2015年上海市杨浦区中考数学一模试卷及答案解析(pdf版)
上海市杨浦区2015届高三一模数学文含答案
上海市杨浦区2015届高三一模数学文含答案XXX年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（文科）考生注意：1.答卷前，务必在答题纸上写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上。
2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟。
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知sinα=1/2，α∈(0,π)，则α=π/6.2.设A={x|1≤x≤3}，B={xm+1≤x≤2m+4,m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是[-1,3)。
3.已知等差数列{an}中，a3=7，a7=3，则通项公式为an=-2n+11.4.已知直线l经过点A(1,-2)、B(-3,2)，则直线l的方程是y=-x-1.5.函数f(x)=x^2-1(x<0)的反函数f^-1(x)=√(x+1)(x≥1)。
6.二项式(x-1/2)^4的展开式中的第4项是6x^2-12x+5/16.7.不等式log2(x-3)+x>2的解是(3,∞)。
8.已知条件p:x+1≤2；条件q:x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(-∞,1]。
9.向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若ma+b与a-2b平行，则实数m=1/2.10.一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：6排A座 | 6排B座 | 6排C座 | 走廊 | 6排D座 | 6排E座| 窗口 | 窗口 |其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的座位，小孙女喜欢看风景要坐靠窗的座位，则座位的安排方式一共有60种。
11.已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为54π。
12.已知集合A={z|z=1+i+i^2+。
+in,n∈N*}，则集合A的子集个数为2^n-1.13.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。
若(a+b-c)(a+b+c)=ab，则角C=π/3.14.如图所示，已知函数y=log2(4x)图像上的两点A，B和函数y=log2(x)上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC 为正三角形时，点B的坐标为(-1,2)，则实数p=-1/4.值为_______________。
2015年杨浦区一模数学试卷(理)含答案
杨浦区2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（理科） 2015.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知() , 0,1sin 2∈=απα，则α=________________. 2．设{}13A x x =≤≤，{}124,B x m x m m R =+≤≤+∈，A B ⊆，则m 的取值范围是________. 3．已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则通项公式为n a =________________. 4．已知直线l 经过点()()1,2,3,2A B --，则直线l 的方程是___________________. 5. 函数()()012<-=x x x f 的反函数()=-x f1．6. 二项式91x x -⎛⎫⎪⎝⎭的展开式（按x 的降幂排列）中的第４项是_________________.7． 已知条件:12p x +≤；条件:q x a ≤，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．8．向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m =_________. 9．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：窗口6排A 座6排B 座6排C 座走廊6排D 座 6排E 座窗口其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有__________种。
10．在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为_______________.（相同质量的冰与水的体积比为10：9）11．不等式()2log 431xx ->+的解集是_______________________.1,0i s ==开始1i i =+否 输出s结束 是第15题图2s s i =+12．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若30a b c a ba b c++=+-，则角C =_________. 13．已知1322i ω=-+，集合{}2*1,n A z z n N ωωω==++++∈，集合1212{|,}B x x z z z z A ==⋅∈、（1z 可以等于2z )，则集合B 的子集个数为__________.14．如图所示，已知函数 2log 4y x =图像上的两 点 A 、 B 和函数 2log y x =上的点 C ，线段 AC 平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点 B 的坐标为 (),p q , 则22q p ⨯的值为________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（ ） A ． 7i < B ．8i <C ． 7i >D ．8i > 16．下列命题中正确的是（ ） A ．若x C ∈，则方程32x =只有一个根 B ．若12,z C z C ∈∈且120z z ->，则12z z > C ．若z R ∈，则2z z z ⋅=不成立D ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数17．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个 圆的方程是（ ）A ．01222=+--+y x y xB ．041222=---+y x y x第14题图A1A C1CB1BD1D OCDC ．01222=+-++y x y xD ． 041222=+--+y x y x 18．对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n a b ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞-=，则称{},n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套。
2015年上海市杨浦区中考二模数学试题及答案模板
2015年杨浦区初三模拟测试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）2015.5考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．下列实数中，无理数是（）(C)2π； (D) 2.020020002．2．下列运算正确的是（）(A) 1393=； (B) 1393=±； (C)1293=； (D)1293=±．3．关于x的方程210x mx--=根的情况是（）(A)有两个不相等的实数根； (B)有两个相等的实数根；(C)没有实数根； (D)不能确定的．4．下列关于向量的等式中，正确的是（ ）(A) AB BA = ； (B) AB BC CA +=； (C) a b b a +=+ ； (D) ()0a a +-=．5．顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是（ ）(A)菱形； (B)矩形； (C)正方形； (D) 等腰梯形．6．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是（ ） (A) 8d >； (B) 2d >； (C) 02d ≤<； (D) 8d >或02d ≤<．二、 填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 三、 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7= ．8．计算：62a a ÷= ．9．如果关于x 的二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式，那么m 的取值范围是 ．10．不等式组23022x x ->⎧⎨-+<⎩的解集是 ．11．函数y =的定义域是 ．12．当2k >时，一次函数1y kx k =+-的图像经过 象限．13．超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市收银台排队付款的等待时间，并绘制成如图所示的频数分布直方图（图中等待时间0分钟到1分钟表示大于或等于0分钟而小于1分钟，其他类同）.这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为 ．14．下列图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为 ．15．如果一个正多边形的内角和等于1440°，那么这个正多边形的内角是 度． 16．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米．17．如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，点A 、B 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点C 在第一象限，如果∠OAB =30°，那么点C 的坐标是 ．18．如图，将矩形纸片ABC D 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上点P 处，已知∠MPN =90°，PM =3，PN =4，那么矩第13题图等待时间/min884形纸片ABCD 的面积为 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）化简:1021(1)(2)32x x x x -+-+--+ ，并求当1x =时的值．20．（本题满分10分）解方程：33201x x x x+--=+21．(本题满分10分)如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长。
2015年上海市杨浦区初三数学二模卷(word版含答案).
杨浦区2015年初中毕业统一学业模拟考试数学试卷(时间100分钟,满分150分 2015.4一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列二次根式中,属于最简二次根式的是( ▲ (A(B 22b a -; (C(D3x. 2.下列运算正确的是( ▲2=±; (B(11x x --=--; (C239-=; (D22--=-. 3.关于x 的一元二次方程210x ax --=根的情况是( ▲(A有两个相等的实数根; (B没有实数根;(C有两个不相等的实数根; (D根的情况无法确定.4.下列四个函数图像中,当x >0时,y 随x 的增大而增大的是( ▲(A; (B;(D.5.一名同学想用正方形和圆设计一个图案,要求整个图案关于正方形的某条对角线对称,那么下列图案中不符合...要求的是( ▲(D .6.下列命题中,正确的是( ▲ (A Rt △ABC 中,CD 是AB 上中线,则CD =21AB ; (B 点P 是∠AOB 的平分线上一点,点M 、N 分别在OA 、OB 上,则PM =PN ; (C Rt △ABC 中,若∠B =30°,则AC =21AB ; (D 一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形.二、填空题:(本大题12题,每题4分,满分48分【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7.计算:=÷-xy y x 232 ▲ . 8.分解因式:x 2-9= ▲ .9.方程12=+x 的解是▲ .10.若点M (x -1,3-x 在第二象限,则x 的取值范围是▲ .11.已知反比例函数1k y x-=的图像在第二、四象限内,那么k 的取值范围是▲ . 12.如果一次函数y kx b =+的图像与直线2y x =平行,且过点(3,5-,那么该一次函数解析式为▲ .13.下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面,将它们正面朝下洗匀后放在桌上,从中抽出一张,则抽到奇数的概率是▲ . 14.在□ABCD 中,AC 与B D 相交于点O ,b AD a AB ==,,那么等于▲ .15.在半径为5的圆中,︒30的圆心角所对弧的弧长为▲ (结果保留π. 16.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点,若CD =5cm ,则EF = ▲ cm .17.如图,△ABC 绕点A 顺时针旋转80°得到△AEF ,若∠B =100°,∠F =50°,则∠α的度数是▲ .18.如图,正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则S 四边形ADCE ∶S 正方形ABCD 的值为▲ .三、解答题:(本大题共7题,满分78分19.(本题10分11220123tan303-⎛⎫+--+︒⎪⎝⎭.20.(本题10分解方程:32321942+--+=-x x x x .(第18题(第17题C ABEFα(第16题DA BC21.(本题10分如图,在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过网格的交点A 、B 、C 。
2015-2016年上海市杨浦区中考数学二模试卷及答案
杨浦区2015-2016学年度第二学期初三质量调研数学2016.04.12一、选择题5. 某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数是（ 成绩（环） 6 7 3 9 10次数 1 4 2 6 3A. 2 B . 3 C . 8 D . 9 6•已知圆O 是正n 边形A 1A 2-A n 的外接圆，半径长为18,如果弧A 1A 2的长为、填空题7.计算:&写出节2 -"的一个有理化因式： __________________9.如果关于x 的方程mx 2-mx+仁0有两个相等的实数根，那么实数 110 .函数 y= • ,+x 的定义域是 _____________11.如果函数y=x 2 -m 的图象向左平移2个单位后经过原点，那么 m= ___________门为（ )A . 5B . 10C . 36D . 721.F 列等式成立的是（ 打=i2 B . C .|a+b|=a+b2. F 列关于x 的方程一定有实数解的是2x=m B . x 2=m C . =mVr.-1 =m3.F 列函数中, 图象经过第二象限的是（y=2x B . y= C . y=x - 2y=x 2 - 24.F 列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ 正五边形 B .正六边形 C •等腰三角形等腰梯形那么边数 m 的值是12•在分别写有数字-1, 0, 2, 3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率为____________ •13. 在厶ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且AM : MB=CN : NA=1 : 2,如果「云：—：那么\[=_____________ （用:; ]「表示）.14. 某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅锤方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i=1: m,那么m= _____________ .15. 某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m的值是________________ .16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2.写出一个函数y=「（k和），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为_________________ .C RX__________0 A 才17. ______________________________________________ 在矩形ABCD中，AB=3 , AD=4，点O为边AD的中点，如果以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，那么r的值是.18. 如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么二'的AE值是_____________ .解答题段BM 的中点.22 .某山山脚的 M 处到山顶的N 处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从 M 走到N ，停留后 再原路返回，期间小李离开 M 处的路程y 米与离开M 处的时间x 分(x >0)之间的函数关系如图 中折线OABCD 所示.(1) 求上山时y 关于x 的函数解析式，并写出定义域：19. 20. 计算： -'■ 1 11 ： ■' " - I口 f2x- 1>3 (x- 1)，并写出它的所有非负整数解.解不等式组: 21. 已知，在Rt △ ABC 中，/ACB=90 ° / A=30。
2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第24、25题
2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/ 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/ 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/ 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/ 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/ 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/ 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/ 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/ 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/ 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/ 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/ 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/ 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/ 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/ 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/ 48如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3, 0)，C(0, 4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1）由C(0, 4)，OC＝4OA，得OA＝1，A(－1, 0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0, 4)，得4＝－3a．解得43a=-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+．顶点坐标为16 (1)3，．（2）如图2，设P(m, 0)，那么AP＝m＋1．所以S△CP A＝12AP CO⋅＝1(1)42m+⨯＝2m＋2．由PM//BC，得CM BPCA BA=．又因为CPMCPAS CMS CA=△△，所以S△CPM ＝(22)BPmBA+．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程3(22)4mm-+＝2，得m＝1．此时P(1, 0)．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程3(22)4mm-+＝2，得1m=±P(1+．图2 图3如图1，已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作EF ⊥AE 交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：△ABH ∽△ECM ； （2）设BE ＝x ，EHEM＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△BHE 为等腰三角形时，求BE 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E 在BC 上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE 可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC 的余角，所以∠1＝∠2． 又因为∠BAH 和∠CEM 都是∠AEB 的余角，所以∠BAH ＝∠CEM ． 所以△ABH ∽△ECM ．图2 图3（2）如图3，延长BG 交AD 于N ．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10． 在Rt △ABN 中，AB ＝6，所以AN ＝AB tan ∠1＝34AB ＝92，BN ＝152． 如图2，由AD //BC ，得92AH AN EH BE x ==． 由△ABH ∽△ECM ，得68AH AB EM EC x ==-． 所以y ＝EHEM＝AH AH EM EH ÷＝6982x x ÷-＝12729x x -． 定义域是0＜x ＜8．（3）如图2，由AD//BC，得92NH ANBH BE x==．所以292BN xBH x+=．所以215292xBHx=⨯+＝1529xx+．在△BHE中，BE＝x，cos∠HBE＝35，1529xBHx=+．分三种情况讨论等腰三角形BHE：①如图4，当BE＝BH时，解方程1529xxx=+，得x＝3．②如图5，当HB＝HE时，1cos2BE BH B=⋅∠．解方程11532295xxx=⨯+，得92x=．③如图6，当EB＝EH时，1cos2BH BE B=⋅∠．解方程11532295xxx⨯=+，得74x=．图4 图5 图6如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A(2, 0)、C(1,－1)，可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A(2, 0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A(2, 0)、B(－1, 3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D(m,－m＋2 )．由BD2＝BC2＋CD2，得(m＋1)2＋(－m－1)2＝22＋42＋(m－1)2＋(－m＋3)2．解得73m=．此时点D的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC∽△CND，由BM CNMC ND=，得4123mm-=-+．解得73m=．图2 图3 图4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，联结DE ，使得∠EDC ＝∠A ，联结BE ．（1）求证：AC ·BE ＝BC ·AD ；（2）设AD ＝x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S △BDE ＝14S △ABC 时，求tan ∠BCE 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到，△ABC 与△DEC 保持相似，△ACD 与△BCE 保持相似，△BDE 是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt △BAC 和Rt △EDC 中，由tan ∠A ＝tan ∠EDC ，得BC ECAC DC=． 如图3，已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°，所以∠1＝∠2． 所以△ACD ∽△BCE ．所以AC BCAD BE=．因此AC ·BE ＝BC ·AD ．图2 图3（2）在Rt △ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，所以AC ＝4．所以S △ABC ＝6．如图3，由于△ABC 与△ADC 是同高三角形，所以S △ADC ∶S △ABC ＝AD ∶AB ＝x ∶5． 所以S △ADC ＝65x ．所以S △BDC ＝665x -． 由△ADC ∽△BEC ，得S △ADC ∶S △BEC ＝AC 2∶BC 2＝16∶9．所以S △BEC ＝916S △ADC ＝96165x ⨯＝2740x ． 所以S ＝S 四边形BDCE ＝S △BDC ＋S △BEC ＝6276540x x -+＝21640x -+．定义域是0＜x ＜5．（3）如图3，由△ACD ∽△BCE ，得AC BCAD BE=，∠A ＝∠CBE ． 由43x BE =，得BE ＝34x ． 由∠A ＝∠CBE ，∠A 与∠ABC 互余，得∠ABE ＝90°（如图4）．所以S △BDE ＝1133(5)(5)2248BD BE x x x x ⋅=-⨯=--． 当S △BDE ＝14S △ABC ＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x --=，得x ＝1，或x ＝4．图4 图5 图6作DH ⊥AC 于H ．①如图5，当x ＝AD ＝1时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝35，AH ＝45AD ＝45． 在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝416455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH ＝316．②如图6，当x ＝AD ＝4时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝125，AH ＝45AD ＝165．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝164455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH＝3． 综合①、②，当S △BDE ＝14S △ABC 时， tan ∠BCE 的值为316或3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12． （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积； （3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3． 由tan ∠CBA ＝OC OB ＝12，得OB ＝6，B (6, 0)． 将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--． （2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)．S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+． 当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EF BOBF CO==．所以EF ＝2BF ． 解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)． 当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ． 解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ．设AD EFx AB AF==． （1）当x ＝1时，求AG ∶AB 的值； （2）设GDHEBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点． 因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ． 所以AG ∶AB ＝1∶2．（2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ． 由AD //BC ，得BE EFx AG AF ==．所以12BE AG m x ==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4 如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ． 因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ． 因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ． 所以△GDH ∽△EBA ．所以y ＝GDH EBA S S △△＝2()DG BE ＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -． （3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-． 因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ． DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =． 如图6，当H 在DC 的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； （2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =． 因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)． （2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO =，tan ∠BCO ＝2BOCO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55． ②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4． 根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2 图3 图4如图1，已知直线l1//l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时，设AE＝x，DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′ 落在直线l1上时，AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3（2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON，∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO，所以△BON∽△BDO．所以BO BDBN BO=．因此22xx y=+．于是得到24xyx-=．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN当S△DON DN＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN＝24xyx-=＝3，解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由BO BDBN BO=，得22xx y=-．于是得到24xyx-=．当DN＝24xyx-=＝3时，解得x＝4，或x＝－1．此时AE＝4．图4 图5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --． 点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝BC ＝AB ＝6，CO ＝4． 作BH ⊥AC 于H ．由S △ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC ⋅=＝因此sin ∠ACB ＝BH BC ．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --． 由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QP OC ==． 所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得m =图2所以点P 的横坐标m ．如图1，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在AC 边的延长线上，且DB 2＝DC ·DA ．（1）求DCCA的值； （2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ．①如图2，当CE ＝3BC 时，求BFFG的值； ②如图3，当CE ＝BC 时，求BCDBEGS S △△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E 运动，可以体验到，当CE ＝3BC 时，BD //AE ，BG 是直角三角形ABE 斜边上的中线．当CE ＝BC 时，△ABF ≌△BEH ，AF ＝2EH ＝4CF ．满分解答（1）如图1，由DB 2＝DC ·DA ，得DB DADC DB=． 又因为∠D 是公共角，所以△DBC ∽△DAB ．所以DB BC CDDA AB BD==． 又因为tan ∠BAC ＝BC AB ＝12，所以12CD BD =，12BD DA =．所以14CD DA =．所以13DCCA=． （2）①如图4，由△DBC ∽△DAB ，得∠1＝∠2． 当BF ⊥CA 时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DC CA =，当CE ＝3BC 时，得DC BCCA CE =．所以BD //AE ． 所以13BD EA =，∠2＝∠E ．所以∠3＝∠E ．所以GB ＝GE ．于是可得G B 是Rt △ABE 斜边上的中线．所以23BD GA =．所以23BF BD FG GA ==．②如图5，作EH⊥BG，垂足为H．当CE＝BC时，CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝12，得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m，EH＝2m，DC＝1533CA m=．因此422FG AF mHG EH m===．所以2433FG FH m==．所以103BG m=．于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似．满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1． 由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1．又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ． 由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=． 解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)． 所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ． 解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB ＝45，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ． 在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ． 所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ． 因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEB S AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x≤5． 定义域中x＝5的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECB CE=，列方程1010x xx-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD＝90°，那么在Rt△BCG和Rt△BEH中，tan∠GBC＝335104504xGC HE xGB HB x x ===--．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得GC GBCE BC=．所以10GC CE xGB BC==．因此350410x xx=-．解得x＝5．此时S△AEF＝23(10)15xyx-==．②如图6，如果∠FDG＝90°，那么在Rt△ADC中，AD＝AC cos∠CAD＝4105⨯＝8．此时S△AEF＝23(10)32xyx-==．图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(3, 0)，与y 轴交于点C (0,－3)，点P 是直线BC 下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，如果四边形POP ′C 为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出此时点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P 在直线BC 下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP ′C 为菱形时，PP ′垂直平分OC ．还可以体验到，当点P 与抛物线的顶点重合时，或者点P 落在以BC 为直径的圆上时，△PCB 是直角三角形．满分解答（1）将B (3, 0)、C (0,－3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c ++=⎧⎨=-⎩．解得b ＝－2，c ＝－3．所以二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3．（2）如图2，如果四边形POP ′C 为菱形，那么PP ′垂直平分OC ，所以y P ＝32-．解方程23232x x --=-，得22x =．所以点P 的坐标为23()22-．图2 图3 图4（3）由y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)＝(x －1)2－4，得A (－1, 0)，顶点M (1,－4)． 在Rt △AOC 中，OA ∶OC ＝1∶3．分两种情况讨论△PCB 与△AOC 相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3, 0)、C(0,－3)，M(1,－4)，可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M(1,－4)重合时，△PCB∽△AOC．②如图4，当∠BPC＝90°时，构造△AEP∽△PFB，那么CE PF EP FB=．设P(x, x2－2x－3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---．化简，得1(2)1xx--=+．解得x=．此时点P的横坐标为x=．而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点G ，已知AB ＝BC ＝3，tan ∠BDC ＝12，点E 是射线BC 上任意一点，过点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，交射线AC 于点M ，交射线DC 于点H ．（1）当点F 是线段BH 的中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE ＝x ，CM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E 在射线BC 上运动，可以体验到，点G 是BD 的一个三等分点，CH 始终都有CE 的一半．还可以体验到，GF 可以与BC 垂直，也可以与DC 垂直．满分解答（1）在Rt △BCD 中，BC ＝3，tan ∠BDC ＝BC DC ＝12，所以DC ＝6，DB ＝．如图2，当点F 是线段BH 的中点时，DF 垂直平分BH ，所以DH ＝DB ＝．此时CH ＝DB －DC ＝6．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH 与∠CDE 都是∠BHD 的余角，所以∠CBH ＝∠CDE ． 由tan ∠CBH ＝tan ∠CDE ，得CH CE CB CD =，即336CH x-=． 又因为CH //AB ，所以CH MC AB MA =，即3CH =．因此36x -=．整理，得)3x y x -=+．x 的取值范围是0＜x ＜3． （3）如图4，不论点E 在BC 上，还是在BC 的延长线上，都有12BG AB GD DC ==， 12CH CE =． ①如图5，如果GF ⊥BC 于P ，那么AB //GF //DH ．所以13BP PF BG BC CH BD ===．所以BP ＝1，111(3)366PF CH CE x ===-． 由PF //DC ，得PF PE DC CE =，即12(3)(3)363x x x---=-． 整理，得242450x x -+=．解得21x =±21BE =- ②如图6，如果GF ⊥DC 于Q ，那么GF //BE ． 所以23QF DQ DG CE DC DB ===．所以DQ ＝4，2(3)3QF x =-． 由QF //BC ，得QF QH BC CH =，即21(3)2(3)3213(3)2x x x ---=-． 整理，得223450x x --=．解得x =34BE +=．图4 图5 图6如图1，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c （a ＞0）与x 轴交于A (－3,0)、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，抛物线的顶点为M ．（1）求a 、c 的值； （2）求tan ∠MAC 的值；（3）若点P 是线段AC 上的一个动点，联结OP ．问：是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P 在线段AC 上运动，可以体验到，△COP 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）将A (－3,0)、C (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得960,3.a a c c -+=⎧⎨=-⎩解得a ＝1，c ＝－3．（2）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得顶点M 的坐标为(－1,－4)． 如图2，作MN ⊥y 轴于N ．由A (－3,0)、C (0,－3)、M (－1,－4)，可得OA ＝OC ＝3，NC ＝NM ＝1．所以∠ACO ＝∠MCN ＝45°，AC ＝MC ． 所以∠ACM ＝90°．因此tan ∠MAC ＝MC AC＝13． （3）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)，得B (1, 0)．所以AB ＝4．如图3，在△COP 与△ABC 中，∠OCP ＝∠BAC ＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCO AC =时，3CP =CP =P 的坐标为(－2,－1)．当CP AC CO AB =时，3CP =CP =．此时点P 的坐标为93(,)44--．图2 图3如图1，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线于点G ，交CD 于点M ．（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2）如图2，联结EG ，设AE ＝x ，EG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M 为边DC 的三等分点时，求S △EGF 的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到， △EBD 与△GBC 保持相似，△EBG 保持等腰直角三角形．满分解答（1）如图3，因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以∠1＝∠2． 又因为∠EDB ＝∠GCB ＝45°，所以△DEB ∽△CGB ．因此DE DBCG CB==图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DBGB CB=． 又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）． 所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE所以y ＝EG ＝2BE ． 定义域是0＜x ＜6．（3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGF EGB S EF S EB =△△， 所以2364EGFEF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE，所以 x ＝AE ＝AD －DE＝6．①如图6，当13CM CD =时，13CG CM AG AB ==．所以1144CG CA ==⨯此时x ＝AE＝6-＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154． ②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==．所以2255CG CA ==⨯=此时x ＝AE＝6-＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =．所以2364EGFEF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ： 如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面2GB CB EB DB ==，另一方面cos 452HB GB =︒=，所以GB HBEB GB=． 于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形． 如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ： 在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝ENx ． 又因为CG)x -，所以GN ＝AC －AN －CG＝所以y＝EG．如图10，第（2）题如果构造Rt△EGQ和Rt△CGP，也可以求斜边EG＝y：由于CG)x-，所以CP＝GP＝1(6)2x-＝132x-．所以GQ＝PD＝16(3)2x--＝132x+，EQ＝16(3)2x x---＝132x-．所以y＝EG．图8 图9 图10如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况．满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩ 解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+． 所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=．（2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)．因此cot ∠ADO ＝OD OA ＝248＝3．（3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠P AQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CAx CP=． （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答（1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ． 因此2AH CAx PD CP===． 所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AH CAx PD CP ==，得AH ＝xPD ＝3x ． 又因为tan ∠MBN ＝AHBH ＝3，所以BH ＝x ．设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m xx m -=-．整理，得81xm x =-．所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321xx x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC 中，BA ，cos ∠ABC BC ＝81x x -．①如图4，当BA ＝BC 81x x =-，得1x = ②如图5，当AB ＝AC 时，BC ＝2BH ．解方程821xx x =-，得x ＝5．③如图6，当CA ＝CB 时，由cos ∠ABC ，得12AB =．解方程1821x x =-，得135x =．图4 图5 图6如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠P AB ＝∠CAB ，求点P 的坐标；（3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3． （2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))． 由tan ∠P AB ＝tan ∠CAB ，得3PH CO AH AO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+． 解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝ABC ＝∠BCO ＝45°． 当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似： 如图3，当CD BACB BC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)．如图4，当CD BCCB BA =4=92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝∠BCD ＝45°，AD ＝3，BC ＝9，点P 是对角线AC 上的一个动点，且∠APE ＝∠B ，PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G ．（1）如图1，当点E 、D 重合时，求AP 的长；（2）如图2，当点E 在AD 的延长线上时，设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG 时，求AE 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，DGDE 也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，那么MN ＝AD ＝3．在Rt △ABM 中，BM ＝3，∠B ＝45°，所以AM ＝3，AB ＝在Rt △AMC 中，AM ＝3，MC ＝6，所以CA ＝ 如图4，由AD //BC ，得∠1＝∠2．又因为∠APE ＝∠B ，当E 、D 重合时，△APD ∽△CBA ．所以AP CBAD CA =．因此3AP =AP ＝5． （2）如图5，设（1）中E 、D 重合时点P 的对应点为F ． 因为∠AFD ＝∠APE ＝45°，所以FD //PE ．所以AF AD AP AE =33y=+．因此33y x =-．定义域是5＜x ≤．图3 图4 图5（3）如图6，因为CA =AF =，所以FC =．由DF //PE ，得13FP DG FC DC ===．所以FP =．由DF //PE ，9552AD AF DE FP ==÷=．所以2293DE AD ==． ①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=． ②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB＝抛物线235y x bx c =++经过点A 和B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴； （3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况．满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°．又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB＝B 到x 轴、y 轴的距离都为2． 所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO＝，BA ＝BCBD＝如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BM MA BE BN NE==． 设点E 的坐标为(x , y )1322x y==+-．图2 图3当点E 在射线BA 上时，∠EBO ＝∠DBC ．分两种情况讨论相似：①当BE BCBO BD ==BE =1322x y==+-．解得x ＝43-，y ＝0．所以E 4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBO BC ==BE =1322x y==+-．解得x ＝45-，y ＝85-．所以E 48(,)55--（如图5）．图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD 中，∠C ＝60°，AB ＝AD ＝5，CB ＝CD ＝8，点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的动点，AQ 与BP 交于点E ，且∠BEQ ＝90°－12∠BAD ．设A 、P 两点间的距离为x ．（1）求∠BEQ 的正切值； （2）设AEPE＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当△AEP 是等腰三角形时，求B 、Q 两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P 在AD 边上运动，可以体验到， ∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ，△ABF ∽△BEF ∽△BDP ，△AEP ∽△ADF ．满分解答（1）如图2，联结BD 、AC 交于点H ．因为AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以A 、C 在BD 的垂直平分线上． 所以AC 垂直平分BD ．因此∠BAH ＝12∠BAD ． 因为∠BEQ ＝90°－12∠BAD ， 所以∠BEQ ＝90°－∠BAH ＝∠ABH ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，BH ＝4，所以AH ＝3． 所以tan ∠BEQ ＝tan ∠ABH ＝34． 图2 （2）如图3，由于∠BEQ ＝∠ABH ，∠BEQ ＝∠AEP ，∠ABH ＝∠ADH ， 所以∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ．图3 图4 图5如图3，因为∠BF A 是公共角，所以△BEF ∽△ABF ． 如图4，因为∠DBP 是公共角，所以△BEF ∽△BDP ．所以△ABF ∽△BDP ．所以AB BD BF DP =．因此585BF x=-． 所以5(5)8BF x =-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x =-=--=+．如图5，因为∠DAF 是公共角，所以△AEP ∽△ADF ． 所以5401539(539)8AE AD y PE FD x x ====++．定义域是0≤x ≤5． （3）分三种情况讨论等腰△AEP ：①当EP ＝EA 时，由于△AEP ∽△ADF ，所以DF ＝DA ＝5（如图6）． 此时BF ＝3，HF ＝1． 作QM ⊥BD 于M ．在Rt △BMQ 中，∠QBM ＝60°，设BQ ＝m ，那么12BM m =，QM =． 在Rt △FMQ 中，132FM m =-，tan ∠MFQ ＝tan ∠HF A ＝3，所以QM ＝3FM ．13(3)2m =-，得BQ ＝m＝9- ②如图7，当AE ＝AP 时，E 与B 重合，P 与D 重合，此时Q 与B 重合，BQ ＝0． ③不存在PE ＝P A 的情况，因为∠P AE ＞∠P AH ＞∠AEP ．图6 图7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM相似，求点M 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)． 将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+． （2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3．当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-． （3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝，CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似：①当CM ABCO AC =时，4CM =CM =M (－3, 1)（如图3）．②当CM AC CO AB =时，46CM =CM =M 84(,)33-（如图4）．图2 图3 图4如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE与△MBC保持相似．满分解答（1）如图2，作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝12AC BD⋅＝BC AN⋅，所以64=5AN⨯⨯．解得AN＝245．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝245，所以BN＝75．因此cos∠B＝BNAB＝725．（2）如图3，当点E与点A重合时，由于∠ECF＝∠B，∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以EF ACEC AB=，即665EF=．解得365EF=．由BC//AF，得AM AFBM BC=，即53625BMBM+=．解得12511BM=．图2 图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ． 如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ． 所以MC MBME MC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+． 作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ．在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2．因此222247()(5)2525xy y y y +=++． 整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ． 所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0, 2)，对称轴为直线x ＝1，对称轴交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果四边形AEFD 是梯形，求点F 的坐标；（3）联结BD ，设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”，梯形AEFD 只存在一种情况．拖动点P 在BD 边上运动，可以体验到，△EBP 与△ABD 相似存在两种情况．满分解答（1）点A (－1,0)关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(3, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 2)，得2＝－3a ． 解得23a =-．所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+． 顶点D 的坐标为8(1,)3． （2）过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F ．设F 224(,2)33x x x -++． 作FH ⊥x 轴于H ，那么∠FEH ＝∠DAE ． 由tan ∠FEH ＝tan ∠DAE ，得43FH DE EH AE ==．所以43FH EH =．解方程22442(1)333x x x -++=-，得x =F ．图2 图3 图4。
上海市杨浦区2017年中考数学一模试卷(含解析)
上海市杨浦区2017年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如果延长线段AB到C，使得，那么AC：AB等于（）A．2：1 B．2：3 C．3：1 D．3：22．在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是（）A．100tanα B．100cotα C．100sinα D．100cosα3．将抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（）A．y=2（x﹣1）2+5 B．y=2（x﹣1）2+1 C．y=2（x+1）2+3 D．y=2（x﹣3）2+34．在二次函数y=ax2+bx+c中，如果a＞0，b＜0，c＞0，那么它的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．下列命题不一定成立的是（）A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似B．两个等腰直角三角形相似C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似6．在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（）A．40° B．60° C．80° D．100°二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．线段3cm和4cm的比例中项是cm．8．抛物线y=2（x+4）2的顶点坐标是．9．函数y=ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而．10．如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），那么它的对称轴是直线．11．如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，DE：BC=1：3，那么EF：AB的值为．12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC=2AD，那么S△ADC：S△ABC 的值为．13．如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是cm．14．如果+=3，2﹣=，那么= （用表示）．15．已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α= 度．16．如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i=1：．17．用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：那么该二次函数在x=0时，y= ．18．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么∠EFD的正切值是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知△ABC中，点F在边AB上，且AF=AB、过A作AG∥BC交CF的延长线于点G．（1）设=， =，试用向量和表示向量；（2）在图中求作向量与的和向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．21．（10分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AD=4，BC=9，锐角∠DBC的正弦值为．求：（1）对角线BD的长；（2）梯形ABCD的面积．22．（10分）如图，某客轮以每小时10海里的速度向正东方向航行，到A处时向位于南偏西30°方向且相距12海里的B处发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时14海里的速度出发，在C处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间．23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．（1）求证：AC2=AD•AB；（2）若=，求证：CG2=DF•BG．24．（12分）在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4ax+4a+3（a＜0）的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为M．（1）求点D、点M的坐标；（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上且AM∥DP，AM=2DP，求a的值．25．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P为边BC上的一动点（不与B、C 重合），点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连接MN交边AB于点F，交边AC于点E．（1）如图1，当点P为边BC的中点时，求∠M的正切值；（2）连接FP，设CP=x，S△MPF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似？若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．2017年上海市杨浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如果延长线段AB到C，使得，那么AC：AB等于（）A．2：1 B．2：3 C．3：1 D．3：2【考点】两点间的距离．【分析】作出图形，用AB表示出AC，然后求比值即可．【解答】解：如图，∵BC=AB，∴AC=AB+BC=AB+AB=AB，∴AC：AB=3：2．故选D．【点评】本题考查了两点间的距离，用AB表示出AC是解题的关键，作出图形更形象直观．2．在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是（）A．100tanα B．100cotα C．100sinα D．100cosα【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义直接进行解答即可．【解答】解：∵∠BAC=α，BC=100m，∴AB=BC•cotα=100cotαm．故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．3．将抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（）A．y=2（x﹣1）2+5 B．y=2（x﹣1）2+1 C．y=2（x+1）2+3 D．y=2（x﹣3）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位，可得y=2（x﹣1﹣2）2+3，即y=2（x﹣3）2+3，故选：D．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．4．在二次函数y=ax2+bx+c中，如果a＞0，b＜0，c＞0，那么它的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据已知条件“a＞0，b＜0，c＞0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第三象限．【解答】解：①∵a＞0、c＞0，∴该抛物线开口方向向上，且与y轴交于正半轴；②∵a＞0，b＜0，∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴是x=﹣＞0，∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴在第一象限；综合①②，二次函数y=ax2+bx+c的图象一定不经过第三象限．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．5．下列命题不一定成立的是（）A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似B．两个等腰直角三角形相似C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似【考点】命题与定理．【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可．【解答】解：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似一定成立；两个等腰直角三角形相似一定成立；两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似不一定成立；各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似一定成立，故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（）A．40° B．60° C．80° D．100°【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据可以确定对应角，根据对应角相等的性质即可求得∠B的大小，即可解题．【解答】解：∵，∴∠B与∠D是对应角，故∠B=∠D=60°．故选B．【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了对应边比值相等的性质，本题中求∠B和∠D是对应角是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．线段3cm和4cm的比例中项是2cm．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的概念，a：b=b：c，设比例中项是xcm，则列比例式可求．【解答】解：设比例中项是xcm，则：3：x=x：4，x2=12，x=±2，∵线段是正值，∴负值舍去，故答案为：2．【点评】本题主要考查了比例线段，理解比例中项的概念，求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数是解答此题的关键．8．抛物线y=2（x+4）2的顶点坐标是（﹣4，0）．【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线的解析式可求得答案．【解答】解：∵y=2（x+4）2，∴抛物线顶点坐标为（﹣4，0），故答案为：（﹣4，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x ﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．9．函数y=ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而减小．【考点】二次函数的性质．【分析】由解析式可确定其开口方向，再根据增减性可求得答案．【解答】解：∵y=ax2（a＞0），∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故答案为：减小．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．10．如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），那么它的对称轴是直线x=．【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等可求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），∴对称轴为x==，故答案为：x=．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等是解题的关键．11．如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，DE：BC=1：3，那么EF：AB的值为．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】利用DE∥BC可判断△ADE∽△ABC，利用相似的性质的得==，再利用比例性质得=，然后证明△CEF∽△CAB，然后利用相似比可得到的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，∴=，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，故答案为．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要利用相似进行几何计算．12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，如果BC=2AD ，那么S △ADC ：S △ABC 的值为 1：2 ．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】根据梯形的性质和三角形的面积计算公式，可以解答本题．【解答】解：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=2AD ，设AD 与BC 间的距离为h ，则，故答案为：1：2．【点评】本题考查梯形、三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．13．如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm ，那么大三角形对应边上的中线长是 20 cm ． 【考点】相似三角形的性质．【分析】因为两个三角形的面积之比9：25，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出周长的比，又因为对应中线的比等于相似比即可求出大三角形的中线． 【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比是9：25， ∴大三角形的周长：小三角形的周长是5：3， ∵小三角形一边上的中线长是12cm ，∴大三角形对应边上的中线长是20cm．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如果+=3，2﹣=，那么= （用表示）．【考点】*平面向量．【分析】根据平面向量的运算法则进行计算即可．【解答】解：∵2﹣=，∴6﹣3=3，∵+=3，∴+=6﹣3，∴=．故答案是：．【点评】本题考查了平面向量的运算，类似于解一元一次方程进行计算即可，比较简单，要注意移项要变号．15．已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α= 60 度．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据30°角的余弦值等于，正切值是的锐角为60°解答即可．【解答】解：∵tanα=2cos30°=2×=，∴α=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的正弦值、余弦值、正切值是解此类题目的关键．16．如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i=1： 2.4 ．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离正好构成一个直角三角形，先根据勾股定理，求出水平距离，然后根据定义解答．【解答】解：由题意得，水平距离==12，∴坡比i=5：12=1：2.4．故答案为2.4【点评】本题考查的知识点为：坡度=垂直距离：水平距离，通常写成1：n的形式，属于基础题．17．用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：那么该二次函数在x=0时，y= 3 ．【考点】二次函数的图象．【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x=0时，y的值即可．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0），∴对称轴为x=2，∴当x=4时的函数值等于当x=0时的函数值，∵当x=4时，y=3，∴当x=0时，y=3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．18．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么∠EFD的正切值是．【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形．【分析】作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AH、BD、CD、AD，根据旋转变换的性质得到∠FBD=∠CBA，证明FB∥AH，根据四点共圆得到∠EFD=∠GBD，求出tan∠GBD即可．【解答】解：作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，∵AB=AC，∴BH=CH=BC=3，由勾股定理得，AH==4，×BC×AH=×AC×BD，即6×4=5×BD，解得，BD=，∴CD==，AD=，∵∠FBD=∠CBA，∴∠FBE=∠DBC，∵∠DBC+∠C=90°，∠HAC+∠C=90°，∴∠FBE=∠BAH，∴FB∥AH，∴∠FBC=∠AHC=90°，∴EF∥BC，∴∠E=∠ABC=∠C=∠EGA，∴AG=AE=BE﹣AB=BC﹣AB=1，∴DG=，∴∠F=∠BDC=90°，∴F、B、D、G四点共圆，∴∠EFD=∠GBD，tan∠GBD==，∴∠EFD的正切值是，故答案为：．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用，掌握旋转变换的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2017•杨浦区一模）如图，已知△ABC中，点F在边AB上，且AF=AB、过A作AG∥BC交CF的延长线于点G．（1）设=， =，试用向量和表示向量；（2）在图中求作向量与的和向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量；作图—复杂作图．【分析】（1）证△AGF∽△BCF得==，即AG=CB，由=（）可得答案；（2）延长CB到E，使BE=AG，连接AE，则=．【解答】解：（1）∵AG∥BC，AF=AB，∴△AGF∽△BCF， =，∴==，即AG=CB，∴=（）=﹣；（2）如图所示，==．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及向量的运算、作图，熟练掌握向量的基本运算法则是解题的关键．20．（10分）（2017•杨浦区一模）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）求出原抛物线上x=﹣2时，y的值，若点（﹣2，﹣5）平移后的对应点为（﹣2，﹣1），根据纵坐标的变化可得其中的一种平移方式．【解答】解：（1）将点B（﹣1，0）、C（2，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴此抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中，当x=﹣2时，y=﹣4﹣4+3=﹣5，若点（﹣2，﹣5）平移后的对应点为（﹣2，﹣1），则需将抛物线向上平移4个单位．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．21．（10分）（2017•杨浦区一模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AD=4，BC=9，锐角∠DBC的正弦值为．求：（1）对角线BD的长；（2）梯形ABCD的面积．【考点】梯形；解直角三角形．【分析】（1）求出△ABD∽△DCB，得出比例式，即可得出答案；（2）过D作DE⊥BC于E，解直角三角形求出DE，根据面积公式求出即可．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠ABD=∠C，∴△ABD∽△DCB，∴=，∵AD=4，BC=9，∴BD=6；（2）过D作DE⊥BC于E，则∠DEB=90°，∵锐角∠DBC的正弦值为，∴sin∠DBC==，∵BD=6，∴DE=4，∴梯形ABCD的面积为×（AD+BC）×DE=×（4+9）×4=26．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，解直角三角形等知识点，能求出BD的长是解此题的关键．22．（10分）（2017•杨浦区一模）如图，某客轮以每小时10海里的速度向正东方向航行，到A处时向位于南偏西30°方向且相距12海里的B处发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时14海里的速度出发，在C处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】首先证明AC=AB=12，根据时间=路程÷速度，计算即可解决问题．【解答】解：如图，由题意，∠ABF=30°，∠CBF=60°，∴∠FAB=60°，∠ABC=∠C=30°，∴AC=AB=12，货轮从出发到客轮相逢所用的时间==1.2小时．答：货轮从出发到客轮相逢所用的时间1，2小时．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角、等腰三角形的判定、路程、时间、速度之间的关系等知识，解题的关键是掌握方向角的定义，属于中考常考题型．23．（12分）（2017•杨浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．（1）求证：AC2=AD•AB；（2）若=，求证：CG2=DF•BG．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，得出对应边成比例AC：AB=AD：AC，即可得出结论；（2）由相似三角形的性质得出∠ADF=∠ACG，由已知证出△ADF∽△ACG，得出∠DAF=∠CAF，AG是∠BAC的平分线，由角平分线得出，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AD•AB；（2）证明：∵△ACD∽△ABC，∴∠ADF=∠ACG，∵=，∴△ADF∽△ACG，∴∠DAF=∠CAF，即∠BAG=∠CAG，AG是∠BAC的平分线，∴，∴，∴CG2=DF•BG．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．24．（12分）（2017•杨浦区一模）在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4ax+4a+3（a＜0）的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为M．（1）求点D、点M的坐标；（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上且AM∥DP，AM=2DP，求a的值．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）由y=ax2﹣4ax+4a+3=a（x﹣2）2+3，可得顶点D（2，3），M（2，0）．（2）作PN⊥DM于N．由△PDN∽△MAO，得===，因为OM=2，OA=﹣4a﹣3，PN=1，所以P（1，a+3），DN=﹣a，根据OA=2DN，可得方程﹣4a﹣3=﹣2a，由此即可解决问题．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣4ax+4a+3=a（x﹣2）2+3，∴顶点D（2，3），M（2，0）．（2）作PN⊥DM于N．∵AM∥DP，∴∠PDN=∠AMG，∵DG∥OA，∴∠OAM=∠AMG=∠PDN，∵∠PND=∠AOM=90°，∴△PDN∽△MAO，∴===，∵OM=2，OA=﹣4a﹣3，PN=1，∴P（1，a+3），∴DN=﹣a，∵OA=2DN，∴﹣4a﹣3=﹣2a，∴a=﹣．（当点A在y的正半轴上时，方法类似，求得a=﹣）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用相似三角形的性质解决问题，用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．25．（14分）（2017•杨浦区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P为边BC上的一动点（不与B、C重合），点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连接MN交边AB 于点F，交边AC于点E．（1）如图1，当点P为边BC的中点时，求∠M的正切值；（2）连接FP，设CP=x，S△MPF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似？若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）先求出CP=1，利用对称得出∠MB N=90°，BP=BP=3，最后用锐角三角函数的定义即可；（2）先求出FG，再利用同角的三角函数相等，得出PG，再用三角形的面积公式求解即可；（3）利用对称先判断出AM=AP=AN，进而得出三角形AMN是等腰直角三角形，即可得出∠AMN=45°，得出∠AFE=∠AMB，即可判断出△AEF∽△BAM．【解答】解：（1）如图1，连接BN，∵点P为边BC的中点，∴CP=BP=BC=1，∵点P与点M关于AC对称，∴CM=CP=1∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵点P与点N关于AB对称，∴BP=BN=1，∠ABN=∠ABC=45°，∴∠CBM=90°，BM=CM+BC=3，在Rt△MBN中，tan∠M==；（2）如图2，过点F作FG⊥BC，设PG=m，∴BG=BP﹣PG=2﹣x﹣m，MG=MP+PG=2x+m，在Rt△BFG中，∠FBG=45°，∴FG=BG=2﹣x﹣m，在Rt△FMG中，tan∠M==，在Rt△MNB中，tan∠M==，∴，∴m=，∴y=S△MPF=MP•FG=×2x×=（0＜x＜2）；（3）△AEF∽△BAM理由：如图3，连接AM，AP，AN，BN，∵点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，∴AM=AP=AN．∠MAC=∠PAC，∠PAB=∠NAB，∵∠BAC=∠PAC+∠PAB=45°，∴∠MAN=∠MAC+∠PAC+∠BAP+∠NAB=2（∠PAC+∠PAB）=90°，∴∠AMN=45°=∠ABC，∵∠AFE=∠ABC+∠BMF，∠AMB=∠AMN+∠BMF，∴∠AFE=∠AMB，∵∠EAF=∠ABM=45°，∴△AEF∽△BAM．。
2018年上海市杨浦区中考数学一模试卷含答案
2018年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）如果5x＝6y，那么下列结论正确的是（）A．x：6＝y：5B．x：5＝y：6C．x＝5，y＝6D．x＝6，y＝52．（4分）下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）A．都含有一个40°的内角B．都含有一个50°的内角C．都含有一个60°的内角D．都含有一个70°的内角3．（4分）如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE＝1：2，那么下列等式一定成立的是（）A．BC：DE＝1：2B．△ABC的面积：△DEF的面积＝1：2C．∠A的度数：∠D的度数＝1：2D．△ABC的周长：△DEF的周长＝1：24．（4分）如果（，均为非零向量），那么下列结论错误的是（）A．B．C．D．5．（4分）如果二次函数y＝ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）A．a＞0B．b＜0C．ac＜0D．bc＜0．6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是（）A ．B ．C ．D ．．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）抛物线y ＝x 2﹣3的顶点坐标是．8．（4分）化简：．9．（4分）点A （﹣1，m ）和点B （﹣2，n ）都在抛物线y ＝（x ﹣3）2+2上，则m 与n 的大小关系为mn （填“＜”或“＞”）．10．（4分）请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式．11．（4分）如图，DE ∥FG ∥BC ，AD ：DF ：FB ＝2：3：4，如果EG ＝4，那么AC ＝．12．（4分）如图，在?ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是．13．（4分）Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝9，cosA ，那么AB ＝．14．（4分）如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1：．15．（4分）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH交于点O ，如果AB ＝12，那么CO ＝．16．（4分）已知抛物线y ＝ax 2+2ax+c ，那么点P （﹣3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是．17．（4分）在平面直角坐标系中，将点（﹣b ，﹣a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（﹣2，﹣1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第象限．18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A旋转，当点B与点C重合时，点C落在点D处，如果sinB，BC＝6，那么BC的中点M和CD的中点N的距离是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB，点D、E分别在边AB、BC上，且AD：DB＝2：3，DE⊥BC．（1）求∠DCE的正切值；（2）如果设，，试用、表示．21．（10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面 1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．22．（10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．23．（12分）已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC 上，且∠BEF＝∠BAC．（1）求证：△AED∽△CFE；（2）当EF∥DC时，求证：AE＝DE．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x 2+2mx﹣m2﹣m+1交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，﹣2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y＝﹣x2+2x的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH＝∠AHO，求m的值．25．（14分）已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上．（1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；（2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长．2018年上海市杨浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）如果5x＝6y，那么下列结论正确的是（）A．x：6＝y：5B．x：5＝y：6C．x＝5，y＝6D．x＝6，y＝5【解答】解：∵5x＝6y，∴，故选项A正确．故选：A．2．（4分）下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）A．都含有一个40°的内角B．都含有一个50°的内角C．都含有一个60°的内角D．都含有一个70°的内角【解答】解：因为A，B，D给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确．故选：C．3．（4分）如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE＝1：2，那么下列等式一定成立的是（）A．BC：DE＝1：2B．△ABC的面积：△DEF的面积＝1：2C．∠A的度数：∠D的度数＝1：2D．△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2【解答】解：A、BC与EF是对应边，所以，BC：DE＝1：2不一定成立，故本选项错误；B、△ABC的面积：△DEF的面积＝1：4，故本选项错误；C、∠A的度数：∠D的度数＝1：1，故本选项错误；D、△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2正确，故本选项正确．故选：D．4．（4分）如果（，均为非零向量），那么下列结论错误的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、正确．因为（，均为非零向量），所以与是方向相同的向量，即∥；B、错误．应该是2；C、正确．由可得；D、正确．因为所以||＝2||；故选：B．5．（4分）如果二次函数y＝ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）A．a＞0B．b＜0C．ac＜0D．bc＜0．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，bc＞0．故选：C．6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是（）A ．B ．C ．D ．．【解答】解：A 、∵∠AED ＝∠B ，，∴△ADE ∽△BDF ，正确；B 、∵∠AED ＝∠B ，，∴△ADE ∽△BDF ，正确；C 、∵∠AED ＝∠B ，，不是夹角，∴不能得出△ADE ∽△BDF ，错误；D 、∵∠AED ＝∠B ，，∴△ABC ∽△BDF ，∵∠A ＝∠A ，∠B ＝∠AED ，∴△AED ∽△ABC ，∴△ADE ∽△BDF ，正确；故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）抛物线y ＝x 2﹣3的顶点坐标是（0，﹣3）．【解答】解：∵抛物线y ＝x 2﹣3，∴抛物线y ＝x 2﹣3的顶点坐标是：（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）．8．（4分）化简：4．【解答】解：＝234故答案为4．9．（4分）点A （﹣1，m ）和点B （﹣2，n ）都在抛物线y ＝（x ﹣3）2+2上，则m 与n 的大小关系为m＜n （填“＜”或“＞”）．【解答】解：∵二次函数的解析式为y ＝（x ﹣3）2+2，∴该抛物线开口向上，对称轴为x ＝3，在对称轴y 的左侧y 随x 的增大而减小，∵﹣1＞﹣2，∴m ＜n ．故答案为：＜．10．（4分）请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式y ＝﹣x 2+4．【解答】解：因为抛物线的开口向下，则可设a ＝﹣1，又因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，4），则可设顶点为（0，4），所以此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+4．故答案为y＝﹣x2+4．11．（4分）如图，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝2：3：4，如果EG＝4，那么AC＝12．【解答】解：∵DE∥FG∥BC，∴AE：EG：GC＝AD：DF：FB＝2：3：4，∵EG＝4，∴AE，GC，∴AC＝AE+EG+GC＝12，故答案为：12．12．（4分）如图，在?ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是36．【解答】解：∵在?ABCD中，AO AC，∵点E是OA的中点，∴AE CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴，∵S△AEF＝4，（）2，∴S△BCE＝36，故答案为36．13．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝9，cosA，那么AB＝27．【解答】解：如图．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，cosA，∴，∴AB＝27．故答案为：27．14．（4分）如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1： 2.4．【解答】解：由题意得，水平距离120，则该斜坡的坡度i＝50：120＝1：2.4．故答案为 2.4．15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，M是AB中点，MH⊥BC，垂足为点H，CM与AH 交于点O，如果AB＝12，那么CO＝4．【解答】解：∵∠C＝90°，CM是AB边上的中线，∴CM AB＝6，∵MH⊥BC，∴H是BC的中点，∴AH 是BC 边上的中线，∵AH 与CM 交于点O ，∴O 是△ABC 的重心，∴，∴CO CM ＝4，故答案为：4；16．（4分）已知抛物线y ＝ax 2+2ax+c ，那么点P （﹣3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是（1，4）．【解答】解：∵y ＝ax 2+2ax+c ，∴抛物线对称轴为x 1，∵P （﹣3，4）关于对称轴对称的点的坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．17．（4分）在平面直角坐标系中，将点（﹣b ，﹣a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（﹣2，﹣1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第二、四象限．【解答】解：若a ，b 同号，则﹣b ，﹣a 也同号且符号改变，此时点（﹣b ，﹣a ），点（a ，b ）分别在一三象限，不合题意；若a ，b 异号，则﹣b ，﹣a 也异号，此时点（﹣b ，﹣a ），点（a ，b ）都在第二或第四象限，符合题意；故答案为：二、四．18．（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，将△ABC 绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落在点D 处，如果sinB ，BC ＝6，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是4．【解答】解：如图所示，连接BD ，AM ，∵AB ＝AC ，M 是BC 的中点，BC ＝6，∴AM ⊥BC ，∵sin B，BM＝3，∴Rt△ABM中，由勾股定理可得：AM，AB AC，∵∠ACB＝∠ACD，BC＝DC，∴BD⊥AC，BH＝DH，∴BC×AM AC×BH，∴BH4，∴BD＝2BH＝8，又∵M是BC的中点，N是CD的中点，∴MN BD＝4，故答案为：4．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【解答】解：原式．20．（10分）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB，点D、E分别在边AB、BC上，且AD：DB＝2：3，DE⊥BC．（1）求∠DCE的正切值；（2）如果设，，试用、表示．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，sinB，∴，∴设AC＝3a，AB＝5a．则BC＝4a．∵AD：DB＝2：3，∴AD＝2a，DB＝3a．∵∠ACB＝90°即AC⊥BC，又DE⊥BC，∴AC∥DE．∴，．∴，．∴DE a，CE a，∵DE⊥BC，∴tan∠DCE．（2）∵AD：DB＝2：3，∴AD：AB＝2：5，∵，，∴，，∵，∴．21．（10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面 1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．【解答】解：由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x＝4，设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+1（a≠0），则据题意得：，解得：，∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y x2x+1，∵y（x﹣4）2，∴飞行的最高高度为：米．22．（10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．【解答】解：过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC ＝10．由题意得∠ADE＝α，∠E＝45°．设AF＝x．∵∠E＝45°，∴EF＝AF＝x．在Rt△ADF中，∵tan∠ADF，∴DF，∵DE＝13.3，∴x13.3．∴x＝11.4．∴AG＝AF﹣GF＝11.4﹣10＝1.4．∵∠ABC＝120°，∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣90°＝30°．∴AB＝2AG＝2.8，答：灯杆AB的长度为 2.8米．23．（12分）已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC 上，且∠BEF＝∠BAC．（1）求证：△AED∽△CFE；（2）当EF∥DC时，求证：AE＝DE．【解答】证明：（1）∵∠BEC＝∠BAC+∠ABD，∠BEC＝∠BEF+∠FEC，又∵∠BEF＝∠BAC，∴∠ABD＝∠FEC，∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠FEC＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ECF，∴△AED∽△CFE；（2）∵EF∥DC，∴∠FEC＝∠ECD，∵∠ABD＝∠FEC，∴∠ABD＝∠ECD，∵∠AEB＝∠DEC．∴△AEB∽△DEC，∴，∵AD∥BC，∴，∴．即AE2＝DE2，∴AE＝DE．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x 2+2mx﹣m2﹣m+1交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，﹣2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y＝﹣x2+2x的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH＝∠AHO，求m的值．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝﹣（x﹣m）2﹣m+1，∴顶点D（m，1﹣m）．（2）∵抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1过点（1，﹣2），∴﹣2＝﹣1+2m﹣m2﹣m+1．整理得：m2﹣m﹣2＝0．∴m＝﹣1（舍）或m＝2．当m＝2时，抛物线的顶点是（2，﹣1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位．（3）∵顶点D在第二象限，∴m＜0．当点A在y轴的正半轴上，如图（1）作AG⊥DH于点G，∵A（0，﹣m2﹣m+1），D（m，﹣m+1），∴H（m，0），G（m，﹣m2﹣m+1）∵∠ADH＝∠AHO，∴tan∠ADH＝tan∠AHO，∴．∴．整理得：m2+m＝0．∴m＝﹣1或m＝0（舍）．当点A在y轴的负半轴上，如图（2）．作AG⊥DH于点G，∵A（0，﹣m2﹣m+1），D（m，﹣m+1），∴H（m，0），G（m，﹣m2﹣m+1）∵∠ADH＝∠AHO，∴tan∠ADH＝tan∠AHO，∴．∴．整理得：m2+m﹣2＝0．∴m＝﹣2或m＝1（舍）．综上所述，m的值为﹣1或﹣2．25．（14分）已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上．（1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；（2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长．【解答】解：（1）∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME．∴∠AEM＝∠PEM，AE＝PE．∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC．∵EP⊥BC，∴∠AME＝∠PEM．∴∠AEM＝∠AME．∴AM＝AE，∵ABCD是矩形，∴AB∥DC．∴．∴CN＝CE，设CN＝CE＝x．∵ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5．∴PE＝AE＝5﹣x．∵EP⊥BC，∴sin∠ACB．∴，∴x，即CN（2）∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME．∴AE＝PE，AM＝PM．∵EP⊥AC，∴．∴．∵AC＝5，∴AE，CE．∴PE，∴PC．∴PB＝PC﹣BC，在Rt△PMB中，∵PM2＝PB2+MB2，AM＝PM．∴AM2＝（）2+（4﹣AM）2．∴AM；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，根据勾股定理得，AC＝5，由折叠知，AE＝PE，由三角形的三边关系得，PE+CE＞PC，∴AC＞PC，∴PC＜5，∴点E是AC中点时，PC最小为0，当点E和点C重合时，PC最大为AC＝5，∴0≤CP≤5，如图，当点C，N，E重合时，PC＝BC+BP＝5，∴BP＝2，由折叠知，PM＝AM，在Rt△PBM中，PM＝4﹣BM，根据勾股定理得，PM2﹣BM2＝BP2，∴（4﹣BM）2﹣BM2＝4，∴BM，在Rt△BCM中，根据勾股定理得，MN．当CP最大时MN，第21页（共21页）。
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A． S1=S3
B． S2=2S4
C． S2 =2S1
D．S1•S3=S2•S4
二.填空题（本大题满分 4×12=48 分）
7．（4 分）（2015•静安区一模）已知 = ，那么
=
．
8．（4 分）（2015•静安区一模）计算：
=
．
9．（4 分）（2002•福州）已知线段 a=4 cm，b=9 cm，则线段 a，b 的比例中项为
．
15．（4 分）（2015•静安区一模）如图，当小杰沿坡度 i=1：5 的坡面由 B 到 A 行走了 26 米
时，小杰实际上升高度 AC=
米．（可以用根号表示）
16．（4 分）（2015•青浦区一模）已知二次函数的图象经过点（1，3），对称轴为直线 x=﹣1，
由此可知这个二次函数的图象一定经过除点（1，3）外的另一点，这点的坐标是
20．（10 分）（2015•静安区一模）如图，已知在△ ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，设 = ，
=；
（1）求 （用向量 ， 的式子表示）；
（2）如果点 E 在中线 AD 上，求作 在 ， 方向上的分向量；（不要求写作法，但要保 留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）．
21．（10 分）（2015•大庆模拟）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆 CD，小明 在离旗杆下方大楼底部 E 点 24 米的点 A 处放置一台测角仪，测角仪的高度 AB 为 1.5 米， 并在点 B 处测得旗杆下端 C 的仰角为 40°，上端 D 的仰角为 45°，求旗杆 CD 的长度；（结 果精确到 0.1 米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
解答：解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D． ∵AB=m，∠B=α，
∴cosα= = ，
则 BD=m•cosα． 又∵AB=AC，
∴BC=2BD=2m•cosα． 故选：B．
点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确区分正弦余弦三角函数是解决问题的关 键．
6．（4 分）（2015•青浦区一模）如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD，如果对 角线 AC 与 BD 相交于点 O，△ AOB、△ BOC、△ COD、△ DOA 的面积分别记作 S1、S2、 S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（ ）
T﹣变换中心为点 A，T﹣变换角为 60°，T﹣变换比为 ，那么经过 T﹣变换后点 C 所对应
的点的坐标为
．
三.解答题（本大题满分 10+10+10+10+12+12+14=78 分） 19．（10 分）（2015•静安区一模）已知在直角坐标平面内，抛物线 y=x2+bx+6 经过 x 轴上两 点 A，B，点 B 的坐标为（3，0），与 y 轴相交于点 C； （1）求抛物线的表达式； （2）求△ ABC 的面积．
5．（4 分）（2015•静安区一模）已知在△ ABC 中，AB=AC=m，∠B=α，那么边 BC 的长等
于（ ）
A． 2m•s inα
B． 2m•cosα
C． 2m•tanα
D．2m•cotα
考点：锐角三角函数的定义． 菁优网版权所有
分析：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，构建直角△ ABD，通过解该直角三角形得到 BD 的长度， 然后利用等腰三角形“三线合一”的性质来求 BC 的长度．
（2）如果 CF2=FG•FB，求证：CG•CE=BC•DE．
24．（12 分）（2015•青浦区一模）已知在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx 的图 象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5）； （1）求这个二次函数的解析式； （2）将这个二次函数的图象向上平移，交 y 轴于点 C，其纵坐标为 m，请用 m 的代数式表 示平移后函数图象顶点 M 的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，如果点 P 的坐标为（2，3），CM 平分∠PCO，求 m 的值．
A． S1=S3
B． S2=2S4
C． S2 =2S1
D．S1•S3=S2•S4
考点：相似三角形的判定与性质． 菁优网版权所有
分析：证三角形相似，再根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相似比的平方， 以及三角形的面积公式即可得出结论．
解答：解：A、∵△ABD 和△ ACD 同底、同高，则 S△ ABD=S△ ACD， ∴S1=S3，故命题正确； B、∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， 又∵BC=2AD，
移的规律得到点（1，0）平移后对应点的坐标为（﹣1，0），然后根据顶点式写出平 移后抛物线的表达式． 解答：解：抛物线 y=（x﹣1）2 的顶点坐标为（1，0），点（1，0）向左平移 2 个单位得到 对应点的坐标为（﹣1，0），所以平移后抛物线的表达式为 y=（x+1）2． 故选 A． 点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所 以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移 后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解 析式．
达式为（ ）
A． y=（x+1）2
B． y=（x﹣3）2
C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2
3．（4 分）（2015•魏县二模）一个小球被抛出后，如果距离地面的高度 h（米）和运行时间
t（秒）的函数解析式为 h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ）
A．1 米
B． 2m•cosα
C． 2m•tanα
D．2m•cotα
6．（4 分）（2015•青浦区一模）如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD，如果对 角线 AC 与 BD 相交于点 O，△ AOB、△ BOC、△ COD、△ DOA 的面积分别记作 S1、S2、 S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（ ）
18．（4 分）（2015•青浦区一模）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这 个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的 T﹣变换，这个顶点称为 T﹣变换中 心，旋转角称为 T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为 T﹣变换比；已知△ ABC 在直角坐标平面内，点 A（0，﹣1），B（﹣ ，2），C（0，2），将△ ABC 进含 30°、45°、60°这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个
等式，要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算 都至少出现一次，且这个
等式的结果等于 1，即填空：1=
．
23．（12 分）（2015•青浦区一模）已知如图，D 是△ ABC 的边 AB 上一点，DE∥BC，交边 AC 于点 E，延长 DE 至点 F，使 EF=DE，联结 BF，交边 AC 于点 G，联结 CF （1）求证： = ；
考点：锐角三角函数的定义． 菁优网版权所有
分析：根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得 答案．
解答：解：如果把 Rt△ ABC 的三边长度都扩大 2 倍，锐角 A 不变，锐角三角函数值不变， 故选：C．
点评：本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变．
2015 年上海市杨浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题满分 4×6=24 分）
1．（4 分）（2015•静安区一模）如果把 Rt△ ABC 的三边长度都扩大 2 倍，那么锐角 A 的四
个三角比的值（ ）
A．都扩大到原来的 2 倍
B． 都缩小到原来的
C． 都没有变化
D．都不能确定
2015 年上海市杨浦区中考数学一模试卷
一.选择题（本大题满分 4×6=24 分）
1．（4 分）（2015•静安区一模）如果把 Rt△ ABC 的三边长度都扩大 2 倍，那么锐角 A 的四
个三角比的值（ ）
A．都扩大到原来的 2 倍
B． 都缩小到原来的
C． 都没有变化
D．都不能确定
2．（4 分）（2015•青浦区一模）将抛物线 y=（x﹣1）2 向左平移 2 个单位，所得抛物线的表
．
17．（4 分）（2015•尤溪县校级质检）已知不等臂跷跷板 AB 长为 3 米，当 AB 的一端点 A 碰到地面时（如图 1），AB 与地面的夹角为 30°；当 AB 的另一端点 B 碰到地面时（如图 2），
AB 与地面的夹角的正弦值为 ，那么跷跷板 AB 的支撑点 O 到地面的距离 OH= 米．
=﹣5（t2﹣2t）+1
=﹣5（t﹣1）2+6， 故小球到达最高点时距离地面的高度是：6m． 故选：D． 点评：此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出是解题关键．
4．（4 分）（2015•鄂城区模拟）如图，已知 AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么 CE 的长等于（ ）
B． 3 米
C．5 米
D．6 米
4．（4 分）（2015•鄂城区模拟）如图，已知 AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么 CE 的长等于（ ）
A． 2
B． 4
C．
D．
5．（4 分）（2015•静安区一模）已知在△ ABC 中，AB=AC=m，∠B=α，那么边 BC 的长等
于（ ）
A． 2m•s inα
AE=2，CE=3，要使 DE∥AB，那么 BC：CD 应等于
．
13．（4 分）（2015•青浦区一模）如果抛物线 y=（a+3）x2﹣5 不经过第一象限，那么 a 的取
值范围是
．
14．（4 分）（2015•青浦区一模）已知点 G 是面积为 27cm2 的△ ABC 的重心，那么△ AGC