初中数学经典几何难题及答案
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经典难题(一)
1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO .
求证:CD =GF .(初二)
第1题图
第2题图
2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150.
;
求证:△PBC 是正三角形.(初二)
3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1
的中点.求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二)
第3题图
第
4题图
4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F .求证:∠DEN =∠F .
经典难题(二)
1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM ⊥BC 于M .
)
B D 2
C 2
B 2
A 2
D 1
C 1
B 1
;
B
D
A
A 1
A
P
C D
B
A
F
G
C
E
B O [
D
(1)求证:AH =2OM ;
(2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二)
第1题图
第2题图
2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条直线,交圆于B 、C 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q .求证:AP =AQ .(初二)
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q .
》
求证:AP =AQ .(初二)
第3题图
第4题图
4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点.
求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.(初二)
F
经典难题(三)
—
1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F .
求证:CE =CF .(初二)
第1题图
第2题图
2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,且CE =CA ,直线EC 交DA 延长线于F . 求证:AE =AF .(初二)
|
3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点,PF ⊥AP ,CF 平分∠DCE . 求证:PA =PF .(初二)
、
第3题图
第4题图
4、如图,PC 切圆O 于C ,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D . 求证:AB =DC ,BC =AD .(初三)
经典难题(四)
1、已知:△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA =3,PB =4,PC =5. 求:∠APB 的度数.(初二)
第1题图
¥
第2题图
2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA =∠PDA .求证:∠PAB =∠PCB .(初二)
3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD +AD ·BC =AC ·BD .(初三)
第3题图
第4题图
4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且 AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC .(初二)
~
经典难题(五)
1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L =PA +PB +PC ,求证:
≤L <2.
第1题图
第2题图
2、P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC 的最小值.
3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA =a ,PB =2a ,PC =3a ,求正方形的边长.
A
C B P
【
A P
C
B
F
`
D
E C
B
A
C B
D
A
P
A
D
C
B
A
.
C B
(
第3题图
第4题图
4、如图,△ABC 中,∠ABC =∠ACB =800,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,∠DCA =300, ∠EBA =200,求∠BED 的度数.
经典难题(一)
1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF 。(初二) 证一:连接OE 。 ∵EG ⊥CO ,EF ⊥AB ,
∴O 、G 、E 、F 四点共圆,且OE 为直径。 ∴GF=OE ·sin ∠GOF 。
又△OCD 中,CD=OC ·sin ∠COD 。 ∵∠GOF+∠COD=180°, OC= OE 为⊙O 半径, ∴CD =GF 。
证二:连接OE ,过G 作GH ⊥AB 于H 。 ∵EG ⊥CO ,EF ⊥AB ,
∴O 、G 、E 、F 四点共圆,且OE 为直径。 ∴∠GEO=∠HFG 。又∠EGO=∠FHG=Rt ∠, ∴△GEO ∽△HFG 。∴GF:OE=GH:OG 。 又GH ∥CD ,∴GH:CD=OG:OC , 即GH:OG=CD:OC ,∴GF:OE=CD:OC , 而OE=OC ,∴CD =GF 。
【
2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150. A
P
D
E
A
F
G C
E
B O
D
!
F
G C
E
B
O
D
H
求证:△PBC 是正三角形.(初二) 证明:
3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1
的中点.求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二)
4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F .求证:∠DEN =∠F .
经典难题(二)
%
1
、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM ⊥BC 于M . (1)求证:AH =2OM ;
(2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二)
B D 2
C 2
B 2
A 2
D 1
~
B 1
C B
D
A
A 1