山西省忻州市高考数学 专题 等比数列复习教学案(无答案)
山西省忻州市高考数学 专题 弧度制复习教学案(无答案)
弧度制
一、教学目标
1．知识与技能：
①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
2. 过程与方法：
①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系.
②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
③通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力.
3．情感态度价值观：使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一. 进一步加强学生对辩证统一思想的理解.
二、教学重点、难点
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念及其与角度的关系.
三、教学方法
启发法、讲授法、课堂讨论法、练习法
四、教学过程
读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． ②感受1rad 、2rad
③正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
④角的弧度数的绝对值 r
l
=α（l 为弧长，r 为半径）
3．角度制与弧度制的换算：
∵ 360=2 rad ∴
∴
rad rad 01745.0180
≈π
'185730.571801
=≈⎪⎭
⎫ ⎝⎛=πrad
4． 用弧度制表示弧长及扇形面积 公式：。
山西省忻州市高考数学 专题 正切公式复习教学案(无答案)
正切公式一、教学目标知识与方法①会有两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式，并运用其解决简单的化简问题。
过程目标：①通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力；②通过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法.情感、态度、价值观目标①使学生体会“联想转化、数形结合、分类讨论”的数学思想；②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度.二、教学重点、难点两角和与差的正切公式推导及其运用，公式的逆用。
三、课时安排1课时四、教学流程1、复习回顾：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βα+Cβαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βα-Cβαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βα+Sβαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βα-S可用多种形式让学生回顾(提问,默写,填空等形式)2、讲解新课：1 在两角和与差的正弦,余弦公式的基础上,你能用αtan ，βtan 表示出)tan(βα+和)tan(βα-吗？如)3045tan(15tan-=，它的值能否用 45tan ， 30tan 去计算？ （让学生带着问题展开后面的讨论）2 利用所学的两角和与差的正弦,余弦公式，对比分析公式βα+C ,βα-C ,βα+S ,βα-S ,能否推导出)tan(βα+和)tan(βα-？其中βα,应该满足什么条件？师生讨论：当0)cos(≠+βα时，βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+ 若0cos cos ≠βα，即0cos ≠α且0cos ≠β时，分子分母同除以βαcos cos 得βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 根据角α，β的任意性，在上面的式子中，用代替，则有 βαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan )tan(+-=---+=- 由此推得两角和与差的正切公式。
山西省忻州市高考数学一轮复习：29 等比数列及其前n项和
山西省忻州市高考数学一轮复习：29 等比数列及其前n项和姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·兰州模拟) 等比数列中各项均为正数，是其前项和，满足，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一下·伊春期末) 等比数列中，若是方程的两根，则的值为（）A . 3B .C .D . 以上答案都不对3. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 数列{an}的前n项和为Sn ，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（）A . 3×44B . 3×44+1C . 44D . 44+14. （2分）已知等比数列{an}中，a3 ， a15是方程x2﹣6x+1=0的两根，则a7a8a9a10a11等于（）A . ﹣1B . 1C . ﹣15D . 155. （2分）已知正项等比数列满足：,若存在两项使得，则的最小值为（）A . 9B .C .D .6. （2分） {an}是公比为q的等比数列且|q|＞1，{an+1}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则q 的值可以为（）A .B .C . ﹣D . ﹣7. （2分）某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还（）A . 万元B . 万元C . 万元D . 万元8. （2分） (2016高一下·吉林期中) 等比数列{an}中，a5=4，a7=6，则a9=（）A . 9B . ﹣9C . ﹣8D . 89. （2分）一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A . 108B . 63C . 75D . 8310. （2分）一个等比数列的前4项之和为前2项之和的2倍，则这个数列的公比是（）A . 或﹣B . 1C . 1或﹣1D . 2或﹣211. （2分）设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若S1=a2﹣， S2=a3﹣，则公比q=（）A . 1B . 4C . 4或0D . 812. （2分）(2020高三上·泸县期末) 已知等比数列满足，，则等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)13. （1分）已知1，x，9成等比数列，则实数x=________ ．14. （2分） (2016高二上·上海期中) 从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．15. （1分）(2018·长宁模拟) 若数列为等比数列，且，则 ________.16. （1分）某种细菌在培养的过程中，每20min分裂一次（一个分裂为两个），经过3h，这样的细菌由一个分裂为 ________个．17. （1分）(2020·重庆模拟) 已知等比数列的前n项和满足，则 ________.三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分）(2018·台州模拟) 设数列的前项和为， .（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（3）设，，若不等式对恒成立，求的最大值.19. （10分）如图，画一个边长为a（a＞0）的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，记第1个正方形的边长为a1 ，第2个正方形的边长为a2 ，…，第n个正方形的边长为an ．（1）试归纳出或求出an的表达式；（2）记第1个正方形的面积为S1，第2个正方形的面积为S2，…，第n个正方形的面积为Sn，求S1+S2+S3+…+Sn．20. （10分）已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数．21. （10分） (2016高一下·河源期中) 数列{an}是首项a1=4的等比数列，且S3 ， S2 ， S4成等差数列，（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=log2|an|，设Tn为数列的前n项和，若Tn≤λbn+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．22. （10分） (2017高二下·瓦房店期末) 已知数列满足，是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和 .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分) 18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
山西省忻州市高考数学 专题 求定义域复习教学案(无答案)
求定义域一、选择题1、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(，()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
A 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸2、函数()f x = ）A 、[2,2]-B 、(2,2)-C 、(,2)(2,)-∞-+∞UD 、{2,2}-3、下列函数中，与函数y ＝13x 定义域相同的函数为 ( )． A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x 二、填空题4、33y x =+-，该函数定义域为 。
5、y =，该函数定义域为 。
6、01(21)111y x x =+-++-，该函数定义域为 。
三、解答题7．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1，(a >0，且a ≠1)，求函数的定义域。
8、记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M ，N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N .9、已知函数f (x )＝log a x ＋b x －b(a ＞0，b ＞0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性；答案：一、选择题1、C2、D3、D 解析：函数y ＝13x 的定义域为{x|x ≠0，x ∈R}与函数y ＝sin x x 的定义域相同，故选D. 二、填空题4、{|536}x x x x ≥≤-≠-或或5、{|0}x x ≥6、1{|220,,1}2x x x x x -≤≤≠≠≠且 三、解答题7、解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．8、解 (1)M ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >32， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1－2x －1≥0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －3x －1≥0＝{x |x ≥3，或x <1}． (2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <1或x >32 9、解 (1)令x ＋b x －b＞0， 解得f (x )的定义域为(－∞，－b )∪(b ，＋∞)．(2)因f (－x )＝log a －x ＋b －x －b ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x －b －1 ＝－log a x ＋b x －b＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(3)令u (x )＝x ＋b x －b ，则函数u (x )＝1＋2b x －b在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数，所以当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是增函数；当a ＞1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．。
山西省忻州市高考数学 专题 正态分布复习教学案(无答案)
正态分布
1．若随机变量ξ服从正态分布(0,1)
N
ξ:，则ξ在区间(3,3]
-上取值的概率等于（）
A.0.6826
B.0.9544
C.0.9974
D.0.3174
2．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．
3．若随机变量满足正态分布N(μ，σ2)，则关于正态曲线性质的叙述正确的是
( )
A．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”
B．σ越大，曲线越“瘦高”，σ越小，曲线越“矮胖”
C．σ的大小，和曲线的“瘦高”、“矮胖”没有关系
D．曲线的“瘦高”、“矮胖”受到μ的影响
4．已知X～N(2.5,0.12)，求X落在区间(2.4,2.6]中的概率．
5、已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于( ).
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
6.某班有50名学生,一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班数学成绩在110分以上的人数为.。
山西省忻州市高考数学 专题 正态分布复习教学案(无答案)
正态分布
1．若随机变量ξ服从正态分布(0,1)
N
ξ，则ξ在区间(3,3]
-上取值的概率等于（）
A.0.6826
B.0.9544
C.0.9974
D.0.3174
2．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．
3．若随机变量满足正态分布N(μ，σ2)，则关于正态曲线性质的叙述正确的是
( )
A．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”
B．σ越大，曲线越“瘦高”，σ越小，曲线越“矮胖”
C．σ的大小，和曲线的“瘦高”、“矮胖”没有关系
D．曲线的“瘦高”、“矮胖”受到μ的影响
4．已知X～N(2.5,0.12)，求X落在区间(2.4,2.6]中的概率．
5、已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于( ).
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
6.某班有50名学生,一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班数学成绩在110分以上的人数为.。
山西省忻州市第一中学2017届高考数学文一轮复习学案等
等差数列与等比数列
【三维目标】
知识与技能：
1．理解等差数列、等比数列的概念；
2．掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题；
4．了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．
过程与方法：
等差数列、等比数列问题解题常用方法：基本量法，性质法，函数法
情感、态度、价值观：
等差数列、等比数列知识在高考中是必考内容，一般直接考查等差、等比数列的通项公式，前n项公式，和性质的题目为容易题．
【题型归类】
例1．已知数列{a n}的前n项和S n=12n－n2，
（1）求S n的最大值．
（2）求数列{|a n|}的前n项和T n．
例2．在等差数列{a n}中，已知a1=20，前n项和为S n，且S15=S10，求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．
例3．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d>0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列{b n}的第2项，第3项，第4项．
(1)求数列{a n}，数列{b n}的通项公式；
(2)设数列{c n}对n N*，均有c1
b1+
c2
b2+…+
c n
b n=a n+1成立，求c1+c2+…+c2013．
【课堂练习】
1．设数列{a n}对所有正整数n都满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n-1a n＝8－5n,求数列{a n}的通项公式以及其前n项和S n．。
【中小学资料】山西省忻州市高考数学 专题 线面平行判定定理复习教学案(无答案)
线面平行判定定理一、教材分析【地位和作用】直线与平面平行是我们日常生活中经常见到的也是立体几何中最重要的知识点之一，《直线与平面平行的判定》是北师大版高中数学必修2中的第一章第五节的第一课时的内容；是在学生学习线、面位置关系之后学习空间中平行关系的第一个判定定理；是学生进一步研究空间中平行关系和垂直关系的基础，起到承前启后的作用.通过本节课的学习对学生的观察探索、交流归纳、空间想象能力及逻辑推理能力很大的提高.【教学目标】1) 知识与技能: 掌握直线与平面平行的判定定理，并能进行简单应用.2) 过程与方法: 通过直观感知---观察---操作的认知方法, 经历新知识形成过程，体会蕴含在其中的数学思想方法.归纳出直线与平面平行的判定定理.3) 情感态度与价值观: 让学生在观察、探究、发现、交流中学习,体验学习的乐趣,培养学生观察探究发现的能力,空间想象能力和逻辑思维能力.【教学重难点】重点：直线和平面平行的判定难点：直线与平面平行的判定的应用二、学情分析本节课是在学生对简单的几何体的特征有了初步的认识,且已具备了一定的合情推理能力的基础上进行的,但思维缺乏严谨性,因此在教学中培养他们严谨的思维和良好的数学品质.三、教法学法分析基于以上的教材分析和学情分析，为了完成确立的目标，所以在教学时让学生通过观察、操作、交流、探索、归纳、反思主动参与学习，让学生在问题情景中经历知识的形成和发展过程，因此教学上采用了直观教学法、探索式教学法、启发式教学法，讲练结合法等教学法。
在教学中教师利用实物展示等手段，充分设计问题的背景，给学生导引一个思考方向，由浅入深，在不知不觉间解决问题，充分调动学生的参与意识，合作意识，使学生真正成为课堂的主人.四、教学过程【复习导入】问题1：直线与平面有那几种位置关系？你能不能画出图形并用语言和数学符号进行描述？问题2: 观察上述图形，试给出线面平行的定义 问题3: 如何利用定义对线面平行关系进行判断？设计意图：通过复习,引出新知识;通过学生的动手、观察、实践等活动，引导学生大胆猜测，自主探究，以培养学生观察、分析、猜想、归纳的能力.【新知探究】实例感知：图片实例让学生感知现实中的线面平行关系。
高中数学复习学(教)案等比数列
题目第三章数列等比数列 高考要求理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题. 知识点归纳1．等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）2．等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项也就是，如果是的等比中项，那么Gb a G =，即G =23．等比数列的判定方法： ①定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列 ②等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列4．等比数列的通项公式：如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 或着n m n m a a q -=5．等比数列的前n 项和：○1)1(1)1(1≠--=q qq a S n n ○2)1(11≠--=q q q a a S n n○3当1=q 时，1na S n = 当1q ≠时，前n 项和必须具备形式(1),(nn S A q A =-≠6．等比数列的性质：①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -= ② 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么只有当公比1q =-且k 为偶数时,k S ，k k S S -2，k k S S 23-不成等比数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++题型讲解例1等比数列}{n a 中，各项均为正数，且610354841,4a a a a a a ⋅+⋅=⋅=，求84a a +解：设等比数列首项为1a ，公比为q ，则⎩⎨⎧=+⇒=+⇒==+49)(441842732110216211421a a q q a q a q a q a 另法：2261035844141a a a a a a ⋅+⋅=⇒+=，4848428a a a a ⋅=⇒⋅=将两式相加得 248()41849a a +=+=又因为数列}{n a 中，各项均为正数，所以84a a +＝7.例2一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列 解：设所求的等比数列为a ,aq ,aq 2,则 2(aq+4)=a+aq 2 且(aq+4)2=a(aq 2+32)解得a=2 ，q=3 或a=92，q=-5 故所求的等比数列为2，6,18或92，-910950例3设首项为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2n 项和为6560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比q 解：设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n 依题意设：a 1＞0，S n =80 ，S 2n =6560 ∵S 2n ≠2S n , ∴q ≠1从而()111n a q q--=80 且21(1)1n a q q--=6560两式相除得1+q n =82 ，即q n =81∴a 1=q-1＞0 即q ＞1,从而等比数列｛a n ｝为递增数列，故前n 项中数值最大的项为第n 项∴a 1q n-1=54,从而(q-1)q n-1=q n -q n-1=54 ∴q n-1=81-54=27∴q=18127n h q q -==3∴a 1=q-1=2故此数列的首为2，公比为3例4已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =14a n +1,求a 1+a 3+……+a 2n-1 . 解：当n=1时，a 1=s 1=14a 1+1即a 1=43； 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=14a n -14a n -1 即13n n a a -=∴数列｛a n ｝是以43为首项，-13为公比的等比数列 ∴a n =43(-13)n-1 ,a 2n-1=43(-13)2n-2=43(19)n-1∴a 1+a 3+……+a 2n-1=41[1()]39119h --=31(1)29h - 例5 在n1和1+n 之间插入n 个正数，使这2+n 个数依次成等比数列，求所插入的n 个数之积；解法1：设插入的n 个数为n x x x ,,,21 ，且公比为q 则,,,2,1,1),1(,1111n k q nx n n q q n n k k n n ==+=∴=+++ 22)1(21221)1(11111nn n n n n n n n nn q nq n q n q n q n x x x T +===⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=++++ 解法2：设插入的n 个数为n x x x ,,,21 ，1,110+==+n x nx nnn x x x x x x n n n 112110+==⋅=⋅=⋅-+ n n x x x T ⋅⋅⋅= 21nn n n n nn x x x x x x T )1()()()(11212+=⋅⋅⋅=- 2)1(nn nn T +=∴说明：第一种解法利用等比数列的基本量q a ,1，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到；例6 设数列{a n }前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且 （1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比满足q=f (m )且1113,()(*,2),2n n b a b f b n N n -==∈≥ 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭求证为等差数列，并求n b ．解：（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+ 两式相减，得 1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3n n a ma m +∴=+ {}n a ∴是等比数列．111111112(2)1,(),2,3233()22311133.311{}131121,333.2n n n n n n n n n n n n n mb a q f m n N n m b b f b b b b b b b b b n n b b n ------====∈≥+==⋅++=⇒-=∴-+∴=+==+由且时，得是为首项为公差的等差数列,故有点评：为了求数列{}n b 的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．例7 设数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n S 是首项为S 1各项均为正数且公比为q 的等比数列.（１）求数列{}n a 的通项公式n a （用S 1和q 表示）； （２）试比较122+++n n n a a a 与的大小，并证明你的结论. 解：（１）∵{}n S 是各项均为正数的等比数列， ∴)0(11>=-q q S S n n ． 当n=1时，a 1=S 1；当2112,(1)n n n n n a S S S q q --≥=-=-时． ∴⎩⎨⎧≥-==-)2()1()1(211n qq S n S a n n（２）当n=1时，213211312(1)2(1)[()]0,24a a a S S q q S q S q +-=+---=-+>∴2312a a a >+． 21211112,2(1)(1)2(1)n nn n n n n a a a S q qS q q S q q--++≥+-=-+---当时()3211.n S q q -=-∵210,0,n S q ->>①当q=1时，321(1)0,2.n n n q a a a ++-=∴+= ②当,10时<<q .2,0)1(123++<+∴<-n n n a a a q③当,1时>q .2,0)1(123++>+∴>-n n n a a a q综上可知：当n=1时，2312a a a >+．当212,1,2;n n n n q a a a ++≥=+=时若则 若2101,2;n n n q a a a ++<<+<则 若211,2.n n n q a a a ++>+<则点评 数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到n S 与n a 之间的关系式：11,(1).(2)n n n S n a S S n -⎧==⎨-≥⎩ 例8 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入资金800万元，以后每年投入15本年度当地旅游产业收入估计为400万元，由于该项建14(Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元写出a n 、b n 的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 解：(Ⅰ)第1年投入800万元，第2年投入800(1-15)万元，……， 第n 年投入800(1-15)n-1万元所以总投入为a n =800+800(1-15)+……+800(1-15)n-1=4000[1-(45)n ]第1年的收入400万元，第2的收入400(1+14)万元，……， 第n 年的收入为400(1+14)n-1万元所以总收入b n =400+400(1+14)+……400(1+14)n-1=1600[(45)n -1](Ⅱ)要使旅游业的总收入超过总投入，即b n -a n ＞0由(Ⅰ)得1600[(45)n -1]-400[1-(45)n ]＞0化简得，5×(45)n +2×(45)n -7＞0 设x=(45)n，则5x 2-7x+2＞0 ∴x ＜25或x ＞1(舍) 即(45)n ＜25，故n ≥5故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答小结：等比数列的通项公式和前n 项和公式涉及五个基本量：a 1、q 、n 、a n 、S n ，“知三求二”是最基本的运算，用待定系数法建立方程是重要的处理策略学生练习1．数列1，37，314，321，……中，398是这个数列的（ ）（A ）第13项 （B ）第14项 （C ）第15项 （D ）不在此数列中 2．在公比q ≠1的等比数列{a n }中，若a m =p,则a m+n 的值为（ ）（A ）pq n+1 （B ）pq n-1 （C ）pq n （D ）pqm+n-13.若数列{a n }是等比数列，公比为q ，则下列命题中是真命题的是（ ） （A ）若q>1,则a n+1>a n （B ）若0<q<1,则a n+1<a n（C ）若q=1,则s n+1=S n （D ）若-1<q<0,则n n a a <+1 4．在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a(a 0≠),a 19+a 20=b,则a 99+a 20的值为（ ）（A ）89a b （B ）（a b ）9 （C ）910ab （D ）（a b ）105．在2与6之间插入n 个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为 （A ）n 3 （B ）n31（C ）13+n （D ）23+n6．若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项，则x 的值为（ ） （A ）-4 （B ）-1 （C ）1或4 （D ）-1或-47．已知数列{a n }是公比q 1≠的等比数列，给出下列六个数列：（1）{ka n }(k 0≠) (2){a 2n-1} (3){a n+1-a n } (4){a n a n+1} (5){na n } (6){a n 3},其中仍能构成等比数列的个数为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）3 8．a,b,c 成等比数列是b=ac 的（ ）（A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件9．已知数列{a n }的前n 项和为S n =b ×2n+a(a ≠0,b ≠0),若数列{a n }是等比数例，则a 、b 应满足的条件为（ ）（A ）a-b=0 （B ）a-b ≠0 （C ）a+b=0 （D ）a+b ≠0 10.在正项等比数列{a n }中，若s 2=7,s 6=91,则s 4的值为（ ） （A ）28 （B ）32 （C ）35 （D ）4911．一个等比数列共有3n 项，其前n 项之积为A ，次n 项之积为B ，末n 项之积为C ，则一定有（ ）（A ）A+B=C （B ）A+C=2B （C ）AB=C （D ）AC=B212．在等比数列{a n }中，S n =k-(21)n，则实数k 的值为（ ） （A ）21 （B ）1 （C ）43（D ）213．设{a n }为等比数列，S n =a 1+…a n ,则在数列{S n } 中（ ） （A ）任何一项均不为零 （B ）必有一项为零（C ）至多有一项为零 （D ）或有一项为零，或有无穷多项为零 14．在由正数组成的等比数列{n a }中，若a 4a 5a 6=3,log 3a 1+log 3a 2+log 3a 8 +log 3a 9的值为（ ）（A ）34 （B ）43（C ）2 （D ）33415．某产品每年成本降低的百分数为m,若五年后的成本是a 元，则现在的成本是（ ） （A ）4)1(m a - （B ）4)1(m a + （C ）5)1(m a - （D ）5)1(m a+16．在正项等比数列{a n }中，a 21+a 22+……a 2n =314-n ,则a 1+a 2+…a n 的值为（ ）（A ）2n（B ）2n-1 （C ）2n+1 （D ）2n+1-217.数列{a n }是正数组成的等比数列，公比q=2,a 1a 2a 3……a 20=a 50,，则a 2a 4a 6……a 20的值为（ ）（A ）230 （B ）283 （C ）2170 （D ）2102-218．在数列{a n }中，a 1=2,a n+1=2a n +2,则a 100的值为（ ）（A ）2100-2 （B ）2101-2 （C ）2101 （D ）21519．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（ ）（A ）不增不减 （B ）约增1.4% （C ）约减9.2% （D ）约减7.8% 20.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,前n 项的倒数之和为T n ,则nnT S 的值为（） （A ）a 1a n （B ）n a a 1 （C ）a 1n a nn （D ）(na a 1)n 21．在等比数列{a n }中，a 1-a 5=-215,S 4=-5,则a 4= 22．三个正数a,b,c 成等比数列，且a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为23．已知a>0,b>0,a ,b ≠在a 与b 之间插入n 个正数x 1,x 2,…,x n ，使a,x 1,x 2…,x n ,b 成等比数列，则n n x x x ⋯21=24．在正数项列{a n }中，a 2n+3=a n+1,a n+5,且a 3=2,a 11=8,则a 7= 25．已知首项为21，公比为q(q>0)的等比数列的第m,n,k 项顺次为M ，N ，K ，则(n-k)log 21M+(k-m)log 21N+(m-n)log 21K=26．若数列{a n }为等比数列，其中a 3,a 9是方程3x 2+kx+7=0的两根，且(a 3+a 9)2=3a 5a 7+2,则实数k=27．若2，a,b,c,d,183六个数成等比数列，则log 92222dc b a ++= 28.2+(2+22)+(2+22+23)+…+（2+22+23+…+210）=29．数列{a n }的前n 项和S n 满足log a (S n +a)=n+1(a>0,a ≠1),则此数列的通项公式为30．某工厂在某年度之初借款A 元，从该年度末开始，每年度偿还一定的金额，恰在n 年内还清，年利率为r,则每次偿还的金额为 元 31.已知等比数列{a n }，公比为-2，它的第n 项为48，第2n-3项为192，求此数列的通项公式32.数列{a n }是正项等比数列，它的前n 项和为80，其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6560，求它的前100项的和33.已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 成等比数列，且公比为q,求证：（1）q 3+ q 2+q=1,（2）q=ca34.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=-21,从第二项起，{a n }是以21为公比的等比数列，{a n }的前n 项和为S n ，试问：S 1,S 2,S 3…,S n ,…能否构成等比数列？为什么？ 35.求S n =(x+y 1)+(x 2+21y )+…+(x n+n y1)(y 0≠) 36.某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下资金投入再生产，为实现经过五年，资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年扣除的消费资金应是多少万元（精确到万元）37.陈老师购买安居工程集资房7m 2,单价为1000/ m 2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再过一年又付款一次等等，若付10次，10年后付清如果按年利率的7.5%每年复利一次计算(即本年利息计入次年的本金生息),那么每年应付款多少元?(参考数据:1.0759 ≈1.921,1.07510≈2.065,1.07511≈2.221) 参考答案：13．若q=1,S n =na 1≠ 若q=-1,S n =,2])1(1[1n a --当n 为偶数时，S n =0 14.a 4 a 5 a 6=53a =4, ∴a 5=33log 3a 1+log 3a 2+log 3a 8+log 3a 9=log 3(a 1a 2a 8a 9)=log 3a 45=4log 3331=34 18.a n+1+2=2(a n +1) , ∴2221=+++n n a a∴{a n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴ a n +2=4·2n-1=2n+1 ∴a n =2n+1-220．a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…=a n a 1∴.11311112121n n n n a a a an a a a a a a ==⋯===-- ∴n n n a a a a a a Tn Sn 11111=+⋯++⋯+= 21.1 22.50，10，2或2,10,50 23.ab 24.4 25.0 26.±9 a 3+a 9=-,3k a 3a 9=a 5a 7=-,37∴ (-3k )2=3×37+2 ∴k=±9 27.-161 28.212-24 29.a n =(a-1)a n 30.1)1()1(-++n nr r Ar 31．⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=---192)2(48)2(4213211n n n n a a a a ②① 解得a 1=3 ∴a n =a 1q n-1=3(-2)n-132．∵ S 2n >S n , ∴q ≠1 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----65601)1(1)1(211qq a q q a n n ②① ②/①,得q n=81 ③∴q>1,故前n 项中a n 最大③代入①，得a 1=q-1又由a n =a 1q n-1=54,得81a 1=54q ∴a 1=2,q=3 ∴S 100=1331)31(2100100-=-- 33．（1）q 3+q 2+q=1=++-++++-++++-+cb a ac b c b a b a c c b a c b a (2)q=b a c c b a a c b b a c -+-+=-+-+ 由合分比定理，可得q=ca c ab ac a c b c b a b a c ==-++-+-++-+22)()()()(34.当n ≥2时，a n =a 2q n-2=-21(21)n-2=-(21)n-1 ∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧--1)21(1n 21≥=n n 当n=1时，S 1=a 1=1当n ≥2时，S n =a 1+a 2+…+a n =1-21-(21)2-…-(21)n-1=1-[21+(21)2+…+(21)n-1] =1-11)21(211)211(21--=--n n ∴S n =(21)n-1 21)21()21(11==-+n nn n S S ∴{S n }可以构成等比数列35.当x ≠1,y ≠1时，∴S n =(x+x 2+…+x n )+(y 1+ny y 112+⋯+) =111111)11(11)1(++--+--=--+--n n n n n n y y y x x x yy y x x x 当x=1,y ≠1时 S n =n+11+--n n nyy y 当x ≠1,y=1时 Sn=n xx x n +--+11当x=y=1时 S n =2n36.设a n 表示第n 年年底扣除消费基金后的资金 a 1=1000(1+21)-xa 2=[1000(1+21)-x](1+21)-x=1000(1+21)2-x(1+21)-x a 3=[1000(1+21)2-x(1+21)-x](1+21)-x=1000(1+21)3-x(1+21)2-x(1+21)-x 类推所得a 5=1000(1+21)5-x(1+21)4-x(1+21)3-x(1+21)2-x(1+21)-x 则1000（23）5-x[(23)4+(23)3+…+1]=2000 即1000(23)5-x ·,2000231)23(15=-- 解得x ≈424万元 37．设每年付款x 元，那么10年后第一年付款的本利和为a 1=1.0759x 元第二年付款的本利和为a 2=1.0758x 元依次类推第n 年付款的本利和为a n =1.07510-n x 元则各年付款的本利和{a n }为等比数列∴10年付款的本利和为S 10=075.11)075.11(10--x 个人负担的余额总数为72×1000-28800-14400=28800元10年后余款的本利和为18800×1.07510 ∴·1010075.128800075.11075.11⨯=-- 解得x=元42001075.1075.0075.1288001010≈-⨯⨯. 课前后备注。
山西省忻州市高考数学专题正切公式复习教学案(无答案)(new)
正切公式一、教学目标知识与方法①会有两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式,并运用其解决简单的化简问题。
过程目标：①通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力;②通过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法。
情感、态度、价值观目标①使学生体会“联想转化、数形结合、分类讨论”的数学思想;②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度。
二、教学重点、难点两角和与差的正切公式推导及其运用，公式的逆用。
三、课时安排1课时四、教学流程1、复习回顾:αsinαβαββC=+cos(-cossincos)βα+βαsinαββαCcos(+-=)coscossinα-ββαsinααββS=+sin(+coscossin)α+ββααsinβαβS=-sin(-sincoscos)βα-可用多种形式让学生回顾(提问，默写，填空等形式）2、讲解新课：α+和1 在两角和与差的正弦，余弦公式的基础上,你能用αtan，βtan表示出)tan(β)tan(βα-吗？如)3045tan(15tan -=，它的值能否用 45tan ， 30tan 去计算?（让学生带着问题展开后面的讨论）2 利用所学的两角和与差的正弦,余弦公式,对比分析公式βα+C ,βα-C ，βα+S ，βα-S ,能否推导出)tan(βα+和)tan(βα-?其中βα,应该满足什么条件?师生讨论：当0)cos(≠+βα时,βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+ 若0cos cos ≠βα，即0cos ≠α且0cos ≠β时，分子分母同除以βαcos cos得βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 根据角α,β的任意性,在上面的式子中，用代替,则有βαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan )tan(+-=---+=- 由此推得两角和与差的正切公式。
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等比数列
教学目标
1. 理解等比数列的概念；
2. 掌握等比数列的通项公式；会利用通项公式解决“知三求一”的问题。
学习重点：
1. 等比数列概念的理解与掌握；
2. 等比数列的通项公式的推导及应用。
一、 复习回顾
1. 等差数列的定义 ；
2. 等差数列的通项公式 。
二、 新课学习
问题一：观察以下几个数列：
①1，2，4，8，16，…
②
③
共同特征是 。
问题二：等比数列的定义.
① 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等
于 常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的 （常用
字母“q”表示）。
② 等比数列的数学符号语言表示： 。
思考1. 如何判断数列{}为等比数列？
例1. 已知数列{}的通项公式为，试问这个数列是等比数列吗？
思考2. 如等比数列{}中，公比的取值范围，
为什么？
思考3. 既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，请举例！
问题三：等比数列的通项公式.
推导方法：
① 不完全归纳法 ② 叠乘法
等比数列的通项公式
思考4.等比数列的结构特征是什么，反映了哪些量之间的关系。
例2.
① 已知等比数列{}中 。
② 数列{}满足则-192是此数列中的第 项。
问题四：探究等比数列中任意两项
的关系.
已知等比数列的公比为，第项为，求.
三、 课堂小结
（1） 等比数列的定义
（2） 等比数列的通项公式的推导及拓展
（3） 数学思想方法
四、 作业与练习
1. 一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项。
2. 已知{}是公差不为零的等差数列，成等比数列，求{}
通项公式。
3. 已知等比数列{}中，=20,=5, 求.