用导数方法解决参数和函数零点技巧专题

一．参变分离

1. 注意分离后的函数是否严格单调

2. 注意定义域上是否取遍

3. 严格单调且定义域取遍用端点效应

二．端点效应

比较适用于恒成立问题，那么区间的端点也一定满足恒成立要求 1. 优先论证函数严格单调

2. 在区间左右端至少能找一点满足题干

3. 不到万不得已不要取无穷远端

注：一旦定义域完全为开区间，要么丢失此法，要么洛必达开始论述，要么证明函数严格单调并证函数值大于（小于）端点值【例1】

方法1：参变分离方法2：端点效应

解：

（我们可以看到函数要非负一定要增，也可能又增又减出现极小值）（这就是函数增的一个条件）

2)('2

2)0(')('0

)('0,0)(0

)0(0,0)(≥+-+=≤∴≥-=-+=≥?≥=?≥---e e a e e x f a a f a

e e x

f x f x x f f x x f x x x x x x 充分性：恒成立的必要条件为又恒成立φφΘ的取值范围恒成立，求，使得，其中a x f x ax e e x f x x 0)(0)(≥?--=-φ

（这就是函数值非负的必要条件，我们仅考虑的是函数严格递增的条件）（现在我们论证一下函数是否在此条件下单调增）

显然我们应有此方法成立的充要条件是函数严格单调，我们考虑的端点并不是整个定义域的增减趋势，但是从0开始函数值一定要单调增，否则恒成立失效。于是才有导函数在0处也非负，我们就得到a 的一个大致范围，通过这个大致范围作为已知条件验证其充分性。

【注】：充分性验证时一旦出现导函数有小于0的情况，表示函数不单调，则在必要性的条件下研究函数的最值。

【思考1】的取值范围，求有，a x f x ax e ax x f x

0)(,01

)1()(≥?++-=φ

三：极值点偏移我们分析一下二次函数： 0

2102121212

2),()()(,)(x x x x x f x f x x x x c bx ax x f =+=≠?++=我们有是二次函数的对称轴，使得，

我们把

1）.构造：判断函数单调性确定两对称点的区间，分析法（传统艺能，不在论述）

)

()()(,.2)

2()()(,2.1)()(),(,),(2

210021212121x

x f x f x G x x x x x f x f x F x x x x f x f x x x x x f -=--=+=≠?构造与构造与已知函数

2）对数均值不等式2

22ln ln 112

b 0b a b

a b a b a ab b

a a ++--+π

πππππ，则若

)1()(0

2)11

(2211)('0)(,ln 21)()

1(ln 211ln ln ln 12ln ln 12ln ln 0=∴≥-=-+=--=-?∴=-?

--?

+--?+--f t f x x

x t f t f t t t t f t t t t b

t b

a b b a b a b a ab

b a b a b a ab

a b a b a ab b a φφφφφφφφ

φπ

φφ恒成立

只需证则令原式令①左边：要证不妨设证明：称为极值点右偏。

称为极值点左偏，02102122x x x x x x πφ++为实际极值点

可视为理想极值点，0212

x x x +0

)1()(0)1()1()1(41)(0

)(),1(1

2ln )(1

ln ,111

ln 2ln ln 2

22'

=+-=+-=+--=+-?=+-?+--f t f t t t t t t f t f t t t t t f t t t b a t b

a b a

b a b a b a b a φφφφφφφφ故只需证则令则原式令②右边：

【例2】

【分析】这是一个极值点左偏的例题，并且含参，欲证不等式中不含参，我们需将参数消掉。

命题得证

由引理可得：两式相减得：两式相加得：，由题意得：引理得证。

故只需证则令则原式令证明：

引理：221212

1212121212121212

121212

111222'

2ln ln 2ln ln ln ln 2

ln ln ln ln ln ln ln ln )-(ln -ln ln ln )(ln ln ln ln 0)1()(0

)1()1()1(41)(0

)(),1(1

2ln )(1

ln ,111

2ln 2ln ln 2ln ln e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x x a x x x x x x a x x a x x ax x ax x f t f t t t t t t f t f t t t t t f t t t b a t b

a b

a b a

b a b a b a b

a b a b a φφφ

φφφφφφφφφ

∴+∴+++=--∴

+----=

++∴

--=?=++=?+=+===+-=+-=+--=+-?=+-?+--+--

2121,ln )(e x x x x ax x x f φ，证明的两个零点为-=

【思考2】

1. 一旦出现对数指数极值点偏移能用此不等式

2. 注：一旦还有三角函数法失效！要么回到构造，要么对三角函数放缩

3. 三角放缩tanx x sinx ≤≤

4.出现参数尝试作差消参，代换消参四．不等式证明

1）关于函数值恒成立问题不再论述 2）作差比较法不再论述 3）关于*

N n ∈问题

1. 题目所给函数赋值放缩（传统艺能不再论述）

2.数学归纳法

①第一数学归纳法：当成立成立，归纳

成立，设11+===k n k n n 。归纳时加强命题 ②第二数学归纳法：成立成立，归纳成立，假设当12,1+=≤=k n k n n 。【例3】)1,(41

2141*12

≥∈-<∑=n N n n i

i 证明

),()(,,)(212121>+=≠=-x x x f x f x x xe x f x 证明且

综上，命题得证

显然成立）

（）（）

（）（）（）（只需证：）（）（时，当时，成立，即假设右边成立

，左边，右边时，左边当证明：

012111111)1(1-111-)1(41

-2114141-21141

41-2114141141

-21414

-21411222

212212

<-?--<---?+-<+-?-<++-?+<++?+<++++<+++=<=<===∑

∑==k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k i

k n k i k n n k

i k

【思考3】

)2,(4)

1(1

ln *2≥∈-<+∑=n N n n n k k n

k 【思考4】此题可以通过函数赋值放缩，请读者自行尝试

3.定积分几何意义

①两侧有参数则是黎曼和。此时构造函数必然单调通过宽为1的矩形面积放缩

∑?

=?n

i i

x f dx x f 1

)()(φ

1,(1

)1ln(114*11≥∈<+<+∑∑==n N n k n k n

k n

k 】【例

)

ln(ln ln 11,1)

ln(ln ln 11,11)(i n n x dx x i i

n dx x S i n n x dx x i n dx x S x x f n

i n n i n n i n ABDE n

i n n i n n i n ABCF --==>->--==<<=

------????从而②从而①取函数

证明提示就到这里，希望读者能够自行动笔思考。

此外对于两边都是含n 的依旧可以采用数学归纳法证明，请读者进行尝试

)2,)(11(21

5*1

≥∈-+>∑

=n N n n k n

k 】【思考

②单有一侧有参数，则是广义黎曼。此时这是

为宽的矩形面积。∑

∑?

==-n

i i n

i n i n

i x f n dx x f 1

1)(1

)(φ

)4,(107

15*1≥∈<+∑

=n N n k n n

k 】【例

1072ln )1ln(11111111111111),...,3,2,1(,111)(101011111

<=+=+=+<+

?=++<+?=+=?????

?-+=

?∑?∑∑?=-==-x dx x dx x n

i n i n dx x n

i n i n n i n i n i x x f n i n

i n i n i n i n i

n i 上的定积分在区间考虑【注】此时的矩形面积不再是以1为宽

【思考6】依旧可以采用数学归纳法证明，请读者自行尝试（对命题加强）

4.积分还原法：先对欲证不等式微分，在通过变上限积分还原原不等式

5.中值定理&泰勒展开

x x x

<+<+)1ln(16】【例

x x x

x dx dx x dx x x x x x x x <+<+<+<+<+<+>???)1ln(111111111

11000022

故）（）（则，）（）（时，证明：

【注】对不等式各个求导，根据积分的保号性和变上限积分的性质可以进行证明。

【思考7】读者可以根据自身条件采用积分中值定理，柯西中值定理证明或者泰勒展开证明

五．零点问题

1.零点个数问题：彻底参变分离转化交点问题

2.隐零点：设而不求，整体替换，分析走势，取点试探。采用零点存在性定理试点找到隐零点范围。①()()x g x f φ ； ② ()0φx g 是易解的；③当自变量x 趋向于定义域某端点（哪个端点，视具体题目而定）时，两函数()x f ，()x g 有相同的变化趋势（极限）

3.两个零点：，其

中。超越不等式放缩找解，解即试点。一般优先通过式中超越项进行单调性放缩。

六．切线放缩 1. 指数放缩1x e x

+≥

2. 指数放缩ex e x

≥ 3. 指数放缩()2≤≥--a ax e

e x

4. 对数放缩1ln 1

1-≤≤--x x x

x x π 5. 对数放缩)1(1

)1(2ln )10(1)1(2,ln 2

φφφππx x x x x x x x x x +-+--≤

6. 伪对勾放缩()0ln 21

φx x x

x ≥-

()()()()()()0

,,0,,0,020********'ππφx f x x x x f x x x x f x f 使得使得δδ+∈?-∈?=R

∈?δ

高考数学(理)总复习：利用导数解决函数零点问题

题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．1.已知f (x )＝ ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝????? f (x )，f (x )≥ g (x )，g (x )，f (x )0)的零点个数．【解】 (1)∈函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∈f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1 ＝0或x 2＝2 a ，∈a >0，∈x 1

即不等式2a ≤1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上有解．设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1 x 3(x ∈[1,2])， ∈y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∈y ＝1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上单调递减， ∈当x ＝1时，y ＝1x 3＋3 x 的最大值为4， ∈2a ≤4，即a ≤2. (3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ?? ? ??a 2＝1－4a 2， ∈当1－4 a 2>0，即a >2时，f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋ ∞)上无零点． ∈当1－4 a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0. 又g (1)＝0，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有一个零点． ∈当1－4 a 2<0，即00， ∈存在唯一的x 0∈?? ? ??1,1e ，使得φ(x 0)＝0， (∈)当0