2019考研：理学专业近200,但这8个最受欢迎!_毙考题
2019年暨南大学考研真题821 材料综合-2019-A
2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题******************************************************************************************** 招生专业及代码：080501 材料物理与化学、080502材料学、080503 材料加工工程、0805Z1 生物材料、085204材料工程（专业学位）考试科目级代码：821材料综合考生请注意：《材料综合》满分150分，考卷包括A《基础化学》、B《材料科学基础》两项内容。
请根据自己的专业背景和未来拟从事的专业研究方向，只能从A、B两项中任选其中一项作答，如果两项都做，仅记A项的成绩。
A、基础化学考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、选择题(选择一个正确答案，共20题，每小题2分，共40分)1. 以下哪一个离子半径最小？(A) Li+(B) Na+(C) Be2+(D) Mg2+2．以下哪一个元素的第一电离能最低：(A) Sr (B) As (C) Xe (D) F3．下列分子中，具有偶极矩的是：(A) PCl5(B) H2Se (C) CO2(D) BCl34. 下列分子中，哪一个分子的键级最大：(A) BN (B) Ne2(C) F2(D) N25. 下列哪一种物质的酸性最强：(A) HBr (B) H2Te (C) H2Se (D) PH36. 在酸性溶液中，下列各对离子能共存的是：(A) Fe2+和Ag+(B) SO32-和MnO4-(C) Hg2+和Sn2+(D) Fe2+和Sn2+7. 下列哪一种弱酸的盐最易水解？(A) HA：K a= 1×10-8(B) HB：K a= 2×10-6(C) HC：K a= 3×10-8(D) HD：K a= 4×10-108. 浓度为1.0×10-4 mol/L，K a = 1.0×10-5的某酸性指示剂在变色点时的pH值为：(A) 3.00 (B) 5.00 (C) 7.00 (D) 9.009. 下列说法中，哪个是不正确的：(A) 氢键具有饱和性和方向性(B) 氢键强弱与元素电负性有关(C) 氢键属于共价键(D) 分子间氢键使化合物的熔点、沸点显著升高10. 反应CO(g ) + 2H 2(g )→ CH 3OH(g )不存在催化剂时，正反应的活化能为E 1，平衡常数为K 1。
2019考研数学二答案解析
= lim +
x →0
所以 f (0) 不存在,因此
2x 2 x (1 + ln x), x 0, f ( x) = x x 0. ( x + 1)e ,
1 ;另外 f ( x) 还有一个不可导点 x2 = 0 ; e 1 1 又 (−, −1) 为单调递减区间 , ( −1, 0) 为单调递增区间, (0, ) 为单调递减区间, ( , +) 为单 e e
2
= e (
1 2 x
dx + C ) = e ( x + C ) ;
x2 2
又由 y (0) = e 得 C = 0 ,最终有
y ( x) = xe .
(2)所求体积
x2 2
x2 2
V = π( xe ) 2 dx = π xe x dx
2
2
2
1
1
π 2 π = e x = (e 4 − e) . 2 1 2
18、已知平面区域 D 满足 x
2
y, ( x 2 + y 2 )3 y 4 ，求
x+ y x2 + y 2
D
dxdy .
解:由 x
2
y 可知区域 D 关于 y 轴对称,在极坐标系中,
2 3
π 3π ;将 x = r cos , y = r sin 4 4
代入 ( x + y )
y 4 得 r sin 2 ;
解:
( x − 1) ( x
3x + 6 2 3 2x +1 dx = [− + + 2 ]dx 2 2 2 + x + 1) x − 1 ( x − 1) x + x +1
2019考研数学二答案真题解析
0034 0034
三、解答题：15 23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
15.设函数
y
f (x) 是微分方程
y
xy
e
x2 2
满足条件
y(0)
0 的特解。
（1）求 y f (x) ；
（2）求曲线 y y(x) 的凹凸区间及拐点。
4/9
【答案】A
【解析】在区域
D
上，x2
y2
2 4
，令
x2
y2
，则 0
u
2
，所以有 sin
x2 y2
x2 y2 ；
令 f (u) 1 cos u sin u ，则 f (u) sin u cos u ，
故当 0
u
4
，
f
(u)
0 ；当
4
u
2
，
f
(u)
0；
而 f (0) f (2 ) 0 ，所以 f (u) 0 ，即1 cos u sin u ，得到1 cos x2 y2 sin x2 y2
又因为 A 4 123 ，故 A 的 3 个特征值为1, 2, 2 ，所以二次型 xT Ax 的规范形为 y12 y22 y32 .
二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
2
9. lim(x 2x ) x
.
x0
【答案】 4e2
2
【解析】 lim(x 2x ) x
0
0
n1
k 0
e (k 1) x
sin x
dx
n1
(1)k
2019年考研数学一真题附答案解析
2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（ ）（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点 （C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点【答案】（B ）【详解】（1）01ln(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01x x x x f x x f x x f x++-→→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x xf x++→'==-∞，所以函数在0x =处不可导；（3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当10x e<<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所以函数在0x =取得极大值．3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑【答案】（D ）【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞存在，记为lim n n u u →∞=；又设n ∀，满足n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且2210n n u u +-≥，则对于正项对于级数2211()n n n uu ∞+=-∑，前n 项和：221111111()2()2()22nnn k kk k n n k k S uu M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑也就是2211()n n n uu ∞+=-∑收敛．4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰那么函数(,)P x y 可取为（ ）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -【答案】（D ）【详解】显然，由积分与路径无关条件知21P Q y x y ∂∂≡=∂∂，也就是1(,)()P x y C x y=-+，其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数．只有（D ）满足．5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是（ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A == 【答案】（A ）【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而()()r A r A <； （2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以()2r A ≥；7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）（A ）()()()P A B P A P B =+ （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =【答案】（C ）【详解】选项（A ）是,A B 互不相容；选项（B ）是,A B 独立，都不能得到()()P A P B =； 对于选项（C ），显然，由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-，()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ）（A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关【答案】（A ）【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，则2~(0,2)X Y N σ-，从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ． 【答案】cos cos y x x y+ 解：cos (sin sin ),cos (sin sin )z zx f y x y y f y x x x y∂∂''=-⋅-+=⋅-+∂∂ 11cos cos cos cos z z y xx x y y x y∂∂⋅+⋅=+∂∂ 10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．【答案】y =【详解】把方程变形2220yy y '--=得22()()20y y '--=，即222(2)22x d y dx y Ce y y +=⇒+=⇒=+由初始条件(0)1y =确定3C =，所以y =11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答． 【答案】1【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑，从而有：110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n nn n n n x x n n n ∞∞∞===---==-=∈+∞∑∑∑ 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．【答案】32.3【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤22220432dxdy dxdy 2sin 3x y y y d r dr πθθ∑∑+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．【答案】121x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =，从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量．由3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为方程组基础解系，通解为121x k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩，2204()23x E X dx ==⎰．012{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=三、解答题15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程． 先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解：22x y Ce -=，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e-'+=通解，设22()x y C x e-=为其解，代入方程，得2222(),()1x x C x eeC x --''==，1()1C x dx x C ==+⎰，也就是通解为：221()x y x C e-=+把初始条件(0)0y =代入，得10C =，从而得到22().x y x xe -=（2）2222232222(),()(1),()(3)(x x x x y x xey x ex y x x x ex x x e----'''==-=-=令()0y x ''=得1230,x x x ===．当x <0x <<0y ''<，是曲线的凸区间；当0x <<或x >0y ''>，是曲线的凹区间．曲线的拐点有三个，分别为3322()--．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j =--的方向导数最大 ，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积． 【详解】（1）222z ax by =++，则2,2z zax by x y∂∂==∂∂； 所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)|,6,8z z gradf a b x y ⎛⎫∂∂==⎪∂∂⎝⎭；gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--方向相同，且10gradf ==．也就得到2683410a b⎧=⎪--=解出11a b =-⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=⎩（舍）．即11a b =-⎧⎨=-⎩．（2）22202133Sx y S dS d ππθ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy e x x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 【详解】（1）证明：1n a x =⎰，110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰当(0,1)x ∈时，显然有1n nxx +<，1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰，所以数列{}n a 单调减少；先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰则当2n ≥时，12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+令sin ,[0,]2x t t π=∈，则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理，2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述，可知对任意的正整数n ，均有212n n a n a n --=+，即21(2,3,)2n n n a a n n --==+； （2）由（1）的结论数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+ 2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞，由夹逼准则，可知1lim1nn n a a →∞-=．19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．【详解】先计算四个三重积分：22211120(2)(1)1(1)3zD x y z dv dz dxdy dzdxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)(1)12zD x y z zdv zdz dxdy zdzdxdy z z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211(2)(1)0zD x y z xdv dz xdxdy dzxdxdy Ω+-≤-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)22(1)3zD x y z ydv dz ydxdy dzydxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0xdvx dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，2ydvy dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，14zdvz dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4x y z =．注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然13dv πΩ=⎰⎰⎰，且由对称性，明显0x =，2y =．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．【详解】（1）由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组，得32.2a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩且当3a =时，()123111111,,23301110123012ααα===≠，即123,,ααα线性无关，确实是3R 空间的一组基．（2）()23111111,,33100220231011ααβ==-=≠-，显然23,,ααβ线性无关，当然也为3R 空间的一组基． 设()()23123,,,,a P αβααα=，则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为()()1123123111111011111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=． 【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．【详解】（1）显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩．先求Z XY =的分布函数：(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--（）再求Z XY =的概率密度：,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩（2）显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-；由于随机变量,X Y 相互独立，所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-；22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-；(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-；要使,X Z 不相关，必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=，也就是0.5p =时,X Z 不相关；（3）,X Z 显然不相互独立，理由如下：设事件{1}A X =>，事件{1}B Z =<，则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰；11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-；11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=，当0.5p =时，显然()()()P AB P A P B ≠，也就是,X Z 显然不相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本．（1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．【详解】（1）由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏其他， 取对数，得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑11 解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()n n i i d L X X X n X d σμσσσ==-+-=∑，得未知参数2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==-∑．。
2019年考研数学二真题及全面解析(Word版)
2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 kx 是 同阶无穷小量，则k=（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ２２.【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。
故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ）A 、xxe dx +∞-⎰. B 、 2x xe dx +∞-⎰. C 、 20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xe dx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛； D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。
4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r=-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1a b == 。
2019年考研数学二真题及答案解析
2019年研究生统一入学考试数学（二）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.当时，若与是同阶无穷小，则k=（ ）。
A.1B.2C.3D.42.设函数的拐点（ ）。
A.B.C.D 3.下列反常积分发散的是（ ）。
A.B.C.D.4.已知微分方程的通解为，则、、、依次序为（ ）。
A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，45.已知区域，，，，试比较的大小（ ）。
A.B.C.D.CCDDA6.已知是二阶可导且在处连续，请问相切于且曲率相等是的什么条件？A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.即非充分又非必要条件7.设A是四阶矩阵，是A的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有2个向量，则的秩是（ ）。
A.0B.1C.2D.38.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵。
若，且，则规范形为（ ）。
A.B.C.D.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9.。
10.曲线在对应点处切线在y轴上的截距。
11.设函数可导，，则。
12.已知函数的弧长为。
13.已知函数，则。
14.已知矩阵，表示中元的代数余子式，则。
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题为多选，计算步骤符合采分点即可得分。
15.已知求，并求的极值。
当x>0时，当x<0时，AA C故，而在x=0附近时，当x>0，，单调递减；当x<0，，单调递增；故在x=0处取极大值16.求不定积分。
17.是微分方程满足的特解。
（1）求；由于则可以得出，两边同时积分可以得由于，代入得c=0，故（2）设平面区域求D绕x轴旋转一周的体积；由体积公式得18.已知平面区域D满足，，求。
极坐标方程为，由于对称性==19.，是的图像与x轴所围成图形的面积，求，并求。
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题_真题(含答案与解析)-交互
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题(总分150, 做题时间180分钟)选择题每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1.当x →0 时，若x-tanx与x k是同阶无穷小，则 k=SSS_SINGLE_SELA1B2C3D4该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C2.已知方程 x5-5x + k = 0 有个不同的实根，则 k 的取值范围SSS_SINGLE_SELA（-∞，-4）B（4，+∞）C[-4，4]D（-4，4)该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D3.已知微分方程y''+ay'+by=ce x的通解为y=（C1+C2x）e-x+e x，则a，b，c依次为SSS_SINGLE_SELA1,0,1B1,0,2C2,1,3D2,1,4该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D由题干分析出-1为特征方程r2+ar+b=0的二重根，即（r+1）2=0 故a=2，b=1；又e x为y''+ay'+by=ce x的解，代入方程得c=44.SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B5.设A是四阶矩阵，A*是 A的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向量，则A*的秩是SSS_SINGLE_SELAB1C2D3该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A由于 AX = 0 的基础解系有只有两个解向量，则由4 - R(A) = 2可得R(A) - 2 < 3，故R(A* ) = 0。
6.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2+A=2E ,且| A |=4 ,则二次型x T Ax的规范形为SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C∵A2+A=2E ,设 A的特征值为λ∴λ2+λ=2（λ+2）（λ-1）=0∴λ=-2或1∵| A |=4∴A的特征值为λ1=λ2=-2，λ3=1∴q=2，p=1∴X T Ax的规范形为y12-y22-y327.设 A,B 为随机事件，则 P(A) = P(B) 的充分必要条件是SSS_SINGLE_SELAP(A∪B) = P(A) + P(B)BP(AB) = P(A)P(B)CD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:CA选项⇔P(AB) =0 ,故 A 排除B选项⇔ A、B 独立，故 B 排除C选项⇔ P(A) - P(AB) = P(B) - P(AB)而P(A) ⇔ P(B) ，故 C 正确= 1- P(A) -P(B) + P(AB)⇔1 = P(A) + P(B) 故 D 排除8.设随机变量 X 与Y 相互独立，且都服从正态分布N（μ，σ2），则P{|X-Y|<1}SSS_SINGLE_SELA与μ无关，而与σ2有关B与μ有关，而与σ2无关C与μ,σ2都有关D与μ,σ2都无关该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A填空题每小题4分，共24分。
考研数学三分类模拟题2019年(15)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三分类模拟题2019年(15)(总分72, 做题时间90分钟)一、填空题1.______．SSS_FILL分值: 1因为所以原式2.SSS_FILL分值: 1答案:03.设f(x)在x=0处存在二阶导数，f(0)=0，f'(0)=a(a≠0)，则=______．SSS_FILL分值: 1而所以所以原题=．4.若二次型f(x1，x2，x3)=ax12+4x22+ax32+6x1x2+2x2x3是正定的，则a的取值范围是______．SSS_FILL分值: 1二次型f的矩阵为因为f正定A的顺序主子式全大于零，即Δ1=a＞0Δ2==4a-9＞0Δ3=|A|=4a2-10a＞0故f正定．二次型x T Ax正定≠0，恒有x T Ax＞0A的特征值全大于0二次型的正惯性指数p=n A与E合同，即有可逆矩阵C使A=C T C A的顺序主子式全大于0．二次型x T Ax正定的必要条件：aii＞0与|A|＞0．5.设=5，则=______．SSS_FILL分值: 1答案:10ln3由所给极限及(3x-1)=0得到，从而(x→0)．故．6.x=b，即设线性方程组A3×4有通解k[1，2，-1，1]T+[1，-1，0，2]T，其中k是任意常数，则方程x=b即组B3×3有一个特解是______．SSS_FILL分值: 1答案:(-3，1，1)T由观察，方程组(2)比方程组(1)减少了一个未知量．若方程组(2)有解ξ=(a，b，c)T，则η=(0，a，b，c)必是方程组(1)的解，现已知方程组(1)有无穷多解k(1，2，-1，1)T+(1，-1，0，2)T，其中k是任意常数，选择任意常数k，使(1)的解的第一个分量为0，即选k=-1，得(1)的一个特解为(0，-3，1，1)T，则向量(-3，1，1)T满足方程组(2)，是方程组(2)的一个特解．二、选择题1.设A是n阶矩阵，下列命题错误的是______．• A.若A2=E，则-1一定是矩阵A的特征值• B.若r(E+A)＜n，则-1一定是矩阵A的特征值• C.若矩阵A的各行元素之和为-1，则-1一定是矩阵A的特征值• D.若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则-1一定是A的特征值SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A若r(E+A)＜n，则|E+A|=0，于是-1为A的特征值；若A的每行元素之和为-1，则根据特征值特征向量的定义，-1为A 的特征值；若A是正交矩阵，则A T A=E，令AX=λX(其中X≠0)，则X T A T=λX T，于是X T A T AX=λ2X T X，即(λ2-1)X T X=0，而X T X＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负得-1为A的特征值，选A．2.若常数p，q，r，满足p≤q≤r，且使得广义积分收敛，则______ •**+q＜1．•**+r＞1．•**+q＜1，q+r＞1．**＜1，r＞1．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D设min{p，q，r}=p，当x→0+时，由于x p+x q+x r所以，当min{p，q，r}=p＜1时，收敛．max{p，q，r)=r，当x→+∞时，由于x p+x q+x r所以，当max{p，q，r)=r＞1时，收敛．综上，当min{p，q，r)=p＜1，且max{p，q，r}=r＞1时，收敛．3.设总体X～N(0，σ2)(σ2已知)，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，S2为样本方差，则下列正确的是______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C由X～N(0，σ2)，有Xi～N(0，σ2)，．选项A不正确，因为选项B不正确，因为选项C正确，因为又与S2独立，则由χ2分布的可加性知选项D不正确，因为4.设f(x)=|x|，g(x)=x2-x，则等式f[g(x)]=g[f(x)]成立时，x的变化范围为______• A.(-∞，1]∪{0}．• B.(-∞，0]．• C.[0，+∞)．• D.[1，+∞)∪{0}．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:Df[g(x)]=|g(x)|=|x2-x|，g[f(x)]=f2(x)-f(x)=|x|2-|x|=x2=|x|．由f[g(x)]=g[f(x)]，得|x2-x|=x2-|x|．当x2≥x，即x≤0或者x≥1时，有x2-x=x2-|x|，即x=|x|x≥0．综合得x≥1或x=0．当x2≤x，即1≥x≥0时，x-x2=x2-x x=1或x=0．综上所述，当x≥1或x=0时，f[g(x)]=g[f(x)]．5.设f(x)在x=x0的某邻域内有定义，则“存在等于A”是“f'(x)存在等于A”的• A.充分条件而非必要条件．• B.必要条件而非充分条件．• C.充要条件．• D.既非充分又非必要条件．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D实际上，在仅设“f(x)在x=x的某邻域内有定义”的条件下，“存在等于A”与“f'(x)存在等于A”毫无因果关系．举例说明如下：例如，设当x≠0时f(x)=1，f'(x)=0，．但f(x)在x=0处不连续，所以f'(0)不存在．所以“存在等于A”不是“f'(x)=A”的充分条件．又如，设有f'(0)存在等于0，而不存在．可见“存在等于A”不是“f'(x)=A”的必要条件．[评注] “设f(x)在x=x0处连续．在x=x的某去心邻域内可导，并设存在等于A，则f'(x)亦存在且等于A”今给予征明如下：由f(x)在x=x处连续，所以，极限为“”型，满足洛必达法则条件(1)．又因在x=x的某去心邻域f(x)可导，故满足洛必达法则条件(2)．又存在等于A，满足洛必达法则条件(3)，所以即f'(x0)=A。
2019年暨南大学考研真题710无机化学A
三、计算题(共3题，每题10分，共30分)
（2）在1 mol/L的氨水溶液中，Co(III)能否将水氧化？
四、完成反应方程式并配平(共4题，每题4分，共16分)
1.将AgBr溶于Na2S2O3溶液中；
2.用N2H4还原AgBr；
3.金溶于王水；
4. Mg3N2与水反应。
五、简答题(共3题，每题8分，共24分)
1.硅胶干燥剂中常加入CoCl2（蓝色），吸水后变为粉红色，试用晶体场理论解释变色的原理。
2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：无机化学、分析化学、有机化学、物理化学、高分子化学与物理
15.某晶体的晶胞参数满足关系a=b=c，α=β=γ，则下列判断正确的是（）
(A)一定属于立方晶系(B)一定属于三方晶系
(C)一定属于六方晶系(D)属于立方晶系或三方晶系
16.由两元素的电负性数值，可以预测（）
(A)配位数(B)分子的偶极矩(C)分子的极性(D)键的极性
17.反应N2(g) + 3H2(g) 2NH3(g)在恒压下进行时，若向体系中通入一定量的氩气，则氨气的产率（）
1/2 Cl2+Fe2+→Cl+Fe3+ ，
2019年考研数学二真题及全面解析(Word版)
2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与k x 是 同阶无穷小量，则k =（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C . 【解析】因为3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。
故选 C .3、下列反常积分发散的是（ ）A 、0xxe dx +∞-⎰. B 、2x xe dx +∞-⎰. C 、20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xedx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛；D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。
4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1ab == 。
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NO.1数学与应用数学
1、专业解析
数学与应用数学专业属于基础专业。无论是进行科研数据分析、软件开发，还是从事金融
保险，国际经济与贸易、化工制药、通讯工程、建筑设计等，都离不开相关的数学知识。可
见数学与应用数学专业是从事其他相关专业的基础。随着科技事业的发展和普及，数学专业
与其他相关专业的联系将会更加紧密，数学知识将会得到更广泛的应用。
NO.2信息与计算机科学
1、专业解析
信息与计算科学专业是以信息领域为背景。数学与信息，计算机管理相结合的计算机科学
与技术类专业。该专业培养的学生具有良好的数学基础，能熟练地使用计算机,初步具备在
信息与计算机科学领域的某个方向上从事科学研究，解决实际问题，设计开发有关计算机软
件的能力。
2、就业前景
信息与计算科学专业是数学学科下的一个理科专业。它为我国培养信息与计算科学人才提
供了新的平台，符合当今时代的发展。
从整个IT行业发展情况来看：目前中国IT产业年增长率持续上升。众多IT企业尤其是大
中型对于顶尖人才一直非常缺乏。
3、就业领域
信息与计算科学就业趋势，毕业生在毕业以后，可以在信息与计算科学、计算机信息处理、
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经济、金融等部门从事研究、教学、应用软件开发或者是管理部门从事一些实际应用、开发
研究或者管理工作。或者在信息与计算机信息专业去读研究生。
4、院校推荐
具有国家重点学科的大学：北京大学、清华大学、北京师范大学、南开大学、吉林大学、
复旦大学、南京大学、浙江大学、中国科学技术大学、山东大学、四川大学、厦门大学、大
连理工大学、西安交通大学、华东师范大学、浙江大学、上海交通大学。
NO.3应用物理
1、专业解析
应用物理学主要学习物理学的基本理论与方法，具有良好的数学基础和实验技能，受到应
用基础研究、应用研究和技术开发以及工程技术的初步训练，具有良好的科学素养，适应高
新技术发展的需要，具有较强的知识更新能力和较广泛的科学适应能力。
应用物理学专业培养具有坚实的数理基础，熟悉物理学基本理论和发展趋势，熟悉计算机
语言，掌握实验物理基本技能和数据处理的方法，获得技术开发以及工程技术方面的基本训
练，具有良好的科学素养和创新意识的人才。
2、就业前景
应用物理学虽然是以古老的物理学作为基础建立的，但它属于比较年轻的专业，特别是近
些年的发展十分迅速。华裔诺贝尔物理奖得主杨振宁教授认为，当前和以后的几十年内物理
学的重心在于应用物理学。
应用物理学涉及到的是一些非常具体的问题，一般都是采取实验的方法来进行研究，涉及
到物理的方方面面。这样的行业也是物理学理论转化为应用要求最急切的，比如能够将物理
电磁学方面的理论，转化在电子和计算机方面的话，将会为这些行业的发展提供非常强大的
动力支持。
3、就业领域
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应用物理学专业的毕业生主要在物理学或相关的科学技术领域中从事科研、教学、技术开
发和相关的管理工作。科研工作包括物理前沿问题的研究和应用，技术开发工作包括新特性
物理应用材料如半导体等，应用仪器的研制如医学仪器、生物仪器、科研仪器等。应用物理
专业的就业范围涵盖了整个物理和工程领域，融物理理论和实践于一体，并与多门学科相互
渗透。
4、院校推荐
国家重点大学：清华大学、上海交通大学、北京大学、吉林大学、复旦大学、南京大学、
南开大学、天津大学、兰州大学、重庆大学、西安交通大学、北京理工大学、中国科学技术
大学、电子科技大学、哈尔滨工业大学、哈尔滨工程大学、中山大学、武汉大学、四川大学、
云南大学、北京科技大学、南京工业大学、华中科技大学、北京邮电大学等
NO.4应用化学
1、专业解析
应用化学，就是通过学习掌握各种化学知识并应用到实际生产生活中，包括化工、材料、
医药、环境、能源、轻工等行业。应用化学专业的研究内容与人类的衣食住行有密切关系。
当今，中国已经是第一大汽车产销国，汽车生产和使用所需的汽油、柴油、电池、钢材、
橡胶等同样来自泛化学工业，而轻轨、高铁的发展也离不开化学工业。
国家重点支持的新能源、新材料领域的研究开发，就属于应用化学未来发展的重点领域与
方向，具有很好的发展前景。
2、就业方向
应用化学应用广泛，市场需求多样，毕业生就业主要去向为：化学和化工行业、冶金行业、
医药行业、食品、检验检疫、能源、环保等行业。
3、院校推荐
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全国开设应用化学专业的高校超过400所。各高校应用化学专业由于人才培养侧重不同，
形成了电化学、工业分析、化学制药、精细化工、生物制药、油田化学、质量检测、化工与
制药、产品质量检验、化学材料与技术、无机非金属材料等众多方向。北大、南大、南开、
吉大、复旦、清华、中科大、厦大等。
NO.5统计学
1、专业解析
统计学是通过搜索、整理、分析、描述数据等手段，以达到推断所测对象的本质，甚至预
测对象未来的一门综合性科学。统计学用到了大量的数学及其它学科的专业知识，其应用范
围几乎覆盖了社会科学和自然科学的各个领域。
2、就业方向
统计学专业毕业生的主要就业流向有三大部分：政府部门(统计局等)，银行、保险公司、
证券公司等金融部门，市场调查公司、咨询公司、各公司的市场研究部门，工业企业的质量
检测部门等企业事业单位。
3、开设院校
国家重点大学：人大、北大、厦大、南开、华东师大、上财、山大等。
NO.6海洋技术
1、专业解析
海洋技术专业培养具备海洋科学的基本知识及海洋高新技术开发研究的能力，能从事海洋
高科技、海洋资源开发、海洋工程及相关学科专业工作的高级专门人才。
2、就业方向
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海洋技术专业学生毕业后可在水产、饲料、鱼药、生物技术等相关行业从事生产、经营管
理、技术开发与推广等工作。海洋技术专业主要担任结构工程师、水产技术服务、机械工程
师、声学工程师、电气工程师、销售工程师、技术支持、水产技术服务员、管线工程师、销
售代表、销售经理、武汉区域经理、船舶结构工程师等。
3、院校推荐
中国海洋大学(10423)、河北工业大学(10080)、河海大学(10294)、浙江海洋大学(10340)、
厦门大学(10384)、大连海事大学(10158)、大连理工大学等。
NO.7生物技术
1、专业解析
生物技术专业培养具备生命科学的基本理论和较系统的生物技术的基本理论、基本知识、
基本技能，能在科研机构或高等学校从事科学研究或教学工作，能在工业、医药、食品、农、
林、牧、渔、环保、园林等行业的企业、事业和行政管理部门从事与生物技术有关的应用研
究、技术开发、生产管理和行政管理等工作的高级专门人才。
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2、就业方向
生物技术的发展经历了传统生物技术和现代生物技术发展的两个阶段，发酵工程，其中基
因工程为核心技术。目前生物技术最活跃的应用领域是生物医药行业，生物制药(常指基因
重组药物)被投资者看作为成长性最高的产业之一。
3、院校推荐
北大、清华、复旦、武大、中山大学、南大、中科大、南开大学等
NO.8环境科学
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1、专业解析
环境科学专业学生主要学习环境科学方面的基本理论、基本知识，受到应用基础研究、应
用研究和环境管理的基本训练，具有较好的科学素养及一定的教学、研究、开发和管理能力，
掌握环境监测与环境质量评价的方法以及进行环境规划与管理的基本技能。培养能在科研机
构、高等院校、行政部门和企事业等单位从事科研、教学、规划与管理、环境评价和环境监
测等工作的高级专业人才。
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2、就业方向
主要到科研机构、高等学校、企业事业单位及行政部门等从事科研、教学、环境保护和环
境管理等工作。
3、推荐院校
南大、北师大、北大、中海洋、厦大、南开、哈工大、河海、同济等高校。