6-201804-石景山数学一模答案(定稿)

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珍藏初中数学石景山一模答案

GFEDCB A 石景山区2010年初三第一次统一练习暨毕业考试试卷初三数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共32分，每小题4分）9．3->x ；10．))((2b a b a a -+； 11．109； 12．ππ2．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式133325-+--=……………………………………4分36+-= ………………………………………………5分14．解：解不等式①， 3-<x …………………………………………2分4分5分15．条件： ② ③ ④ ，结论： ① ……………… 1分证明： ∵ CD AB =∴ BD AC = ……………………………………………… 2分 ∵ FBG EAG ∠=∠∴ FBD EAD ∠=∠……………………… ………… 3分在△ACE 和△BDF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BD AC FBD EAD BF AE ∴ △ACE ≌△BDF （SAS ） ………………………………… 4分∴ D ACE ∠=∠ ……………………………………………… 5分条件： ① ③ ④ ，结论： ② 证明：∵ FBG EAG ∠=∠ ∴ FBD EAD ∠=∠∵ AE BF =，ACE D ∠=∠ ∴ △ACE ≌△BDF （AAS ） ∴ BD AC = ∴ CD AB =条件： ① ② ④ ，结论： ③ 证明：∵ CD AB = ∴ BD AC =∵ FBG EAG ∠=∠ ∴ FBD EAD ∠=∠ ∵ ACE D ∠=∠∴ △ACE ≌△BDF （ASA ） ∴ AE BF =16．解：原式211)2(212+--+-⋅-=x x x x x 2112+--+-=x x x x ……………………………………………1分 2332++-=x x …………………………………………3分当0832=-+x x 时，832=+x x …………………………………4分原式283+-=103-= ………………………………………5分 17．解：根据题意，得：)0,2(A ，)32,0(B …………………1分在Rt △AOB 中，4)32(222=+=AB ，︒=∠30DBA ，…2分∴︒=∠30DCA ，6=+=AB OA OCRt △DOC 中，32tan =∠=DCO OC OD∴)0,6(C ，)32,0(-D …………………………………………3分设直线CD 的解析式为：32-=kx y∴ 3260-=k ，解得33=k ………………………………5分所以直线CD 的解析式为3233-=x y18．解：设该农场种植A 种草莓x 亩，B 种草莓)6(x -亩 ………1分依题意，得：460000)6(200040120060=-⨯+⨯x x …………2分解得：5.2=x , 5.36=-x ……………………………………3分 (2)由)6(21x x -≥，解得2≥x 设农场每年草莓全部被采摘的收入为y 元，则：4800008000)6(200040120060+-=-⨯+⨯=x x x y ……4分 ∴当2=x 时，y 有最大值为464000………………………………5分答：(l)A 种草莓种植2.5亩, B 种草莓种植3.5亩．(2) 若种植A 种草莓的亩数不少于种植B 种草莓的一半，那么种植A 种草莓2亩时，可使农场每年草莓全部被采摘的总收入最多.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：如图，过A 、D 作AE ⊥BC 于E 、DF ⊥BC 于F …………1分设 x AB AD 2==Rt △ABE 中，︒=︒-︒=∠3090120BAE20．解：（1）判断：CD 是⊙O 的切线证明：联结OC ………………………………1分∵ OD AC //∴∠A =∠BOD ,∠ACO =∠COD ∵ OC OA =∴∠A =∠ACO∴∠BOD =∠COD ∵ OC OB =, OD 为公共边 ∴△BOD ≌△COD ∴∠B =∠OCD∵ BD 是⊙O 的切线，AB 为直径 ∴ ∠︒=90ABD∴ ∠︒=90OCD …………………………………………2分 ∴ CD 是⊙O 的切线（2) 联结BC 交OD 于E∵ CD 和BD 都是⊙O 的切线 ∴CD =BD ，∠CDO =∠BDO ∴ BC ⊥OD ,CE BE =，︒=∠90OBD ∴△OBE ∽△ODB∴ OBOE ODOB = …………………………………………3分由CE BE =,OB OA = 得OE 为△ABC 的中位线即121==AC OE∴ OBOB 16= 得6±=OB (舍负) ………………………………5分∴ ⊙O 的半径为6．注：还可以证明△ABC ∽△ODB21. 解：（1）20，0.04 ，50; 图略 …………………………………3分（2）第二小组：105≤<a ……………………………………………4分（3）(0.16＋0.40)×1000=560. …………………………………………5分22．（1）16 …………………………………………1分（2）各2分五、解答题（本题满分7分）23．解：（1）△=(2k-7)2-4k （k+3）>0 k <4049……………………………………………………2分 ∵k 为非负整数，∴k=0，1∵()03722=++-+k x k kx 为一元二次方程∴k=1 ………………………………………………………………3分 (2)把k=1代入方程得x 2-5x+4=0, 解得x 1=1, x 2=4 ∵m<n∴m=1，n=4 …………………………………………………………… 4分把m=1，n=4代入ax y =与xb y 3+=可得a =4，b=1 …………………………………………………………5分 (3)把y=c 代入x y 4=与xy 4= 可得A(4c ，c) B(c 4,c)，由AB=23，可得c 4－4c =23 解得c 1=2, c 2=－8，经检验c 1=2, c 2=－8为方程的根。

2023年北京市石景山区高考数学一模试卷+答案解析(附后)

2023年北京市石景山区高考数学一模试卷1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则( )A. B. C. D.3. 已知双曲线的离心率是2，则( )A. 12B.C.D.4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是( )A. B.C. D.5.设，，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则( )A. B. C. D.7. 若函数的部分图象如图所示，则的值是( )A. B. C. D.8. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度单位：与燃料的质量单位：，火箭除燃料外的质量单位：的函数关系是当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为( )A. B. C. D.9. 已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有( )A. 6条B. 7条C. 8条D. 9条10. 已知正方体的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面内一动点，给出下列三个命题：①若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线；②若点P到直线与到平面的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线；③若点P到直线的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆.其中正确的命题个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 向量，，若，则______ .12. 抛物线C：的焦点坐标为______ ，若抛物线C上一点M的纵坐标为2，则点M到抛物线焦点的距离为______ .13. 若的展开式中含有常数项，则正整数n的一个取值为______ .14. 设函数①若，则的最大值为______ ；②若无最大值，则实数a的取值范围是______ .15. 项数为的有限数列的各项均不小于的整数，满足，其中给出下列四个结论：①若，则；②若，则满足条件的数列有4个；③存在的数列；④所有满足条件的数列中，首项相同.其中所有正确结论的序号是______ .16. 如图，在中，，，点D在边BC上，求AD的长；若的面积为，求AB的长.17. 某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组.观察一段时间后，分别从1，2，3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如表.株高增量单位：厘米第1组鸡冠花株数92092第2组鸡冠花株数416164第3组鸡冠花株数1312132假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量为厘米，求X的分布列和数学期望；用“”表示第k组鸡冠花的株高增量为“”表示第k组鸡冠花的株高增量为厘米，，2，3，直接写出方差，，的大小关系结论不要求证明18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点求证：；从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面ADFE 所成锐二面角的大小.条件①：；条件②：平面平面ABCD；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19. 已知椭圆C：过点，且离心率为求椭圆C的方程；过点且互相垂直的直线，分别交椭圆C于M，N两点及S，T两点.求的取值范围.20. 已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；求证：，若在上恰有一个极值点，求m的取值范围.21. 若无穷数列满足以下两个条件，则称该数列为数列.①，当时，；②若存在某一项，则存在…，，使得且若，写出所有数列的前四项；若，判断数列是否为等差数列，请说明理由；在所有的数列中，求满足的m的最小值.答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为，因为，得，解得，所以集合，所以故选：先将两个集合化简，用区间表示法表示，然后求并集即可．本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：复数z对应的点的坐标为，则，故故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意可得，，，故选：根据双曲线的几何性质，方程思想，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．4.【答案】D【解析】解：A项，，则是奇函数，在定义域内没有单调性，不符合；B项，，则是偶函数，不符合；C项，，则是奇函数，，则在R上单调增，不符合；D项，，则是奇函数，在R上单调减，在R上单调增，则函数在定义域上单调减，符合．故选：利用定义判断函数的奇偶性，利用图象和函数的性质判断单调性即可．本题考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：①当时，，，，，当且仅当时取等号，，充分性成立，②当时，比如，时，成立，但不成立，必要性不成立，是的充分不必要条件．故选：根据基本不等式的性质和举实例，再结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：由题意，令，，令，，令，，故选：根据题干递推公式先令，计算出的值，再令，计算出的值，最后令，，计算出的值，即可得到正确选项．本题主要考查数列由递推公式求某项的值．考查了整体思想，转化与化归思想，指数的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数的解析式的求法，考查数形结合思想和运算能力，由图象可得，得，结合五点法可得，即可得的值．【解答】解：根据函数的部分图象，，所以，由图象可得，，得，故选8.【答案】D【解析】解：设燃料质量与火箭质量的比值为x时，火箭的最大速度达到，由题意可知，，，，，，即要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为，故选：设燃料质量与火箭质量的比值为x时，火箭的最大速度达到，则，，结合对数的运算性质求出x的值即可．本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：由圆C：，得圆心，直线l：可化为，即直线过定点圆心到定点的距离为，直线l：被圆C：所截得的最短弦长为，又过定点的最长的弦长为10，过点垂直x轴的直线与圆C所截得的弦长恰好为不是整数，弦长为整数时直线l共有7条．故选：先确定直线过定点，再计算直线被圆截得的最短弦长、最长的弦长，即可求得结论．本题考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系，①连接，，由正方体的性质可得平面，而平面平面，点P的轨迹是一条直线BC，因此①正确；②设，，点P到直线与到平面的距离相等，，化为，动点P的轨迹是抛物线，因此②正确；③设，，，到直线的距离与到点C的距离之和为2，，化为动点P的轨迹是线段CD，因此③不正确．综上只有①②正确，故选：建立空间直角坐标系，①连接，，利用正方体的性质可得平面，平面平面，即可判断出点P的轨迹方程，进而判断出①的正误；②设，，根据点P到直线与到平面的距离相等，可得，化简即可得出动点P的轨迹方程，进而判断出②的正误；③设，，，根据P到直线的距离与到点C的距离之和为2，可得，化简即可判断出动点P的轨迹方程，进而判断出③的正误．本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定定理及性质定理、两点之间的距离公式，考查了空间想象能力与推理能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：，，，，，故答案为：利用向量的坐标运算求解即可．本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．12.【答案】【解析】解：抛物线C：中，所以焦点坐标为；由抛物线的定义可得故答案为：；根据抛物线标准方程可得焦点坐标，利用拋物线定义可得点M到抛物线焦点的距离．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．13.【答案】答案不唯一【解析】解：的展开式通项公式为，令，即，不妨取，即，故正整数n的一个取值为故答案为：答案不唯一先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，再结合n为正整数，即可求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．14.【答案】【解析】解：①若，则，，当时，，此时函数为增函数，当时，，此时函数为减函数，故当时，的最大值为2；②，令，则，若无最大值，则，或，解得：故答案为：2，①将代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当时，的最大值为2；②若无最大值，则，或，解得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档．15.【答案】①②④【解析】解：因为有限数列的各项均不小于的整数，所以，，，又因为，所以……，所以，且，为整数，所以，所以③错误，④正确；当时，得，所以，则，故①正确；当时，得，又因为，所以，则，所以，为整数，则的可能取值为，0，1，2，对应的的取值为6，4，2，0，故数列可能为，，6；，0，4；，1，2；，2，0，共4个，故②正确．故答案为：①②④．由题意可得…，所以，，从而可判断③，④；当时，得，所以，则，从而判断①；当时，可得，则的可能取值为，0，1，2，对应的的取值为6，4，2，0，从而可得数列，即可判断②．本题考查了有穷数列的性质、不等式的性质，也考查了逻辑推理能力，属于中档题．16.【答案】解：，，且，，根据正弦定理，可得；，，，得，又，由余弦定理得，【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用正弦定理可求AD的值．由已知利用三角形的面积公式可求BD的值，利用诱导公式可求的值，根据余弦定理可求AB的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属中档题．17.【答案】解：设事件A为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米，所以估计为设事件B为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，设事件C为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，根据题中数据，估计为，估计为，根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，，且；；；，则X的分布列为：X0123P所以，理由如下：，所以，；同理可得，所以【解析】根据表格数据，第1组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果；首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，然后可确定X所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；由两点分布方差计算公式可求得，，的值，由此可得大小关系．本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．18.【答案】解：证明：底面ABCD是正方形，，平面PBC，平面PBC，平面PBC，平面ADF与PB交于点E，平面ADFE，平面平面，选条件①②，侧面PAD为等腰直角三角形，且，即，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，则平面ABCD，又ABCD为正方形，，，，以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，点E为PB的中点，则，，，，设平面ADEF的法向量为，则，令，得，设平面PCD的法向量为，则，取，得，，平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为；选条件①③，侧面PAD为等腰直角三角形，且，即，，，，且两直线在平面内，可得平面PAB，平面PAB，则，，，且两直线在平面内，则平面ADEF，平面ADEF，则，，为等腰三角形，点E为PB的中点，，是等腰直角三角形，且，即，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，则平面ABCD，又ABCD为正方形，，，，以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，点E为PB的中点，则，，，，设平面ADEF的法向量为，则，令，得，设平面PCD的法向量为，则，取，得，，平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为；选条件②③，侧面PAD为等腰直角三角形，且，即，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，则平面ABCD，ABCD为正方形，，，，，，且两直线在平面内，则平面ADFE，平面ADFE，则，，是等腰三角形，为PB的中点，，是等腰直角三角形，且，即，，平面平面ABCDm平面平面，平面PAD，则平面ABCD，又ABCD为正方形，，，，以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，点E为PB的中点，则，，，，设平面ADEF的法向量为，则，令，得，设平面PCD的法向量为，则，取，得，，平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为【解析】根据条件可以证明平面PBC，再利用线面平行的性质定理即可证明；选条件①②可以证明出AB，AD，AP两两垂直，建立空间直角坐标系，求出相应坐标，再求出两平面的法向量，进而求出结果，选条件①②或②③，同样可以证明求解．本题考查线线平行的判定与性质、二面角的求法，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：由题意可得，解得，，所以椭圆的方程为：；法设直线的参数方程为为参数，为直线的倾斜角，将直线的方程代入椭圆的方程可得：，整理可得：，设，分别为M，N的参数，可得，所以，因为，所以直线的参数方程为，即为参数，代入椭圆的方程可得，设，为S，T的参数，则，所以，所以，当时，则，当时，则综上所述：法当直线的斜率不存在时，则的斜率为0，可得直线的方程为，代入椭圆的方程可得，解得，设，，这时，直线的方程为，代入椭圆的方程可得，解得，设，，这时，这时；同理可得当直线的斜率不存在时，则的斜率为0时，；当两条直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，点在直线上，则，即，联立，整理可得：，P在椭圆内部，所以，，，则，同理可得，所以，，设，，同理可得，，，，所以，综上所述的取值范围为【解析】由过的点的坐标及离心率的值，可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；法设直线，的参数方程代入椭圆的方程，可得M，N，S，T的参数，进而求出及的表达式，求出的代数式，由角的范围，可得它的取值范围；法两条直线的斜率不存在和斜率为0及直线的斜率都存在且都不为0三种情况讨论，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，进而求出的表达式，由题意可得的表达式，再求的表达式，进而可得它的取值范围．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，参数方程的应用，属于中档题．20.【答案】解：当时，，，又，所以切线l方程为，，因为，所以，，所以，所以，所以在单调递增，所以，，当时，所以，，由知，，所以在上单调递增．所以当时，没有极值点，当时，，因为与在单调递增，所以在单调递增，所以，，所以使得，所以当时，，因此在区间上单调递减，当时，，因此在区间上单调递增，故函数在上恰有一个极小值点，m的取值范围是【解析】当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论；根据极值点与函数的关系，对m进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得m的取值范围．本题主要考查利用导函数研究函数的极值和最值，属于中档题．21.【答案】解：由条件①知，当时，或，因为，由条件①知，所以数列的前四项为：1，，1，；1，，1，5；1，，3，；1，，3，7；若，数列是等差数列，由条件①知，当时，或，因为，所以假设数列中存在最小的正整数，使得，则，，，⋯，单调递增，由则，，，⋯，均为正数，且所以，由条件②知，则存在，使得，此时与，，，⋯，均为正数矛盾，所以不存在整数，使得，即，所以数列为首项为1，公差为4的等差数列．由及条件②，可得，，，⋯，，必为数列中的项，记该数列为，有，不妨令，由条件①，或均不为；此时或或或，均不为，上述情况中，当，时，，结合，则有由，得即为所求．【解析】先根据条件①去绝对值可得或，由得，再根据条件逐个列举即可；由条件①知，当时，或，由得，利用反证法假设数列中存在最小的正整数，使得，根据单调性结合条件②可知假设不成立，即可得结论；先根据条件②可得必为数列中的项，再结合条件①可得分析即可．本题考查了数列的综合应用，属于中档题．。

2018年北京各区一模理科数学分类汇编---数列(含答案)

2018届北京各区一模理科数学分类汇编----数列（含答案） 1.（朝阳）等比数列{}n a 满足如下条件:①10;a >②数列{}n a 的前n 项和1n S <.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式______.【答案】*1()2nn a n =∈N （答案不唯一）【解析】本题考查等比数列通项公式和前n 项和.例:①111(1)111220,,11122212n n a q S -=>===-<-,则12n n a = ②121(1)211330,,11133313n n n a q S -=>===-<-,则1212()333n n n a -=⨯= ③131(1)311440,,11144414n n a q S -=>===-<-,则1313()444n n n a -=⨯= 2. （朝阳）已知集合128={,,,}X x x x 是集合{2001,2002,2003,,2016,S =L 2017}的一个含有8个元素的子集. （Ⅰ）当{2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017}X=时,设,(1,8),i j x x X i j ∈≤≤（i ）写出方程2i j x x -=的解(,)i j x x ;（ii ）若方程(0)ij x x k k -=>至少有三组不同的解,写出k 的所有可能取值.（Ⅱ）证明:对任意一个X ,存在正整数,k 使得方程(1,i j x x k i -=≤8)j ≤至少有三组不同的解.【解析】（Ⅰ）（i ）方程2i j x x -=的解有:(,)(2007,2005),(2013,2011)i j x x =（ii ）以下规定两数的差均为正,则:列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差:1,3,2,4,2,3,1; 中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）:4,5,6,6,5,4; 中间相隔二数的两数差:6,9,8,9,6; 中间相隔三数的两数差:10,11,11,10; 中间相隔四数的两数差:12,14,12; 中间相隔五数的两数差:15,15; 中间相隔六数的两数差:16.这28个差数中,只有4出现3次,6出现4次,其余都不超过2次, 所以k 的可能取值有4,6（Ⅱ）证明:不妨设12820012017x x x ≤<<⋅⋅⋅<≤记1(1,2,,7)ii i a x x i +=-=⋅⋅⋅,1i i i b x x +=-(1,2,,6)i =⋅⋅⋅,共13个差数.假设不存在满足条件的k ,则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6,从而127126()()2(126)749a a a b b b ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅++=①1271268187218172()()()() 2(-)() 2161a a a b b b x x x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=-++--=+-≤⨯+又446=这与①矛盾,所以结论成立.3. （石景山）对于项数为m （1m >）的有穷正整数数列{}n a ,记12max{,,,}k k b a a a =（1,2,,k m =），即k b 为12,,k a a a 中的最大值，称数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”.比如1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.（Ⅰ）若数列{}n a 的“创新数列”{}n b 为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列{}n a ；（Ⅱ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，满足12018k m k a b -++=（1,2,,k m =），求证：k ka b =（1,2,,k m =）；（Ⅲ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{}n a .解：（Ⅰ）所有可能的数列{}n a 为1,2,3,4,1；1,2,3,4,2；1,2,3,4,3；1,2,3,4,4 …………3分（Ⅱ）由题意知数列{}n b 中1k k b b +≥.又12018k m k a b -++=，所以12018k m k a b +-+= …………4分111(2018)(2018)0k k m k m k m k m k a a b b b b +--+-+--=---=-≥所以1k k a a +≥，即k k a b =（1,2,,k m =） …………8分（Ⅲ）当2m =时，由1212b b b b +=得12(1)(1)1b b --=，又12,b b N *∈ 所以122b b ==，不满足题意；当3m =时，由题意知数列{}n b 中1n n b b +>，又123123b b b b b b ++=当11b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12336b b b b >，所以等式成立11b =；当22b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12333b b b b ≥，所以等式成立22b =；当11b =，22b =得33b =，此时数列{}n a 为1,2,3. 当4m ≥时，12m m b b b mb +++<，而12(1)!m m m b b b m b mb ≥->，所以不存在满足题意的数列{}n a .综上数列{}n a 依次为1,2,3. …………13分4. （石景山）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长________．1325. （西城）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．6，2n n +6.（西城）数列n A ：12,,,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ；（Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．解：（Ⅰ）因为 00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =， [ 2分]所以 5{2,4,5}E =． [ 3分] （Ⅱ）由集合n E 的定义知 1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ，所以 11i i k k S S +-≤.[ 5分]又因为 11i k a +<，所以 1111i i i k k k S S a +++-=+ [ 6分] 1.i k S <+所以 11i i k k S S +-<． [ 8分] （Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合 12{,,,}n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知 11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-，同理 101k S S -<，且 m n k S S ≤．所以 12110()()()()m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-101111m m <+++++=个．因为 n S C >，所以n E 的元素个数 1m C +≥． [11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++，并令1n C =+，则 22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意，且 {1,2,,1}n E C =+，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．[13分]7．（西城）某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是A （A ）U →V →W （B ）V →W →U（C ）W →U →V（D ）U →W →V8.（延庆）若是函数的两个不同的零点，且这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则a b +的值等于 B （A ）4 （B ）5 （C ）6（D ）79.（延庆）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a 为(2,3,4,)n n = 阶“Q 数列”： ①120n a a a +++=； ②121n a a a +++=.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q 数列”；（Ⅱ）若2018阶“Q 数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；,a b ()()20,0f x x px q p q =-+>>,,2a b -（Ⅲ）记n 阶“Q 数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =，试证12k S ≤. 解：（Ⅰ）数列11,0,22-为单调递增的3阶“Q 数列”；数列3113,,,8888--为单调递增的4阶“Q 数列”. （答案不唯一） ┄4分（Ⅱ）设等差数列122018,,,a a a 的公差为d ，0d >因为1220180a a a +++=，所以12018()201802a a +=.即120180a a +=.所以10091010+0a a =. 于是100910100,0a a <>. ┄5分由于0d >，根据“Q 数列”的条件①②得1210091-2a a a +++=，10101011201812a a a +++= ┄6分两式相减得210091d =.即211009d = . ┄8分由1201820172018+02a d ⋅=得12017=-2a d ，即12201721009a =-⋅. ┄10分所以222201712-2019(1)21009100921009n n a n =-+-=⨯⨯(,2018)n n *∈≤N . ┄11分（Ⅲ）当k n =时，显然102n S =≤成立；当k n <时，根据条件①得1212()k k k k n S a a a a a a ++=+++=-+++，所以1212k k k k n S a a a a a a ++=+++=+++ . 所以12122k k k k n S a a a a a a ++=+++++++ 12121k k k n a a a a a a ++≤+++++++=.所以12k S ≤(1,2,3,,)k n =. ┄13分 10.（东城）设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和，则“0d >”是“{}n S 为递增数列”的D（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件11. （东城）单位圆的内接正(3)n n ≥边形的面积记为()f n ，则(3)f =_________；下面是关于()f n 的描述:①2()sin 2n f n nπ=； ②()f n 的最大值为π；③()(1)f n f n <+；④()(2)2()f n f n f n <≤.其中正确结论的序号为__________.（注：请写出所有正确结论的序号）（1）（3）（4）12.（东城）在(2)n n n ⨯≥个实数组成的n 行n 列的数表中，ij a 表示第i 行第j 列的数，记12i i i in r a a a =+++ (1)i n ＃，12(1)j j j nj c a a a j n =+++≤≤.若{1,0,1}ij a ∈-(1,)i jn ＃. 且1212,,,,,,,n n r r r c c c 两两不等，则称此表为“n 阶H 表”.记{}1212,,,,,,,n n n H r r r c c c =.（I ）请写出一个“2阶H 表”；（II ）对任意一个“n 阶H 表”，若整数[,]n n λ∈-，且n H λ∉，求证：λ为偶数；（III ）求证：不存在“5阶H 表”. 解（I ）……………………3分（II ）对任意一个“n 阶H 表”，i r 表示第i 行所有数的和，j c 表示第j 列所有数的和（1,i j n ≤≤）.1n i i r =∑与1njj c=∑均表示数表中所有数的和，所以1n i i r =∑1njj c==∑.因为{1,0,1}ij a ∈-，所以1212,,,,,,,n n r r r c c c 只能取[,]n n -内的整数.又因为1212,,,,,,,n n r r r c c c 互不相等，[,]n n λ∈-且n H λ∉，所以1212{,,,,,,,,}{,1,,1,0,1,,1,}n n r r r c c c n n n n λ=--+--，所以λ+1ni i r =∑1njj c=+∑(1)(1)01++(1)0n n n n =-+-+++-++-+=.所以λ12ni i r ==-∑为偶数.………………………………………8分（III ）假设存在一个“5阶H 表”，则由（II ）知55,5,3,3H --∈，且54H ∈和54H -∈至少有一个成立，不妨设54H ∈.设125,5r r ==-，则121,1(15)j j a a j ==-≤≤，于是3(15)j c j ≤≤≤，因而可设34r =，313233341a a a a ====，350a =.①若 3是某列的和，由于52c ≤，故只能是前四列某列的和，不妨设是第一列，即41511a a ==.现考虑3-，只能是4r 或5r ，不妨设43r =-，即424344451a a a a ====-，由234,,c c c 两两不等知525354,,a a a 两两不等，不妨设5253541,0,1a a a =-==，若551a =-则530r c ==；若550a =则541r c ==；若551a =则530c c ==，均与已知矛盾.②若3是某行的和，不妨设43r =，则第4行至少有3个1，若这3个1是前四个中某三个数，不妨设4142431a a a ===，则第五行前三个数只能是3个不同的数，不妨设5152531,0,1a a a =-==，则343c r ==矛盾，故第四行只能前四个数有2个1，第五个数为1，不妨设41424344450,1a a a a a =====，所以53r =-，第五行只能是2个0，3个1-或1个1，4个1-.则515255,,a a a 至少有两个数相同，不妨设5152a a =，则12c c =与已知矛盾.综上，不存在“5阶H 表”. ………………………………………13分13. （房山）已知有穷数列()12:,,...,2,n B a a a n n N ≥∈数列B 中各项都是集合{}11x x -<<的元素，则称该数列为Γ数列．对于Γ数列B ，定义如下操作过程T :B 中任取两项,p q a a的最后，然后删除,p q a a 这样得到一个1n -项的新数列1B (约定：一个数也视作数列)．若1B 还是Γ数列，可继续实施操作过程T ，得到的新数列记作2B ，…，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k B .解：（Ⅰ）1B 有如下的三种可能结果：11111115:,;:,;:0,32237B B B……………………3分（Ⅱ）∀,{|11}a b x x ∈-<<，有(1)(1)1011a b a b ab ab +----=<++且(1)(1)(1)0.11a b a b ab ab+++--=>++ 所以1a b ab++{|11}x x ∈-<<，即每次操作后新数列仍是Γ数列.又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对Γ数列A 每操作一次，项数就减少一项，所以对n 项的Γ数列A 可进行1n -次操作（最后只剩下一项） ……………………6分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知9B 中仅有一项.对于满足,{|11)a b x x ∈-<<的实数,a b 定义运算：1a ba b ab+=+，下面证明这种运算满足交换律和结合律。

2018届北京各区一模理科数学分类汇编---参数、极坐标、复数(含答案)

2018届北京各区一模理科数学分类汇编----参数、极坐标、复数（含答案）1.（朝阳）直线l的参数方程为=,1+3x y tìïïíï=ïî（t 为参数），则l 的倾斜角大小为（） C A ．6π B ． 3π C ． 32π D ．65π 2.（石景山）已知圆C 的参数方程为cos ,sin 2,x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ+=，则直线截圆C 所得的弦长是_____________3. （延庆）在复平面内，复数-2i 1i +的对应点位于的象限是 C （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4. （延庆）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设():cos sin 2l +=ρθθ，M 为l 与224x y +=的交点，则M 的极径为．25. (东城)复数i 1iz =-在复平面上对应的点位于（）B （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限6. （东城）在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线sin 1ρθ=的距离为．17. （房山）已知复数i 21+=z ，且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则=21z z B （A ）1+i （B ）i 5453+ （C ）i 54-53 （D ）i 341+ 8. （房山）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l 的距离为______．29. （丰台）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 D(A) sin ρθ=(B) 2sin ρθ= (C) cos ρθ=(D) 2cos ρθ=10. （丰台）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B对应的复数分别是1z ，2z ，则21z z = ____．12i -- 11. （海淀）复数2i 1i=+ _____________.1+i12.（海淀）直线2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的公共点个数为__________.213．（西城）已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为 B（A ）2sin ρθ=-（B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=- （D ）2cos ρθ=14．（西城）若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____． -7。

6.石景山答题卡：202305初三数学一模

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石景山区2023年初三统一练习
数学试卷答题卡
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事
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北京市石景山区2021届高三一模数学试题(含答案解析)

石景山区2021年高三统一练习20213本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡.匕在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1 )已知集合/= {1,3,5}, 2?={X|X2-16<0},则408 =(B) {3,5} (C) {1,3,5} (D) (0,4)(A) {1,3}(2)下列函数中，是奇函数且最小正周期7 =兀的是(A) /(x) = - (B) f{x} = /x(C) /(x) = 2sinxcosx (D) /(x) = sinx/jj — i(3)灾数巴」在发平面上对应的点位于第一象限，则实数。

的取值范围是1(A) y,T) (B) S,o) (C) (0,+oo) (D) (U+oo)(4)一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是(5)“直线/垂直于平而口内无数条直线”是“直线/垂直于平而的(A)充分而不必要条件《B》必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(6)已知菱形438 的边长为。

，^ABC= 60°,则丽•历=(A) ~cr (B) (C> -a2CD)/2 4 4 2(7 )过抛物线产=41的然点/的直线交抛物线于4、。

两点，若产是线段45的中点, 则| AB\=(A) 1 (B) 2 (C> 3 (D) 4(8) “回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22, 121, 3443等. 那么在四位数中，回文数共有(A)81 个 (B) 90 个(C> 100个(D) 900个(9)己知”X)二卜.一若|/(外伊始•在上恒成立，则实数。

的取值[3x-2,x>0,范围是(B)(-«,-1]U[0,-H») (B> [0,1](C)(-U0] (D) (-1, 0)(10)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三珀形的“欧拉线”.在平面直用坐标系中作 08=47=4,点W-L3),点G(4「2),且其“欧拉线”引见反(五一。

2018北京六区高三一模数学(理)解答题分类汇编--立体几何

2018北京六区高三一模数学（理）解答题分类汇编--立体几何【西城一模】17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC？若存在，求出11A FA C的值；若不存在，说明理由．图1 图2解：（Ⅰ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，AD AE =．所以11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥．[1分]因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ，[3分] 所以 1A O BD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE OG ⊥．由（Ⅰ）得1A O OE ⊥，1A O OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -．[5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -．所以1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-．设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以(1,2,1)=-n ．[7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ．所以直线1A C 和平面1A BD所成角的正弦值为3．[9分] （Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．[10分]设111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-，所以1112,2,22x y z λλλ===-，从而(2,2,22)F λλλ-，所以(2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=，所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==．[12分]，整理得23720λλ-+=．[13分] 解得13λ=，舍去2λ=．所以线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =．[14分] 【朝阳一模】16．(本小题满分14分)如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为AD 的中点，O 为BE 中点．将ABE ∆沿BE 折起到A BE '，使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2）．（Ⅰ）求证：A O CD '⊥；（Ⅱ）求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段A C '上是否存在点P ，使得//OP 平面A DE '? 若存在，求出A PA C''的值；若不存在，请说明理由．证明：（Ⅰ）由已知2AB AE ==，因为O 为BE 中点，所以A O BE '⊥．因为平面A BE '⊥平面BCDE ，且平面A BE'平面BCDE BE =，A O '⊂平面A BE '，所以A O '⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A O CD '⊥． ………….5分（Ⅱ）设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点．由已知易得OF OG ⊥．由（Ⅰ）可知，A O '⊥平面BCDE ，所以A O OF '⊥，A O OG '⊥.以O 为原点，,,OF OG OA '所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为2A B '=，4BC =，所以(00(110),(130),(130),(11A B C D E ,，，，，，，，'---．设平面A DE '的一个法向量为111(,,)x y z =m ，因为(132),(020)A D DE ，，，，'=--=-，所以 0, 0,A D DE ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即111130,20. x y y ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩取11z =-，得1)=-m ．而A C '=(1,3,.所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值sin 3θ== ……….10分（Ⅲ）在线段A C '上存在点P ，使得//OP 平面A DE '.图1EABCDOA '图2CBDEO设000(,,)P x y z ，且(01)A PA Cλλ'=≤≤'，则A P A C λ''=，[0,1]λ∈．因为(00(130)A C ，，'，所以000(,,(,3,)x y z λλ=，所以000,3,x y z λλ===，所以(,3)P λλ，(,3)OP λλ=．若//OP 平面A DE '，则OP ⊥m .即0OP ⋅=m .由（Ⅱ）可知，平面A DE '的一个法向量1)=-m ，0=，解得1[0,1]2λ=∈，所以当12A P A C'='时，//OP 平面A DE '． ……….14分【丰台一模】（16）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，22PA BC AB ===，PB =（Ⅰ）求证：BC PB ⊥；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值；（Ⅲ）若点E 在棱PA 上，且BE ∥平面PCD ，求线段BE 的长．（16）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面⊥平面，且平面PAB平面=ABCD AB ，因为BC ⊥AB ，且BC ⊂平面ABCD所以BC ⊥平面PAB ． ……………………3分因为PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥． ……………………4分（Ⅱ）解：在△PAB 中，因为=2PA ，=PB ，所以222=+PA AB PB ，所以PB ⊥AB ． ……………………5分所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示．所以(1,0,0)A -，(0,0,0)B ，(0,2,0)C ，(1,3,0)D -，P ，(1,1,0)CD =-，(0,2,PC =．PAB ABCD PB =1AB易知平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,1)n ． ……………………6分设平面的一个法向量为=(,,)x y z m ，则00CD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即2x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令=2z，则=m ． ……………………8分设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,5α⋅=<>===⋅n m n m n m ，即二面角P CD A --……………………10分（Ⅲ）解：因为点在棱，所以AE AP λ=，[0,1]λ∈． ……………………11分因为=AP （，所以=)AE λ（，()BE BA AE λ=+=-．………12分又因为平面，m 为平面的一个法向量，所以0BE ⋅=m1)20λλ-+=，所以1=3λ． ………………13分所以2(,0,33BE =-，所以7==BE BE ． …………………14分【海淀一模】( 17)（本小题14分）已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： (I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值； (Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CM PM λ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BNBP的取值范围．PCD E PA //BE PCD PCD17.（本题满分14分）（Ⅰ）方法1：OPCA B设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以PO OB ⊥ 因为ACOB O =，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC ····················· 4分所以平面PAC ⊥平面ABC 方法2：OPCA B设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒ 所以PO OB ⊥ 因为ACOB O =，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC ····················· 4分所以平面PAC ⊥平面ABC 方法3：OPCA BQ设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB . 因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点所以PQ AB ⊥. 因为PQOQ Q =，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以AB ⊥平面OPQ 因为OP ⊂平面OPQ 所以OP AB ⊥ 因为ABAC A =，,AB AC ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC ····················· 4分所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)B ，(1,0,0)A -，(0,0,1)P由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为(0,1,0)OB = 由(1,1,0)BC =-，(1,0,1)PC =- 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则由00BC PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即(1,1,1)n =cos ,3||||3n OB n OB n OB ⋅<>===⋅由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B -- ·············· 9分（Ⅲ）设BN BP μ=，01μ≤≤，则(1,1,0)(1,0,1)(1,1,)BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-令0BM AN ⋅=得(1)1(1)(1)0λμλμ-⋅+-⋅-+⋅=即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数，当12[,]33λ∈时，12[,]45μ∈，所以12[,]45BN BP ∈ ······················· 14分【东城一模】(17)（本小题14分）如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将△PAD, △PBC 沿 PA,PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2．在三棱锥P-OAB 中，E 为 PB 中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥AB;(II ）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； (Ⅲ）求二面角P-AO-E 的大小．（17）（共14分）证明：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥,PC BC ⊥，所以在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥. 因为OA OB O =，所以PO ⊥平面OAB .因为AB ⊂平面OAB ,所以PO AB ⊥. ……………………4分（Ⅱ）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM . 过点O 作AB 的平行线OG .因为PO ⊥平面OAB ，所以PO ⊥OF ，PO ⊥OG . 因为OA ＝OB ，F 为AB 的中点，所以OF ⊥AB . 所以OF ⊥OG .如图所示，建立空间直角坐标系O －xyz .A ()1，3，0，B ()－1，3，0，P ()0，0，1，M (12，32，0)．因为BO ＝BA ，M 为OA 的中点，所以BM ⊥OA .因为PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，所以平面POA ⊥平面OAB .因为平面POA ∩平面OAB ＝OA ，BM ⊂平面OAB ，所以BM ⊥平面POA .因为BM uuu r ＝(32，－32，0)．所以平面POA 的法向量m ＝()3，－1，0.BP uu r＝(1，－3，1)．设直线BP 与平面POA 所成角为α，则sin cos BP BP BPa ×=<>==uu r uu ruu r m m,m . 所以直线BP 与平面POA 所成角的正弦值为155. ………………10分（Ⅲ）由(Ⅱ)知1122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1122OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()OA =.设平面OAE 的法向量为n ，则有 0,0.OA OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩ 令1y =-，则xz =即=-n .所以21cos ,242⋅===⋅⨯m n m n m n .由题知二面角P －AO －E 为锐角，所以它的大小为3p. ……………………………14分【石景山一模】17．（本小题共14分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB //PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF PC ⊥；（Ⅱ）求证：BD //平面PEC ；（Ⅲ）求二面角D PC E --的大小． 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ．如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．……2分11 / 11 依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ．因为(2,0,2)AF =，(4,4,4)PC =-，所以80(8)0AF PC ⋅=++-=． ……5分所以AF PC ⊥. ……6分（Ⅱ）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．因为(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-，(4,4,0)BD =-，所以2BD EM =，所以//BD EM ． ……8分又因为EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，所以//BD 平面PEC ． ……9分（Ⅲ）解：因为AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =，所以AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =为平面PCD 的一个法向量．……10分设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =，因为(4,4,4)PC =-，(0,4,2)PE =-，所以0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令1y =-，得1x =-，2z =-，故(1,1,2)n =---． ……12分所以cos ,AF n <>==， ……13分所以二面角D PC E --的大小为5π6． ……14分。

2020-2021学年北京市石景山区高三统一测试（一模）数学（理）试题及答案解析

2020-2021学年北京市⽯景⼭区⾼三统⼀测试（⼀模）数学（理）试题及答案解析⾼考数学模拟试题本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答⽆效．考试结束后上交答题卡．第⼀部分（选择题共40分）⼀、选择题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．1．若集合}0|{≥=x x A ，且A B B =I ，则集合B 可能是（） A ．}2,1{ B ．}1|{≤x x C ．}1,0,1{- D ． R 2．在极坐标系中，圆2ρ=被直线sin 1ρθ= 截得的弦长为（）AB ．2 C． D ．33．执⾏如右图的程序框图，若输出的48S =，则输⼊k 的值可以为（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．⼆项式621(2)x x +的展开式中，常数项的值是（） A ．240 B ．60 C ．192 D ．1806．等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（） A ．12mk - B ．2mkC ．12mk +D ．12mk + 7．在如图所⽰的空间直⾓坐标系O xyz -中，⼀个四⾯体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四⾯体的正视图和俯视图分别为（）②③④A ．①和②B ．③和①C ．③和④D ．④和② 8．如果双曲线的离⼼率215+=e ，则称此双曲线为黄⾦双曲线．有以下⼏个命题：①双曲线115222=--y x 是黄⾦双曲线；②双曲线115222=+-x y 是黄⾦双曲线；③在双曲线22221x y a b-=中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 290=?,则该双曲线是黄⾦双曲线；④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON 120=?，则该双曲线是黄⾦双曲线．其中正确命题的序号为（）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④第⼆部分（⾮选择题共110分）⼆、填空题共6⼩题，每⼩题5分，共30分．9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z zz ?+-=___________．10．如图，AB 是半径等于3的圆O 的直径， CD 是圆O 的弦，BA 、DC 的延长线交于点P ，若PA ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝ ___________．11．设不等式组1,0,20y x y x y ≤??+≥??--≤?表⽰的平⾯区域为D ，在区域D 内随机取⼀点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________．12．如图，在66?的⽅格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c v v v 满⾜,(,)c xa yb x y R =+∈v v v，则=x y．13．若甲⼄两⼈从6门课程中各选修3门，则甲⼄所选的课程中恰有2门相同的选法．．有种（⽤数字作答）． 14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成⽴，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①1{(,)|}M x y y x==；②2{(,)|log }M x y y x ==；③{(,)|2}xM x y y e ==-；④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“垂直对点集”的序号是．三、解答题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本⼩题满分13分）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，设锐⾓α的始边与x 轴的⾮负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针⽅向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ?的⾓,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C =，且a =1c =，求b .16．（本⼩题满分13分）ACDE FB下表是由天⽓⽹获得的全国东西部各6个城市3⽉某时刻实时监测到的数据：(Ⅰ) 求x 的值，（只需写出结果）；(Ⅱ)环保部门从空⽓质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进⾏调研，记选到空⽓质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 17．（本⼩题满分14分）如图，多⾯体ABCDEF 中，平⾯ADEF ⊥平⾯ABCD ，正⽅形ADEF 的边长为2，直⾓梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4． (Ⅰ)求证：BC ⊥平⾯BDE ；(Ⅱ)试在平⾯CDE 上确定点P ，使点P 到直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平⾯BEF 所成的⾓等于30°．18．（本⼩题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)af x x a xg x a x+=-=->． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成⽴，求a 的取值范围．19．（本⼩题满分14分）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>离⼼率2e =，短轴长为(Ⅰ)求椭圆C 的标准⽅程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率⽆关）？请证明你的结论．20．（本⼩题满分13分）设数列{}n a 满⾜：①11a =；②所有项*N a n ∈；③ΛΛ<<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最⼤值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满⾜不等式n a m ≤的所有项的项数的最⼤值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； (Ⅱ)设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；(Ⅲ)若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ．⽯景⼭区⾼三统⼀测试数学（理）参考答案⼀、选择题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．三、解答题共6⼩题，共80分．15．（本⼩题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2 y y πααα==+=， ………………3分所以()sin cos)4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()f α∈. ………7分（Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ?中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2122b =+-，解得1b =. ……………13分 16．（本⼩题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部类城市有4个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===Q ,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=?+?+?=． ………………13分 17．（本⼩题共14分）（Ⅰ）证明：因为平⾯ABEF ⊥平⾯ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平⾯ABCD ………………1分⼜因为BC ?平⾯ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分在直⾓梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2，所以，BD ⊥BC ……………4分⼜因为ED I BD=D ，所以BC ⊥平⾯BDE ． ……………5分（Ⅱ）如图建⽴空间直⾓坐标系D -xyz ……6分则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-u u u r u u u r…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=r是平⾯BEF 的⼀个法向量，则00n EF n Eb ??==??r u u u r r u u r 所以202220x x y z '=??'''+-=?，令1y '=，得011x y z '=??'=??'=?所以()0,1,1n =r …………9分因为AP 与平⾯BEF 所成的⾓等于30o，所以AP 与(0,1,1)n =r 所成的⾓为60o 或120o所以1cos ,2AP n AP n AP n ?<>===?u u u r r u u u r r u u ur r………11分所以22440(*)y z yz ++-=L L L⼜因为y z =，所以y z =或y z =- ………12分当y z =-时，（*）式⽆解当y z =时，解得：3y z ==±………13分所以，P或(0,P --. ………14分 18.（本⼩题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减；当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极⼩值，极⼩值为(1)1ln11f =-=； ……..4分（Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞．⼜222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x--++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>，所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分（III ）若在[1,]e 上存在⼀点0x ，使得00()()f x g x <成⽴，即在[1,]e 上存在⼀点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最⼩值⼩于零． …8分①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减．故()h x 在[1,]e 上的最⼩值为()h e ，由1()0a h e e a e+=+-<，可得211e a e +>-． ………9分因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最⼩值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满⾜题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-． ………13分19．（本⼩题共14分）（Ⅰ）由短轴长为，得b =………………1分由c e a ===224,2a b ==．∴椭圆C 的标准⽅程为22142x y +=． ………………4分（Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=，∵(2,0)A -，∴直线PA ⽅程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分直线QA ⽅程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分【或通过求得圆⼼00202(0,)4x y O x '-，204||4y r x =-得到圆的⽅程】即222000220044044x y y x y y x x +-+=--，∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分 20．（本⼩题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分（Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b ==……………………4分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ====……………………5分当*∈≤≤N m m ,269时，326109====b b b ……………………6分当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=?+?+?+?=+++b b b ……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分由21n a n m =-≤得：*1 ()2m n m N +≤∈因为使得n a m ≤成⽴的n 的最⼤值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -======∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=?-+==+……………………11分当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=?=+=+……………………12分所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ?+=-∈??=?+?=∈??……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2024年北京石景山中考数学试题及答案(1)

2024年北京石景山中考数学试题及答案考生须知：1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D．2．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（）A ．29︒B ．32︒C ．45︒D ．58︒3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．1b >-B ．2b >C ．0a b +>D ．0ab >4．若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A ．16-B ．4-C ．4D ．165．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（　）A ．34B ．12C ．13D ．146．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（）A ．16810⨯B ．17210⨯C ．17510⨯D ．18210⨯7．下面是“作一个角使其等于AOB ”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。

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石景山区2018年初三统一练习暨毕业考试
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知：
1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要
考生将主要过程正确写出即可．
2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分.
3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8

答案 B C D A C C B B
二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．<． 10．八． 11．5． 12．100,3100.3xyxy
13． 2． 14．4． 15． 40.0．
16．（1）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
（2）全等三角形的对应角相等．
三、解答题（本题共68分，第17、18题，每小题5分；第19题4分；第20-23题，每
小题5分；第24、25题，每小题6分；第26、27题，每小题7分；第28题8分）．
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．解：原式=2251322 ………………4分
422.
………………5分

18．解：原不等式组为3(1)45,62.2xxxx
解不等式①，得2x． ………………2分
解不等式②，得2x． ………………4分
∴原不等式组的解集为<2x． ………………5分

19．解：3，2，1； ………………2分

①
②
2

图1

EB、BF；FC、CG；GD、DH；HA. ………………4分
20．解：（1）∵24bac
2(32)24mm
2(32)0m≥

∴当0m且23m时,方程有两个不相等实数根. …………… 3分
（2）解方程，得： 12xm,23x． …………… 4分
∵m为整数,且方程的两个根均为负整数,
∴1m或2m．
∴1m或2m时, 此方程的两个根都为负整数. …………… 5分

21．（1）证明：（法一）
过点B作BH⊥CE于H，如图1．
∵CE⊥AD，
∴∠BHC＝∠CED＝90°，190D．
∵∠BCD＝90°，
∴1290，
∴2D．
又BC＝CD
∴BHC△≌CED△．
∴BHCE．
∵BH⊥CE，CE⊥AD，∠A＝90°，
∴四边形ABHE是矩形，
∴AEBH．
∴AECE． ………………3分
（法二）过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H．图略，证明略．
（2）解： ∵四边形ABHE是矩形，
∴ABHE．

∵在RtCED△中，tan3CEDDE,
设,3DExCEx，

1
2
B

D
E
3

∴10210CDx．
∴2x．
∴2DE,6CE． ………………4分
∵2CHDE．
∴624ABHE． ………………5分
22．解：（1）∵函数0ayxx的图象过点3,2Aa，

∴23aa，解得3a． ………………1分
∵直线1lyxb：过点3,1A,
∴2b． ………………2分
（2）设直线2yx与x轴交于点D，则(2,0)D，
直线yxm与x轴交于点(,0)Bm，

与直线yxb交于点22(,)22mmC．
①当S△ABC=S△BCD+S△ABD=6时，如图1.
可得211(2)(2)1642mm，
解得2m，8m（舍）.

②当S△ABC=S△BCD-S△ABD=6时，如图2.
可得211(2)(2)1642mm，
解得8m，2m（舍）.
综上所述，当8m≥或2m≤时，S△ABC6≥. ………………5分

图1 图2

y
x
123456789

1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
C
A
D
O

y
x
123456

1
2
3
4
5
6
B
C

D
O
4

23．（1）证明：连接OE交DF于点H，
∵EF是⊙O的切线，OE是⊙O的半径，
∴OE⊥EF.
∴190F°.
∵FD⊥OC，
∴3290.
∵12，
∴3F. ………………1分

∵132CBE，
∴12CBEF. ………………2分
（2）解：∵15CBE°，
∴3230FCBE°.

∵⊙O的半径是23，点D是OC中点，
∴3OD.

在RtODH中，cos3ODOH，
∴2OH. ………………3分
∴232HE.

在RtFEH中，tanEHFEF. ………………4分
∴3623EFEH. ………………5分
24．解:（1） 0，1，4，5，0，0 ………………1分
（2） 14，84.5，81 ………………4分
（3）甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙,说明甲成绩稳定;

两人的平均数相同且甲的极差小于乙,说明甲成绩变化范围小.
（写出其中一条即可）
或：乙，理由：在90≤x≤100的分数段中，乙的次数大于甲.
………………6分
（答案不唯一，理由须支撑推断结论）

H
3

1
F

B
O

C
5
25.解：（1）4； 0. ………………2分
（2）

………………4分
（3）1.1或3.7 . ………………6分
26．解:（1）323A,. ………………………………… 2分
（2）①设抛物线2G的表达式为2(3)23ymx，
如图所示，由题意可得2333AD.
∵=90BAC°，ABAC，
∴=45ABD.
∴3BDAD.
∴点B的坐标为(0,3).
∵点B在抛物线2G上，

可得33m.
∴抛物线2G的表达式为23(3)233yx，
即23233yxx. ………………… 5分
②339m. ………………… 7分

y
x
D

x=3

A
C
B

O
l

y
x/cm/cm
1
2
3
4
5

–112345
–1
O
6

27．（1）补全图形如图1. ………………… 1分

（2）①证明：
连接BD，如图2，
∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴AQAP，90QAP°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴ADAB，90DAB°．
∴12．
∴△ADQ≌△ABP． ………………… 3分
∴DQBP，3Q．
∵在RtQAP中，90QQPA°，
∴390BPDQPA°．
∵在RtBPD中，222DPBPBD，
又∵DQBP，222BDAB，
∴2222DPDQAB． ………………… 5分
②BPAB． ………………… 7分

3
2
1

B
A

C
D

M
P

图2

Q
BA
D
C
M
P

图1
7
28．解：（1）25； ………………… 2分
（2）∵直线yxb上只存在一个点B，使得点,AB的“确定圆”的面积
为9，
∴⊙A的半径3AB且直线yxb与⊙A相切于点B，如图，
∴ABCD，45DCA°．

①当0b时，则点B在第二象限．
过点B作BEx轴于点E，
∵在RtBEA中，45BAE°，3AB，

∴322BEAE．

∴323222B（，）．
②当0b时，则点'B在第四象限．
同理可得3232'22B（，）．

综上所述，点B的坐标为323222（，）或323222（，）．
………………… 6分

（3）5m≤或11m≥． ………………… 8分

y
xl'lECDBB'3A