →=(1，−1，−2)是平面A 1BE 的一个法向量，则平面P AB 与平面A 1BE 的夹角就是m →与n →的夹角或其补角．若平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°，则cos60°=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=2√2λ+1×√6=12， 解得λ=√306∈[0，1]．所以，在棱CC 1上存在点P ，使得平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°， 此时CPCC 1=√306． 21．（15分）已知直线l 1，l 2的方程分别是l 1：x ＝0，l 2：3x ﹣4y ＝0，点A 的坐标为(1，a)(a ＞34)．过点A的直线l 的斜率为k ，且与l 1，l 2分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）．（1）若k ＝﹣1，且A 为线段MN 中点，求实数a 的值及△AON 的面积；（2）是否存在实数a ，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．解：（1）∵直线 l 过点A （1，a ），且斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）+a ， ∵直线l 与l 1，l 2分别交于点M ，N ，∴k ≠34，由{x =0y =k(x −1)+a，解得{x =0y =a −k，即M （0，a ﹣k ）， 由{3x −4y =0y =k(x −1)+a ，解得{x =4k−4a 4k−3y =3k−3a 4k−3，即N(4k−4a 4k−3，3k−3a 4k−3)， 又∵M ，N 的纵坐标均为正数， ∴{a −k ＞03k−3a 4k−3＞0，即{a −k ＞04k −3＜0， ∵a ＞34，k ＜34，若k ＝﹣1时，M （0，a +1），N(4+4a 7，3+3a 7)， 又∵点A 为线段MN 中点，∴{4+4a 7=2a +1+3+3a 7=2a 解得a =52， ∴M(0，72)，N(2，32)，∴△AON 的面积S =12×12×72×2=74． （2）假设存在满足题意的a ，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关，由（1）知：M （0，a ﹣k ），N(4k−4a 4k−3，3k−3a 4k−3) 且{a −k ＞04k −3＜0， 因此|OM |＝a ﹣k ，|ON|=5a−5k 3−4k ， ∴1|OM|+1|ON|=1a−k +3−4k 5a−5k =4(2−k)5(a−k)，∵2﹣k ＞0，∴当a ＝2时，1|OM|+1|ON|为定值45， ∴存在实数a ＝2，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关．。

2022-2023学年北京市大兴区高二(上)期中数学试卷【学生版】

2022-2023学年北京市大兴区高二(上)期中数学试卷【学生版】

2022-2023学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．直线x ＝1的倾斜角为（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°2．如图，已知直线l 1∥l 2，则l 1与l 2间的距离为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．√33．圆x 2+（y +2）2＝1关于x 轴对称的圆的方程是（ ） A ．x 2+y 2＝1 B ．（x ﹣2）2+y 2＝1 C ．x 2+y 2＝2D ．x 2+（y ﹣2）2＝14．若点（a ，0）在圆x 2+y 2＝1的内部，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣∞，1）C ．[0，1）D ．（1，+∞）5．已知{a →，b →，c →}是空间的一个基底，在下列向量中，与向量a →+b →，a →−b →一定可以构成空间的另一个基底的是（ ） A ．a →B ．b →C ．c →D ．2a →−3b →6．已知u →是直线l 的方向向量，n →是平面α的法向量，则“l ⊂α”是“u →⊥n →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知点M 1（﹣3，0）和点M 2（3，0），动点M （x ，y ）满足|MM 1|＝2|MM 2|，则点M 的轨迹方程为（ ） A ．x 2+y 2+18x +9＝0 B ．x 2+y 2+6x +9＝0 C ．x 2+y 2+6x ﹣9＝0D ．x 2+y 2﹣10x +9＝08．如图，四面体ABCD 的所有棱长都相等，AF ＝FD ，BE ＝EC ，则cos〈AE →，FC →〉=（ ）A ．13B ．23C ．34D ．799．已知圆C 经过点（﹣2，0），半径为√3，其圆心C 的坐标为（a ，b ），则ba的取值范围是（ ）A ．(−∞，−√3]B ．[−√3，√3]C ．[0，√3]D ．(−∞，−√3]∪(√3，+∞)10．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 为正方形ADD 1A 1的中心，若P 为平面OD 1B 内的一个动点，则P 到直线A 1B 1的距离的最小值为（ ）A ．√22B ．12C ．√64D ．√33二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．若a →=(x ，12，0)是单位向量，则x ＝ ．12．圆x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0的一条对称轴的方程可以是 ．13．法向量分别是n →=(1，−1，2)，m →=(−2，0，3)的两个平面的位置关系是 ． 14．已知点P （a ，a +2）为动点，O 为原点，以OP 为直径的圆与圆x 2+y 2＝1相交于A 、B 两点． （1）当a ＝0时，|AB |＝ ；（2）四边形OAPB 的面积的最小值是 ．15．已知直线l 1：x ﹣y +1＝0和直线l 2：kx +（k +1）y +k ＝0（k ∈R ），给出下列四个结论： ①存在k ，使得l 2的倾斜角为30°； ②不存在k ，使得l 1与l 2重合； ③对任意的k ，l 1与l 2都有公共点； ④对任意的k ，l 1与l 2都不垂直．其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（14分）已知点A （﹣1，1）和点B （1，3）． （1）求线段AB 的垂直平分线的方程；（2）若圆C 经过A ，B 两点，且圆心在x 轴上，求圆C 的方程．17．（14分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，E 是DC 的中点，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面A 1B 1C 1D 1与平面AED 1夹角的余弦值； （2）求点B 1到平面AED 1的距离；（3）向量m →=(−2，1，1)是否与向量AE →、AD 1→共面？18．（14分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，设向量AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →． （1）用a →、b →、c →表示向量A 1C →，并求|A 1C →|； （2）证明：直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1．19．（14分）已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y +m ＝0． （1）求m 的取值范围；（2）若直线x ﹣y +1＝0与圆C 交于A ，B 两点，且|AB|=2√2，求m 的值； （3）在（2）的条件下，过点P （4，4）作圆C 的切线l ，求切线l 的方程．20．（14分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中．AA 1⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝1，BC =√2，CC 1＝2，E 分别是B 1B 、B 1C 1的中点．（1）求直线A 1E 与平面A 1DC 所成角的大小；（2）设P 为B 1C 与C 1B 的交点，在线段A 1E 上是否存在点Q ，使得PQ ∥平面A 1DC ？若存在，求A 1Q A 1E的值；若不存在，说明理由．21．（15分）已知M、N是圆O：x2+y2＝16上两个不同的动点，Q是线段MN的中点，点P（2，0）满足∠MPN＝90°．（1）当M的坐标为（4，0）时，求N的坐标；（2）求点Q的轨迹方程；（3）求|MN|的最小值与最大值．2022-2023学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．直线x ＝1的倾斜角为（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解：由题意得，直线斜率不存在，故直线倾斜角为90°． 故选：C ．2．如图，已知直线l 1∥l 2，则l 1与l 2间的距离为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．√3解：由题知，直线l 1过点（﹣1，0），（0，1），直线l 2过点（0，﹣1）， 所以k l 1=1，直线l 1的方程为y ＝x +1，即x ﹣y +1＝0，因为直线l 1∥l 2，所以直线l 2的方程为y ＝x ﹣1，即x ﹣y ﹣1＝0， 所以l 1与l 2间的距离为d =|1−(−1)|√2=√2． 故选：B ．3．圆x 2+（y +2）2＝1关于x 轴对称的圆的方程是（ ） A ．x 2+y 2＝1 B ．（x ﹣2）2+y 2＝1 C ．x 2+y 2＝2D ．x 2+（y ﹣2）2＝1解：圆x 2+（y +2）2＝1的圆心坐标为（0，﹣2），点（0，﹣2）关于x 轴的对称点为（0，2）， 因此，圆x 2+（y +2）2＝1关于x 轴对称的圆的方程是x 2+（y ﹣2）2＝1． 故选：D ．4．若点（a ，0）在圆x 2+y 2＝1的内部，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣∞，1）C ．[0，1）D ．（1，+∞）解：∵点（a ，0）在圆x 2+y 2＝1的内部，∴√a 2+02＜1，可得﹣1＜a ＜1， 故选：A ．5．已知{a →，b →，c →}是空间的一个基底，在下列向量中，与向量a →+b →，a →−b →一定可以构成空间的另一个基底的是（ ） A ．a →B ．b →C ．c →D ．2a →−3b →解：对于A ，∵a →=12(a →+b →)+12(a →−b →)，∴a →，a →+b →，a →−b →不能构成空间的另一个基底，故A 错误，对于B ，b →=12(a →+b →)−12(a →−b →)，故不能构成空间的另一个基底，故B 错误，对于C ，不存在x ，y ∈R 使得c →=x(a →+b →)+y(a →−b →)成立，故能构成空间的另一个基底，故C 正确， 对于D ，假设存在x ，y ∈R 使得2a →−3b →=x(a →+b →)+y(a →−b →)，则{x +y =2x −y =−3，解得{x =−12y =52， 故2a →−3b →=−12(a →+b →)+52(a →−b →)，故不能构成空间的另一个基底，故D 错误．故选：C ．6．已知u →是直线l 的方向向量，n →是平面α的法向量，则“l ⊂α”是“u →⊥n →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：已知u →是直线l 的方向向量，n →是平面α的法向量，则u →⊥n →等价于l ∥α或l ⊂α， 所以“l ⊂α”是“u →⊥n →”的充分不必要条件． 故选：A ．7．已知点M 1（﹣3，0）和点M 2（3，0），动点M （x ，y ）满足|MM 1|＝2|MM 2|，则点M 的轨迹方程为（ ） A ．x 2+y 2+18x +9＝0 B ．x 2+y 2+6x +9＝0 C ．x 2+y 2+6x ﹣9＝0D ．x 2+y 2﹣10x +9＝0解：因为点M 1（﹣3，0）和点M 2（3，0），动点M （x ，y ）， 所以|MM 1|=√(x +3)2+y 2，|MM 2|=√(x −3)2+y 2， 又因为其满足|MM 1|＝2|MM 2|，所以√(x +3)2+y 2=2√(x −3)2+y 2，整理得：x 2+y 2﹣10x +9＝0， 所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2﹣10x +9＝0． 故选：D ．8．如图，四面体ABCD 的所有棱长都相等，AF ＝FD ，BE ＝EC ，则cos〈AE →，FC →〉=（ ）A ．13B ．23C ．34D ．79解：∵四面体ABCD 的所有棱长都相等，AF ＝FD ，BE ＝EC ， ∴AB ，AC ，AD 两两夹角为60°，且E ，F 分别为BC ，AD 的中点， ∴AE →=12AB →+12AC →，FC →=AC →−AF →=AC →−12AD →， 设四面体ABCD 的棱长为a ，∴AE →⋅FC →=(12AB →+12AC →)⋅(AC →−12AD →) =12AB →⋅AC →−14AB →⋅AD →+12AC →2−14AC →⋅AD →=12a 2cos60°−14a 2cos60°+12a 2−14a 2cos60°=12a 2，又AE →2=(12AB →+12AC →)2=14a 2+14a 2−12a 2cos60°=34a 2，∴|AE →|=√32a ，又|FC →|=√(AC →−12AD →)2=√AC →2+14AD →2−AC →⋅AD →=√a 2+14a 2−a 2cos60°=√32a ，∴cos〈AE →，FC →〉=AE →⋅FC→|AE →|⋅|FC →|=12a 2√32a⋅√32a=23，故选：B ．9．已知圆C 经过点（﹣2，0），半径为√3，其圆心C 的坐标为（a ，b ），则ba的取值范围是（ ）A ．(−∞，−√3]B ．[−√3，√3]C ．[0，√3]D ．(−∞，−√3]∪(√3，+∞)解：由题意，√(a +2)2+b 2=√3，则（a +2）2+b 2＝3， 故点C 在以P （﹣2，0）为圆心，以r =√3为半径的圆上， 由ba =b−0a−0，则ba表示点C 与点O 连线的斜率，作图如下：则直线OA ，OB 为点C 在圆P 上运动时直线OC 的边界， 假设过原点且斜率存在的直线方程为：y ＝kx ， 由直线与圆相切，可得√1+k 2=√3，两边平方可得4k 2＝3+3k 2，解得k ＝±√3， 故直线OA ，OB 的斜率分别为−√3，√3， 则ba ∈[−√3，√3]，故选：B ．10．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 为正方形ADD 1A 1的中心，若P 为平面OD 1B 内的一个动点，则P 到直线A 1B 1的距离的最小值为（ ）A ．√22B ．12C ．√64D ．√33解：如图所示，以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则B （1，1，0），D 1（0，0，1），A 1（1，0，1），B 1（1，1，1）， ∵O 为正方形ADD 1A 1的中心，∴O(12，0，12)，∴A 1B 1→=(0，1，0)，OB →=(12，1，−12)，D 1B →=(1，1，−1)，BB 1→=(0，0，1)，设平面OBD 1的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{OB →⋅n →=0D 1B →⋅n →=0，∴{12x +y −12z =0x +y −z =0，取n →=(1，0，1)，∴A 1B 1→⋅n →=0，且A 1B 1⊄平面OD 1B ， ∴直线A 1B 1∥平面OD 1B ，设直线A 1B 1到平面OD 1B 距离为d ，取直线上一点B 1，与平面OD 1B 上一点B ，则BB 1→=(0，0，1)， 则d =|BB 1→⋅n →||n →|=√22．故选：A ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11．若a →=(x ，12，0)是单位向量，则x ＝ ±√32．解：因为a →=(x ，12，0)是单位向量，所以|a →|=√x 2+14=1，解得x =±√32故答案为：±√32．12．圆x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0的一条对称轴的方程可以是 y ＝1（答案不唯一） ． 解：将圆x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0化为标准方程得x 2+（y ﹣1）2＝4， 所以圆心为（0，1），所以圆x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0的一条对称轴的方程可以是过圆心的任意直线，不妨取y ＝1． 故答案为：y ＝1（答案不唯一）．13．法向量分别是n →=(1，−1，2)，m →=(−2，0，3)的两个平面的位置关系是 相交且不垂直 ． 解：假设存在λ∈R ，使得n →=λm →，则{−2λ=10=−13λ=2，显然方程组无解，所以n →，m →不平行，即两个平面不平行， 因为n →⋅m →=−2+6=4≠0， 所以n →与m →不垂直，所以两个平面的位置关系是相交且不垂直． 故答案为：相交且不垂直．14．已知点P （a ，a +2）为动点，O 为原点，以OP 为直径的圆与圆x 2+y 2＝1相交于A 、B 两点． （1）当a ＝0时，|AB |＝ √3 ；（2）四边形OAPB 的面积的最小值是 1 ．解：（1）当a ＝0时，P （0，2），线段OP 的中点为（0，1），所以，以OP 为直径的圆的方程为x 2+（y ﹣1）2＝1，联立{x 2+y 2=1x 2+(y −1)2=1，解得{x =±√32y =12， 不妨设点A(√32，12)、B(−√32，12)， 所以|AB|=√3； （2）如图所示：以OP 为直径的圆与圆x 2+y 2＝1相交于A 、B 两点，则∠OAP ＝∠OBP ＝90°， 又因为|OA |＝|OB |＝1，|OP |＝|OP |，所以，Rt △OAP ≌Rt △OBP ，所以|PA|=|PB|=√|OP|2−|OA|2=√a 2+(a +2)2−1=√2a 2+4a +3=√2(a +1)2+1≥1，当且仅当a ＝﹣1时，等号成立，故四边形OAPB 的面积为S ＝2S △OAP ＝|OA |•|P A |＝|P A |≥1， 因此，四边形OAPB 面积的最小值为1． 故答案为：（1）√3；（2）1．15．已知直线l 1：x ﹣y +1＝0和直线l 2：kx +（k +1）y +k ＝0（k ∈R ），给出下列四个结论： ①存在k ，使得l 2的倾斜角为30°； ②不存在k ，使得l 1与l 2重合； ③对任意的k ，l 1与l 2都有公共点； ④对任意的k ，l 1与l 2都不垂直．其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：对于①，由直线l 2：kx +（k +1）y +k ＝0（k ∈R ），当k +1≠0时，可整理为y =−kk+1x −kk+1，令−kk+1=tan30°，则−√3k =k +1，解得k =1√3+1=−√3−12=1−√32，故①正确； 对于②，由直线l 1：x ﹣y +1＝0，整理可得y ＝x +1，令−k k+1=1，解得k =−12， 此时直线l 2：y ＝x +1，即两直线重合，故②不正确；对于③，由②可知，当k =−12时，两直线重合，有无数个公共点；当k ≠−12时，则−kk+1≠1，即两直线不平行，必定相交，有一个公共点，故③正确；对于④，令−kk+1⋅1=−1，则k ＝k +1，显然无解，故④正确． 故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（14分）已知点A （﹣1，1）和点B （1，3）． （1）求线段AB 的垂直平分线的方程；（2）若圆C 经过A ，B 两点，且圆心在x 轴上，求圆C 的方程． 解：（1）解：因为点A （﹣1，1），点B （1，3）， 所以线段AB 的中点为（0，2），而k AB =3−11−(−1)=1，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为﹣1，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ﹣2＝﹣（x ﹣0）， 即x +y ﹣2＝0；（2）由（1）知线段AB 的垂直平分线的方程为x +y ﹣2＝0， 因为圆C 经过A ，B 两点，所以线段AB 的垂直平分线经过圆心C ， 因为圆C 的圆心在x 轴上，所以在方程x +y ﹣2＝0中，令y ＝0得x ＝2，即圆心为C （2，0）， 所以圆的半径为r ＝|AC |=√(−1−2)2+12=√10， 所以圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2＝10．17．（14分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，E 是DC 的中点，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面A 1B 1C 1D 1与平面AED 1夹角的余弦值； （2）求点B 1到平面AED 1的距离；（3）向量m →=(−2，1，1)是否与向量AE →、AD 1→共面？解：（1）易知A （1，0，0）、E （0，1，0）、D 1（0，0，1），AD 1→=(−1，0，1)，AE →=(−1，1，0)，设平面AD 1E 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{−x +z =0−x +y =0，取x ＝1，可得m →=(1，1，1)，易知平面A 1B 1C 1D 1的一个法向量为n →=(0，0，1)，则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=13=√33，平面B 1 C 1D 1与平面AED 1夹角的余弦值为√33． （2）易知点B 1（1，2，1），AB 1→=(0，2，1)， 所以点B 1到平面AD 1E 的距离为d =|AB 1→⋅m →||m →|=3=√3． （3）设m →=xAE →+yAD 1→，即（﹣2，1，1）＝x （﹣1，1，0）+y （﹣1，0，1）＝（﹣x ﹣y ，x ，y ）， 所以{−x −y =−2x =1y =1，解得x ＝y ＝1，即m →=AE →+AD 1→， 因此向量m →=(−2，1，1)与向量AE →、AD 1→共面．18．（14分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，设向量AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →． （1）用a →、b →、c →表示向量A 1C →，并求|A 1C →|； （2）证明：直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1．解：（1）A 1C →=AC →−AA 1→=AB →+AD →−AA 1→=a →+b →−c →，由已知可得|a →|=|b →|=|c →|=1，a →⋅b →=b →⋅c →=c →⋅a →=12×cos60°=12， 因此，|A 1C →|=√(a →+b →−c →)2=√a →2+b →2+c →2+2a →⋅b →−2a →⋅c →−2b →⋅c →=√2． （2）证明：在平面BDD 1B 1上，取BD →、BB 1→为基向量，则对于面BDD 1B 1上任意一点P ，存在唯一的有序实数对（λ，μ），使得BP →=λBD →+μBB 1→， 所以A 1C →•BP →=λA 1C →•BD →+μA 1C →•BB 1→＝λ（a →+b →−c →）•（b →−a →）+μ（a →+b →−c →）•c →＝λ（a →•b →−a →2+b →2−a →•b →−c →•b →+a →•c →）+μ（a →•c →+b →•c →−c →2） ＝λ（12−1+1−12−12+12）+μ（12+12−1）＝0，所以A 1C →是平面BDD 1B 1的法向量， 所以A 1C ⊥平面BDD 1B 1．19．（14分）已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y +m ＝0． （1）求m 的取值范围；（2）若直线x ﹣y +1＝0与圆C 交于A ，B 两点，且|AB|=2√2，求m 的值； （3）在（2）的条件下，过点P （4，4）作圆C 的切线l ，求切线l 的方程．解：（1）x 2+y 2﹣4x ﹣2y +m ＝0，x 2﹣4x +4+y 2﹣2y +1＝﹣m +5，（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5﹣m ， 则5﹣m ＞0，解得m ＜5，即m 的取值范围是（﹣∞，5）．（2）由（1）可知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5﹣m ，则圆心C （2，1），半径r =√5−m ， 圆心C 到直线x ﹣y +1＝0的距离d =1+1=√2，故|AB|=2√r 2−d 2=2√2，则5﹣m ﹣2＝2，解得m ＝1．（3）由（2）可得圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，则圆心C （2，1），半径r ＝2，当过点P （4，4）的直线斜率不存在，则直线方程为x ＝4，圆心到直线x ＝4的距离为2，故直线x ＝4为圆C 的切线；当过点P （4，4）的直线斜率存在，可设直线方程y ﹣4＝k （x ﹣4），则kx ﹣y ﹣4k +4＝0，圆心C 到该直线的距离d ′=|2k−1−4k+4|√1+k =|3−2k|√k +1，由直线与圆C 相切，则d '＝r ，即√1+k2=2，整理可得9﹣12k +4k 2＝4+4k 2，解得k =512， 直线方程为5x ﹣12y +28＝0，综上，l 的方程为：x ＝4或5x ﹣12y +28＝0．20．（14分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中．AA 1⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝1，BC =√2，CC 1＝2，E 分别是B 1B 、B 1C 1的中点．（1）求直线A 1E 与平面A 1DC 所成角的大小；（2）设P 为B 1C 与C 1B 的交点，在线段A 1E 上是否存在点Q ，使得PQ ∥平面A 1DC ？若存在，求A 1Q A 1E的值；若不存在，说明理由．解：（1）∵在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中．AA 1⊥平面ABC ， AB ＝AC ＝1，BC =√2，CC 1＝2，E 分别是B 1B 、B 1C 1的中点， ∴AB 2+AC 2＝BC 2，∴AB ⊥AC ， ∵AA 1⊥平面ABC ，∴以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则A 1（0，0，2），C （0，1，0），D （1，0，1），E （12，12，2），设平面A 1DC 的法向量为m →=（x ，y ，z ），A 1D →=（1，0，﹣1），A 1C →=（0，1，﹣2），则{m →⋅A 1D →=x −z =0m →⋅A 1C →=y −2z =0，取z ＝1，得m →=（1，2，1），A 1E →=（12，12，0），cos ＜A 1E →，m →＞=A 1E →⋅m→|A 1E →|⋅|m →|=32√22×6=√32， ∴直线A 1E 与平面A 1DC 所成角正弦值为√32， ∴直线A 1E 与平面A 1DC 所成角为π3．（2）由题意知P （12，12，1），假设在线段A 1E 上存在点Q ，使得PQ ∥平面A 1DC ，设A 1Q →=λA 1E →=（12λ，12λ，0），其中0≤λ≤1，A 1P →=(12，12，−1)，PQ →=A 1Q →−A 1P →=（λ−12，λ−12，1），∵PQ ∥平面A 1DC ，∴PQ →⋅m →=3(λ−1)2+1=3λ2−12=0，解得λ=13， ∴在线段A 1E 上存在点Q ，使得PQ ∥平面A 1DC ，且A 1Q A 1E=13．21．（15分）已知M 、N 是圆O ：x 2+y 2＝16上两个不同的动点，Q 是线段MN 的中点，点P （2，0）满足∠MPN ＝90°．（1）当M 的坐标为（4，0）时，求N 的坐标； （2）求点Q 的轨迹方程； （3）求|MN |的最小值与最大值．解：（1）由题意可知，PN ⊥MP ，而直线MP 为x 轴，所以点N 的横坐标为2， 将x ＝2代入圆O 的方程可得y =±2√3，此时点N 的坐标为(2，−2√3)或(2，2√3)． （2）设点Q （x ，y ），因为∠MPN ＝90°，Q 为MN 的中点，则|PQ|=12|MN|，连接OQ，则OQ⊥MN，且|MQ|=12|MN|=√|OM|2−|OQ|2=|PQ|，所以，√16−(x2+y2)=√(x−2)2+y2，整理可得（x﹣1）2+y2＝7，因此，点Q的轨迹方程为（x﹣1）2+y2＝7．（3）因为（2﹣1）2+02＜7，则点P在圆（x﹣1）2+y2＝7内，记圆（x﹣1）2+y2＝7的圆心为E，半径为r=√7，则|PE|＝1，则r﹣|PE|≤|PQ|≤r+|PE|，即√7−1≤|PQ|≤√7+1，所以，当点Q为圆（x﹣1）2+y2＝7与x轴的负半轴的交点时，|PQ|取最大值，当点Q为圆（x﹣1）2+y2＝7与x轴正半轴的交点时，|PQ|取最小值，所以，|MN|=2|PQ|∈[2√7−2，2√7+2]．因此，|MN|的最小值为2√7−2，最大值为2√7+2．。

北京市大兴区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题含答案

北京市大兴区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题含答案

大兴区2024~2025学年度第一学期期中检测高二数学（答案在最后）1.本试卷共4页，共两部分，21道小题．满分150分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线10x y +-=的倾斜角的正切值为（）A.1-B.1C.0D.2【答案】A 【解析】【分析】根据斜率和倾斜角的关系求得倾斜角，进而求得其正切值.【详解】直线10x y +-=的斜率为1-，倾斜角为3π4，所以3πtan 14=-.故选：A2.已知两个向量()()1,1,1,2,,2a b m =-= ，且a b ⊥，则m =（）A.2-B.2C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直列方程，化简求得m .【详解】由于a b ⊥，所以()()1,1,12,,2220,4a b m m m ⋅=-⋅=-+==r r.故选：C3.过点()2,M a -，(),4N a 的直线的斜率为12，则||MN =（）A.2B.C.4D.【答案】B 【解析】【分析】根据斜率列方程，求得a ，进而求得MN .【详解】依题意，4122a a -=--，解得2a =，所以()()2,2,2,4M N -，所以MN ==.故选：B4.圆22(2)1x y ++=关于x 轴对称的圆的方程为（）A.22(2)1x y ++=B.22(2)1x y ++=C.22(2)(2)1x y ++-=D.22(2)1x y +-=【答案】D 【解析】【分析】确定出已知圆的圆心关于x 轴对称的点的坐标，结合已知圆的半径则对称圆方程可知.【详解】圆22(2)1x y ++=的圆心为()0,2-，半径为1，因为()0,2-关于x 轴对称的点为()0,2，所以对称圆的方程为()2221x y +-=，故选：D.5.若()1,1,2d =- 是直线l 的方向向量，()1,3,0n =-是平面α的法向量，则直线l 与平面α的位置关系是（）A.直线l 在平面α内B.平行C.相交但不垂直D.垂直【答案】C 【解析】【分析】先判断d 与n是否共线或垂直，即可得出结论．【详解】∵()1,1,2d =- ，()1,3,0n =- ，假设存在实数k ，使得d kn = ，则()()1,1,21,3,0k -=-，即11320kkk =-⎧⎪=⎨⎪-=⋅⎩⇒k 无解.不存在实数k ，使得d kn = 成立，因此l 与α不垂直．由d ()()1,1,21,3,013020n ⋅=-⋅-=-++=≠，可得直线l 与平面α不平行．因此直线l 与平面α的位置关系是相交但不垂直．故选：C【点睛】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、线面位置关系，属于基础题．6.已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为（）A.B.C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】根据直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，由4034m m -=⎧⎨+≠⎩,解得m ，然后利用两平行线间的距离.【详解】因为直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，所以4034m m -=⎧⎨+≠⎩,解得4m =，因为直线240x y +-=与直线7202++=x y 7|4|3522--=．故选：C【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，则1AC 的长为（）A.3B.6C.3D.6【答案】B 【解析】【分析】根据向量运算求得正确答案.【详解】依题意，11AC AB AD AA =++，所以()()22222111112AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅11111121111116222⎛⎫=+++⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以16AC =故选：B8.已知圆22:1O x y +=，过直线34100x y +-=上的动点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（）A.1B.2C.3D.2【答案】C 【解析】【分析】连接PO ，222PA PO r =-，当PO 最小时，PA 最小，计算点到直线的距离得到答案.【详解】如图所示：连接PO ，则222PA PO r =-，当PO 最小时，PA 最小，min 2210234PO -==+，故PA 22213-=.故选：C.9.已知点C （2，0），直线kx －y ＋k =0（k ≠0）与圆()()22112x y -+-=交于A ，B 两点，则“△ABC 为等边三角形”是“k =1”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】当ABC V 为等边三角形时，求出斜率k 的值，当1k =时，判断ABC V 的形状，即可选出答案.【详解】设圆心为D ，易知()1,1D ，半径2r =当ABC V 为等边三角形时，CD l ⊥，而2111CD k -==--，因为1CD k k ⋅=-，所以1k =，当1k =时，直线l 为：10x y -+=，而2111CD k -==--，所以1CD k k ⋅=-，所以CD l ⊥，所以ABC V 为等腰三角形，因为()222112CD =-+=圆心到直线l 的距离为1112211d -+==+，即21CD =，所以圆心D 为ABC V 的重心，同时也是ABC V 的外心，所以ABC V 为等边三角形，所以“ABC V 为等边三角形”是“1k =”的充要条件，故选：A.10.如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆.已知直线:(2)l y a x =-.给出下列四个结论：①当0a =时，若直线l 截黑色阴影区域所得两部分面积记为1212()S S S S ≥，，则12::31S S = ；②当43a =-时，直线l 与黑色阴影区域有1个公共点；③当[]1,1a ∈-时，直线l 与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点．其中所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A 【解析】【分析】由题知根据直线：:(2)l y a x =-过定点(2,0)，a 为直线的斜率根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项分析判断即可得解.【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，所以大圆的面积为4π，小圆的面积为π．对于①，当0a =时，直线l 的方程为0y =．此时直线l 将黑色阴影区域的面积分为两部分1π3ππ22S =+=，2πππ22S =-=，所以12::31S S =，故①正确．对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为22(1)1(0)x y x +-=>,当43a =-时，直线的方程为4:(2)3l y x =--，即4380x y +-=，小圆圆心(0,1)到直线l 的距离1d ==，所以直线l 与该半圆弧相切，如图2所示，所以直线l 与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．对于③，当[1,1)a ∈-时，如图3所示，直线l 与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，当1a =时，直线l 与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点()0,2-，故③错误．综上所述，①②正确．故选：A ．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知()1,1A ，()2,2B ，()0,C n 三点共线，则n =______．【答案】0【解析】【分析】先确定直线,AB AC 斜率存在，然后根据三点共线可知AB AC k k =，结合斜率的计算公式可求结果.【详解】因为A B C x x x ≠≠，所以直线,AB AC 斜率存在，因为,,A B C 三点共线，所以AB AC k k =，所以2112110n--=--，解得0n =，故答案为：0.12.已知圆22:240C x y x y a +-++=，则圆心C 坐标为__________，当圆C 与y 轴相切时，实数a 的值为_____________.【答案】①.(1,2)-.②.4.【解析】【分析】首先将圆的一般方程进行配方运算，得到标准方程22(1)(2)5x y a -++=-，从而求得圆的圆心坐标，再根据圆与y 轴相切，即圆心到y 轴的距离即为圆的半径，从而求得a 的值.【详解】由22240x y x y a +-++=，配方得22(1)(2)5x y a -++=-，所以圆心C 的坐标为(1,2)-；当圆C 与y 1=，解得4a =；故答案是(1,2)-，4.【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有圆的一般方程向圆的标准方程的转化，由圆的方程得到圆的圆心坐标，圆与直线相切时满足的条件，即为圆心到切线的距离为圆的半径，从而建立相应的等量关系式，求得结果.13.已知平面α过点()()()0,0,0,2,2,0,0,0,2O A B 三点，直线l 与平面α垂直，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是______．【答案】()1,1,0-（答案不唯一）【解析】【分析】先求解出平面α的法向量，然后根据位置关系判断出方向向量与法向量的关系，由此可知方向向量的结果.【详解】设平面α的法向量为(),,n x y z =，因为()()2,2,0,0,0,2OA OB ==，所以n OA n OB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以0n OA n OB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以22020x y z +=⎧⎨=⎩，取1x =，所以()1,1,0n =-，又因为直线l 与平面α垂直，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量共线，所以可取方向向量为()1,1,0-（不唯一，非零共线即可），故答案为：()1,1,0-（答案不唯一）.14.直线220x y -+=和260x y +-=与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为______．【答案】4【解析】【分析】先分别求解出直线与坐标轴的正半轴交点坐标，然后求解出两直线的交点坐标，结合割补法求解出四边形面积.【详解】令260x y +-=中0y =，得3x =，所以与x 轴交于()3,0A ，令220x y -+=中0x =，得1y =，所以与y 轴交于()0,1B ，由260220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩，所以两直线交于()2,2P ，所以围成的四边形面积为()()122232422S +⨯⨯-=+=，故答案为：4.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的动点，给出下列四个结论：①存在F ，使得BF DE ⊥；②存在F ，使得1//B F 平面1A ED ；③当F 为线段1CC 中点时，三棱锥1A EFD -的体积最小；④当F 与1C 重合时，直线EF 与直线1A D 所成角的余弦值最小.其中所有正确结论的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】先建立合适空间直角坐标系，设()[]()2,2,0,2F m m ∈，对于①：根据0BF DE ⋅=求得m 的值并判断是否正确；对于②：考虑F 与C 重合时的情况；对于③：根据1113A EFD A ED V S d -=⨯⨯ ，分析d 的最小值即可判断；对于④：利用向量法先表示出1cos ,EF A D，然后结合换元法和二次函数性质求解出最小值并判断.【详解】建立如图所示空间直角坐标系设()[]()2,2,0,2F m m ∈，①：因为()()()2,0,0,0,2,0,2,0,1B D E ，所以()()0,2,,2,2,1BF m DE ==-，当BF DE ⊥时，40BF DE m ⋅=-+=，解得4m =，不符合题意，故①错误；②：当F 与C 重合时，因为1111//,A B FD A B FD =，所以四边形11A B FD 为平行四边形，所以11//B F A D ，且1B F ⊄平面1A ED ，1A D ⊂平面1A ED ，所以1//B F 平面1A ED，故②正确；③：设F 到平面1A ED 的距离为d ，所以11113A EFD F A ED A ED V V S d --==⨯⨯ ，且1A ED S 为定值，所以当d 最小时，三棱锥1A EFD -的体积最小，因为()()()10,0,2,0,2,0,2,0,1A D E ，所以()()110,2,2,2,0,1A D A E =-=- ，设平面1A ED 的法向量为(),,n x y z =，所以1100n A D n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以020y z x z -=⎧⎨-=⎩，取1x =，所以()1,2,2n = ，又()2,0,DF m = ，所以223DF n m d n ⋅+== ，当0m =时d 有最小值，故③错误；④：设直线EF 与直线1A D 所成角为θ，因为()()10,2,1,0,2,2EF m A D =-=- ，所以1cos cos ,EF A D θ==，令[]31,3m t -=∈，所以3m t =-，所以cos θ====，因为11,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以11t =取最大值，此时cos θ取最小值，此时1,2t m ==，即F 与1C 重合，故④正确；故答案为：②④.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是向量法的使用，将①中的垂直关系转化为数量积计算，将③中的体积问题转化为点到面的距离问题并用向量法完成计算，将④中的异面直线所成角转化为直线方向向量所成角进行计算.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -.（1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．【答案】（1）34230x y --=;（2）4310x y ++=.【解析】【详解】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为4310x y ++=.试题解析：（1）8252+=，6222-+=-∴ 吘的中点坐标为()5,2-624823AB k --==--，∴ 吘的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=-∴ 吘的中垂线方程为34230x y --=（2）由点斜式()4323y x +=--∴直线l 的方程4310x y ++=17.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切.（1）求圆C 的标准方程.（2）求直线l ：220x y -+=与圆C 相交的弦长.【答案】（1）22(2)4x y -+=；（2）455.【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆C 的标准方程.（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.【详解】（1）令圆心为(,0)x 且0x >，∴由圆与3440x y ++=相切，有|34|25x +=，即可得2x =.∴圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=.（2）由（1）知：C (2,0)，2r =，∴C 到直线220x y -+=的距离为d =∴直线l 与圆C 相交的弦长为4525==.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AB AD ⊥，且122PA AB BC AD ==== ．（1）求直线PB 与直线CD 所成角的大小；（2）求直线PD 与平面PAC 所成角的正弦值．【答案】（1）π3（2）5【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线PB 与直线CD 所成角的大小.（2）利用向量法来求得直线PD 与平面PAC 所成角的正弦值．【小问1详解】由于PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，由于AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直.以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，()()()()0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,4,0P B C D ，()()2,0,2,2,2,0PB CD =-=- ，设直线PB 与直线CD 所成角为α，则1cos 2PB CD PB CDα⋅==⋅ ，由于π02α≤≤，所以π3α=.【小问2详解】()0,4,2PD =- ，()()2,2,0,0,0,2AC AP == ，设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则22020n AC x y n AP z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，故可设()1,1,0n =- ，设直线PD 与平面PAC 所成角为θ，则10sin 5PD n PD nθ⋅==⋅ .19.已知圆C 过()()()4,1,0,1,2,3A B M 三点，直线:2l y x =+．（1）求圆C 的方程；（2）求圆C 关于直线l 对称的圆C '的方程；（3）若P 为直线l 上的动点，Q 为圆C 上的动点，O 为坐标原点，求||||OP PQ +的最小值．【答案】（1）()()22214x y -+-=（2）()()22144x y ++-=（32-【解析】【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知；（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点C '的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆C '的方程；（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知2OP PQ OP PC +≥+-，然后利用对称关系将OP PC +转化为OP PC +'，结合三点共线可求最小值.【小问1详解】设圆的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，代入()()()4,1,0,1,2,3A B M ，则()()()()()()22222222241123a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得212a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为()()22214x y -+-=；【小问2详解】设(),C m n '，由对称关系可知111212222n m n m -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得14m n =-⎧⎨=⎩，所以()1,4C '-，又因为对称圆的半径不变，所以C '的方程为()()22144x y ++-=；【小问3详解】因为2OP PQ OP PC +≥+-，由（2）可知C 关于直线l 的对称点为C '，所以OP PC OP PC OC +=+≥=''，当且仅当,,O P C '共线时取等号，所以2OP PQ +≥，即OP PQ +2-.20.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，Q 为PD 的中点，PA AD ⊥，2PA AB ==，再从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值；（3）求点B 到平面ACQ 的距离．条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件②：PA AB ⊥．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）33（3）233【解析】【分析】（1）先选择条件，然后根据面面垂直的性质定理或线面垂直的判定定理来证得PA ⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值.（3）利用向量法求得点B 到平面ACQ 的距离.【小问1详解】若选①，由于平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，PA ⊂平面PAD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .若选②，由于PA AB ⊥，PA AD ⊥，,,AB AD A AB AD =⊂ 平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）知PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 分别所在的直线为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,2P ， ǡ ǡ ，()0,1,1Q ，()2,2,0C ，所以()2,2,0AC = ，()0,1,1AQ = 由（1）知平面ABCD 的法向量()0,0,2AP = ，设平面ACQ 的法向量为(),,n x y z = ，则2200n AC x y n AQ y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，即00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则()1,1,1n =-- ，设平面ACQ 与平面ABCD 夹角的为θ，则3cos 3AP n AP nθ⋅===⋅ ，所以平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值为33.【小问3详解】由已知得()2,0,0B ，()2,0,0AB = ，所以点B 到平面ACQ的距离为233AB n n ⋅==.21.已知圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点(24)A ，．（1）若圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设过点A 的直线l 与圆M 相交的另一交点为B ，且ABM 为直角三角形，求l 的方程；（3）设动点(0)T t ，，若圆M 上存在P Q ，两点，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()()22611x y -+-=（2）7100x y --=或7300x y +-=（3）22⎡-+⎣【解析】【分析】（1）求得圆N 的圆心和半径，从而求得圆N 的标准方程.（2）利用圆心到直线的距离列方程，求得直线l 的斜率，从而求得直线l 的方程.（3）将原问题转化为||||210TA PQ r =≤=即可求解.【小问1详解】圆M 的方程可化为()()226725x y -+-=，所以圆心为()6,7M ，半径为=5r .由于圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，结合图象可知圆N 的圆心为()6,1，半径为1，所以圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.【小问2详解】由于MA MB =，所以三角形ABM 是等腰直角三角形，且π2AMB ∠=，所以M 到直线AB的距离为15222=，所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()422,420y k x kx k kx y k -=-=--+-=，522==，两边平方并化简得274870k k --=，解得7k =或17k =-，所以直线l 的方程为7100x y --=或124077x y --++=，即7100x y --=或7300x y +-=.【小问3详解】TA TP TQ+= ，所以TA TQ TP PQ =-= ，因为P ，Q 为圆M 上的两点，所以||210PQ r ≤=，由PQ TA = ，得||||10TA PQ =≤，即10≤，22(2)4100t -+≤，2(2)84,22t t t -≤-≤--≤，解得22t -≤≤+t 的取值范围为[2-+．【点睛】方法点睛：圆的几何性质与方程化简：通过化简圆的方程，找到圆心和半径，结合切线和外切条件，利用几何性质确定圆心的具体位置和半径.利用距离公式求直线方程：在涉及到圆与直线的关系时，利用点到直线的距离公式来确定直线的方程，是一种行之有效的方法.。

2020-2021学年北京市某校高二(上)期中数学试卷 (2)

2020-2021学年北京市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题；共40分）1. 已知集合A＝{x|x2−3x−4<0}，B＝{−4, 1, 3, 5}，则A∩B＝（）A.{−4, 1}B.{1, 5}C.{3, 5}D.{1, 3}【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求解一元二次不等式得到集合A，再由交集运算得答案．【解答】集合A＝{x|x2−3x−4<0}＝(−1, 4)，B＝{−4, 1, 3, 5}，则A∩B＝{1, 3}，2. 若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A.0B.1C.√2D.2【答案】C【考点】复数的模【解析】根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．【解答】z＝1+2i+i3＝1+2i−i＝1+i，∴|z|=√12+12=√2．3. “a<−1”是“直线ax+y−3＝0的倾斜角大于”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4. 某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，体重在[45, 50)内适合跑步训练，体重在[50, 55)内适合跳远训练，体重在[55, 60)内适合投掷相关方面训练，试估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为（ ）A.4:3:1B.5:3:1C.5:3:2D.3:2:1【答案】 B【考点】频率分布直方图 【解析】分别求出体重在[45, 50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50, 55)内频率为0.06×5＝0.30，体重在[55, 60)内频率为0.02×5＝0.1，即可求得结论． 【解答】体重在[45, 50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50, 55)内频率为0.06×5＝0.30，体重在[55, 60)内频率为0.02×5＝0.1， ∵ 0.5:0.3:0.1＝5:3:1故可估计跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5:3:1，5. 已知函数g(x)＝f(2x)−x 2为奇函数，且f(2)＝1，则f(−2)＝（ ） A.−2B.−1C.1D.2【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据g(x)为奇函数可得出g(−2)＝−g(2)，再根据f(2)＝1即可得出f(−2)−1＝−1+1，从而求出f(−2)＝1． 【解答】∴ g(−1)＝−g(1)(1)∴ f(−2)−1＝−f(2)+1＝−1+1(2)∴ f(−2)＝1． 故选：C ．6. 在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB → = ( ) A.2CD → +CA →B.CD →− 2CA →C.2CD →−CA →D.CD →+ 2CA →C【考点】向量的三角形法则 【解析】利用向量加法法则直接求解． 【解答】解：在△ABC 中，D 是AB 边上的中点， 则CB → = CD → + DB → = CD → + AD → =CD → + (AC → + CD →) =2CD → −CA →． 故选C .7. 若平面α // 平面β，直线a // 平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中（ ）A.不一定存在与a 平行的直线B.只有两条与a 平行的直线C.存在无数条与a 平行的直线D.存在唯一与a 平行的直线【答案】 A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】若平面α // 平面β，直线a // 平面α，点B ∈β，判断点B 与直线a 的关系， 【解答】解：①点B ∉直线a 时，平面α // 平面β，直线a // 平面α，∴ a // β或a ⊂β，a // β时，由线面平行性质定理，在平面β内存在唯一过B 点与a 平行的直线；a ⊂β时，过直线外一点有且只有一条直线与一直在线平行，故存在唯一与a 平行的直线；②点B ∈直线a 时，则在平面β内不存在过B 点的直线与a 平行． 故选A8. 方程(x +y +6)＝0表示的曲线是（ ）A.两条平行线B.一条直线和一条射线C.两条射线D.一条直线【答案】 D【考点】 曲线与方程 【解析】 此题暂无解析此题暂无解答9. 若函数y=sin(ωx+π3)的图象向右平移π6个单位后与函数y=cosωx的图象重合，则ω的值可能为（）A.−1B.−2C.1D.2【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律可得y=sin[ω(x−π6)+π3]的图象，再根据所得函数的图象与函数y=cosωx的图象重合，可得π3−ω⋅π6=2kπ+π2，k∈z，由此可得ω的可能值．【解答】解：函数y=sin(ωx+π3)的图象向右平移π6个单位后，可得函数y=sin[ω(x−π6)+π3]的图象，再根据所得函数的图象与函数y=cosωx的图象重合，∴π3−ω⋅π6=2kπ+π2，k∈Z，∴当k=0时，ω=−1.故选A．10. 已知函数f(x)＝，则f(3−x2)>f(2x)的解集为（）A.(−∞, −3)∪(1, +∞)B.(−3, 1)C.(−∞, −1)，∪(3, +∞)D.(−1, 3)【答案】B【考点】分段函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（共5小题：共25分）（郑州一次质测）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a−1)y=a−7平行，则a=________．【答案】3【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】因为两条直线平行，所以a(a−1)−2×3=0，且2(7−a)−3a(a−1)≠0，解得a=3或a=−2，且a≠−2，a≠7，所以a=3．3【知识拓展】在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线的方程的系数间的关系得出结论．设l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，①若l1//l2，则A1B2−A2B1=0且B1C2−B2C1≠0；②若l1⊥l2，则A1A2+B1B2=0．本题考查直线与直线的位置关系．直线y=x+1与圆x2+y2+2y−3=0交于A，B两点，则|AB|=________．【答案】2√2【考点】直线与圆的位置关系【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系．【解答】解：由题意知圆的方程为x2+(y+1)2=4，所以圆心坐标为(0,−1)，半径为2，则圆=√2，所以|AB|=2√22−(√2)2=2√2．心到直线y=x+1的距离d=√2故答案为：2√2．在△ABC中，若A=60∘，b=1，S△ABC=√3，则a=________．【答案】√13【考点】解三角形【解析】先利用三角形面积公式求得c，最后利用三角函数的余弦定理求得a．【解答】bc sin A=√3解：∵S△ABC=12∴c=4∴a=√b2+c2−2bc cos A=√1+16−2×1×4×1=√132故答案为：√13若椭圆x24+y2m=1(m<4)的离心率为12，则m=________．【答案】3【考点】椭圆的离心率【解析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0<m<4和m>4两种情况求出m的值．【解答】解：∵椭圆x 24+y2m=1(m<4)的离心率为12，则a2=4，b2=m，∴c=√4−m，∴e=√4−m2=12，得m=3.故答案为：3.在平面直角坐标系中，关于曲线y2＝x3−2x+1，下列说法中正确的有________．①该曲线是有界的（即存在实数a，b，使得对于曲线上任意一点A(x, y)，都有|x|≤a，|y|≤b成立）②该曲线不是中心对称图形；③该曲线是轴对称图形；④直线x＝m(m>0)与该曲线至少有1个公共点．【答案】②③【考点】曲线与方程命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题已知直线l:y＝x+m与圆C:x2+y2−2x+4y+3＝0交于不同的两点．(Ⅰ)写出圆心坐标和半径，并求出m的取值范围；(Ⅱ)当直线l经过圆C的圆心时，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．【答案】（1）圆C:x2+y2−7x+4y+3＝2化为标准方程：(x−1)2+(y+7)2＝2，圆心坐标(8, −2)．由，得：4x2+2(m+5)x+m2+4m+2＝0，∴△＝4(m+3)2−8(m3+4m+3)>8，解得−5<m<−1．（2）当直线l经过圆C的圆心时，−2＝1+m，∴直线l:y＝x−3．直线l与x轴的交点为(6, 0)，−3)，所以，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知函数f(x)＝2cos x（sin x−cos x)+1．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(Ⅱ)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值和最小值．【答案】（1）因为f(x)＝2cos x（sin x−cos x)+5＝23x+1＝sin2x−cos2x＝2sin(7x−），所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，令2kπ−≤3x−，k∈Z≤x≤kπ+，可得单调递增区间为：[kπ−]，k∈Z．（2）当x∈[0，]时∈[−，]，所以sin(2x−）∈[−，可得f(x)＝2sin(5x−）∈[−1，即函数f(x)的最大值为2．【考点】三角函数的周期性三角函数的最值三角函数中的恒等变换应用两角和与差的三角函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答如图，已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB // DC，∠ABC=45∘，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．（1）求证：AB // 平面PCD；（2）求证：BC⊥平面PAC；（3）若M是PC的中点，求三棱锥M−ACD的体积．【答案】证明：（1）∵AB // CD又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD∴AB // 平面PCD（2）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，∴AE=DC=1又AB=2，∴BE=1在Rt△BEC中，∠ABC=45∘∴CE=BE=1，CB=√2∴AD=CE=1则AC=√AD2+CD2=√2，AC2+BC2=AB2∴BC⊥AC又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC．又由PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC（3）∵M是PC中点，∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半∴V M−ACD=13S△ACD⋅(12PA)=13×(12×1×1)×12=112．【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直的判定【解析】（1）由已知中AB // DC，结合线面平行的判定定理，可得AB // 平面PCD；（2）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，由已知中DC=1，AB=2，我们根据勾股定理可得BC⊥AC，由PA⊥平面ABCD可得PA⊥BC，结合线面垂直的判定定理即可得到BC⊥平面PAC；（3）若M是PC的中点，则M到面ADC的距离是P到面ADC距离，即PA的一半，根据其它已知条件计算出棱锥的底面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．【解答】证明：（1）∵AB // CD又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD∴AB // 平面PCD（2）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，∴AE=DC=1又AB=2，∴BE=1在Rt△BEC中，∠ABC=45∘∴CE=BE=1，CB=√2∴AD=CE=1则AC=√AD2+CD2=√2，AC2+BC2=AB2∴BC⊥AC又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC．又由PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC（3）∵M是PC中点，∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半∴ V M−ACD =13S △ACD ⋅(12PA)=13×(12×1×1)×12=112．如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱AB 上的动点．（1）求证：DA 1⊥ED 1；（2）若直线DA 1与平面CED 1成角为45∘，求AEAB 的值；（3）写出点E 到直线D 1C 距离的最大值及此时点E 的位置（结论不要求证明）． 【答案】解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 1, 0)，D 1(0, 0, 1)，A 1(1, 0, 1)，设E(1, m, 0)(0≤m ≤1)(I)证明：DA 1→=(1, 0, 1)，ED 1→=(−1, −m, 1) ∴ DA 1→⋅ED 1→=0∴ DA 1⊥ED 1；（2）解：设平面CED 1的一个法向量为v →=(x, y, z)，则 ∵ CD 1→=(0, −1, 1)，CE →=(1, m −1, 0) ∴ {−y +z =0x +(m −1)y =0．取z =1，得y =1，x =1−m ，得v →=(1−m, 1, 1)．∵ 直线DA 1与平面CED 1成角为45∘，∴ sin 45∘=|cos <DA 1→，v →>|=√22， ∴ |2−m|⋅=√22，解得m =12．----- （3）解：点E 到直线D 1C 距离的最大值为√62，此时点E 在A 点处．------【考点】直线与平面所成的角直线与平面平行的性质【解析】（1）建立坐标系，求出DA 1→=(1, 0, 1)，ED 1→=(−1, −m, 1)，可得DA 1→⋅ED 1→=0，即可证明DA 1⊥ED 1；（2）求出平面CED 1的一个法向量，利用直线DA 1与平面CED 1成角为45∘，可得|2−m|⋅=√22，即可求AE AB 的值； （3）点E 在A 点处，可求点E 到直线D 1C 距离的最大值．【解答】解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 1, 0)，D 1(0, 0, 1)，A 1(1, 0, 1)，设E(1, m, 0)(0≤m ≤1)(I)证明：DA 1→=(1, 0, 1)，ED 1→=(−1, −m, 1)∴ DA 1→⋅ED 1→=0 ∴ DA 1⊥ED 1；（2）解：设平面CED 1的一个法向量为v →=(x, y, z)，则∵ CD 1→=(0, −1, 1)，CE →=(1, m −1, 0)∴ {−y +z =0x +(m −1)y =0． 取z =1，得y =1，x =1−m ，得v →=(1−m, 1, 1)．∵ 直线DA 1与平面CED 1成角为45∘，∴sin45∘=|cos<DA1→，v→>|=√22，∴|2−m|⋅=√22，解得m=12．-----（3）解：点E到直线D1C距离的最大值为√62，此时点E在A点处．------已知椭圆+＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2＝上，直线AM与椭圆交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．【答案】（1）由题意可得e＝＝＝，3b＝2，则a＝2，所以椭圆的标准方程为+＝3；（2）A(−2, 0)，与椭圆方程x3+2y2−6＝0联立，可得(1+3k2)x2+4k2x+8k7−4＝0，设A，B的横坐标分别为x5，x2，可得x1+x5＝-，x3x2＝，设x1＝−8，可得x2＝，y2＝，由△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，设O到AB的距离为d，可得＝4，即＝2，设M(m, n)，）＝2(m+2，可得m＝，n＝，由M在圆x2+y2＝上，可得m2+n2＝，即为28k4+k2−2＝0，解得k＝±，则直线AB的方程为y＝x+1或y＝-．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答对于4元有序实数组(a1, a2, a3, a4)，若对1，2，3，4的任意一种排序i，j，k，（即i，j，k，l∈{1, 2, 3, 4}且i，j，k，l互不相同）均有a i a j+a j a k+a k a l≥−1，则称实数组(a1, a2, a3, a4)为“阳光组”．(Ⅰ)分别判断(−1, −1, 1, 1)，（-，t，t，t)(t∈R, t≠0)是否为“阳光组”，说明理由．(Ⅱ)设(a1, a2, a3, a4)为“阳光组”，证明：a1a2+a2a3+a3a4+a4a1≥−．(Ⅲ)求最大的常数C使得对于每个“阳光组”(a1, a2, a3, a4)均有，a i a j≥C．【答案】（1）①(−1，−1，6，当i＝3，j＝2，l＝7时，a i a j+a j a k+a k a l≥a2a3+a5a4+a1a3＝−3，不满足“阳光组”条件；②（-，t，t，t)，是，a1a2＝-，a1a6＝-，a3a4＝-，a2a3＝t7，a2a4＝t6，a3a4＝t8，a i a j+a j a k+a k a l≥2t2−或t2−8，均满足a i a j+a j a k+a k a l≥−1，满足“阳光组”条件；（2）根据“阳光组”条件，a1a5+a2a3+a2a4≥−1，a4a2+a1a4+a2a3≥−6，a1a2+a5a4+a3a6≥−1，a2a6+a3a4+a8a1≥−1，将以上四个不等式相加得：7(a1a2+a6a3+a3a4+a4a1)≥−6，故a1a2+a2a3+a3a5+a4a1≥−；(Ⅲ)a i a j＝a1a2+a3a3+a1a7+a2a3+a8a4+a3a5＝(a1a2+a5a3+a2a6)+(a2a3+a3a4+a1a3)≥(−1)+(−1)＝−6，故C＝−2．【考点】数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

高二数学上学期期中试题含解析试题_1

大兴区2021-2021学年高二数学上学期期中试题〔含解析〕一、选择题一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项.1.设a b >，那么一定成立的是〔 〕A. 22a b >>C.11a b< D.2a b b +>【答案】D 【解析】 【分析】通过取特殊值，即可判断出ABC 的正误，利用不等式的性质即可判断出D 的正误． 【详解】因为a b >，选项A 中，取1a =-，2b =-，可知22a b <，因此不正确；选项B 中，取1a =-，2b =-不存在，因此不正确； 选项C 中，取1a =，2b =-，可知11a b>，因此不正确； 选项D 中，由a b >，根据不等式的性质，可知2a b b +>正确. 应选：D.【点睛】此题考察了不等式的根本性质、特殊值法判断不等式是否成立，属于简单题. 2.假设数列{}n a 满足1n n n a a +-=，12a =，那么4a =〔 〕 A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系，逐步求解，得到答案. 【详解】因为1n n n a a +-=，12a =，所以2113a a =+=，3225a a =+=，4338a a =+= 应选：C.【点睛】此题考察根据数列递推公式求数列中的项，属于简单题. 3.假设0a >，0b >，且1a b +=，那么ab 的最大值为〔 〕 A.18B.14C.13D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据根本不等式，求出ab 的最大值，得到答案. 【详解】因为0a >，0b >，且1a b +=，122a b +=， 所以14ab ≤，当且仅当12a b ==时，等号成立.应选：B.【点睛】此题考察根据根本不等式求积的最大值，属于简单题. 4.假设数列{}n a 满足()11n a n n =+，那么{}n a 的前n 项和为〔 〕A.1n n - B.22n n- C.1n n + D.21nn + 【答案】C 【解析】 【分析】由()11111n a n n n n ==-++，根据裂项相消法求出其前n 项的和.【详解】因为()11111n a n n n n ==-++所以{}n a 的前n 项和11111112231n S n n =-+-+⋅⋅⋅+-+1111nn n =-=++. 应选：C.【点睛】此题考察裂项相消法求数列的和，属于简单题.5.设,,x a b 是任意实数，那么“22x a b >+〞是“2x ab >〞的〔 〕 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据根本不等式和取特殊值，分别判断充分性和必要性，从而得到答案. 【详解】根据根本不等式可知222a b ab +≥， 所以由22x a b >+可以得到2x ab >，当1x =，1a =，0b =时，满足2x ab >，但不满足22x a b >+ 所以由2x ab >不能得到22x a b >+，所以“22x a b >+〞是“2x ab >〞的充分而不必要条件. 应选：A.【点睛】此题考察根本不等式的应用，充分而不必要条件的判断，属于简单题.6.地球运行的轨道是焦距为2c ，离心率为e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，那么地球到太阳的最小间隔 为〔 〕 A. ce c -B. 22ce c -C.cc e- D.22cc e- 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率得到椭圆的a ，根据椭圆的几何性质，得到最小间隔 ，从而得到答案. 【详解】因为地球椭圆轨道的焦距为2c ，离心率为e ， 所以由c e a =，得c a e=， 而太阳在这个椭圆的一个焦点上， 所以地球到太阳的最小间隔 为ca c c e-=-. 应选：C.【点睛】此题考察椭圆离心率的定义，椭圆上的点到焦点的间隔 ，属于简单题.7.假设椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点(c,0)F 关于直线c y x b =的对称点在此椭圆上，那么该椭圆的离心率为〔 〕A.13B.12D.2【答案】D 【解析】 【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出Q 到两焦点的间隔 ，再利用椭圆的性质可求出b 与c 之间的关系，然后求解离心率，得到答案.【详解】设椭圆的左焦点为()1,0F c -，连接1QF ，QF ， 设QF 与直线cy x b=交于点M ， 由题意可知M 为线段QF 的中点， 所以1//FQ OM ， 又因OM FQ ⊥，所以1F Q QF ⊥，12FQ OM =， 在Rt MOF ∆中，tan MF c MOF OM b ∠==，OF c =，可得bc OM a =，2c MF a=， 故222c QF MF a==，122bc QF OM a ==，根据椭圆的定义，得12QF QF a +=，即2222bc c a a a+=，得b c =，所以222a b c c =+=， 所以椭圆离心率22c e a ==. 应选：D.【点睛】此题考察椭圆的定义和几何性质，点关于直线的对称点，属于中档题.8.假设,a b 是函数2()(0,0)f x x mx n m n =++<>的两个不同的零点，且,,1a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，那么m n +=〔 〕 A. 32-B. 1-C.12D.72【答案】A 【解析】 【分析】根据,a b 是函数()f x 的零点，得到,a b 的大小关系，从而得到,,1a b -成等差数列和等比数列的情况，得到关于,a b 的方程，求出,a b 的值，从而得到m n +【详解】因为,a b 是函数2()(0,0)f x x mx n m n =++<>的两个不同的零点， 所以0a b m +=->，0ab n =>， 可得,a b 都是正数，由240m n ∆=->，可得()()2240a b ab a b +-=->， 所以ab ，不妨假设0a b >>，,,1a b -这三个数可适当排序后成等差数列，那么,,1a b -需按从大到小或者从小到大排列，b 为1,a -的等差中项，即1,,b a -或者,,1a b -成等差数列，所以12a b -=，,,1a b -这三个数可适当排序后成等比数列，那么1-需为,a b 的等比中项，即,1,a b -或者,1,b a -成等比数列， 即()211ab =-=所以解得2a =，12b =，〔舍去负值〕 从而得到()52m a b =-+=-，1n ab ==，所以32m n +=-.应选：A.【点睛】此题考察等差中项和等比中项的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题. 二、填空题一共6小题，每一小题5分，一共30分.21x <的解集为________________.【答案】(1,1)-. 【解析】试题分析：将原不等式变形为210(1)(1)011x x x x -<⇒+-<⇒-<<，∴不等式的解集为(1,1)-.考点：解一元二次不等式.10.命题“2R,0x x ∀∈≥〞的否认是____________． 【答案】2,0x R x ∃∈< 【解析】根据全称命题的否认为特称命题可得：“2R,0x x ∀∈≥〞的否认是2,0x R x ∃∈<，故答案为2,0x R x ∃∈<.11.椭圆22416+=x y 上点的纵坐标的取值范围是______.【答案】[]22-,【解析】 【分析】将椭圆化为HY 方程，从而得到答案.【详解】椭圆22416+=x y 的HY 方程为221164x y +=，从而得到点的纵坐标的取值范围是[]22-,. 故答案为：[]22-,. 【点睛】此题考察椭圆上点的范围，属于简单题.12.数列{}n a 的前n 项和2n S n tn =+，且31a =，那么t =______.【答案】4- 【解析】 【分析】由332a S S =-，得到关于t 的方程，得到t 的值.【详解】因为2n S n tn =+，所以()()33293425a S S t t t =-=+-+=+， 所以51t +=，解得4t =-. 故答案为：4-.【点睛】此题考察数列前n 项和与通项的关系求数列中的项，属于简单题.13.假设不等式21x mx +>对(0,)x ∈+∞恒成立，那么实数m 的取值范围是______. 【答案】2m < 【解析】 【分析】 问题转化为1m x x<+对()0,x ∈+∞恒成立，根据根本不等式，得到1x x +的最小值，从而得到答案.【详解】因为不等式21x mx +>对()0,x ∈+∞恒成立，所以问题转化1m x x<+对()0,x ∈+∞恒成立， 即min1m x x ⎛⎫<+⎪⎝⎭， 因为()0,x ∈+∞，由根本不等式，得12x x +≥=， 当且仅当1x x=，即1x =时取等号， 所以得到2m <. 故答案为：2m <.【点睛】此题考察不等式恒成立问题，利用根本不等式求和的最小值，属于简单题. 14.定义“等积数列〞：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积.数列{}n a 是12a =，公积为6-的等积数列，那么3a =______；数列{}n a 的前n 项和n S =______.【答案】 (1). 32a = (2). ,25,2n nn S n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪-⎪⎩为偶数为奇数【解析】 【分析】根据等积数列的定义，得到12a =，23a =-，32a =，43a =-，⋅⋅⋅，得到n a 为周期为2的数列，从而得到数列的第三项以及前n 项的和. 【详解】数列{}n a 是等积数列，12a =，公积为6-， 所以23a =-，32a =，43a =-，⋅⋅⋅ 所以前n 项的和()()2323n S =+-++-+⋅⋅⋅2n k =，有k 个2，k 个3-，所以223k S k k k =-=-，得到当n 为偶数时，2n nS =-21n k =+，有1k +个2，k 个3-，所以()212132k S k k k +=+-=-+，得到当n 为奇数时，52n n S -=-所以,25,2n nn S n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪-⎪⎩为偶数为奇数故答案为：32a =，,25,2n nn S n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪-⎪⎩为偶数为奇数.【点睛】此题考察数列的新定义，数列的周期性，属于中档题.三、解答题一共6小题，一共80分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.〔1〕0a b >>，求证：11b ba a+>+. 〔2〕1x >-，当x 取什么值时，91x x ++的值最小？最小值是多少？ 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕2x =时，最小值是5. 【解析】 【分析】〔1〕通过作差法，进展证明；〔2〕配凑根本不等式形式，利用根本不等式，得到和的最小值. 【详解】〔1〕因为0a b >>， 所以()()10111b b ab a ab b a ba a a a a a ++----==>+++， 所以11b ba a+>+. 〔2〕当1x >-时，10x +>，99111511x x x x +=++-≥=++， 当且仅当911x x +=+，即2x =时，等号成立， 所以当2x =时，91x x ++的值最小，最小值是5. 【点睛】此题考察作差法证明不等式，根据根本不等式求和的最小值，属于简单题.16.设{}n a 是等差数列，18a =-，且28a +，36a +，44a +成等比数列.〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕求{}n a 的前n 项和n S 的最小值；〔3〕假设{}n b 是等差数列，{}n b 与{}n a 的公差不相等，且55b a =，问：{}n a 和{}n b 中除第5项外，还有序号一样且数值相等的项吗？〔直接写出结论即可〕【答案】〔1〕210n a n =-；〔2〕29n S n n =-，4n =或者5时，n S 获得最小值20-；〔3〕{}n a 和{}n b 中除第5项外，没有序号一样且数值相等的项.【解析】【分析】〔1〕根据等差数列的根本量和等比中项的性质，得到关于公差的方程，从而得到通项公式； 〔2〕根据〔1〕所得的通项，从而得到前n 项的和n S ；〔3〕设n b 的通项，根据55b a =列出方程组，得到方程组无解，得到答案.【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，18a =-.因为28a +，36a +，44a +成等比数列，所以()()()2324684a a a +=++，即有()()()282688834d d d -++=-++-++，解得2d =，那么()821210n a n n =-+-=-.〔2〕由〔1〕中等差数列{}n a 的通项210n a n =-，所以{}n a 的前n 项和()21821092n n n n S n =-+-=-298124n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由于n 为自然数，可得4n =或者5时，n S 获得最小值20-.〔3〕设{}n a 和{}n b 中除第5项外，还有序号一样且数值相等的项，设为第n 项，{}n a 和{}n b 一样，那么5n ≠，设n b kn b =+根据{}n b 与{}n a 的公差不相等，可知2k ≠由55b a =，得525100k b +=⨯-=，即5b k =-，由{}n a 和{}n b 一样，得到n n a b =那么210n kn b -=+，即2105n nk k -=-整理得()()520n k --=，因为5n ≠且2k ≠，所以方程无解.故{}n a 和{}n b 中除第5项外，没有序号一样且数值相等的项.【点睛】此题考察等比中项的应用，等差数列通项中根本量的计算，等差数列的和的最小值，属于中档题.17.函数2()(2)2f x x a x a =+--，a R ∈.〔1〕当0a =时，求()0f x ≤的解集；〔2〕求使()0f x >的x 的取值范围；〔3〕写出“函数()f x 在(1,2)x ∈上的图象在x 轴上方〞的一个充分条件.〔直接写出结论即可〕【答案】〔1〕[]2,0-；〔2〕当2a <-时，不等式的解集为{}2x x a x -或，当2a =-时，不等式的解集为{}2x x ∈≠R ，当2a >-时，不等式的解集为{}2x x x a -或；〔3〕2a =-.【解析】【分析】〔1〕根据0a =解一元二次不等式，得到答案；〔2〕按2a <-，2a =-，2a >-进展分类讨论，得到满足()0f x >的x 的取值范围； 〔3〕由〔2〕可知2a =-满足题意.【详解】〔1〕当0a =时，()22f x x x =+， 所以不等式()0f x ≤，即为220x x +≤所以解集为[]2,0-.〔2〕由()0f x >，可得2(2)20x a x a +-->，即()()20x a x -+>，所以当2a <-时，不等式的解集为{}2x xa x -或，当2a =-时，不等式的解集为{}2x x ∈≠R ，当2a >-时，不等式的解集为{}2x x xa -或〔3〕由〔2〕可知，当2a =-时， ()1,2x ∈，()0f x >恒成立，所以“函数()f x 在(1,2)x ∈上的图象在x 轴上方〞的一个充分条件为2a =-.【点睛】此题考察解不含参的一元二次不等式，分类讨论解一元二次不等式，写出充分条件，属于简单题.18.椭圆C 的两个焦点分别是1(1,0)F -，2(1,0)F ，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕当m 取何值时，直线y x m =+与椭圆C 有两个公一共点；只有一个公一共点；没有公一共点？【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕m <<y x m =+与椭圆C 有两个公一共点；m =或者m =直线y x m =+与椭圆C只有一个公一共点；m <者m >时，直线y x m =+与椭圆C 没有公一共点.【解析】【分析】〔1〕根据椭圆的焦点，得到c ，将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，得到,a b 的方程，解出,a b 的值，从而得到答案；〔2〕直线与椭圆联立，根据∆与0的关系，得到关于m 的不等式，得到答案.【详解】〔1〕设椭圆的HY 方程为22221x y a b+=， 因为椭圆的焦点分别是1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以1c =， 将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得229141a b+=， 根据221a b =+，得到24a =，23b =，所以椭圆的HY 方程为22143x y +=. 〔2〕直线y x m =+与椭圆22:143x y C +=联立，22143y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22784120x mx m ++-=， 那么()222644741233648m m m ∆=-⨯⨯-=-，①当>0∆，即2336480m ->，解得m <方程有两个不同的实数根，即直线y x m =+与椭圆C 有两个公一共点；②当0∆=，即2336480m -=，解得m =或者m = 方程有两个一样的实数根，即直线y x m =+与椭圆C 只有一个公一共点；③当∆<0，即2336480m -=，解得m <m >， 方程没有实数根，即直线y x m =+与椭圆C 没有公一共点；【点睛】此题考察根据椭圆上的点求椭圆方程，考察了根据直线与椭圆的位置关系求参数的范围，属于中档题.19.设{}n a 是等比数列，11a =，3234a a =. 〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕求246222n n a a a a a -+++++；〔3〕在n a 和1n a +之间插入n 个数，其中1,2,3n =，⋅⋅⋅，使这2n +个数成等差数列.记插入的n 个数的和为n S ，求n S 的最大值.【答案】〔1〕134n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；〔2〕121297716n⎛⎫- ⎪⎝⎭；〔3〕189128 【解析】【分析】〔1〕根据3234a a =得到公比q ，再结合1a ，得到n a 的通项； 〔2〕由〔1〕得到2n a 的通项，然后根据等比数列的求和公式，得到答案；〔3〕根据n 个数成等差数列，得到n S ，再由11n n n n S S S S -+≥⎧⎨≥⎩，从而解得n 的值，得到n S 的最大值.【详解】〔1〕设等比数列{}n a 的公比为q ，所以3234a q a ==， 因为11a =，所以134n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭； 〔2〕2123494316n n n a -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以246222n n a a a a a -+++++ 3914161212997716116n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-； 〔3〕因为134n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以11133734444n n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为在n a 和1n a +之间插入n 个数，这2n +个数成等差数列，所以()1173284n n n n n a a S n -++⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，设n S 的第n 项最大，那么11n n nn S S S S -+≥⎧⎨≥⎩，即()()121737318484737318484n n n n n n n n ---⎧⎛⎫⎛⎫⋅≥-⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥+⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得34n ≤≤， 所以3n =或者4时，n S 获得最大值，为347271894864128S S ==⨯⨯=. 【点睛】此题考察等比数列通项的求法，等比数列前n 项和的求法，求数列中的最大项，属于中档题.20.椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点(0,1)A.过原点O 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点,P Q .〔1〕求椭圆C 长半轴长；〔2〕求PQ 最大值；〔3〕假设直线,AP AQ 分别与x 轴交于点,E F ，求证：AEO ∆的面积与AFO ∆的面积的乘积为定值.【答案】〔1〔2〕〔3〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕根据椭圆过点A 得到b 的值，结合离心率得到a 的值，得到答案；〔2〕根据椭圆的几何特点，得到l 与x 轴重合时，PQ 最大，从而得到答案； 〔3〕根据对称性设()00,P x y ，()00,Q x y --，表示出直线AE 、AF ，得到E 、F 坐标，从而表示出AEO ∆的面积与AFO ∆的面积，得到面积的乘积为定值.【详解】〔1〕因为椭圆过点(0,1)A ，所以1b =，c a =而222a b c =+，所以a =所以求椭圆C；〔2〕由〔1〕可得椭圆的HY 方程为2213x y +=， 过原点O 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点,P Q ， 可知当PQ 为长轴时候最长，此时2PQ a ==〔3〕由对称性可知P 、Q 两点关于原点对称，所以设()00,P x y ，那么()00,Q x y --，不妨假设00x >，那么直线AP 的方程为0011y y x x -=+， 令0y =，得到001x x y -=-， 所以00,01x E y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 同理00,01x F y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭， 所以001x OE y -=-，001x OF y =+ 所以1122AEO AFO S S OA OE OA OF ∆∆⋅=⋅ 000011112121x x y y -=⨯⨯⨯⨯⨯-+ 2020141x y =⋅-而()00,P x y 在椭圆上，所以220013x y +=，即()220031x y =-， 所以()20203113414AEO AFO y S S y ∆∆-⋅=⋅=-. 所以AEO ∆的面积与AFO ∆的面积的乘积为定值34. 【点睛】此题考察椭圆的几何性质，求椭圆的长轴长，直线与椭圆的关系，椭圆中的定值问题，属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

专题05 直线和圆的方程(单选题)(12月)(人教A版2019)(解析版)

专题05 直线和圆的方程（单选题）1．已知M (3，，N (－1，)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为 AB ．C ．D ．【试题来源】广东省佛山市佛山市第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】B【分析】首先利用题中所给的点N (－1，，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果．【解析】易知NF 的斜率k，故NF 的方程为y(x －1)x ＋y0．所以M 到NF＝B ．【名师点睛】该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果．2．若圆x 2+y 2+ax -by =0的圆心在第二象限，则直线x +ay -b =0一定不经过 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】天津市第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图象即可判断出结果． 【解析】因为圆22+0x y ax by +-=的圆心坐标为,22a b ⎛⎫-⎪⎝⎭，由圆心在第二象限可得0,0a b >>，所以直线0x ay b +-=的斜率10a-<，y 轴上的截距为0ba>， 所以直线不过第三象限．故选C ．3．平面上的两个向量OA 和OB ，||cos OA α=，||sin OB α=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，0OA OB ⋅=若向量OC OA OB λμ=+(,)R λμ∈，且22221(21)cos (21)sin 4λαμα-+-=，则||OC 的最大值为A ．32 B ．34C ．35D ．37【试题来源】重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高一上学期9月月考 【答案】B【分析】由题意得出||1AB =，OA OB ⊥画出图形，取AB 的中点D ，求出1||4DC =，说明C 在以D 为圆心的圆上，利用求O 点到圆上点的最大值的方法即可求出．【解析】因为0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥，因为||cos OA α=，||sin OB α=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦， 所以||1AB =，取AB 的中点D ，且1||2OD =，如图所示：则1()2OD OA OB =+，所以1122DC OC OD OA OB λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2222222111cos sin (21)cos (21)sin 224DC DC λαμαλαμα⎛⎫⎛⎫⎡⎤⋅=-+-=-+- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， 因为2221(21)cos(21)sin 4λαμα-+-=，所以1||4DC =，所以C 在以D 为圆心，14为半径的圆上，所以||OC 的最大值为113244+=．故选B ． 4．直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a = A ．1- B ．1 C ．3-D ．3【试题来源】吉林省通化市综合高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】B【分析】根据圆的对称性，得出圆心在直线30x y a ++=上，即可得出a 的值． 【解析】由圆的对称性可知，该圆的圆心1,2在直线30x y a ++=上，则()31121a =-⨯--⨯=，故选B. 5．已知圆C 的标准方程为2221x y ，则它的圆心坐标是A ．()2,0-B ．()0,2-C ．()0,2D ．()2,0【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】A【解析】圆C 的标准方程为2221x y ，圆心坐标为()2,0-．故选A.6．若圆的方程为()()()()12240x x y y -++-+=，则圆心坐标为 A ．()1,1-B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2-D ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭【试题来源】江西省贵溪市实验中学2020-2021学高二上学期期中考试（理） 【答案】D【分析】将圆的一般方程配方得圆的标准方程，可确定圆心坐标得选项．【解析】圆的方程(1)(2)(2)(4)0x x y y -++-+=，可化为222100x y x y +++-=，即22145(1)24x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，所以圆心坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故选D ．7．圆224x y +=上的点到直线43250x y -+=的距离的取值范围是 A ．[]3,7 B ．[]1,9 C ．[]0,5D ．[]0,3【试题来源】宁夏青铜峡市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文） 【答案】A【分析】求出圆心到直线的距离，加上半径最大值，减去半径最小值即可求解．【解析】224x y +=，圆心()0,0，半径2r，圆心到直线43250x y -+=的距离5d ==，所以圆上的点到直线的距离的最小值为523-=，最大值为527+=，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[]3,7．故选A. 8．经过(2,0), (5,3)A B --两点的直线的倾斜角是 A ．45︒ B ．60︒ C ．90︒D ．135︒【试题来源】北京大兴区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试 【答案】D【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率，结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角． 【解析】由(2,0), (5,3)A B --，则过两点的直线斜率为30315(2)3k -===-----，即tan 1α=-，又[)0,απ∈，135α∴=︒，即倾斜角为135︒．故选D ．9．如图，已知直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<【试题来源】宁夏青铜峡市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文） 【答案】D【分析】根据倾斜角的大小即可判断斜率大小． 【解析】由图可知，1l 的倾斜角为钝角，故10k <，2l 的倾斜角大于3l的倾斜角，且为锐角，则23k k >，所以132k k k <<．故选D ．10．设向量(),1a a =，()()1,0b b ab =≠，若a b ⊥，则直线20+=b x y 与直线2x a y -=的位置关系是 A ．平行 B ．相交且垂直 C ．相交但不垂直D ．重合【试题来源】江西省南昌市第二中学2021届高三上学期第四次考试（文） 【答案】B【分析】根据向量垂直，得到0a b +=，从而可得两直线斜率之间的关系，即可得出结果． 【解析】因为向量(),1a a =，()()1,0b b ab =≠，若a b ⊥，则0a b +=，即=-b a ，所以直线20+=b x y 可化为2y a x =-，直线20x a y -=可化为21y x a=， 两直线斜率之积为2211a a-⋅=-，所以两直线相交且垂直．故选B ． 11．已知直线1l ：10x y --=与2l ：220x ay -+=平行，则实数a 的值是 A ．12B ．12-C ．1D ．1-【试题来源】福建省厦门一中2020-2021学年高二（10月份）月考 【答案】A【分析】根据直线平行可直接构造方程求得结果． 【解析】12//l l ，()()()()()1211012210a a ⎧⨯---⨯=⎪∴⎨-⨯--⨯-≠⎪⎩，解得12a =．故选A ．【名师点睛】本题考查根据两直线平行求解参数值的问题，解题关键是明确若直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=平行，则12210A B A B -=且12210B C B C -≠．12．斜率为2，且过直线4y x =-和直线2y x =+交点的直线方程为 A ． 21y x =+ B ．21y x =- C ．22y x =-D ． 22y x =+【试题来源】安徽省皖北名校2020-2021学年高二上学期第二次联考 【答案】A【分析】求出两直线的交点坐标，根据点斜式可得结果． 【解析】联立42y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以两直线的交点坐标为()1,3，所求直线方程为()321y x -=-．整理为21y x =+．故选A 13．点()2,1关于直线y x =对称的点的坐标为 A ．()1,2 B ．()1,3 C ．()3,1-D ．()1,3-【试题来源】安徽省皖北名校2020-2021学年高二上学期第二次联考 【答案】A【分析】根据点(),P x y 关于直线y x =的对称点为(),P y x '，即可求出．【解析】因为点(),P x y 关于直线y x =的对称点为(),P y x '，所以点()2,1关于直线y x =对称的点的坐标为()1,2．故选A ． 14．已知直线11:2l y x =，2:2l y ax =+，且12l l ⊥，那么实数a 的值是 A ．2- B ．12-C ．12D ．2【试题来源】北京市第一次普通高中2019-2020学年高二学业水平考试合格性考试 【答案】A【分析】由直线垂直斜率乘积为1-解方程可得答案． 【解析】因为直线11:2l y x =，2:2l y ax =+，且12l l ⊥， 所以112a =-，2a =-．故选A ． 【名师点睛】斜率存在的两直线：垂直的充要条件是斜率乘积为1-，平行的充要条件是斜率相等且纵截距不等．15．经过点()1,0，且斜率为2的直线的方程是 A ．220x y -+= B ．220x y --= C ．210x y -+=D ．210x y --=【试题来源】北京市第一次普通高中2019-2020学年高二学业水平考试合格性考试 【答案】B【解析】由于直线经过点()1,0，且斜率为2，故其直线方程为()21y x =-， 化简得220x y --=，故选B ．16．已知直线l 经过()1,0-，(两点，那么直线l 的倾斜角的大小是 A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°【试题来源】北京市第一次普通高中2019-2020学年高二学业水平考试合格性考试 【答案】C【分析】首先根据直线上的两点计算斜率，再根据tan k α=，求倾斜角．【解析】根据斜率公式可知()01k ==--tan α=)0,180α⎡∈⎣，60α∴=．故选C ．17．已知直线10x my ++=与直线2210m x y --=互相垂直，则实数m 为 AB ．0或2C ．2D ．0【试题来源】江西省贵溪市实验中学2020-2021学高二上学期期中考试（理） 【答案】B【分析】利用两直线垂直结论：12120A A B B +=，代入求解即可． 【解析】由题意得()21200m m m ⨯+⨯-=⇒=或2m =；故选B ．18．已知直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，若12//l l ，则实数a 的值为 A ．4± B ．－4 C ．4D ．2±【试题来源】江西省奉新县第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文） 【答案】B【解析】因为12//l l ，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±．当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去．当4a =-时，符合题意．所以4a =-．故选B 【名师点睛】已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合．本题就是典型例子，否则容易出现错解．19．已知点(2,)A m ，(3,3)B ，直线AB 的倾斜角为45︒，那么m 的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】天津市和平区汇文中学2020-2021学年高二（上）第一次质检 【答案】B【解析】由题意可得3tan 4523m -=︒-，2m ∴=．故选B ． 20．直线l 在y 轴上的截距为1，且斜率为2-，则直线l 的方程为 A ．210x y +-= B ．250x y +-= C ．250x y +-=D ．270x y -+=【试题来源】天津市和平区汇文中学2020-2021学年高二（上）第一次质检 【答案】A【分析】根据题意，由直线的斜截式方程可得直线l 的方程，变形可得答案． 【解析】根据题意，直线l 在y 轴上的截距为1，且斜率为2-， 则直线l 的方程为21y x =-+，即210x y +-=．故选A ． 21．圆22(1)1x y ++=的圆心到直线y =-A ．0B ．1 C．2D【试题来源】天津市和平区汇文中学2020-2021学年高二（上）第一次质检 【答案】D【解析】圆22(1)1x y ++=的圆心(1,0)-到直线y =的距离d ==D ．22．已知点()1,2A ，()2,1B -，则直线AB 的斜率为 A ．3- B ．3 C ．13D ．13-【试题来源】宁夏青铜峡市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理） 【答案】A【解析】因为点()1,2A ，()2,1B -，所以根据斜率公式得直线AB 的斜率为12321--=--．故选A ．23．直线1:(2)(1)10l a x a y ++--=与2:(1)(23)20l a x a y -+++=互相垂直，则实数a 的值是 A ．1- B ．1C ．1-或1D ．以上都不对【试题来源】北京一零一中学2020-2021学年高二上学期期中考试 【答案】C【解析】由题意(2)(1)(1)(23)0a a a a +-+-+=，解得1a =或1-．故选C ． 24．若直线3430x y +-=与直线620x my ++=平行，则它们之间的距离为 A ．1 B ．12C ．25D ．45【试题来源】四川省南充市阆中中学2020-2021学年高二（仁智班）上学期期中考试（理） 【答案】D【分析】首先根据两直线平行求出8m =，再利用两平行线间距离公式即可求距离． 【解析】依题意可得，3460m -⨯=，解得8m = 所以直线方程为6820x y ++=，也即是3410x y ++=()13455--==，故选D ． 【名师点睛】在利用两平行线间距离公式求距离时，x 和y 的系数应分别相等，比如6820x y ++=，应化为3410x y ++=，才可以用公式．25．已知直线1:22l x my +=，22:21l m x y +=，且12l l ⊥，则m 的值为A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－1【试题来源】广东省佛山市佛山市第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】D【解析】因为直线1:22l x my +=，22:21l m x y +=，且12l l ⊥，所以2220m m +=，解得0m =或1m =-．故选D ．【名师点睛】此题易用两条直线的斜率之积等于1-，而忽略一条直线斜率不存在另外一条直线斜率为0的情况．26．垂直于直线2y x =-且与圆221x y +=相切于第三象限的直线方程是A ．10x y +-=B ．0x y ++=C ．0x y +=D ．10x y ++=【试题来源】云南师范大学附属中学2021届高考适应性月考卷（三）（文） 【答案】B【分析】由垂直设所求方程为(0)y x m m =-+<，0m <保证直线过第三象限，然后由圆心到切线的距离等于半径求出参数m ．【解析】设所求方程为(0)y x m m =-+<，圆心到直线的距离为1r ==，因为0m <，所以m =B ．27．圆()()22321x y ++-=和圆()()223681x y -++=的公切线条数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】吉林省通化市综合高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【分析】根据两圆的标准方程，可得它们的圆心坐标和半径大小，从而得到两圆的圆心距等于10，恰好等于两圆的半径之和，由此可得两圆位置关系是外切，进而求出结果．【解析】由题意，圆()()22321x y ++-=的圆心为()13,2C -，半径为11r =，圆()()223681x y -++=的圆心为()23,6C -，半径为29r =；所以1210C C ==，且1210r r +=，所以1212C C r r =+， 所以两圆外切，此时两圆有且仅有3条公切线．故选C ． 28．直线0ax by -=与圆22220x y ax by +-+=的位置关系是 A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不能确定【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】B【分析】化圆的方程为标准方程求出圆心坐标与半径，再由圆心到直线的距离等于半径判断．【解析】由22220x y ax by +-+=，得2222()()x a y b a b -++=+．∴圆心坐标为(,)a b -圆心到直线0ax by -=的距离22d ==∴直线0ax by -=与圆22220x y ax by +-+=的位置关系是相切．故选B ．29．圆()2224x y -+=与圆()()22219x y +++=的位置关系为A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期（期中）半期 【答案】C【分析】计算出两圆的圆心距离，比较与半径之和、半径之差的大小关系即可得解． 【解析】由题意，圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，圆()()22219x y +++=的圆心为()2,1--，半径为3，因为两圆心的距离d ==，所以3232d -<<+，所以两圆相交．故选C ．30．已知圆22:9O x y +=上到直线:l x y a +=的距离等于1的点有3个，则a =A ．±B ．2±C ．D ．±1【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期（期中）半期 【答案】A【分析】转化条件为圆心到直线的距离为2，结合点到直线的距离公式即可得解．【解析】由题意，圆22:9O x y +=的圆心为()0,0，半径为3，因为圆O 上到直线:l x y a +=的距离等于1的点有3个，所以点()0,0到直线l 的距离2d ==，所以a =±．故选A ．31．已知圆2221:(3)(0)C x y R R -+=>与圆222:8120C x y y +++=无公共点，则半径R 的取值范围是A ．(0,3)B ．(0，3)(3⋃，7)C ．(7,)+∞D ．(0，3)(7⋃，)+∞【试题来源】湖南省a 佳教育湖湘名校2019-2020学年高一（下）3月检测 【答案】D【分析】利用圆心距小于半径之差的绝对值(内含)，或大于半径之和(外离)即可得．【解析】由已知得圆1C 圆心1(3,0)C ，半径R ；圆222:(4)4C x y ++=，故圆心为2(0,4)C -，半径2r．21||5C C ==，因为两圆无公共点，故两圆相离或内含，所以122C C R <-，或122C C R >+， 即52R <-，或52R >+，解得7R >，或03R <<．故选D ．32．圆E ：221x y +=与圆F ：224440x y x y +--+=的公切线的条数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期数学期中考试 【答案】B【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距与半径间的关系可知两圆相交，从而得到两圆公切线的条数．【解析】化22:4440F x y x y +-++=为22(2)(2)4-++=x y ，可知圆F 的圆心坐标为(2,2)-，半径为2； 又圆22:1E x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为1．而||EF =21||21EF -<=+．∴圆E 与圆F 相交，则公切线条数为2．故选B ．33．已知4a b ==且a b ⊥，若向量c 满足2c a -=，则当向量b 、c 的夹角取最小值时，b c ⋅=A ．B ．8C ．D ．【试题来源】重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高一上学期9月月考 【答案】C【分析】建立适当的坐标系，转化为动向量与圆的位置关系．【解析】在平面直角坐标系中，设(4,0)OA a ==，(0,4)OB b ==，(),OC x y c ==．因为2c a -=．所以()2244x y -+=，显然点C 在以()4,0A 为圆心，半径为2的圆上．由图可知．当OC 与圆A 相切时，b 、c 夹角取最小值．此时4cos3b c OB OC π⋅=⋅=⨯=．故选C ．34．已知圆C ：()()229x a y a -+-=，O 为坐标原点，点()3,0A ，若圆C 上存在点M 使得2=MA MO ，则a 的取值范围为A ．[][]4,10,3--B ．[][]5,21,2---C ．[][]3,01,4-D ．[]0,3【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次段考（理） 【答案】A【分析】设(,)M x y ，利用2=MA MO ，得出M 为以(1,0)D -为圆心，以2为半径的圆上，利用15CD ≤≤，进而求出a 的取值范围．【解析】由圆C ：()()229x a y a -+-=，得圆心(,)a a ，设(,)M x y ，2=MA MO ，2222(3)44x y x y -+=+，得22230x y x ++-=，化简得22(1)4x y ++=，M ∴为以(1,0)D -为圆心，以2为半径的圆上，则圆C 与圆D 有公共点，满足：15CD ≤≤， 即221(1)25a a ≤++≤，解得，41a -≤≤-或03a ≤≤，故选A ．【名师点睛】解题关键在于求出M 为以(1,0)D -为圆心，以2为半径的圆上，进而求出CD 的范围，难点在于计算，难度属于中档题．35．已知直线l ：36y x =-+与圆C ：22230x y y +--=相交于A ，B 两点，过点A ，B 及()3,0的圆的方程为A ．226490x y x y +--+=B ．2264270x y x y ++--=C ．22690x y y +--=D ．22340x y x y +--=【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次段考（理） 【答案】A【解析】直线l ：36y x =-+与圆C ：22230x y y +--=相交于A ，B 两点 设点A ，B 及()3,0的圆的方程为00C =，0C 与C 的公共弦为l ，故有22023(36)0x y y x y C λ+-----+==，代入()3,0，得93(96)0λ-+-+=，解得=2λ，2206490C x y x y ∴=+--+=，故选A ． 36．若x ，y 满足2224150x y x y ++--=，则22x y +的最小值是A ．5BC ．10D ．【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次段考（文） 【答案】A【分析】先将题中条件整理，得到()()221220x y ++-=表示以()1,2C -为圆心，以r =为半径的圆，22xy +表示圆上的点(),P x y 到原点O 距离的平方，结合圆的性质，即可得出结果．【解析】由2224150x y x y ++--=得()()221220x y ++-=表示以()1,2C -为圆心，以r =22x y +表示圆上的点(),P x y 到原点O 距离的平方，因为当OP最小时，22xy +取最小值．而OC r <=，则点O 在圆()()221220x y ++-=内，根据圆的性质，min OP r OC =-==则222P x y O +=的最小值为5．故选A ．【名师点睛】求解与圆有关的最值问题时，一般结合圆的性质求解，形如()()22m x a y b =-+-的最值问题，可转化为圆上的动点(),x y 到定点(),a b 距离的平方的最值问题，先求圆心到定点的距离，判定定点与圆的位置关系，再结合圆的性质，即可求出结果．37．已知点()1,1P -和圆C ：22522208x y kx y k ++-+=，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是 A ．163k >B ．1k <或4k >C ．1k <或1643k <<D ．163k <【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次段考（文） 【答案】C【分析】根据圆的一般式方程得得1k <或4k >，再根据题意得点P 在圆C 外，进而得163k <，故实数k 的取值范围是1k <或1643k <<． 【解析】将圆的方程化为一般式形式得2250216k x y x y k ++-+=， 所以有25140216k k ⎛⎫+-⨯> ⎪⎝⎭，即2540k k -+>，解得1k <或4k >，因为过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆C 外，所以51110216k k +--+>， 解得163k <．所以实数k 的取值范围是1k <或1643k <<．故选C ． 【名师点睛】解答本题，容易忽视圆的一般式方程表示圆的条件，导致出错，故在解答过程中应该认真审题，仔细计算，以免出错．38．已知圆M ：222x y +=与圆N ：()()22123x y +++=，则两圆的位置关系是 A ．外离 B ．外切 C ．相交D ．内切【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次段考（文） 【答案】C【分析】确定圆的圆心与半径，由圆心的距离与半径和、半径差的大小关系即可得解．【解析】由题意，圆M ：222x y +=的圆心()0,0M ，圆N ：()()22123x y +++=的圆心()1,2N --MN <=<C ．39．若关于x 420kx k -+=有且仅有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次段考（文）【答案】C【分析】先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况．420kx k -+=转化为半圆y =与直线42y kx k=+-2=，34k =，∴半圆y =42y kx k =+-有两个不同交点时．直线42(2)4y kx k k x =+-=-+一定过(2,4)，由图象知直线过(2,0)-时直线的斜率k 取最大值为1，3,14k ⎛⎤⎥⎝∈⎦∴．故选C ． 40．已知直线l 过圆22:2410C x y x y +---=的圆心C ，且倾斜角为90︒，则l 方程为 A ．2y x = B ．1x = C ．2y =D ．1y x =+【试题来源】安徽省马鞍山二中2020-2021学年高二上学期10月阶段考试（文） 【答案】B【分析】先求出圆心坐标()1,2C ，再利用直线l 的倾斜角为90︒，即可得出结果． 【解析】由22:2410C x y x y +---=，得()()22126x y -+-=，则圆心坐标()1,2C ，又直线l 的倾斜角为90︒，所以l 方程为1x =．故选B ．41．若过点()1,2P 可作圆2223:(1)1624k C x y k ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭的切线有两条，则有 A ．32k -<< B ． 3k <-或 2k > C ．k <<D ．上述均不对【试题来源】安徽省马鞍山二中2020-2021学年高二上学期10月阶段考试（文） 【答案】D【解析】由2223:(1)1624k C x y k ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭，得231604k ->，解得33k -<<， 又点()1,2P 应在已知圆的外部，把点代入圆的方程得()()22231(21)1624320k k k k >⇒+⎛⎫+++- ⎪-⎝>⎭，解得2k >或3k <-，则实数k 的取值范围是8332,33⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ． 【名师点睛】圆的标准方程知231604k ->，利用点()1,2P 应在已知圆的外部，得到把点坐标代入圆的标准方程其值大于2r ．42．过圆224x y +=上一点P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠=，则实数m =A ．13B ．12C ．1D ．2【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高中新课标高三第二次双基检测（理） 【答案】C【分析】取圆224x y +=上任意一点P ，过P 作圆222:(0)O x y m m +=>的两条切线PA ，PB ，根据题中条件，求出1OA =，进而可求出结果．【解析】取圆224x y +=上任意一点P ，过P 作圆222:(0)O x y m m +=>的两条切线PA ，PB ，当3APB π∠=时，6APO π∠=且OA AP ⊥，2OP =；则112OA OP ==，所以实数1m OA ==．故选C ． 43．经过三点(1,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C 的圆的面积S = A ．π B ．2π C ．3πD ．4π【试题来源】福建省厦门一中2020-2021学年高二（10月份）月考 【答案】D【分析】首先利用三点的坐标求出圆的方程，进一步利用圆的面积公式求出结果． 【解析】设圆的一般式方程为220x y Dx Ey F ++++=， 由于：圆经过三点(1,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C 的坐标，故：109301420D F D F D E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得2D =-，0E =，3F =-．故圆的方程为22230x y x +--=，整理得22(1)4x y -+=，所以：4S π=．故选D ． 【名师点睛】本题考查的知识要点：圆的一般是方程的应用，圆的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．44．若直线1y mx =+与圆22:220C x y x y +++=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，则m =A ．34B ．1-C ．12-D ．32【试题来源】福建省厦门一中2020-2021学年高二（10月份）月考 【答案】A【解析】圆C ：()()22112x y +++= ，因为AC BC ⊥，所以圆心C 到直线的距离为1，1= ，解m=34，故选A ．45．过点(1,P 与圆224x y +=相切的直线方程是 A．40x --=B．40x +-=C ．340x y -+=D ．340x y ++=【试题来源】湖南省、河北省新高考联考2020-2021学年高三上学期10月质量检测 【答案】A【分析】先验证点P 与圆的关系，由圆的切线的性质可求得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得选项．【解析】将点P 代入圆的方程得()22134+-=，所以点P 在圆上，而3OP k =-，所以过点P 的切线斜率为33k =-=-， 则所求切线方程为()313x y +=-，即340x y --=．故选A ．46．圆()2211x y +-=与圆()2211x y -+=的公共点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【试题来源】北京市第一次普通高中2019-2020学年高二学业水平考试合格性考试 【答案】C【分析】根据圆心距和半径和，以及半径差比较大小，判断两圆的位置关系，求得两圆公共点的个数．【解析】圆()2211x y +-=的圆心为()0,1，半径11r =，圆()2211x y -+=的圆心为()1,0，半径21r =，圆心距()()2201102=-+-=12122r r r r -<+，∴两圆相交，∴两圆的公共点的个数是2个．故选C ．【名师点睛】判断两圆的位置关系如下：设两圆的圆心分别为1O ，2O ，半径为R 和r ，R r >，当12OO R r >+时，两圆相外离，没有交点，当12OO R r =+时，两圆相外切，有一个交点，当12R r OO R r -<<+时，两圆相交，有两个交点，当12OO R r =-时，两圆相内切，有一个交点，当12OO R r <-，此时两圆内含，没有交点．47．已知圆C ：x 2+y 2-8x +15=0，若直线y =kx -2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是A ．32 B ．43 C ．53D ．54【试题来源】天津市第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】B【分析】圆C 化成标准方程，得圆心为C （4，0）且半径r =1，根据题意可得C 到直线y =kx ﹣2的距离小于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于k 的不等式，即可得到k 的最大值．【解析】因为圆C 的方程为x 2+y 2﹣8x +15=0，所以整理得（x ﹣4）2+y 2=1，可得圆心为C （4，0），半径r=1．因为直线y =kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， 所以点C 到直线y =kx ﹣2的距离小于或等于22≤，化简得3k 2﹣4k ≤0，解之得0≤k ≤43，可得k 的最大值是43．故选B ． 48．已知圆的方程是2236x y +=，记过点()1,2P 的最长弦和最短弦分别为AB 、CD ，则直线AB 、CD 的斜率之和等于 A ．1- B ．1 C ．32D ．32-【试题来源】江西省贵溪市实验中学2020-2021学高二上学期期中考试（理） 【答案】C【分析】先利用圆的性质判定过圆内定点的直径是最长弦且垂直该直径的弦是最短弦，再求斜率，计算即得结果．【解析】依题意，易见连接圆心(0,0)O 与点()1,2P 的直线得到最长弦AB ，2AB OP k k ==，过点()1,2P 垂直直径AB 的弦是最短弦CD ，由1AB CD k k ⋅=-得，12CD k =-，故13222AB CD k k +=-=．故选C ． 49．已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：22(2)(4)1x y -+-=，过动点()P a b ，分别作圆1C 、圆2C 的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点），若PM PN =最小值是A BC D 【试题来源】2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用） 【答案】B【分析】利用切线长公式得12PC PC =，娵P 在12C C 的垂直平分线上，求出直线方程，利用几何意义，求出点(5,1)-到此直线的距离即为所求最小值．【解析】由于1Rt PMC △与2Rt PNC △中，PM PN =，121MC NC ==，所以1Rt PMC △与2Rt PNC △全等，所以有12PC PC =，则P 在线段12C C 的垂直平分线上，根据10(0)C ，、2(24)C ，，中点为(1,2)M ，1240220C C k -==-，因此垂直平分线方程为12(1)2y x ，即250x y +-=，表示()P a b ，、(51)Q -，两点间的距离，所以最小值就是Q 到直线250x y +-=的距离，由点到直线的距离公式得最小值为d =，故选B ． 【名师点睛】本题考查求最小值问题，解题是几何意义进行转化，解题关键是由已知条件及圆的切线的性质求得P 点的轨迹，轨迹方程，然后由几何意义转化为求点到直线的距离即可得．50．“(1,4)a ∈”是“直线0x y a +-=与圆22:(1)(2)2C x y -+-=相交”的 A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2021届高三上学期第二次联考 【答案】A【分析】利用圆心到直线的距离小于半径求出直线与圆相交时的a 的范围，再根据真子集关系可判断出结果．【解析】因为圆22:(1)(2)2C x y -+-=的圆心为(1,2)C ，半径r =圆心C 到直线0x y a +-=的距离d =，直线0x y a +-=与圆22:(1)(2)2C x y -+-=相交等价于d r =<=15a <<， 因为(1,4)(1,5)，所以“(1,4)a ∈”是“直线0x y a +-=与圆22:(1)(2)2C x y -+-=相交”的充分不必要条件．故选A ．【名师点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．51．圆()()22131x y +++=与圆()()22319x y -++=的位置关系是 A ．相离 B ．相外切 C ．相交D ．相内切【试题来源】宁夏青铜峡市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文） 【答案】A【解析】()()22131x y +++=，圆心为()1,3--，11r =，()()22319x y -++=，圆心为()3,1-，23r =，124r r ==>+=．所以两圆相离．故选A ．52．若方程2210x y ax +++=表示一个圆，则实数a 的取值范围为 A ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞ B ．(2,2)- C ．(4,4)-D ．(2,)+∞【试题来源】天津市和平区汇文中学2020-2021学年高二（上）第一次质检 【答案】A【分析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得240a ->，解可得a 的取值范围，即可得答案．【解析】根据题意，若方程2210x y ax +++=表示一个圆，则240a ->， 解可得2a >或2a <-，即实数a 的取值范围为(-∞，2)(2-⋃，)+∞，故选A ． 53．已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为 A ．65B ．1C ．85D ．2【试题来源】北京市汇文中学2020-2021学年高二上学期期中考试 【答案】C【分析】设直线l 与圆O 交于,A B 两点，从点O 向直线AB 作垂线，垂足为D ，连结,OA OB ，由点到直线的距离公式，可求出OD ，再结合AB =，可求出答案．【解析】设直线l 与圆O 交于,A B 两点，从点O 向直线AB 作垂线，垂足为D ，连结,OA OB ，则35OD ==，825AB ===．故选C ． 54．过点(11,2)A 作圆（x +1）2+（y -2）2=169的弦，其中弦长为整数的弦共有 A ．16条 B ．17条 C ．32条D ．34条【试题来源】江西省南昌市第二中学2020—2021学年高二（文）上学期期中考试 【答案】C【分析】化简圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数． 【解析】圆的标准方程是222(1)(2)13x y ++-=，圆心(1,2)-，半径13r =， 过点(11,2)A 的最短的弦长是以(11,2)A 为中点的弦，为10，有1条最长的弦长是过点(11,2)A 的直径，为26，有1条，还有长度为11，12，⋯，25的各2条，所以共有弦长为整数的221532+⨯=条．故选C ． 【名师点睛】本题实际上是求弦长问题，容易出错的地方是除最短最长弦外，长度为11，12，⋯，25的各2条．55．已知直线:210l kx y k +--=与两坐标轴分别交于,A B 两点，如果△AOB 的面积为4，那么满足要求的直线l 的条数是． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【分析】按照0k =、0k ≠分类，求出截距后列方程即可得解． 【解析】当0k =时，直线:10l y -=，不合题意； 当0k ≠时，若0x =，则21y k =+，若0y =，则12x k=+， 所以111121244422AOB S k k kk△，所以1448k k或1448k k， 解得12k =或3222k 或3222k；所以满足要求的直线l 的条数是3．故选C ．56．“1m =”是“直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直”的． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】A【分析】由1l 和2l 垂直可得11()0m m ⨯+-=，即21m =，解得1m =±，即可得解． 【解析】由直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直，可得11()0m m ⨯+-=，即21m =，解的1m =±，所以1m =是直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直的充分不必要条件．故选A ．57．直线2sin 21020x y ⋅︒--=的倾斜角是 A ．45︒ B ．135︒ C ．30D ．150︒【试题来源】福建省厦门一中2020-2021学年高二（10月份）月考 【答案】B【分析】由题意，取得直线的斜率1k =-，进而可求得倾斜角，得到答案． 【解析】由题意得2sin 2102sin301k =︒=-︒=-，故倾斜角为135︒．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角，以及三角函数的求值，其中解答中根据直线的方程，求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 58．已知圆22:2420C x y x y +-++=，从点(1,3)P --发出的光线，经直线y x =反射后，恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为 A ．4- B ．14- C ．14D ．4【试题来源】福建省厦门一中2020-2021学年高二（10月份）月考 【答案】A【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，由(1,2)C -关于直线y x =的对称点在入射光线上，由两点求斜率公式求解．【解析】由22:2420C x y x y +-++=，得22(1)(2)3x y -++=，圆心为(1,2)C -， 由已知，反射光线经过(1,2)C -，故C 点关于直线y x =的对称点(2,1)-在入射光线上． 且光源(1,3)P --，∴入射光线的斜率1(3)42(1)k --==----．故选A ．59．圆221x y +=的圆心到直线20x y -+=的距离是ABC ．2D ．【试题来源】北京市第一次普通高中2019-2020学年高二学业水平考试合格性考试。

北京市大兴区一般校高二数学上学期期中试题 文

北京市大兴区一般校2021-2021学年高二数学上学期期中试题 文 新人教A 版一选择题（每题4分，共32分）一、直线053=-+y x 的倾斜角是 （ ）A.30 B.60 C.120 D.150 2.已知正方体棱长为a ，那么该正方体的全面积为（ ） A.6a B.6a 2 C. 4a 2 D. 4a3．已知直线l ：063=+-y x ,那么直线l 在x 轴上的截距是( ) A 、1 B 、－1 C、2D 、－2 4.的中点，则分别边，已知空间四边形DA CD BC AB H G FE ABCD ,,,,,,EG 与FH 位置关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．重合5.α，β 是两个不重合的平面，在以下条件中，可判定α∥β的是( ) A ．α，β都与平面γ垂直B ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．l ，m 是α内的两条直线且l ∥β，m ∥βD ．l ，m 是两条异面直线且l ∥α，m ∥α，l ∥β， m ∥6．某几何体的三视图如下图， 那么它的体积等于（ ） A. 8 B. 6C. 4D.38 确．的是( ) 7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，以下结论不正．．A.111C D B C ⊥B.1BD AC ⊥C.11//BD B CD.160ACB ∠=8. 如图，点O 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，点E为面11B BCC 的中D ABCA 1B 1C 1D 1 俯视图侧视图正视图心，点F 为11B C 的中点，那么空间四边形1D OEF 在该正方体的面上的正投影可能是( ) A ．①③④ B ．②③④ C ．①②④ D ．①②③ 二．填空题（每题4分，共28分）9正方体1111ABCD A B C D -中,平面D 1B 1A 和平面C 1DB 的位置关系是--------- 10．若是直线210ax y +-=与直线320x y --=垂直，那么实数a = 11.正四棱锥的每条棱长均为2，那么该四棱锥的侧面积为--------- 12.假设A （－2，3），B （3，－2），C （21，ｍ）三点共线, 那么ｍ的值为____ 13. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是边长为1的正方形，1D B =2BD ,那么该长方体的体积为____________14. 一个长方体的相交于一个极点的三个面的面积别离是2,3,6，那么长方体的 体积是 __.15. 将圆心角为1200，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，圆锥的表面积为————三．解答题16.（本小题总分值10分）别离求通过直线0543:1=-+y x l 与直线0832:2=+-y x l 的交点M, 且知足以下条件的直线方程： （1）与直线052=++y x 平行；（2）与直线052=++y x 垂直. 17．（本小题总分值10分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面ABCD ，PA AD =，E 为PD 中点.（Ⅰ）证明：AB //平面PCD ； （Ⅱ）证明：⊥AE 平面PCD .18.如图，ABC ∆三个极点别离为)08(,)62(,)40(，，，--C B A（1）求BC AC 和所在直线方程；D A BC A 1B 1C 1D 1 BCDFEDBAPC（2）求边AC 上的中线BD 所在直线方程。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相关文档
最新文档