【压轴题】高二数学上期末模拟试题(含答案)
高二上数学期末模拟测试(含答案)
高二上数学期末模拟测试一、选择题1.命题0"<∃x ， "022≥-x x 的否定是（ ）A. 0<∀x ， 022≤-x xB. 0≤∀x ， 022<-x xC. 0≥∀x ， 022<-x xD. 0<∀x ， 022<-x x 2.在ABC ∆中，若19AC =，23,,3AB B π=∠=则BC =( ) A.2 B.3 C.4 D. 5 3.下列结论成立的是( )A.若bc ac >，则b a >B.若b a >，则22b a > C.若dc b a <>,，则d b c a +>+ D.若d c b a >>,，则c b d a ->- 4.等差数列{}n a 中，14725839,33a a a a a a ++=++=,则6a 的值为 ( )A.10B. 9C. 8D. 75.若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为14，则双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为( )A. 415y x =±B. 3y x =±C. 15y x =±D. 3y x =±6.如果实数x y 、满足条件1010 10x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2z x y =-的最大值为( )A. 1B. 2C.1-D. 2- 7.若正实数,a b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ）A. ab 有最小值14B. a b +有最小值2C.11a b+有最小值4 D. 22a b +有最小值22 8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4524a a a =，且3a 与62a 的等差中项为25，则5S =（ ） A. 29 B. 31 C. 33 D. 36 9.已知三棱锥O ABC -，点,M N 分别为边,AB OC 的中点，P 是MN 上的点，满足PN MP 2=，设,,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，则OP 等于 ( ) A. 111663a b c +-r r r B. 111636a b c ++r r rC. 111366a b c ++r r rD. 111663a b c ++r r r10.如图在一个60︒的二面角的棱上有两个点A B 、，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，且1,2AB AC BD ===，则CD 的长为 （ ）PA. 1B. 3C. 2D. 5(注意：11题和12题为不定项选择题，每个题至少有一个答案） 11.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是A. 若，则一定是锐角三角形 B. 若，则一定是等边三角形 C. 若，则一定是等腰三角形D. 若，则一定是等腰三角形 12.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M ，且双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P 为曲线与的一个公共点，若，则正确的是A.B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上.）13.已知向量()()2,1,3,5,2,a b x =-=-r r，且a b ⊥r r ，则实数x 的值为_______．14.已知命题012,:2≤++∈∃ax ax R x p ，若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是______. 15.已知抛物线2x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，若3||=AB ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为_______.16.四边形,135,120,45,ABCD BAD ADC BCD ∠=∠=∠=o o o 60,ABC ∠=o2BC =，若此时1AB =，则线段AC 的长度是_______；若此时AB 长度未知，则线段AC 的取值范围是_______. 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分14分） 设命题p ：实数x 满足03422≤+-m mx x ，其中0>m ；命题()():230q x x +-≤.（1）若2=m ，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分14分）已知正项数列}{n a 是公差为2的等差数列，且62是2a 与3a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12-=⋅n n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S .19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和22nn S n +=.（1）若三角形的三边长分别为753,,a a a ，求此三角形的面积；（2）探究数列{}n a 中是否存在相邻的三项，同时满足以下两个条件：①此三项可作为三角形三边的长；②此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍. 若存在，找出这样的三项，若不存在，说明理由.20.（本小题满分14分）在图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形， 2BAD ADC π∠=∠=，平面ADE ⊥平面ABCD ，244EF DC AB ===，CD EF //,ADE ∆是边长为2的正三角形． （1）证明： BE ⊥平面ACF ；（2）若点P 在线段EF 上，且二面角F BC P --的余弦值为810，求PFEP 的值．21.（本小题满分14分）已知中心在原点的椭圆C 的一个顶点为)3,0(-，焦点在x 轴上, 右焦点到直线03=+-y x 的距离为23．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线():30l x my m =+≠交椭圆C 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为1N （点1N 与点M 不重合），且直线1N M 与x 轴的交于点P ，求PMN ∆的面积的最大值．答案：13.4 14. )1,0[ 15. 54)2,3[ 三、解答题17.解：由03422≤+-m mx x 得0)3)((≤--m x m x ，又0>m ，所以m x m 3≤≤， …………………2分 （1）当2=m 时， 62≤≤x ，即p 为真时实数x 的取值范围是62≤≤x .……………3分 由()():230q x x +-≤，即:23q x -≤≤ …………………4分若p q ∧为真，则p 真 且q 真，⎩⎨⎧≤≤-≤≤3262x x ………………5分解得32≤≤x ，所以实数x 的取值范围是]3,2[ …………………7分(2 ) q ⌝是p ⌝的充分不必要条件, 等价于p q ⇒，且q p ≠>，…………………8分由03422≤+-m mx x 得0)3)((≤--m x m x ，又0>m ，所以m x m 3≤≤， 设{}m x m x A 3≤≤=,{}32≤≤-=x x B ，则A ⊂≠B ………………10分 【另解：q ⌝：2-<x 或3>x ；p ⌝：m x <或m x 3>…………………8分 {}32>-<x x x 或⊂≠{}m x m x x 3><或 ………………10分 】所以⎩⎨⎧<-≥332m m 或⎩⎨⎧≤->332m m解得12<≤-m 或12≤<-m即12≤≤-m ，又因为0>m …………………12分所以实数m 的取值范围是(]0,1………………14分18. 解：(1)∵数列}{n a 是公差为2的等差数列，∴)1(21-+=n a a n ， …………………2分∴122a a +=， 134a a += …………………3分 又62是2a 与3a 的等比中项， ∴(2424= …………………4分2=8=- 舍去)，故数列}n a 的通项公式为24n a n =. …………………7分(2)∵12-=⋅n nn a b ，n n n b )21()12(⋅-=∴ …………………8分n n n n S )1()12()1()32()1(5)1(311132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=-ΛΛ1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(121+⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ΛΛ ②…………10分① - ② 得132)21()12()21(2)21(2)21(22121+⨯--⨯++⨯+⨯+=n n n n S ΛΛ …………12分 132)21()12(])21()21()21[(22121+⨯--+++⨯+=n n n n S ΛΛ 11)21()12(211])21(1[4122121+-⨯----⨯+=n n n n Sn n n S )21)(23(3+-=∴ …………14分19.解：（1）22nn S n +=当1=n 时，111==S a ， ……………………………………1分 当n S S a n n n n =-=≥-12时，， ……………………………2分又1=n 时，11a =所以n a n = )(*N n ∈ ………………………3分不妨设ABC ∆三边长为7,5,3===c b a ，21532753cos 222-=⨯⨯-+=C …………4分 所以23sin =C ……………………5分所以4315235321=⨯⨯⨯=∆ABC S ……………………7分【注意：求出其它角的余弦值，利用平方关系求出正弦值，再求出三角形面积，同样得分】（2）假设数列{}n a 存在相邻的三项满足条件，因为n a n =，设三角形三边长分别是2,1,++n n n ，)121(>⇒+>++n n n n ，三个角分别是ααπα2,3,- …………………………………9分由正弦定理：αα2sin 2sin +=n n ，所以n n 22cos +=α ………………………10分 由余弦定理：αcos )2)(1(2)2()1(222++-+++=n n n n n ，即 nn n n n n n 22)2)(1(2)2()1(222+⋅++-+++= ………………………11分化简得：0432=--n n ，所以：4=n 或1-=n （舍去） ………………………12分当4=n 时,三角形的三边长分别是6,5,4,可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍. 所以数列{}n a 中存在相邻的三项6,5,4，满足条件. …………………14分20.解：（1）证明：连接,,BE AC AF .取AD 的中点O ，连接OE ， 依题意易知OE AD ⊥，平面ADE ⊥平面ABCDOE ∴⊥平面ABCD ………………………1分O OA x OE z O AB y ∴以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()1,2,0C -，(E ，(F ，…2分(()(1,,2,2,0,BE AC AF ∴=--=-=-u u u r u u u r u u u r0,0BE AC BE AF ∴⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r,A E AC F B BE ∴⊥⊥ ………………………4分又ACF AF AC A AF AC 平面、⊂=,I Θ， ACF BE 平面⊥∴………………………6分（2）解：由（1）知()(2,1,0,BC BF =-=-u u u r u u u r设平面BCF 的一个法向量),,(1111z y x n =，由1n BC ⊥u r u u u r，得112x y =，由1n BF ⊥u r u u u r ，得033111=++-z y x ，不妨令11=x ，可得)335,2,1(1-=n . ……………7分 设),,(P P P z y x P ,EF EP λ=（)10≤≤λ，又)0,4,0(=EF则)0,4,0()3,,(λ=-P P P z y x ，所以)3,4,0(λP …………………8分)3,14,1(),0,1,2(--=-=λBP BC设平面PBC 的一个法向量),,(2222z y x n =，由n ⊥2，得222x y =， 由BP n ⊥2，得03)14(222=+-+-z y x λ，不妨12=x ，可得)383,2,1(2λ-=n ……………10分8103)83(153403403)83(413254138333541,cos 2221=-+⋅=-++⋅++-⋅-+>=<∴λλλλn n .……11分 所以01282=-+λλ，解得41=λ， 21-=λ （舍） ………………………12分所以31=PF EP ………………………14分21.解：（1）依题意可设椭圆方程为)0(122>>=+b a y x ，3=b …………………1分则右焦点)0,(c F . 由题设条件：2323=+c , 解得：3=c .………………………4分 故所求椭圆的标准方程为：131222=+y x .………………………5分（2）设),(),,(2211y x N y x M ，则直线与椭圆C 方程联立223,1,123x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简并整理得036)4(22=-++my y m ，∴12264m y y m +=-+，12234y y m =-+ ………………6分由题设知),(221y x N - ∴直线1N M 的方程为)(121211x x x x y y y y --+=- 令0=y 得211221211*********)3()3()(y y y my y my y y y x y x y y x x y x x ++++=++=+--=43464622=++-+-=m m m m ∴点)0,4(P ………………8分21221214)(121||||21y y y y y y PF S PMN-+⨯⨯=-⋅=∆ 222222)4(132)43(4)46(21++=+--+-=m m m m m ………………10分 166132619)1(213261911322222=+=+++≤++++=m m m m （当且仅当19122+=+m m 即2±=m 时等号成立） ∴PMN ∆的面积最大值为1. ………………14分。
【典型题】高二数学上期末模拟试卷附答案
【典型题】高二数学上期末模拟试卷附答案一、选择题1．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08152．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．253．如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为（ ）A ．1-，36B ．1-，41C ．1，72D ．10-，1444．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（ ） A ．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸 B ．该校只有50名学生不喜欢阅读 C ．该校只有50名学生喜欢阅读 D ．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸5．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ） A ．4π B ．3πC ．2πD ．1π6．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．23B ．34C ．25D ．137．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A．1636B．1736C．12D．19368．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D为BE中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A．17B．14C．13D．4139．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．27B．57C．29D．5910．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )．A．①B．②④C．③D．①③11．如图，边长为2的正方形有一内切圆.向正方形内随机投入1000粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率 的近似值为()A．3.1B．3.2C．3.3D．3.412．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A ．13B ．49C ．59D ．23二、填空题13．已知实数]9[1x ∈，，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．14．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。
【必考题】高二数学上期末模拟试卷带答案
【必考题】高二数学上期末模拟试卷带答案一、选择题1．如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则(|)P B A =（ ）A ．33B ．3 C ．13D ．232．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等3．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．254．如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？5．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（ ）A ．45B ．47C ．48D ．636．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10072015B ．10082017C ．10092019D ．101020217．如果数据12,,,n x x x L 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ） A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯8．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？9．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（ ）A ．4k <B ．5k <C ．6k <D ．7k <10．设数据123,,,,n x x x x L 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变11．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+$，则表中m 的值为( ) x 8 10 1112 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．2912．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A ．92，94B ．92，86C ．99，86D ．95，91二、填空题13．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．14．执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．15．若(9)85a =，(5)301b =，(2)1001c =，则这三个数字中最大的是___ 16．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为____．17．下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生的表演打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是____________.18．如图所示的程序框图，输出的S 的值为( )A ．12 B ．2 C ．1- D ．12- 19．一组样本数据按从小到大的顺序排列为：1-，0，4，x ，y ，14，已知这组数据的平均数与中位数均为5，则其方差为__________．20．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．三、解答题21．已知一个口袋有3个白球，1个黑球，这些球除颜色外全部相同，现将口袋中的球随机逐个取出，并依次放入编号为1，2，3，4的抽屉内. （1）求编号为2的抽屉内放黑球的概率；（2）口袋中的球放入抽屉后，随机取出两个抽屉中的球，求取出的两个球是一黑一白的概率.22．2018年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量(单位：g)进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：()1求频率分布直方图中a的值；()2以频率作为概率，试求消费者月饼购买量在600g1400g～的概率；()3已知该超市所在销售范围内有20万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的5%，请根据这1000名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求(频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表)？23．甲，乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲，乙两人均从装有4只红球、1只黑球的袋中轮流不放回摸取1只球，摸到黑球的人获胜，并结束该局.（1）若在一局中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；（2）若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸井获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X的概率分布及数学期望.24．某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入x （万元）与销售收入y（万元）进行了统计，得到相应数据如下表：广告投入x（万元）91081112销售收入y（万元）2123212025（1）求销售收入y关于广告投入x的线性回归方程y bx a=+$$$．（2）若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为多少.参考公式：()()()121ni iiniix x y ybx x∧==--=-∑∑，ˆˆ•a yb x=-25．如下图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出[50,60)，[90,100)的数据）和频率分布直方图.（1）求分数在[50,60)的频率及全班人数； （2）求频率分布直方图中的,x y ；（3）若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100)之间的概率.26．甲乙两人同时生产内径为25.41mm 的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出 5 件（单位：mm ） , 甲：25.44，25.43， 25.41，25.39，25.38 乙：25.41，25.42， 25.41，25.39，25.42. 从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，ABC ∆包含9 个小三角形，同时又在DEF ∆内的小三角形共有6 个，所以(|)P B A =6293= ，故选D. 2．C解析：C 【解析】 【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等． 【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=， [)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确； 样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等， 总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.3．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】根据程序框图：1,1S i ==；3,2S i ==；7,3S i ==；15,4S i ==；31,5S i ==，结束. 故选：C . 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.5．A解析：A 【解析】 【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可. 【详解】各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63， 最中间的数为：45，所以，中位数为45． 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C【解析】 【分析】首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L 的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果. 【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L ， 11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭Q，111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯L 11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1110091220192019⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 本题选择C 选项. 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．7．C解析：C 【解析】根据平均数的概念，其平均数为52x +，方差为2258⨯，故选C.8．C解析：C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】由题意，模拟程序的运算，可得k 1=，a 1=满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7=此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为170．则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k6<？故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．C解析：C【解析】由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2;a=4a+1=5,k=k+1=3;a=4a+1=21,k=k+1=4;a=4a+1=85,k=k+1=5;a=4a+1=341;k=k+1=6.要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”.10．B解析：B【解析】∵数据x1，x2，x3，…，x n是郑州普通职工n(n⩾3,n∈N∗)个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选B11．A解析：A【解析】【分析】首先求得x的平均值，然后利用线性回归方程过样本中心点求解m的值即可．【详解】由题意可得：810111214115x++++==，由线性回归方程的性质可知：99112744y=⨯+=，故21252835275m++++=，26m∴=．故选：A．【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与y 之间的关系，这条直线过样本中心点．12．B解析：B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.二、填空题13．【解析】∵阴影部分面积为∴飞镖落在黑色部分的概率为故答案为点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度面积体积等时应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时关键是试验的全部结果构成的区域和事件发解析：2【解析】∵阴影部分面积为221141262222R R R ππ⎛⎫-⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭∴飞镖落在黑色部分的概率为22222R R ππ=-故答案为22π- 点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．14．63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】解：模拟程序的运行可得x=3y=7不满足条件|解析：63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得x=3y=7不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y 的值为63．故答案为63．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15．【解析】【分析】将三个数都转化为10进制的数然后比较大小即可【详解】故最大【点睛】本题考查了不同进制间的转化考查了学生的计算能力属于基础题解析：a【解析】【分析】将三个数都转化为10进制的数，然后比较大小即可。
【好题】高二数学上期末模拟试题(带答案)
【好题】高二数学上期末模拟试题(带答案)一、选择题1．在如图所示的算法框图中，若()321a x dx =-⎰，程序运行的结果S 为二项式()52x +的展开式中3x 的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）A ．3K <B ．3K >C ．2K <D ．2K >2．已知回归方程$21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差平方和是（ ） A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.043．执行如图所示的程序框图，若输入8x =，则输出的y 值为（ ）A ．3B ．52C ．12D ．34-4．如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为（ ）A ．1-，36B ．1-，41C ．1，72D ．10-，1445．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（ ） A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元6．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A ．20，22.5B ．22.5，25C ．22.5，22.75D ．22.75，22.757．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1nn P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数 A ．呈下降趋势B ．呈上升趋势C ．摆动变化D ．不变8．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．23B ．34C ．25D ．139．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（ ）A ．4k <B ．5k <C ．6k <D ．7k < 10．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13 B ．2πC ．12D ．2311．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12 C ．1D ．3212．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．至少有一个白球；红、黑球各一个D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球二、填空题13．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示. 设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X ，则()E X =______________．14．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为____．15．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程20x x a -+=无实根的概率为______．16．玉林市有一学校为了从254名学生选取部分学生参加某次南宁研学活动，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为42的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为__________．17．某班60名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40100]，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为___．18．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．19．已知下列命题：①ˆ856yx =+意味着每增加一个单位,y 平均增加8个单位 ②投掷一颗骰子实验，有掷出的点数为奇数和掷出的点数为偶数两个基本事件 ③互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件④在适宜的条件下种下一颗种子，观察它是否发芽，这个实验为古典概型 其中正确的命题有__________________.20．取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪出的两段的长都不小于1米（记为事件A ）的概率为________三、解答题21．为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省1565:岁的人群中抽取了n人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA 级旅游景区？”，统计结果如下表所示： 组号 分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组 [)1525， a0.5第2组 [)2535， 18x第3组 [)3545， b 0.9 第4组 [)4555， 9 0.36第5组[)5565，3y（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率22．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均数与中位数.23．某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”.拥有驾驶证没有驾驶证合计得分优秀得分不优秀25合计100（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.附表及公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82824．甲，乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲，乙两人均从装有4只红球、1只黑球的袋中轮流不放回摸取1只球，摸到黑球的人获胜，并结束该局.（1）若在一局中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；（2）若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸井获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X的概率分布及数学期望.25．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．26．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30)1200.6第二组[30，35)195p第三组[35，40)1000.5第四组[40，45)a0.4第五组[45，50)300.3第六组[50，55]150.3n a p的值；(1)补全频率分布直方图并求,,(2)从年龄段在[40，50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据二项式5(2)x +展开式的通项公式，求出3x 的系数，由已知先求a 的值，模拟程序的运行，可得判断框内的条件． 【详解】解：由于32300(21)|6a x dx x x =-=-=⎰，Q 二项式5(2)x -展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=⋅⋅，令3r =，3233152T C x +∴=⋅⋅；3x ∴的系数是32352140C ⋅⋅=．∴程序运行的结果S 为360，模拟程序的运行，可得6k =，1S = 不满足条件，执行循环体，6S =，5k = 不满足条件，执行循环体，30S =，4k = 不满足条件，执行循环体，120S =，3k = 不满足条件，执行循环体，360S =，2k =由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S 的值为360． 则判断框中应填入的关于k 的判断条件是3k <？【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．2．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 因为残差，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故选C.考点：残差的有关计算.3．C解析：C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算y 值并输出，模拟程序的运行过程，直到达到输出条件即可. 【详解】输入8，第一次执行循环：3y =，此时5y x -=， 不满足退出循环的条件，则3x =，第二次执行循环：12y =，此时52y x -=， 满足退出循环的条件，故输出的y 值为12，故选C . 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．A解析：A 【解析】 【分析】计算出数据1x 、2x 、L 、n x 的平均值x 和方差2s 的值，然后利用平均数和方差公式计算出数据153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差.设数据1x 、2x 、L 、n x 的平均值为x ，方差为2s ， 由题意()()()()121221212121215n n x x x x x x x nn++++++++=+=+=L L，得2x =，由方差公式得()()()()()()22212212121212121n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+++-++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ()()()2221224416n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===L ，24s ∴=. 所以，数据153x -、253x -、L 、53n x -的平均值为()()()12535353n x x x n-+-+-L ()1235535321n x x x x n+++=-=-=-⨯=-L，方差为()()()()()()22212535353535353n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+---++---⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ()()()2221229936n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===L . 故选：A. 【点睛】本题考查平均数与方差的计算，熟练利用平均数与方差的公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆa，则线性回归方程可求，取6x =求得y 值即可．【详解】()10123425x =++++=，()11015203035225y =++++=，样本点的中心的坐标为()2,22，代入ˆˆa yb x =-，得22 6.529a =-⨯=．y ∴关于x 得线性回归方程为 6.59y x =+．取6x =，可得6.56948(y =⨯+=万元)．故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．7．A解析：A 【解析】 【分析】可以通过n P 与0P 之间的大小关系进行判断． 【详解】当10k -<<时，()011011nk k <+<<+<，， 所以()001nn P P k P =+<，呈下降趋势． 【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选：C 【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．9．C解析：C 【解析】由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2; a=4a+1=5,k=k+1=3; a=4a+1=21,k=k+1=4; a=4a+1=85,k=k+1=5; a=4a+1=341;k=k+1=6.要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”.10．A解析：A 【解析】 因为[,]22x ππ∈-,若1cos [0,]2x ∈,则[,][,]2332x ππππ∈--⋃, ()21233()22P ππππ-⨯∴==--，故选A.11．D解析：D 【解析】 【分析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a bS b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，由此计算可得结论. 【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a bS b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，可得2tan cos 43ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112⎛⎫=⊗- ⎪⎝⎭， 因为112>-， 所以，113111222⎛⎫⎛⎫⊗-=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选D. 【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.12．C解析：C【解析】【分析】由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果.【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；本题选择C选项.【点睛】“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．二、填空题13．【解析】【分析】列出随机变量的分布列求解【详解】由题意知某人到达银行的概率为几何概型所以：其到达银行时服务窗口的个数为的分布列为：5 4 3 4 2 则【点睛】本题考查几何概型及随解析：3.5625【解析】【分析】列出随机变量的分布列求解.【详解】由题意知某人到达银行的概率为几何概型，所以：其到达银行时服务窗口的个数为的分布列为：E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.则()54342 3.56258161648【点睛】本题考查几何概型及随机变量的分布列.14．900【解析】【分析】利用频率分布直方图中频率和为1求a值根据7080）的频率求出在此区间的人数即可【详解】由1﹣005﹣035﹣02﹣01＝03故a＝003故阅读的时间在7080）（单位：分钟）内解析：【解析】【分析】利用频率分布直方图中频率和为1求a值，根据[70，80）的频率求出在此区间的人数即可．【详解】由1﹣0.05﹣0.35﹣0.2﹣0.1＝0.3，故a＝0.03，故阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为：0.3×3000＝900，故答案为：900．【点睛】本题考查频率分布直方图中的有关性质的应用，考查直方图中频率和频数的求法. 15．【解析】∵方程无实根∴Δ＝1－4a<0∴即所求概率为故填：解析：3 4【解析】∵方程无实根，∴Δ＝1－4a<0，∴14a>，即所求概率为34.故填：3416．2【解析】【分析】根据系统抽样的概念结合可得最后结果为2【详解】学生总数不能被容量整除根据系统抽样的方法应从总体中随机剔除个体保证整除∵故应从总体中随机剔除个体的数目是2故答案为2【点睛】本题主要考解析：2【解析】【分析】根据系统抽样的概念结合2544262=⨯+，可得最后结果为2.【详解】学生总数不能被容量整除，根据系统抽样的方法，应从总体中随机剔除个体，保证整除.∵2544262=⨯+，故应从总体中随机剔除个体的数目是2，故答案为2.【点睛】本题主要考查系统抽样，属于基础题；从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，系统抽样的前面两个步骤是：（1）将总体中的N个个体进行编号；（2）当Nn为整数时，抽样距即为Nn；当Nn不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体的个数N '能被n 整除．17．30【解析】由题意可得：则成绩不低于分的人数为人解析：30 【解析】 由题意可得：()400.0150.0300.0250.0051030⨯+++⨯=则成绩不低于60分的人数为30人18．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考 解析：【解析】试题分析：根据题意，正方形的面积为而阴影部分由函数与围成，其面积为，则正方形中任取一点,点取自阴影部分的概率为.则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为 考点：定积分在求面积中的应用 几何概型点评:本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积.19．①③【解析】【分析】由回归直线的方程的意义可判断①；由基本事件的定义可判断②；由互斥事件与对立事件的定义可判断③；由古典概型的定义可判断④【详解】①由回归直线的方程的意义可知意味着每增加一个单位平均解析：①③. 【解析】 【分析】由回归直线的方程的意义可判断①；由基本事件的定义可判断②；由互斥事件与对立事件的定义可判断③；由古典概型的定义可判断④. 【详解】①，由回归直线的方程的意义可知ˆ856yx =+意味着x 每增加一个单位，y 平均增加8个单位，正确；②，由于基本事件是每一个出现的基本实验结果，是不能再分的，而投掷一颗骰子实验，有掷出的点数为奇数还有1，3，5三个基本事件，故掷出的点数为奇数不是基本事件，同理掷出的点数为偶数也不是基本事件，故②是错误的；③，互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，正确；④，古典概型要求每个基本事件出现的可能性相等，故在适宜的条件下种下一颗种子，观察它是否发芽，不是古典概型．故正确答案为：①③ 【点睛】本题主要考查回归直线的方程的意义、基本事件的定义、互斥事件与对立事件的定义、古典概型的定义，意在考查对基本定义掌握的熟练程度，属于中档题..20．13【解析】试题分析：记两段的长都不小于1m 为事件A 则只能在中间1m 的绳子上剪断剪得两段的长都不小于1m 所以事件A 发生的概率P （A ）=考点：几何概型 解析：【解析】试题分析：记“两段的长都不小于1m”为事件A ，则只能在中间1m 的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m ， 所以事件A 发生的概率 P （A ）=考点：几何概型三、解答题21．（1）5a =，27b =，0.9x =，0.2y =；（2）分边抽取2,3,1人；（3）15. 【解析】 【分析】（1）根据数据表和频率分布直方图可计算得到第4组的人数和频率，从而可得总人数；根据总数、频率和频数的关系，可分别计算得到所求结果；（2）首先确定第2,3,4组的总人数，根据分层抽样原则计算即可得到结果；（3）首先计算得到基本事件总数；再计算出恰好没有年龄段在[)3545，包含的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】（1）第4组的人数为：9250.36=人，第4组的频率为：0.025100.25⨯＝ 251000.25n ∴== Q 第一组的频率为0.010100.1⨯= ∴第一组的人数为：0.110010⨯=100.55a ∴=⨯=Q 第二组的频率为0.020100.2⨯= ∴第二组的人数为：0.210020⨯=180.920x ∴== Q 第三组的频率为0.030100.3⨯= ∴第三组的人数为：0.310030⨯=300.927b ∴=⨯=Q 第五组的频率为0.015100.15⨯= ∴第五组的人数为：0.1510015⨯=30.215y ∴== （2）第2,3,4组的总人数为：1827954++=人∴第2组抽取的人数为：186254⨯=人；第3组抽取的人数为：276354⨯=人；第4组抽取的人数为：96154⨯=人 （3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，基本事件总数为：2615n C ==所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，包含的基本事件个数为：233m C == ∴所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率：31155m p n === 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算总数、频数和频率、分层抽样基本方法的应用、古典概型计算概率问题；关键是熟练掌握频率分布直方图的相关知识，能够通过频率分布直方图准确计算出各组数据对应的频率.22．（1）0.005a =（2）平均数为73，中位数为：2713. 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求解即可；（2）以各区间中点值代表各组的取值,进而求得平均数；求出从左边开始小矩形的面积的和为0.5对应的横轴的值即为中位数 【详解】（1）由频率分布直方图知()20.020.030.04101a +++⨯=, 解得0.005a =（2）估计这100名学生语文成绩的平均分为:550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=由（1）,设中位数为x ,则()0.005100.04100.03700.5x ⨯+⨯+-= 解得2713x =,故估计中位数为：2713. 【点睛】本题考查频率的性质,考查利用频率分布直方图求平均数和中位数,考查数据处理能力23．（1）列联表见解析；有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关；（2）35P = 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算可补全列联表中的数据，根据公式计算可求得2 6.635K >，从而可得结论；（2）根据频率分布直方图计算出“安全意识优良”的人数，根据分层抽样原则可知“安全意识优良”的人中抽取2人；采用列举法列出所有基本事件，找到符合题意的基本事件个数，利用古典概型求得结果. 【详解】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：10040%40⨯=人 则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：402515-=人由频率分布直方图知得分优秀的人数为：()100100.0150.00520⨯⨯+=人∴没有驾驶证且得分优秀的人数为：20155-=人则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：10040555--=人 可得列联表如下：()21001555255122512 6.6354060208096K ⨯⨯-⨯∴==>>⨯⨯⨯∴有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关 （2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为：()1000.0200.0150.0051040⨯++⨯=∴按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1,2；其余的3人记为,,a b c从中随机抽取3人，基本事件有：()1,2,a ，()1,2,b ，()1,2,c ，()1,,a b ，()1,,a c ，()1,,b c ，()2,,a b ，()2,,a c ，()2,,b c ，(),,a b c 共10个恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个∴恰有一人为“安全意识优良”的概率为：63105P == 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率和频数、独立性检验的应用、分层抽样的基本原理、古典概型的概率求解，属于中档题.24．（1） (2)见解析【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求得甲在该局获胜的概率值；（2）由题意知随机变量X的可能取值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．【详解】（1）记“一局中甲先摸，甲在该局获胜”为事件A，共有三种情况：黑球在1号、3 号或5号位置，共有3种，而黑球的位置有5种.所以.答：甲在该局获胜的概率为.（2）随机变量，则,，，，所以X的概率分布为：X0123P数学期望【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．25．（1）4（2）数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．（3）15 P【解析】试题分析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生人数及频率，可求得总人数，再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率，与总人数相乘即可得结果（Ⅱ）分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平均值与方差，可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差；（Ⅲ）利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为15个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共3个，利用古典概型概率公式可得结果. 试题解析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有12人，可得125010.40.260.1=---，所以语文成绩为一等奖的考生()5010.3820.164⨯-⨯-=人 （Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为1x ，2x ，21s ，22s18184939092885x ++++==, 27989848687855x ++++==222222174524225s ++++== 22222226421111.65s ++++==,因为8885>,11.622<，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差.（Ⅲ）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人----9分设两科成绩都是一等奖的3人分别为123,,A A A ，只有数学一科为一等奖的2人分别是12,B B ,只有语文一科为一等奖的1人是C ，则随机抽取两人的基本事件空间为121311121232122{,,,,,,,,A A A A A B A B AC A A A B A B Ω= 23132312,,,,,A C A B A B A C B B 12,}B C B C ,共有15个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件{}1121323,,A A A A A A Ω=共3个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率31155P ==. 26．（1）1000,60,0.65n a p === （2）815P = 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（1）根据频率的定义由频率分布直方图可计算出第二组的频率，除以组距得小矩形的高，由第一组人数及频率可得总人数n ，再根据频率分布直方图及表格中数据可计算出,a p ； （2）由分层抽样法知抽取6人，[)40,45岁中有4人，[)45,50岁中有2人.把它们分别编号可用列举法列出任选2人的所有选法，从而计算出所求概率． 试题解析：（1）第二组的频率为()10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=， 所以高为0.30.065=. 频率分布直方图如图：第一组的人数为1202000.6=，频率为004502..⨯=， 所以20010000.2n ==， 由题意可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=， 所以1950.65300p ==. 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=， 所以1500.460a =⨯=. （2）因为[)40,45岁年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取6人，[)40,45岁中有4人，[)45,50岁中有2人. 设[)40,45岁中的4人为a b c d ,,,，[)45,50岁中的2人为,m n ，则选取2人作为领队的选法有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a m ，(),a n ，(),b c ，(),b d ，(),b m ，(),b n ，(),c d ，(),c m ，(),c n ，(),d m ，(),d n ，(),m n 共有15种，其中恰有1人年龄在[)40,45岁的有(),a m ，(),a n ，(),b m ，(),b n ，(),c m ，(),c n ，(),d m ，(),d n 共8种，所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[)40,45岁的概率为815.。
2023-2024学年高二数学单元速记——计数原理(压轴题专练)(解析版)
计数原理（压轴题专练），所以分成千位数取值为在另一边，排列方式有4,6,7}A ．222234510C C C C 165+++⋅⋅⋅+=B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【答案】C【详解】由11C C C m m mn n n -++=可得22222345103C C C C C ++++= 11109⨯⨯时，不等式恒成立；当-无意义；…第n 步：同理n a 有21m -种进入1A 、2A 、…、m A 的不同方法.由分步计数原理，1a 、2a 、…、n a 进入1A 、2A 、…、m A ，共有()21nm -种不同方法，即()()21nm n f m =-.（3）运用二项式定理将()21ni -展开，()()()()()()()12201221C 21C 21C 21n nn n ni i iin n n ---=+-+-+⋅⋅⋅+-，其中1,2,,i m =⋅⋅⋅，()()()()()()()()12020121121C 21C 21C 21C 2mmnnn n n ii i in i nnn n i i --==⎡⎤-=+-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()()()2121111C21C 21C21mmmmnnnni i i nn ni i i i =====+-+-+⋅⋅⋅+-∑∑∑∑()21nS m =+-，其中N S *∈，所以当m 为奇数时，()21nS m +-为奇数；当m 为偶数时()21nS m +-，也为偶数，即()()1mn i F m f i ==∑与m 同为奇数或者同为偶数.8．（2021上·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期中）在()201222121221D D D D D D nr r n n n nn n n n n n x x x x x x x --++=+++++++ 中，把012212D ,D ,D ,,D ,,D ,D r n nn n n n n n - 称为三项式的系数．(1)当2n =时，写出三项式的系数的值；(2)类比(),,1na b n n +∈≥N 的二项式展开式(杨辉三角)的规律，当14n ≤≤时，写出三项式的(杨辉三角)数字表，并求出,1n n ∈≥N 时的0122D D D D nn n n n ++++ ；(3)求00112233202220222022202220222022202220222022202220222022D C D C D C D C D C -+-++ （用组合数表示）．【答案】(1)342220122212321D ,D ,D ,D ,D =====(2)答案见解析(3)6742022C 【详解】（1）因为()2223411232x x x x x x ++=++++，所以342220122212321D ,D ,D ,D ,D =====；（2）当14n ≤≤时，三项式的(杨辉三角)数字表如下，令1x =，可得()2012212111D D D D 3D D -++=+++++++= n nr n nn n n n n n；（3）()()()202220224043404340444044202220222021220222020222211D D D D D++-=+++++ x x x x x xx()2022202220212020120222022202220222202221CC C C C -++-+ x x x x ，其中2022x 的系数为33202220222022202220222022202220222022202220200122202122D C D C D C D C D C -++-+ ，又()()()20222022220223111++-=-x x x x ，而二项式()202231-x 的通项()()20223120221C -+-=rrrr x T ，由()320222022-=r 解得1348r =，所以2022x 的系数为134867420222022C C =，由代数式恒成立得33202220221348674200202220222022202220222022022202220222022202201122222D C D C D C D C D C C C =-+++=- .9．（2022下·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）()2021212222121D D D D D nn n n n n n n n n n xx x x x x ---++=+++++L 的展开式中，把0122,,,D D D D ,nn n n n 叫做三项式的n 次系数列．(1)求02463333D D D D +++的值；(2)根据二项式定理，将等式2(1)(1)(1)n n n x x x +=++的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如()()()()2220122C C C C C n n n n n n n=+++⋅⋅⋅+．理解上述思想方法，利用方程()()32111x x x x -=-++，请化简：001122202220222022202220222022202220222022202220222022D C D C D C (1)D C D C k k k -+-⋅⋅⋅+-⋅+⋅⋅⋅+．【答案】(1)14；(2)13482022C .【详解】（1）当3n =时，()3206152456333331D D D D D x x x x x x ++=+++++L ，令1x =，则012345633333333D D D D D D 3D ++++++=，令=1x -，则01234563333333D D D D D D D 1-+-+-+=，两式相加得024633332(D D D D )28+++=，所以02463333D D D D 14+++=（2）因为()2022204044140432404240434044202220222022202220221D D D D D x x x x x x ++=+++++L ，()202201223320212021202220222022202220222022202220221C C C C C C x x x x x x-=-+-+⋅⋅⋅-+，所以()()20222022211x x x ++-展开式中，4044x 的系数为001122202220222022202220222022202220222022202220222022D C D C D C (1)D C D C k k k -+-⋅⋅⋅+-⋅+⋅⋅⋅+，因为32022(1)x -展开式的通项公式为33120222022C ()C (1)r r r r rr T x x +=-=-，令34044r =，得1348r =，所以32022(1)x -展开式中4044x 的系数为13482022C ，因为()()2022202223202211(1)x x x x ++-=-，00112220222022134820222022202220222022202220222022202220222022D C D C D C (1)D C D C C k k k -+-⋅⋅⋅+-⋅+⋅⋅⋅+=。
高二上期末真题精选(人教A版选修二数列常考63题 压轴17题)(原卷版)25学年高二数学上学期期末
专题03高二上期末真题精选（数列常考65题压轴17题）数列常考题考点01：等差数列通项的基本量计算考点02：等差数列角标和性质考点03：等差数列前n项和基本量计算考点04：等差数列前n项和性质考点05：等比数列通项的基本量计算考点06：等比数列角标和性质考点07：等比数列前n项和基本量计算考点08：等比数列前n项和性质考点09：数列求通项考点10：数列求和之倒序相加法考点11：数列求和之分组求和法考点12：数列求和之裂项相消法考点13：数列求和之错位相减法数列压轴题压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）压轴二：数列求和之裂项相加法压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题一、等差数列通项的基本量计算（共4小题）1．（23-24高二上·河南漯河·期末）等差数列{}n a 中，234518,10a a a a ++==，则其前100项和为（）A ．5050B ．10010C ．10100D ．110002．（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列{}n a 满足3616a a +=，且534a a -=，则首项1a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．33．（23-24高二下·河南南阳·期末）若{}n a 是正项无穷的等差数列，且396a a +=，则{}n a 的公差d 的取值范围是（）A ．[)12，B ．305⎛⎫⎪⎝⎭，C ．35∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，D ．305⎡⎫⎪⎢⎣⎭，4．（23-24高二下·四川成都·期末）记为等差数列{}n a 的前n 项和，若1122S =，则6a =（）A ．2B ．3C ．10D ．4二、等差数列角标和性质（共4小题）1．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列{}n a 满足2120n n n a a a +++-=，已知7118a a a +=，则{}n a 的前19项和19S =（）A ．0B ．8C ．10D ．192．（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足15m p a a a a +=+，则41m p+的最小值为（）A ．9B ．32C ．54D ．343．（23-24高二上·陕西西安·期末）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1354686,12a a a a a a ++=++=，则8S =（）A ．8B ．12C ．18D ．244．（多选）（23-24高二上·河南商丘·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，无论首项1a 和公差d 如何变化，19S 始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（）A ．9a B ．10a C ．71112a a a ++D ．11415a a a ++三、等差数列前n 项和基本量计算（共3小题）1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若47a =，416S =，则2a =（）A ．3B ．4C ．5D ．62．（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230S >，240S <，则下列结论正确的是（）A ．数列{}n a 是递增数列B ．130a >C ．当n S 取得最大值时，12n =D ．1312a a >3．（23-24高三上·河北·期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若438,18a S ==，则11S =．四、等差数列前n 项和性质（共6小题）1．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若482,16S S ==，则12S =（）A ．30B ．26C ．56D ．422．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）设等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若3315n n S n T n +=+，则1010a b =（）A ．1136B ．2372C ．724D ．7233．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若231n n S n T n =+，则2835a ab b +=+（）A ．911B ．711C ．1013D ．9144．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列命题正确的有（）.A ．若{}n a 为等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --一定是等差数列B ．若{}n a 为等比数列，则232,,n n n n n S S S S S --一定是等比数列C ．若112,2n n a S a +=+=，则{}n a 一定是等比数列D ．若n n S na =，则{}n a 一定是等比数列5．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若132619S S ==，，则52S =.6．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，且21n n S nT n =+，则66a b =.五、等比数列通项的基本量计算（共3小题）1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知等差数列{}n a 的公差不为0，且139,,a a a 成等比数列，则139,,a a a 的公比是（）.A ．1B ．2.C ．3D ．52．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，5227a a =，480S =，则1a =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（23-24高二下·江西九江·期末）设{}n a 是等比数列，且1232343,6a a a a a a ++=-++=，则6a =.六、等比数列角标和性质（共3小题）1．（23-24高二下·青海·期末）在等比数列{}n a 中，4148a a =，231a a =，则13a =（）A ．64B ．128C ．3642D ．312822．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列{}n b 的各项均为正数，若313238log log log 4b b b ++⋅⋅⋅+=，则45b b 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，388a a =，则2427log log a a +=．七、等比数列前n 项和基本量计算（共3小题）1．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，32123S a a =+，且516a =，则1a =．2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列{}n a 满足：()12n n a a n *+=∈N ，其前n 项和为n S ，若7127S =，则1a =.3．（22-23高三上·广东肇庆·阶段练习）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且37S =，663S =，则7a =.八、等比数列前n 项和性质（共3小题）1．（多选）（23-24高二下·四川乐山·期末）在数列{}n a 中，11a =，12nn n a a +-=，若不等式312(1)1n n n a λ-+⋅-≥+对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的值可以是（）A ．1B ．0C ．1-D ．2-2．（23-24高二下·陕西渭南·期末）在正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若55S =，1015S =，则15S 的值为.3．（23-24高二上·广东·期末）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若484,12S S ==，则12S =.九、数列求通项（共16小题）1．（23-24高二下·安徽·期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S n a +=-，则5a =（）A ．16B ．31C ．47D ．632．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3452k k S S ==，，则4k S =．3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列()4n n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前12项和12S =.4．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列{}n a 中，13a =，且()1lg21n n na a n n -=+≥-，则100a =.5．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列{}n a 各项均为正数，且首项为1，221122n n n n n na a a a ++++=，则20a =．6．（23-24高二上·内蒙古·期末）在数列{}n a 中，1133,2n n a n a a n ++==+，则97a =．7．（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）在数列{}n a 中，14a =，()12n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式为n a =.()*n ∈N 8．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足111,2n n a S S +=-=，则n a =9．（23-24高三下·四川·期末）若数列{}*(N )n a n ∈的前n 项和为n S ，11a =，2(1)n n S n a =+，则数列{}n a 的通项公式为n a =．10．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S >，且6(1)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式n a =．11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且()*1121N 2n n n a S n ++=+∈，则n a =.12．（23-24高二上·宁夏银川·期末）数列{}n a 中的前n 项和22n n S =+，数列2{log }n a 的前n 项和为n T ，则20T ＝.13．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列{}n a 满足()()1113,3114n n n n a a a a a ++=-++=-，则n a =.14．（22-23高二上·广东·期末）已知首项为2的数列{}n a 对*N n ∀∈满足134n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =.15．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列{}n a 满足19a =-，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=，则n b =；n a 的最小值为.16．（23-24高一下·上海·期末）数列{}n a 满足1112,32n n n a a a ++==+，则数列{}n a 的通项公式为n a =.十、数列求和之倒序相加法（共4小题）1．（21-22高二上·江西九江·期末）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行123100++++L 的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列298299-=-n n a n ，则1298+++= a a a （）A ．96B ．97C ．98D ．992．（21-22高二下·广东佛山·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211121n n S S S n +++=+ ，设函数()1cos 2f x x π=+，则n a =，32021122022202220222022a a a a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3．（21-22高二上·安徽六安·期末）已知函数1()1f x x =+，数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则()()()()()1231819f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=．4．（21-22高三上·湖北鄂州·期末）设函数()3log 1x f x x =-，定义121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中n N *∈，2n ≥，则n S =.十一、数列求和之分组求和法（共6小题）1．（23-24高二下·云南保山·期末）已知{}n a 的前n 项和是n S ，且1,2n n S na a ==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()1,1,n n n na n b n n n a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．2．（23-24高二上·河南郑州·期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5332S S =-，221n n a a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的首项为1-，且对任意的*n ∈N 都有10n n b b ++=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．3．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项12a =，22nn S a n n=+-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．4．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列{}n a ，满足25215a a +=，47a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令(1)n n n b a =-，求{}n b 的前2n 项和2n T ．5．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足33a =，425S a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前10项和10T ．6．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线2y x =+的图象上．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n b a -是首项为1且公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ．十二、数列求和之裂项相消法（共5小题）1．（23-24高二下·陕西西安·期末）在等差数列{}n b 中，11b =，321log n n b a -=，且12是1a ，321a +的等比中项．(1)求{}n b 的通项公式；(2)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．2．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为()2*,2N n n S S n n n =+∈，数列{}n b 为等比数列，且21a -，31a +分别为数列{}n b 第二项和第三项.(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n M ；(3)若数列()211log n n nd a b =+，证明：数列{}n d 的前n 项和1n T <.3．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）设正项数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，其前n 项和为n S ，已知()2123,2n n a a a S d+==.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n S S +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为23n S n n =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令()*11n n n b n a a +=∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：14n T <.5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，11a =且211n n n S S a +++=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()()242121nn n n a b a a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .十三、数列求和之错位相减法（共5小题）1．（23-24高二下·湖南·期末）数列{}n a 的前n 项和为12,3,5n S a a ==，当2n ≥时，11211n n n S S S n n n -+=+-+，数列{}n b 满足：3n n ab =.(1)证明：数列{}n b 是等比数列；(2)记数列n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .2．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131324n n n S a +=-⨯，其中*N n ∈．(1)证明3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列2421n a n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和nT 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列{}n a 满足2211230n n n n a a a a ++--=，且13.a =(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若{}3log n n a a ⋅的前n 项和为n S ，求n S .4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列{}n a 中，112,21n n a a a +==-.(1)求证：{}1n a -是等比数列；(2)若n n b n a =⋅，求{}n b 的前n 项和n T .5．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知数列{}n a 的首项为112a =，且满足131n n n a a a +=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T .压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）（共4小题）1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列{}n a 满足11a =，且对任意正整数n 都有11n n a a n +=++．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，()1nn n b n a =--，（*n ∈N ），若{|100=≤A n n 且*}100,≤∈n T n N ，求集合A 中所有元素的和．2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知数列{}n a ，{}n b 满足{}n a 的前1n +项和()21122n n n a S b -++=+，11n n n n b b b b ++=-，且11b =.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的通项公式.3．（22-23高三上·山东青岛·期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)ni i i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.4．（21-22高三上·天津河西·期末）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36S =，2a ，4a ，8a 成等比数列，数列{}n b 满足11b =，121n n b b +=+.(1)求数列{}n a 和{}n b 通项公式；(2)求20110sin 2k k k a a π=⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭∑的值；(3)证明()1122n k k k b n n b *+=<+∈∑N 压轴二：数列求和之裂项相加法（共6小题）1．（23-24高二下·天津·期末）已知数列{}n a 是递增的等差数列，{}n b 是等比数列，1122b a ==，求222b a =，342b a =(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记数列(){}21n n a -的前n 项和为n S ，若2n n mb S >对*N n ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围；(3)设1231n n n c a a a a += ，求1ni i c =∑的值.2．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+．(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设142n n n n n ab a a ++=，求数列{}n b的前n 项和n T ；(3)若数列{}n c 满足11111,12n n n c c c a ++==+，求证：12111223nn c c c ++⋯+>+-3．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列{}n a 满足112a =，358a =，且数列{}2n n a 是等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设23(21)n n nb n a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S．4．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列{}n a 中，12a =，1232nn n a a +=+⋅．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()22(1)(31)n n a n b n n n -=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21524a a a =，且430S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)令131n n n n n a b a a a +=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2=6a ，12=n n S na +．(1)求{}n a 的通项公式；(2)已知数列21(1)(31)(32)n n n a b n n +=-⋅-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题（共7小题）1．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列{}n a 满足114n n a a n ++=+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()1111n n n b a a +=-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：316n T <.2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列{}n a 满足35a =，11892a a +=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且221n n n b a a +=-，若440m T >，求正整数m 的最小值．3．（22-23高二下·天津·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()*131N n n S S n +=+∈；等差数列{}n b 前n 项和为n T 满足7549,9T b ==.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设12n n n a c b n n+=⋅+，求数列{}n c 的前n 项和；(3)设12n n n n a a a n P b b b +++=+++ ，若0λ∀>，对任意的正整数n 都有322723n n k P n λλ-+≥-恒成立，求k 的最大值.4．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知数列{}n a 满足12a =，且()*1231N n a a a a n n =+∈ ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n na b =，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，若31n S n λ+≥+恒成立，求实数λ的取值范围．5．（22-23高三上·天津东丽·期末）若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()11543543154a b a a a b b b ===-=-，，．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对任意的正整数n ，设()21132n n n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，，为偶数．求数列{}n c 的前2n 项和．(3)记{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()11211n n n n S a m n b a ++⎡⎤-≤+--⎣⎦对于*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围．6．（21-22高一下·四川广安·期末）已知数列{}n a 中，11a =，()()1134n n a a +-⋅+=-．(1)证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2121n n n b n a -=⋅⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)若存在*N n ∈，使得()()()()21233333n a a a a kn +⋅+⋅++≤L L 成立，求实数k 的取值范围．7．（21-22高二上·浙江杭州·期末）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，()2112n n n n a S a S n ++--=-≥.记()221log n n b a +=.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设数列4n n b n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ，求使得不等式1361122n n n T +>-+成立的n 的最小值.。
(某某市区中学)高二(上学期)数学(理)期末复习质量监测模拟考试试题卷(附答案解析)
（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）题号一二三四总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b满足的条件为（）A. k＞0，b＞0B. k＜0，b＜0C. k＞0，b＜0D. k＜0，b＞02.已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为（）A. 11B. 22C. 33D. 443.“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知抛物线x2=2py和-y2=1的公切线PQ（P是PQ与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的切点）与抛物线的准线交于Q，F（0，），若|PQ|=|PF|，则抛物线的方程是（）A. x2=4yB. x2=2yC. x2=6yD. x2=2y5.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A. 若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nB. 若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βC. 若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n6.直线l：y=x与圆x2+y2-2x-6y=0相交于A，B两点，则|AB|=（）A. 2B. 4C. 4D. 87.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2），那么k的值为（）A. B. 2 C. D. 18.直线y=-2x-3与曲线的公共点的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABD沿BD折起，使A到A′的位置，A′在平面BCD的射影E恰落在CD上，则（）A. 三棱锥A′-BCD的外接球直径为5B. 平面A′BD⊥平面A′BCC. 平面A′BD⊥平面A′CDD. A′D与BC所成角为60°10.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点.在双曲线的右支上存在点P满足∠F1PF2=60°，且线段PF1的中点B在y轴上，则（）A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的方程可以是-y2=1C. |OP|=aD. △PF1F2的面积为11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，∠A1AB=∠A1AD，则有（）A. A1M∥B1QB. AA1⊥PQC. A1M∥面D1PQB1D. PQ⊥面A1ACC112.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（）A. |PQ|的最小值为4B. 已知曲线C上的两点S，T到点F的距离之和为10，则线段ST的中点横坐标是（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）4C. 设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥D. 过M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D在直线AC上，若|AD|≤|BD|恒成立，则t的取值范围是______．14.直线2x+y-1=0的倾斜角是______．15.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm，深为2cm的空穴，则该球的半径为______ cm，表面积是______ ．16.已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点.过F的直线交双曲线右支于A，B两点，连结AO并延长交双曲线C于点P.若|AF|=2|BF|，且∠PFB=60°，则该双曲线的离心率为______ .四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,.（I）求圆的方程；（II）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程．18.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．（1）证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．19.如图，为圆的直径，点．在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（1）设的中点为，求证：平面；（2）求四棱锥的体积．20.在平面直角坐标系中，直线l与抛物线y2=2x相交于A，B两点．求证：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题．（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）21.如图，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且∥平面，求三棱锥的体积．22.（本题满分16分）已知椭圆的两焦点分别为 , 是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点.（1）求点坐标；（2）当直线经过点时，求直线的方程；（3）求证直线的斜率为定值.（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）1.【答案】B【解析】解：要使直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b 满足的条件，故选：B．由题意利用确定直线的位置的几何要素，得出结论．本题主要考查确定直线的位置的几何要素，属于基础题．2.【答案】D【解析】由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，由双曲线定义，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6.∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，因此△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44，选D.3.【答案】A【解析】解：若a=2．则两条直线的方程为2x+4y-1=0与x+2y+3=0满足两直线平行，即充分性成立．当a=0时，两直线等价为4y-1=0与x+3=0不满足两直线平行，故a≠0，若“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”，则，解得a=2或a=-2，即必要性不成立．故“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的充分不必要条件，故选：A（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF∵|PQ|=|PF|，在Rt△PQE中，sin，∴，即直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m（m＜0）由消去y得．则△1=8m2-24=0，解得m=-，即PQ：y=由得，△2=8p2-8p=0，得p=．则抛物线的方程是x2=2y．故选：B．如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF可得直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m（m＜0）再依据直线PQ与抛物线、双曲线相切求得p．本题考查了抛物线、双曲线的切线，充分利用圆锥曲线的定义及平面几何的知识是关键，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：当m⊥α，n∥β，α⊥β时，直线m与n可能异面不垂直，故选项A错误；当m⊥n，m⊥α，n∥β时，比如n平行于α与β的交线，且满足m⊥n，m⊥α，但α与β可能不垂直，故选项B错误；当m∥n，m∥α，n∥β时，比如m与n都平行于α与β的交线，且满足m∥n，m∥α，但α与β不平行，故选项C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，故选项D正确．故选：D．直接利用空间中线、面之间的关系进行分析判断即可．本题考查了空间中线面位置关系的判断，此类问题一般都是从反例的角度进行考虑，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，掌握直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键，属于基础题．根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x-1）2+（y-3）2=10，圆心坐标为（1，3），半径R=，则圆心到直线x-y=0的距离d=，则|AB|===4.故选C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，是基础题．把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）则c==2，解得k=1．故选D．8.【答案】B【解析】解：当x≥0时，曲线的方程为，一条渐近线方程为：y=-x，当x＜0时，曲线的方程为，∴曲线的图象为右图，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3的图象，可得直线与曲线交点个数为2个．故选：B．分x大于等于0，和x小于0两种情况去绝对值符号，可得当x≥0时，曲线为焦点在y轴上的双曲线，当x＜0时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3与曲线的图象，就可找到交点个数．本题主要考查图象法求直线与曲线交点个数，关键是去绝对值符号，化简曲线方程．9.【答案】AB【解析】解：对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，则A′E=BE=DE=CE==．∴三棱锥A′-BCD的外接球直径为5，故A正确；对于B，∵DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，∴BC⊥A′F，又A′F∩CD=F，A′F、CD⊂平面A′CD，∴BC⊥平面A′CD，∵A′D⊂平面A′CD，∴DA′⊥BC，∵BC∩BA′=B，∴DA′⊥平面A′BC，∵DA′⊂平面A′BD，∴平面A′BD⊥平面A′BC，故B正确；对于C，BC⊥A′C，∴A′B与A′C不垂直，∴平面A′BD与平面A′CD不垂直，故C错误；对于D，∵DA∥BC，∴∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角），∵A′C==，∴A′F=，DF==，AF==，AA′==3，∴cos∠ADA′==0，∴∠ADA′=90°，∴A′D与BC所成角为90°，故D错误．故选：AB．对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，推导出A′E=BE=DE=CE=，从而三棱锥A′-BCD 的外接球直径为5；对于B，推导出DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，BC⊥A′F，BC⊥平面A′CD，DA′⊥BC，DA′⊥平面A′BC，从而平面A′BD⊥平面A′BC；对于C，A′B与A′C不垂直，从而平面A′BD与平面A′CD不垂直；对于D，由DA∥BC，得∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角），推导出A′D与BC所成角为90°．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．10.【答案】AC【解析】解：如图，F1（-c，0），F2（c，0），∵B为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，∴OB∥PF2，∴∠PF2F1=90°，由双曲线定义可得，|PF1|-|PF2|=2a，设|PF1|=2m（m＞0），则|PF2|=m，，∴2m-m=2a，即a=，又，∴c=，则e=，故A正确；，则b=，双曲线的渐近线方程为y=，选项B的渐近线方程为y=，故B错误；对于C，∵O为F1F2的中点，∴，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）则，即=，即，①而|PF1|-|PF2|=2a，两边平方并整理得，，②联立①②可得，，，即|PO|=，故C正确；=，故D错误．故选：AC．由已知可得∠PF2F1=90°，设|PF1|=2m（m＞0），再由已知结合双曲线定义可得a，b，c 与m的关系，即可求得双曲线的离心率及渐近线方程，从而判断A与B；由O为F1F2的中点，得，两边平方后结合双曲线定义联立求得|PO|判断C；进一步求出△PF1F2的面积判断D．本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】BCD【解析】解：连接MP，可得MP AD A1D1，可得四边形MPA1D1是平行四边形∴A1M∥D1P，又A1M⊄平面DCC1D1，D1P⊂平面DCC1D1，A1M∥平面DCC1D1，连接DB，由三角形中位线定理可得：PQ DB，DB D1B1，可得四边形PQB1D1为梯形，QB1与PD1不平行，因此A1M与B1Q不平行，又A1M∥D1P，A1M⊄平面D1PQB1，D1P⊂平面D1PQB1，∴A1M∥平面D1PQB1.故A不正确，C正确；连接AC，由题意四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵P，Q分别为棱CD，BC的中点，∴PQ∥BD，∴PQ⊥AC，∵平行六面体的所有棱长都相等，且∠A1AB=∠A1AD，∴直线AA1在平面ABCD内的射影是AC，且BD⊥AC，∴AA1⊥BD，∴AA1⊥PQ，故B正确；∵AA1∩AC=A，∴PQ⊥面A1ACC1，故D正确．故选：BCD．连接MP，推导出四边形MPA1D1是平行四边形，从而A1M∥D1P，连接DB，推导出四边形PQB1D1为梯形，A1M与B1Q不平行，推民出A1M∥平面D1PQB1；连接AC，推导出四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，从而PQ⊥AC，由平行六面体的所有棱长都相等，且∠A1AB=∠A1AD，推志出AA1⊥PQ，从而PQ⊥面A1ACC1．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，设直线PQ的方程为x=ty+1,联立解方程组,可得y2-4ty-4=0，x1x2==1，|PQ|=x1+x2+p=x1+x2+2+2=4，故A正确；对于B,根据抛物线的定义可得，|SF|+|TF'|=x S+x T+p=10,则x S+x T=8,则线段ST的中点横坐标是=4,故B成立；对于C，M（0，1），|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|MF|=，所以C正确；对于D,过M（0，1）相切的直线有2条，与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条．所以D不正确；故选：ABC．设出直线方程与抛物线联立，利用弦长公式判断A，结合抛物线的定义，判断B；利用抛物线的性质判断C；直线与抛物线的切线情况判断D．考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系的应用，是中档题．13.【答案】（-∞，0]【解析】解：设D（x，y），由D在AC上，得+y=1，即x+ty-t=0，由|AD|≤|BD|得≤•，化为（x-2）2+（y+1）2≥4，依题意，线段AD与圆（x-2）2+（y+1）2=4至多有一个公共点，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）∴≥2，解得：t≤0，则t的取值范围为（-∞，0]，故答案为：（-∞，0]．先设出D（x，y），得到AD的方程为：x+ty-t=0，由|AD|≤|BD|得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，解不等式即可得到所求范围．本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】π-arctan【解析】解：直线2x+y-1=0的斜率为，设直线2x+y-1=0的倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tan，∴θ=．故答案为：π-arctan．由直线方程求直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．15.【答案】10；400π【解析】解：设球的半径为r，依题意可知36+（r-2）2=r2，解得r=10，∴球的表面积为4πr2=400π故答案为10，400π先设出球的半径，进而根据球的半径，球面上的弦构成的直角三角形，根据勾股定理建立等式，求得r，最后根据球的表面积公式求得球的表面积．本题主要考查了球面上的勾股定理和球的面积公式．属基础题．16.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的定义以及几何性质的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．属于中档题.设双曲线C的左焦点为F'，连结AF'，BF'，设|BF|=t，则|AF|=2t，推出∠F'AB=60°．在△F'AB 中，由余弦定理求解．结合双曲线的定义，求出，．在△F'AF中，由余弦定理推出a，c关系，得到离心率即可．【解答】解：设双曲线C的左焦点为F'，连结AF'，BF'，设|BF|=t，则|AF|=2t，所以|AF'|=2a+2t，|BF'|=2a+t．由对称性可知，四边形AF'PF为平行四边形，故∠F'AB=60°．在△F'AB中，由余弦定理得（2a+t）2=（2a+2t）2+（3t）2-2×（2a+2t）×3t×cos60°，解得．故，．在△F'AF中，由余弦定理得，，解得：．故答案为：．17.【答案】解：（I）因为圆与轴交于两点,，所以圆心在直线上，由，得，即圆心的坐标为．半径，所以圆的方程为；（II）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时可得，不符合题意；（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，过点作于点，则D为线段MN中点，∴，∴，即点C到直线l的距离，解得或k=-3；综上，直线的方程为x-3y+3=0或3x+y-11=0．【解析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．（I）根据题意，即可得解；（II）分类讨论，进行求解即可.18.【答案】（1）证明：将直线化为直线束方程：x+y-4+（2x+y-7）=0．联立方程x+y-4=0与2x+y-7=0，得点（3，1）；将点（3，1）代入直线方程，不论m为何值时都满足方程，所以直线l恒过定点（3，1）；（2）解：当直线l过圆心与定点（3，1）时，弦长最大，代入圆心坐标得m=．当直线l垂直于圆心与定点（3，1）所在直线时弦长最短，斜率为2，代入方程得m=此时直线l方程为2x-y-5=0，圆心到直线的距离为，所以最短弦长为．【解析】（1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长．本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．19.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）要证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行即可，设的中点为，则为平行四边形，则，又平面，不在平面内，满足定理所需条件；（2）过点作于，根据面面垂直的性质可知平面，即正的高，然后根据三棱锥的体积公式进行求解即可.试题解析：（1）设的中点为，则又，∴∴为平行四边形∴又平面，平面∴平面(2)过点作于平面平面，∴平面，即正的高∴∴∴.考点：1.空间中的平行关系；2.空间中的垂直关系；3.棱锥的体积计算.20.【答案】证明：设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，-）．∴=3当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0，由得ky2-2y-6k=0⇒y1y2=-6，又∵x1=y12，x2=y22，∴x1x2=9，∴=x1x2+y1y2=3，综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；综上，命题成立．【解析】设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可得到：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题．本题考查了真假命题的证明，抛物线的简单性质，向量数量积，是抛物线与平面向量的综合应用，难度中档．21.【答案】（1）证明：∵底面是菱形，∴．又平面．又又平面．（2）连接，∵SB平面，平面，平面平面，SB∥平面APC，∴SB∥OP．又∵是的中点，∴是的中点．由题意知△ABD为正三角形．．由（1）知平面，∴．又，∴在Rt△SOD中，．∴到面的距离为.【解析】主要考查了线面垂直的判定和三棱锥的体积.(1)要证明线面垂直，证明SO与平面ABCD中两条相交直线垂直即可，应用已知条件与等腰三角形的三线合一即可得到证明；(2)由SB∥平面APC的性质定理证明得SB∥OP，由(1)得高为PO，利用三棱锥的体积公式即可求出结果.22.【答案】（1）（2）（3），证明略.【解析】解：（1）设P((x，y)，由题意可得，解得，∴P．（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）（2）∵，两条直线PA，PB倾斜角互补，∴k PA+k PB=0，解得k PB=1．因此直线PA，PB，的方程分别为，，化为，．联立，解得(舍去)，，即A．同理解得B．∴k AB= = ，∴直线AB的方程为，化为．（3）S设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，设直线PA的方程为：，则直线PB 的方程为．联立，解得A．同理B，∴k AB= = ．即直线AB的斜率为定值．。
高二上期期末检测数学模拟试题(解析版)
高二上期期末检测模拟试题数学 试题第Ⅰ卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1、若直线3y=−的倾斜角为α,则α= ( )A. 0oB. 60oC. 90oD. o 180【答案】B2、已知(2,1,3)AB =− ，(1,4,2)AC =−−，(5,6,)AD λ=− ，若A ，B ，C ，D 四点共面，则实数λ=( ) A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D解析：由题意，得存在实数x ，y ，使得AD x AB y AC =+ 成立，即(5,6,)(2,1,3)(1,4,2)x y λ−=−+−−，所以52,64,32,x y x y x y λ=−−=−+ =− 解得2,1,8,x y λ= =− = 故选D. 3、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535S S =，且348a a +=，则5a 的值为( ) A.3 B.5 C.7 D.10【答案】C解析：由535S S =，且21(21)n n S n a −=−，得()312355a a a a =++，所以120a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()341248a a a a d +−+==，所以121d a ==−，，所以5147a a d =+=. 4、斜率为l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)4M x y −+=相切，则p =（ ） A ．12 B ．8 C ．10 D ．6【答案】A5、在等比数列{}n a 中，若()57134a a a a +=+，则62a a =（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D解析：()57134a a a a +=+，则44q = ，∴4624a q a ==故选：D 6、方程||1x −=( )A.一个圆B. 两个圆C.一个半圆D.两个半圆答案：D7、设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14725899,93a a a a a a ++=++=，若对任意*N n ∈都有n k S S ≤成立，则k 的值为( ) A.22 B.21 C.20 D.19【答案】C9、下列四个选项中，正确的是( ) A.数列的图象是一群孤立的点【答案】ACD解析：因为数列是一类特殊的函数，其自变量n +∈N ，故数列的图象是一群孤立的点，A 正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B 错误； ，…前四项的规律，可知一个通项公式可以是()1nna n n +=∈+N ，C 正确； ()1n n n n +∈+N10、下列说法正确的是( )A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B.点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C.经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +−=D.直线20x y −−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 【答案】ABD解析：当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A 选项正确；设(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(),m n ，则满足212122n mn m − =− + =+ ，解得：11m n = = ，故点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，B 正确；当在x 轴和y 轴上截距都等于0时，此时直线为y x =，故C 错误；直线20x y −−=与两坐标轴的交点坐标为()2,0与()0,2−，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222××=，D 正确. 故选：ABD.11、已知点P在双曲线2:116x C −=上，12,F F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F 的面积为20，则下列说法正确的有( ) A ．点P 到x 轴的距离为203B ．1250|3|||PF PF += C ．12PF F 为钝角三角形 D ．12F PF ∠等于π3【答案】BC解析：因为双曲线22:1169x y C −=，所以5c =，又因为12112102022P P F P F S c y y =⋅=⋅⋅= ，所以4P y =，所以选项A 错误；将其代入22:1169x y C −=得2241169x −=，即20||3x =，由对称性，不妨取P 的坐标为20,43，可知2133PF =，由双曲线定义可知1213372833PF PF a ++ 所以121337|||350|33PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F 中，12371321033PF c PF =>=>=， 且24012020553PF k −==>−，所以12PF F 为钝角三角形，选项C 正确；因为122920tan tan 22PF F b S θθ=== ，所以9πtan tan 2206θ=<=， 即π26θ<，所以12π3F PF θ∠=<，所以选项D 错误（余弦定理也可以解决）； 12、设O 为坐标原点,F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点,过焦点F 且倾斜角为 θ的直线l 与抛物线C 交于M ,N 两点(点M 在第二象限),当30θ=2,则下列说法正确的是( ) A.3p =B.MON △C.存在直线l ,使得90OMF ONF ∠∠>°＋D.分别过点M ,N 且与抛物线相切的两条直线互相垂直 【答案】ABD解析：作出如图所示图形:对A,由抛物线定义及题意得222sin 302M M py py +==− , 即2212MM py p y+= =−,解得3p =,故A 正确; 对B,3p =,则30,2F,当直线l 的斜率不存在时,显然不合题意,设()11,M x y ,()22,N x y ,设直线l的方程为y kx =22py =得2690x kx −−=,则12126,9x x k x x +==−,121322MON S x x =×−=△当且仅当0k =时等号成立,故B 正确;对C,121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ ()()()221212393919162424k x x k x x k k k =++++=−++⋅+故MON ∠钝角,则不存在直线l ,使得90OMF ONF ∠+∠>°,故C 错误; 对D,26x y =,即216y x =,故13y x ′=,1x ,在点N 2x ,121x x =−,故相切的两条直线互相垂直,故D 正确.故选:ABD.第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、已知圆:C 2220x y x ++=，若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_______. 【答案】为解析：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1； 圆心()1,0−到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =.故答案为：.14、椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在 C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1−−,那么直线1PA 斜率的取值范围是__________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
根据上表提供的数据得到回归方程
y
b
x
a
中的
b
7
，预测广告费支出
10
万元时，销
售额约为
_____________万元.（参考公式：
a
y
b
x
）
17．执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 8，则输出的 s 的值为_____．
18．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 n 的值为___________
【详解】 根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大； 每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销
量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B ， C ， D 都错误，故选 A ．
【点睛】 本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．
b0.78，aybx
元，据此估计，该社
区一户收入为 16 万元家庭年支出为（ ）
A．12.68 万元
B．13.88 万元
C．12.78 万元
D．14.28 万元
8．执行如图所示的程序框图，如果输入的 a 1，则输出的 S
A．2
B．3
C．4
D．5
9．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一
19．如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值为______．
20．向面积为 20 的 ABC 内任投一点 M ，则使 MBC 的面积小于 5 的概率是
__________．
三、解答题
21．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开 车从家到公司的时间之和统计如图所示.
【压轴题】高二数学上期末模拟试题(含答案)
一、选择题
1．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 27 个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均
匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )
A．
B．
C．
D．
2．已知回归方程 y 2x 1，而试验得到一组数据是 (2,5.1) ， (3, 6.9) ， (4,9.1) ，则残差
麻全部落入该正方形中，发现有 795 粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率
的近似值为 ( )
A． 3.1 二、填空题
B． 3.2
C． 3.3
D． 3.4
13．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为 a，b，则双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的离心率
e 5 的概率是______．
14．
为长方形，
绩为二等奖的考生有12 人．
（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；
（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取 5 人，进行综合素质测
试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分 析；
（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有 3 人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等 奖的考生中，随机抽取 2 人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．
第三次： n 3 4 成立， n 4, S k k k ； 3 12 4
第四次： n 4 4 不成立，输出 S k 2 ，解得 k 8 . 4
故选 C. 点睛：解决循环结构程序框图问题的核心在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环
结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的
3．C
解析：C 【解析】
分析：执行程序框图，得到输出值 S k ，令 k 2 ，可得 k 8 . 44
详解：阅读程序框图，初始化数值 n 1, S k ，
循环结果执行如下：
第一次： n 1 4 成立， n 2, S k k k ； 22
第二次： n 2 4 成立， n 3, S k k k ； 26 3
的概率 P =
故选：C 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间
想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．C
解析：C 【解析】
【分析】
【详解】
因为残差
，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.
故选 C. 考点：残差的有关计算.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据新运算的定义, x a x a x2 x a2 a ,即求 x2 x a2 a 1恒成
平方和是（ ）
A．0.01
B．0.02
C．0.03
D．0.04
3．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中
人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序
框图，若输出的 S 2 （单位：升），则输入 k 的值为
A．6
B．7
C．8
D．9
B． 0 a 2
C． 1 a 3
2
2
D． 3 a 1
2
2
7．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如
下统计数据表：
收入 x 万
8.3
8.6
9.9
11.1
12.1
支出 y 万
5.9
7.8
8.1
8.4
9.8
根据上表可得回归直线方程
yˆ
bˆx
aˆ
，其中
)．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【解析】 【分析】 先求出基本事件总数 n＝27，在得到的 27 个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正 方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方 体，则两面涂有油漆的小正方体共有 12 个，由此能求出在 27 个小正方体中，任取一个其 两面涂有油漆的概率． 【详解】 ∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 27 个大小相同的小正方体， ∴基本事件总数 n＝27， 在得到的 27 个小正方体中， 若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上， 且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体， 则两面涂有油漆的小正方体共有 12 个，则在 27 个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆
（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在 6.5,7.5 （时）内的频率；
（2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作 代表）； （3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在
4.5,6.5 （时）内的周数为 X ，求 X 的分布列以及数学期望.
22．甲，乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲，乙两人均从装有 4 只红球、1 只黑球的袋中轮流不放回摸取 1 只球，摸到黑球的人获胜，并结束该局. （1）若在一局中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；
（2）若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得 1 分，后摸井获胜的人得 2 分，未获胜的人得 0 分，求此轮游戏中甲得分 X 的概率分布及数 学期望. 23．黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出 的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市 19 家签约景区．为了解市民每年
( 参考数据： P( X ) 0.6827 ， P( 2 X 2 ) 0.9545 ； P( 3 X 3 ) 0.9973)
24．为庆祝党的 98 岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞
赛。从参加竞赛的学生中，随机抽取 40 名学生，将其成绩分为六段70,75 ，75,80 ， 80,85 ，85,90 ，90,95 ，95,100 ，到如图所示的频率分布直方图.
白两种情况．
故选 C
点睛：本题主要考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题，只要理解其概念，结合本
题列举出所有情况即可得出结果．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】 根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而
得出 A 正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大 或小是没法判断的，从而得出选项 B ， C ， D 都错误．
26．某高校在 2017 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩分 组，得到的频率分布表如表：
组号
分组
频率
第1组
160,165
0.05
第2组
165,170
0.35
第3组
170,175
①
第4组
175,180
0.20
第5组
180,185
0.10
1 求出频率分布表中 ① 处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图； 2 根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数 ( 结果都保留两位小数
图，以下结论中一定正确的是（ ）
A．华为的全年销量最大
B．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量
C．华为销量最大的是第四季度
D．三星销量最小的是第四季度
6．在 R 上定义运算 ： A B A1 B ，若不等式 x a x a 1对任意的
实数 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )
A． 1 a 1
个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设 D 为 BE 中点，若在大等边三角形中随机取
一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）
A． 1 7