高考数学大一轮复习课时限时检测(七)二次函数与幂函数
近年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标7二次函数与幂函数理(2021年整理)
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课时达标第7讲［解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成立问题以及二次方程的根的分布问题，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在中间靠前的位置,难度中等．一、选择题1．(2018·河南南阳模拟)已知幂函数f（x）＝k·x a的图象过点错误!，则k＋a＝（C）A．错误!B．1C．32D．2解析因为f（x)＝k·x a是幂函数，所以k＝1．又f（x）的图象过点错误!,所以错误!a＝错误!，所以a＝错误!,所以k＋a＝1＋错误!＝错误!。
2．（2018·天津模拟）抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b,c的符号为（B）A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0,b＜0，c＞0 D．a＜0，b＞0，c＜0解析由题意知,抛物线开口向下，故a<0。
由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧，得ac<0，所以c>0.再由顶点在第一象限得－错误!〉0，所以b>0.3．对任意的x∈[－2,1］，不等式x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是( D)A．(－∞,0］B．(－∞，3]C．[0,＋∞）D．[3,＋∞)解析设f(x)＝x2＋2x－a（x∈[－2，1]），由二次函数的图象知，当x ＝1时，f(x)取得最大值3－a，所以3－a≤0，解得a≥3,故选D．4．对于幂函数f(x)＝x错误!，若0<x1〈x2，则f错误!和错误!的大小关系是( B)A．f错误!<错误!B．f错误!〉错误!C．f错误!＝错误!D．无法确定解析根据幂函数的性质：当0<x〈1时，图象是向上凸的，且通过点（0，0),（1,1)，可知B项正确．5．设函数f（x)＝x2＋x＋a(a>0),已知f(m)<0，则（C)A．f（m＋1)≥0B．f（m＋1）≤0C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1）〈0解析因为f(x）的对称轴为x＝－错误!，f(0）＝a〉0，所以f（x）的大致图象如图所示．由f(m）〈0，得－1〈m〈0，所以m＋1〉0，所以f（m＋1)〉f（0）>0,故选C．6．(2017·山东卷)已知当x∈[0，1]时,函数y＝(mx－1）2的图象与y ＝错误!＋m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是（B）A．(0，1］∪［23，＋∞）B．(0,1］∪［3，＋∞）C．（0,错误!]∪［2错误!,＋∞)D．（0，错误!]∪［3，＋∞）解析在同一直角坐标系中，分别作出函数f（x）＝（mx－1)2＝m2错误!2与g(x)＝错误!＋m的大致图象．分两种情形：(1）当0<m≤1时,错误!≥1，如图①，当x∈[0，1］时,f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意；（2)当m>1时，0〈错误!〈1，如图②，要使f（x)与g(x)的图象在［0，1]上只有一个交点,只需g(1）≤f（1），即1＋m≤(m－1)2,解得m≥3或m≤0(舍去)．综上所述,m∈(0，1]∪[3,＋∞)．故选B．二、填空题7．已知函数f(x）＝x错误!，且f(2x－1)<f(3x），则x的取值范围是错误!。
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2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标7二次函数与幂函数 理[解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成立问题以及二次方程的根的分布问题，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在中间靠前的位置，难度中等．一、选择题1．(2018·河南南阳模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x a的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋a ＝( C )A ．12 B ．1 C ．32D ．2解析 因为f (x )＝k ·x a是幂函数，所以k ＝1．又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22，所以a ＝12，所以k ＋a ＝1＋12＝32. 2．(2018·天津模拟)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在第一象限与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，则a ，b ，c 的符号为( B )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0解析 由题意知，抛物线开口向下，故a <0.由抛物线与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，得ac <0，所以c >0.再由顶点在第一象限得－b2a>0，所以b >0.3．对任意的x ∈[－2,1]，不等式x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，3] C ．[0，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 设f (x )＝x 2＋2x －a (x ∈[－2,1])，由二次函数的图象知，当x ＝1时，f (x )取得最大值3－a ，所以3－a ≤0，解得a ≥3，故选D ．4．对于幂函数f (x )＝x 45 ，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22和fx 1＋f x 22的大小关系是( B )A ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f x 1＋f x 22D ．无法确定解析 根据幂函数的性质：当0<x <1时，图象是向上凸的，且通过点(0,0)，(1,1)，可知B 项正确．5．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则( C ) A ．f (m ＋1)≥0 B ．f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)>0D ．f (m ＋1)<0解析 因为f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示．由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0，所以f (m ＋1)>f (0)>0，故选C ．6．(2017·山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( B )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象． 分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m >1时，0<1m<1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)． 故选B ．二、填空题7．已知函数f (x )＝x 34 ，且f (2x －1)<f (3x )，则x 的取值范围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ . 解析 f (x )＝x 34 在定义域[0，＋∞)上是递增的， 由f (2x －1)<f (3x )，得0≤2x －1<3x ，所以x ≥12.8．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为 f (x )＝12(x －2)2－1 . 解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1，又其图象过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12，∴f (x )＝12(x －2)2－1．9．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是__[－5，－2]__.解析 由题意得函数f (x )在[－2,2]上的值域A 为函数g (x )在[－2,2]上的值域B 的子集，又当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1∈(0,3]，所以当x ∈[－2,0)时，f (x )∈[－3,0)，而f (0)＝0，因此A ＝[－3,3]．由二次函数性质知B ＝[m －1,8＋m ]，从而⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤－3，8＋m ≥3，解得－5≤m ≤－2.三、解答题10．已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．解析 ∵二次函数图象的对称轴为x ＝－2， ∴可设所求函数的解析式为f (x )＝a (x ＋2)2＋b . ∵二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4， ∴f (x )过点(－2＋2,0)和(－2－2,0)． 又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0，2a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴f (x )＝12(x ＋2)2－2.11．(2018·山东德州月考)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解析 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝5，f ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．12．(2018·河北唐山调研)设a 为实数，函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，x ∈R .求f (x )的最小值．解析 (1)①当x ≤a 时，函数f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋a ＋34.若a ≤12，则函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1；若a >12，则函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34＋a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (a )． ②当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－a ＋34.若a ≤－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34－a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤f (a )；若a >－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1．综上，f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧34－a ，a ≤－12，a 2＋1，－12<a ≤12，a ＋34，a >12.。
高考数学一轮专项复习讲义(新高考用)-幂函数与二次函数(含解析)
幂函数与二次函数目录01考情透视.目标导航 (2)02知识导图.思维引航 (3)03考点突破.题型探究 (4)知识点1：幂函数 (4)知识点2：二次函数 (5)解题方法总结 (7)题型一：幂函数的定义及其图像 (10)题型二：幂函数性质的综合应用 (12)题型三：由幂函数的单调性比较大小 (15)题型四：二次函数的解析式 (18)题型五：二次函数的图象、单调性与最值 (22)题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 (24)题型七：二次方程实根的分布及条件 (27)题型八：二次函数最大值的最小值问题 (29)04真题练习.命题洞见 (34)05课本典例.高考素材 (35)06易错分析.答题模板 (38)易错点：解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论 (38)答题模板：含参二次函数在区间上的最值问题 (38)考点要求考题统计考情分析（1）幂函数的定义、图像与性质（2）二次函数的图象与性质2020年天津卷第3题，5分2020年江苏卷第7题，5分从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低,常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现.复习目标：（1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.（2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).知识点1：幂函数1、幂函数的定义一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3、常见的幂函数图像及性质：函数y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=图象定义域R R R {|0}x x ≥{|0}x x ≠值域R {|0}y y ≥R {|0}y y ≥{|0}y y ≠奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在R 上单调递增在(0)-∞，上单调递减，在(0+)∞，上单调递增在R 上单调递增在[0+)∞，上单调递增在(0)-∞，和(0+)∞，上单调递减公共点(11)，【诊断自测】若幂函数()y f x =的图象经过点()2，则()16f ＝（）A 2B ．2C ．4D ．12【答案】C 【解析】设幂函数()y f x x α==，因为()f x 的图象经过点(2，所以22α=12α=，所以()12f x x =，所以()1216164f ==.故选：C 知识点2：二次函数1、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程.（3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标.2、二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2b x a=-，顶点坐标为24(,24b ac b a a --.（1）单调性与最值①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a-=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a-+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a-=（2）与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，212121212||||()4||M M x x x x x x a ∆=-=+-=.3、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p q x +=：（1）若2b p a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2）若02b p x a <-<，则(),()2b m f M f q a=-=；（3）若02b x q a ≤-<，则(),()2b m f M f p a =-=；（4）若2b q a-≥，则(),()m f q M f p ==.【诊断自测】下列四个图象中，有一个图象是函数()()()32214803f x x ax a x a =-+-+≠的导数的图象，则()2f -的值为（）A ．173B ．173-C ．83D ．83-【答案】D【解析】函数3221()(4)83f x x ax a x =-+-+，求导得222()24()4f x x ax a x a '=-+-=--，于是函数()y f x '=的图象是开口向上，对称轴为x a =的抛物线，①②不满足，又0a ≠，即函数()y f x '=的图象对称轴不是y 轴，④不满足，因此符合条件的是③，函数()y f x '=的图象过原点，且0a >，显然(0)0f '=，从而2a =，321()283f x x x =-+，所以3218(2)(2)2(2)833f -=⨯--⨯-+=-.故选：D解题方法总结1、幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下：①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出；②当01a <<时，其图象可类似12y x =画出；③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．2、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c x x a =<3、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2b x a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩12x m x <<()0f m <12x x m <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩在区间(,)m n 内没有实根0∆<12120x x mx x m∆==≤=≥或02()0b m af m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩2()0b naf n∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f mf n≤⎧⎨≤⎩在区间(,)m n内有且只有一个实根()0()0f mf n>⎧⎨<⎩()0()0f mf n<⎧⎨>⎩在区间(,)m n内有两个不等实根2()0()0bm naf mf n∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.题型一：幂函数的定义及其图像【典例1-1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点()2,4，则函数的解析式为（）A ．2xy =B ．2y x =C ．2log y x =D ．sin y x =【答案】B 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，由于函数过点()2,4，故42α=，解得2α=，该幂函数的解析式为2y x =；故选：B【典例1-2】已知幂函数pq y x =（,Z p q ∈且,p q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且0p q>B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q <C ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q>D ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q<【答案】D 【解析】因为函数p q y x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且在(0,)+∞上单调递减，所以p q <0，因为函数p qy x =的图象关于y 轴对称，所以函数pq y x =为偶函数，即p 为偶数，又p 、q 互质，所以q 为奇数，所以选项D 正确，故选：D.【方法技巧】确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.【变式1-1】已知函数()()11m f x m x +=-为幂函数，则()()2222f a a f a a -+-=（）A ．0B ．1-C ．2aD ．64a a -【答案】A【解析】由题意有11m -=，可得()32,m f x x ==，其定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则函数()f x 为奇函数，所以()()22220f a a f a a -+-=.故选：A.【变式1-2】（多选题）（2024·新疆喀什·一模）若函数()231y m m x =--是幂函数，则实数m 的值可能是（）A ．2m =-B ．2m =C ．1m =-D ．1m =【答案】BC【解析】()231y m m x =--是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-.故选：BC.【变式1-3】给出幂函数：①()f x x =；②2()f x x =；③()3f x x =；④()f x =()1f x x=．其中满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由题，满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A题型二：幂函数性质的综合应用【典例2-1】已知幂函数()()21n m x f x =-的图象经过点()2,8，下面给出的四个结论：①()3f x x -=；②()f x 为奇函数；③()f x 在R 上单调递增；④()()211f a f +<，其中所有正确命题的序号为（）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②③【答案】B【解析】对于①：由幂函数的定义可知211m -=，解得1m =，将点()2,8代入函数()nf x x =得28n =，解得3n =，所以()3f x x =，故①错误；对于②：因为定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 为奇函数，故②正确；对于③：由幂函数的图象可知，()f x 在R 上单调递增，故③正确；对于④：因为211a +≥，且()f x 在R 上单调递增，所以()()211f a f +≥，故④错误，综上可知，②③正确，①④错误.故选：B.【典例2-2】已知幂函数()()212223a a f x a x +-=-在()0,∞+上单调递减，函数()3xh x m =+，对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,2x ∈使得()()12f x h x =，则m 的取值范围为.【答案】268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()()212223a a f x a x+-=-是幂函数，则231a -=，2a =±，()f x 在()0,∞+上单调递减，则21202a a +-<，可得2a =-，()221f x x x -∴==，()f x \在[]1,3上的值域为1,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()h x 在[]1,2上的值域为[]3,9m m ++，根据题意有918126399m m m m +≥≥-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+≤≤-⎪⎪⎩⎩，m ∴的范围为268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故答案为：268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【方法技巧】紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.【变式2-1】已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭.若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=.【答案】1-【解析】因为幂函数()f x x α=在(0,)+∞上递减，所以12,1,2α=---，又幂函数()f x x α=为奇函数，可知α为奇数，即1α=-.故答案为：1-【变式2-2】已知函数()()3222332ln34ln31x x f x x x --=-+-+-+，则满足()()832f x f x +->的x 的取值范围是．【答案】(),2-∞【解析】由题意得()()()32223322ln 31x x f x x x --=-+-+-+，设()3332ln 3x xg x x x -=+-+，则()()21f x g x =-+，()g x 的定义域为R ，且()()3332ln 3x xg x x x g x --=-+--=-，所以()g x 为奇函数，3,3,3,2ln 3x x y x y y y x -===-=都是增函数，所以()g x 是增函数，()f x 的图象是由()g x 的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以()f x 图象的对称中心为()2,1，所以()()42f x f x +-=．易知()f x 在R 上单调递增，因为()()()()8324f x f x f x f x +->=+-，所以()()834f x f x ->-，所以834x x ->-，解得2x <，故答案为：(),2∞-．【变式2-3】已知幂函数()223mm f x x --=（其中，m ∈Z ）为偶函数，且()f x 在()0,∞+上单调递减，则m的值为.【答案】1【解析】因为函数幂函数()f x 在()0,∞+上单调递减，所以2230m m --<，解得13m -<<，又m ∈Z ，所以0m =或1或2，当0m =或2时，()331f x x x -==定义域为{}0x x ≠，且()()()3311f x f x x x -==-=--，此时函数()f x 为奇函数，不符合题意；当1m =时，()441f x x x -==定义域为{}0x x ≠，且()()()4411f x f x x x -===-，此时函数()f x 为偶函数，符合题意；综上所述，1m =.故答案为：1.【变式2-4】已知函数()13f x x =，则关于t 的表达式()()222210f t t f t -+-<的解集为.【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可知，()f x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()1133f x x x f x -=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数()13f x x =在函数(),-∞+∞上单调递增，由()()222210f t t f t -+-<，得()()22221f t t f t -<--，即()()22212f t t f t -<-，所以22212t t t -<-，即23210t t --<，解得113t -<<，所以关于t 的表达式()()222210f t t f t -+-<的解集为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式2-5】满足1133(1)(32)m m --+<-的实数m 的取值范围是（）.A ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．23,1,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．23(,1),32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】幂函数13y x -=在(0,)+∞为减函数，且函数值为正，在(,0)-∞为减函数，且函数值为负，1133(1)(32)m m --+<-等价于，320132m m m ->⎧⎨+>-⎩或10132m m m +<⎧⎨+>-⎩或32010m m ->⎧⎨+<⎩，解得2332m <<或m ∈∅或1m <-，所以不等式的解集为23(,1),32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：D.题型三：由幂函数的单调性比较大小【典例3-1】（2024·天津红桥·二模）若132()3a =，122log 5b =，143c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c<<【答案】C 【解析】112221log log 152b =>=，111121411214321631[()()()818122()()]333c a ==>===，而1312()3a =<，所以a ，b ，c 的大小关系为b a c >>.故选：C【典例3-2】设232555322555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,，，则,,a b c 大小关系是.【答案】a c b＞＞【解析】因为()25f x x =在()0,∞+单调增，所以22553255⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c >，因为()25xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞单调减，所以32552255⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即,c b >综上，a c b ＞＞.故答案为：a c b ＞＞.【方法技巧】在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较．【变式3-1】（2024·河北衡水·三模）已知1log 14a <，114a⎛⎫< ⎪⎝⎭，141a <，则实数a 的取值范围为（）A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()1,+¥D ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由1log 14a<，得1a >或10a 4<<，由114a⎛⎫< ⎪⎝⎭，得0a >，由141a <，得01a <<，∴当1log 14a <，114a⎛⎫< ⎪⎝⎭，141a <同时成立时，取交集得10a 4<<，故选：A.【变式3-2】已知πe a =，e πb =，eπc =，则这三个数的大小关系为．（用“<”连接）【答案】c b a<<【解析】由ln πa =，ln eln πb =，令ln ()xf x x=且[e,)x ∈+∞，则21ln ()0x f x x -'=≤，所以()f x 在[e,)x ∈+∞上递减，则ln e ln ππeln πe π>⇒>，即ln ln a b >，所以b a <，由e πb =，πe ]c =，只需比较π与π的大小，根据x y =与y x =，相交于(2,2),(4,4)两点，图象如下，由2π4<<，结合图知ππ>，故πe e []πb c ==>，综上，c b a <<.故答案为：c b a<<【变式3-3】已知幂函数()f x的图象过点()()()1122121,,,,,024P x y Q x y x x ⎛<< ⎝⎭是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（）A ．()()1122x f x x f x >B ．()()1221x f x x f x <C ．()()1221f x f x x x >D ．()()1212f x f x x x <【答案】D【解析】设幂函数()f x x α=，因为()f x的图象经过点124⎛ ⎝⎭，则124α⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得32α=，所以()32f x x =.因为函数()32f x x =在定义域()0,∞+内单调递增，则当120x x <<时，()()120f x f x <<，所以()()1122x f x x f x <，且()()1221f x f x x x <，故选项A,C 错误；又因为函数()12f x x x=单调递增，则当120x x <<时，()()1212f x f x x x <，且()()2112x f x x f x <，故选项D 正确，选项B 错误.故选：D.【变式3-4】（2024·高三·河北邢台·期中）已知函数()()2231mm f x m m x+-=--是幂函数，且在()0,∞+上单调递减，若,a b ∈R ，且0,a b a b <<<，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】B【解析】由211m m --=得2m =或1m =-，2m =时，3()f x x =在R 上是增函数，不合题意，1m =-时，3()-=f x x ，在(0,)+∞上是减函数，满足题意，所以3()-=f x x ，0,a b a b <<<，则0b a >->，()()f a f b ->，3()f x x =-是奇函数，因此()()f a f a -=-，所以()()f a f b ->，即()()0f a f b +<，故选：B.题型四：二次函数的解析式【典例4-1】（2024·高三·海南海口·开学考试）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,3，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，则()f x ＝.【答案】243x x -+【解析】因为()()22f x f x -=+对x ∈R 恒成立，所以()y f x =的图象关于2x =对称.又()y f x =的图象在x 轴上截得的线段长为2，所以()0f x =的两根为211-=或213+=，所以二次函数()f x 与x 轴的两交点坐标为()1,0和()3,0，因此设()()()13f x a x x =--.又点()4,3在()y f x =的图象上，所以33a =，则1a =，故()()()21343f x x x x x =--=-+.故答案为：243x x -+【典例4-2】写出同时满足下列条件①②③的一个函数()f x =．①()f x 是二次函数；②(1)xf x +是奇函数；③()f x x在(0,)+∞上是减函数．【答案】22x x-+【解析】因为()f x 是二次函数，所以令2()2f x x x =-+，()0x ≠，令()()()23(1)121g x xf x x x x x x ⎡⎤=+=-+++=-+⎣⎦，()()()3g x x x g x -=---=-，故满足条件②；令()222()x f x h x x x xx+===-+-在(0,)+∞上是减函数，满足条件③，故答案为：22x x-+【方法技巧】求二次函数解析式的三个技巧(1)已知三个点的坐标，选择一般式．(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，选择顶点式．(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，选择零点式．【变式4-1】已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠）的图象关于y 轴对称，且与直线y x =相切，写出满足上述条件的一个函数()f x =．【答案】214x +（答案不唯一）【解析】已知()()20f x ax bx c a =++≠，∵()f x 的图象关于y 轴对称，∴对称轴02bx a=-=，∴0b =，∴()2f x ax c =+，联立2y ax c y x⎧=+⎨=⎩，整理得2ax c x +=，即20ax x c -+=，∵()f x 的图象与直线y x =相切，∴140ac ∆=-=，∴14ac =，当1a =时，14c =.∴满足条件的二次函数可以为()214f x x =+．故答案为：214x +.【变式4-2】已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是．【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】法一(利用“一般式”解题)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用“顶点式”解题)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0).因为f （2）＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝21(82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2812a -+=-，解得a ＝－4，所以f (x )＝214(82x --+＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【变式4-3】已知函数2()(2)(0)f x mx m x n m =+-+>，当11x -≤≤时，都有()1f x ≤恒成立，则1=3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【答案】79-【解析】因为当11x -≤≤时，都有()1f x ≤恒成立，所以(0)1(1)1f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即121n n ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，所以1131n n -≤≤⎧⎨-≤≤-⎩，解得1n =-，所以(0)1,(1)1f f =-=，由()f x 图象可知，要满足题意，则图象的对称轴为直线x =0，所以20m -=，解得m =2，所以2()21f x x =-，所以117=21399f ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：79-【变式4-4】已知()f x 是二次函数，()20f -=，且()2422x x f x +≤≤，则()10f =.【答案】36【解析】法一：由()20f -=，可设()()()()2222f x x ax b ax a b x b =++=+++，则由()2f x x ≥得()22220ax a b x b ++-+≤，所以0a ≥且2(22)8a b ab +-≤，整理后即为2244844a b ab a b +≤++-，由()242x f x +≤得()()22142440a x a b x b -+++-≤，若210a -=则必有420a b +=，此时与2(22)8a b ab +-≤矛盾，所以210a -≤且()()2(42)42144a b a b +≤--，整理后为2244844a b ab a b +≤--+，与2244844a b ab a b +≤++-相加即得2244a b ab +≤，即2(2)0a b -≤，所以2a b =，所以()()()222(2)f x x ax a a x =++=+，又由于在原不等式中令2x =可得()424f ≤≤，所以()24f =，由此解得14a =.所以()()21(2),10364f x x f =+=.法二：()()2241202(2)22x x f x f x x x +≤≤⇒≤-≤-，令()()2g x f x x =-，则()()24,20g g -==，设()()()()20g x a x x m a =--≠.若2m ≠，则()()()()'22122202x x g x g a m =⎡⎤--=-'=-≠⎢⎥⎣⎦，于是()20a m ->时，存在02x <使得()()2001202x g x --<，矛盾；()20a m -<时，存在02x >使得()()2001202x g x --<，矛盾；故2m =，令2x =-，则()116244a g a =-=⇒=.于是()()22112(2)2(2)44f xg x x x x x =+=-+=+，进而()1036f =.故答案为：36.题型五：二次函数的图象、单调性与最值【典例5-1】已知()1()()f x x a x b =---，并且m 、n 是方程()0f x =的两根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（）A ．m a b n <<<B ．a m n b <<<C ．a m b n <<<D ．m a n b<<<【答案】A【解析】设()()()g x x a x b =---，又()1()()f x x a x b =---，分别画出这两个函数的图象，其中()f x 的图象可看成是由()g x 的图象向上平移1个单位得到，如图，由图可知：m a b n <<<．故选：A ．【典例5-2】（2024·高三·江苏苏州·期中）满足2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤的实数对m ，n 构成的点(,)m n 共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】C【解析】由2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤，又20y x =≥，则0m ≥，所以2y x =在[,]m n 单调递增，故值域为[(),()]f m f n ，即,m n 是2x x =的两根，解得120,1x x ==，当0m n ==时，点(,)m n 为(0,0)，当1m n ==时，点(,)m n 为(1,1)，当0,1m n ==时，点(,)m n 为(0,1).故选：C【方法技巧】解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）若函数2()(2)1f x x m x =--+在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则实数m 的取值范围为（）A ．19,13,22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B ．19,23,22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．19,13,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．19,23,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】C【解析】令()()221g x x m x =--+，则21,22102m g -⎧≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,22102m g -⎧≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,22102m g -⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,2210,2m g -⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得392m ≤≤或112m -≤≤，即实数m 得取值范围为1[,1][3,]229- .故选：C ．【变式5-2】（2024·高三·山东济宁·期中）函数()f x =的单调递增区间为（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1)-∞-C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由题意，令223t x x =--=()()2310x x -+≥，即1x ≤-或32x ≥，根据二次函数性质知：223t x x =--在(,1]-∞-上递减，在3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭上递增又y 在定义域上递增，故()f x 3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.故选：C【变式5-3】（2024·广东珠海·模拟预测）已知函数()221f x x mx x =+-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是.【答案】[)2,-+∞【解析】二次函数()()221f x x m x =+-+的图象开口向上，对称轴为直线22m x -=-，因为函数()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，则222m --≤，解得2m ≥-.因此，实数m 的取值范围是[)2,-+∞.故答案为：[)2,-+∞.【变式5-4】若函数()2224,02,0x x x f x x x ⎧-+>=⎨≤⎩在区间()1,32a a --上有最大值，则实数a 的取值范围是.【答案】[0,1)【解析】令()224g x x x =-+，0x >，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，又(1)2(1)f f ==-，作出函数()f x的大致图象，由于函数()2224,02,0x x x f x x x ⎧-+>=⎨≤⎩在区间()1,32a a --上有最大值，结合图象，由题意可得321111a a ->⎧⎨-≤-<⎩，解得01a ≤<，所以实数a 的取值范围是[0,1)，故答案为：[0,1)题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题【典例6-1】已知函数2()2(0)f x x ax a =->．(1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【解析】（1）当3a =时，不等式5()7f x -<<，即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ，所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃．（2）(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥，若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥，所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．【典例6-2】已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．【解析】函数()222211y x ax x a a =++=++-的图象为对称轴为x a =-，开口向上的抛物线，当12a -≤时，即12a ≥-时，此时2x =离对称轴更远，所以当2x =时有最大值，最大值为45a +，由已知454a +=，故14a =-，当12a ->时，即12a <-时，此时=1x -离对称轴更远，所以当=1x -时有最大值，最大值为22a -，由已知224a -=，故1a =-，所以14a =-或1a =-.【方法技巧】“动轴定区间”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果得到最终答案.【变式6-1】已知函数()2f x x ax =+，其中a 是实数．(1)()f x 在区间[]1,2-上的最大值记为()M a ，求()M a 的表达式；(2)()f x 在区间[]1,2-上的最小值记为()m a ，求()m a 的表达式；(3)若()()3M a m a -=，求实数a 的值．【解析】（1）()222()24a x a f x x ax =+=+-，对称轴为2a x =-，当122a -≤，即1a ≥-时，()(2)42M a f a ==+，当122a ->，即1a <-时，()(1)1M a f a =-=-，综上，()42,11,1a a M a a a +≥-⎧=⎨-<-⎩.（2）当12a-≤-，即2a ≥时，函数()f x 在区间[]1,2-上单调递增，()(1)1m a f a =-=-，当22a-≥，即4a ≤-时，函数()f x 在区间[]1,2-上单调递减，()(2)42m a f a ==+，当122a -<-<，即42a -<<时，()2()24a a m a f =-=-，综上，()242,4,4241,2a a am a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩.（3）当4a ≤-时，()1M a a =-，()42m a a =+，由()()3M a m a -=，得()1423a a --+=，解得2a =-（舍）；当41a -<<-时，()1M a a =-，()24a m a =-，由()()3M a m a -=，得2134a a -+=，即2480a a --=，解得2a =-2=+a ；当12a -≤<时，()42M a a =+，()24a m a =-，由()()3M a m a -=，得()24234aa ++=，即2840a a ++=，解得4a =--4a =-+当2a ≥时，()42M a a =+，()1m a a =-，由()()3M a m a -=，得()()4213a a +--=，解得0a =（舍），综上，2a =-4-+题型七：二次方程实根的分布及条件【典例7-1】若关于x 的一元二次方程()23180x a x a +-++=有两个不相等的实根12,x x ，且121,1x x <>．则实数a 的取值范围为．【答案】2a <-【解析】令函数2()(31)8f x x a x a =+-++，依题意，()0f x =的两个不等实根12,x x 满足121,1x x <>，而函数()f x 图象开口向上，因此(1)0f <，则21(31)180a a +-⨯++<，解得2a <-，所以实数a 的取值范围为2a <-.故答案为：2a <-【典例7-2】方程()2110mx m x --+=在区间()0,1内有两个不同的根，m 则的取值范围为．【答案】3m >+【解析】令()()211f x mx m x =--+，图象恒过点()0,1，方程()211mx m x --+=0在区间()0,1内有两个不同的根，()()2010********Δ0m m m m m f m m >⎧⎧⎪>-⎪⎪<<⎪⎪∴⇒>⎨⎨⎪⎪>-->⎪⎪⎩>⎪⎩，解得3m >+故答案为：3m >+【方法技巧】结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.【变式7-1】（2024·四川雅安·模拟预测）已知关于x 的方程()20,x bx c b c R ++=∈在[]1,1-上有实数根，且满足033b c ≤+≤，则b 的取值范围是．【答案】[]0,2【解析】问题等价于()()2,g x bx c h x x =+=-在[]1,1-上有公共点．()[]330,3g b c =+∈ ，设(3,0),(3,3)C D ，(3)3g b c =+，点(3,(3))g 在线段CD 上，()y g x ∴=的图象是过线段CD 和抛物线AB 弧上各一点的直线(如图)，其中()()()()1,1,1,1,3,0,3,3A B C D ---．∴[]max min 2;00,2.BD CO b k b k b ====⇒∈故答案为：[0,2]．【变式7-2】关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内；(4)一个根小于2，一个根大于4；(5)两个根都在(0,2)内．【解析】（1）令2()(3)f x x m x m =+-+，设()0f x =的两个根为12,x x .由题得()12122300Δ340x x m x x m m m ⎧+=->⎪⎪=>⎨⎪=--≥⎪⎩，解得01m <≤.（2）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根大于1，一个根小于1，则(1)220f m =-<，解得1m <（3）若方程2(3)0x m x m +-+=一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内，则(2)100(0)0(4)540f m f m f m -=->⎧⎪=<⎨⎪=+>⎩，解得405m -<<（4）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根小于2，一个根大于4，则(2)320(4)540f m f m =-<⎧⎨=+<⎩，解得45<-m （5）若方程2(3)0x m x m +-+=的两个根都在(0,2)内，则()()()22320003022Δ340f m f m m m m ⎧=->⎪=>⎪⎪-⎨<-<⎪⎪=--≥⎪⎩，解得213m <≤题型八：二次函数最大值的最小值问题【典例8-1】已知函数2()f x x ax b =++在区间[0,4]上的最大值为M ，当实数a ，b 变化时，M 最小值为．【答案】2【解析】22()4(4)4[(4)]f x x x a x b x x a x b =-+++=---+-，上述函数可理解为当横坐标相同时，函数2()4g x x x =-，[0x ∈,4]与函数()(4)h x a x b =-+-，[0x ∈,4]图象上点的纵向距离，则M 即为函数2()4g x x x =-与函数()(4)h x a x b =-+-图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，作出函数(),()g x h x图象，如图，由图象可知，当函数()h x 的图象刚好为=2y -时此时4,2a b =-=，M 取得最小值为2.故答案为：2【典例8-2】已知函数(),,f x ax b a b =-∈R ，若对任意的[]00,4x ∈，使得()0f x M ≥，求实数M 的取值范围是．【答案】1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,t x t ==，则()()[]()2,0,2f x g t at t b t ==-+-∈，取三点控制得()()()012g M g M g M ⎧≥⎪≥⎨⎪≥⎩，进而142b M a b M a b M⎧≥⎪-+-≥⎨⎪-+-≥⎩，化简得33444442b Ma b M a b M ⎧≥⎪-+-≥⎨⎪-+-≥⎩，可得8344442M b a b a b ≤+-+-+-+-，即()()83444422M b a b a b ≤+-+---+-=，解得14M ≤．故答案为：1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【方法技巧】解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制.【变式8-1】二次函数()f x 为偶函数，()11f =，且()232f x x x +≤恒成立．(1)求()f x 的解析式；(2)R a ∈，记函数()()21h x f x ax =-+在[]0,1上的最大值为()T a ，求()T a 的最小值．【解析】（1）依题设()2f x ax c =+，由()11f =，得1a c +=，()232f x x x +≤，得()23210a x x a -++-≥恒成立，∴30Δ44(1)(3)0a a a ->⎧⎨=---≤⎩，得()220a -≤，所以2a =，又1a c +=，所以1c =-，∴()221f x x =-；（2）由题意可得：()222h x x ax =-，[]0,1x ∈，若0a ≤，则()222h x x ax =-，则()h x 在[0,1]上单调递增，所以()()122T a h a ==-；若0a >，当12a≥，即2a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，()()122T a h a ==-当12a <，只须比较222a a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()122h a =-的大小，由()22202a a -->，得：21a <<，此时()22a T a =，02a <≤时，2222a a -≤，此时()22T a a =-，综上，()222,2,22222,2a a aT a a a a -≥⎧⎪⎪=<<⎨⎪⎪-<⎩，2a ≥时，()2T a ≥，22a <<时，()62T a -<<，2a ≤时，()6T a -，综上可知：()T a的最小值为6-【变式8-2】已知函数()(2)||(R)f x x x a a =-+∈，(1)当1a =-时，①求函数()f x 单调递增区间；②求函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域；(2)当[3,3]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()g a ，求()g a 的最小值．【解析】（1）当1a =-时，函数()(2)|1|f x x x =--，当1x >时，函数2()(2)(1)32f x x x x x =--=-+，此时，函数()f x 在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，当1x ≤时，函数2()(2)(1)32f x x x x x =--=-+-，此时，函数()f x 在(],1-∞上单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；因为函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，所以函数()f x 在区间[]4,1-上单调递增，在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min 3()min (4),()2f x f f ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，max 7()max (1),()4f x f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为(4)(42)(14)30f -=--+=-，1((2)()43331222f -=-=-，(1)(12)(11)0f =--=，3()(2)()167771444f ==---，所以函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]30,0-；（2）由已知可得，()()()()()()()22222,222,x x a x a x a x a f x x x a x a x a x a ⎧-+=+--≥-⎪=⎨--+=-+-+<-⎪⎩，当3a -≥时，即3a ≤-时，2()(2)2f x x a x a =-+-+，对称轴为2522a x -=≥，当232a-≥时，即4a ≤-时，函数()f x 在区间[3,3]-上单调递增，所以()(3)3g a f a ==--，当52322a -≤<时，即43a -<≤-时，函数()f x 在区间23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间2,32a -⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以242244()()a a g a f a ++=-=，当2a -≤时，即2a ≥-时，若[3,2]x ∈-，()0f x ≤，若[2,3]x ∈，()0f x >，因为当(]2,3x ∈时，2()(2)2f x x a x a =+--，对称轴为222ax -=≤，所以函数()f x 在区间(]2,3上单调递增，所以()(3)3g a f a ==+，当23a <-<，即32a -<<-时，此时25222a -<<，函数()f x 在区间23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间2,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间(],3a -上单调递增，所以()()2244max 3,max 3,24a a a g x f f a ⎧⎫⎧⎫-++⎛⎫==+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭若24434a a a +++≥，即2a -≤<-时，()3g a a =+，若24434a a a +++<，即3a -≤<-时，244()4a a g a ++=，综上所述，23,44(),443,4a a a a g a a a a ⎧+≥-⎪++⎪=-<<-⎨⎪--≤-⎪⎩，函数()3g a a =--在区间(],4-∞-上单调递减，函数244()4a a g a ++=在区间(4,--上单调递减，函数()3g a a =+在区间)⎡-+∞⎣上单调递增，所以min 33()(g a g -=-=-=【变式8-3】（2024·高三·江苏南通·开学考试）记函数()2f x x ax =-在区间[]0,1上的最大值为()g a ，则()g a 的最小值为（）A．3-B1-C ．14D ．1【答案】A【解析】以下只分析函数()2f x x ax =-在[]0,1x ∈上的图象及性质，分类讨论如下：①当0a ≤时，函数()22=f x x ax x ax =--在区间[]0,1上单调递增，即()()11g a f a ==-，此时()g a 单调递减，()()min 01g a g ==；②当01a <≤时，()222,1=,0x ax a x f x x ax ax x x a ⎧-<≤=-⎨-≤<⎩，所以()()2max 1,max 1,24a a g a f f a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫==-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，易知当0222a <≤-时，()2114a a g a a -≥⇒=-，当221a <≤，()22144a a a g a -<⇒=，此时()()()()2min22222212223224g a g ===--=-③当1a >时，()22=f x x ax ax x =--，即()()2max 1,max 1,24a a g a f f a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫==-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，易知当12a <≤时，()22144a a a g a -≤⇒=，当2a <，()2114a a g a a ->⇒=-，此时()()min 114g a g ==；而113224>>-()g a 的最小值为322-.故选：A1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D2．（2023年天津高考数学真题）设0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】D【解析】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选：D3．（2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））函数13y x =的图象是A ．B．C ．D ．【答案】B【解析】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；由特殊点（8，2），11(,)82，可排除C．故选B．1．画出函数y的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.【解析】xyx≥==<y∴=设()f x y==()f x的定义域为R.()()f x f x-===，()y f x∴==.当[0,)x∈+∞时，y=设任意的12,[0,)x x∈+∞，且12x x<，则12y y-= 12,[0,)x x∈+∞，且12,x x≥12120,0,0x x y y>-<∴-<即12y y<. y∴[0,)+∞上为增函数.当(,0]x∈-∞时，y=设任意的12,(,0]x x ∈-∞，且12x x <，则12y y -===12,(,0]x x ∈-∞，且12,0x x <>，21120.0x x y y ->∴->即12y y >.y ∴(,0]-∞上是减函数.2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v ，（单位：3/cm s ）与管道半径r （单位：cm ）的四次方成正比.（1）写出气体流量速率v ，关于管道半径r 的函数解析式；（2）若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为3400/cm s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率（精确到31/cm s ）.【解析】（1）设比例系数为k ，气体的流量速率v 关于管道半径r 的函数解析式为4v kr =.（2）将3r =与400v =代入4v kr =中，有44003k =⨯.解得40081k =，所以，气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式为440081v r =.（3）当=5r 时，43400250000530868181/s v cm =⨯=≈.所以，当气体81通过的管道半径为5cm 时，该气体的流量速率约为33086/cm s .3．试用描点法画出函数2()f x x -=的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.【解析】21()f x x =.列表：x…-3-2-1123…()f x …1914111419…描点，连线.图象如图所示.定义域：{|0}x x ≠，值域：{|0}y y >.2()f x x -=在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数.证明如下：设任意的12,(,0)x x ∈-∞，且12x x <.则()()()()222121211222222212121211x x x x x x f x f x x x x x x x +---=-==.22121212210,0,0,0x x x x x x x x <<∴+<>-> .。
备考2020年高考数学一轮复习：07 二次函数与幂函数
备考2020年高考数学一轮复习：07 二次函数与幂函数一、单选题(共15题；共30分)1．（2分）已知f(x)=ax2+x−a(−1≤x≤1)且|a|≤1,则|f(x)|的最大值为()A．54B．34C．3D．12．（2分）已知a∈{−1,2,12,3,13}，若f(x)=x a为奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，则实数a的值是()A．−1,3B．13,3C．−1,13,3D．13,12,33．（2分）设a,b是关于x的一元二次方程x2−2mx+m+6=0的两个实根，则(a−1)2+ (b−1)2的最小值是（）A．−494B．18C．8D．-64．（2分）若幂函数f(x)的图象过点(2,√2)，则函数y=f(x)+1−x的最大值为（）A．1B．54C．2D．735．（2分）已知幂函数y=f(x)的图象过点(12,√22)，则log4f(2)的值为（）A．B．C．D．6．（2分）下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④7．（2分）若函数f(x)=x2+(2a−1)x+1在区间(−∞,2]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．B．C．D．8．（2分）已知幂函数f(x)=xα(α∈R)的图象过点(16,2)，若f(m)=3，则实数m的值为()A．9B．12C．27D．819．（2分）已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b∈R,c∈R)，M,N分别是函数f(x)在区间[−1,1]上的最大值和最小值，则M−N的最小值（）A．B．C．D．10．（2分）已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或211．（2分）若(a+1)−12<(3−2a)−12，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．（2分）已知函数f(x)=(x−a)(x−b)（其中a>b）的图象如图所示，则函数g(x)=a x+b的图象大致是()A．B．.C．D．13．（2分）幂函数的图象过点(2,8), 则它的单调递增区间是（）A．(0,+∞)B．[0,+∞)C．(−∞,0)D．(−∞,+∞) 14．（2分）设a=1.212，b=0.912，c=1.112它们的大小关系是（）A．c<a<b B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a15．（2分）已知函数f(x)=(m2−m−1)x m2−4m+3是幂函数，且其图像与y轴没有交点，则实数m=（）A．或B．C．D．二、填空题(共5题；共6分)16．（1分）已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√22)，则此函数的解析式为．17．（1分）若函数f(x)=x2−x+1+alnx在(0,+∞)上单调递增，则实数a的最小值是．18．（1分）已知幂函数y=x m2−9( m∈N∗)的图象关于y轴对称,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则m=.19．（1分）设α∈{13,12,−1,−2,3}，若f(x)=xα为偶函数，则α=．20．（2分）已知二次函数f(x)=x2+mx−3的两个零点为1和n，则n=；若f(a)≤f(3)，则a的取值范围是．三、解答题(共5题；共55分)21．（10分）已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设f(x)=g(x)x.（1）（5分）求a,b的值；（2）（5分）若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在区间[−1,1]上恒成立，求实数k的取值范围. 22．（10分）函数f(x)=kx+b，(k≠0)，x∈R（1）（5分）若f(−1)=1，f(1)=5，求f(x).（2）（5分）若b=3，且函数f(x)在区间[−1，3]上的最大值为6，求k的值. 23．（10分）已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1，f(x+1)−f(x)=2x.（1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）求f(x)在区间[−1，1]上的最值.24．（10分）如图，ABCD是块边长为100 m的正方形地皮，其中扇形AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧ST⃗⃗⃗⃗⃗上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上。
2020年高考数学一轮复习考点07二次函数与幂函数必刷题(含解析)
考点07 二次函数与幂函数1、如果方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m 的取值范围是____．【答案】(－∞，－3)【解析】设f(x)＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －1）2－4（4－2m ）>0，f （2）＝4＋2（2m －1）＋4－2m<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m<－52或m>32，m<－3，所以m<－3，故实数m 的取值范围是(－∞，－3)．2、 若幂函数y ＝mx n (m ，n ∈R)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫8，14，则n ＝___． 【答案】－23【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，8n ＝14， 解得n ＝－23，故n 的值为－23. 3、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1，2a]上的偶函数，则a ，b 的值为____．【答案】13，0 【解析】由题意得，f(－x)＝f(x)，即ax 2－bx ＋3a ＋b ＝ax 2＋bx ＋3a ＋b ，即2bx ＝0对任意x 恒成立，所以b ＝0.又因为a －1＝－2a ，解得a ＝13，所以a ，b 的值分别为13，0. 4、函数y ＝－x 2＋2||x ＋3的单调减区间是____． 【答案】[－1，0]和[1，＋∞)【解析】令f(x)＝－x 2＋2|x|＋3，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x≥0，－x 2－2x ＋3， x<0， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4，x≥0，－（x ＋1）2＋4， x<0， 所以当x≥0时，函数f(x)的减区间为(1，＋∞)；当x<0时，函数f(x)的减区间为(－1，0)，故单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞)．5、若函数f(x)＝x 2－2x ＋1在区间[]a ，a ＋2上的最大值为4，则a 的值为____．【答案】－1或1【解析】由题意得，f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴为直线x ＝1.当a≥0时，f(a ＋2)＝4，即(a ＋2)2－2(a ＋2)＋1＝4，解得a ＝1或a ＝－3(舍去)；当a<0时，f(a)＝4，即a 2－2a ＋1＝4，解得a ＝－1或a ＝3(舍去)．综上，a 的值为1或－1.6、 若不等式x 4＋2x 2＋a 2－a －2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是___.【答案】(－∞，－1]∪[2，＋∞)【解析】由题意得x 4＋2x 2＋a 2－a －2≥0，即(x 2＋1)2≥－a 2＋a ＋3，所以－a 2＋a ＋3≤1，解得a≥2或a≤－1，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．7、设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，2，3，则使函数y ＝x α为奇函数且定义域为R 的所有α的值为____． 【答案】1，3【解析】当α＝－1时，y ＝x －1＝1x ，此时函数的定义域为{x |x ≠0}，不符合题意；当α＝12时，y ＝x 12＝x ，此时函数的定义域为[0，＋∞)，不符合题意；当α＝1时，y ＝x ，此时函数的定义域为R ，且是奇函数，符合题意；当α＝2时，y ＝x 2，此时函数的定义域为R ，是偶函数，不符合题意；当α＝3时，y ＝x 3，此时函数的定义域为R ，且为奇函数，符合题意，综上α的值为1和3.8、求函数f(x)＝x 2－2ax ＋2(x ∈[2，4])的最小值．【答案】f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ， a<2，2－a 2， 2≤a≤4，18－8a ， a>4.【解析】f(x)图象的对称轴是直线x ＝a ，可分以下三种情况：①当a ＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min ＝f(2)＝6－4a ；②当2≤a≤4时，f(x)min ＝f(a)＝2－a 2；③当a ＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min ＝f(4)＝18－8a.综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ， a<2，2－a 2， 2≤a≤4，18－8a ， a>4.9、已知函数f(x)＝x 2－2x ＋2(x ∈[t ，t ＋1])的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．【答案】g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1， t<0，1， 0≤t≤1，t 2－2t ＋2， t>1.【解析】由题意得，f(x)＝(x －1)2＋1.①当t ＋1<1，即t<0时，g(t)＝f(t ＋1)＝t 2＋1;②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝f(1)＝1;③当t>1时，g(t)＝f(t)＝t 2－2t ＋2.综上所述，g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1， t<0，1， 0≤t≤1，t 2－2t ＋2， t>1.10、若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g(x)的图象上，定义 h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g（x ），g （x ）， f （x ）>g （x ）.试求函数h(x)的最大值以及单调区间． 【答案】1 单调增区间为(－∞，－1)和(0，1)；单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞).【解析】求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的图象同例1，如例1图所示，则有h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x<－1或x>1，x 2， －1≤x≤1且x≠0. 根据图象可知函数h(x)的最大值为1，单调增区间为(－∞，－1)和(0，1)；单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞).11、已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14. (1) 求函数f(x)，g(x)的解析式；(2) 求当x 为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．【答案】(1) g(x)＝x －2(2) ①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x ＝1或x ＝－1时，f(x)＝g(x)； ③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．【解析】(1) 设f(x)＝x α，因为图象过点(2，2)，故2＝(2)α，解得α＝2，所以f(x)＝x 2. 设g(x)＝x β，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14， 所以14＝2β，解得β＝－2，所以g(x)＝x －2.(2) 在同一平面直角坐标系下作出f(x)＝x 2与g(x)＝x－2的图象，如图所示. 由图象可知，函数f(x)，g(x)的图象均过点(－1，1)和(1，1)，所以①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x ＝1或x ＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．12、已知函数f(x)＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m 3的a 的取值范围． 【答案】{a |a <－1或23<a <32} 【解析】因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.因为m ∈N *，所以m ＝1或m ＝2.又函数的图象关于y 轴对称，所以m 2－2m －3是偶数，当m ＝2时，22－2×2－3＝－3为奇数，当m ＝1时，12－2×1－3＝－4为偶数，所以m ＝1.又y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， 所以(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ， 解得a <－1或23<a <32. 故a 的取值范围为{a |a <－1或23<a <32}． 13、已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R)的图象过点(0，－3)，且f (x )>0的解集为(1，3)．(1) 若函数f (x )＝f (x )－mx 在区间(0，1)上单调递增，求实数m 的取值范围； (2) 求函数G (x )＝f (sin x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最值．【答案】(1) (－∞，2] (2) 最大值为0，最小值为－3【解析】(1) 因为f (x )>0的解集为(1，3)，所以二次函数与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，所以可设f (x )＝a (x －1)(x －3)．又因为函数图象过点(0，－3)，代入f (x )得3a ＝－3，解得a ＝－1，所以f (x )＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3，所以f (x )＝－x 2＋4x －3－mx ＝－x 2＋(4－m )x －3.因为函数f (x )在区间(0，1)上单调递增，所以－4－m 2×（－1）≥1，解得m ≤2， 故实数m 的取值范围是(－∞，2]．(2) 由题意得，G (x )＝－sin 2x ＋4sin x －3＝－(sin x －2)2＋1. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ∈[0，1]， 所以当sin x ＝0时，G (x )min ＝－3；当sin x ＝1时，G (x )max ＝0，故函数G (x )的最大值为0，最小值为－3.14、已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)．(1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2) 若该函数经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 【答案】(1) [0，＋∞) 增函数 (2) ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 【解析】(1) 因为m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，且m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m (m ＋1)为偶数． 所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2) 因为函数f (x )经过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1， 所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又因为m ∈N *，所以m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32， 所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.15、已知a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |.(1) 当a ＝2时，写出函数y ＝f (x )的单调增区间；(2) 当a >2时，求函数y ＝f (x )在区间[1，2]上的最小值；(3) 设a ≠0，函数y ＝f (x )在区间(m ，n )上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围(用a 表示)．【答案】(1) (－∞，1]，[2，＋∞) (2) f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －4，2<a ≤3，a －1， a >3.(3) 2＋12a ≤m <a ，a 2<n ≤0. 【解析】(1) 当a ＝2时，f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2），x ≥2，x （2－x ）， x <2. 由图象可知，y ＝f (x )的单调增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)．(2) 因为a >2，x ∈[1，2]，所以f (x )＝x (a －x )＝－x 2＋ax ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24. 当1<a 2≤32，即2<a ≤3时，f (x )min ＝f (2)＝2a －4；当a 2>32，即a >3时，f (x )min ＝f (1)＝a －1， 所以f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －4，2<a ≤3，a －1， a >3. (3) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥a ，x （a －x ），x <a . ①当a >0时，图象如图1所示.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a 24，y ＝x （x －a ），得x ＝1＋22a ， 所以0≤m <a 2，a <n ≤ 2＋12a . ②当a <0时，图象如图2所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－a 24，y ＝x （a －x ），得x ＝1＋22a ， 所以2＋12a ≤m <a ，a 2<n ≤0.图1图2 16、已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z)满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q ，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由． 【答案】 (1) f (x )＝x 2(2) 2【解析】 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q 满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q)处取得． ①当q >0时，而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q－(2－3q )＝q －24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178， g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.②当q <0时，g (x )max ＝g (－1)＝2－3q ＝178， g (x )min ＝4q 2＋14q ＝－4， q 不存在．综上所述，存在q ＝2满足题意．17、设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c <b <1)， f (1)＝0，方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3<c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负并加以证明．【答案】(1) 见解析 (2)见解析解析：(1)证明：f (1)＝0⇒1＋2b ＋c ＝0⇒b ＝－c ＋12. 又c <b <1，故c <－c ＋12<1⇒－3<c <－13. 方程f (x )＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，故Δ＝4b 2－4(c ＋1)≥0，即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1.又c <b <1，得－3<c ≤－1，由b ＝－c ＋12知b ≥0. (2)f (x )＝x 2＋2bx ＋c ＝x 2－(c ＋1)x ＋c ＝(x －c )(x －1)，f (m )＝－1<0，∴c <m <1，∴c －4<m －4<－3<c ，∴f (m －4)＝(m －4－c )(m －4－1)>0，∴f (m －4)的符号为正．18、设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值．【答案】(1) M ＝10 m ＝1 (2) 314【解析】(1)由f (0)＝2可知c ＝2，又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两实根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝1－b a 2＝c a ，解得a ＝1，b ＝－2. ∴f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]． 当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1；当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝1－b a 1＝c a，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1－2a c ＝a . ∴f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a， 又a ≥1，故1－12a ∈[12，1)， ∴M ＝f (－2)＝9a －2，m ＝f (2a －12a )＝1－14a. g (a )＝M ＋m ＝9a －14a－1. 又g (a )在区间[1，＋∞)上是单调递增的，∴当a ＝1时，g (a )min ＝314.。
19版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标7二次函数与幂函数理
课时达标 第7讲[解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成立问题以及二次方程的根的分布问题，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在中间靠前的位置，难度中等．一、选择题1．(2018·河南南阳模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x a的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋a ＝( C )A ．12 B ．1 C ．32D ．2解析 因为f (x )＝k ·x a是幂函数，所以k ＝1．又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22，所以a ＝12，所以k ＋a ＝1＋12＝32. 2．(2018·天津模拟)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在第一象限与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，则a ，b ，c 的符号为( B )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0解析 由题意知，抛物线开口向下，故a <0.由抛物线与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，得ac <0，所以c >0.再由顶点在第一象限得－b2a>0，所以b >0.3．对任意的x ∈[－2,1]，不等式x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，3] C ．[0，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 设f (x )＝x 2＋2x －a (x ∈[－2,1])，由二次函数的图象知，当x ＝1时，f (x )取得最大值3－a ，所以3－a ≤0，解得a ≥3，故选D ．4．对于幂函数f (x )＝x 45 ，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22和fx 1＋f x 22的大小关系是( B )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f x 1＋f x 22 D ．无法确定解析 根据幂函数的性质：当0<x <1时，图象是向上凸的，且通过点(0,0)，(1,1)，可知B 项正确．5．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则( C ) A ．f (m ＋1)≥0 B ．f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)>0D ．f (m ＋1)<0解析 因为f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示．由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0，所以f (m ＋1)>f (0)>0，故选C ．6．(2017·山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( B )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象． 分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m >1时，0<1m<1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)． 故选B ． 二、填空题7．已知函数f (x )＝x 34 ，且f (2x －1)<f (3x )，则x 的取值范围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ .解析 f (x )＝x 34 在定义域[0，＋∞)上是递增的， 由f (2x －1)<f (3x )，得0≤2x －1<3x ，所以x ≥12.8．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为 f (x )＝12(x －2)2－1 . 解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1，又其图象过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12，∴f (x )＝12(x －2)2－1．9．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是__[－5，－2]__.解析 由题意得函数f (x )在[－2,2]上的值域A 为函数g (x )在[－2,2]上的值域B 的子集，又当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1∈(0,3]，所以当x ∈[－2,0)时，f (x )∈[－3,0)，而f (0)＝0，因此A ＝[－3,3]．由二次函数性质知B ＝[m －1,8＋m ]，从而⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤－3，8＋m ≥3，解得－5≤m ≤－2.三、解答题10．已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．解析 ∵二次函数图象的对称轴为x ＝－2， ∴可设所求函数的解析式为f (x )＝a (x ＋2)2＋b . ∵二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4， ∴f (x )过点(－2＋2,0)和(－2－2,0)． 又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0，2a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴f (x )＝12(x ＋2)2－2.11．(2018·山东德州月考)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解析 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝5，f ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．12．(2018·河北唐山调研)设a 为实数，函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，x ∈R .求f (x )的最小值．解析 (1)①当x ≤a 时，函数f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋a ＋34.若a ≤12，则函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1；若a >12，则函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34＋a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (a )． ②当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－a ＋34.若a ≤－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34－a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤f (a )；若a >－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1．综上，f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧34－a ，a ≤－12，a 2＋1，－12<a ≤12，a ＋34，a >12.。
2020高考数学一轮复习课时分层训练7二次函数与幂函数理北师大版-精装版
教学资料范本2020高考数学一轮复习课时分层训练7二次函数与幂函数理北师大版-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习课时分层训练7二次函数与幂函数理北师大版A组基础达标一、选择题1．函数y＝的图像大致是( )C [y＝＝x)，其定义域为R，排除A，B，又0＜＜1，图像在第一象限为上凸的，排除D，故选C.]2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为( )【导学号：79140039】A．－3 B．13C．7 D．5B [函数f(x)＝2x2－mx＋3图像的对称轴为直线x＝，由函数f(x)的增减区间可知＝－2，∴m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，∴f(1)＝2＋8＋3＝13.]3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，则( )A．a＞0,4a＋b＝0 B．a＜0,4a＋b＝0C．a＞0,2a＋b＝0 D．a＜0,2a＋b＝0A [因为f(0)＝f(4)＞f(1)，所以函数图像应开口向上，即a＞0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0.]4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图像可能是( )D [由a＋b＋c＝0，a＞b＞c知a＞0，c＜0，则＜0，∴函数图像与x轴交点的横坐标之积为负数，即两个交点分别位于x轴的正半轴和负半轴，故排除B，C.又f(0)＝c＜0，∴也排除A.]5．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A．－1 B．1C．2 D．－2B [∵函数f(x)＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得．∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，∴或解得a＝1.]二、填空题6．已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图像上，点在幂函数y＝g(x)的图像上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.【导学号：79140040】±1[由题意，设f(x)＝xα，则2＝()α，得α＝2.设g(x)＝xβ，则＝(－)β，得β＝－2.由f(x)＝g(x)，得x2＝x－2，解得x＝±1.]7．已知二次函数y＝x2＋2kx＋3－2k，则其图像的顶点位置最高时对应的解析式为________．y＝x2－2x＋5 [y＝x2＋2kx＋3－2k＝(x＋k)2－k2－2k＋3，所以图像的顶点坐标为(－k，－k2－2k＋3)．因为－k2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4，所以当k＝－1时，顶点位置最高．此时抛物线的解析式为y＝x2－2x＋5.]8．已知函数y ＝f(x)是偶函数，当x ＞0时，f(x)＝(x －1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________． 1 [当x ＜0时，－x ＞0，f(x)＝f(－x)＝(x ＋1)2.∵x∈，∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max ＝f(－2)＝1，∴m≥1，n≤0，m －n≥1，∴m－n 的最小值是1.]三、解答题9．已知幂函数f(x)＝x (m∈N＋)经过点(2，)，试确定m 的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a －1)的实数a 的取值范围.【导学号：79140041】[解] 幂函数f(x)经过点(2，)，∴＝2，即2)＝2，∴m2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又∵m∈N＋，∴m＝1.∴f(x)＝x)，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f(2－a)＞f(a －1)，得⎩⎨⎧ 2－a≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a＜.∴a 的取值范围为.10．已知函数f(x)＝x2＋(2a －1)x －3. (1)当a ＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f(x)＝x2＋3x －3，x∈[－2,3]，对称轴x ＝－∈[－2,3]，∴f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，∴值域为.(2)对称轴为x＝－.①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－满足题意；②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．综上可知a＝－或－1.B组能力提升11．(20xx·江西九江一中期中)函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，ab＜0，则f(a)＋f(b)的值( )A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断A [∵f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意，∴f(x)＝x2 015.∴幂函数f(x)＝x2 015是定义域R上的奇函数，且是增函数．又∵a，b∈R，且a＋b＞0，∴a＞－b，又ab＜0，不妨设b＜0，则a＞－b＞0，∴f(a)＞f(－b)＞0，又f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＞－f(b)，∴f(a)＋f(b)＞0.故选A.]12．(20xx·福州质检)已知函数f(x)＝x2－πx，α，β，γ∈(0，π)，且sin α＝，tan β＝，cos γ＝－，则( )A．f(α)＞f(β)＞f(γ)B．f(α)＞f(γ)＞f(β)C．f(β)＞f(α)＞f(γ)D．f(β)＞f(γ)＞f(α)A [因为函数f(x)＝x2－πx是二次函数，对称轴为x＝，开口向上，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增；又α，β，γ∈(0，π)，则sin α＝＜sin β＝＜sin γ＝，所以＞＞，则f(α)＞f(β)＞f(γ)，故选A.]13．已知函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，那么f(2)的取值范围是________.【导学号：79140042】[7，＋∞)[函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴为x＝或与直线x＝重合或位于直线x＝的左侧，即应有≤，解得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.]14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围．[解] (1)由题意知⎩⎨⎧ －b 2a ＝－1，f(－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝2.所以f(x)＝x2＋2x ＋1，由f(x)＝(x ＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g(x)＝x2＋x ＋1，x∈[－3，－1]，由g(x)＝2＋知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min ＝g(－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1)．。
高考数学大一轮复习 二次函数与幂函数精品试题 理(含模拟试题)
高考数学大一轮复习二次函数与幂函数精品试题理（含模拟试题）1. (2014周宁、政和一中第四次联考，6) 已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）A. 3B. 2C. 1D.[解析] 1. ，顶点坐标为，，又成等比数列，.2.(2013重庆市高三九校一月联合诊断考试，7,5分)下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A．①②③④B．①②③④C．①②③④D．①②③④[解析] 2.①中图象是上升的，且关于原点对称，所以该幂函数在定义域上是增函数，且是奇函数，在区间内的幂函数图象在直线的上方，所以大致对应函数；②中图象关于轴对称，是偶函数，所以大致对应函数；③中图象仅在第一象限，所以该幂函数的定义域是，所以大致对应函数；④中图象关于原点对称，并且与没有交点，所以该幂函数是奇函数，且定义域是，所以大致对应函数，故选B.3.(2013北京西城区高三三月模拟，7,5分) 已知函数，其中．若对于任意的，都有，则的取值范围是( )（A）（B）（C）（D）[解析] 3. , 由，得，即. 当，即时，函数在上单调递增，所以. 此式恒成立. 故；当，即时，函数在上的最小值为，所以，解得. 所以；综上，.4.(2013湖南长沙市高三三月模拟，8,5分) 使得函数的值域为的实数对有( ) 对.A．1 B．2 C．3 D．无数[解析] 4.，要使的值域为，①若不处于一个单调区间上，由于，所以. 令，得，解得. 故. 所以实数对满足题意；②若处于一个单调区间上，由于不是处于一个单调区间上，所以只有满足的实数对才满足要求. 由得，即，此方程是四次方程，最多有4个实数解，（i）显然满足的实数解一定满足；（ii）由于故. 故4个实数解都求出，没有其他解了. 所以处于同一个单调区间上的实数对只有满足题意；综上，实数对有，共2对.5.(2013年辽宁省五校协作体高三第二次模拟考试，10,5分) 已知函数的两个零点分别在区间和区间内，则实数的取值范围是（）A．B．C． D．[解析] 5.由零点原理可知，即解得.6.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，6,5分）在区间内任取两个数，则使方程的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率为( ) A. B. C. D.[解析] 6.要使方程的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率，需满足，设，故需满足即两个数的整个取值空间表示的可行域如下图黑色与红色部分所示的正方形，在整个取值空间内，不等式组表示的可行域如下图黑色阴影部分所示，故由几何概型得，所求概率为.7.（2013重庆，6,5分）若a< b< c, 则函数f(x) =(x-a) (x-b) +(x-b) (x-c) +(x-c) (x-a) 的两个零点分别位于区间( )A. (a, b) 和(b, c) 内B. (-∞, a) 和(a, b) 内C. (b, c) 和(c, +∞) 内D. (-∞, a) 和(c, +∞) 内[解析] 7.易知f(a) =(a-b) (a-c), f(b) =(b-c) (b-a),f(c) =(c-a) (c-b). 又a< b< c, 则f(a) > 0, f(b) < 0, f(c) > 0, 又该函数是二次函数, 且开口向上, 可知两根分别在(a, b) 和(b, c) 内, 选A.8.（2013重庆，3,5分）(-6≤a≤3) 的最大值为( )A. 9B.C. 3D.[解析] 8.易知函数y=(3-a) (a+6) 的两个零点是3, -6, 对称轴为a=-, y=(3-a) (a+6) 的最大值为y==, 则的最大值为, 选B.9.（2013广东，2,5分）定义域为R的四个函数y=x3, y=2x, y=x2+1, y=2sin x中, 奇函数的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 1[解析] 9.函数y=x3, y=2sin x为奇函数, y=2x为非奇非偶函数, y=x2+1为偶函数, 故奇函数的个数是2, 故选C.10.（2013江西，9,5分）过点(, 0) 引直线l与曲线y=相交于A, B两点, O为坐标原点, 当△AOB的面积取最大值时, 直线l的斜率等于( )A. B. - C. ± D. -[解析] 10.如图, 设直线AB的方程为x=my+(显然m< 0), A(x1, y1), B(x2, y2), P(, 0), 联立消去x得(1+m2) y2+2my+1=0, 由题意得Δ=8m2-4(1+m2) > 0, 所以m2> 1,由根与系数的关系得y1+y2=-, y1·y2=,∴S△AOB=S△POB-S△POA=·|OP|·|y2-y1|=·=·.令t=1+m2(t> 2),∴S△AOB=·=·,∴当=, 即t=4, m=-时, △AOB的面积取得最大值, 此时, 直线l的斜率为-, 故选B.11.（2013山东，12,5分）设正实数x, y, z满足x2-3xy+4y2-z=0. 则当取得最大值时, +-的最大值为( )A. 0B. 1C.D. 3[解析] 11.由x2-3xy+4y2-z=0, 得z=x2-3xy+4y2,∴==.又x、y、z为正实数, ∴+≥4,当且仅当x=2y时取等号, 此时z=2y2.∴+-=+-=-+=-+1, 当=1, 即y=1时, 上式有最大值1, 故选B.12.（2013辽宁，11,5分）已知函数f(x) =x2-2(a+2) x+a2, g(x) =-x2+2(a-2) x-a2+8. 设H1(x) =max{f(x), g(x) }, H2(x) =min{f(x), g(x) }(max{p, q}表示p, q中的较大值, min{p, q}表示p, q中的较小值). 记H1(x) 的最小值为A, H2(x) 的最大值为B, 则A-B=( )A. 16B. -16C. a2-2a-16D. a2+2a-16[解析] 12.令f(x) =g(x), 即x2-2(a+2) x+a2=-x2+2(a-2) x-a2+8, 即x2-2ax+a2-4=0, 解得x=a+2或x=a-2.f(x) 与g(x) 的图象如图.由题意知H1(x) 的最小值是f(a+2),H2(x) 的最大值为g(a-2), 故A-B=f(a+2) -g(a-2)=(a+2) 2-2(a+2) 2+a2+(a-2) 2-2(a-2) (a-2) +a2-8=-16.13. (2014安徽合肥高三第二次质量检测，14) 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________.[解析] 13.令，当时，不等式的解集为，则14. (2014北京东城高三第二学期教学检测，14) 设，若时均有，则______________.[解析] 14. 当时，显然不成立，所以。
山东省数学高考一轮复习 第七讲 二次函数与幂函数
山东省数学高考一轮复习第七讲二次函数与幂函数姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共14题；共28分)1. （2分） (2016高一上·饶阳期中) 已知幂函数f（x）满足f（）=9，则f（x）的图象所分布的象限是（）A . 只在第一象限B . 第一、三象限C . 第一、四象限D . 第一、二象限2. （2分） (2019高一上·淄博期中) 已知，，，则（）A .B .C .D .3. （2分）(2019·浙江) 函数f(x)=loga(4-x)(a>0，且a≠1)的定义域是（）A . (0，4)B . （4，+∞）C . （-∞，4）D . （-∞，4）∪（4，+∞）4. （2分） (2018高一上·宝坻月考) 函数在区间上递减，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二下·中山月考) 若存在使不等式成立，则实数的范围为（）A .B .C .D .6. （2分）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1 ， x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，那么二次函数ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一上·济南期中) 若在上是减函数，则的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·海口月考) 已知，是一元二次方程的两个实根，则的值为（）A . 3B .C .D . -39. （2分） (2016高二下·咸阳期末) 若第一象限内的点，落在经过点且具有方向向量的直线上，则有（）A . 最大值B . 最大值1C . 最小值D . 最小值110. （2分） (2017高二下·宜春期末) 二次函数y=f（x）满足f（x+3）=f（3﹣x），x∈R且f（x）=0有两个实根x1 ， x2 ，则x1+x2=（）A . 6B . ﹣6C . .3D . ﹣311. （2分） (2016高一上·平罗期中) 函数y=x2﹣2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为（）A . {y|﹣1≤y≤3}B . {y|0≤y≤3}C . {0，1，2，3}D . {﹣1，0，3}12. （2分）(2019·滨海新模拟) 已知函数，且，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .13. （2分）已知二次函数f（x）=x2﹣ax+4，若f（x+1）是偶函数，则实数a的值为（）A . ﹣1B . 1C . ﹣2D . 214. （2分）函数y="f(x)" 的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在（）A . 第I象限B . 第II象限C . 第Ⅲ象限D . 第IV象限二、填空题 (共3题；共3分)15. （1分） (2019高一上·汉中期中) ，则f（f（2））的值为________．16. （1分）分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是________17. （1分） (2015高一下·嘉兴开学考) 幂函数y=xa的图象经过点（2，），则该函数的单调递减区间是________．三、解答题 (共3题；共35分)18. （15分） (2016高一上·清河期中) 已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1﹣x2 ．（1）求函数f（x）的解析式；（2）作出函数f（x）的图象．（3）若函数f（x）在区间[a，a+1]上单调，直接写出实数a的取值范围．（不必写出演算过程）19. （10分） (2020高一上·南开期末) 已知二次函数，，的最小值为．（1）求函数的解析式；（2）设 .（i）若在上是减函数，求实数的取值范围；（ii）若在内恰有一个零点，求实数的取值范围．20. （10分） (2016高一上·汉中期中) 二次函数f（x）的图象与x轴交于（﹣2，0），（4，0）两点，且顶点为（1，﹣）．（1）求f（x）的函数解析式；（2）指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分析函数的单调性，求函数的最大值或最小值．参考答案一、单选题 (共14题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共3题；共35分)18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。
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课时限时检测(七) 二次函数与幂函数
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
A．①y＝x13，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x12，④y＝x－1
D．①y＝x13，②y＝x12，③y＝x2，④y＝x－1
【答案】 B
2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2.则m的取值范围是
( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．[1,2] D．(－∞，2]
【答案】 C
3．设a＝0.512，b＝0.914，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞c＞b B．c＞a＞b
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
【答案】 D
4．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
【答案】 D
5．若关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是( )
A．(2,3) B．[2,3]
C．(1,5) D．[1,5]
【答案】 C
6．对于任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，那么x的取
值范围是( )
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(3，＋∞)
【答案】 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若f(x)是幂函数，且满足f4f2＝3，则f12＝______.
【答案】 13
8．若二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(a)≤f(0)＜f(1)，则实数a的取值
范围是________．
【答案】 (－∞，0]∪[4，＋∞)
9．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)，B(4,0)且函数的最大值为
9，则这个二次函数的表达式是________．
【答案】 y＝－x2＋2x＋8
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3，
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域．
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
【解】 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴x＝－32∈[－2,3]，
∴f(x)min＝f－32＝94－92－3＝－214，
f(x)max＝f
(3)＝15，∴值域为－214，15.
(2)对称轴为x＝－2a－12.
①当－2a－12≤1，即a≥－12时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－13满足题意；
②当－2a－12＞1，即a＜－12时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a
－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．
综上可知a＝－13或－1.
11．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．
【解】 (1)由题意有f(－1)＝a－b＋1＝0，
且－b2a＝－1，∴a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，
单调增区间为[－1，＋∞)．
(2)f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，
转化为x2＋x＋1＞k在[－3，－1]上恒成立．
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)
＝1.
∴k＜1，即k的取值范围为(－∞，1)．
12．(13分)已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)．
(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b，c的值；
(2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－
3，－2)，(0,1)内，求实数b的取值范围．
【解】 (1)x1，x2是方程f(x)＝0的两个根．
由韦达定理，得 x1＋x2＝－2b，x1x2＝c.
即 －2b＝0，c＝－1.
∴b＝0，c＝－1.
(2)由题知，f(1)＝1＋2b＋c＝0，∴c＝－1－2b.
记g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c
＝x2＋(2b＋1)x－b－1，
则 g－3＝5－7b＞0，g－2＝1－5b＜0，g0＝－1－b＜0，g1＝b＋1＞0⇒15＜b＜57，
即b的取值范围为15，57.