高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修3 3.3.1 几何概型》

几何概型一李立峰（广东省汕头市澄海中学）一、教材与考试大纲要求分析《几何概型》人教版必修3第三章第3节的内容，考试大纲要求：了解几何概型的意义。

从大纲要求及近年全国卷考题可以看到，几何概型的意义及计算是概率中的重要知识，在考题中也经常出现。

二、教学目标1理解几何概型的概念及特点。

通过实例分析，从“特殊 一般”的归纳推理，从长度、面积多角度展示满足几何概型的问题的特点，由实例分析让学生理几何概型的概念和特点；注意古典概型与几何概型的联系与区别，在对比的过程中掌握几何概型的概念及特点。

2理解并掌握几何概型的计算公式。

通过设计问题情境，将教材中实例进行大胆改编，通过分析，从长度、面积多角度分析几何概型问题的计算规律，从而引导学生自行归纳出几何概型的计算公式。

3综合运用几何概型的知识与其他知识网络交汇解决问题。

通过例题和习题的设计，把几何概型与时间长度、图形对称性、几何体体积、生活中的实例结合起来，提高学生分析和解决问题的能力，培养学生对数学问题进行抽象概括和建模的能力。

三、学情分析学生对本内容的学习，主要存在以下三个方面的问题及困惑：1 几何概型的概念的未能正确理解。

解决方法：通过生活实例分析，通过与古典概型的对比，加深学生对几何概型的概念的理解，掌握几何概型的特点。

2未能正确几何概型解决一些实际问题。

解决方法：通过例题、习题分析，使学生在理解好几何概型的概念和计算公式的基础上，培养学生的数学建模素养，进而使学生能运用几何概型解决一些实际问题。

3对古典概型与几何概型区分不清。

解决方法：通过背景相近例题的不同设问的分析、对比，使学生正确理解好古典概型与几何概型，注意两者的联系，正确辨析两者的区别。

四、教学策略分析型与几何概型的联系和区别、几何概型与其他知识网络的交汇。

在教学中通过情境的引入、实例的分析、不同概型的对比，采用问题引导的方式，让学生围绕本节的主线来思考，通过自主探究来深化学生对几何概型的理解和掌握，自主区分古典概型与几何概型的区别，培养学生的数学建模素养。

在实例、例题的分析过程中引导学生自主归纳、自主推导、自主计算，在解决实际问题的过程中培养学生的数学建模素养。

五、教学过程与设计回顾前知引入归纳问题5：对照古典概型的两个特点，问3中的概率模型有什么特点？问题6：问3中的概率与彩带的长度有无关系？情境二：有下图两个圆盘，甲乙两人玩游戏，两人往盘中随机撒一粒黄豆．若约定当黄豆落在B区域时，甲获胜，否则乙获胜．问题1：黄豆落在区域B有多少种可能情况？问题2：这些情况的发生是否等可能？问题3：这两种情况甲获胜的概率分别是多少？问题4：问3中的概教师5：提出问题5．学生5：1试验中所有可能出现的基本事件有无限个；2每个基本事件出现的可能性相等．简称：无限个、等可能教师6：提出问题6．学生6：答：无关，只跟区域长度的比例有关．引入情境二教师1：提出问题1．学生1：无限多种．教师2：提出问题2．学生2：是等可能．教师3：提出问题3．（图1左下方B区域补到右上方，易得概率是12；图2明显概率是35）学生3：13(1),(2)25．教师4：提出问题4．学生4：无关，只跟区域面积的比例有关．教师5：提出问题5．学生5：圆盘1公平，圆盘2不公平．情境二引入，提出问题1~5．教师通过问题1~5的设问及学生的回答，对比古典概型，引导学生注意情境二概型与古典概型的区别，并注意其概率的计算特征．教学环节问题或任务师生活动设计意图理解模型运用模型【例题剖析】【例1】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．接下来我们一起利用这些知识来解决一些问题，我们先看：教师：提出例1．教师：电台是整点报时，即每60分钟报时一次，60分钟本身是个时间概念，表面看它不是刚才讲的长度、面积、体积等，但它可以转化为数学中的什么概念？（展示彩带卷成圆，圆上每一点对应着任一时刻，有无限多种可能情况）教师：接下来就是见证奇迹的时刻，我将圆周展开，变成线段，转化为长度型．（下面分析过程，师生一起完成解题过程，提醒学生注意解题步骤）解：设A={等待的时间不多于10分钟}，则事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，因此由几何概型的概率公式得：60501()==606AP A-=构成的时间长度时间总长度即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率是16．教师：本题属长度型几何概型问题教师：请大家归纳一下几何概型问题概率求解的步骤．学生：通过例1剖析，深化对几何概型的理解和认识，注意其概率计算公式的应用，注意长度型几何概型的特征．通过例题的分析过程，强调模型的特点，及时指导学生注意解题和数学语言的规范性，并引导学生归纳出几何概型概率计算的基本步骤．1记事件；2求测度；3算比值教学环节问题或任务师生活动设计意图理解模型运用模型【例题剖析】【例2】如图，假设在每个图上随机撒一粒黄豆，计算落到阴影部分概率，则图1和图2中概率较大的是图______．【变式】2021理科Ⅰ卷第2题如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π教师：提出例2．学生：思考例2，并分析．分析：在图1中, 设圆的半径为1,则三角形的底边长为2, 高为1,从而三角形的面积为1，因此图1中的概率为：11=3SPSπ=<三角形圆而图2中的概率为：31=83SPS=>阴影圆答案：（2）教师：本题属面积型几何概型问题．教师：提出变式．学生：思考变式，并分析．分析：如图，对图形进行补割设圆的半径为1,则所求概率为22==82SPSππ=半圆正方形，答案：B．教师：本题同样属面积型几何概型问题．通过例2及变式的剖析，深化对几何概型的理解和认识，注意其概率计算公式的应用，注意面积型几何概型的特征，尤其是变式这种利用图形对称性解决问题的题型．进一步深化学生对几何概型的理解和辨析．教学环节问题或任务师生活动设计意图辨析模型活用模型【例题剖析】【例3】儿歌：“一只小蜜蜂呀，飞在花丛中啊……”．假设现有一只小蜜蜂飞入一个棱长为4的正方体内，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A18B116C127D2764教师：提出例3．教师：对于这类要求大于或者小于某个数值的问题，我们常可考虑等于的情形，那么当与6个表面距离等于1，会在怎样的位置上？学生：在正方体内部的小正方体上．学生：思考例3，并分析．分析：如图，结合题意可知蜜蜂只能棱长为2的小正方体中飞行，因此由几何概型的概率公式得：332=4P小正方体的体积原正方体的体积1=8．答案：A本题属体积型几何概型问题通过例3的剖析，深化对几何概型的理解和认识，注意其概率计算公式的应用，注意体积型几何概型的特征，但由于在讲授这部分知识时，学生尚未学习必修2中几何积的知识，因而这里只能设计最简单的、学生初中学过的知识为载体．辨析模型活用模型【训练巩固】1．在区间[0,1]上任取一个数a，则事件“3a－1＞0”发生的概率为________．长度型2．在区间上随机取一个，in 的值介于0与12之间的概率为长度型A13B12C23D2π3．5月5日，我校举行了教工运动会，其中有飞镖项目，假设镖靶设计如图由等距的同心圆构成，现向镖靶随机投掷一支飞镖不计脱靶的情况1命中红心的概率是多少？2命中7环的概率是多少？教师：前面三个例题对应教材中计算公式中长度、面积、体积型的几何概型，大家要结合这三道例题来理解、掌握几何概型的知识、计算，接下来我们看做三道练习．学生：思考练习，完成分析．1．分析：由3a－1＞0得13>a，故根据几何概型的概率公式得：112313-==P2．分析：由[]0,π∈x且10sin2≤≤x，得566πππ≤≤≤≤x x或，故根据几何概型的概率公式得：5166303ππππππ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-P，选A．3．分析：设红心表示的圆的半径为1，则整个靶表示的圆的半径为10，故根据几何概型的概率公式得：1命中红心的概率2121110010ππ⋅==⋅P；2命中7环的概率222243710010πππ⋅-⋅==⋅P思考：命中(,110)k k Z k∈≤≤且环的概率怎样表示？22(11)(10)212100100----=k k k规律：中10环：2121110010P==，中9环：22222110P-=，中8环：22323210P-=，……，中4环：2276P-=，……．通过3道练习的训练，深化对几何概型的理解和认识，掌握其概率计算公式的应用，会运用几何概型模型解决问题．3道练习的设计能具有一定综合性：练习1是与解不等式知识结合；练习2是与三角函数知识结合；练习3是与圆的知识结合，而思考又是与数列求和知识结合．注:1命中各环数的概率之和为1——必然事件；2命中环数概率累加符合裂项相消求和法教学 环节 问题或任务 师生活动设计意图课 堂 小 结 升 华 认 识【课堂小结】1几何概型的概念如果每个事件发生的概率如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 2几何概型的特点1试验中所有可能出现的基本事件____________；2每个基本事件出现的可能性___________3几何概型的概率计算公式()A P A =构成事件的测度总测度类型有长度型、面积型、体积型等 解题步骤： 1记事件；2求测度；3算比值 【图片背景分析】 【作业】 布置作业．作业： 1．《必修3》P142 习题 A 组 第1题 2．补充要求写出分析过程如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF 该矩形区域内无其他信号区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 A ．14π-B ．12π- 教师：本节学生了三个知识点，引导学生回顾并回答． 学生：（回顾并回答）． 教师：首页图片解析 数学趣闻——蒲丰试验 1777年某天，法国数学家蒲丰宴请多位朋友到家中 席间，他请朋友做了一次试验 蒲丰在桌子上铺好一张大白纸，白纸上画满了等距离的平行线，他又拿出很多等长的小针，小针的长度都是平行线距离的一半 蒲丰说:“请大家把这些小针往这张白纸上随便仍吧！” （数学家吃顿饭做个游戏都那么高大上）客人们按他说的做了 蒲丰统计了结果：共掷2212次，其中小针与纸上平行线相交704次2212÷704≈ 蒲丰说：“这个数是π的近似值，这个试验能得到圆周率的近似值，而且投掷的次数越多，求出的圆周率近似值越精确 ”这就是著名利用几何概型知识估算圆周率的“蒲丰试验” ． 教师：布置作业．师生共同回顾总结，引领学生认识数学认知的过程，培养学生数学建模的核心素养． 通过作业让学生对本节学生内容进行反刍，自主应用数学模型解决问题．。