2011高考数学知识点一本全
— 1 — 高中数学知识点精析
高中数学 知识点精析
（文理通用）
第一部分 集合
1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.
2. 集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，.
[注] ①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）
（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.
④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集.
例：
?
??=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是φ.
（例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?）
4. ①n 个元素的子集有2n 个.
②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.
5. ? ①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.
— 2 — 高中数学知识点精析
②
，且21≠≠y x 3≠+y x . 解：逆否：x + y =3
x = 1或y = 2.
2
1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是2
1≠≠y x 且的既不是充分，
又不是必要条件.
?小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例：若552x x x >?><，或.
6.De Morgan 公式 C u A ∩ C u B = C u （A ∪ B ） C u A ∪ C u B = C u （A ∩ B ）
第二部分 函数 1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在）
，（），（2110?上为减函数. 3. 反函数定义：只有满足y
x ??→←唯一
，函数)(x f y =才有反函数. 例：2
x
y =
无反
函数.
函数)(x f y =的反函数记为)(1
y f x -=，习惯上记为)(1
x f
y -=. 在同一坐标
系，函数)(x f y =与它的反函数)(1
x f
y -=的图象关于x y =对称.
[注]：一般地，3)f(x 3)(x f
1
+≠+-的反函数. 3)(x f
1
+-是先)f(x 的反函数，在
左移三个单位.3)f(x +是先左移三个单位，在)f(x 的反函数.
4. ?单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.
?如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.
?设函数y = f （x ）定义域，值域分别为X 、Y . 如果y = f （x ）在X 上是增（减）函数，那么反函数)(1x f y -=在
Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个
函数增减性相同.
?一般地，如果函数)(x f y =有反函数，且b a f =)(，那么a b f
=-)(1
. 这就
是说点（b a ,）在函数)(x f y =图象上，那么点（a b ,）在函数)(1
x f y -=的
图象上.
5. 指数函数：x
a y =（0,1a a >≠），定义域R ，值域为（+∞,0）.
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?①当1a >，指数函数：x
a y =
②当01a <<，指数函数：x
a y =?当1a >时，x
a y =的a 值越大，越靠近y 轴；
当01a <<时，则相反.
6. 对数函数：如果a （0,1a a >≠）的b 次幂等于N ，就是N
a b =，数b 就
叫做以a 为底的N 的对数，记作b N a =log （0,1a a >≠，负数和零没有对数）；
其中a 叫底数，N 叫真数. ?对数运算：
()n
a n a a a c
b
a
b b a
N
a
n
a
a n
a
a
a
a
a
a
a a a a a a c
b a N N N
a
M
n
M M
n M
N
M N M
N
M N M n a
1
1
2
1
log
log ...log
log
1
log
log log log
log log log
1log log log log
log
log log
log )(log 32log )
12)
1(=????=??=
==±
=-=+=?-推论：换底公式：
（以上12n M 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a ,a ...a 01>>>≠>≠>≠>≠且） 注?：当,0a b <时，)log()log()log(b a b a -+-=?. ?：当0M
>时，
取“+”，当n 是偶数时且0M <时，0
n
M
>，而0M <，故取“—”.
例如：x x x a a a log 2(log 2log 2
≠中x ＞0而2log x a 中x ∈R ）.
?x a y =（0,1a a >≠）与x y a
log =互为反函数.
当1a >时，x
y a
log
=的a 值越大，越靠近x 轴；当01a <<时，则相反.
7. 奇函数，偶函数： ?偶函数：
)()(x f x f =-
— 4 — 高中数学知识点精析
设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1)
()(=-x f x f .
?奇函数：)()(x f x f -=-
设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如：3
x
y =
在)1,1[-上不是奇函数.
②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，
1)
()(-=-x f x f .
8. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称
x f y y -=???→?
②y =f （x ））（轴对称
x f y x -=??
?→? ③y =f （x ））（原点对称
x f y --=???→?
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f （x ）= 1+
x
x -1的定义域为A ，函数f [f （x ）]的定义域是B ，则
集合A 与集合
B 之间的关系是 . 解：)(x f 的值域是))
((x f f 的定义域B ，)(x f 的值域R ∈，故R B ∈，而A {}1|≠=x x ，
故A B ?.
11. 常用变换： ①
)
()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =
-?=+.
证：
)
()(])[()()
()()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=?=
-
②
)()()()()()(
y f x f y x f y f x f y
x f +=??-=
2212221212
2222121)()()(b
x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=
+-+=-）（A B ?
— 5 — 高中数学知识点精析
证：
)
()(
)(
)(y f y
x f y y
x f x f +=?=
12. ?熟悉常用函数图象：
例：|
|2x y =→||x 关于y 轴对称.
|
2|21+?
?
? ??=x y →|
|21x y ??
? ??=→
|
2|21+??? ??=x y
|122|2
-+=x x
y →||y 关于x 轴对称
.
?熟悉分式图象： 例：3
723
12-+
=-+=
x x x y ?
定义域},3|{R x x x ∈≠，
值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x 前的系数之比.
第三部分 直线和圆
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范
围是)0(1800παα
≤≤.
注：①当
90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，
y
轴上的截距分别为
— 6 — 高中数学知识点精析
)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：
1=+
b
y a
x .
注：若23
2--
=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是2
3
2--
=x y ，但若
)
0(23
2≥--
=x x y 则不是这条线.
附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.
3. ?两条直线平行：
1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1
l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个―前提‖都会导致结论的错误.
（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则
1l ∥212k k l =?，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必
要不充分条件，且21C C ≠）
推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ?两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有
12121-=?⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在.
②0121=?⊥k l l ，且2l 的斜
率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件） 4. 直线的交角：
?直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当
90
≠θ
时2
1121tan k
k k k +-=
θ
.
?两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交
— 7 — 高中数学知识点精析
所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ?
??
?
?
2,
0π，
当
90
≠θ
，则有2
1121tan k k k k +-=
θ
.
5. 过两直线??
?=++=++0
:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程
λ
λ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）
6. 点到直线的距离：
?点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P
C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，
则有2
2
00B
A C
By Ax d
+++=
.
?两条平行线间的距离公式：设两条平行直线
)
(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为
d
，则有
2
2
21B
A C
C d +-=
.
7. 关于点对称和关于某直线对称：
?关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. ?关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
?点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点. 注：①曲线、直线关于一直线（b x y +±=）对称的解法：y 换x ，x 换y. 例：曲线f (x ,y )=0关于直线y =x –2对称曲线方程是f (y +2 ,x –2)=0.
②曲线C: f (x ,y )=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f (a – x , 2b – y )=0. 二、圆的方程.
1. ?曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的 与一个二元方程
),(=y x f 的实数建立了如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. ?曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(y x M 其坐标与方程
),(=y x f 的一
— 8 — 高中数学知识点精析
种关系，曲线上任一点),(y x 是方程
),(=y x f 的解；反过来，满足方程
),(=y x f 的
解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线C 的方程是f(x ,y)=0，那么点P 0(x 0 ,y)线C 上的充要条件是f(x 0 ,y 0)=0 2. 圆的标准方程：以点
)
,(b a C 为圆心，
r
为半径的圆的标准方程是
2
2
2
)()(r
b y a x =-+-.
特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 注：特殊圆的方程：①与
x
轴相切的圆方程
2
22)()(b
b y a x =±+-
)],(),(,[b a b a b r -=或圆心
②与y 轴相切的圆方程222)()(a b y a x =-+± )],(),(,[b a b a a r -=或圆心
③与x 轴y 轴都相切的圆方程222)()(a a y a x =±+± )],(,[a a a r ±±=圆心 3. 圆的一般方程：022=++++F
Ey Dx y x .
当042
2
F E D -+时，方程表示一个圆，其中圆心???
??--
2,2
E D C ，半径2
42
2
F
E D r
-+=
.
当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??
?
?
?-
-
2,2
E D .
当0
422 F
E D -+时，方程无图形（称虚圆）.
注：①圆的参数方程：???+=+=θ
θsin cos r b y r a x （θ为参数）.
②方程
2
2
=+++++F Ey Dx Cy
Bxy Ax
表示圆的充要条件是：0=B 且
≠=C A 且
42
2
AF E D -+.
③圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--?y y y y x x x x y x B y x A （用向
量可征）.
4. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内2
2
02
0)()(r
b y a x -+-?
②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?（ ③M 在圆C 外2
2
02
0)()(r
b y a x -+-?
5. 直线和圆的位置关系：
— 9 — 高中数学知识点精析
设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(02
2
≠+=++B A C By Ax ；
圆心),(b a C 到直线l 的距离2
2
B
A C Bb Aa d +++=
.
①r d =时，l 与C 相切；
附：若两圆相切，则??????=++++=++++0
2222
211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为公切线方程.
②d r <时，l 与C 相交；
附：公共弦方程：设 有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D . ③d r >时，l 与C 相离.
附：若两圆相离，则??????=++++=++++0
2222
211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为圆心21O O 的连线的中与
线方程.
由代数特征判断：方程组????
?=++=-+-0
)()(222C Bx Ax r
b y a x 用代入法，得关于x （或y ）的
一元二次方程，其判别式为?，则：
l ?=?0与C 相切； l ??0 与C 相交； l ??0 与C 相离.
注：若两圆为同心圆则011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 相减，不表示直线.
6. 圆的切线方程：圆
2
22r
y x =+的斜率为k 的切线方程是
r
k kx y 2
1+±=过圆
2
2
=++++F Ey Dx y x
上一点),(00y x P 的切线方程为：0
2
2
00=++++++F y y E
x x D
y y x x .
①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆
2
2
2
r
y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.
②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则??
?
??+---=-=-1)()(2
110101R x a k y b R x x k y y ，联立求出?
k
切线方
:0:2
2
2
2
22
111221=++++=++++F y E x D y x C F y E x D y x C
— 10 — 高中数学知识点精析
程.
7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆. 已知O Θ的方程022=++++F Ey Dx y x …① 又以ABCD 为圆为方
程为2))(())((k b x y y a x x x A A =--+--…②
4
)
()(2
22
b y a x R A A -+-=
…③，所以BC 的方程即③代②，①②相切即为所求.
第四部分 三角函数
1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：
{}Z
k k ∈+?=,360
|αββ
②终边在x 轴上的角的集合：
{}Z
k k ∈?=,180
|
ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z
k k ∈+?=,90180
|
ββ
④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z
k k ∈?=,90|
ββ
⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{
Z
k k ∈+?=,45180|
ββ
⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z
k k ∈-?=,45180|
ββ
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：β
α-=k
360
⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：β
α
-+=
180
360k
⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：β
α+=k
180
⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：
90
360±+=βα
k
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
SIN \C O S 三角函数值大小关系图
1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
B
)
— 11 — 高中数学知识点精析
（一）基本关系
公式组二 公式组三
x
x k x x k x
x k x x k c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (=+=+=+=+ππππ
x
x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-
公式组四 公式组五 公式组六
x
x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x
x x x x
x x x c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππ x
x x x x
x x x c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππ
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
β
αβαβαsin sin cos cos )cos(-=+
α
ααc o s s i n 22s i n =
公式组一sin x ·csc x =1tan x =
x
x cos sin sin 2x +cos 2
x =1
cos x ·sec x x =
x
x sin cos 1+tan 2x =sec 2
x
tan x ·cot x =1
1+cot 2
x =csc 2
x
=1
— 12 — 高中数学知识点精析
β
αβαβαsin sin cos cos )cos(+=-
α
αααα2
2
2
2
s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=
β
αβαβαsin cos cos sin )sin(+=+
α
αα2
t a n 1t a n 22t a n -=
β
αβαβαsin cos cos sin )sin(-=-
2
c o s 12
s i n α
α
-±
= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+
2
c o s 12
c o s α
α+±=
β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
-
公式组三 公式组四 公式组五 2
tan
12
tan
2sin 2
α
α
α+=
2
tan
12
tan
1cos 2
2
α
α
α+-=
2
tan
12
tan
2tan 2
ααα-=
4
2
675
cos 15
sin -=
=
,4
2
615
cos 75
sin
+=
=
,3275cot 15
tan -
==
,3
215cot 75
tan +
==
.
()()[]()()[]()()[]()()[]
β
αβαβαβ
αβα
βαβαβαβαβαβαβα--+-
=-++=
--+=
-++=cos cos 2
1sin sin cos cos 2
1cos cos sin sin 2
1sin
cos sin sin 21
cos sin 2cos 2
sin 2sin sin β
αβ
αβα-+=+2sin
2cos
2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2
cos
2cos cos βαβ
αβα
-+=+2
sin
2
sin
2cos cos βαβαβα-+-=-α
αα
αα
ααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12
tan -=
+=
+-±
=α
απsin )21cos(-=+α
απcos )2
1sin(
=+ααπcot )21tan(-=+α
απsin )21
cos(
=-ααπcos )21sin(=-α
απcot )2
1tan(
=-
— 13 — 高中数学知识点精析
注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也
同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则f y -=.
②x y sin =与x
y cos =
的周期是π.
③)sin(?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y （0≠ω
）的周期ω
π
2=
T .
2
tan
x y =的周期为2π（π
ω
π2=?=
T T
，如图，翻折无效）.
④)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2
π
π
+
=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)
c
o s (?ω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0
,2
1ππ+k ）；)t a n (?ω+=x y 的对称中
心（
,2πk ）.
x
x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=???→?=原点对称
— 14 — 高中数学知识点精析
⑤当αtan ·,1tan
=β)
(2
Z k k ∈+
=+π
πβα；αtan ·,1tan
-=β)
(2
Z k k ∈+
=-π
πβα.
⑥x y cos =与?
?
?
??++=ππk x y
22sin 是同一函数,而)
(?ω+=x y 是偶函数，则
)cos()2
1sin()(x k x x y ωππω?ω±=+
+=+=.
⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
)
()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)3
1tan(π+
=x y 是非奇非
偶.（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ?0的定义域，则无此性质）
⑨x y sin =不是周期函数；x
y sin =
为周期函数（
=T
x
y cos =是周期函数（如图）；x
y cos =
为周期函数（2
12cos +
=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
R
k k x f x f y ∈+===),(5)(.
⑩a
b b
a b a y =
+++=+=??αβα
cos )sin(sin cos 2
2
有
y
b
a ≥+2
2.
第五部分 向量与解三角形
1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.
注意：①若b
a
,为单位向量，则b
a
=. （?） 单位向量只表示向量的模为1，并
未指明向量的方向.
②若b a
=，则a ∥b . （√） 2.
①()a
μλ=()a
λμ
②()a
a a
μλμλ+=+
③()
b
a b a
λλλ+=+
④设()()R y x b y x a ∈==λ,,,,2211
()2121,y y x x b a ++=+
()2121,y y x x b a --=-
y=|cos2x +1/2|图象
— 15 — 高中数学知识点精析
()21,y x a λλλ=
2
121y y x x b a +=?
2
1
21y x a +=
（向量的模，针对向量坐标求
模）
⑤平面向量的数量积：
θ
cos b a b a ?=?
⑥a
b b a
?=? ⑦
()()()b
a b a b
a
λλλ?=?=?
⑧(
)
c
b c a c b a ?+?=?+
注意：①()()c
b a c
b a
??=??不一定成立；c b b a
?=?c
a
=.
②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小.
③长度为0的向量叫零向量，记0 ，0 与任意向量平行，0
的方向是任意的，零
向量与零向量相等，且00
=-. ④若有一个三角形ABC
，则0；此结论可推广到n 边形.
⑤若a
n a
m =（R n m ∈,），则有n m =. （?） 当a
等于0
时，0
==a n a
m ，而n m ,不
一定相等.
⑥a ·
a =2
||a ，||a
=2
a
（针对向量非坐标求模），||b a
?≤||||b a
?.
⑦当0 ≠a 时，由0
=?b a
不能推出0
≠b ，这是因为任一与a
垂直的非零向量b
，都
有a ·b =0.
⑧若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c （×）当b 等于0时，不成立.
3. ①向量b
与非零向量．．．．a
共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a b
λ=（平
行向量或共线向量）.
当a ,0 λ与b 共线同向：当,0 λa 与b 共线反向；当b
则为0,0与任何
向量共线.
注意：若b a ,
λ= （×）
若c 是a 的投影，夹角为θ，则c a =?θcos
，=?θcos （√） ②设a
=()11,y x ，()22,y x b =
a ∥b
?=-?01221y x y
x b a b a =??=λ
a
⊥b
01221=+?=??y y x x b a
③设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则A 、B 、C 三点共线
?
∥
?
=λ（0≠λ）
?
（1212,y y x x --）=λ（1313,y y x x --）（0≠λ
）
— 16 — 高中数学知识点精析
?
（12x x -）
·（13y y -）=（13x x -）·（12y y -） ④两个向量a
、b
的夹角公式： 2
2
2
22
12
12121cos y x y x y y x x +?
++=
θ
⑤线段的定比分点公式：（0≠λ和1-）
设 P 1P =λPP 2 （或2λ
1
P 1），且2
1,,P P P 的坐标分别是),
(),,(,,2211y x y x y x ）（，则
推广1：当1=λ时，得线段2
1P P 的中点公式：
推广2λ
=则λ
λ++=
1PB PA PM
（λ对应终点向量）.
三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标
()y x G
,：
注意：在△ABC 中，若0为重心，则0=++OC OB OA ，这是充要条件. ⑥平移公式：若点
P ()y x ,按向量a
=()k h ,平移到P
‘
()
'
'
,y x ，则?????+=+=k
y y h
x x '
'
4. ?正弦定理：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，所对的角为A 、B 、C ，则
R
C
c B
b A
a 2s in s in s in ==
=
.
?余弦定理：???
????-+=-+=-+=C ab a b c B
ac c a b A
bc c b a cos 2cos 2cos 22
222
22222
?正切定理：2
tan
2
tan B A B A b
a b
a -+=-+
?三角形面积计算公式：
设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r .
①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=
()()()c P b P a P P ---
[海伦
公式]
⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.
???
???
?++=++=33321321y y y y x x x x ???
???
?
+=+=222121x x x y y y ???
????
++=++=λλλλ1121
21x
x x y y
y A
B
— 17 — 高中数学知识点精析
如图：
图1中的I 为S △ABC 的内
心， S △=Pr
图2中的I 为S △ABC 的一
个旁心，S △=1/2
（b+c-a ）r a
图
1 图
2 图3
图4 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
?已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周
长,即
2
c
b a ++]
则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ） ②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=c s -=1/2（a+b-c ）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r =c
b a ab c
b a ++=
-+2
（如图3）.
?在△ABC 中，有下列等式成立C
B A
C B A tan tan tan tan tan tan =++.
证明：因为,
C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以
C
B
A B A tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结
论！
?在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则DC
BD BC
BC AB BD AC
AD ?-+=
2
2
2
.
证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有
B BD AB BD AB AD cos 22
2
2??-+=①
在△ABC 中，由余弦定理有
BC
AB AC
BC AB B ?-+=
2cos 2
2
2
②，②代入①，化简
可得，DC
BD BC
BC AB BD AC
AD
?-+=
2
2
2
（斯德瓦定理）
①若AD 是BC 上的中线，2
2
2
2221a
c
b m a -+=
；
②若AD 是∠A 的平分线，()
a p p bc c
b t a -?+=2，其中p 为半周长； ③若AD 是BC 上的高，()()()
c p b p a p p a
h a ---=
2，其中p 为半周长.
?△ABC 的判定：
B b I A
B C D E F I
A
B
C
D
E
F
r a
r a
r a
b
c
a a
b
c C D
A
C
B
图5
— 18 — 高中数学知识点精析
?
+=2
22b a c △ABC 为直角△?∠A + ∠B =2
π
2
c
＜?+22b a △ABC 为钝角△?∠A + ∠B ＜2
π
2
c
＞?+22b a △ABC 为锐角△?∠A + ∠B ＞
2
π
附：证明：ab
c
b a C 2cos 2
2
2
-+=，得在钝角△ABC 中，2
2
2
2
2
2
,00cos c
b a
c b a C +?-+?
?平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和
.
)2=
第六部分 数列
①)
,2(1为常数d n d a a n n
≥=--
②211-++=n n n
a a a (2≥n )
— 19 — 高中数学知识点精析
③b
kn a n
+=(k n ,为常数).
?看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n
②112
-+?=n n n
a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )
①
注①：i. ac
b =，是a 、b 、
c 成等比的双非条件，即ac
b =
、b 、c 等比数
列. ii. ac
b =
（ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac
b ±=→为a 、b 、
c 等比数列的必要不充分. iv.
ac
b ±=且0 ac
→为
a 、
b 、
c 等比数列的充要.
注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③n
n
cq
a =(q c ,为非零常数).
④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n
x
a log
}（1 x ）成等比数列.
?数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：??
?≥-===-)2()
1(111n s s n a s a n n
n [注]： ①()()d a nd d
n a a n -+=-+=111（d
可为零也可不为零→为等差数列充要条件
（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{n a }前n 项和n
d a n d Bn An S n ??? ?
?-+??? ??=+=
22122
→2
d 可以为零也可不为零→
为等差的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等
差数列的充分条件. ③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍
...
,,232k k k k k S S S S S --；
②若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1
+=
n n a a S
S 偶
奇
；
③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1
-=
n n S S 偶
奇
得到所求项数
到代入12-?n n .
— 20 — 高中数学知识点精析
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =()2
1+n n
②()()
6
1213212222++=
+++n n n n
③()2
213213333?
?
?
???+=++n n n
[注]：熟悉常用通项：9，99，999， (110)
-=?n
n a ； 5，55，555，…()1
10
9
5-=
?
n
n a .
4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：
?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：
.)
1(1])1([)
1(...)
1()1(1
2
r r a a r a r a r a a n
n +-+-=
+++++++-
?银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：
)1(...)
1()
1()
1(10
11
12
r a r a r a r a ++++++++=
)
1(1]
)
1(1)[1(12
r r r a +-+-+.
?分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.
()
()
()
()()
()
()
()
1
111
111 (1112)
1
-++=
?-+=
+?++++++=+--m
m
m
m
m m m
r r ar x r
r x r a x r x r x r x r a
5. 数列常见的几种形式： ?n
n n qa pa
a +=
++12（p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ，x 对应1+n a ），并设二根21,x x ②
若21x x ≠可设n n n x c x c a 2211.+=，若21x x =可设n n x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定
2
1,c c .
?r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式，再用特征根方法求n a ；④121-+=n n P c c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定.
职高高考数学公式(最全)
职高高考数学公式(最 全) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
职高高考数学公式 预备知识：（必会） 1. 相反数、绝对值、分数的运算 2. 因式分解 （1） ?十字相乘法 如：)2)(13(2532-+=--x x x x （2） 两根法 如：)2 5 1)(251(12--+- =--x x x x 3. ?配方法 如：8 25 )41(23222-+=-+x x x 4. 分数（分式）的运算 5. 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法 （1） 代入法 （2） 消元法 6.完全平方和（差）公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- 7.平方差公式：))((22b a b a b a -+=- 8.立方和（差）公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 9. ?注：所有的公式中凡含有“=”的，注意把公式反过来运用。 第一章 集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。 注：?描述法 },| 取值范围 元素性质元素 ｛?∈?=x x x ；另重点类型如：｝｛]3,1(,13|y 2-∈+-=x x x y 3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、*N （正 整数集）、+Z （正整数集） 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系： （1） 元素与集合是“∈”与“?”的关系。 （2） 集合与集合是“?” “”“=”“?/”的关系。 注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑φ是否满足题意）
高中高考数学公式大全
高中高考数学公式大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考基础知识（公式） 一、集合 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ? ?≠? 子集：一般地，,A A A ???,若,A B B C ??则A C ? 真子集：一般地，A ??,若,A B B C ?? 则A C ? 交集：一般地，A A A =,A B B A =,A A ?=?=? 并集：一般地，A A A =,A B B A =,A A A ?=?= 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个子集（包括空集）；非空子集有 21n -个；即真子集有21n -个；非空的真子集有22n -个. 充要条件：1、p q ?，则p 是q 的充分条件；反之（若q p ?），q 是p 的必要条件； 2、p q ?，且q p ?，则p 是q 的充要条件； 3、p q ?，且q ≠>p ，则p 是的q 充分不必要条件； 4、p ≠>q ，且q p ?，则p 是q 的必要不充分条件； 5、p ≠>q ，且q ≠>p ，则是p 是q 的既不充分又不必要条 件。 二、指数与对数 指数性质：(1)1、1 p p a a -= ； （2）、01a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ ；(5)、n a =（0,,a m n N *>∈， 1n >）(6)、m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >） (7)当n a =； 当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==?-≠>>∈且2n ≥则
(完整版)高职高考数学主要知识点最新版
高职高考数学主要知识点： 1.集合的子集个数： 集合{a1,a2,a3, ,a n}的子集个数为2n个;子集个数为2n个;真子集个数为2n1个。满足{a1,a2,a3, ,a m} A {a1,a2,a3, , a n }关系的集合A有2n m个。 2.集合的运算： 交集；A B {x| x A且x B} 并集：A B {x| x A或x B} 补集：C U A {x| x U,A U且x A} 3.命题的充分条件：、原命题成立，逆命题不成立命题的必要条件：逆命题成立，原命题不成立。命题的充要条件：原命题成立，逆命题成立。 4.函数的定义域的求法：分式要保证分母不为0；开二次方根要保证补开方数大于或等于0；对数的真数大于0，底数大于0 且不等于1。值域的求法：二次函数用配方法、换元法、一次分式函数用求反函数的定义域的方法、二次分式函数用判别式法。二次根式函数要保证函数值大于或等于0，指数函数值大于0 等等。 5.增函数：函数值随自变量的增大而增大，减少而减小。减函数：函数值随自变量的增大而减小，减少而增大。 奇函数：定义域关于原点对称，自变量取相反值时函数值与原函数值相反。图象关于原点对称。 偶函数：定义域关于原点对称，自变量取相反值时函数值与原函数值相同。图象关于y 轴对称。
反函数：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。图象关于直线y＝x 轴对称 指数的运算法则： m n m n m n m n a a a ,a a a m n mn m m m (a ) a ,(ab ) a b b b m m (b)m b m,a n n a m(n a )m a a m m 1 0 a m m,a 01(a 0) a 8. 对数的运算法则： 1如果a b N，那么b叫做以a为底N的对数，记为 b log N 2 a loga N N 3 log a a b b 4 log a x n nlog a x y 5 log a ( xy) log a x log a y 6 log a log a y log a x 1 log c b 7 log a b 8 log a b c log b a log c a 9. 指数函数的图象及性质：
(完整word版)高职高考数学主要知识点最新版
高职高考数学主要知识点： 1. 集合的子集个数： 个。真子集个数为个子集个数为个的子集个数为集合12;2;2},,,,{321-?????n n n n a a a a 个。有关系的集合满足m n n m A a a a a A a a a a -????????????2},,,,{},,,,{321321 2. 集合的运算： 交集；}|{B x A x x B A ∈∈=?且 并集：}|{B x A x x B A ∈∈=?或 补集：},|{A x U A U x x A C U ??∈=且 3. 命题的充分条件：、原命题成立，逆命题不成立 命题的必要条件：逆命题成立，原命题不成立。 命题的充要条件：原命题成立，逆命题成立。 4. 函数的定义域的求法：分式要保证分母不为0；开二次方根要保证补开 方数大于或等于0；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1。 值域的求法：二次函数用配方法、换元法、一次分式函数用求反函数的定义域的方法、二次分式函数用判别式法。二次根式函数要保证函数值大于或等于0，指数函数值大于0等等。 5. 增函数：函数值随自变量的增大而增大，减少而减小。 减函数：函数值随自变量的增大而减小，减少而增大。 奇函数：定义域关于原点对称，自变量取相反值时函数值与原函数值相反。图象关于原点对称。 偶函数：定义域关于原点对称，自变量取相反值时函数值与原函数值相同。图象关于y 轴对称。
反函数：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。图象关于直线y ＝x 轴对称。 6. 二次函数的图象及性质 7. 指数的运算法则： ) 0(1,1)(,)()(,)(,0≠========÷=?--+a a a a a a a a b a b b a ab a a a a a a a a m m m n n m n m m m m m m m mn n m n m n m n m n m 8. 对数的运算法则： ()()()()()()()()a b b a b x y x y y x xy x n x b a N a N b N a b N a c c a b a a a a a a a a n a b a N a b a log log log 8log 1 log 7log log log 6log log )(log 5log log 4log 32log 1log = =-=+======的对数，记为为底叫做以，那么如果 9. 指数函数的图象及性质：
高中数学知识点完全总结(绝对全)
高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 关于高职高考数学公式 This manuscript was revised on November 28, 2020 重点公式 第零章 1、222)(2b a b ab a ±=+± 2、))((22b a b a b a -+=- 3.一元二次方程的求根公式：a ac b b x 242-±-= （042≥-a c b ） 4.韦达定理：a b x x -=+21；a c x x =?21 第一章 第二章 一、不等式的性质 1、不等式两边同时加减一个数，不等号不变：如：,a b >则有,a c b c ->- 2、不等号两边同时乘除以一个正数，不等号不变；不等号两边同时乘除以一个负数，不等号变如：（1）,0a b c >>，则有,ac bc >（2）,0a b c ><，则有,ac bc < 二、均值定理 时取等号当且仅当其中b a R b a ab b a =∈≥++,,,2 三、不等式的解法 １.一元一次不等式(0)ax b a >≠： 解题步骤： （1）当0a >时，解集为|b x x a ??>???? （2）当0a <时，解集为|b x x a ? ?< ??? ? ２.二次函数20(0)ax bx c a ++>≠ 解题步骤：（1）令20ax bx c ++=，解出其根 （2）根据a 及所求出的根画图 （3）由图像及符号确定解集 ３.分式不等式 0000()() ,()() f x f x a a g x g x >≥ 解题步骤：（1）把不等式化为分式不等式的标准形式，即 ()() 0,0()() f x f x g x g x >≥ ()(2) 0()()0() f x f x g x g x ????→>>←????正正得正负负得负，()0()()0()f x f x g x g x ????→<<←????正负得负负正得负 （3）()0()()0g()0()f x f x g x x g x ?????→≥≥≠←?????分母不能为零且 4、绝对值不等式()()f x a f x a <>或（其中a >0） 解题步骤：（1）在数轴上a a -描出和的点，原则上小于号取中间，大于号两边 （2） ()()()()()a a a a f x a a f x a f x a f x a f x a -?????→<-<<←????? ?????→><->←????? 取和的中间 取-和两边 或 5、无理不等式 （1 ()0,()0()() {f x g x f x g x ≥≥>????→>←???? 根号里式子大于等于零 （2 ()0,()0 ()2 ()[()]()0, ()()0 12{(){{ f x g x g x f x g x f x g x g x g x ≥≥>≥当大于等于零时 当小于零时 、、型 （3 2 ()0,()0([()](){f x g x f x g x g x ≥>≠=k k k kx x f 2.一次函数 时为减函数时为增函数，当当00),0()(<>≠+=k k k b kx x f ),0()(.3≠=k x k x f 反比例函数）上是减函数， ，）和（，函数在区间（时当∞+∞->00,0k ）上是增函数，）和（，时，函数在区间（当∞+∞-<000k 高考数学必背公式大全 由于高中数学公式很多，同学们复习的时候不方便查阅，下面是我给大家带来的高考必背数学公式，希望能帮助到大家! 高考必背数学公式1 两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb ) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga ) 倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 高考必背数学公式2 和差化积 1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb 5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 等差数列 1、等差数列的通项公式为： an=a1+(n-1)d(1) 2、前n项和公式为： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项. , 且任意两项am,an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 最全高中数学知识点总结（最全集） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 高职高考数学主要知识点： 1、集合的子集个数： 个。真子集个数为个子集个数为个的子集个数为集合12;2;2},,,,{321-?????n n n n a a a a 个。有关系的集合满足m n n m A a a a a A a a a a -????????????2},,,,{},,,,{321321 2、集合的运算： 交集；}|{B x A x x B A ∈∈=?且 并集：}|{B x A x x B A ∈∈=?或 补集：},|{A x U A U x x A C U ??∈=且 3、 命题的充分条件：、原命题成立，逆命题不成立 命题的必要条件：逆命题成立，原命题不成立。 命题的充要条件：原命题成立，逆命题成立。 4、 函数的定义域的求法：分式要保证分母不为0；开二次方根要保证补开 方数大于或等于0；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1。 值域的求法：二次函数用配方法、换元法、一次分式函数用求反函数的定义域的方法、二次分式函数用判别式法。二次根式函数要保证函数值大于或等于0，指数函数值大于0等等。 5、 增函数：函数值随自变量的增大而增大，减少而减小。 减函数：函数值随自变量的增大而减小，减少而增大。 奇函数：定义域关于原点对称，自变量取相反值时函数值与原函数值相反。图象关于原点对称。 偶函数：定义域关于原点对称，自变量取相反值时函数值与原函数值相同。图象关于y 轴对称。 反函数：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。图象关于直线y ＝x 轴对称。 6、 二次函数的图象及性质 7、 指数的运算法则： ) 0(1,1)(,)()(,)(,0≠========÷=?--+a a a a a a a a b a b b a ab a a a a a a a a m m m n n m n m m m m m m m mn n m n m n m n m n m 8、 对数的运算法则： ()()()()()()()()a b b a b x y x y y x xy x n x b a N a N b N a b N a c c a b a a a a a a a a n a b a N a b a log log log 8log 1 log 7log log log 6log log )(log 5log log 4log 32log 1log = =-=+======的对数，记为为底叫做以，那么如果 9、 指数函数的图象及性质： 高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=， 高中数学常用公式及常用结论大全 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 2．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 3.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 4.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 5.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 6.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. (2)1 m n m n a a - =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. 7．根式的性质（1 ）n a =；（2）当n a =； 当n ,0 ||,0 a a a a a ≥?==?-∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. 高中常用数学公式 一、集合与解不等式 集合（能够确定的对象的全体） 1、含n 个元素的集合的所有子集有n 2个，真子集有n 2-1个，非空真子集有n 2-2 2、正整数集N + ,自然数集N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 。 3、元素与集合关系的符号是，属于∈或不属于? 4、集合与集合关系的符号是：?（含于）≠?（真含于） 空集? 解不等式 ﹡1、一元二次不等式： ﹡2、分式不等式： ⑴0 >++d cx b ax ?0))((>++d cx b ax ⑵ 0≥++d cx b ax ??? ?≠+≥++0 ))((d cx d cx b ax ⑶ 0<++d cx b ax ?0))((<++d cx b ax ⑷ 0≤++d cx b ax ??? ?≠+≤++0 0))((d cx d cx b ax ﹡3、绝对值不等式：( c > 0 ) ⑴c b ax <+||? c b ax c <+<- ⑵c b ax >+||?c b ax c b ax >+-<+或 ⑶c b ax ≤+||?c b ax c ≤+≤- ⑷c b ax ≥+||?c b ax c b ax ≥+-≤+或 二、函数部分 1、 几种常见函数的定义域 ⑴整式形式：? ? ?++=+=c bx ax x f b ax x f 2 )()(一元二次函数：一元一次函数： 定义域为R 。 ﹡⑵分式形式：) ()()(x g x f x F =要求分母0)(≠x g 不为零 ﹡⑶二次根式形式：)()(x f x F = 要求被开方数0)(≥x f ⑷指数函数：)10(≠>=a a a y x 且，定义域为R ﹡⑸对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且，定义域为（0，+∞） 对数形式的函数：)(log x f y a =，要求0)(>x f ⑹三角函数： ⑺几种形式综合在一起的，求定义域即在求满足条件的各式解集的交集。 2、常见函数求值域 ⑴一次函数b ax x f +=)(：值域为R ﹡⑵一元二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ： ﹡⑶形如函数)0()(≠+++=d cx d cx b ax x f 的值域： }|{c a y y ≠，（其中a 为分子中x 的系数，b 为分母中x 的系数）； ⑷指数函数：)10(≠>=a a a y x 且值域为（0，+∞） ⑸对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且，值域为R 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 高职类高考数学公式汇集一、集合 实数集R 交集：A∩B={x|x∈A且x∈B } 空集?并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 有理数集Q补集：CuA={x|x∈U且x?A} 自然数集N 充分条件：条件p=>结论q 正整数集N* 必要条件: 条件p<=结论q 整数集Z 充要条件：条件p<=>结论q 二、不等式 三、 函数y=f(x) 函数的奇偶性 奇函数：设函数的定义域为数集D ，如果对于任意的，都有-x ∈D 且f （-x ）=-f （x ），那么函数f （x ）叫做奇函数。 偶函数：设函数的定义域为数集D ，如果对于任意的，都有-x ∈D 且f （-x ）=f （x ），那么函数f （x ）叫做奇函数。 不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶。 四、 指数函数与对数函数 分数指数幂：n m a =n m a n m a - = n m a 1 实数指数幂：p a ·q a =q p a （p a ）q =pq a （ab ）p =p p b a 幂函数：y =a x （α∈R ） 指数函数：y =x a （a>0且a ≠1） 性质： 1） 函数的定义域为R ，域值为（0，+∞）； 2） 当x=0时，函数值y =1； 3） 当a>1时，函数在（-∞，+∞）内是增函数，当0 3）N >0，即零和负数没有对数 常用对数：N 10 log 简记为N lg 自然对数：以无理数e （e=2.71928……）为底数的对数，N e log 简记为N ln 积、伤、幂的对数： )lg(MN =M lg +N lg （M >0,N >0） N M lg =M lg -N lg n M lg =M n lg 对数函数：y =x a log 性质： 1） 函数的定义域为（0，+∞），域值为R ； 2） 当x=1时，函数值y=0； 4） 当a>1时，函数在（-∞，+∞）内是增函数，当0 高考数学必考知识点总结归纳 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().? 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真 ∨ p q p q ?p p 若为真，当且仅当为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 0义域是_。 >->=+- f x a b b a F(x f x f x 如：函数的定义域是，，，则函数的定 ())()() [] - a a （答：，） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高考基础知识（公式） 一、集合 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 子集：一般地，,A A A ???,若,A B B C ??则A C ? 真子集：一般地，A ??,若,A B B C ?? 则A C ? 交集：一般地，A A A =,A B B A =,A A ?=?=? 并集：一般地，A A A =,A B B A =,A A A ?=?= 集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个子集（包括空集）；非空子集有21n -个；即 真子集有21n -个；非空的真子集有22n -个. 充要条件：1、p q ?，则p 是q 的充分条件；反之（若q p ?），q 是p 的必要条件； 2、p q ?，且q p ?，则p 是q 的充要条件； 3、p q ?，且q ≠>p ，则p 是的q 充分不必要条件； 4、p ≠>q ，且q p ?，则p 是q 的必要不充分条件； 5、p ≠>q ，且q ≠>p ，则是p 是q 的既不充分又不必要条件。 二、指数与对数 指数性质：(1)1、1p p a a -= ； （2）、0 1a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ ；(5) 、n a =（0,,a m n N *>∈，1n >） (6) 、m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >） (7)当n a =； 当n ,0 ||,0 a a a a a ≥?==?-≠>>∈且2n ≥则 (1)、log ()log log a a a MN M N =+; (2)、 log log log a a a M M N N =- (3)、log log ()n a a M n M n R =∈; (4) 、log log m n a a n N N m = (5)、 log 10a = (6)、 log a b a b = (7)、 log 1a a = （8）、换底：l o g l o g l o g m a m N N a = (0,1,0,1,0a a m m N >≠>≠> (9)、推论：l o g l o g 1a b b a ?= ; 2 2l o g l o g a a N N == 指数与对数的关系: l o g b a N b a N =?= (0,1,0)a a N >≠>关于高职高考数学公式
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