牛顿运动定律中的临界和极值问题

牛顿运动定律中的临界和极值问题
1．动力学中的典型临界问题
1接触与脱离的临界条件
两物体相接触或脱离的临界条件是接触但接触面间弹力F N＝0.
2相对静止或相对滑动的临界条件
两物体相接触且处于相对静止时,常存在着静摩擦力,则相对静止或相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．
3绳子断裂与松弛的临界条件
绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛的临界条件是F T＝0.
4速度最大的临界条件
在变加速运动中,当加速度减小为零时,速度达到最大值．
2．解决临界极值问题常用方法
1极限法：把物理问题或过程推向极端,从而使临界现象或状态暴露出来,以达到正确解决问题的目的．
2假设法：临界问题存在多种可能,特别是非此即彼两种可能时,或变化过程中可能出现临界条件,也可能不出现临界条件时,往往用假设法解决问题．
3数学法：将物理过程转化为数学公式,根据数学表达式解出临界条件．
题型一：接触与脱离类的临界问题
例1: 如图所示,在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体,物体下有一托
盘,用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长,然后使托盘以加速度a竖直向下做匀速
直线运动a<g,试求托盘向下运动多长时间能与物体脱离
例2: 如图,竖直固定的轻弹簧,其劲度系数为k=800N/m,上端与质量为 kg的物块
B相连接;另一个质量为 kg的物块A放在B上;先用竖直向下的力F=120N压A,使
弹簧被压缩一定量后系统静止,突然撤去力F,A、B共同向上运动一段距离后将分
离,分离后A上升最大高度为 m,取g＝10 m/s2, 求刚撤去F时弹簧的弹性势能
例3:如图所示,质量均为m 的A 、B 两物体叠放在竖直轻质弹簧上并保
持静止,用大小等于mg 21的恒力F 向上拉A,当运动距离为h 时A 与B 分离;则下列说法正确的是
A ．A 和
B 刚分离时,弹簧为原长
B ．弹簧的劲度系数等于h
mg 23 C ．从开始运动到A 和B 刚分离的过程中,两物体的动能先增大后减小
D ．从开始运动到A 和B 刚分离的过程中,A 物体的机械能一直增大
例4:如图甲所示,平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k,一端固定在倾角为θ的斜面底端,另一端与物块
A 连接；两物块A 、
B 质量均为m,初始时均静止;现用平行于斜面向上的力F 拉动物块B,使B 做加速度为
a 的匀加速运动,A 、B 两物块在开始一段时间内的v-t 关系分别对应图乙中A 、B 图线t 1时刻A 、B 的图线
相切,t 2时刻对应A 图线的最高点,重力加速度为g,则
A ．t 1和t 2时刻弹簧形变量分别为k
ma mg +θsin 和0 B ．A 、B 分离时t 1()ak
ma mg +=θsin 2 C ．拉力F 的最小值ma mg +θsin
D ．从开始到t 2时刻,拉力F 逐渐增大
题型二：相对静止或相对滑动的临界问题
例1：如图所示,质量分别为15kg和5kg的长方形物体A和B静止叠放在水平桌面上;A与桌面以及A、B 间动摩擦因数分别为μ1=和μ2=,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力;问：
1水平作用力F作用在B上至少多大时,A、B之间能发生相对滑动
2当F=30N或40N时,A、B加速度分别各为多少
跟踪训练：多选如图甲所示,一质量为M的长木板静置于光滑水平面上,其上放置一质量为m小滑块．木板受到随时间t变化的水平拉力F作用时,用传感器测出长木板的加速度a与水平拉力F的关系如图乙所示,取g=10m/s2,则
A．小滑块的质量m=2kg
B．当F=8N时,滑块的加速度为1m/s2
C．滑块与木板之间的动摩擦因数为
D．力与加速度的函数关系一定可以表示为F=6aN
例2：如图所示,两个质量均为m的小木块A和B放在转盘上,且木块A、B与转盘中心在同一条直线上,两木块用长为L的细绳连接,木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k倍,A放在距离转轴L处,整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动;开始时,绳恰好伸直但无弹力,现让该装置从静止转动,使角速度ω缓慢增大;为使细绳有弹力,而木块A和B又能相对转盘保持静止,求角速度ω的取值范围和细绳张力的最大值;
例3：如图所示的水平转盘可绕竖直轴OO′旋转,盘上水平杆上穿着两个质量均为m=2kg的小球A和B;
现将A和B分别置于距轴r A=和r B=1m处,并用不可伸长的轻绳相连;已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是f m=1N;试分析转速ω从零缓慢逐渐增大短时间内可近似认为是匀速转动,两球对轴保持相对静止过程中,在满足下列条件下,ω的大小;
1绳中刚要出现张力时的ω1；
2A、B中某个球所受的摩擦力刚要改变方向时的ω2,并指明是哪个球的摩擦力方向改变；
3两球对轴刚要滑动时的ω3;
跟踪训练：多选圆形转盘上的A、B、C三个物块如图放置,A、O、B、C在一条直线上,A、B间用一轻质细线相连开始细线刚好伸直,三个物块与转盘间的动摩擦因数均为μ,A、B、C三个物块的质量分别为m、m、2m,到转盘中心O的距离分别为3r、r、2r,现让转盘以角速度ω可调匀速转动,重力加速度为g,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则
A、当物块C相对转盘刚要滑动时,物块B所受摩擦力为μmg
B、当物块C相对转盘刚要滑动时,细线张力为μmg
C、当细线内刚出现张力时,物块C所受摩擦力为μmg
D、当细线内刚出现张力时,A、B、C所受摩擦力大小之比为3:1:4
题型三：绳子断裂与松弛的临界问题
例5．如图所示,在竖直的转动轴上,a、b两点间距为40 cm,细线ac长50 cm,bc长30 cm,在c点系一质
量为m的小球,在转动轴带着小球转动过程中,下列说法不正确的是
A．转速小时,ac受拉力,bc松弛
B．bc刚好拉直时,ac中拉力为
C．bc拉直后转速增大,ac拉力不变
D．bc拉直后转速增大,ac拉力增大
例6．如图所示,将两物块A、B用一轻质细绳沿水平方向连接放在粗糙的水平面上,已知两物块A、B的质量分别为m1=8kg,m2=2kg,滑块与地面间的动摩擦因数均为
μ=,g=10m/s2,细绳的最大拉力为T=8N.今在滑块A上施加一水平向右
的力F,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力;为使两滑块共同向右运动,
则拉力F多大
题型四：速度最大的临界问题
例7．如图所示,在磁感应强度为B的水平匀强磁场中,有一足够长的绝缘细棒OO′在竖直面内垂直于磁场方向放置,细棒与水平面夹角为α.一质量为m、带电荷量为＋q的圆环A套在OO′棒上,圆环与棒间的动摩擦因数为μ,且μ＜tan α.现让圆环A由静止开始下滑．试问圆环在下滑过程中：
1圆环A的最大加速度为多大获得最大加速度时的速度为多大
2圆环A能够达到的最大速度为多大
跟踪练习：
1.如图所示,一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计,盘内放一个物体P处于静止,P
的质量m=12kg,弹簧的劲度系数k=300N/m;现在给P施加一个竖直向上的力F,使P从静止
开始向上做匀加速直线运动,已知在t=内F是变力,在以后F是恒力,g=10m/s2,则F的最小
值是 ,F的最大值是 ;
思维拓展：若上题中秤盘质量m1=1．5kg,盘内物体P质量为m2=10．5kg,弹簧的劲度系数 k=800N/m,其他条件不变,则F的最小值是 ,F的最大值是 ;
2. 如图所示,细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A的顶端P处,细线的另一端拴一质量为m的小球;当滑块至少以多大的加速度a向左运动时,小球对滑块的压力等于零,当滑块以a=2g的加速度向左运动时,球此时线中拉力T大小
3. 一个带负电荷q ,质量为m 的小球,从光滑绝缘的斜面轨道的A 点由静止下
滑,小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动．现在竖
直方向上加如图所示的匀强电场,若仍从A 点由静止释放该小球,则
A ．小球不能过
B 点 B ．小球仍恰好能过B 点
C ．小球能过B 点,且在B 点与轨道之间压力不为0
D ．以上说法都不对
5.如图,在光滑水平面上放着紧靠在一起的ＡＢ两物体,Ｂ的质量是Ａ的2倍,Ｂ受到向右的恒力ＦB =2N,Ａ受到的水平力ＦA =9-2tN,t 的单位是s;从t ＝0开始计时,则：
A ．Ａ物体在3s 末时刻的加速度是初始时刻的5／11倍；
B ．t ＞４s 后,Ｂ物体做匀加速直线运动；
C ．t ＝时,Ａ物体的速度为零；
D ．t ＞后,ＡＢ的加速度方向相反;
6.如图所示,在光滑水平面上有一辆小车A ,其质量为m A ＝ kg,小车上放一个物体B ,其质量为m B ＝ kg.如图甲所示,给B 一个水平推力F ,当F 增大到稍大于 N 时,A 、B 开始相对滑动．如果撤去F ,对A 施加一个水平推力F ′,如图乙所示．要使A 、B 不相对滑动,求F ′的最大值F m . a A P
450。