2019年高考数学模拟试题(及答案)

2019年高考数学模拟试题(及答案)

一、选择题

1．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )

A ．22y x =-

B ．1()2

x

y =

C ．2y log x =

D ．()

2

112

y x =

- 2．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

由2

222

()110(40302030),7.8()()()()60506050

n ad bc K K a b c d a c b d -??-?=

=≈++++???算得 附表：

参照附表，得到的正确结论是（ ）

A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 3．设函数()()21,04,0

x

log x x f x x ?-<=?≥?，则()()233f f log -+=（ ）

A ．9

B ．11

C ．13

D ．15

4．2

5

32()x x

-展开式中的常数项为（ ） A ．80

B ．-80

C ．40

D ．-40

5．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π

)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ．

23

B ．43

C ．

32

D ．3

6．

在二项式n

的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ．

1

6

B ．

14

C ．

512

D ．

13

7．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种

D ．60种

8．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A

B =

A ．{0}

B ．{1}

C ．{1,2}

D ．{0,1,2}

9．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角

B ．假设至少有两个钝角

C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角

D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

10．在ABC 中，若

3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

11．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4

π

α+的值等于（ ） A ．

1318

B ．

3

22

C ．

1322

D ．

318

12．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，2

11,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）

A ．当101

,102

b a =

> B ．当101

,104

b a =

> C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->

二、填空题

13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．

14．若三点1

(2,3),(3,2),(

,)2

A B C m --共线，则m 的值为 ． 15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2

EF =

，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；

③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，

其中正确结论的序号是______．

16．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________. 17．已知样本数据

，

，

，

的均值

，则样本数据

，

，

，

的均值为 ．

18．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21

,,36

BE BC DF DC =

=则AE AF ?的值为 ． 19．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为

3

M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 20．在ABC ?中，若13AB =3BC =，120C ∠=?，则AC =_____．

三、解答题

21．

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；

（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.

22．已知()ln x

e f x a x ax x

=+-.

（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；

（2）当1a =-时，若不等式1()()0x

f x bx b e x x

+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．

23．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y α

α

=+??=-?（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，

x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1

sin 2cos θθρ

-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.

24．已知函数2()sin(

)sin 3cos 2

f x x x x π

=--.

(1)求()f x 的最小正周期和最大值； (2)求()f x 在2[

,]63

ππ

上的单调区间

25．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，ABE 60∠=?，G 为BE 的中点.

(Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；

(Ⅱ) 求AB 3=BC 1=，求二面角D CA G --的余弦值. 26．已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．

(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；

(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ?∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数

b 的取值范围．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】

根据,x y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.

【详解】

根据实验数据可以得出，x 近似增加一个单位时，y 的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较

接近()

2

112

y x =

-，故选D. 【点睛】

本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.

2．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

由27.8 6.635K ≈>，而(

)

2

6.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A

3．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】 ∵函数2log (1),0

()4,0x

x x f x x -

≥?

， ∴()2l 23

og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．

故选B ． 【点睛】

本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】

2532()x x -

展开式的通项公式为:53251()2()r r

r r T C x x

-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r ，故展开式中的常数项为252

30(42)T C ==-.

故选：C. 【点睛】

本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.

5．C

解析：C 【解析】 函数sin 23y x πω??

=+

+ ??

?的图象向右平移43

π

个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx π

πππ?????

?

=-

++=+-+ ? ??????

?

?? 所以有4333

20132

22

w k

k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=

≥ 故选C

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果 【详解】

因为n

前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -??∴=+?∴-= 163418

118,0,1,2

,82

r

r r r n n T C x r -

+>∴=∴=?=，

当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为63679

95

12

A A A =,选C. 【点睛】

本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.

7．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．

解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；

分3种情况讨论可得，

甲在星期一有A 42=12种安排方法， 甲在星期二有A 32=6种安排方法， 甲在星期三有A 22=2种安排方法， 总共有12+6+2=20种；

故选A ．

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

由题意先解出集合A,进而得到结果． 【详解】

解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2?= 故答案选C. 【点睛】

本题主要考查交集的运算，属于基础题．

9．B

解析：B 【解析】

用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．

10．A

解析：A 【解析】

余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=

解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.

11．B

解析：B 【解析】 【分析】

由题可分析得到()tan +tan 44ππααββ????

??=+-- ? ????

????

?,由差角公式,将值代入求解即可 【详解】 由题,

()()()21tan tan 3454tan +tan 21442211tan tan 54

4παββππααββπαββ??+---

?????????=+--=== ? ???????????+?++-

??

?,

故选：B 【点睛】

本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题

12．A

解析：A 【解析】 【分析】 对于B ，令2

14x λ-+

=0，得λ12=，取112a =，得到当b 1

4

=时，a 10＜10；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，得到当b ＝﹣2时，a 10＜10；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0

，得λ=

1a =，得到当b ＝﹣4时，a 10＜10；对于A ，221122a a =+

≥，223113()224a a =++≥，4224319117

()14216216

a a a =+++≥+=＞，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12n a +＞11322+=，由此推导出104a a ＞（32）6，从而a 10729

64＞

＞10． 【详解】

对于B ，令2

14x λ-+=0，得λ12

=， 取112a =

，∴211

1022n a a ==，，＜

， ∴当b 1

4

=

时，a 10＜10，故B 错误； 对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1， 取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10， ∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误； 对于D ，令x 2﹣λ

﹣4＝0，得λ

= 取1

a =

，∴2

a =，…，n a =10， ∴当

b ＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误； 对于A ，2

21122a a =+

≥，223113

()224

a a =++≥， 4224319117

()14216216

a a a =+++≥+=＞，

a n +1﹣a n ＞0，{a n }递增，

当n ≥4时，1

n n

a a +=a n 1

2n

a +＞11322+=，

∴54

45109323232

a a a a a

a ???????????

???????＞＞＞，∴

104a a ＞（32）6，∴a 1072964＞＞10．故A 正确． 故选A ． 【点睛】

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.

二、填空题

13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3

解析：3 【解析】 【分析】 【详解】

如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．

14．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：

1

2

【解析】

试题分析：依题意有AB AC k k =，即

53

152

2

m --=

+，解得12m =.

考点：三点共线．

15．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对 解析：①②③

【解析】 【分析】

对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值． 【详解】

对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；

对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；

对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是

1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误．

综上知①②③正确，故答案为①②③ 【点睛】

本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

16．【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：Tr+1（3x ）r ＝3rxr∵含有x2的系数是54∴r＝2∴54可得6∴6n∈N*解得n ＝4故答案为4【点睛】本题考 解析：4

【解析】 【分析】

利用通项公式即可得出． 【详解】

解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1r n

=

（3x ）r ＝3r

r n

x r ．

∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2． ∴223

n

=54，可得

2n

=6，∴

()12

n n -=6，n ∈N *．

解得n ＝4． 故答案为4． 【点睛】

本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

17．11【解析】因为样本数据x1x2???xn 的均值x=5所以样本数据

2x1+12x2+1???2xn+1的均值为2x+1=2×5+1=11所以答案应填：11考点：均值的性质 解析：

【解析】 因为样本数据

，

，

，

的均值

，所以样本数据，

，

，

的均值为

，所以答案应填：

．

考点：均值的性质．

18．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积

解析：

2918

【解析】 在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得

12AD BC ?=

,1AB AD ?=,1

2

DC AB =,所以()()

AE AF AB BE AD DF ?=+?+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ????

=+?+=?+?++?=++-=

? ?????

.考点：平面向量的数量积.

19．【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB 则

CH ⊥AB ∠CHO 为二面角C?AB?D 的平面角CH=3√OH=CHcos ∠CHO=1结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为

解析：1

6

【解析】 【分析】 【详解】

设AB =2,作CO ⊥面ABDE

OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C ?AB ?D 的平面角， CH =3√，OH =CH cos ∠CHO =1，

结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，

3,11

(),22

1

2

AN EM CH AN AC AB EM AC AE AN EM ====+=-∴?=

故EM ,AN 1

126

33=?，

20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计

解析：1 【解析】 【分析】

由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】

由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题

21．（1）0.5；（2）0.1 【解析】 【分析】

(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两

球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果； (2)本题首先可以通过题意推导出4P X 所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两

球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．

【详解】

(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以2

0.50.40.50.60.5P X

(2)由题意可知，4P X 包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”

所以4

0.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X

【点睛】

本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及4P X 所包含的事

件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档

题．

22．（1）见解析；（2）1[,)e

+∞. 【解析】 【分析】

（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()2

1x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即

可；

（2）由题意可知()10x b x e lnx --≥在[

)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情

况确定实数b 的取值范围即可. 【详解】

（1）()f x 的定义域为()0,+∞ ∵()()()2

1x x e ax f x x --'=

，0a <，

∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '> ∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增. （2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ??+--

- ???

()1x

b x e lnx =-- 由题意，()10x

b x e lnx --≥在[

)1,+∞上恒成立

①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10x

b x e lnx --≤恒成立；不符题意.

②若0b >，记()()1x

h x b x e lnx =--，则()1x

h x bxe x

'=-

, 显然()h x '在[

)1,+∞单调递增，

（i ）当1

b e

≥

时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[

)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥= （ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1

110b h e b e b ??

=-> ?'->??

∴存在01x >，使()0h x '=.

当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '> ∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增 ∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意 综上所述，所求b 的取值范围是1

,e ??+∞????

【点睛】

本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

23．（1）2

6cos 2sin 60ρρθρθ--+=（22 【解析】 【分析】

（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθ

ρθ=??

=?

，整理

即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离. 【详解】

（1）由3212x cos y sin αα=+??=-?，得3212x cos y sin α

α-=??-=-?

，

两式两边平方并相加，得()()2

2

314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆. 将y sin x cos ρθρθ

=??

=?代入得()()22

cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得

26cos 2sin 60ρρθρθ--+=

所以曲线C 的极坐标方程为2

6cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1

sin 2cos θθρ

-=

，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=

所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+=

因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离5

d ==

，

所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为25

d r +=+. 【点睛】

本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.

24．（1）f (x )的最小正周期为π （2）f (x )在5[,

]612ππ

上单调递增；在52[

,]123

ππ

上单调递减． 【解析】 【分析】

（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值．

（2）根据[]20,3

x π

π-∈，利用正弦函数的单调性，即可求得()f x 在2[,

]6

3

ππ

上的单调区

间． 【详解】

解：（1）函数2()sin()sin cos sin cos2)2f x x x x x x x π=-=+

1sin 22sin(2)23x x x π==-，

即()sin(2)3f x x π=-

故函数的周期为22T ππ==，最大值为1． （2）当2[,

]63

x ππ

∈ 时，[]20,3

x π

π-∈，

故当023

2

x ππ

-时，即5[

,]612

x ππ

∈时，()f x 为增函数； 当

22

3

x π

π

π-

时，即52[

,]123

x ππ∈时，()f x 为减函数； 即函数()f x 在5[,

]612ππ

上单调递增；在52[

,]123

ππ

上单调递减． 【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．

25．

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）7

- 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥，进而证得AD ⊥平面ABEF ，证得AD AG ⊥，再根菱形ABEF 的性质，证得AG AF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得AG ⊥平面ADF .

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，

AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD 和平面ACG 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】

（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥， ∵矩形ABCD ?菱形ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ， ∵AG ?平面ABEF ，∴AD AG ⊥，

∵菱形ABEF 中，ABE 60∠=?，G 为BE 的中点，∴AG BE ⊥，∴AG AF ⊥， ∵AD AF A ?=，∴AG ⊥平面ADF .

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，

AD 为z 轴，

建立空间直角坐标系，

∵AB =BC 1=，则AD 1=，3AG 2

=

， 故()A 000，，

，3C 12??- ? ???，，()D 001，，，3A 002??

???，，，

则3122AC ??=- ? ???

，，()001AD =，，，3002AG ，，??= ???， 设平面ACD 的法向量()1111n x y z =，，

，则1111113·

022

·0AC n x y z AD n z ?=-+=???==?

，

取1y =()

11

3n ，=， 设平面ACG 的法向量()2222n x y z =，，

，则2222223·10223

·02

AC n x y z AG n x ?=-+=????==??

， 取22y =

，得(202n =，

设二面角D CA G --的平面角为θ，则1212

|?|2321

cos θ727·n n n n =

=

=?， 由图可知θ为钝角，所以二面角D CA G --的余弦值为217

-

. 【点睛】

本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 26．(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,

a ?? ???，单调递增区间是1,a ??

+∞ ?

??

(2) 211b e -≤ 【解析】 【分析】 【详解】

分析：（1）求导()f x '，解不等式()0f x '>，得到增区间，解不等式()0f x '<，得到减区间；

（2）函数f （x ）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f （x ）≥bx ﹣2?1+

1

x

﹣lnx x ≥b ，构造函数g （x ）=1+1x

﹣lnx

x ，g （x ）min 即为所求的b 的值 详解：

（1）在区间()0,∞+上， ()11

ax f x a x x

-'=-

=， 当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()0,∞+上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=得1x a

=， 在区间10,a ??

???

上，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 在区间1,a ??

+∞

???

上，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 综上所述：当0a ≤时， ()f x 的单调递减区间是()0,∞+，无单调递增区间；

当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,

a ?? ???，单调递增区间是1,a ??

+∞ ???

（2）因为函数()f x 在1x =处取得极值， 所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意 由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-， 即1ln 1+

x

b x x

-≥对()0,x ?∈+∞恒成立， 令()1ln 1x g x x x

=+-， 则()222

11ln ln 2x x g x x x x -='--

-=， 易得()g x 在(2

0,e ??上单调递减，在)

2,e ?+∞?上单调递增，

所以()()

2

2min 11g x g e

e ==-

，即

2

1

1b e -≤. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为

min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;

（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >