数列基础知识点
数列归纳法知识点总结
数列归纳法知识点总结一、介绍数列归纳法是数学中的一种常见证明方法，用于证明某个命题对于所有自然数或正整数都成立。
它的基本思想是通过归纳步骤，从已知条件推导出通项公式，从而得出结论。
二、数列定义数列是按照一定规律排列的一组数的集合。
通常用a₁，a₂，a₃，...表示，其中a₁，a₂，a₃，...为数列的项。
数列按照一定的规律取值，可以是等差数列、等比数列或其他类型的数列。
三、数列归纳法的步骤1. 归纳基础步骤：首先证明命题对于初始条件成立，通常是证明当n取某个特定值时命题成立。
2. 归纳假设步骤：假设当n=k时命题成立，即假设命题对于某个自然数k成立。
3. 归纳推理步骤：利用归纳假设推导出当n=k+1时命题也成立。
4. 归纳结论步骤：由归纳推理步骤得出结论，命题对于所有的自然数n成立。
四、数列归纳法的应用1. 证明数学等式或不等式：利用数列归纳法可以证明各类数学等式或不等式，例如等差数列的通项公式、等比数列的通项公式等。
2. 证明数学性质：数列归纳法也常用于证明数学性质，例如证明2的n次方大于n，证明斐波那契数列的性质等。
五、数列归纳法的例题例题1：证明等差数列的通项公式成立。
解：首先我们验证归纳基础步骤，当n=1时，等差数列的通项公式显然成立。
假设当n=k时，等差数列的通项公式成立，即aₖ=a₁+(k-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
那么我们来看当n=k+1时，aₖ₊₁=a₁+(k+1-1)d=a₁+kd。
根据等差数列的递推关系式，aₖ₊₁=aₖ+d。
由归纳假设可得，aₖ₊₁=a₁+(k-1)d+d=a₁+kd。
所以，当n=k+1时，等差数列的通项公式也成立。
因此，根据数列归纳法，等差数列的通项公式对于所有的自然数n 成立。
例题2：证明斐波那契数列的性质。
解：首先我们验证归纳基础步骤，当n=1时，斐波那契数列的性质显然成立。
假设当n=k时，斐波那契数列的性质成立，即Fₖ=Fₖ₋₁+Fₖ₋₂。
那么我们来看当n=k+1时，Fₖ₊₁=Fₖ+Fₖ₋₁。
数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），，推论公式：等差中项：成等差数列,等差数列前项和： 性质：是等差数列（1）若，则（下标和定理） 注意：要求等式左右两边项数相等（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为； （4）若是等差数列，且前项和分别为，则；（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项， 即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. (6)项数为偶数n 2的等差数列，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-,n a S S =-偶奇， .1-=n n S S 偶奇2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.推论公式：等比中项：成等比数列，或.等比数列中奇数项同号，偶数项同号等比数列前n 项和公式：性质：是等比数列（1）若，则(下标和定理) 注意：要求等式左右两边项数相等。
（2）仍为等比数列,公比为n q。
. （3）是正项等比数列，则注意：由求时应注意什么？时，；时，.3.求数列通项公式的常用方法（1)定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列）（2）已知的关系与n或的关系时与nnas，求。
⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11nssnsannn例：?数列的前项和．求数列的通项公式;解：当时，当时数列的通项公式为．练习：设数列的前项和为，且．求数列的通项公式。
（3）求差（商）法 例：数列，，求 解： 时，，∴①时， ②① —②得：，∴，∴练习：在数列中，，, 求数列的通项公式。
基础知识一、按 叫数列,数列中的都叫这个数列的项;在函...
解法3：设递推式an＝3an－1＋2， 可以化为：an＋1－t＝3(an－t)． 即an＋1＝3an－2t. ∴2 ＝－ 2t ， ∴ t ＝－ 1 ，于是得 an ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3(an ＋ 1) ，
(这是手段之二)
数列 {an ＋ 1} 是公比为 3 的等比数列，其首项为 a1 ＋ 1 ＝2，∴an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.
(3)对于递推式为an＋1＝pan＋qn(p，q为常数)．
对于递推式an＋1＝pan＋qn，可两边除以qn＋1，得
＝ 再解． (4) 当然，本例各小题也可以采取“猜想归纳法”， 先写出前几项，再找出规律，猜测通项公式，最后用数学 引辅助数列{bn}，bn＝ ，得bn＋1
归纳法证明．
[解析] (1)由已知得an＋1－an＝
(3)这个数列的第________项最小；
(4)这个数列前________项的和最小． 答案：－18 11 2或3 6或7
3．已知数列{an}的前 4项为1,3,7,15，写出数列{an}的 一个通项公式an＝________. 答案：2n－1 4．数列 {an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则
总结评述： 解这类题需要我们从多角度思考，全方
位观察，广泛联想，将原数列作出适当的转化变形后，作 为基本数列或特殊数列，方可迅速获解．
【例2】
(1)已知{an}中，a1＝
，an＋1＝
，求an.
(2)数列{an}中，a1＝1，对于n＞1(n∈N*)有an＝3an－1＋
2，求an. (3)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝ 求an.
令 “ n” ＝ 1,2 ， „ ， (n － 1) ，代入后 (n － 1) 个等式累加，
数列练习题(含答案)以及基础知识点训练篇-2
数列基础知识点总结及训练A 、1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n qa qa a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a Λ1°.若}{n a 是等差数列，则;23121Λ=+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121Λ=⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kkk aa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=n k nn k n n k kkk aa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立） ⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,,ΛΛΛ++++组成公比这2n q 的等比数列. ⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶 （二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a qa aq aq aq a ±±或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. 由递推公式求通项公式的方法一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=-K将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=+++-K ，进而求解。
数列基础 知识点总结
数列基础知识点总结一、概念及基本性质1. 什么是数列数列是按照一定的顺序排列的一组数，这些数依次排列在一条直线上，每个位置都有一个数与之对应。
一般用a1, a2, a3,...an表示数列的各个元素，其中ai称为数列的项，i称为项的序号。
2. 数列的概念数列中的每一个数称为数列的项，这些项的次序具有规律性，规律性可以通过公式、图形、语言等方式来表示。
3. 数列的基本性质数列中的数可以是有限个也可以是无限个。
数列中的数包括有序数列和无序数列。
有序数列又包括等差数列、等比数列、等比对数数列、斐波那契数列等。
二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列中，从第二个数起，每个数与它的前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列。
2. 等差数列的通项公式对于等差数列{an}，如果an的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
3. 等差数列的前n项和公式对于等差数列{an}，其前n项和为Sn=n(a1+an)/2。
4. 等差数列的性质（1）等差数列的前两项和后两项等于同一个数。
（2）等差数列的前后两项相等。
（3）等差数列的和的公式Sn=n(a1+an)/2。
5. 等差数列的应用等差数列在实际生活中有很多应用，比如金融领域的利息计算、交通领域的运输成本计算等。
三、等比数列1. 等比数列的定义如果一个数列中，从第二个数起，每个数与它的前一个数的比等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列。
2. 等比数列的通项公式对于等比数列{an}，如果an的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
3. 等比数列的前n项和公式对于等比数列{an}，如果q≠1，则其前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)；如果q=1，则Sn=na1。
4. 等比数列的性质（1）等比数列的前后两项比相等。
（2）等比数列的和的公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
（3）等比数列的连乘公式Πn=a1q^(n-1)。
数列概述及基础知识
①本质上是定义域特殊：{1,2,3,…}或{1,2,…,n}
②表象上是解析式特殊： an f n y f x
2.项与项数：
①数列中的每一个数叫做这个数列的项
②第n项的序号n又称为该项的项数
排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项) 排在第二位的数称为这个数列的第2项… 排在第n位的数称为这个数列的第n项. 注：数列中的项与项数；如同函数中的因变量与自变量
项
an f n
项数
因变量
y f x
自变量
3.分类：
①按单调性分： 递增数列，递减数列，常数列，摆动数列
②按项数分： 有穷数列，无穷数列
③按特殊性分： 等差数列，等比数列，周期数列，递归数列，…
④按界分：
有界数列和无界数列
练习1.数列的定义:
下列数列是否为同一个数列？ ① 1，2，…，5，6 ② 1，2，3，4，5，6 ③ 1，2，3，4，5，6… ④ 6，5，4，3，2，1
简记法： {2n} 或 {an} …… 通项公式： an 2n 递推公式： a1 2, an1 an 2
列表法：
n1 2 3 4… k …
an 2
4
6 8 … 2k …
(1)课本P：30 引例 2，4，6，8，…，2n，… 列表法：
n1 2 3 4… k …
an 2
4
6 8 … 2k …
图象法： an 2n an( y)
y 2x
数列的图象： 是一系列孤立的点
n (x)
练习2.数列的表示：(3)(课本P：31 例例 3)3.已知a1 1, a
例3.已知a1 1, an 的前5项.
1
数列基础知识
数列基础知识数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
数列的研究对于数学的发展和应用有着重要的作用。
数列的概念最早可以追溯到古希腊数学家皮泰约斯的著作《数学原理》中，并在此后的数学发展中得到了不断的完善和发展。
数列的研究从最简单的等差数列和等比数列开始探讨，并延伸到更加复杂的级数和无穷数列的研究。
在数列的定义和性质方面，我们需要了解几个重要的概念。
首先是数列的通项公式，它是描述数列中每一项与其位置之间的关系的表达式。
通项公式可以是一个直接的公式，也可以是一个递推公式。
例如，在等差数列中，通项公式可以是An = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
其次是数列的常用性质，例如，数列的有界性指的是数列中的所有项都在一定的范围内。
数列的单调性指的是数列中的每一项与其后一项的比较关系，可以是递增、递减或保持不变。
数列的极限是指数列随着项数的增加趋近于某个值。
这些性质在实际问题中有很多应用，例如在金融领域中，用于计算利息的等比数列可以帮助我们更好地理解和应用复利计算。
在数列的应用方面，数列的研究对于科学和工程领域有重要的影响。
例如，在物理学中，数列的概念被广泛应用于描述物体的运动规律和能量变化等。
在计算机科学中，数列的递推公式可以用于设计算法和优化算法的性能。
在经济学中，数列的研究可以帮助我们分析经济数据和预测趋势。
除此之外，数列还有一些重要的性质和定理，例如，调和级数和几何级数的性质，斐波那契数列的特点和应用等等。
这些内容需要在更深入的学习和研究中探索。
总结起来，数列是数学中的基础概念之一，它具有广泛的应用和重要的理论价值。
通过学习数列的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用数学知识，并为其他学科的学习和研究提供基础和指导。
在实际生活中，数列的概念和思维方式也可以帮助我们更好地分析问题和解决问题。
因此，掌握数列的基础知识对于我们的学习和发展是非常重要的。
初中数学数列知识点全面归纳
初中数学数列知识点全面归纳数列是初中数学中非常重要的一个概念，它在数学中具有广泛的应用，并且是数学学习的基础。
在初中数学中，数列的学习内容主要包括数列的定义、分类、通项公式、求和公式等。
通过对初中数学数列知识点的全面归纳，可以帮助同学们更好地理解和掌握数列的相关概念和方法。
首先，我们来了解数列的定义。
数列是按照一定规律排列的一组数，这个规律可以是递增、递减或者其他特定的模式。
数列中的每个数称为这个数列的项，而数列中的第一个数称为首项，最后一个数称为末项。
数列可以通过表示第n项的通项公式来表示，其中n表示项的位置。
数列可以分为等差数列、等差数列和其他特殊数列。
首先，等差数列是指数列中相邻的两个数之差都相等的数列。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差，n表示项的位置。
等差数列的求和公式为Sn=(a1+an)n/2，其中Sn表示前n项的和。
等差数列的应用非常广泛，例如，计算机科学中的循环结构、物理学中的等速直线运动等。
接下来，我们来了解等比数列。
等比数列是指数列中相邻的两个数之比都相等的数列。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1表示首项，r表示公比，n 表示项的位置。
等比数列的求和公式为Sn=a1(r^n-1)/(r-1)，其中Sn表示前n项的和。
等比数列也具有广泛的应用，例如，物理学中的指数增长、金融学中的复利计算等。
除了等差数列和等比数列，还有其他一些特殊的数列。
斐波那契数列是一个非常著名的数列，其特点是每一项（从第3项开始）都等于前两项的和。
斐波那契数列的通项公式为an=an-1+an-2，其中a1=1，a2=1。
帕斯卡三角形也是一个特殊的数列，它从两边的1开始，每一项都等于它上方两项之和。
帕斯卡三角形的特点是对称性和组合数的性质。
在学习数列的过程中，我们还需要学会如何判断一个数列是否是等差数列或等比数列。
对于等差数列，我们可以通过判断相邻两项之差是否相等来确定；对于等比数列，我们可以通过判断相邻两项之比是否相等来确定。
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数列基础知识点1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n qa q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅④顺次n 项和性质：见习题册page28复习题B 组第2题： 1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列.学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a qa aq aq aq a ±±或”等等； 例题：三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d da a d d d a d a a a d a d a（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.[解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77复习试卷一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（ ）（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=na3、已知cb a ,,成等比数列，且y x ,分别为a与b、b与c的等差中项，则yc x a +的值为（ ）（A ）21（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列{}n a 的前n项和为nS ,nn S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（ ）（A ）22-=n a n（B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z--=-，则 （ ）（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ）z y x 1,1,1成AP （D ）zy x 1,1,1成GP 7、数列{}n a 的前n 项和1-=n na S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）18、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为 （ ） （A ）97 （B ）78（C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n项和为252+-=n n S n ,则数列{}na 的前10项和为（ ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为（ ）（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12下列命题中是真命题的是 ( )A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n+=(0≠p )B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n nab aD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n+=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n na S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列{}n a 是公差d不为零的等差数列，数列{}nb a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。
18、已知等差数列{}n a 的公差与等比数列{}n b 的公比相等，且都等于d)1,0(≠>d d ,11b a = ，333b a =,555b a =,求n n b a ,。
19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。
20、已知{}n a 为等比数列，324202,3a a a =+=，求{}n a 的通项式。
21、数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T22、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足121114.4...4(1)()nnb b b b n a n N ---*=+∈，证明：{}n b 是等差数列；23.在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．24. 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．。