2011年北京市石景山区高三一模数学(理)试题及答案
石景山区2011-2012学年第一学期期末考试试卷
石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃)(B A C U （ ）A ． }3{B ． }2{C ．}4,2,1{D ．}4,1{2．已知复数i1i1z -+=，则复数z 的模为（ ） A ． 2B ．2C ．1D ． 03．在极坐标系中，圆θρcos 2-=的圆心的极坐标是（ ）A ． )2,1(π B ． )2,1(π-C ．)0,1(D ．),1(π4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图 为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角 边长为2，那么这个几何体的体积为（ ）A ．38 B ．34 C ．4D ．25．执行右面的框图，若输出结果为21， 则输入的实数x 的值是（ ）A ．23 B ．41 正视图侧视图俯视图C ．22 D ．26.设抛物线x y 82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．127.以下四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”； ②若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题；③命题p ：存在R x ∈,使得012<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x ；④在ABC∆中,B A <是B A sin sin <的充分不必要条件. A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.对于使M x x ≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的 上确界,若+∈R b a 、，且1=+b a ，则122a b--的上确界为（ ） A ．92B ．92-C ．41 D ．-4第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．在ABC ∆中，若32,120,2=︒=∠=a A c ，则=∠B ． 10．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC，已知PA =4PC =，圆心O 到BC 的距O 的半径为 ．PABCO•11．已知向量)1,3(=a ，)1,0(=b ，)3,(k c =，若b a 2+与c 垂直，则=k ．12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = ． 13．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种． 14.已知函数)1,0(log )(≠>+-=a a b x x x f a 且，当2131<<a 且43<<b 时， 函数)(x f 的零点*0),1,(N n n n x ∈+∈，则=n ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x f 2sin 21cos 3)(2+=．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：甲 乙 1 8 6 0 02 4 4 23（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和Y 的分布列和数学期望．（注：方差[]222212)()()(1x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为1x ，2x ，⋯n x 的平均数）FCBA17．（本小题满分14分）如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点．（Ⅰ）求证：BM ∥平面ADEF ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BEC ；（Ⅲ）若3=DE ，求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分） 已知.,ln )(R a x ax x f ∈-=（Ⅰ）当2=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在1=x 处有极值，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]e ,0的最小值是3，若存在，求出a 的值； 若不存在，说明理由.19．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）过点M （0，2），离心率36=e .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过定点N （2，0）的直线l 与椭圆相交于B A 、两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点),求直线l 倾斜角的取值范围.20．（本小题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数q p 、,使得1n n c pc q+=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是 “κ类数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“κ类数列”？若是，指出它对应的实常数q p 、，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则数列}{1++n n a a 也是“κ类数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2012项的和．并判断{}n a 是否为“κ类数列”，说明理由．石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）x x x f 2sin 2122cos 13)(++=232sin 212cos 23++=x x 23)32sin(++=πx ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以ππ65320≤+≤x …………9分当232ππ=+x 时，即12π=x 时，)(x f 的最大值为231+,………11分当032=+πx 时，即6π-=x 时，)(x f 的最小值为23. ………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数24430242418=+++=x ； ……………………2分[]18)2430()2424()2424()2418(4122222=-+-+-+-=s ……5分（Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况：（18，20）（18，20）（18，26）（18，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（30，20）（30，20）（30，26）（30，32） …………8分 得分和可能的结果有：38,44,50,56,62 …………9分 得分和Y 的分布列为：…………11分 数学期望161621635616550165448138⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EY 5.48= ………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：取DE 中点N ，连结,MN AN ．在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =．所以四边形ABMN 为平行四边形． ………2分所以BM ∥AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF ． ………………………………4分 （Ⅱ）证明：在矩形ADEF 中，ED AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ………………………………5分在直角梯形ABCD 中，2AB AD ==，4CD =，可得BC =在△BCD 中，4BD BC CD ===， 因为222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥．因为BD DE D ⋂=,所以BC ⊥平面BDE ．………………………7分 又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC ．…………………………………………8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ED ⊥平面ABCD ，且AD CD ⊥．以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．(2,2,0),(0,4,0),(0,0,3)B C E ． …………………………………9分易知平面DEC 的一个法向量为m )0,0,1(=．…………………………10分 设(,,)x y z =n 为平面BEC 的一个法向量， 因为(2,2,0),BC =-(0,4,3)CE =- 所以220430x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得41,3y z ==． 所以4(1,1,)3=n 为平面BEC 的一个法向量． …………………………12分 设平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角为θ．则cos ||||||θ⋅===⋅m n m n ． 所以平面BEC 与平面DEC14分3．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得)(x f 的定义域为(0)+∞，， 因为()ln f x ax x =-，所以'1()f x a x =-当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f =因为'1 ()2f x x =-，所以'1 (1)211f =-=……………………2分 所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2(1)(1)y f x '-=-，即10x y -+= …………………………4分 （Ⅱ）因为)(x f 在1=x 处有极值，所以(1)0f '=， 由（Ⅰ）知(1)1f a '=-，所以1a =经检验，1a =时)(x f 在1=x 处有极值． …………………………6分 所以()ln f x x x =-，令'1()10f x x=->解得10x x ><或； 因为)(x f 的定义域为(0)+∞，，所以'()0f x >的解集为(1)+∞，， 即)(x f 的单调递增区间为(1)+∞，. …………………………………………8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3， ① 当0≤a 时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=，舍去. …………………………10分 ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增，3ln 1)1()(min =+==a a f x f ，2e a =，满足条件. ………………………12分③ 当e a≥1时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=，舍去. 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3. ……………14分19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得36,2==a c b 结合222c b a +=，解得122=a所以，椭圆的方程为141222=+y x . ………………4分 （Ⅱ） 设),(),,(2211y x B y x A ，则),(),,(2211y x y x ==. ①当221==x x 时，不妨令)362,2(OB ),362,2(OA -== 034384>=-=⋅，当斜率不存在时，AOB ∠为锐角成立 ………………6分②当21x x ≠时，设直线l 的方程为：)2(-=x k y由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+)2(141222x k y y x 得12)2(3222=-+x k x 即0121212)31(2222=-+-+k x k x k .所以22212221311212,3112kk x x k k x x +-=⋅+=+， ………………8分 ]4)(2[()2)(2(2121221221++-=--=⋅x x x x k x x k y y22424224314123124311212kk k k k k k k ++++-+-= 22318k k +-= ………………10分2121y y x x +=⋅03112422>+-=kk 解得33-<>k k 或. ……………………12分综上，直线l 倾斜角的取值范围是)32,3(ππ . …………………13分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈故数列{}n a 是“κ类数列”，对应的实常数分别为1,2 …………… 1分 因为32n n b =⋅，则有12n n b b +=，*n N ∈.故数列{}n b 是“κ类数列”，对应的实常数分别为2,0. …………… 3分 （Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、，使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立， 故数列{}1n n a a ++也是“κ类数列”．对应的实常数分别为,2p q ． ……………6分（Ⅲ）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈ 则有1232a a t +=⋅，33432a a t +=⋅，20092009201032a a t +=⋅20112011201232a a t +=⋅故数列{}n a 前2012项的和2012S =()12a a ++()34a a +++()20092010a a ++()20112012a a + ()320092011201232323232221t t t t t =⋅+⋅++⋅+⋅=- ……………9分 若数列{}n a 是“κ类数列”， 则存在实常数q p 、使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立， 而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，且)(23*121N n t a a n n n ∈⋅=++++， 则有132322n n t t p q +⋅=⋅+对于任意*n N ∈都成立，可以得到(2)0,0t p q -==，当2,0p q ==时，12n n a a +=，2n n a =，1t =，经检验满足条件. 当0,0t q == 时，1n n a a +=-，12(1)n n a -=-，1p =-经检验满足条件. 因此当且仅当1t =或0t =时，数列{}n a 是“κ类数列”.对应的实常数分别为2,0或1,0-． ………………… 13分注：若有其它解法，请酌情给分．。
年石景山区高三统一测试数学理
年石景山区高三统一测试数学理TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】2007年石景山区高三统一测试数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内。
1．设全集U ={1，3，5，7，9}，集合A ={1，9，|a －5|}， ={5，7}，则a 的值为（ ）A ．2B ．8C ．－2或8D ．2或82．若复数2121·1,3z z i z i z ，则-=+=在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．把函数)24sin(x y -=π的图象向右平移8π个单位，所得图象对应函数的最小正周期是（ ）A ．πB ．2 πC ．4 πD ．2π4．光线沿直线y=2x +1射到直线y=x 上，被直线y=x 反射后的光线所在的直线方程为（ ）A ．121-=x yB ．2121-=x y C ．2121+=x yD ．121+=x y5．从4台A 型笔记本电脑与5台B 型笔记本电脑中任选3台，其中至少要有A 型和B 型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（ ）A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种6．对于不重合的两条直线m ，n 和平面α，下列命题中的真命题是（ ）A ．如果αα⊄⊂n m ,，m ，n 是异面直线，那么α//nB ．如果αα//,n m ⊂，m ，n 是共面，那么n m //C ．如果αα⊄⊂n m ,，m ，n 是异面直线，那么α与n 相交D ．如果αα//,//n m ，m ，n 共面，那么n m //7．已知数列}{n a 的前n 项和S n 满足131-=n n a S ，那么)(lim 242n n a a a +++∞→ 的值为（ ）A ．21B ．32 C ．1 D ．－28．已知函数))((R x x f ∈的图象如图所示，则函数)11()(-+=x x f x g 的单调递减区间是（ ） A ．),1(],0,(+∞-∞ B ．),3[],0,(+∞-∞C ．),1(),1,(+∞-∞D ．)1,1[-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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16．（本小题共 14 分）
如图1，在 Rt ABC 中， C 90 ， BC 3， AC 6 ． D ､ E 分别是 AC ､ AB 上的点，且 DE / / BC ，将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使 A1D CD ， 如图 2 ． （Ⅰ）求证： BC 平面 A1DC ； （Ⅱ）若 CD 2 ，求 BE 与平面 A1BC 所成角的正弦值； （Ⅲ）当 D 点在何处时， A1B 的长度最小，并求出最小值． A1
④ 函数 y f (x) 在 ( 1 , 3 ] 上是增函数． 22
则上述命题中真命题的序号是
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共 13 分）
已知函数 f (x) sin 2x ( sin x cos x) ． cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的定义域及最小正周期；
1．设集合U {1, 2,3, 4}， A {1, 2}， B {2, 4} ，则 (CU A) B （ ）
Байду номын сангаас
A．{1, 2}
2．若复数 Z1 i ， Z2
A． 1 3i
B．{2，3, 4}
3 i ，则 Z 2 Z1
B． 2 i
（
3． AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线， AB (2, 4) ， AC (1,3) ，则 AD （
C．{3, 4}
）
C．1 3i
C． (1,1)
输入 x
D．{1, 2,3, 4}
D． 3 i
x>2
D． (1, 1)
否
y=x2 -1 y= log2 x
石景山区高三一模数学理有答案
北京市石景山区 2018 年 高 三 统 一 测 试数学试题（理科）考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分150分，考试时间为120分钟。
2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数21i +等于 （ ）A ．2i -B ．2iC ．1i -D ．1i + 2．已知命题:,2p x R x ∀∈≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．,2x R x ∀∈≤B ．,2x R x ∀∈≤C ．2,-≤∈∀x R xD ．2,-<∈∀x R x3．已知平面向量)2,1(=a ，m b a m b 则且,//),,2(-=的值为（ ）A ．1B ．-1C ．4D ．-44．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎝2）为 （ ）A ．80B ．60C ．40D ．205．经过点P （2，-3）作圆25)1(22=++y x 的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）A ．05=--y xB ．05=+-y xC ．05=++y xD ．05=-+y x6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ） A ．求数列}1{n 的前10项和)(*N n ∈B ．求数列}21{n 的前10项和)(*N n ∈C ．求数列}1{n 的前11项和)(*N n ∈D ．求数列}21{n的前11项和)(*N n ∈7．已知函数)(x f 的导函数)(x f '的图象如图所示， 那么函数)(x f 的图象最有可能的是 （ ）8．已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数c b a ,,是公差为正数的等差数列，且满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f 。
若实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判断：①a d <;②;b d <③;c d >④c d >中有可能成立的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市石景山区高三一模考试数学(理)试题 及答案
北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．123．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．4 4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+46．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．57．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．28．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．若复数是纯虚数，则实数a的值为．=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于．10．在数列{a n}中，a1=1，a n•a n+111．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p= ．12．如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是．（用数字作答）14．已知．①当a=1时，f（x）=3，则x= ；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a= ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．16．（12分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．17．（14分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．18．（14分）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．19．（14分）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，1），且离心率为． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=+m 与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．20．（14分）已知集合R n ={X |X=（x 1，x 2，…，x n ），x i ∈{0，1}，i=1，2，…，n }（n ≥2）．对于A=（a 1，a 2，…，a n ）∈R n ，B=（b 1，b 2，…，b n ）∈R n ，定义A 与B 之间的距离为d （A ，B ）=|a 1﹣b 1|+|a 2﹣b 2|+…|a n ﹣b n |=．（Ⅰ）写出R 2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M 满足：M ⊆R 3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M 中元素个数的最大值并写出此时的集合M ；（Ⅲ）设集合P ⊆R n ，P 中有m （m ≥2）个元素，记P 中所有两元素间的距离的平均值为，证明．北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|2x﹣1＜0}={x|x＜），B={x|0≤x≤1}∴A∩B={x|0≤x＜}故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为10．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．4【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长．【解答】解：圆ρ=1的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=1．直线转化成直角坐标方程为：x=．所以：圆心到直线x=的距离为．则：弦长l=2=．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用．4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．【解答】解：若sinθ=cosθ，则θ=kπ+，（k∈z），故2θ=2kπ+，故cos2θ=0，是充分条件，若cos2θ=0，则2θ=kπ+，θ=+，（k∈z），不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，1可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+4【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的k，S的值，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1，k=1，S=x+1，满足条件k＜4，执行循环体，k=2，S=（x+1）x+2=x2+x+2满足条件k＜4，执行循环体，k=3，S=（x2+x+2）x+3=x3+x2+2x+3满足条件k＜4，执行循环体，k=4，S=（x3+x2+2x+3）x+4=x4+x3+2x2+3x+4不满足条件k＜4，退出循环，输出能求得多项式x4+x3+2x2+3x+4的值．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，是基础题目．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC⊥底面ABC；=×2×2=2，所以，S△ABCS△PAC=S△PBC=×1=，S△PAB=×2=；所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×+=2+2．故选B．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题7．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x=1；∴F（1，2），；∴．故选C．【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算．8．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】三角形中的几何计算．【分析】设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．【解答】解：设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC=x•x=x2，∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（x﹣）×=﹣1；∴黑色菱形的面积S′=（x﹣）（﹣1）=（x﹣2）2，若m：n=47：25，则=，解可得x=12或x=（舍），所以，△ABC的边长是12；故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．若复数是纯虚数，则实数a的值为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，再根据它是纯虚数，求得实数a 的值．【解答】解：∵复数==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．10．在数列{a n}中，a1=1，a n•a n+1=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于﹣2．【考点】数列递推式．【分析】由已知求得a2，且得到a n﹣1•a n=﹣2（n≥2），与原递推式两边作比可得（n ≥2），即数列{a n}中的所有偶数项相等，由此求得a8的值．【解答】解：由a1=1，a n•a n+1=﹣2，得a2=﹣2，•a n=﹣2（n≥2），又a n﹣1∴（n≥2），∴数列{a n}中的所有偶数项相等，则a8=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题．11．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p=4．【考点】抛物线的标准方程．【分析】确定双曲线﹣y2=1的右顶点坐标，从而可得抛物线y2=2px的焦点坐标，由此可得结论．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右顶点坐标为（2，0），∵抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，∴=2，∴p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，确定双曲线的右焦点坐标是关键．12．如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位，所得到y=sin[3（x+）+φ]=sin（3x++φ）的图象，若所得图象关于原点对称，则+φ=kπ，k∈Z，又﹣π＜φ＜0，∴φ=﹣，故答案为：．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是36．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，共有C42A33=36种结果，故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，也是一个易错题，因为如果先排三个人，再排最后一个人，则会出现重复现象，注意不重不漏．14．已知．①当a=1时，f（x）=3，则x=4；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a=．【考点】分段函数的应用．【分析】①当a=1时，f（x）=3，利用分段函数建立方程，即可求出x的值；②由f（x）=3，求得x=﹣1，或x=4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤﹣1，f（﹣6）=3，由此求得a的值．【解答】解：①x≥1，x﹣=3，可得x=4；x＜1，2﹣（x+）=3，即x2+x+4=0无解，故x=4；②由于当x＞a时，解方程f（x）=3，可得x﹣=3，求得x=﹣1，或x=4．∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2=﹣1，x3=4，x1 =﹣6，∴a≤﹣1．∴x＜a时，方程f（x）=3只能有一个实数根为﹣6，再根据f（﹣6）=2a+6+=3，求得a=，满足a≤﹣1．故答案为4，．【点评】本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）（2017•石景山区一模）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理直接求解角C的大小．（Ⅱ）根据三角形内角和定理消去B，转化为三角函数的问题求解最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）c2=a2+b2﹣ab．即ab=a2+b2﹣c2由余弦定理：cosC==，∵0＜C＜π，∴C=．（Ⅱ）∵A+B+C=π，C=．∴B=，且A∈（0，）．那么：cosA+cosB=cosA+cos（）=sin（），∵A∈（0，）．∴，故得当=时，cosA+cosB取得最大值为1．【点评】本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题．属于基础题．16．（12分）（2017•石景山区一模）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率和为1，列方程求出a的值，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，得出；（Ⅱ）根据X的所有可能取值，计算对应的概率，写出分布列；（Ⅲ）由甲种和乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率和频数，计算在1200个数据中应抽取的数据个数．【解答】解：（Ⅰ）由图（乙）知，10（a+0.02+0.03+0.025+0.015）=1，解得a=0.01，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，∴；（Ⅱ）X的所有可能取值1，2，3；则，，，其分布列如下：（Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2+3+4+5+6=20个，其中有4个数据在区间（0，10]内，又因为分层抽样共抽取了1200×5%=60个数据，乙种酸奶的数据共抽取60﹣20=40个，由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率为0.1，故乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内有40×0.1=4个．故抽取的60个数据，共有4+4=8个数据在区间（0，10]内．所以，在1200个数据中，在区间（0，10]内的数据有160个．【点评】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列问题，是综合题．17．（14分）（2017•石景山区一模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥PD．BC⊥DC，从而BC⊥面PDC，进而DE⊥BC，再求出DE⊥PC，由此能证明DE⊥面PBC．（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）因为PD⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥PD．因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥DC．PD∩DC=D，所以BC⊥面PDC．DE⊂面PDC，DE⊥BC，在△PDC中，PD=DC，E为PC中点，所以DE⊥PC．又PC∩BC=C，所以DE⊥面PBC．解：（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，其中，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（2，0，0），，，．设，则．DF⊥PB得，解得．所以．设平面FDA的法向量，则，令z=1得x=0，y=﹣3．平面FDA的法向量，平面BDA的法向量，，．二面角F﹣AD﹣B的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（14分）（2017•石景山区一模）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出斜率f'（1）=1，然后求解切线方程．（Ⅱ）化简=．求出，令，解得x=1．判断函数的单调性求出极小值，推出结果．（Ⅲ）设h （x ）=x ﹣1﹣a1nx （x ≥1），依题意，对于任意x ＞1，h （x ）＞0恒成立．，a ≤1时，a ＞1时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可．【解答】解：（Ⅰ），f'（1）=1，又f （1）=0，所以切线方程为y=x ﹣1；（Ⅱ）证明：由题意知x ＞0，令=．令，解得x=1．易知当x ＞1时，g'（x ）＞0，易知当0＜x ＜1时，g'（x ）＜0． 即g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增， 所以g （x ）min =g （1）=0，g （x ）≥g （1）=0即，即x ＞0时，；（Ⅲ）设h （x ）=x ﹣1﹣a1nx （x ≥1）， 依题意，对于任意x ＞1，h （x ）＞0恒成立．，a ≤1时，h'（x ）＞0，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，当x ＞1时，h （x ）＞h （1）=0，满足题意．a ＞1时，随x 变化，h'（x ），h （x ）的变化情况如下表：h （x ）在（1，a ）上单调递减，所以g （a ）＜g （1）=0 即当a ＞1时，总存在g （a ）＜0，不合题意． 综上所述，实数a 的最大值为1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）（2017•石景山区一模）已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线l ：y=+m 与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知b=1，e===，即可求得a 的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨AC 丨及丨MN 丨，丨BN丨2=丨AC 丨2+丨MN 丨2=，即可求得B ，N 两点间距离是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，过点（0，1），则b=1，由椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段中点M （x 0，y 0），则，整理得：x 2+2mx +2m 2﹣2=0，由△=（2m ）2﹣4（2m 2﹣2）=8﹣4m 2＞0，解得：﹣＜m ＜，则x 1+x 2=﹣2m ，x 1x 2=2m 2﹣2，则M （﹣m ， m ），丨AC 丨=•=•=由l 与x 轴的交点N （﹣2m ，0），则丨MN 丨==，∴丨BN 丨2=丨BM 丨2+丨MN 丨2=丨AC 丨2+丨MN 丨2=，∴B ，N 两点间距离是否为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．20．（14分）（2017•石景山区一模）已知集合R n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1，a2，…，a n）∈R n，B=（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|=．（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ）设集合P⊆R n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明．【考点】函数的最值及其几何意义；集合的包含关系判断及应用．【分析】（Ⅰ）根据集合的定义，写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即可求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和，根据，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）R2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B∈R2，d（A，B）=2．max（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，集合M中元素个数最大值为4．（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和．设P中所有元素的第i个位置的数字中共有t i个1，m﹣t i个0，则由于（i=1，2，…，n）所以从而【点评】本题考查新定义，考查函数的最值，考查集合知识，难度大．。
石景山一模(数学理)解析版
2012年石景山区高三统一测试数学（理科）第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【2012北京市石景山区一模理】1．设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{21<=x x N ，则N M 等于（ ）A ．)1,1(-B ．)3,1(C ．)1,0(D ．)0,1(-【答案】B【解析】}31|{}032|{2<<-=<--=x x x x x M ，}1|{}0log |{21>=<=x x x x N ，所以}31{<<=x x N M ，答案选B.【2012北京市石景山区一模理】2．在复平面内，复数21ii-+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】i i i i i i i i 2321231)1(1)1)(2(12-=-=-+--=+-）（，所以对应点在第四象限，答案选D. 3．【2012北京市石景山区一模理】圆2cos ,2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩的圆心坐标是（ ）A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,2)-D ．(2,0)-【答案】A【解析】消去参数θ，得圆的方程为4)2(22=-+y x ，所以圆心坐标为)2,0(，选A. 4【2012北京市石景山区一模理】设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα【答案】D【解析】根据线面垂直的性质可知选项D 正确。
【2012北京市石景山区一模理】5．执行右面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是（ ）A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B【解析】第一次循环：2,1,1===k p k ，第二次循环：3,2,2===k p k ，第三次循环：4,6,3===k p k ，第四次循环：5,24,4===k p k ，第五次循环：6,120,5===k p k ，第六次循环：,720,6==p k 此时条件不成立，输出720=p ，选B.【2012北京市石景山区一模理】6．若21()n x x-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 （ ）A ．84-B ．84C ．36-D ．36 【答案】B【解析】二项展开式的系数和为5122=n，所以9=n ，二项展开式为k k k k k k k k k k k x C x x C x x C T )1()1()()(3189218919291-=-=-=-----+，令0318=-k ，得6=k ，所以常数项为84)1(6697=-=C T ,选B 。
最新高三数学题库 2011石景山区高三期末考试(数学理)有答案
石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}21M x x =∈≤Z ，{}12N x x =∈-<<R ，则MN =（ ）A ． {}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,0-D ．{}12．已知复数1iz i=＋，则复数z 的模为（ ）A B C ．12D ．12+12i 3．一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm ）， 则此几何体的体积是（ ） A ．1123cm B ．32243cm C ．963cmD ．2243cm4．从4名男同学和3名女同学中，任选3名同学参加体能测试， 则选出的3名同学中，既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．3512 B ．3518 C ．76 D ．875．下列说法中，正确的是（ ） A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02≤-x x ”1M BA图1 图2 图3C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知Rx∈，则“1x>”是“2x>”的充分不必要条件6．已知函数32()f x x bx cx=++的图象如图所示，则22xA．32B．34C．38D．3167．已知O为坐标原点，点A),(yx与点B关于x轴对称，(0,1)j=，则满足不等式2OA j AB+⋅≤的点A的集合用阴影表示为（）8．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)（如图3），图3中直线AM与x轴交于点(),0N n，则m的象就是n，记作()f m n=．则下列命题中正确的是（）A．114f⎛⎫=⎪⎝⎭B．()f x是奇函数C．()f x在其定义域上单调递增D．()f x的图象关于y轴对称第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知(,0)2πα∈-，3sin5α=-，则cos()πα-＝．10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果 输入100，则输出的结果为 ， 如果输入2-，则输出的结果为 ．11．已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 ，离心率为_______．12．已知△ABC 的三边长分别为7AB =，5BC =， 6CA =，则A B B C ⋅的值为________．13．120)x dx =⎰．14．已知函数399)(+=x x x f ，则(0)(1)f f += ，若112()()k S f f k k-=+31()()(2,k f f k k kk-+++≥∈Z)，则1k S -= （用含有k 的代数式表示）．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f ()R x ∈． （Ⅰ）求)4(πf 的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x ，求)(x f 的最大值；（Ⅲ）在ABC ∆中，若B A <，21)()(==B f A f ，求ABBC 的值．16．（本小题满分13分）某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x ，“实用性”得分为y ，统计结果如下表：（Ⅰ）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率； （Ⅱ）若“实用性”得分的数学期望为16750，求a 、b 的值． 17．（本小题满分14分）已知直四棱柱ABCD A B C D ''''-，四边形ABCD 为正方形，'AA 22==AB ，E 为棱C C '的中点．（Ⅰ）求证：A E '⊥平面BDE ；（Ⅱ）设F 为AD 中点，G 为棱'BB 上一点，且14BG BB '=，求证：FG ∥平面BDE ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角G DE B --的余弦值．18．（本小题满分13分）已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ． 求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．19．（本小题满分13分） 已知函数ln ()()a xf x a R x+=∈． （Ⅰ）若4=a ，求曲线)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的极值；（Ⅲ）若函数)(x f 的图象与函数1)(=x g 的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分）如图111(,)P x y ，222(,)P x y ，，(,)n n n P x y ，12(0,)n y y y n N *<<<<∈是曲线2:3(0)C y x y =≥上的n 个点，点(,0)(1,2,3,,)i i A a i n =在x 轴的正半轴上，1i i i A A P -∆是正三角形(0A 是坐标原点) .（Ⅰ）求123,,a a a ；（Ⅱ）求出点n A (,0)(*)n a n N ∈的横坐标n a 关于n 的表达式； （Ⅲ）设12321111n n n n nb a a a a +++=++++，若对任意正整数n ，当[]1,1m ∈-时，不等式2126n t mt b -+>恒成立，求实数t 的取值范围.石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）234cos4sin4sin 3)4(2-+=ππππf 21=． ……………4分 （Ⅱ）2)2cos 1(3)(x x f -=+232sin 21-x x x 2cos 232sin 21-= )32sin(π-=x ． ……………6分20π<<x ， 32323πππ<-<-∴x ． ∴当232x ππ-=时，即125π=x 时，)(x f 的最大值为1． …………8分 （Ⅲ） )32sin()(π-=x x f ， 若x 是三角形的内角，则π<<x 0，∴35323π<π-<π-x ．令21)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π=π-x ，12解得4π=x 或127π=x ． ……………10分由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ，∴4π=A ，127π=B ，∴6π=--π=B A C ． ……………11分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ……………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为60.1250=． …………4分 （Ⅱ）由表可知“实用性”得分y 有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别有5件，4b +件，15件，15件，8a +件． …………5分 ∴“实用性”得分y 的分布列为：又∵“实用性”得分的数学期望为50， ∴541515816712345505050505050b a ++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………10分 ∵作品数量共有50件，∴3a b +=解得1a =，2b =． ……………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵四棱柱''''D C B A ABCD -为直四棱柱，∴ AC BD ⊥，A A BD '⊥，A A A AC =' ，∴ A ACE '⊥面BD . ∵ A ACE '⊂'面E A ， ∴ E A BD '⊥.∵ 51222=+='B A ，21122=+=BE ，3111222=++='E A ，∴ 222E A BE B A '+='. ∴ BE E A ⊥'.又∵ B BE BD = ，∴ BDE 面⊥'E A . ……………………4分（Ⅱ）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，D D '为z 轴，建立空间直角坐标系.∴ )2,0,1(A '，)1,1,0(E ，)0,0,21(F ，)21,1,1(G . ∵ 由（Ⅰ）知：)11,1(--='A 为面BDE 的法向量，)21,1,21(=FG ， ……………………6分 ∵ 021)1(11211=⨯-+⨯+⨯-='⋅E A FG . ∴ A '⊥. 又∵FG ⊄面BDE ，∴ FG ∥面BDE . ……………………8分（Ⅲ） 设平面DEG 的法向量为),,(z y x n =，则 )1,1,0(=，)21,1,1(=.∵ 0110=⨯+⨯+⨯=⋅z y x ,即0=+z y . 02111=⨯+⨯+⨯=⋅z y x DG n ,即02=++zy x .令1=x ，解得：2-=y ，2=z ，∴ )2,2,1(-=n . ……………………12分 ∴935332)1()2(11)1(,cos -=⋅⨯-+-⨯+⨯-='>='<E A n . ∴ 二面角B DE G --的余弦值为935. ……………………14分 18．（本小题满分13分）解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则22222,2,c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k x kmx m +++-=． ………………… 6分 由题意△()()()22284344120km km=-+->，整理得：22340k m +-> ① ………………7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+ ． ………………… 8分 由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右顶点为A (2,0)， ∴()()1212220x x y y --+=．………………… 10分即 ()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++， 整理得2271640m mk k ++=． 解得2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 11分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7． ……………………… 13分19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） ∵4=a ， ∴x x x f 4ln )(+=且ee f 5)(=． ……………………… 1分 又∵22ln 3)4(ln )4(ln )(x xx x x x x x f --='+-'+='，∴223ln 4()e f e e e--'==-． ……………………… 3分∴)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程为：)(452e x ee y --=-， 即0942=-+e y e x ． ……………………… 4分（Ⅱ）)(x f 的定义域为),0(+∞，2)(ln 1)(xa x x f +-='，……………………… 5分 令0)(='x f 得ae x -=1．当),0(1ae x -∈时，0)(>'xf ，)(x f 是增函数；当),(1+∞∈-aex 时，0)(<'x f ，)(x f 是减函数； …………………… 7分∴)(x f 在ae x -=1处取得极大值，即11)()(--==a ae ef x f 极大值．……… 8分（Ⅲ）（i ）当21e ea<-，即1->a 时，由（Ⅱ）知)(x f 在),0(1ae -上是增函数，在],(21e e a -上是减函数，∴当aex -=1时，)(x f 取得最大值，即1max )(-=a e x f ．又当ae x -=时，0)(=xf ，当],0(aex -∈时，0)(<x f ，当],(2e ex a-∈时，],0()(1-∈a e x f ，所以，)(x f 的图像与1)(=x g 的图像在],0(2e 上有公共点， 等价于11≥-a e，解得1≥a ，又因为1->a ，所以1≥a ． ……………… 11分 （ii ）当21e ea≥-，即1-≤a 时，)(x f 在],0(2e 上是增函数，∴)(x f 在],0(2e 上的最大值为222)(e ae f +=， ∴原问题等价于122≥+ea，解得22-≥e a ， 又∵1-≤a ∴无解综上，a 的取值范围是1≥a ． ……………… 13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）1232,6,12a a a ===. …………………………… 3分（Ⅱ）依题意11(,0),(,0)n n n n A a A a --，则12n n n a a x -+=，n y =在正三角形1n n n P A A -中，有11||)n n n n n y A A a a --==-.1)n n a a -=-. ………………………… 5分1n n a a -∴-=2211122()(2,*)n n n n n n a a a a a a n n N ---∴-+=+≥∈ ①，同理可得2211122()(*)n n n n n n a a a a a a n N +++-+=+∈ ②.②-①并变形得1111()(22)0(2,*)n n n n n a a a a a n n N +-+--+--=≥∈ 11n n a a +->，11220n n n a a a +-∴+--=11()()2(2,*)n n n n a a a a n n N +-∴---=≥∈ .∴数列{}1n n a a +-是以214a a -=为首项，公差为2的等差数列.12(1),(*)n n a a n n N +∴-=+∈ ，n a ∴12132431()()()()n n a a a a a a a a a -=+-+-+-++-，2(123)n =++++2n n =+.(1)(*)n a n n n N ∴=+∈…………… 8分（Ⅲ）∵12321111(*)n n n n n b n N a a a a +++=++++∈， ∴1234221111(*)n n n n n b n N a a a a +++++=++++∈.121221111n n n n n b b a a a ++++∴-=+-111(21)(22)(22)(23)(1)(2)n n n n n n =+-++++++22(221)(21)(22)(23)(2)n n n n n n -+-=++++. ∴当*n N ∈时，上式恒为负值，∴当*n N ∈时，1n n b b +<，∴数列{}n b 是递减数列. n b ∴的最大值为12116b a ==. ……………… 12分 若对任意正整数n ，当[]1,1m ∈-时，不等式2126n t mt b -+>恒成立， 则不等式211266t mt -+>在[]1,1m ∈-时恒成立， 即不等式220t mt ->在[]1,1m ∈-时恒成立. 设2()2f m t mt =-，则(1)0f >且(1)0f ->，∴222020t t t t ⎧->⎪⎨+>⎪⎩解之，得 2t <-或2t >，即t 的取值范围是(,2)(2,)-∞-⋃+∞. …………………… 14分注：若有其它解法，请酌情给分．。
年市石景山区高三统一测试数学理科一模
年市石景山区高三统一测试数学理科一模TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】2009年石景山区高三统一测试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，}5,4,3{=A ，}6,3,1{=B ，那么集合}7,2{是2．函数)62cos()62sin(ππ++=x xy 的最小正周期是A ．2πB ．4πC ．π2D ．π3．已知数列}{n a 的前n 项和3n S n =，则65a a +的值为４．对于两条直线b a ,和平面α，若α⊂b ，则“b a //”是“α//a ”的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件５．用数字0，1，2，3，4组成五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有A ．480个B ．240个C ．96个D ．48个 ６．若抛物线px y 22=的焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，则p 的值为 A ．A BB ．B AC ．()U C A BD ．()U C A B A ．91 B ．152 C ．218 D ．279A ．4B ．4-C ．2D ．2-7．若函数()cos 21f x x =+的图象按向量a 平移后，得到的图象关于原点对称， 则向量a 可以是A ．(1,0)B ．(,1)2π-C ．(,1)4π-D ．(,1)4π8．设 ()11x f x x +=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则=)(2009x fA ．11x x +-B ．11x x -+C ．xD ．1x- 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．若复数ii a 213++(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值是 ． 10．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的取值范围是．11．若9)222(-x 展开式的第7项为42，则)(lim 2n n x x x +++∞→ = ． 12．设地球半径为R ，在北纬 45圈上有甲、乙两地，它们的经度差为 90，则甲、乙两地间的最短纬线之长为 ，甲、乙两地的球面距离为 ．13．函数)2()21()1(22)(2≥<<--≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x x f ，则________)23(=-f ，若21)(<a f ，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分13分) 已知A 为锐角，向量)cos ,(sin A A m =，)1,3(-=n ， 且1=⋅n m ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数)(sin cos 42cos )(R x x A x x f ∈+=的值域．16．（本题满分13分） 某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A 项技术指标达标的概率为43，有且仅有一项技术指标达标的概率为125．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率；（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率；（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求E ξ与D ξ． 17．（本题满分14分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角C BD A --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．18．（本题满分13分） 已知等差数列}{n a 中，11-=a ，前12项和18612=S ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足n a n b )21(=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，若不等式m T n < 对所有*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围． 19．（本题满分14分） 已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，过其右焦点且倾斜角为 45的直线被双曲线截得的弦MN 的长为6．（Ⅰ）求此双曲线的方程；（Ⅱ）若直线l ：m kx y +=与该双曲线交于两个不同点A 、B ，且以线段AB 为直径 的圆过原点，求定点Q )1,0(-到直线l 的距离d 的最大值，并求此时直线l 的方程．20．（本题满分13分） 已知),(y x P 为函数x y ln =图象上一点，O 为坐标原点．记直线OP 的斜率)(x f k =．（Ⅰ）同学甲发现：点P 从左向右运动时，)(x f 不断增大，试问：他的判断是否正确若正确，请说明理由；若不正确，请给出你的判断； （Ⅱ）求证：当1>x 时，231)(x x x f -<；（Ⅲ）同学乙发现：总存在正实数a 、b )(b a <，使a b b a =．试问：他的判断是否正确若不正确，请说明理由；若正确，请求出a的取值范围．以下为草稿纸。
年北京市石景山区高三统一测试数学理科一模
2009年石景山区高三统一测试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，}5,4,3{=A ，}6,3,1{=B ，那么集合}7,2{是2．函数2cos()62sin(ππ++=x x y 的最小正周期是A ．2π B ．4π C ．π2 D ．π3．已知数列}{n a 的前n 项和3nS n =，则65a a +的值为４．对于两条直线ba ,和平面α，若α⊂b ，则“b a //”是“α//a ”的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件５．用数字0，1，2，3，4组成五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字 相同的共有A ．480个B ．240个C ．96个D ．48个６．若抛物线px y 22=的焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，则p 的值为 A ．4B ．4-C ．2D ．2-7．若函数()cos 21f x x =+的图象按向量a r平移后，得到的图象关于原点对称，A ．AB U B ．B A IC ．()U C A B ID ．()U C A B UA ．91B ．152C ．218D ．279则向量a r可以是 A ．(1,0)B ．(,1)2π- C ．(,1)4π- D ．(,1)4π8．设()11xf x x+=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===L 则=)(2009x fA ．11xx+- B ．11x x -+ C ．xD ．1x-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．若复数iia 213++(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值是 ． 10．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的取值范围是．11．若9)222(-x展开式的第7项为42，则)(lim 2n n x x x +++∞→K = ．12．设地球半径为R ，在北纬ο45圈上有甲、乙两地，它们的经度差为ο90，则甲、乙两地间的最短纬线之长为 ，甲、乙两地的球面距离为 ．13．函数)2()21()1(22)(2≥<<--≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x xx x f ，则________)23(=-f ，若21)(<a f ，则实数a的取值范围是 ．14．已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分13分)已知A 为锐角，向量)cos ,(sin A A =，)1,3(-=，且1=⋅． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数)(sin cos 42cos )(R x x A x x f ∈+=的值域． 16．（本题满分13分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A 、B 两项技术 指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A 项技术指标达标的概率为43，有且仅有一项技术指标达标的概率为125．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品． （Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率；（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率；（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求E ξ与D ξ．17．（本题满分14分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o． （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长； （Ⅱ）求二面角C BD A --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．18．（本题满分13分）已知等差数列}{n a 中，11-=a ，前12项和18612=S ．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足n a n b )21(=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，若不等式m T n <对所有*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围．19．（本题满分14分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，过其右焦点且倾斜角为ο45的直线被双曲线截得的弦MN 的长为6．（Ⅰ）求此双曲线的方程；（Ⅱ）若直线l ：m kx y +=与该双曲线交于两个不同点A 、B ，且以线段AB 为直径的圆过原点，求定点Q )1,0(-到直线l 的距离d 的最大值，并求此时直线l 的方程．20．（本题满分13分）已知),(y x P 为函数x y ln =图象上一点，O 为坐标原点．记直线OP 的斜率)(x f k =．（Ⅰ）同学甲发现：点P 从左向右运动时，)(x f 不断增大，试问：他的判断是否正确? 若正确，请说明理由；若不正确，请给出你的判断； （Ⅱ）求证：当1>x 时，231)(xx x f -<；（Ⅲ）同学乙发现：总存在正实数a 、b )(b a <，使ab b a =．试问：他的判断是否正 确?若不正确，请说明理由；若正确，请求出a 的取值范围．以下为草稿纸。
年石景山区高三统一测试数学理科一模参考答案
（Ⅱ）过 作 于 ，连结 ．
∵ 侧面 ，∴ 是 在平面 内的射影．
由三垂线定理，可知 ．
∴ 为二面角 的平面角．………………6分
在 中， ，又 ，
，∴ ．
又 ，
∴在 中， ．………………8分
故二面角 的大小为 ．………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知， 平面 ，
年石景山区高三统一测试数学理科一模参考答案
2009年石景山区高三统一测试
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
D
B
A
C
A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
,
①③④
注：第12、13题第1个空3分，第2个空2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分 分）
解：（Ⅰ）由题意得： ，……∵ 为锐角，
∴ ,即 ．………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
．………………9分
（Ⅲ）依题意知 ～ ， ， ．
………………13分
17．（本题满分 分）
解法一：
（Ⅰ）设正三棱柱 — 的侧棱长为 ．取 中点 ，连结 ．
∵ 是正三角形，∴ ．
又底面 侧面 ，
且两平面交线为 ，
∴ 侧面 ．
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北京石景山区2011年高三统一测试
数学试题（理科）
考生须知：
1．本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷共6页，各题答案均答在答题卡上．
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设2{|4},{|4}M x x N x x =<=<，则
（ ） A ．M N B ．N M C ．R M C N ⊆ D ．R N C M ⊆ 2．若17(,),2i a bi a b R i i
+=+∈-是虚数单位，则乘积ab 的值是 （ ）
A ．-15
B ．3
C ．-3
D ．5 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则
（ ）
A ．72
B ．68
C ．54
D ．90
4．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位：
cm ），则这个几何体的体积是 （ ）
A ．33cm
B ．
352cm C ．23cm D ．332cm 5．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++= ，那么
（ ）
A ．AO OD =
B ．2AO OD =
C ．3AO O
D = D ．2AO OD =
6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位
连在一起，则不同的停放方法的种数为
（ ）
A ．16
B ．18
C ．24
D ．32
7．已知椭圆2
214
x y +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅< 的点M 的概率为
（ ）
A B C D ．12
8．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1,()()f f x f x '=为的导函数，已知()y f x '=的图象如图
所示，若两个正数,a b 满足1(2)1,1b f a b a ++<+则
的取值范围是
（ ）
A ．11(,)53
B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞
C ．1(,5)3
D ．(,3)-∞ 第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为
222,,,a b c b c bc a +=+且，则角A 的大小为 ．
10．阅读如图所示的程序框图，运行该程序后输出的k 的值
是 ．
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆5cos 1:5sin 2
x C y θθ=-⎧⎨=+⎩（θ
为参数）和直线46:32x t l y t =+⎧⎨=--⎩
（t 为参数），则圆C 的普通方程为 ，直线l 与圆C 的位置关系是 。
12．如图，圆O 的直径AB=8，C 为圆周上一点，BC=4，过C 作圆的切
线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，
则线段AE 的长为 。
13．已知两定点(1,0),(1,0)M N -，若直线上存在点P ，使得
||||4PM PN +=，则该直线为“A 型直线”。
给出下列直线，其中是“A 型直线”的是 。
①1y x =+ ②2y = ③3y x =-+ ④23y x =-+
14．函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1n a +，
*135,16,n N a a a ∈=+=若则 ，数列{}n a 的通项公式为 ．
三、解答题：本磊题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为27,,,4sin cos 2.22A B a b c C +-=且 （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．
16．（本小题满分13分）
为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名
志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示。
（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如
图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传
活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望。
17．（本小题满分14分）
在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1D 1
和CC 1的中点．
（Ⅰ）求证：EF//平面ACD 1；
（Ⅱ）求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；
（Ⅲ）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P —AC —B 的大小为30°？若存在，求出
BP 的长；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分13分）
已知函数2
1
()()ln ,().2f x a x x a R =-+∈ （Ⅰ）当1,()a f x =时求在区间[1,]e 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方，求a 的取值范围．
19．（本小题满分13分）
已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 经过点1(,)22P ，离心率为2，动点(2,)(0).M t t > （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；
（Ⅲ）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线
段ON 的长为定值，并求出这个定值．
20．（本小题满分14分）
已知定义在R 上的函数()f x 和数列121{},,n a a a a a =≠，当*
2n N n ∈≥且时，111(),()()()n n n n n n a f a f a f a k a a ---=-=-且，其中
,a k 均为非零常数． （Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求k 的值；
（Ⅱ）令*
11(),1n n n b a a n N b +=-∈=若，求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅲ）若数列{}n a 为等比数列，求函数()f x 的解析式．。