2015石景山初三数学一模试题及答案

石景山区2014—2015学年初三统一练习暨毕业考试数 学 试 卷学校 班级 姓名一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的绝对值是 A ．3B ．31 C ．31- D ．3-2．2015年3-1月，全国网上商品零售额6310亿元，将6310用科学记数法表示应为A ．3103106.⨯B ．21010.36⨯C ．4100.6310⨯D ．410310.6⨯3．若一个正多边形的每一个外角都是︒40，则这个多边形的边数为 A ．7 B ．8 C ．9 D ．104．右图所示的几何体的俯视图是A B C D5．某班25名女生在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩如下表：成绩（次） 43 45 46 47 48 49 51 人数2357422则这25名女生测试成绩的众数和中位数分别是 A ．47，46 B ．47，47 C ．45，48 D ．51，4767．某超市货架上摆放着外观、颜色、样式、规格完全相同的盒装酸奶，其生产日期有三盒是 “20150410”，五盒是“20150412”，两盒是“20150413”．若从中随机抽取一盒，恰好抽到生产日期为“20150413”的概率是 A ．101 B ．21 C ．52D ．518．如图，A ，B ，E 为⊙O 上的点，⊙O 的半径AB OC ⊥ 于点D ，若︒=∠30CEB ，1=OD ，则AB 的长为 A ．3B ．4C ．32D ．69．某商户以每件8元的价格购进若干件“四季如春植绒窗花”到市场去销售，销售金额y （元）与销售量x （件）的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售的D O CAB EA B C D价格为A ．5元B ．10元C ．5.12元D ．15元10．在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，且A ，C 在坐标轴上，满足OA =1OC =．将矩形OABC 绕原点O 以每秒15︒的速度逆时针旋转．设运动时间为t 秒()06t ≤≤，旋转过程中矩形在第二象限内的面积为S ，表示S 与t 的函数关系的图象大致如右图所示，则矩形OABC 的初始位置是A B C D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：x x 93-=_______________．12．二次根式x 21-有意义的条件是 ． 13． 已知点(4,6)A 与(3,)B n 都在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，则=n ．14．如图，△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ．要使△ABD ∽△ACB ，需要补充的一个条件为 ．CDBA15．2014年5月1日起，北京市居民用水实施阶梯水价．按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，水量分档和水价标准如下：第一阶梯用水量不超过180立方米，水价为每立方米5元；第二阶梯用水量在180（不含）—260（含）立方米之间，超出180立方米的部分的水价为每立方米7元；第三阶梯用水量为260立方米以上，超出260立方米的部分的水价为每立方米9元．若某居民家庭全年用水量为240立方米，则应缴纳的水费为 元．16．小涵设计了一个走棋游戏：在平面直角坐标系xOy 中，棋子从点()0,0 出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位，第5步向上走2个单位，第6步向右走1个单位，第7步向上走1个单位……依此规律走棋．（1）当走完第8步时，棋子所处位置的坐标为______________； （2）当走完第100步时，棋子所处位置的坐标为______________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．如图，点A ，C ，D 在同一条直线上，BC 与AE 交于点F ，AC AE =，BC AD =，FA FC =．求证：D B ∠=∠．18．计算()12130cos 2271-+︒+--）（π． E DCBAF19．解不等式组：1,2263 2.x x x x ⎧+≥⎪⎨⎪+>+⎩20．已知0162=--x x ，求代数式()()1222--+x x x 的值.21．已知关于x 的一元二次方程0322=-+-m x x 有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最小整数，求此方程的根．22．列方程或方程组解应用题：小辰和小丁从学校出发，到离学校2千米的“首钢篮球馆”看篮球比赛．小丁步行16分钟后，小辰骑自行车出发，结果两人同时到达．已知小辰的速度是小丁速度的3倍，求两人的速度．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，AB 上的点，且AF AE =，连接EF 并延长，交CB 的延长线于点G ，连接BD ． （1）求证：四边形EGBD 是平行四边形； （2）连接AG ，若︒=∠30FGB ，1==AE GB ，求AG 的长．CDB AGFEm %A37%D C B24．为了解大学生参加公益活动的情况，几位同学设计了调查问卷，对几所大学的学生进行了随机调查．问卷如下：以下是根据调查结果的相关数据绘制的统计图的一部分．2014—2015学年度第一学期 大学生参加公益活动统计图2014—2015学年度第一学期 大学生参加公益活动分布统计图请回答以下问题：（1）此次调查对象共______人，扇形统计图中m 的值为__________ ； （2）请补全条形统计图并在图上标出数据；（3）据统计，该市某大学有学生15000人，请根据上述调查结果估计这所大学2014—2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的大约有____人．2014—2015学年度第一学期你参加过几次公益活动？ A ．没有参加过公益活动 B ．参加过一次公益活动 C ．参加过二次至四次公益活动 D ．参加过五次或五次以上公益活动25．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D是OB 中点，过点D 作AB 的垂线交AC 的延长线于点F ．过点C 作⊙O 的切线交FD 于点E ． （1）求证：CE EF =； （2）如果3sin 5F =，25=EF ，求AB 的长．26．阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90C A ，︒=∠60D ，34=AB ，3=BC ，求AD 的长．小红发现，延长AB 与DC 相交于点E ，通过构造Rt△ADE ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：AD 的长为 ． 参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，21tan =A ，︒=∠=∠135CB ， 9=AB ，3=CD ，求BC 和AD 的长．图1图2E五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于(3,0)A ，B 两点．（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）当23x -<<时的函数图象记为G ，求此时函数y 的取值范围； （3）在（2）的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若经过点(4,2)C 的直线(0)y kx b k =+≠与图象M 在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．图328．在△ABC 中，90BAC ∠=︒．（1）如图1，直线l 是BC 的垂直平分线，请在图1中画出点A 关于直线l 的对称点'A ，连接'A C ，B A '，'A C 与AB 交于点E ；（2）将图1中的直线B A '沿着EC 方向平移，与直线EC 交于点D ，与直线BC交于点F ，过点F 作直线AB 的垂线，垂足为点H ．①如图2，若点D 在线段EC 上，请猜想线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明；②若点D 在线段EC 的延长线上，直接写出线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系．29．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线l 上，以A 为圆心，OA 为半径的圆与y 轴的另一个交点为E ．给出如下定义：若线段OE ，⊙A 和直线l 上分别存在点B ，点C 和点D ，使得四边形ABCD 是矩形（点,,,A B C D 顺时针排列），则称矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”．例如,下图中的矩形ABCD 为直线l（1）若点(1,2)A -，四边形ABCD 为直线1x =-坐标为 ；（2）若点(3,4)A ，求直线1y kx =+(0)k ≠的“理想矩形”的面积； （3）若点(1,3)A -，直线l 的“理想矩形”面积的最大值为 ，此时点D 的坐标为 ．石景山区2014—2015学年初三统一练习暨毕业考试答案及评分参考阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题共30分，每小题3分）11．()()33-+x x x ；12．21≤x ；13．8； 14．答案不唯一，如C ABD ∠=∠等； 15．1320； 16．()2,9；()33,100．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17. 证明：FC FA = ，FCA FAC ∠=∠∴． …………1分 在△ABC 和△EDA 中，,,,BC DA ACB EAD AC EA =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∠ ∴△ABC ≌△EDA . …………………………4分 D B ∠=∠∴. ……………………5分18．解： ()12130cos 2271-+︒+--）（π =2232331+⨯+- …………………………………4分 =323-． ………………………………5分 19. 解： 解不等式21xx ≥+，得 2-≥x ． ………………………………………2分解不等式2362+>+x x ，得4<x ． …………………………………4分∴不等式组的解集为 42<≤-x ． ……………………5分 20．解：原式=x x x x 224422+-++ ……………………………2分 =462++-x x ． ……………………………3分 0162=--x x162=-∴x x ． ……………………………………… 4分∴原式=()264x x --+143.=-+=21．解：（1）由题意：0∆≥ ， ………………………………………1分 即：()4430m --≥．解得 2m ≥． ………………………………………3分（2）当2m =时，原方程为2210x x -+=，解得121x x ==． …………………………………5分 22．解：设小丁的速度是x 千米/小时，则小辰的速度是3x 千米/小时.根据题意，得2216360x x -=． …………………………… 3分 解得5x =. ………………………………………… 4分 经检验，5x =是所列方程的解，且符合题意.所以315x =. 答：小丁的速度是5千米/小时，小辰的速度是15千米/小时.………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：连接AC (图略)∵ 四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分DAB ∠，且BD AC ⊥. ……………1分 AE AF = ，EF AC ⊥∴，BD EG //∴. 又∵ 菱形ABCD 中，BG ED //，………………………………………………5分∴ 四边形EGBD 是平行四边形.……2分（2）解： 过点A 作AH BC ⊥于H . ∵30FGB ∠=︒，∴30DBC ∠=︒，∴ 260ABH DBC ∠=∠=︒ ∵1GB AE ==可求2AB AD ==…… 3分在Rt △ABH 中，90AHB ∠=︒∴1AH BH ==.∴ 2GH =………………………………… 4分 在Rt △AGH 中， 勾股定理得，AH =. ……………5分24．（1）200 ；13. ……………………………………………………2分 （2）（图略）90. ………………………………………………………3分 （3）200-8415000=8700200⨯.………………………………………… 5分 25．（1）证明：连结OC ．∵CE 为切线，∴OC ⊥CE . ∴2390∠+∠=°.∵FD AB ⊥，∴190F ∠+∠=°． 又∵OC =OA ，∴12∠=∠. ∴3F ∠=∠.∴CE EF =.………………………………………..2分（2）∵FD AB ⊥，3sin 5F =，设3AD k =，5AF k =，可得4FD k =．A BDCHG F E∵D 为OB 中点，∴DB k =． 连结CB 交FD 于点G ．∵AB 为⊙O 直径，∴90ACB FCB ∠=∠=°． ∴F B ∠=∠． ∵DB k =， ∴34GD k =，可得134FG k =．………………...3分 ∵90FCB ∠=°，∴534F ∠+∠=∠+∠． ∵3F ∠=∠，∴45∠=∠．∴CE EF EG ==． …… ……..……………………………. …..4分∵25=EF ，∴5=FG ． ∴5413=K ，1320=k ．∴1380=AB ．……………………. …….5分26．解：AD 的长为6． ………………………………...1分解决问题：如图，延长AB 与DC 相交于点E ． ∵135ABC BCD ∠=∠=︒， ∴︒=∠=∠45ECB EBC ．∴CE BE =，︒=∠90E ． …………………. ………………….2分 设x CE BE ==，则x BC 2=，x AE +=9，3DE x =+．在Rt△ADE 中，︒=∠90E ，∵21tan =A ， ∴21=AE DE ． 即2193=++x x ．……………. .3分 ∴3=x ．经检验3=x 是所列方程的解，且符合题意．∴23=BC ，12=AE ，6=DE ． ……………. ………..4分 ∴56=AD ． ……………………………………………… ...5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．解：（1）将()3,0A 代入，得1m =．∴抛物线的表达式为223y x x =--． …1分B 点的坐标()1,0-． ………………2分（2）()222314y x x x =--=--．∵当21x -<<时，y 随x 增大而减小； 当13x ≤<时，y 随x 增大而增大， ∴当1x =，min 4y =-； ………………3分 当2x =-，5y =．∴y 的取值范围是45y -≤<．…………4分（3）当直线y kx b =+经过()1,0B -和点()4,2时，解析式为2255y x =+．…….…………… …5分 当直线y kx b =+经过()2,5--和点 ()4,2时，解析式为7863y x =-．………. ……………6分 结合图象可得，b 的取值范围是8235b -<<． ………….7分28．解：（1）正确画出图形． ……………1分（2）①CA FH DF =+．……………2分 证明：过点F 作FG⊥CA 于点G ． ……3∵FH ⊥BA 于点H ，90A ∠=︒，FG ⊥∴四边形HFGA 为矩形． ∴AG FH =，FG ∥AB ．∴GFC EBC ∠=∠． ……………4分 由（1）和平移可知， ∠ECB =EBC ∠=∠GFC ， ∠FDC =90A ∠=︒． ∴∠FDC =∠FGC =90°． ∵FC CF =，∴△FGC ≌△CDF ．∴CG FD =． ………………………5分 ∴DF FH GC AG +=+．即DF FH AC +=． ……………6分②CA DF FH =- ． ………………7分29．解：（1）()1,0D -（2）连结,AO AC ，过点A 作AF y ⊥则5AC AO ==3145EF AE =∠=︒∴=∴∴在Rt AEB ∆中，由勾股定理AB =∴在Rt ABC ∆中，由勾股定理得，BC =∴所求“理想矩形”ABCD 面积为AB BC ⨯=……………………………………………………5分（3）“理想矩形”面积的最大值是5． (6)分()()1,23,2D ---或． ………………………………8分。