《基本不等式2》课件
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2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
基本不等式(二) 课件(人教A版必修五)
积最大．
(2)由条件知 S＝xy＝24，设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋
6y，由 xy＝24，得 x＝2y4，
∴l＝4x＋6y＝9y6＋6y＝61y6＋y≥6×2 1y6·y＝48.当
且仅当1y6＝y，即 y＝4 时等号成立，此时 x＝6.
故每间虎笼长为 6 m、宽为 4 m 时，可使钢筋网总长最
＜
lognn 2
2
2
＝1.
链 接
∴当 n＞2 时，logn(n－1)logn(n＋1)＜1.
题型2 利用基本不等式与题设条件求最值问题
例2 若 x，y∈R＋，且 2x＋y＝1，求1x＋1y的最小
值．
栏
目
链
接
解析：1x＋1y＝2xx＋y＋2x＋y y
＝3＋xy＋2yx≥3＋2 2，
等号成立的条件是：xy＝2yx， 2x＋y＝1，
目 链 接
当且仅当y－9 9＝y－9，即 y＝12，x＝4 时，x＋y
取得最小值 16.
题型3 利用基本不等式求解应用题 例3
栏
目
如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四
链 接
间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽
各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24.
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，
栏
当且仅当 2x＝3y 时等号成立．
目 链
由2x＝3y， 解得x＝6，
xy＝24，
y＝4.
接
故每间虎笼长为 6 m、宽为 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
解法二：(1)设每间虎笼长为 x m、宽为 y m，则由条件
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
人教A版必修第一册2.2基本不等式课件
3.已知 x 0 ， y 0 ，且 2x y 1 ，则 xy 的最大值是( )
1
1
A.
B.4
C.
D.8
4
8
解析：由题意得，
xy
1 2
2xy
1 2
2x 2
y
2
1 2
1 2
2
1 8
，
当且仅当 2x y ，即 x 1 ， y 1 时等号成立，所以 xy 的最大值是 1 .故选 C.
由题意可得 s
y
1 2
x2
300x 80000
x
80000
300
，其中300
x 600 .
x
x
2x
由基本不等式可得 x 80000 300 2 x 80000 300 400 300 100 ，
2x
2x
当且仅当
x 2
80000 x
，即
x
400
时，每吨的平均处理成本最低.故选
B.
y
0
，x 2y
4
，则 (x 1)(2 y 1) xy
的最小值为___2_____.
解析：由 x 0 ， y 0 ，得 x 2 y 4 2 2xy ，所以 xy 2 ，当且仅当 x 2y ，
即
x
2
，
y
1
时，等号成立，所以
(x
1)(2 xy
y
1)
2 xy
x xy
2y
1
2xy 5 xy
例 1 已知 x 0 ，求 x 1 的最小值. x
分析：求
x
1 x
的最小值，就是要求一个
y0 (
x0
1 x0
基本不等式2 人教课标版精品课件
xy
xy
16(当且仅当 y 9x 取" ")
xy
16
P91例2 已知函数f ( x) x 16 ( x 2), x2
求此函数的最小值.
略解: x 2, x 2 0,由基本不等式
得 x 16 ( x 2) 16 2
x2
x2
2 ( x 2) 16 2 6 x2
48
19
定理
均值定理
如果两个正数的乘积是定值, 那么当且仅当这两个正数相 等时，两数的和取得最小值. 若x、y 0, xy P(定值),则当
x y时，和x y有最小值2 P.
如果两个正数的和是定值,那 么当且仅当这两个正数相等 时，两数的乘积取得最大值.
若x、y 0, x y S(定值),则 当x y时，积xy有最大值 1 S 2.
2.设-
2
2
,则
-的范围是
_____
A.( , ) B.( , 0) C.( , 0) D.( , )
2
22
7
3.设2 a 3, 4 b 3,求a b, a b, a , ab, b2 的范围. ba
(3) 4 b 3 1 1 1
充分重视极值定理的应用条件,会用 极值定理求函数的最大、最小值,并 能解决一些实际问题.
3
复习不等式的有关性质 :
(1) a b, b c a c;
(2) a b a c b c;
a b, c 0 ac bc; (3) a b, c 0 ac bc. (4) a b,c d a c b d;
人教A版数学必修第一册2.2基本不等式课件
为多少时，可使每间虎笼面积最大？
由2x＋3y＝18，得x＝9－
3
y.
2
3
2
3
2
∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y 9 − ＝ y(6－y)．
∵0<y<6，∴6－y>0.
∴S≤
3
2
6− + 2
2
＝
27
.
2
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
4
小
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最_____值2
.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
[例1]
(1)已知x<
利用基本不等式求最值
5
4
，求y＝4x－2＋
1
4−5
的最大值；
5
4
∵x< ，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋
1
为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：
元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建
为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费
购地总费用
用，平均购地费用＝ 建筑总面积)
随堂检测
1．思考辨析
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( √ )
=
∴ + 的最小值为3＋2 2.
跟踪训练
1
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求
由2x＋3y＝18，得x＝9－
3
y.
2
3
2
3
2
∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y 9 − ＝ y(6－y)．
∵0<y<6，∴6－y>0.
∴S≤
3
2
6− + 2
2
＝
27
.
2
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
4
小
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最_____值2
.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
[例1]
(1)已知x<
利用基本不等式求最值
5
4
，求y＝4x－2＋
1
4−5
的最大值；
5
4
∵x< ，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋
1
为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：
元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建
为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费
购地总费用
用，平均购地费用＝ 建筑总面积)
随堂检测
1．思考辨析
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( √ )
=
∴ + 的最小值为3＋2 2.
跟踪训练
1
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求
人教版数学必修五：3.4《基本不等式二》ppt课件
a＋b 2 b>0)可变形为 ab≤( 2 ) 等，同时要从整体上把握基本不等 式，如 a4 ＋ b4≥2a2b2 ， a2b2 ＋ b2c2≥2(ab)(bc) ，都是对“a2 ＋ b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用．
第三章
3.4
第2课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
已知 a>2，求证：loga(a－1)· loga(a＋1)<1.
第三章
3.4
第2课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
1.由基本不等式导出的几个结论
(1) 反向不等式： a ＋ b≤ 2a2＋b2 (a 、 b ∈ R ) ，由 a2 ＋
＋
b2≥2ab，两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得． a＋b 2 a＋b ＋ (2)ab≤( 2 ) ，(a、b∈R )，由 2 ≥ ab两边平方即得． (3)一个重要不等式链：b≥a＞0 时，b≥ 2ab 2 ≥ ab≥ ＝ ≥a . a＋b 1 1 a＋b
[ 证明] ∵a>2，所以 loga(a－1)>0，loga(a＋1)>0，
又 loga(a－1)≠loga(a＋1)， logaa－1＋logaa＋1 ∴ logaa－1· logaa＋1< 2 1 1 2 ＝2loga(a －1)<2logaa2＝1， ∴loga(a－1)· loga(a＋1)<1.
(2)由 1－x2≥0 知－1≤x≤1，当 0＜x≤1 时，x 1－x2＝
2 2 x ＋ 1 － x 1 2 2 x 1－x ≤ ＝2， 2
2 等号在 x ＝1－x 即 x＝ 2 时成立；当 x＝0 时，x 1－x2＝
基本不等式第二课时课件
则篱笆长为
100 （ x + 2 ) x
B
x
C
若x、y皆为正数， 2 x ⋅ 100 皆为正数， 、 100 ) ≥ 2 × 2( x + 皆为正数 =40 x x 则当xy的值是常数 的值是常数P时 则当 的值是常数 时， 100 此时x=10. 此时 当且仅当 x = 时， 等号成 时，等号成 当且仅当x=y时 当且仅当 x 立 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆 因此，这个矩形的长、宽都为 时 x+y有最小值 2 P 有最小值_______. 有最小值 最短，最短的篱笆是40m. 最短，最短的篱笆是
利用基本不等式求最值时， 利用基本不等式求最值时，要注意
①各项皆为正数； 各项皆为正数； 正数 和或积为定值 即积定和最小； 定值； ②和或积为定值；即积定和最小；和定积最大 注意等号成立的条件. 等号成立的条件 ③注意等号成立的条件 一“正” 二“定” 相等” 三“相等”
练习1 1 已知函数 y = x + ， 求证（1）当x>0时，函数的最小值； x （2）当x<0时，函数的最大值.
x + y≥2 xy = 2 P
如图， 例1：(2)如图，用一段长为 ： 如图 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 的篱笆围成一个矩形 菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时， 菜园 ， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 ， 菜园的面 积最大，最大面积是多少？ 积最大，最大面积是多少？ A D 解：如图，设BC=x ，CD=y ， 如图， 则 2(x + y)= 36 , x + y =18
2. 若 0<x< 1 , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值 - 的最大值. 2 分析: =1为 常数. 分析 2 x+(1-2x) 不是 常数 为 1 解: ∵0<x< 2 , ∴1-2x>0. 1 ∴y=x(1-2x)= 2 ·2x·(1-2x) 1 ·[2x+(1-2x) ]2 1 = 8. 2 2 1 当且仅当 2x=(1-2x), 即 x= 4 时, 取“=”号. 号 1 ∴当 x = 1 时, 函数 y=x(1-2x) 的最大值是 8 . 4
人教版高中数学必修五3.4基本不等式二 课件(共15张PPT)
解：当x 0时，y x 4 2 x 4 4
x
x
当且仅当x 2时等号成立
当x 0时
y
x
4 x
x
4 x
2
x 4 4
x
当且仅当x 2时等号成立
综上所述函数的值域为 ，44，
基本不等式成立的条件：二定（积定和最小）
例2 已知x 1,求x 4 的最小值 x 1
解： x 1 x 1 0 4 0
2
2x 1
解： x 1 2x 1 0 8 0
2
2x 1
y x 8 1 2x 1 8 1
2x 1 2
2x 1 2
y x 8 2 1 2x 1 8 1 2 2 1 9
2x 1 2
2x 1 2
22
当且仅当1 2x 1 8 时，即x 5 时等号成立
2
2x 1
2
基本不等式成立的条件：二定（和定积最大）
2
当且仅当a b时等号成立
基本不等式成立的条件：二定（和定积最大）
变式4
若0
x
1 3
,
则x1
3x取最大值时x的值是B
A. 1
B. 1
C. 1 D. 1
4
6
8
10
基本不等式成立的条件：三相等
例4 求函数y x2 2 1 的最小值 x2 2
解： x2 2 0
1 0
x2 2
二定
y x2 2 1 2 x2 2 1 2
适用条件
复习回顾
已知x 0,求y x 4的最小值；
x
二定
解 x 0, y x 4 2 x 4 4
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时原式有最小值4 x
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
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＝(x＋1)＋x＋4 1＋5≥2 x＋1x＋4 1＋5＝9.
当且仅当 x＋1＝x＋4 1，即 x＝1 时，等号成 立．
∴当 x＝1 时，函数 y＝x2＋x7＋x＋1 10(x>－1)取 得最小值为 9.
方法点评：形如 f(x)＝axm2＋x＋bxn＋c(m≠0，a≠0) 或者 g(x)＝axm2＋x＋bxn＋c(m≠0，a≠0)的函数，可以把 mx＋n 看成一个整体，设 mx＋n＝t，那么 f(x)与 g(x) 都可以转化为关于 t 的函数．
f x x
2
x
x 1 应如何求解呢？
x1
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
1．求函数 y＝ 2xx＋＋52的最大值． 解：设 t＝ x＋2≥0，从而 x＝t2－2. ∴y＝2t2＋t 1(t≥0)． 当 t＝0 时，y＝0.
当 t>0 时，y＝2t＋1 1t ≤2
1＝ 2t·1t
42.
当且仅当 2t＝1t ，即 t＝ 22，x＝－32时，y
有最大值 ymax＝ 42.
先独立思考，看能否用以前的知识求解， 然后再看能否用基本不等式解决。
例3. ①已知 x 0.求x 1 的最值 x
② 已知 x 5 ,求y 4x 2 1 的最值
4
4x 5
典例剖析
题型一 分式形函数的最值求法
【例 1】 求函数 y＝x2＋x7＋x＋1 10(x>－1)的最小值．
解：∵x>－1，∴x＋1>0. ∴y＝x2＋x7＋x＋1 10＝x＋12＋x＋5x1＋1＋4
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
Hale Waihona Puke 的最小值。解：y sin 4 2 sin • 4
sin
sin
4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，
并说明此时x,y的值． 当x=6,y=4时,最小值为48
2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值最．小值为8
3.已知x<0，求函数 f (x) x 2 的最大值.
x
4
2 2
已知x>0,y>0,且x+2y=1,求
u
1 x
1 y
的最小值．
32 2
例2 设 0＜x＜32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大 值；
第2课时
复习基本不等式
若a>0，b>0，则
a b __≥___ 2 ab
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围： a>0,b>0
2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
均值不等式的运用
例１．已知函数 f (x) x 2 x 0，求函数
的最小值和此时x的取值．x
变式1：去掉 x 0成立吗？
变式2：把 x 0 改为 x 2 成立吗？
变式3：若把 f x x 2 x 0 改为
课堂达标检测
1. a 1,求a 1 a 1
的最小值
2. x 2,求y x 1 的最值 x2
3. 已知a>0,b>0.求证：a b a2 b2
2
2
当且仅当 x＋1＝x＋4 1，即 x＝1 时，等号成 立．
∴当 x＝1 时，函数 y＝x2＋x7＋x＋1 10(x>－1)取 得最小值为 9.
方法点评：形如 f(x)＝axm2＋x＋bxn＋c(m≠0，a≠0) 或者 g(x)＝axm2＋x＋bxn＋c(m≠0，a≠0)的函数，可以把 mx＋n 看成一个整体，设 mx＋n＝t，那么 f(x)与 g(x) 都可以转化为关于 t 的函数．
f x x
2
x
x 1 应如何求解呢？
x1
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
1．求函数 y＝ 2xx＋＋52的最大值． 解：设 t＝ x＋2≥0，从而 x＝t2－2. ∴y＝2t2＋t 1(t≥0)． 当 t＝0 时，y＝0.
当 t>0 时，y＝2t＋1 1t ≤2
1＝ 2t·1t
42.
当且仅当 2t＝1t ，即 t＝ 22，x＝－32时，y
有最大值 ymax＝ 42.
先独立思考，看能否用以前的知识求解， 然后再看能否用基本不等式解决。
例3. ①已知 x 0.求x 1 的最值 x
② 已知 x 5 ,求y 4x 2 1 的最值
4
4x 5
典例剖析
题型一 分式形函数的最值求法
【例 1】 求函数 y＝x2＋x7＋x＋1 10(x>－1)的最小值．
解：∵x>－1，∴x＋1>0. ∴y＝x2＋x7＋x＋1 10＝x＋12＋x＋5x1＋1＋4
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
Hale Waihona Puke 的最小值。解：y sin 4 2 sin • 4
sin
sin
4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，
并说明此时x,y的值． 当x=6,y=4时,最小值为48
2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值最．小值为8
3.已知x<0，求函数 f (x) x 2 的最大值.
x
4
2 2
已知x>0,y>0,且x+2y=1,求
u
1 x
1 y
的最小值．
32 2
例2 设 0＜x＜32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大 值；
第2课时
复习基本不等式
若a>0，b>0，则
a b __≥___ 2 ab
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围： a>0,b>0
2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
均值不等式的运用
例１．已知函数 f (x) x 2 x 0，求函数
的最小值和此时x的取值．x
变式1：去掉 x 0成立吗？
变式2：把 x 0 改为 x 2 成立吗？
变式3：若把 f x x 2 x 0 改为
课堂达标检测
1. a 1,求a 1 a 1
的最小值
2. x 2,求y x 1 的最值 x2
3. 已知a>0,b>0.求证：a b a2 b2
2
2