超全数列基本知识点复习讲义

等差数列一、数列定义：有序的一列数表示方法：1）最常见的枚举法：1,2,3,4,5,6……2）★★★通项公式：()n a f n =，理解：数列是一种特殊的函数，特殊在定义域上，定义域n 是从1开始的自然数，所以说，数列又可以从函数解析式的角度来分析数列特征3）递推关系：1()n n a f a +=，理解：递推公式是最直观的，比如说等差数列就是后一项和前一项的差相等，但是递推公式不利于分析数列的性质，比如想知道第100项是多少，就需要由递推公式去推出通项公式4）求和公式：n S ，理解：n S 和n a 的关系11(2)(1)n n S S n S n --≥⎧⎨=⎩（记⑤）★★★难点：递推公式⇒通项公式 通项公式⇔求和公式 ☆☆☆一般考察思路：/n n a S ⇒递推公式⇒通项公式n S ⇒⇒不等式（中间截取一段或者几段）二、等差数列1. 递推公式：1n n a a d +=+（d 可以是0） ()n m a a n m d =+-2. 通项公式：1(1)()na a n d f n =+-=（可以把这个式子看成一个关于n 的一次函数（记①））1(dn a d =+-）（一次项系数为d （记②），这个式子递增递减的变化取决于公差d （记③））3. 求和公式： 1()2n n a a nS +=（把n a 的式子代入）1(1)2n n na d -=+ （更常用） 21=()22d d n a n +-（可看成二次函数，无常数项。

二次项系数为2d，决定开口方向。

（记④）⇒从函数的角度看一个数列的n S 有没有最大值和最小值是由d 的正负决定的）考点1：由数列函数性质速算通项公式和求和公式例题1.已知一个等差数列{}n a ，25a =，57a =，求通项公式解析：1）通常解法：求通项公式，求1a 求d52233a a d -== ，1133a =，1132211(1)(1)=3333n a a n d n n =+-=+-⋅+ 2）口算解法：把n a 看成一个函数1(n a dn a d =+-）（由②，只需要记住一次项系数为d ）所以23n a n =+一个数，然后代入2a ，解得那个数是113例题2．1）已知数列{}n a 的通项公式是25n a n =+，求n S解析：由①知，通项公式为关于n 的一次函数，则n a 是等差数列常规解法：21221(1)7,9,2,7262n n n a a d a a S n n n -===-==+⋅=+ 口算解法：（函数的角度）由②，知道2d =，由④知，22n d S n =+一个数n ⨯2=n +一个数n ⨯想求得这个数只需要代入一个n S 即可，21171S a ===+一个数1⨯，可知，这个数为6所以26nS n n =+2）已知数列{}n a 的前n 项和为23nS n n =-，求{}n a 的通项公式解析：由④，n S 是没有常数项的二次函数，所以{}n a 是等差数列由口算解法，可知6na n =+一个数，由112S a ==，64n a n =-3）已知数列的前n 项和为232nS n n =--，求{}n a 的通项公式解析：由④，n S 是没有常数项的二次函数，所以{}n a 是等差数列由⑤，2n ≥，221=(32)(3(1)(1)2)64nn S S n n n n n ---------=-1n =，110S a ==（思考：其实，在2n ≥部分，上一题中的2213(3(1)(1))n n n a S S n n n n -=-=-----这一题中的22132(3(1)(1)2)n n n a S S n n n n -=-=-------恰好常数项约掉了，所以即使这题中的n S 不是等差数列的n S ，在2n ≥部分也可按上题的方法求得） 例题3. 已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，且2331n n A n B n +=-，则?n na b = 解析：由④，n A 和n B 的前n 项和应该是无常数项的二次函数，所以，可以这样理解22233n n A n nB n n+=-，因为要求的n na b ，要的是比值，与,n n a b 分别是多少没有关系，所以令2223,3n n A n n B n n =+=-，那么由例题2（2）可以口算求得41,64n n a n b n =+=-考点2：判断数列增减性例题4.（2013辽宁理4文4）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题1:p 数列{}n a 是递增数列 2:p 数列{}n na 是递增数列3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 4:p 数列{}3n a nd +是递增数列 上述命题中真命题的个数是几个？ 解析：★★判断数列增加性的方法：1.从通项公式，函数的角度分析，增函数，即为递增数列，减函数，即为递减数列2.从递推公式的角度分析，10n na a +->，即为增函数，反之，减函数1p ，由③，0d >函数是个增函数，正确2p ，1(1)n n b na na n n d ==+-，111(1)(1)(1)n n b n a n a n nd ++=+=+++11+2n n b b a nd +-=，由于0d >，所以增减性取决于1a ，因此不能确定 3p ，解答思路同2p ，增减性也取决于1a ，因此不能确定4p ，11(1)3(41)n b a n d nd a n d =+-+=+-，11(4(1)1)n b a n d +=++-1(4(1)1(41))40n n b b n n d d +-=+---=> 递增数列，正确考点3：数列的最值问题例题5.（2012年浙江理7）设n S 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误的是？ A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意的n N ∈*，均有0n S >D ．若对任意的n N ∈*，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列 解析：★★思路1：从函数的角度分析数列的增加性和最值A.数列{}n S ，把12,S S ……看成数列的每一项，可以把n S 看成一个函数，数列{}n S 有最大项，即函数n S 有最大值，由④，n S 是一个二次函数，二次项系数为2d，所以，0d <，开口向下，有最大值，正确 B ．同理A ，有最大项，即开口向下，正确C ．n S 为递增数列，即函数n S 在1n ≥上是增函数，所以开口向上。

而且，由④，n S 的常数项为0，所以(0)0f =，横过(0,0)。

开口向上，横过原点的函数，在1n ≥上，一定是恒正的，正确。

D ．同C ，正确※※正确答案，本题错误的应该为C 选项，虽然n S 过零点，但是有可能对称轴并不在负半轴，而在(0,1)之间，这样的话，1S 是负的，后面依旧是单调递增的。

三、等差数列性质1．n a 之间的性质（等差中项）※反映了等差数列的对称性1122n n n n n p n p m n p qm n p qa a a a a a a a a a -+-++=+=+⇒=+−−−−−→+=+若2．n a 和n S 之间的性质=S ⨯奇数项数中项 例：12345152433()()5a a a a a a a a a a a ++++=++++= =2S ⨯偶数中间两项的和项数3．n S 之间的性质232,,n n n n n S S S S S --……成等差数列例：36396,,S S S S S --成等差数列，（3123S a a a =++，63456S S a a a -=++，96789S S a a a -=++，对应项的差是相等的，147258369,,;,,;,,a a a a a a a a a ）已知34S =，610S =，求9?S = （注意，并不是914S =，是36396,,S S S S S --成等差数列，不是369,,S S S 成等差数列）3639694,6818S S S S S S =-=⇒-=⇒=例题6. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当?n =时，{}n a 的前n 项和最大 解析：★★思路2：对于满足单调性的数列若12,p a a a …是正的，12,p p a a ++…是负的，则p S 最大若12,p a a a …是负的，12,p p a a ++…是正的，则p S 最小789880300a a a a a ++>⇒>⇒> 87108990000a a a a a a >+<⇒+<−−−→< 8n ∴=时，取最大值等比数列一、等比数列等差数列等比数列递推公式1 1()n n a a d +=++1()n n a qa +=⨯注意：0q ≠等比数列的任意一项非零通项公式211(1)()n a a n d dn a d =+-=+-1111n nn a a a q q q-+=⨯=⨯ 前n 项和n S 3 1(1)2n n n S na d -=+11(1)(1)1(1)n n a q q S q q na⎧-≠⎪=-⎨=⎪⎩注：1.等差数列和等比数列是类似的，只是等差数列中加的关系在等比数列中变成了乘的关系，使得很多性质发生了变化2.等差数列的通项公式可以看成是一次函数，类似的等比数列的通项公式可以看做是指数函数。

等差数列是由一次项系数d 的正负可以决定函数的单调性，而且是线性的增加或者减少，但是等比数列的的变化趋势受很多因素的影响：（记①）1）1a 的正负：若0q >且1q ≠，作为指数函数，前面系数的正负决定了函数的增加性当1q >时，10a >增，10a <减 反之，当01q <<时，10a <增，10a >减 2）q 的正负：决定了数列是波动的，还是有单调性的若0q >，则可按照1）判断，若0q <，则数列是一正一负的，在x 轴的上下波动123）q 与1的大小关系：当1q <时，函数图像不断接近x 轴，收敛；当1q >，函数图像不断远离x 轴，发散3等比数列的求和公式要注意两点: 1） 求和公式是一个分段函数2） 等比数列的求和公式推导原理：错位相减12311211231n nn n n nS a a a a a qa qa qa qS qa qa qa qa qa --=++++=++++=+++++后面两个式子相减得到11111(1)(1)1n n n n n a q q S a qa a q q a S q---=-+=-+⋅⇒=-例题1.{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的不充分不必要条件 解析：由①，取决于1a 的正负 成等差数列成等比数列2232,,n n n n nS S S S S --成等比数列解释： 12n n S a a a =+++ 2122n n n n n S S a a a ++-=+++ 3221223n n n n n S S a a a ++-=+++对应的项的比值为nq ，所以各项的和比值也是nq例题2.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比?q =解析：24352040a a q q q a a +=⎧⎪↑↑↑⎨⎪+=⎩ 2q ∴=不必用通项公式把每一项都带进去，我们看到项数之间的关系，3a 比2a 大一，5a 比4a 大一，也就是说对应项的比值为q ，那么40就应该是20的q 倍所以说，这一章包括等比数列的概念，递推公式通项公式求和公式，还有等比数列的性质，一定要记住的是等比数列这里是怎么讲的，不光要记住这些性质，我们是通过等差数列和等比数列的类比来完成这件事情的。