求极限方法总结-全

极限求解总结

1、极限运算法则

设,,则

(1)

(2)

(3)

2、函数极限与数列极限的关系

如果极限存在，为函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足:，那么相应的函数值数列必收敛，且

3、定理

（1）有限个无穷小的和也是无穷小；

（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

4、推论

（1）常数与无穷小的乘积是无穷小；

（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小；

（3）如果存在，而c为常数，则

（4）如果存在，而n是正整数，则

5、复合函数的极限运算法则

设函数是由函数与函数复合而成的，在点的某去心领域内有定义，若

，且存在，当

时，有，则

6、夹逼准则

如果

(1)当(或>M)时,

(2)

那么存在，且等于A

7、两个重要极限

（1）

（2）

8、求解极限的方法

（1）提取因式法

例题1、求极限

解：

例题2、求极限

解：

例题3、求极限

解：

（2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势）

例题1、

解：令

例题2、

解：令x=y+1

=

例题3、

解：令y=

=

（3）等价无穷小替换法

注：若原函数与x互为等价无穷小，则反函数也与x互为等

价无穷小

例题1、解：

例题2、解：

例题3、解：

例题4、

解：

例题5、

解：

令y=x-1

原式=

例题6、

解：令

型求极限

例题1、

解：解法一（等价无穷小）：

解法二（重要极限）：

（5）夹逼定理（主要适用于数列）例题1、

解：

所以

推广：

例题2、

解：

1)

所以

2)

所以

例题3、解：

所以

例题4、

所以

例题5、解：

所以

（6）单调有界定理

例题1、

解：

单调递减

极限存在，记为A

由（*）求极限得：A=A

所以A=0

例题2、求解：

单调递增

所以

极限存在，记为L

时

例题3、

求极限

解：

当

当

所以极限存在时

注：单调性有时依赖于的选取

例题4、求极限

解：（整体无单调性）

所以单调递减，同理，单调递增

有因为

故和均存在，分别记为A,B

即

解得A=B=

所以

（7）泰勒公式法

例题1、设f有n阶连续导数

证明：

证明：

即

（8）洛必达法则例题1、求

解：

例题2、求

解：

例题3、求