第一章数列的基本知识
北师大版高中数学选择性必修2第一章1.1数列的概念课件PPT
第一章 数列
§1：数列的概念
知识与技能：
（1）通过实例，理解数列的概念； （2）理解数列的项和项数,通项的含义,了解数列的分类， 理解数列与函数的关系。
过程与方法：
（1）让学生从日常生活中的实际问题出发，引导学生通 过视察，推导，归纳抽象出数列的概念； （2）通过实例说明项,项数,通项的含义。
（2）数列中的数是可以重复出现，而数集中的元素 具有互异性，不能有相同的元素出现。
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2、数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数
列的项.各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首
项)，第 2项，…，第 n 项，….
项 a1 a2
a3 a4 a5 a6
（－1）n或（－1）n＋1常常用来表示正负相间的变化规律． （4）对于周期出现的数列，考虑利用周期函数的知识解答．
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➽目标检测
1、下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ D ）
A．1，2，3，…，20 B．－1，－2，－3，…，－n，… C．1，2，3，2，5，6，…
《庄子·天下篇》
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情境二：大自然是懂数学的.
树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列...... 都遵循了某种数学规律.
斐波那契数
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大自然是懂数学的.
树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列...... 都遵循了某种数学规律. 斐波那契数 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，......
高等数学零基础入门教程
高等数学零基础入门教程第一章：数列与极限1.1 什么是数列？数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
例如：1，2，3，4，5，...就是一个数列，其中的规律是每个数比前一个数大1。
1.2 数列的分类数列可以分为等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中的每两个相邻项之差为常数，而等比数列是指数列中的每两个相邻项之比为常数。
1.3 数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的规律，找到数列中第n项与n的关系的公式。
通项公式可以帮助我们快速计算数列中任意一项的值。
1.4 极限的概念在数学中，极限是指当自变量趋近于某个值时，函数或数列相应的取值趋近于某个值的过程。
极限可以帮助我们研究函数或数列在某一点的行为特性。
第二章：导数与微分2.1 函数的导数函数的导数描述了函数在某一点的变化率，它可以帮助我们研究函数的增减性、最值等性质。
导数的计算可以通过求导公式或几何意义进行。
2.2 导数的性质导数具有线性性、乘法法则、链式法则等性质，这些性质可以简化导数的计算过程，并帮助我们更好地理解函数的特性。
2.3 高阶导数除了一阶导数外，函数还可以有二阶导数、三阶导数等。
高阶导数可以帮助我们研究函数更加详细的性质。
2.4 微分的概念微分是导数的一种形式，它描述了函数在某一点的变化量与自变量变化量之间的关系。
微分在近似计算、最值求解等问题中具有广泛的应用。
第三章：积分与定积分3.1 不定积分不定积分是求解函数的原函数的过程，它是导数的逆运算。
不定积分可以帮助我们求解函数的积分表达式。
3.2 定积分的概念定积分是求解函数在某个区间上的累积效应的过程。
定积分可以帮助我们计算曲线下的面积、弧长、体积等物理问题。
3.3 定积分的性质定积分具有线性性、区间可加性、积分中值定理等性质，这些性质可以简化定积分的计算过程，并帮助我们更好地理解积分的含义。
3.4 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是导数与积分之间的重要关系，它描述了函数在某个区间上的积分与该区间两端点的原函数值之差的关系。
新教材2023版高中数学第一章数列1数列的概念及其函数特性1
方法归纳
正确理解数列及相关概念，注意以下几点： (1)数列与数集不同，数集具有互异性和无序性，而数列中各项可以 相同，但与顺序有关； (2)数列a1，a2，…，an，…可以记为{an}，但不能记作{a1，a2，…， an，…}.
跟踪训练1 (多选题)下列说法正确的是( )
A．数列{2n＋1}的第5项是10
2．在数列－1，0，19 ， 18，…，nn−22，…中0.08是它的(
)
A．第100项 B．第12项
C．第1nn−22. 令an＝0.08，即nn−22＝1080， 所以n＝10或n＝52(舍去)，故选C.
3 ． 已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为 an ＝ n2 － n ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是
例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：
(1)－1，12，－13
，
1；
4
(2) 3，3， 15， 21；
(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；
(4)3，5，3，5.
方法归纳
(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以 下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． (2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间 的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数 列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－ 1)n＋1来调整．
变式探究 本例中，数列{an}中有多少个负数项？
解析：an＝3n2－28n＝n(3n－28)， 令an<0，则0<n<238， 又n∈N＋，所以n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9. 即数列{an}中共有9个负数项．
高数笔记大一上知识点汇总
高数笔记大一上知识点汇总[第一章：数列与极限]1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列中的每个数称为该数列的项。
2. 数列的分类- 等差数列：数列中每两项之间的差值都相等。
- 等比数列：数列中每两项之间的比值都相等。
- 递推数列：数列中的每一项都能由前面的项通过某种规律推算得到。
3. 数列的通项公式在某些规律的数列中，我们可以找到一种公式来表示该数列的第n项，这个公式被称为数列的通项公式。
4. 数列的前n项和数列的前n项和表示数列从第一项到第n项的求和结果。
对于等差数列、等比数列和递推数列，都有相应的求和公式。
5. 极限的概念极限是数列或函数在某一点或无穷远处的趋势或趋近值。
6. 数列的极限- 数列的收敛：当数列的项越来越接近某个确定的数时，可以说该数列收敛于该数。
- 数列的发散：当数列的项没有接近某个确定的数的情况下，可以说该数列发散。
7. 极限的性质与运算法则- 极限唯一性：数列的极限只能有一个。
- 有界性：收敛的数列是有界的，即数列中的所有项都在某个范围内。
- 收敛数列的极限运算法则：对于两个收敛数列的和、差、积、商，其极限仍可通过相应的运算得到。
[第二章：导数与微分]1. 函数的极限函数的极限表示当自变量趋近于某个值时，函数值的趋势或趋近值。
2. 导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率或斜率。
可以通过导数来刻画函数曲线在某一点的切线的斜率。
3. 导数的运算法则- 常数倍法则：导数与常数倍之间有简单的线性关系。
- 和差法则：导数的和的导数等于各个导数之和。
- 乘积法则：导数的乘积等于前一个导数乘以后一个函数的值再加上后一个导数乘以前一个函数的值。
- 商法则：导数的商等于分子的导数乘以分母的值减去分母的导数乘以分子的值，再除以分母的平方。
4. 高阶导数函数的导数也可以求导，得到的导函数称为原函数的高阶导数。
5. 隐函数与参数方程的求导对于隐函数和参数方程，我们可以使用求导法则来求取导数。
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。
举例说明数列的组成，如自然数数列、等差数列等。
1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。
强调数列项的顺序和重复性质。
1.3 数列的通项公式引导学生了解通项公式的概念，即用公式表示数列中任意一项的方法。
举例讲解如何写出简单数列的通项公式。
第二章：数列的表示法2.1 列举法讲解如何用列举法表示数列，即直接写出数列的所有项。
练习写出几个给定数列的列举表示。
2.2 公式法解释公式法表示数列的方法，即用公式来表示数列的任意一项。
举例说明如何用公式法表示等差数列和等比数列。
2.3 图像法介绍图像法表示数列的方法，即用图形来表示数列的项。
引导学生通过观察图形来理解数列的特点。
第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的数量。
举例说明如何确定一个数列的项数。
3.2 数列的单调性引导学生理解数列的单调性，即数列项的增减规律。
举例说明如何判断一个数列的单调性。
3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中项按照一定规律重复出现。
举例说明如何判断一个数列的周期性。
第四章：数列的通项公式4.1 等差数列的通项公式讲解等差数列的定义和性质。
推导等差数列的通项公式。
4.2 等比数列的通项公式讲解等比数列的定义和性质。
推导等比数列的通项公式。
4.3 其他类型数列的通项公式引导学生了解其他类型数列的通项公式。
举例讲解如何求解其他类型数列的通项公式。
第五章：数列的前n项和5.1 等差数列的前n项和讲解等差数列的前n项和的定义和性质。
推导等差数列的前n项和的公式。
5.2 等比数列的前n项和讲解等比数列的前n项和的定义和性质。
推导等比数列的前n项和的公式。
5.3 其他类型数列的前n项和引导学生了解其他类型数列的前n项和的求法。
举例讲解如何求解其他类型数列的前n项和。
第六章：数列的求和公式6.1 数列求和的定义解释数列求和是指将数列中的所有项相加得到一个数值。
北师大版高二数学上册必修5第一章数列第一课数列的概念课件(共21张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
高数大一知识点总结第一章
高数大一知识点总结第一章在大一的数学课程中，高等数学（简称高数）是一门重要的基础课程。
在高等数学的学习中，第一章涵盖了很多基础知识点，包括数列与极限、函数与极限以及连续性等内容。
接下来，我将对这些知识点进行总结和概述。
1. 数列与极限数列是由一系列有序的数所组成的序列。
在数列的学习中，我们需要了解等差数列和等比数列两种基本类型。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
极限是数列中的一个重要概念。
如果一个数列的前n项无限接近于某个常数a，那么我们称这个常数a为该数列的极限，记作lim(n→∞)an=a。
通过计算数列的极限，我们可以探讨数列的性质、趋势以及收敛性。
2. 函数与极限函数是一种关系，将一个自变量映射到一个因变量。
数学中有多种类型的函数，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
函数的图像反映了自变量和因变量之间的关系。
函数的极限是研究函数性质的重要内容。
如果一个函数在某个点处的自变量无限接近于某个常数x0时，其因变量也无限接近于某个常数a，我们称这个常数a为该函数在点x0处的极限。
记作lim(x→x0)f(x)=a。
通过研究函数的极限，我们可以了解函数在不同自变量值下的表现和趋势。
3. 连续性连续性是函数的一种性质，反映了函数在一定区间内的光滑程度。
如果一个函数在某个点处的极限等于该点处的函数值，那么我们称这个函数在该点处连续。
函数的连续性可以分为左连续、右连续和间断。
我们可以利用函数的连续性来探讨函数的变化情况和特性。
通过分析函数的连续性，可以判断函数是否在某一区间内单调增加或者单调减少。
4. 极大值与极小值极大值和极小值是函数图像上的特殊点。
对于定义在某个区间的函数，如果存在一个点x0使得在该点的某个领域内，函数值都小于等于f(x0)，那么我们称该点x0为函数的极大值点。
第一章数列
即
解得 （2）因为q＝2，a5＝48，n＝5，所以
解得 因此，这个数列的通项公式是
1.3 等比数列
例5 培育一种稻谷新品种，第1代得种子100粒，如果以后 由每粒新种又可得100粒下一代种子，到第5代可以得到新品种种 子多少粒？
解 依题意，逐代的种子数是一个等比数列，且a1＝100， q＝100，由此可得
1＋100＝101（首项与末项的和） 2＋99＝101（第2项与倒数第2项的和） 3＋98＝101（第3项与倒数第3项的和）
…… 50＋51＝101（第50项与倒数第50项的和） 于是所求的和是
1.2 等差数列
1，2，3，…，100是一个首项为1，公差为1的等差数列，它
的前100项和表示为
S100＝1＋2＋3 ＋… ＋98 ＋99 ＋100
1.2 等差数列
梯子自上而下各级宽度排成的数列： （单位：厘米） 25，28，31，34，37，40，43，46 ①
1.2 等差数列
奥运会女子举重较轻的四个级别体重组成的数列：（单位：公斤）
48，53，58，63
②
1.2 等差数列
偶数 比5小的偶数从大到小排成的数列：
4，2，0，－2，－4，…
③
常数 由无穷多个常数a组成的常数列：
a，a，a，a，a，…
④
1.2 等差数列
一、等差数列基本知识
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都 等于同一个常数，这样的数列就称为等差数列，这个常数称 为等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
如果a，A，b，成等差数列，则
A－a＝b－A
ab
即
A＝
2
八下数学第一章知识点总结
八下数学第一章知识点总结第一章等比数列等比数列是指一个数列中，任意相邻两项的比等于同一个固定的非零数的数列。
即对于数列 {an}，如果存在一个常数 q ，使得任意的正整数 n ，都有 an = an-1 * q ，那么 {an} 就是一个等比数列。
1. 等比数列的通项公式对于等比数列 {an}，若首项为 a1，公比为 q，则 {an} 的通项公式可表示为 an = a1 * q^(n-1) 。
2. 等比数列的性质（1）等比数列的任意三项间的关系对于等比数列 {an}，若 a1，a2，a3 为数列中的三项，则有 a2/a1 = a3 / a2 = q 。
（2）等比数列的前n项和公式对于等比数列 {an}，其前 n 项和 Sn 可表示为 Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1) 。
3. 等比数列应用等比数列在数学中有着广泛的应用，尤其是在工程、金融、物理等领域。
例如在金融领域，利率为一定比例的等比数列，而在物理领域，许多自然现象的规律也可以用等比数列来描述。
第二章平面直角坐标系中的直线1. 直线的方程平面上的一条直线可以用方程 y = kx + b 来表示，其中 k 为直线的斜率，b 为直线在 y 轴上的截距。
当直线与 x 轴相交时，直线的方程可表示为 y = 0x + b ，即 y = b 。
2. 直线的性质（1）斜率直线的斜率 k 定义为直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，即 k = (y2 - y1) / (x2 - x1) 。
（2）截距直线在 y 轴上的截距 b 定义为直线与 y 轴的交点的纵坐标值。
3. 直线的平行和垂直关系若两条直线的斜率相等，则它们平行；若两条直线的斜率乘积为 -1，则它们垂直。
第三章不等式1. 绝对值不等式对于实数 a，其绝对值表示为 |a| ，且有如下性质：（1）|a| ≥ 0 ，且 |a| = 0 当且仅当 a = 0 ；（2）|ab| = |a| * |b| ；（3）|a + b| ≤ |a| + |b| 。
高数第1章第2节——数列的极限
n
n
例4 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, qn 0 qn , nln q ln ,
n ln , ln q
取N [llnnq ] 1
0 1
,
2
1
则当n N时, n N 1 [ ln ] 1 ln ,
数列中的第n项an称为一般项或通项.
在几何上,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动 点在数轴上依次取 x1 , x2 ,L , xn ,L .
x3 x1 x2 x4 xn
例1:写出下列数列的通项
i) 2,4,8, ,2n , , xn 2n ;
ii)
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
,
,
由1 1 , n 100
只要 n 100,
给定 1 , 1000
要
an
1
1, 1000
只要 n 1000,
给定
1, 10000
要
an
1
1 10000
,
只要 n 10000,
给定 0,
要
an
1
成立，
只要 n
N
1
.
定义1.2.1 若存在常数A，使对任意的 0，
总存在自然数N 0，当n N时，恒有
1 1
n
lim n lim 1 1,
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1
由夹逼定理得
1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
例7 设a 0,证明 lim n a 1. n
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第一章 数 列
1.1 数列的基本知识
1. 习题 下列说法正确的是（ ）
A 、数列－2, 0, 1, 6, 7可表示为{－2, 0, 1, 6,
7 }
B 、每个数列中，首项是唯一的
C 、数列是由有限或无限个数随意组成的
D 、在数列{}n a 中，95=a 表示这个数列第5项的序号
是9
2、已知数列51，101，151，201……，则40
1是它的第（ ）项
3、观察下面各数列的特点，填上适当的数：
（1）2, 2, 2 2, 2 2, 2……
（2）1, 8, 27， 125， 343，……
（3）－3，,－1，,1， ，5,7 ，
11……
（4）17，15， ，11，3 ，5，3
4、按数列分类，数列2, 4, 6, 8， (100)
数列；数列1，21，41，8
1，……是 数列。
5、根据数列的定义，判断下列数的排列都是数列吗
（1）1, 0, 1, 0, 1, 0
（2）0, 0, 0
（3）21，32，43，5
4，…… 6、判断下面各题中的两个数列是否是相同的数列为什么
（1）0，1 ,2, 3……和1, 2, 3……
（2）1, 2, 3, 4, 5和1, 2, 3, 4, 5…
（3）1，21，31，41，51和51，41，31，2
1，1 7、写出由正奇数的倒数按从大到小的顺序排列的数列，能否写出由正奇数的倒数按从小到大的顺序排列的数列为什么
8、2011年是农历兔年，请你按顺序写出2011年以后的六个农历兔年的年份
1、习题已知数列{}n a 的通项公式为32+-=n n a ，则=-23a a
2、已知数列的前四项，写出它们的一个通项公式
（1）3, 4, 5, 6…… （2）1，21，31，4
1…… （3）-1，21，31-，4
1 (4)
211⨯，321⨯-，431⨯，5
41⨯-……
3、根据下面数列{}n
a 的通项公式，写出它们的前5项，并写出各数列的第10项。
（1）n
n a n 212-= （2）()()121+-=n a n n
（3）()n
a n n 211+-= 4、观察下面数列的特点，用适当的数填空，并对每一个数列各写出一个通项公式
（1）2, 4（ ），16, 32（ ），128，（ ）
（2）（ ），4 ,3 ,2, 1，（ ），-1，（ ）
5、已知数列的通项公式是()1+=n n a n
（1）182是不是这个数列中的项如果是，是第几项
（2）100是不是这个数列中的项
6、写出下面数列{}n
a 的前5项 （1）51=a
，31+=+n n a a （2）32
=a ，62=a ，n n n a a a -=++12
1、习题设数列{}n a 前n 项的和122+=n s n ，则1a ，2a 的值依次是（ ）
A 、2, 9
B 、2, 7
C 、3， 6
D 、3， 9
2、设数列{}n a 的通项公式是122--=n n a n ，求这个数列前四项的和4s
3、设数列{}n a 前n 项的和132
-=n s n ，求
543a a a ++的值。