导数典型例题讲解
资料一：导数.知识点
1．导数的概念
例1．已知曲线y=上的一点P(0, 0)，求过点P的切线方程·
解析：如图，按切线的定义，当x0时，割线PQ的极限位置是y轴（此时斜率不存在），因此过P点的切线方程是x=0.
例2．求曲线y＝x2在点(2，4)处的切线方程·
解析：∵ y=x2, ∴ y=(x0＋x)2－x02＝2x0x＋(x)2 =4x＋(x)2
∴ k＝.
∴曲线y＝x2在点(2，4)处切线方程为y－4＝4(x－2)即4x－y－4＝0.
例3．物体的运动方程是S＝1＋t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，求物体在t＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋t]内相应的平均速度．
解析：∵ S=1+t+t2, ∴ S=1+(t+t)+(t+t)2－(1+t+t2)=2t·t+t+(t)2,
∴, 即, ∴ ,
即在[5，5＋t]的一段时间内平均速度为(t＋11)米／秒
∴ v(t)=S’＝
即v(5)＝2×5＋1＝11.
∴物体在t＝5秒时的瞬时速度是11米／秒．
例4．利用导数的定义求函数y=在x=1处的导数。
解析：y=, ∴ =,
∴ =.
例5．已知函数f(x)=, 求函数f(x)在点x＝0处的导数
解析：由已知f(x)=0，即f(x)在x=0处有定义，y=f(0+x)－f(0)=,
=, ==0, 即f ’(0)＝0.
∴函数f(x)在x＝0处导数为0.
例6．已知函数f(x)=, 判断f(x)在x＝1处是否可导？
解析：f(1)=1, ,
, ∵,
∴函数y=f(x)在x＝1处不可导．
例7．已知函数y＝2x3＋3，求y’.
解析：∵ y=2x3+3, ∴ y=2(x+x)3+3－(2x3+3)=6x2·x+6x·(x)2+2(x)3,
∴ =6x2+6x·x+2(x)2, ∴y’==6x2.
例8．已知曲线y＝2x3＋3上一点P，P点横坐标为x＝1，求点P处的切线方程和法线方程．解析：∵ x=1, ∴ y=5, P点的坐标为(1, 5),
利用例7的结论知函数的导数为y’=6x2,
∴y’＝6, ∴曲线在P点处的切线方程为y－5＝6(x－1)
即6x－y－1＝0, 又曲线在P点处法线的斜率为－，
∴曲线在P点处法线方程为y－5＝－( x－1)，即6y＋x－31＝0.
例9．抛物线y＝x2在哪一点处切线平行于直线y＝4x－5？
解析：∵ y’==,
令2x＝4．∴ x=2, y＝4, 即在点P(2，4)处切线平行于直线y＝4x－5.
例10．设mt≠0，f(x)在x0处可导，求下列极限值
(1) ；(2) .
解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x0)定义中的极限形式。
(1) =,
（其中－m·x0）
(2) =.
（其中）
例11．设函数f(x)在x＝1处连续，且，求f ’(1).
解析：∵ f(x)在x＝1处连续，∴ f(1).
而又×2=0.
∴f(1)=0.
∴ f ’(1)=（将x换成x－1）
即f ’(1)＝2.
例12．已知抛物线y＝ax2+bx+c (a≠0)，通过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．
解析：由y’＝=,
由函数在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切, ∴ 2a×2＋b＝1，
又函数过点(1，1)，(2，－1), ∴ a＋b＋c=1，4a＋2b＋c＝－1，
由三式解得a＝3，b＝－11，c=9.
例13．设曲线y＝sinx在点A(，)处切线倾斜角为θ，求tan(－θ)的值.
解析：∵ y=sinx，∴ y=sin(x+x)－sinx=2cos(x+)sin,
∴ y’==.
即y’＝(sinx)’＝cosx,
令在A点处切线斜率为k=cos=, ∴ tanθ=, θ∈(0, π),
∴ tan(－θ)＝H，
例14．设f(x)是定义在R上的函数，且对任何x1、x2∈R，都有f(x1＋x2)=f(x1)f(x2)，若f(0)≠0，f ’(0)＝1，证明：对任何x∈R，都有f(x)=f ’(x)
解析：由f(x1＋x0)=f(x1)f(x2)，令x1＝x2＝0得f(0)＝f(0)f(0), 又f(0)≠0
∴ f(0)=1
由f ’(0)=1即,
∴ f ’(x)＝
.
即f ’(x)=f(x)成立．
2．几种常见函数的导数
例1．已知f(x)=x3，求f ’(x) ，f ’(1)，(f(1))’，f ’( 0.5)
解析：f(x)=x3, ∴ f ’(x)＝3x2, f ’(1)=3,
f ’( 0.5)＝3×(0.5)2= 0.75，(f(1))’=(1)’=0.
说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值．
例2．已知曲线y=x2上有两点A(1, 1), B(2, 4)，求①割线AB的斜率；②在[1，1＋x]
内的平均变化率；③过点A处的切线斜率kAT；④点A处的切线方程．解析：① kAB＝＝3；
②平均变化率,
③ y’＝2x , ∴ y’|x＝1＝2. 即点A处的切线斜率为KAT＝2.
④点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)即2x－y－1＝0.
说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系
y’=.
例3．利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y=在点P(1，1)处的切线倾斜角及该点处的法线方程．
解析：解法一：f(x)=, y=f(1+x)－f(1)=,
∴ y’|x=1==.
即在点P处斜率为k＝－1，∴倾斜角为135°，
法线方程y－1＝x－1即x－y＝0.
解法(二)：y=f(x)＝，y’=f ’(x)=, ∴ y’|x=1＝－1.
即在点P处切线斜率为k=－1，以下同法(一)
说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可．
例4．已知曲线y=上的一点P(0，0)，求过点P的切线方程.
解析：由y=, ∴ y’=,在x=0处导数不存在，由图形知
过P点的切线方程是x=0.
例5．设曲线y＝cosx在A(，)点处的切线倾斜角为θ，求cot(－θ)的值
解析：y=cosx, y’=－sinx, x=时, k=－sin=－, ∴ tanθ=－，
∴ cot(－θ)=.
例6．求曲线y＝x3在点(3，27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积．解析：∵ y=x3, ∴ y’=3x2, y’|x=3=27,
∴曲线y=x3在点(3，27)处的切线方程为y－27＝27(x－3),
即y＝27x－54. 其与x轴，y轴交点分别为(2，0)，(0，－54)
∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S=×2×54＝54.
例7．在抛物线y＝x2上取横坐标为x1＝1及x2＝3的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？
解析：已知两点A(1，1)B(3，9)，割线斜率为kAB=4,
∵ y’＝2x，令y’=2x＝4得x＝2, 即在点(2，4)处切线平行于这一割线．
3．函数和、差、积、商的导数
例1．求下列函数的导数：
① y=3x2＋xcosx；② y=；③ y=xtanx－；④ y=.
解析：① y’=6x+cosx－xsinx；
② y’=；
③ y=, ∴ y’=
=.
④ y=, y’=.
例2．已知函数f(x)=x3－7x+1，求f ’(x)，f ’(1)，f ’(1.5).
解析：f(x)=x3－7x+1, ∴ y’= f ’(x)=3x2－7, f ’(1)=－4，f ’(1.5)=－.
注意：导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值．例3．已知函数y＝x3＋ax2－a的导数为0的x值也都使y值为0，求常数a的值．解析：y’=3x2+2ax, 令y’=0, 则3x2+2ax=0, x1=0, x2=－a,
当x=0时，y=0=－a，∴ a=0，即a＝0满足条件,
当x=－a时．y＝0= 得a＝0或a＝±3
检验知a＝±3不满足条件，
∴常数的值为0.
例4．曲线y＝－x2＋4x上有两点A(4，0)，B(2，4)，求①割线AB的斜率kAB；
②过点A处的切线斜率kA；③点A处的切线方程。
解析：①割线AB的斜率kAB==－2；
②y’=－2x+4，∴ y’|x=4=－4，即kA=－4；
③过A点的切线方程为y－0＝－4(x－4)，即y＝－4x＋16.
例5．已知F(x)=f(x)＋g(x)，就下列两种情形判断F(x)在x＝x0处是否可导？
① f(x)在x＝x0处可导，g(x)在x＝x0处不可导．
② f(x)，g(x)在x＝x0处均不可导．
解析：① F(k)在x＝x0处不可导．
假设F(x)在x＝x0处可导，由F(x)=f(x)＋g(x), ∴g(x)＝F(x)－f(x).
∵ f(x)在x＝x0处可导，∴ g(x)在x=x0处可导，与条件g(x)在x＝x0处不可导矛盾，∴F(x)在x＝x0处不可导．
② F(x)在x＝x0处不一定可导．
如设f(x)=sinx+, g(x)=cosx－, 则f(x)，g(x)在x＝0处均不可导，
但F(x)=f(x)+g(x)＝sinx＋cosx在x＝0处可导．
另：若．g(x)=tanx+上，在x＝0处不可导，
F(x)=f(x)+g(x)=sinx+tanx+在x＝0处也不可导．
例6．曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点切线与直线y=4x－7平行．解析：y’=(x3＋x－1)’＝3x2＋1，
由过P点切线与直线y＝4x－7平行，令3x2＋1＝4得x＝±1，
当x=1时，y=1，此时切线为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3与直线y＝4x－7平行，∴ P 点坐标为(1，1)。
当x＝－1时，y＝－3，此时切线为y＋3=－3(x＋1)，即y＝4x＋1也满足条件，∴P 点坐标为(－1，－3).
综上得P点坐标为(1，1)或(－1，－3).
例7．证明：过抛物线y＝a(x－x1)(x－x2), (a≠0，x1＜x2)上两点A(x1，0)，B(x2，0)的切线倾斜角互补．
解析：y’=2ax－a(x1+ x2).
∴ , 即k1=a(x1－x2), , 即k2=a(x2－x1),
∵ k1=－k2，∴两切线倾斜角互补．
例8．已知曲线y=f(x)及y=f(x)sinax，(a≠0)，其中f(x)＞0，且为可导函数，求证：两曲线在公共点处彼此相切．
解析：由f(x)=f(x)sinax, f(x)>0，∴ sinax=1，ax=2kπ+ (k∈Z),
∴ x=，设曲线交点(x0, y0)，即x0=.
又两曲线y1=f(x)，y1’=f ’(x)，y1=f(x)sinax，y2’=f ’(x)sinax+a·cosx·f(x)
, ,
∴ k1=k2，即两曲线在公共点处相切.
例9．已知直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，求k的值．
解析：由y’=3x2－6x+2=k, 又由kx=x3－3x2+2x，∴ 3x3－6x2+2x=x3－3x2+2x,
即2x3－3x2＝0得x1＝0或x2=．∴ k＝2或－．
4．复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数
例1．函数y＝(sinx2)是由函数y＝，u＝，v= 三个函数复合而成．解析：答案分别为：y=u, u=sinv. v=x2.
例2．求下列函数的导数：
① y=(x2+2x)3；② y=；③ y=；④ y＝(sinx2)；
⑤ y＝ln(x＋)；⑥ y＝x3lig3x；⑦ y=；⑧ y=xn, (x∈R+, n∈R).
解析：① y=(x2+2x)3，y’=3(x2+2x)2·(2x+2)=6(x+1)(x2+2x)2.
② y=, y’= ·(8x)=8x·.
③ y=, y’=·(2ax+b).
④ y=(sinx2), y’=·cosx2·2x=.
⑤ y＝ln(x＋), y’==.
⑥ y＝x3lig3x, y’=3x2·lig3x+x3·lig3e=3x2lig3x+x2lig3e=x2lig3(ex3).
⑦ y=,
y’=.
⑧ y=xn=, y’==n··xn=.
说明：本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则等，这些要反复熟记·
例3．求函数f(x)=的导数。
解析：f ’(x)= ,
∴ f ’(x)=
例4．若f(x)=x＋ln(x－5)，g(x)＝ln(x－1),解不等式f ’(x)>g’(x).
解析：f ’(x)=1+, g’(x)=, 由f ’(x)>g(x)，有
1+>, 即, ∴ x>5或x<1.
又两函数定义域为x>5, 所以，不等式f ’(x)>g’(x)的解集为(5，＋∞).
说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域．
例5．证明：可导奇函数的导数是偶函数。
解析：法一：定义法：
设f(x)为可导奇函数，则f(－x)＝－f(x),
∴ f ’(－x)=
==f ’(x).
即f ’(－x)=f ’(x)．∴导函数为偶函数.
法二：复合函数求导法：
设f(x)为可导奇函数，则f(－x)＝－f(x)，两边对x求导
得：[f (－x)]’=－f ’(x) 即－f ’(－x)＝－f ’( x),
∴ f ’(－x)＝f ’(x)．∴ f ’(x)为偶函数，即命题成立．
同理可证：可导偶函数的导数是奇函数．
例6．石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是am/s，问在b 秒末波扰动水面积的增大速度是多少？
解析：设b秒末最外一圈波纹的半径为R，则R=ab,
∴S＝πR2，又R’＝a，
∴S’|R=ab=2πR·R’(t)|R=ab=2πa2b.
即b秒末波扰动水面积的增大率为2πa2b m2/s.
例7．将水注入锥形容器中，其速度为4米3/分，设锥形容器的高为8米，顶口直径为6米，求当水深为5米时，水面上升的速度．(如图)
解析：设注入水t分钟后，水深为h米，
由相似三角形对应过之比可得水面直径为h米，
这时水的体积温V=π(h)2·h=，由于水面高度h随时间t而变化，因此h是t的函数h＝h(t)，由此可得水的体积关于时间t的导数为V’t＝V’h·h’t，∴ V’t=，
由假设，注水的速度为4米3／分．
∴ Vt’==4, 即h’t=,
∴当h＝5米时，水面上升的速度为h’|h=5=(米/分).
5．函数的单调性和极值
1．求函数y＝ex－x＋1的单调区间
解析：y’=(ex－x+1)’=ex－1, 由ex－1>0得x>0，即函数在(0, +∞)上为增函数；
由ex－1<0得x<0，即函数在(－∞，0)上为减函数．
∴函数的单增区间为(0，＋∞)，单减区间为(－∞，0).
例2．证明：函数y＝在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减．解析：∵ y’=,
当x∈(0，1)时，y’>0，∴ f(x)在(0，1)上递增；
当x∈(1，2)时，y’<0，∴ f(x)在(1，2)上递减．
例3．讨论函数y=x－2sinx在(0，2π)内的单调性.
∵ y’=1－2cosx, x∈(0, 2π)，由y’>0，得 ∴ y=f(x) 在(0, )和(, 2π)内都是单调递减。 例4．设f(x)＝(a＞0)，求a的范围，使函数f(x)在(0，＋∞)上是单调函数．解析：f ’(x)=，当x∈(0, +∞)时，0<<1, ∵ a＞0，且f(x)在(0，＋∞)上是单调函数， 则必有f ’(x)<0，∴a≥1. 即a≥1时，函数f(x)在(0，＋∞)上是单调函数． 例5．已知函数f(x)＝(a＞0且a≠1)在定义域(0，1)上是减函数，求a的取值范围．解析：∵定义域要求2－ax>0, x<, 又函数在(0, 1)上都有意义， ∴ ≥1，∴ a≤2, ∵ y’=， 由y’<0，得， 若0 ∴只有a>1，此时lga>0, <0, x<<2, ∴ 1 例6．当x＞0时，证明不等式 解析：设f(x)= =, 则f ’(x)=, 当x>0时，f ’(x) =<0, 即f(x)在(0，＋∞)上是递减函数， 又当x＝0时，f(0)＝0．∴ f(x) 即<0, ∴ . 令g(x)＝ln(1＋x)－x, g’(x)＝ 当x>0时，g’(x) 又当x＝0时，g(x)＝0，∴ g(x) ∴ 例7．右图是函数y＝x3＋x2－5x－5的图象，试结合图形说明函数的极值情况：解析：f ’(x)=3x2+2x－5=(3x+5)(x－1), 令f ’(x)=0, 得x1=－, x2=1， ∴ x=－和x＝1是f(x)可能的极值点， 又由图象可以看出，f(－)比它临近点的函数值大，f(1)比它临近点的函数值要小， ∴ f(－)，f(1)分别是函数的极大值和极小值，除此之外，没有其它极值点． 例8．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1与x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求f(x)表达式. 解析：∵ f(x)＝ax3＋bx2＋cx，∴ f ’(x)=3ax2+2bx+c, x∈(－∞, +∞)， 由已加f(x)在x=一1与x＝1时有极值． ∴ f ’(1)＝f ’(－1)＝0，又f(1)＝－1， ∴，解得a=, b=0, c=－. ∴ f(x)=x3－x. 例9．已知f(x)=x2＋c，且g(x)=f[f(x)]=f(x2＋1)，设φ(x)＝g(x)－λf(x)，问：是否存在实数λ，使φ(x)在(－∞，－1)上是减函数，并且在(－1，0)上是增函数． 解析：由f[f(x)]＝f( x2＋1)得(x2＋c)2＋c＝(x2＋1)2＋1，得c＝1， ∴φ(x)＝g(x)－λf(x)＝x4＋(2－λ)x2＋(2－λ)是连续函数， φ’(x)＝2x(2x2＋2－λ) 由φ(x)在(－∞，－1)上是减函数，且在(－1，0)上是增函数， ∴ φ’(x)|x=－1=φ’(－1)=0，∴ λ=4， 即存在实数λ＝4，使φ(x)满足条件． 说明：本题若用函数单调性定义太繁！ 6．函数的最大值和最小值 例1．求函数f(x)＝5x＋2的值域. 解析：由得f(x)的定义域为－3≤x≤4，原问题转化为求f(x)在区间[－3, 4]上的最值问题。 ∵y’＝f ’(x)＝, 在[－3，4]上f ’(x)＞0恒成立, ∴ f(x)在[－3，4]上单调递增． ∴当x＝－3时ymin＝－15－，当x=4时ymax=20＋2， ∴函数的值域为[－15－，20＋2]. 例2．设 解析：f ’(x)=3x2－3ax=3x(x－a)，当x变化时，f ’(x), f(x)的变化情况列表如下： 当x=0时, f(x)取极大值b，而f(0)>f(a)，f(－1) ∴需要比较f(0)与f(1)的大小， ∵ f(0)－f(1)＝a－1>0，∴f(x)的最大值为f(0)＝b－1， 又f(－1)－f(a)=(a3－3a－2)=(a+1)2(a－)<0， ∴ f(x)|min=f(－1)，∴－a－1+b=－a=－, ∴ a=，b=1. 例3．若函数f(x)在[0，a]上单调递增且可导，f(x)<0，f(x)是严格单调递增的，求在(0，a]上的最大值。 解析：，∵ f(x)是严格单调递增的， ∴ f ’(x)>0，∵ f(x)<0，x>0，∴f ’(x)·x－f(x)>0， ∴ >0，∴在(0，a]上是增函数。 ∴在(0，a]上最大值为． 例4．设g(y)＝1－x2＋4 xy3－y4在y∈[－1，0]上最大值为f(x)，x∈R， ①求f(x)表达式；②求f(x)最大值。 解析：g’(y)=－4y2(y－3x), y∈[－1, 0]， 当x≥0时，g’(y)≥0，∴ g(y)在[－1, 0]上递增, ∴ f(x)=g(0)=1－x2. 当－ ∴ f(x)=g(3x)=1－x2+27x4. 当x≤－时，g’(y)，g(y)在[－1，0]上递减, ∴ f(x)=g(－1)=－x2－4x, ∴ f(x)=. ②当x≥0时，f(x)≤f(0)=1， 当x∈(－，0)时，f(x)=27[(x－)2－]+1 当x≤－时，f(x)＝－( x＋2)2＋4≤f(－2)＝4, ∵1<< 4，∴f(x)|max＝f(－2)＝4. 例5．设函数f( x)＝3x2+ (x∈(0，＋∞))，求正数a的范围，使对任意的x∈(0，＋∞)，都有不等式f(x)＞20成立。 解析：f ’(x)＝6x－，令f ’(x)=0得x＝， 当0 ∴ x＝是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点. 要使f(x)≥20恒成立，∴ f(x)|min≥20, ∴ , 解得a≥64. 例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？ 解析：设圆柱的高为h，底面半径为R，则S=2πRh+2πR2， ∴ h=, ∴ V(R)＝S底面·h=, 由V’(R)=0得S－3πR2=0得S=6πR2，∴6πR2=2πRh+2πR2，∴ h=2R， 即当罐的高和底面直径相等时容积最大． 例7．已知三次函数f(x)=x(x－a)(x－b)，其中0＜a＜b． （1）设f(x)在x＝s及x=t处取最值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b； （2）设A(s，f(s))，B(t，f(t))，求证：AB中点C在曲线y＝f(x)上； （3）若a＋b＜2，求证：过原点且与曲线y＝f(x)相切的两直线不可能垂直。 解析：（1）f ’(x)＝3x2－2(a＋b)x+ab， 由f(x)在x＝s和x＝t处取最值，∴ s，t分别是方程f ’(x)＝0的两实根． ∵ f ’(0)=ab>0，f ’(a)＝3a2－2(a＋b)a+ab=a(a－b)<0， f ’(b)＝b2－ab=b(b－a)>0，∴ f ’(x)＝0在(0，a)及(a，b)内分别有一个实根， ∵ s （2）由s，t是方程f ’(x)＝0的两根．∴ , ∴ f(s)+f(t)=, ∵ , ∴ AB的中点C(，f())在曲线y=f(x)上. （3）过曲线上点(x1，y1)的切线方程为y－y1=[3x12－2(a＋b)x1+ab](x－x1),由y1=x1(x1－a)(x1－b)且切线过原点． ∴－x1(x1－a)(x1－b)=－x1[3x12－2(a＋b)x1＋ab], 当x1=0时，切线的斜率为k1=ab， 当x1=时，切线斜率为－(a+b)2+ab， ∵ a, b>0，a+b<2，∴ k1k2=[－(a+b)2+ab], Ab=(ab)2－(a+b)2+ab>(ab)2－2ab=(ab－1)2－1≥－1 ∴ k1k2≠－1，即两切线不可能垂直。