2019—2020年最新北师大版高一数学上学期期期末考试模拟试题1及答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四
第一学期高一年级期末考试
数学（乙卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内）
1．已知角的终边经过点(3,4)P，则sin的值等于
A．35 B．35 C． 45 D．45
2．sin600o的值是
A．32 B．12 C．12 D．32
3．已知扇形的弧长8，半径是4，则扇形的中心角的弧度数是
A．1 B．2 C．12或2 D．12
4．如果点(sin,cos)P位于第三象限，那么角所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知函数2fxxb的零点为0x，且01,1x，那么b的取值范围是
A．2,2 B．1,1 C．11(,)22 D．1,0
6．为了得到函数sin()6yx的图象，可以将函数sin()3yx的图象
A．向左平移12个单位长度 B．向左平移6个单位长度
C．向右平移12个单位长度 D．向右平移6个单位长度
7．函数2()4logfxxx的零点所在的区间是
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
8．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大
．
于．6．时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整
函数][xy（][x表示不大于x的最大整数）可以表示为
A．]10[xy B．]102[xy C．]104[xy D．]103[xy
座 位 号
题号 得分
一
二
三
总分
9．函数]),0[)(26sin(2xxy的递增区间是
A．]65,3[ B．],3[ C．]127,12[ D．]3,6[
10已知12,xx是函数24()()122xxfxxx的两个零点，则12xx
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填空在答卷上）
11．cos36cos6sin36sin6oooo 。
12．若2tan，则cos3sin2cossin= ；
13. 若xxfcos)(，则(12)(21)ff=_______．
14．sin1,cos1,tan1的大小关系是 ．
15．设()fx满足(1)0,(1.5)0,(1.25)0,fff 则方程()0fx的根落在区
间________内
三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分8分）计算：252525sincostan()634
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
17．（本小题满分10分）若55sin，1010sin，且,均为锐角，求的值.
18．（本小题满分10分）已知函数()sin()fxAx(0,0,)22A一个周期的
图象如图所示．
（1）求函数()fx的表达式；
（2）若24()()325ff，且为△ABC的一个内角，求sincos的值．
19．（本小题满分10分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万
元时，按销售利润的10% 进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则
超出部分按52log(1)A进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励.记奖金总额为
y
（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）.
（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式;
（2）如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
20．（本小题满分12分）00已知2()2sincos23cos3fxxxx．
（1）求)4(f的值；
（2）若1310)(f，且,2，求α2sin的值．
高一年级期末考试
数学（乙卷）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
C D B B A D C D A B
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填写在横线上）
11. 32； 12．3； 13. 0； 14. cos1sin1tan1； 155.1,25.1．
三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解： 原式=252525sincostan()sincostan634634
11
1022
17．解：依题意有cosα＝1－552＝255，cosβ＝1－10102＝31010，……………
2分
∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22＞0. ………………………………………………6分
∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4.………………………………………………8分
18．解：（1）从图知，函数的最大值为1，则A=1．………………………………………1分
函数f（x）的周期为4()126T．所以=2………………………………………2分
又6x时，0y。所以sin[2()]06 而22，则3，…………3分
∴函数f（x）的表达式为()sin(2)3fxx． ………………………………………………5分
（2）由24()()325ff，得24sin(2)sin(2)3325即
24
2sin2cos325
………………………………………………………………………………6分
，∴242sincos25∴22449(sincos)12525………………………………………8分
∵242sincos25＞0，为△ABC的内角，
∴sin＞0，cos＞0，即sincos＞0．∴7sincos5．………………………10分
19. 解：（1）由题意，得50.1,0151.52log(14),15xxyxx ……………………5分
（2）0,15x时,0.11.5x
又5.15.5y，15x …………………………7分
所以5.5)14(log25.15x 39x …………………………9分
答：老张的销售利润是39万元. …………………………10分
20．解：（1）2()23(2cos1)sin23cos22sin(2)3fxsinxxxxx ………3分
∴()2sin146f ………………………………………………………………………………5分
（2）由（1）知131032sin2)(f ∴13532sin ………………………7分
∵,2，∴35,3232 ∵013532sin
∴,3232 ∴131232cos ……………………………………………9分
∴32cos2332sin21332sin2sin263125………12分
2020-2021学年高一数学上学期期末测试卷01(北师大2019版)(学生版)
学易金卷：2020-2021学年高一数学上学期期末测试卷01（北师大2019版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题 1．以下函数在R 上是减函数的是（ ）A ．2y x =-B ．12log y x =C ．1y x =D ．1()2xy = 2．已知命题p ：对(),0x ∀∈-∞，20192018x x <，则p ⌝为（ ）A ．0[0,)x ∃∈+∞，使得2019201800x x < B ．0[0,)x ∀∈+∞，使得20192018x x ≥C ．()0,0x ∃∈-∞，使得2019201800x x ≥D ．()0,0x ∀∈-∞，使得2019201800x x <3．函数()12y lg x =-( ) A ．（2，3）B ．（3，4]C ．（2，4]D ．（2，3）∪（3，4] 4．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．()f x =()g x =B ．()||f x x =与()g x =C ．()f x =()2g x x =D ．()x f x x=与0()g x x = 5．函数()113,1,1,13x x x f x x --⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．“1x >”是“2log 0x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数3()2f x x x =--的零点所在的区间为（ ）A ．(0)1，B ．(12)，C ．(2)3，D ．(34)， 8．已知函数(31)4,(1)()log ,(1)a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数，在a 的取值范围是（）A ．11,73⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．11,73⎛⎫⎪⎝⎭ D ．R9．已知()()4,f x g x =-函数()g x 是定义在R 上的奇函数,若(2017)2017,f =则(-2017)f =（ ）。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_61
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）（考试时间:120分钟试卷总分:150分）注意事项:1.答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.2.全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂.1.已知全集则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，再求交集即可.【详解】因为，所以故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题.2.已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（）A. 3B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求解.【详解】由扇形面积公式可得这个扇形面积为故选：A【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题.3.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由零点存在性定理求解即可.【详解】，，，，因为，，，所以函数的零点所在的区间是故选：A【点睛】本题主要考查了零点存在性定理，属于基础题.4.设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】根据奇函数得到，，计算出，即可得到.【详解】函数是定义在R上的奇函数，则所以故选：B【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，属于基础题.5.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据题意求出直角三角形的面积以及斜边的长，由勾股定理以及三角形面积公式列出等式，求解即可.【详解】因为大正方形的面积为5，所以直角三角形的斜边为小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则每一个直角三角形的面积为设直角三角形的两直角边分别为：，则有解得：则故选：B点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式以及求正切，属于基础题.6.已知则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和的余弦公式将展开，平方后化简得到，求出，即可得出.【详解】因为所以，化简得到又，所以，即，即所以所以故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题.7.已知，则的最小值是（）A. 0B. 1C.D.【答案】A【解析】【分析】将展开化简得到，再由化简得到，根据的范围，即可得到的最小值.【详解】因为，所以当时，取最小值：故选：A【点睛】本题主要考查了向量的基本运算以及模长的求法，属于中档题.8.函数的图象大致是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性排除D，取特殊值排除A，C，即可得出答案.【详解】令，则函数为奇函数所以排除D，解得：，因为，，所以排除A，C故选：B【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，属于基础题.9.若，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的单调性得出，利用对数的运算得出，利用指数的运算化简并与比较，即可得出答案.【详解】因为，，所以故选：C【点睛】本题主要考查了比较大小，属于中档题.10.已知函数则的最大值为（）A. 1B. 3C.D.【答案】D【解析】【分析】化简，利用正弦函数的性质求出，利用换元法以及二次函数的单调性即可求解.【详解】因为，所以令，则,二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的最大值为故选：D【点睛】本题主要考查了求函数正弦的二次式的最值，属于中档题.11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得出，根据平移变换得到，由结合正弦函数的性质得到,或,，由即可得到答案.【详解】因为，，所以由题意可得，解得：,或,即,或,当时，故选：C【点睛】本题主要考查了正弦函数的平移变换等，属于中等题.12.高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设，用符号表示不大于的最大整数，如，则叫做高斯函数.给定函数，若关于的方程有5个解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】证明函数是以为周期的周期函数，并根据时，的图象画出，，将方程的解的个数转化为函数的交点个数，讨论的取值，根据图像，列出相应不等式即可得到实数的取值范围.【详解】所以函数是以为周期的周期函数，当时，，则要使得有5个解，即函数与函数的图象有5个交点.当时，函数与函数，的图象如下图所示不满足题意当时，函数与函数，的图象如下图所示要使得函数与函数的图象有5个交点，则函数的图象低于点A，不低于点B故有，解得：故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数的零点个数求参数范围，属于难题.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置13.若向量与共线，则实数___________;【答案】【解析】【分析】由向量共线得到，即可得到.【详解】向量与共线，则，解得故答案为：【点睛】本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题. 14.求值=___________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式得到，逆用两角和的余弦公式，即可求解.【详解】则故答案为：【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的逆用，属于基础题.15.若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围为_______.【答案】【解析】先确定的解，画出函数的图像，根据图像分析即可得出实数的取值范围.【详解】，解得；，解得函数的图像如下图所示由图可知，要使得函数在上的最大值为2，则【点睛】本题主要考查了根据函数的最值求参数，属于中档题.16.若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“和谐函数”:（1）任意恒成立;（2）任意且，都有以下四个函数:①；②；③；④中是“和谐函数”的为________________（写出所有正确的题号）.【答案】③④【解析】先由单调性以及奇偶性定义得到“和谐函数”满足的条件，再以此为依据，分别判断奇偶性以及单调性，即可判断.【详解】任意恒成立，则任意即函数在上为奇函数取，因任意且，都有，所以在上增函数①函数的定义域为，故①不是和谐函数；②，令，则函数在上为奇函数，但，即不是增函数，故②不是和谐函数；③令，定义域为，则函数在上为奇函数；设，因为，所以，即所以函数在上为增函数，故③为和谐函数；④令，定义域为，则函数在上为奇函数；设，因为，，所以即即函数在上为增函数，故④是和谐函数；故答案为：③④【点睛】本题主要考查了函数单调性的证明以及奇偶性的证明，属于中等题.三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.已知全集，集合（1）求（2）如果，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】(1)化简集合B，求出集合A的补集，即可求解(2)根据集合A与集合C没有公共部分，画出韦恩图，列出相应不等式，即可求解.【详解】解：（1）因为，或，（2）因为，所以集合A与集合C没有公共部分或故有或，解得：或即实数的取值范围是或【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算以及已知集合间的关系求参数，属于中等题.18.如图，在矩形ABCD中，点E是AC的中点，点F在边CD上.（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，试用表示;（2）若AB＝2，BC＝3，当时，求DF的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据平行四边形法则得到，，结合三角形法则并化简得；(2)建立直角坐标系，用坐标表示、，即可得到DF的长.【详解】解：（1）因为是中点，所以.因为是上靠近的三等分点，所以，.所以.（2）如图，以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系设的长为,则.所以.因为，所以,所以,即的长为.【点睛】本题主要考查了用基底表示向量以及已知数量积求模长，属于中档题.19.已知函数（1）求的单调递增区间;（2）若，且求的值.【答案】（1）单调递增区间为（2）【解析】【分析】(1)利用二倍角的余弦公式、诱导公式、辅助角公式化简，根据正弦函数的单调增区间化简得到的单调递增区间；(2)根据函数的解析式以及化简得到，再由确定，再由两角和的正切公式求出.【详解】解：（1）由已知得：由得.所以的单调递增区间为.（2）因为,所以,即.因为所以因此即所以.【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及两角和的正切公式，属于中档题.20.在国庆期间，某商场进行优惠大酬宾活动，在活动期间，商场内所有商品按标价的80％出售;同时，当顾客在该商场内消费满一定金额（元）后，还可按如下方案获得相应金额（元）的奖券:根据上述优惠方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，购买标价为300元的商品，则消费金额为240元，获得的优惠额为:（元）.设购买商品得到的，试问:（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少?（2）对于标价在（元）内的商品，要使顾客购买某商品获得30％的优惠率，则该商品的标价是多少?【答案】（1）购买一件标价为元的商品，顾客得到的优惠率是（2）购买标价为元的商品可以得到的优惠率【解析】【分析】(1)根据题意求出优惠额，利用题设所给公式即可得到优惠率；(2) 设购买标价为元的商品可以得到的优惠率，分别讨论和，根据优惠率列出等式，求出相应的标价，即可得出满足题意的标价.【详解】解：（1）标价为元商品优惠额为:元,所以优惠率为：.答：购买一件标价为元的商品，顾客得到的优惠率是.（2）设购买标价为元的商品可以得到的优惠率.当时，，优惠率为：，解得.因为，所以不合题意，舍去.当时，，优惠率为：，解得.因为，符合题意.答：购买标价为元的商品可以得到的优惠率.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的应用，属于中档题.21.已知函数是函数的零点，是函数图象的对称轴，且.（1）求函数的解析式;（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1)根据函数图象的对称轴以及，得出，由，列出方程组，解出，根据得出，；(2)将零点问题转化为函数与函数的交点问题，根据图像，求出的取值范围.【详解】解：（1）是函数图象的对称轴，且，则由已知得所以所以,又因为所以，，故（2）依题意知函数与在上有个交点结合图象可知：函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以根据函数零点的个数求参数范围，属于中档题.22.已知函数（1）当时，求满足方程的的值;（2）若函数是定义在R上的奇函数.①若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围;②已知函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】(1)解方程求出的值即可；(2)根据函数是定义在R上的奇函数，由定义列出方程，求出，对于①，利用函数单调性的定义证明的单调性，利用单调性化简不等式得到，由，即可得到实数的取值范围；对于②，由的解析式得到的解析式，化简，结合换元法以及基本不等式得到实数的最大值.11【详解】解：（1）因为，，所以，化简得，解得（舍）或，所以.（2）因为是奇函数，所以，所以化简变形得：要使上式对任意恒成立，则且解得：或，因为的定义域是，所以舍去所以，，所以.①，对任意，，且有：，因为，所以，所以，因此在上单调递增，因为，当时成立，所以，当时成立，即，当时成立，当时，，所以.②因为，所以，所以，不等式恒成立，即，令，因为且，所以，即，所以，当时恒成立，即，当时恒成立，因为，，当且仅当时，等号成立，所以，即实数的最大值为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的性质、利用函数单调性解不等式以及基本不等式，属于难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）（考试时间:120分钟试卷总分:150分）注意事项:1.答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.2.全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂.1.已知全集则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】求出，再求交集即可.【详解】因为，所以故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题. 2.已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（）A. 3B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求解.【详解】由扇形面积公式可得这个扇形面积为故选：A【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题.3.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由零点存在性定理求解即可.【详解】，，，，因为，，，所以函数的零点所在的区间是【点睛】本题主要考查了零点存在性定理，属于基础题.4.设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】根据奇函数得到，，计算出，即可得到.【详解】函数是定义在R上的奇函数，则所以故选：B【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，属于基础题.5.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据题意求出直角三角形的面积以及斜边的长，由勾股定理以及三角形面积公式列出等式，求解即可.【详解】因为大正方形的面积为5，所以直角三角形的斜边为小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则每一个直角三角形的面积为设直角三角形的两直角边分别为：，则有解得：则故选：B点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式以及求正切，属于基础题.6.已知则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和的余弦公式将展开，平方后化简得到，求出，即可得出.【详解】因为所以，化简得到又，所以，即，即所以所以故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题.7.已知，则的最小值是（）A. 0B. 1C.D.【答案】A【解析】【分析】将展开化简得到，再由化简得到，根据的范围，即可得到的最小值.【详解】因为，所以当时，取最小值：故选：A【点睛】本题主要考查了向量的基本运算以及模长的求法，属于中档题.8.函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性排除D，取特殊值排除A，C，即可得出答案.【详解】令，则函数为奇函数所以排除D，解得：，因为，，所以排除A，C故选：B【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，属于基础题.9.若，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的单调性得出，利用对数的运算得出，利用指数的运算化简并与比较，即可得出答案.【详解】因为，，所以故选：C【点睛】本题主要考查了比较大小，属于中档题.10.已知函数则的最大值为（）A. 1B. 3C.D.【答案】D【解析】【分析】化简，利用正弦函数的性质求出，利用换元法以及二次函数的单调性即可求解.【详解】因为，所以令，则,二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的最大值为故选：D【点睛】本题主要考查了求函数正弦的二次式的最值，属于中档题.11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得出，根据平移变换得到，由结合正弦函数的性质得到,或,，由即可得到答案.【详解】因为，，所以由题意可得，解得：,或,即,或,当时，故选：C【点睛】本题主要考查了正弦函数的平移变换等，属于中等题.12.高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设，用符号表示不大于的最大整数，如，则叫做高斯函数.给定函数，若关于的方程有5个解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】证明函数是以为周期的周期函数，并根据时，的图象画出，，将方程的解的个数转化为函数的交点个数，讨论的取值，根据图像，列出相应不等式即可得到实数的取值范围.【详解】所以函数是以为周期的周期函数，当时，，则要使得有5个解，即函数与函数的图象有5个交点.当时，函数与函数，的图象如下图所示不满足题意当时，函数与函数，的图象如下图所示要使得函数与函数的图象有5个交点，则函数的图象低于点A，不低于点B故有，解得：故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数的零点个数求参数范围，属于难题.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置13.若向量与共线，则实数___________;【答案】【解析】【分析】由向量共线得到，即可得到.【详解】向量与共线，则，解得故答案为：【点睛】本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题.14.求值=___________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式得到，逆用两角和的余弦公式，即可求解.【详解】则故答案为：【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的逆用，属于基础题.15.若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】先确定的解，画出函数的图像，根据图像分析即可得出实数的取值范围.【详解】，解得；，解得函数的图像如下图所示由图可知，要使得函数在上的最大值为2，则【点睛】本题主要考查了根据函数的最值求参数，属于中档题.16.若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“和谐函数”:（1）任意恒成立;（2）任意且，都有以下四个函数:①；②；③；④中是“和谐函数”的为________________（写出所有正确的题号）.【答案】③④【解析】【分析】先由单调性以及奇偶性定义得到“和谐函数”满足的条件，再以此为依据，分别判断奇偶性以及单调性，即可判断.【详解】任意恒成立，则任意即函数在上为奇函数取，因任意且，都有，所以在上增函数①函数的定义域为，故①不是和谐函数；②，令，则函数在上为奇函数，但，即不是增函数，故②不是和谐函数；③令，定义域为，则函数在上为奇函数；设，因为，所以，即所以函数在上为增函数，故③为和谐函数；④令，定义域为，则函数在上为奇函数；设，因为，，所以即即函数在上为增函数，故④是和谐函数；故答案为：③④【点睛】本题主要考查了函数单调性的证明以及奇偶性的证明，属于中等题.三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.已知全集，集合（1）求（2）如果，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】(1)化简集合B，求出集合A的补集，即可求解(2)根据集合A与集合C没有公共部分，画出韦恩图，列出相应不等式，即可求解.【详解】解：（1）因为，或，（2）因为，所以集合A与集合C没有公共部分或故有或，解得：或即实数的取值范围是或【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算以及已知集合间的关系求参数，属于中等题. 18.如图，在矩形ABCD中，点E是AC的中点，点F在边CD上.（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，试用表示;（2）若AB＝2，BC＝3，当时，求DF的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据平行四边形法则得到，，结合三角形法则并化简得；(2)建立直角坐标系，用坐标表示、，即可得到DF的长.【详解】解：（1）因为是中点，所以.因为是上靠近的三等分点，所以，.所以.（2）如图，以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系设的长为,则.所以.因为，所以,所以,即的长为.【点睛】本题主要考查了用基底表示向量以及已知数量积求模长，属于中档题.19.已知函数（1）求的单调递增区间;（2）若，且求的值.【答案】（1）单调递增区间为（2）【解析】【分析】(1)利用二倍角的余弦公式、诱导公式、辅助角公式化简，根据正弦函数的单调增区间化简得到的单调递增区间；(2)根据函数的解析式以及化简得到，再由确定，再由两角和的正切公式求出.【详解】解：（1）由已知得：由得.所以的单调递增区间为.（2）因为,所以,即.因为所以因此即所以.【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及两角和的正切公式，属于中档题.20.在国庆期间，某商场进行优惠大酬宾活动，在活动期间，商场内所有商品按标价的80％出售;同时，当顾客在该商场内消费满一定金额（元）后，还可按如下方案获得相应金额（元）的奖券:根据上述优惠方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，购买标价为300元的商品，则消费金额为240元，获得的优惠额为:（元）.设购买商品得到的，试问:（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少?（2）对于标价在（元）内的商品，要使顾客购买某商品获得30％的优惠率，则该商品的标价是多少?【答案】（1）购买一件标价为元的商品，顾客得到的优惠率是（2）购买标价为元的商品可以得到的优惠率【解析】【分析】(1)根据题意求出优惠额，利用题设所给公式即可得到优惠率；(2) 设购买标价为元的商品可以得到的优惠率，分别讨论和，根据优惠率列出等式，求出相应的标价，即可得出满足题意的标价.【详解】解：（1）标价为元商品优惠额为:元,所以优惠率为：.答：购买一件标价为元的商品，顾客得到的优惠率是.（2）设购买标价为元的商品可以得到的优惠率.当时，，优惠率为：，解得.因为，所以不合题意，舍去.当时，，优惠率为：，解得.因为，符合题意.答：购买标价为元的商品可以得到的优惠率.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的应用，属于中档题.21.已知函数是函数的零点，是函数图象的对称轴，且.（1）求函数的解析式;（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1)根据函数图象的对称轴以及，得出，由，列出方程组，解出，根据得出，；(2)将零点问题转化为函数与函数的交点问题，根据图像，求出的取值范围.【详解】解：（1）是函数图象的对称轴，且，则由已知得所以所以,又因为所以，，故（2）依题意知函数与在上有个交点结合图象可知：函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以根据函数零点的个数求参数范围，属于中档题.22.已知函数（1）当时，求满足方程的的值;（2）若函数是定义在R上的奇函数.①若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围;②已知函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】(1)解方程求出的值即可；(2)根据函数是定义在R上的奇函数，由定义列出方程，求出，对于①，利用函数单调性的定义证明的单调性，利用单调性化简不等式得到，由，即可得到实数的取值范围；对于②，由的解析式得到的解析式，化简，结合换元法以及基本不等式得到实数的最大值.11【详解】解：（1）因为，，所以，化简得，解得（舍）或，所以.（2）因为是奇函数，所以，所以化简变形得：要使上式对任意恒成立，则且解得：或，因为的定义域是，所以舍去所以，，所以.①，对任意，，且有：，因为，所以，所以，因此在上单调递增，因为，当时成立，所以，当时成立，即，当时成立，当时，，所以.②因为，所以，所以，不等式恒成立，即，令，因为且，所以，即，所以，当时恒成立，即，当时恒成立，因为，，当且仅当时，等号成立，。
2020-2021学年高一数学上学期期末测试卷01(北师大版)(解析版)(必修1+必修2)
2020-2021学年高一数学上学期期末测试卷01（北师大版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知全集{1,3,5,7,9},{13,5},{3,5,7},U A B ===，则()U A C B =（） A ．∅ B ．{1} C ．{3,5} D ．{1,3,5,9} 2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（）A ．3-2y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．1y x =-3．直线1:l 2430x y +-=与直线2:l 2470x y ++=之间的距离是（）A B C D ．4．已知平面α和两条直线,a b ，则下列命题中正确的是( )A ．若//,//a a b α，则//b αB ．若,a b αα⊥⊥，则//a bC ．若,a b a α⊥⊥，则//b αD ．若//,//a b αα，则//b a 5．若函数()21f x ax bx =++是定义在[]1,1a +上的偶函数，则()f x 的值域为（）A ．[]1,1-B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．无法确定 6．下列各组函数表示同一个函数的是（）C ．()||f x x =，()g x =D ．()||f x x =,()0()g x x x =≥ 7．圆心在x 轴上，半径为1且过点(2,1)的圆的方程为A ．22(2)1x y +-=B ．22(2)1x y -+=C ．22(2)1x y ++=D ．22(2)1x y ++= 8．设，，，则有（ ）A ．B ．C ．D ． 9．函数12(1)log 1y x =+-的图象一定经过点（）A ．()1,1B ．()1,0C ．()2,1D ．()2,010．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数(1)y f x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．11．函数()3x f x x =+的零点所在的区间是（ ）A.()2,1--B.()0,1C.()1,0-D.()1,212．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织ln 2a =3log 2b =125c -=a b c <<c a b <<c b a <<b c a <<所得的余数大于10时再增加1人.那么，各村可推选的人数y 与该村户数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =([]x 表示不大于x 的最大整数)可以表示为（）A ．1115x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．415x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ．1015x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D ．515x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 评卷人得分二、填空题 13．函数0(2)()lg(3)1x f x x x -=-++的定义域是________ 14．若某圆锥的轴截面是面积为3的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是__________．15．已知函数()21,0{21,0x x x f x x x ++≥=+<，若()()22f m f m <-，则实数m 的取值范围是__________．16．设函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），若()1220158f x x x ⋅⋅⋅=，则()()()222122015f x f x f x ++⋅⋅⋅+=__________. 评卷人得分三、解答题 17．已知全集U =R ,集合{}{|29},|25A x x B x x =<<=-≤≤.（1）求A B ;()U B C A ;（2）已知集合{|2},C x a x a =≤≤+若()B C C U ⊆,求实数a 的取值范围.18．已知三角形三个顶点是(5,0)A -，(4,4)B -，(0,2)C ，（1）求BC 边上的中线所在直线方程；（2）求BC 边上的高AE 所在直线方程．19．若函数1f x =-（1）求函数()y f x =的解析式（2）讨论函数()y f x =的单调性和奇偶性20．已知()f x 为定义在[]22-,上的奇函数，当[]2,0x ∈-时，函数解析式为()()42x x f x b b R =-⋅∈.（1）求b 的值，并求出()f x 在(]0,2上的解析式；（2）若对任意的(]0,2x ∈，总有()f x m ≥，求实数m 的取值范围.21．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ，且,SA SC SA BD =⊥．（1）求证：SO ⊥平面ABCD ；（2）设60BAD ∠=︒，2AB SD ==，P 是侧棱SD 上的一点，且SB 平面APC ，求三棱锥A PCD -的体积．22．已知()x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(),11=f 若[]1,1,-∈b a ，且0≠+b a ，有0)()(>++ba b f a f 恒成立． （1）判断()x f 在[]1,1-上的单调性，并证明你的结论；（2）若()122+-≤am m x f 对所有的[][]1,1,1,1-∈-∈a x 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1．B【解析】【分析】根据交集与补集的定义，即可得到本题答案.【详解】因为{1,3,5,7,9},{3,5,7}U B ==，所以{}=1,9U C B ，又因为{}1,3,5A =，所以(){}1U AC B =.故选：B【点睛】本题主要考查集合的补集与交集的运算，属基础题.2．B【解析】【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性以及在(0,)+∞上的单调性，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数为非奇非偶函数.对于B 选项，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增.对于C 选项，函数是偶函数，但在()0,∞+上递减.对于D 选项，函数是非奇非偶函数.故本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.【解析】【分析】直接利用两条平行线的距离公式求解即可．【详解】∵直线10(,Ax By C A B ++=不同时为0)与直线20(,Ax By C A B ++=不同时为0,12)C C ≠之间的距离d =，∴直线1l 与直线2l之间的距离d ==故选：C ．【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式，应用公式得前提是x 、y 的系数必须一致，属于基础题．4．B【解析】【分析】根据线线、线面平行和垂直有关定理，对选项逐一分析，由此判断出正确选项.【详解】对于A 选项，b 可能含于平面α，故A 选项错误.对于B 选项，根据线面垂直的性质定理可知，B 选项正确..对于C 选项，b 可能含于平面α，故C 选项错误.对于D 选项,a b 两条直线可能相交，故D 选项错误.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查线面平行、垂直有关命题真假性判断，考查线面垂直的性质定理，属于5．A【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质，确定定义域的关系，然后根据方程()()f x f x -=，即可求出函数解析式，最后根据二次函数性质求值域．【详解】解：∵2()1f x ax bx =++是定义在[1,1]a +上的偶函数，∴定义域关于原点对称，即1＋a ＋1＝0，∴a ＝−2．又()()f x f x -=，2211ax bx ax bx ∴-+=++，即−b ＝b 解得b ＝0，22()121f x ax bx x ∴=++=-+，定义域为[−1，1]，1()1f x ∴-≤≤，故函数的值域为[−1，1]，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，函数奇偶性的性质是解决本题的关键．6．C【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,逐项验证即可判断它们是否为同一个函数.对于A, ()2g x x ===-,与()2f x x =-对应关系不相同,故不是同一个函数. 对于B, 21()1x f x x -=-定义域是{|1}x x ≠,()1g x x =+定义域是x ∈R ,定义域不同,故不是同一函数.对于D, ()||f x x =定义域是x ∈R ,()0()g x x x =≥定义域是{|0}x x ≥,定义域不同,故不是同一函数.对于C, ()||g x x ==,()||f x x =,两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故二者是同一个函数.故选:C.【点睛】 本题考查判断两个函数是否为同一函数,注意要从二个方面来分析:定义域、对应法则,只有二要素完全相同,才能判断两个函数是同一个函数,这是判定两个函数为同一函数的标准.7．B【解析】【分析】设圆心为C （a ，0）=1，求得a 的值，可得要求的圆的方程．【详解】∵圆心在x 轴上，设圆心为C （a ，0），再根据半径为1，且过点（2，1），=1，求得a ＝2，故要求的圆的方程为 （x ﹣2）2+y 2＝1， 故选B ．本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标的值，是解题的关键，属于基础题．8．C【解析】 试题分析：由于3ln 2log 2ln 2,ln 3b 因此b a ，又由于331log 2log 32b ，而1251552，因此c b 考点：指数与对数比较大小；9．C 【解析】【分析】根据对数函数的性质，结合图象的平移变换规律进行求解即可.【详解】把12log y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到12(1)log 1y x =+-的图象，因为12log y x =的图象恒过(1,0)点，所以12(1)log 1y x =+-的图象经过点(2,1).故选：C【点睛】本题考查了对数型函数恒过定点问题，考查了函数图象的平移变换性质，属于基础题. 10．D【解析】试题分析：先将()f x 的图象的图像沿x 轴翻折，得到()f x -的图像，然后再将()f x -的图像向右平移1个单位长度，即可得到(1)y f x =-的图像，观察比较个选项，只有考点：函数图像的对称和平移. 11．C 【解析】试题分析：()()10,00f f -<>，所以零点在区间()1,0-. 考点：函数零点. 12．B 【解析】 【分析】用x 除以15所得余数分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14，其中当余数为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时结果就是商，但当余数为11,12,13,14时，函数值是商加1，因此可利用4x +后除以15取整得． 【详解】解：根据规定15推选一名代表，当各班人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加4，因此利用取整函数可表示为415x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 故选：B . 【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是怎样确定人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，函数值要在商基础上加1． 13．(3,)+∞ 【解析】【分析】结合对数的真数大于0，分母不为0以及0次幂底数不为0，即可求解。
2019-2020年高一上学期期末模拟测试数学含答案
2019-2020年高一上学期期末模拟测试数学含答案一、填空题（每题5分，共70分） 1、2log 25.0042)21()49()5(ln --++-= ▲ . 2、函数21(0,1)x y a a a -=+>≠不论a 为何值，恒过定点为 ▲ . 3、函数 )6cos(πω-=x y 的最小正周期为5π，其中0>ω，则ω= ▲ . 4、已知函数sin()y A x ωϕ=+（πϕ<<0，0ω>）为偶函数，则ϕ= ▲ .5、若正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =+= ▲ ．6、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是 ▲ .7、已知2tan =α，则ααcos sin ⋅= ▲ .8、在下列结论中，正确的命题序号是 ▲ ．（填序号） ①若a ∥b ，∥c ，则∥②模相等的两个平行向量是相等的向量； ③若=，则和都是单位向量； ④两个相等向量的模相等。
⑤0=+++9、函数()lg 1tan y x =-的定义域是 ▲ .10、已知函数22()(1)(2)f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小， 则实数a 的取值范围_____▲____．11、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，a x x f x++=2)(（a 为常数），则=-)1(f ▲ . 12、将函数f (x )=sin(2x －3π)的图象向左平移3π个单位,再将图象上各点的横坐标压缩到 原来的21, 那么所得到的图象的解析表达式为 ▲ .13、定义在R 上的偶函数()f x 满足()x f x f -=+)2(π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()sin f x x =，则5()3f π的值是____▲____. 14、对实数a 和b ，定义运算⎩⎨⎧>-≤-=⊗⊗11:""b a b b a a b a ，设函数R x x x x x f ∈-⊗-=),()2()(22。
北师大版高中数学必修第一册(2019)高一数学2020-2021学年第一学期期末模拟卷%28含解析)
北师大版高中数学必修第一册（2019）高一数学2020-2021学年第一学期期末模拟卷一、单选题1．已知条件p ：()()30x m x m --->﹔条件q ：22760x x -+->，若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．[)3,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．()3,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知正数x ，y 满足(1)2x y +=，则2x y +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．设函数11(1)()12(1)x x f x x x -⎧<⎪=-⎨⎪≥⎩，则(2)(2)f f -+=（ ）A ．53 B ．53- C ．73 D ．73-4．函数(0,1)x y a a a =>≠与b y x =的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）A ．0a b >B ．0a b +>C ．log 2a b >D ．1b a >5．已知2log 3a =，21log 52b =，1312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．b c a << C ．a b c << D ．c b a << 6．经统计某射击运动员随机命中的概率可视为310，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2表示没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7625，0283，7150，6857，0346，4376，8658，7855，1417，55500371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为（ ）A ．25B ．310C ．720D ．147．已知函数ln ,0()21,0x x x f x e x ⎧>=⎨-≤⎩，若关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]0,1B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．()1,0-8．在普通高中新课程改革中，某地实施“3＋1＋2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是（ ）A ．16B ．12C ．23D ．569．甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度v 1与v 2(v 1＜v 2)，甲前一半的路程使用速度v 1，后一半的路程使用速度v 2；乙前一半的时间使用速度v 1，后一半的时间使用速度v 2，关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程，C 是AB 的中点)，则其中可能正确的图示分析为A ．B ．C ．D ．二、多选题10．下列各组函数表示相同函数的有（ ）A ．()f x =()g x x =B ．()1f x =，()0g x x = C ．()1f x x =+，()211x g x x -=- D ．()(),0,,0,x x f x g t t x x ≥⎧==⎨-<⎩ 11．已知函数()2121x x f x -=+，下面说法正确的有（ ） A ．()f x 的图像关于原点对称B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的值域为()1,1-D ．12,x x ∀R ∈，且12x x ≠，()()12120f x f x x x -<-恒成立 12．已知函数()()2ln 2f x x x m =++，则（ ） A ．当1m <时，()f x 的定义域为R B ．()f x 一定存在最小值C ．()f x 的图象关于直线1x =-对称D ．当1m 时，()f x 的值域为R13．若关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有实数根1x ，2x ，且12x x <，则下列结论中正确的说法是（ ）A ．当0m =时，12x =，23x =B ．14m >- C ．当0m >时，1223x x <<< D ．当0m >时，1223x x <<<14．从集合{1,3,2,4}A =--中随机选取一个数记为a ，从集合{5,1,4}B =-中随机选取一个数记为b ，则（ ）A ．0ab >的概率是12B ．0a b +≥的概率是12C ．直线y ax b =+不经过第三象限的概率是13D ．ln ln 1a b +>的概率是51215．已知函数()221,0log 1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ） A ．2B ．6C ．5D ．4三、填空题 16．函数21214x x y -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]2,0x ∈-的值域为______. 17．已知样本123,,,,n x x x x 方差21s =，则样本12321,21,21,,21n x x x x ++++的方差为_______.18．若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()log (2)f x x =-，则()()02f f +=_____；19．已知函数()2200x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩，，，若关于x 的方程()()0f f x =有8个不同的实根，则a 的取值范围__________. 20．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率_____．四、解答题21．（1）当3a =时，求不等式2011x a x a ⎛⎫-++ ⎪⎭<⎝的解集﹔ （2）若关于x 的不等式2011x a x a ⎛⎫-++ ⎪⎭<⎝有且仅有一个整数解，求正实数a 的取值范围. 22．已知函数()121log 1ax f x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数.（1）求a 的值；（2）当[2,)x ∈+∞时，()12(log )f x x k >+恒成立，求实数k 的取值范围.23．已知定义域为R 的函数3()3xx a f x a-=+是奇函数. （1）求a 的值；（2）判断()f x 在(,)-∞+∞上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式()2(3)0f x x f x ++-<.24．某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛．大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛．在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为56，23，45，在实际操作考试中“合格”的概率依次为23，34，12，所有考试是否合格相互之间没有影响． （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的可能性最大？（2）这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率．25．知函数()()()2log 260,1a f x kx x a a =-+>≠ （1）若函数的定义域为R ，求实数k 的取值范围；（2）若函数()f x 在[1,2]上恒有意义，求k 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由26．已知函数1()(0,1)x x t f x a a a a -=+>≠是定义域为R 的奇函数. （1）求实数t 的值；（2）若1a >，且不等式()2(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实数b 的取值范围；（3）若()312f =，且221()2()x x h x a mf x a=+-在[)1,+∞上的最小值为-2，求m 的值.参考答案1．B解不等式()()30x m x m --->，解得x m <或3x m >+.解不等式22760x x -+->，即22760x x -+<，即()()2320x x --<，解得332x <<. 所以，:0p x <或3x m >+，3:32q x <<. 因为q 是p 的充分不必要条件，所以，322xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ {|x x m <或}3x m >+， 可得2m ≥或332m +≤，所以[)3,2,2m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦，2．A由(1)2x y +=，可得21y x=-则222113x y x x +=+-≥= 当且仅当1x y ==时取等号3．A21115(2)(2)222133f f --+=+=-=--. 故选：A4．C 由图可知，x y a =单调递增，则1a >；by x =单调递减，则0b <，A ：a b >0不一定成立，如3,1a b ==-；B ：0a b +>不一定成立，如2,3a b ==-；C ：log 20a b >>，成立；D ：1b a >不成立，1a >，0b <，01b a <<.故选：C.5．D221log 5log 2b ==222log 3log log 21>>=， 1a b ∴>>，10312112<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，1c ∴<c b a ∴<<.6．C【详解】由题意，该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为：7625，0346，5550，6233，8045，3661，7424，共7组，则该运动员射击4次恰好命中3次的概率为720. 故选：C.7．D作出函数ln ,0()21,0x x x f x e x ⎧>=⎨-≤⎩的图象如下，由图可知，当10a -<<时，直线y a =与()f x 的图象仅有一个交点，即关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数根，所以10a -<<.8．D从4门学科中任选2门共有：政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物、化学+生物，共6种情况其中满足政治和地理至少有一门被选中的有5种情况，所以其概率为56故选：D9．A10．ADA 选项中，()|f x x =与()g x x =定义域，对应关系都相同，故是相同的函数；B 选项中，()1f x =的定义域为R ，()0g x x =的定义域为{|0}x x ≠，故不是相同的函数；C 选项中，()1f x x =+的定义域为R ，()211x g x x -=-的定义域为{|1}x x ≠，故不是相同的函数；D 选项中，(),0,,0,x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ，(),0,0t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩定义域为R ，对应关系相同，故是相同的函数.11．AC对于选项A ，()2121x x f x -=+，定义域为R ，则2112()()2112x x x x f x f x -----===-++，则()f x 是奇函数，图象关于原点对称；对于选项B ，计算()2111213f -==+，()()1112111312f f --==-≠+，故()f x 的图象不关于y 轴对称； 对于选项C ，212()12112x x xf x -==-++，令(),112,x t t ∈+=+∞，2()1y f x t ==-， 易知(,21)11t--∈，故()f x 的值域为(1,1)-； 对于选项D ，212()12112x x x f x -==-++，令(),112,x t t ∈+=+∞，2()1y f x t ==-， 函数12x t =+在R 上单调递增，且21y t =-在()1,t ∈+∞上单调递增， 根据复合函数的单调性，可知2()112xf x =-+在R 上单调递增， 故12,x x ∀R ∈，且12x x ≠，()()12120f x f x x x -<-不成立.12．CDA 选项中，1m <，判别式440m ∆=->，则方程220x x m ++=有两个不等根，故函数()f x 的定义域应该在两根之外，定义域不为R ，错误；B 选项中，若0m =，则()()2ln 2f x x x =+的定义域为()(),20,-∞-+∞，值域为R ，没有最小值，错误；C 选项中，由于函数()2ln 1y x m =+-为偶函数，其图象关于y 轴对称，将该函数的图象向左平移一个单位即可得到函数()()2ln 2f x x x m =++()2ln 11x m ⎡⎤=++-⎣⎦的图象， 此时对称轴为1x =-，正确；D 选项中，1m 时，判别式440m ∆=-≥，函数22y x x m =++能够取遍()0,∞+上的每一个实数， 故函数()f x 的值域为R ，正确；故选：CD13．ABD当0m =时，方程()()23x x m --=可化为()()230x x --=，解得12x =，23x =；A 正确；令()()()225112356244f x x x x x x ⎛⎫=--=-+=--≥- ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质，为使方程()()23x x m --=有两不等实根，只需()min 14m f x >=-，即B 正确；因为方程()()23x x m --=有两个不等实根，所以函数()()()23f x x x =--与直线y m =有两不同交点，作出函数()()()23f x x x =--图象，由图象可得，当0m >时，1223x x <<<，即C 错，D 正确.14．AC由题意可得(),a b 所有可能的取法有(1,5)--，(1,1)-，(1,4)-，(3,5)--，(3,1)-，()3,4-，(2,5)-，(2,1)，(2,4)，(4,5)-，(4,1)，(4,4)共12种，对于选项A ：满足0ab >的取法有)(1,5),(3,5),(2,1,(2,4),(4,1),(4,4)----共6种，所以0ab >的概率61122P ==，故选项A 正确； 对于选项B ：满足0a b +≥的取法有(1,1),(1,4 ) ,(3,4),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4)---，共7种，所以0a b +≥的概率712P =，故选项B 不正确； 对于选项C ：因为直线y ax b =+不经过第三象限，所以0,0a b <≥，所有满足直线y ax b =+不经过第三象限的取法有(1,1),(1,4),(3,1),(3,4)----，共4种，所以直线y ax b =+不经过第三象限的概率41123P ==，故选项C 正确；对于选项D ：因为ln ln ln 1a b ab +=>，所以0,0,a b ab e >>>，所有满足ln ln 1a b +>的取法有(2,4),(4,1),(4,4)，共3种，故ln ln 1a b +>的概率31124P ==，故选项D 不正确， 故选：AC15．ACD画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，1t =，则0<≤故111<+≤+111≤<，当1t =()1f x =-(1,1)∈-，则x 有2解，当1t =t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,1∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD16．[]3,1- 解：()221212421,[2,0]4x x xx y x ---⎛⎫=-+=-⋅+∈- ⎪⎝⎭令[]21,4x t -=∈，则()224123,[1,4]y t t t t =-+=--∈， ∴当2t =时，3y =-；当1t =时2y =-；当4t =时，1y =所以()[]2233,1y t =--∈-，故答案为：[]3,1-17．4由题意，样本数据123,,,,n x x x x 的方差21s =， 设样本12321,21,21,,21n x x x x ++++的方差为21S ，则222212214S s =⨯=⨯=.故答案为：4.18．2- ()f x 是R 上奇函数，(0)0f =，(2)(2)2f f =--=-，(0)(2)2f f +=-.故答案为：2-19．()8,+∞若0a ≤，当0x <时，()20f x x a =+<恒成立；当0x ≥时，由()()20f x x ax x x a =-=-=得0x =；即()0f x =仅有0x =一个根； 所以由()()0f f x =可得()0f x =，则0x =；即方程()()0f f x =仅有一个实根；故不满足()()0f f x =有8个不同的实根；若0a >时, 画出()2200x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩，，的大致图象如下，由()()0f f x =可得()12f x a =-，()20f x =，()3f x a =，又()()0f f x =有8个不同的实根，由图象可得，()20f x =显然有三个根，()3f x a =显然有两个根，所以()12f x a =-必有三个根，而20a -<，2222244a a a y x ax x ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭， 为使()12f x a =-有三个根，只需224a a ->-，解得8a >； 综上可知，8a >.故答案为：()8,+∞.20．38任取一卦的所有可能的结果有8卦，其中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件有3卦，所以恰有2根阳线和1根阴线的概率为38P =， 故答案为：38 21．（1）133x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）12a <≤或112a ≤<. 【分析】(1)把 3a =代入2011x a x a ⎛⎫-++ ⎪⎭<⎝中，十字相乘法分解因式即可求解. (2)把 2011x a x a ⎛⎫-++ ⎪⎭<⎝变形为()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，再分1a a =，1a a >，1a a <三种情况讨论即可. 【详解】解:（1）当3a =时，不等式为210103x x -+<， 即()1303x x ⎛-⎫ ⎪⎝⎭-<，解得133x <<. 所以不等式的解集为133xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. (2)原不等式可化为()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭， ①当1a a=，即1a =时，原不等式的解集为∅，不满足题意②当1a a >，即1a >时，1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此时101a<<，所以12a <≤； ③当1a a <，即01a <<时，1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以只需112a<≤，解得112a ≤< 综上所述，正实数a 的取值范围是12a <≤或112a ≤<. 22．（1）1a =-；（2）(1,)+∞.解：（1）函数()f x 的图象关于原点对称， ∴函数()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-， 即111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----， 即1111ax x x ax+-=---， 整理得：()2210a x -=， 又上式对定义域内任意的x 均成立，210a ∴-=，解得：1a =-或1a =(舍)；（2）由（1）知，()121log 1x f x x +=-， ()()12log f x x k ∴>+， 即()11221log log 1x x k x +>+-， 1012<<， 11x x x k +∴-<+， 即11x k x x +>--在[2,)+∞上恒成立， 令()11x g x x x +=--，[)2,x ∈+∞， 则()max k g x >，易得()211g x x x =-+-，且()g x 在[2,)+∞上单调减， ()()max 21g x g ∴==，1k ∴>，故实数k 的取值范围为(1,)+∞.23．（1）1a =；（2）该函数为减函数，证明见解析；（3）{|3x x <-或1}x >.（1）函数3()3xx a f x a -=+是R 上的奇函数，所以1(0)=01a f a -=+， 解得：1a =，经检验满足题意； （2）由（1）值132()13131x x x f x -==-++，可判断该函数为减函数，证明如下：设120x x <<，211212*********(33)()()1131313131(31)(31)x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， ∵120x x <<，211233,310,310x x x x ∴>+>+>，所以12())0(f x f x ->，12()()f x f x >，()f x 单调递减；（3）因为()f x 是R 上的奇函数，且单调递减，所以()()22(3)0(3)(3)f x x f x f x x f x f x ++-<⇔+<--=-， 所以23x x x +>-，解得3x <-或1x >，所以解集为{|3x x <-或1}x >.24．（1）甲；（2）1130． （1）设“甲获下一轮比赛”为事件A ，“乙获得下一轮比赛”为事件B ，“丙获得下一轮比赛”为事件C ，则A ，B ，C 以及A ，B ，C 的每两次考试之间彼此相互独立． 因为()525639P A =⨯=，()231342P B ⨯=，()412525P C =⨯=． 因为()()()P A P B P C >>，所以甲获得下一轮比赛的可能性最大．（2）设“三人考试后恰有两人获得下一轮比赛”为事件D ，则D ABC ABC ABC =++． 由()51215192590P ABC ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()512119259P ABC ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭， ()5128192590P ABC ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭．可知()()15183311909909030P D P ABC ABC ABC =++=++==． 即这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，恰有两人获得下一轮比赛的概率为1130． 25．（1）16k >；（2）12k >-；（3）存在，29a k = 解：（1）因为函数的定义域为R ，则2260kx x -+>在R 上恒成立，当0k =时，260x -+>，得3x <，不合题意舍去；当0k ≠时，04240k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得16k >， 综合得16k >； （2）函数()f x 在[1,2]上恒有意义，即2260kx x -+>在[1,2]上恒成立226kx x ∴>-，226k x x∴>-恒成立， 令1t x =，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则262y t t =-+，当12t =时，2max 11162222y ⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭， 12k ∴>-； （3）当1a >时，()012log 92362a k k k >⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()013log 92362a k k k <⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩， 解得21,99a k k =>，当01a <<时，()013log 92362a k k k >⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()012log 92362a k k k <⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩， 解得21,099a k k =<<． 故存在实数29a k =，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2． 26．（1）2t =；（2）()3,5-；（3）2m =.解：（1）因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，所以()110t +-=，所以2t =.又当2t =时，1()x x f x a a =-，此时()1()x x f x a f x a-=-=-， ()f x 是定义域为R 的奇函数，故2t =.（2）由（1）知：1()(0,1)x xf x a a a a =->≠， 因为1a >，所以1()x x f x a a=-是R 上的单调递增，又()f x 是定义域为R 的奇函数， 所以()()222(4)0(4)4f x bx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>-， 即240x bx x +-+>在R 上恒成立，所以()21160b ∆=--<，即35b -<<，所以实数b 的取值范围为()3,5-. （3）因为()312f =，所以132a a -=，解得2a =或12a =-(舍去)，所以2221111()22222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令1()22x x u f x ==-，则222()g u u mu =-+， 因为1()22x x f x =-在R 上为增函数，且1≥x ，所以312()u f ≥=， 因为221()22()2x xh x mf x =+-在[)1,+∞上的最小值为-2， 所以222()g u u mu =-+在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为-2，因为22222()2)(g u u mu u m m =-+=-+-的对称轴为u m =， 所以当32m ≥时，2min ()()22g u g m m ==-=-，解得2m =或2m =-(舍去)， 当32m <时，min 317()3224g u g m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，解得2512m =(舍去). 所以综上所述，2m =.。
北大附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
北大附中2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知变量a b 、已被赋值，要交换a b 、的值，采用的算法是（ ）A ．a b =，b a =B ．a c =，b a =，c b =C ．a c =，b a = ，c a =D ．c a =，a b =，b c =2.从某年纪1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）A ．1000名学生是总体B ．每个被抽查的学生是个体C ．抽查的125名学生的体重是一个样本D ．抽取的125名学生的体重是样本容量3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ． 34.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是（ ）A.抽签法B.有放回抽样C.随机抽样D.系统抽样5.下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是（ ）A.某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3: 2 :8 :2,从中抽取200人入样B 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样6.某学院A B C 、、三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为（ ）A ．30B ．40 C. 50 D ．607.当5x =，20y =-时，下边程序运行后输出的结果为（ ）A ．22，-22B ．22,22 C. 12，-12 D ．-12,128.现要完成下列3项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈;③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题文(含解析)
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1.化简所得的结果是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则，，代入要求的式子化简．【详解】解：，故选：．【点睛】本题考查两个向量加法的三角形法则、几何意义，及其应用，属于基础题．2.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，只需解析式有意义即可求出.【详解】要使函数有意义，则需满足：，解得所以定义域为，故选A【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数定义域问题，属于中档题.3.化简的结果是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：.4.函数的一个零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求函数零点所在的区间，利用零点存在性定理．故先判断在定义域连续．再求得，．进而可得．可得函数的一个零点所在区间为．详解：因在定义域连续．所以，所以函数的一个零点所在区间为．故选B．点睛：求函数零点所在的区间，利用零点存在性定理．函数在区间上为连续函数，若，则函数在区间上至少存在一个零点．若函数在区间上为单调函数，若，则函数在区间上只有一个零点．5.下列四组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】可以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现，，选项中的两个向量均共线，得到正确结果是．【详解】解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，中两个向量是，两个向量共线，不合要求中两个向量不存在实数，使得，两个向量不共线，中两个向量，两个向量共线，中两个向量是，两个向量共线，故选：．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的判定，属于基础题.6.若是第二象限角，则下列结论一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意分析可能的象限，再利用三角函数在第一、三象限内的函数值的符号，即可得到结论．【详解】∵，∴．当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角．观察四个选项，可知一定成立，故选C．【点睛】本题考查了半角所在的象限问题，考查了三角函数值在各个象限的符号，考查判断能力，属于基础题．7.如图，为互相垂直的单位向量，向量可表示为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图形求出向量，再由向量的运算法则可得结果.【详解】观察图形知:.故选：C.【点睛】本题主要考查向量的基本运算以及数形结合思想的应用，属于基础题.8.为了得到函数的图象，可将函数的图象（）A. 向左平移个长度单位B. 向左平移个长度单位C. 向右平移个长度单位D. 向右平移个长度单位【答案】D【解析】试题分析：，根据函数图象的左加右减原则，需要将函数的图象向右平移个长度单位.考点：本小题主要考查三角函数图象的平移.点评：三角函数图象的平移遵循“左加右减”的原则，注意左右平移的单位是针对x而言的.9.已知，则=( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出的值，原式利用同角三角函数间基本关系弦化切后将的值代入计算即可求出值．【详解】解：故选：【点睛】此题考查了运用诱导公式以及同角三角函数的基本关系化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题．10.下列四个等式：①；②；③；④=4，其中正确的是( )A. ①④B. ①②C. ②③D. ③④【答案】A【解析】【分析】根据三角恒等变换一一计算可得.【详解】解：①；，故①正确；②；，故②错误；③，故③错误；④故④正确综上，正确的有①④，故选：【点睛】本题考查三角恒等变换，公式的熟练记忆是解答的关键，属于中档题.11.已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为( )A. B.C. {x|且}D. {x|且}【答案】C【解析】【分析】由已知向量的夹角为锐角，得到数量积大于0，并且不共线，由此得到所求．【详解】解：因为向量，，又与的夹角为锐角，所以，得到，又与不共线，所以，则，所以实数的取值范围为且；故选：．【点睛】本题考查向量的数量积公式的运用；由数量积公式得到关于的不等式；特别注意数量积大于0与夹角为锐角不等价，属于基础题．12.关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（,）单调递减③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．【详解】解：则函数是偶函数，故①正确，当，时，，，则为减函数，故②正确，当时，，由得得或，由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在，有3个零点，故③错误，当，时，取得最大值2，故④正确，故正确是①②④，故选：．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上）13.若函数的最小正周期是，则的值为___________；【答案】4【解析】【分析】根据正切函数的周期公式求解.【详解】解：的最小正周期是故答案为：【点睛】本题考查正切函数的最小正周期的计算，属于基础题.14.已知向量，则向量在向量的方向上的投影为【答案】【解析】【分析】可得所求为，代入已知数据，计算即可得到答案【详解】，由题意可得在方向上的投影为：故答案为【点睛】本题考查的是向量的投影问题和数量积的运算，本题解题的关键是正确利用投影公式，写出投影的大小，主要分清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，属于基础题．15.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则________.【答案】2【解析】【详解】由可知，,所以，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，.16.已知则的值为________.【答案】0【解析】【分析】由余弦函数先求得的周期，再求得一个周期内的函数值，即可求解.【详解】即是以为周期的周期函数，，，，，，，，故答案为：【点睛】本题考查余弦函数的周期的应用以及特殊角的三角函数值，属于基础题.三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知,求的值.【答案】【解析】【分析】由两角差的正切公式可得，代入已知数据计算可得．【详解】解：，，【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，解答的关键是凑角，属于基础题．18.如图，已知平行四边形，是与的交点，设．（Ⅰ）用表示和；（Ⅱ）若，，求．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）【解析】【详解】解：（Ⅰ）依题意可知，是中点，（Ⅱ）,，．【点睛】本题考查向量的加减运算，向量的数量积，属于基础题.19.（Ⅰ）已知求的值；（Ⅱ）已知求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）将两边平方，利用二倍角的正弦公式求解；（Ⅱ）利用两角和与差的余弦公式求出，的值，再利用同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】解：（Ⅰ），（Ⅱ）【点睛】本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系以及两角和差的余弦公式，属于中档题.20.如图是函数在长度为一个周期的闭区间上的部分图象，其中，点是图象与轴的交点，点是图象与轴的一个交点，点是图象的最高点．（Ⅰ）已知函数的定义域为，求函数的解析式；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由图可知，，根据周期公式计算出，再由函数过点，代入求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求、、的坐标，即可表示出、的坐标，根据向量的数量积的坐标运算计算可得.【详解】解：（Ⅰ）依题意可知，，，由图象过点知：，即，又，（Ⅱ）显然，令得，，，，．【点睛】本题考查向量的数量积，五点作图法画函数图象，属于基础题.21.已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求函数的对称中心；（Ⅱ）若函数的最小值为，求实数的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】【分析】（Ⅰ）当时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得.（Ⅱ）将函数化简为的形式，分类讨论可得.【详解】解：（Ⅰ）当时，由得：的对称中心为（Ⅱ）当时，则有解得当时，，不合题意当时，则有解得综上或．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．22.已知向量，设函数．（Ⅰ）求的值域（Ⅱ）设函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，若不等式有解，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的数量积的坐标运算可得函数的解析式，化成二次函数型函数，求得值域；（Ⅱ）首先根据三角函数的变换规则求得的解析式，要使在有解，即不等式在有解，令求出函数的最小值，即可得实数的取值范围．【详解】解：（1），的值域为（2）函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，，依题意，不等式有解，设，令，则函数的值域为.故实数的取值范围为.【点睛】本题考查正弦函数的性质，二次函数的性质以及辅助角公式，属于中档题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1.化简所得的结果是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则，，代入要求的式子化简．【详解】解：，故选：．【点睛】本题考查两个向量加法的三角形法则、几何意义，及其应用，属于基础题．2.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，只需解析式有意义即可求出.【详解】要使函数有意义，则需满足：，解得所以定义域为，故选A【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数定义域问题，属于中档题.3.化简的结果是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：.4.函数的一个零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求函数零点所在的区间，利用零点存在性定理．故先判断在定义域连续．再求得，．进而可得．可得函数的一个零点所在区间为．详解：因在定义域连续．所以，所以函数的一个零点所在区间为．故选B．点睛：求函数零点所在的区间，利用零点存在性定理．函数在区间上为连续函数，若，则函数在区间上至少存在一个零点．若函数在区间上为单调函数，若，则函数在区间上只有一个零点．5.下列四组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】可以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现，，选项中的两个向量均共线，得到正确结果是．【详解】解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，中两个向量是，两个向量共线，不合要求中两个向量不存在实数，使得，两个向量不共线，中两个向量，两个向量共线，中两个向量是，两个向量共线，故选：．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的判定，属于基础题.6.若是第二象限角，则下列结论一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意分析可能的象限，再利用三角函数在第一、三象限内的函数值的符号，即可得到结论．【详解】∵，∴．当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角．观察四个选项，可知一定成立，故选C．【点睛】本题考查了半角所在的象限问题，考查了三角函数值在各个象限的符号，考查判断能力，属于基础题．7.如图，为互相垂直的单位向量，向量可表示为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图形求出向量，再由向量的运算法则可得结果.【详解】观察图形知:.故选：C.【点睛】本题主要考查向量的基本运算以及数形结合思想的应用，属于基础题.8.为了得到函数的图象，可将函数的图象（）A. 向左平移个长度单位B. 向左平移个长度单位C. 向右平移个长度单位D. 向右平移个长度单位【答案】D【解析】试题分析：，根据函数图象的左加右减原则，需要将函数的图象向右平移个长度单位.考点：本小题主要考查三角函数图象的平移.点评：三角函数图象的平移遵循“左加右减”的原则，注意左右平移的单位是针对x而言的.9.已知，则=( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出的值，原式利用同角三角函数间基本关系弦化切后将的值代入计算即可求出值．【详解】解：故选：【点睛】此题考查了运用诱导公式以及同角三角函数的基本关系化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题．10.下列四个等式：①；②；③；④=4，其中正确的是( )A. ①④B. ①②C. ②③D. ③④【答案】A【解析】【分析】根据三角恒等变换一一计算可得.【详解】解：①；，故①正确；②；，故②错误；③，故③错误；④故④正确综上，正确的有①④，故选：【点睛】本题考查三角恒等变换，公式的熟练记忆是解答的关键，属于中档题.11.已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为( )A. B.C. {x|且}D. {x|且}【答案】C【解析】【分析】由已知向量的夹角为锐角，得到数量积大于0，并且不共线，由此得到所求．【详解】解：因为向量，，又与的夹角为锐角，所以，得到，又与不共线，所以，则，所以实数的取值范围为且；故选：．【点睛】本题考查向量的数量积公式的运用；由数量积公式得到关于的不等式；特别注意数量积大于0与夹角为锐角不等价，属于基础题．12.关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（,）单调递减③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．【详解】解：则函数是偶函数，故①正确，当，时，，，则为减函数，故②正确，当时，，由得得或，由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在，有3个零点，故③错误，当，时，取得最大值2，故④正确，故正确是①②④，故选：．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上）13.若函数的最小正周期是，则的值为___________；【答案】4【解析】【分析】根据正切函数的周期公式求解.【详解】解：的最小正周期是故答案为：【点睛】本题考查正切函数的最小正周期的计算，属于基础题.14.已知向量，则向量在向量的方向上的投影为【答案】【解析】【分析】可得所求为，代入已知数据，计算即可得到答案【详解】，由题意可得在方向上的投影为：故答案为【点睛】本题考查的是向量的投影问题和数量积的运算，本题解题的关键是正确利用投影公式，写出投影的大小，主要分清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，属于基础题．15.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则________.【答案】2【解析】【详解】由可知，,所以，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，.16.已知则的值为________.【答案】0【解析】【分析】由余弦函数先求得的周期，再求得一个周期内的函数值，即可求解.【详解】即是以为周期的周期函数，，，，，，，，故答案为：【点睛】本题考查余弦函数的周期的应用以及特殊角的三角函数值，属于基础题.三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知,求的值.【答案】【解析】【分析】由两角差的正切公式可得，代入已知数据计算可得．【详解】解：，，【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，解答的关键是凑角，属于基础题．18.如图，已知平行四边形，是与的交点，设．（Ⅰ）用表示和；（Ⅱ）若，，求．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）【解析】【详解】解：（Ⅰ）依题意可知，是中点，（Ⅱ）,，．【点睛】本题考查向量的加减运算，向量的数量积，属于基础题.19.（Ⅰ）已知求的值；（Ⅱ）已知求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）将两边平方，利用二倍角的正弦公式求解；（Ⅱ）利用两角和与差的余弦公式求出，的值，再利用同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】解：（Ⅰ），（Ⅱ）【点睛】本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系以及两角和差的余弦公式，属于中档题.20.如图是函数在长度为一个周期的闭区间上的部分图象，其中，点是图象与轴的交点，点是图象与轴的一个交点，点是图象的最高点．（Ⅰ）已知函数的定义域为，求函数的解析式；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由图可知，，根据周期公式计算出，再由函数过点，代入求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求、、的坐标，即可表示出、的坐标，根据向量的数量积的坐标运算计算可得.【详解】解：（Ⅰ）依题意可知，，，由图象过点知：，即，又，（Ⅱ）显然，令得，，，，．【点睛】本题考查向量的数量积，五点作图法画函数图象，属于基础题.21.已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求函数的对称中心；（Ⅱ）若函数的最小值为，求实数的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】【分析】（Ⅰ）当时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得.（Ⅱ）将函数化简为的形式，分类讨论可得.【详解】解：（Ⅰ）当时，由得：的对称中心为（Ⅱ）当时，则有解得当时，，不合题意当时，则有解得综上或．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．22.已知向量，设函数．（Ⅰ）求的值域（Ⅱ）设函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，若不等式有解，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的数量积的坐标运算可得函数的解析式，化成二次函数型函数，求得值域；（Ⅱ）首先根据三角函数的变换规则求得的解析式，要使在有解，即不等式在有解，令求出函数的最小值，即可得实数的取值范围．【详解】解：（1），的值域为（2）函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，，依题意，不等式有解，设，令，则函数的值域为.故实数的取值范围为.【点睛】本题考查正弦函数的性质，二次函数的性质以及辅助角公式，属于中档题.。
2020-2021学年北师大版高一数学上学期期末检测试题及答案解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修四上学期期末检测 高一数学(乙卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共21小题．共150分。
共4页，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3、请保持卡面清洁，不折叠、不破损。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
)1.已知角α的终边经过点(0,4)P -，则tan α=A ． 0B ．4-C ．4D ． 不存在 2.设,12e e 是两个单位向量，则下列结论中正确的是A ．=12e eB ．∥12e eC ．=-12e eD ．|||=12|e e3. 已知向量||=a ，||=b ,3⋅=-a b ，则a 与b 的夹角是 A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒4.代数式sin120cos210o o的值为A ．34-B C ．32- D ．145.若()1cos 3πα+=-，则cos α的值为A ．B ．13-C ．13D 6. 若14tan(),tan 33αββ-==,则等于tan αA ．3-B ．13-C ．3D ．137. 如图所示,矩形ABCD 中,4,AB = 点E 为AB 中点, 若DE AC ⊥u u u r u u u r,则||DE =u u u rA.52B. 23C.3D.228.函数sin 2y x =是A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 9. 函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解析式为 A ．x y 2sin = B ．x y 2cos = C ．)322sin(π+=x y D ．)62sin(π-=x y 10. 1()21x f x a =++是奇函数，则a = A. 12- B. 12C. 1-D. 111. 设函数()sin(),(0.0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+≠><的图象关于直线23x π=对称，它的周期是π，则A ．()f x 的图象过点1(0,)2B ．()f x 在52[,]123ππ上是减函数 C ．()f x 的一个对称点中心是5(,0)12πD ．()f x 的最大值是A 12.已知函数31()cos 2f x x x =+，则()12f π= A ．22B ．32C ．1D 2EDCBA第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4个小题．每小题5分．共20分)13. 若(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则a 在b 方向上的投影为________．14. 1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形面积是_______. 15. 函数21()log (2)f x x =-的定义域是．16. 如右图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上一点，G为AC 与DE 的交点，且3AG GC =u u u r u u u r ，若AB =u u u ra ，AD =u u u r b ，则用,a b 表示BG =u u u r .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明。
2019-2020学年北京北京高一上数学期末试卷
2019-2020学年北京北京高一上数学期末试卷一、填空题1. 已知直线方程为y −3=−√3x −4，则该直线的倾斜角是________.2. 经过点A (2,−1)且与直线3x +4y −6=0平行的直线方程为________.3. 设z =(2−i )2（i 为虚数单位），则复数z 的模为________．4. 设向量a →=(1,2)，b →=(2,3)，若向量λa →+b →与向量c →=(−4,−7)共线，则λ=________.5. 已知向量a →，b →夹角为45∘，且|a →|=1，|2a →−b →|=√10，则|b →|=________．6. 直线l 的方程为5ax −5y −a +3=0，则直线l 必过定点________.7. 以A (1,3)和B (−5,1)为端点的线段AB 的中垂线方程是________．8. 与直线3x +4y +2=0的距离等于l 的直线方程为________.9. 在△ABC 中，下列命题中所有正确命题的代号是________. ①AB →−AC →=BC →； ②AB →+BC →+CA →=0→；③若(AB →+AC →)⋅(AB →−AC →)=0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →⋅AB →>0，则△ABC 为锐角三角形．10. 已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m +2i =2−ni ，则m+nim−ni 的共轭复数为________．11. 经过点M (2,2)且在两轴上截距相等的直线是________．12. 若关于x ，y 的方程x 2+y 2−2x −4y +m =0表示圆，则实数m 的取值范围是________．13. 已知圆的方程为(x −1)2+(y −1)2=9，过圆内一点P (2,3)作弦，则最短弦长为________.14. 若圆(x −4)2+(y +3)2=r 2(r >0)上有且只有两个点到直线4x −3y −6=0的距离为2，则半径r 的取值范围是________．15. 如图，ABCD 是边长为4的正方形，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上，则PC →⋅PD →的取值范围是________．16. 如图，α∈(0,π2)∪(π2,π)，当∠xOy =α时，定义平面坐标系xOy 为 α− 仿射坐标系．在α−仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：e 1→，e 2→分别为与x 轴、y 轴正向相同的单位向量，若OP →=xe →1+ye →2，则记为OP →=(x,y)．若在仿射坐标系中，已知a →=(m,n )，b →=(s,t )，下列结论中正确的是________．①若a →=b →，则m =s ，n =t ； ②若a →//b →，则mt −ns =0； ③若a →⊥b →，则ms +nt =0 ；④若m =t =1，n =s =2，且a →与b →的夹角π3，则α=2π3．17. 设两个非零向量e 1→和e 2→不共线． （1）如果 AB →=e 1→+e 2→，BC→=2e 1→+8e 2→，CD→=3e 1→−3e 2→，求证：A ，B ，D 三点共线；（2）若|e 1→|=2，|e 2→|=3，e 1→与e 2→的夹角为60∘，是否存在实数m ，使得me 1→+e 2→与e 1→−e 2→垂直？18. 如图，已知△OCB 中，B 、C 关于点A 对称，D 是将OB 分成2:1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →=a →，OB →=b →．（1）用a →，b →表示向量OC →，DC →．（2）若OE →=λOA →，求实数λ的值．19. 已知在平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是2+3i 和1+4i ． （1）分别求AD →，BD →对应的复数；（2）若以AC 为一边，构造一个等边△ACP ，求AP →对应的复数．20. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆与直线x −√3y −4=0相切． （1）求圆O 的方程；（2）若已知点P (1,2) ，过点P 作圆O 的切线，求切线的方程；（3）设点M (x,y )为圆O 上任一动点，写出y−2x−1的取值范围（直接写答案）．21. 已知一曲线是与定点P (52，−2),Q (7,−2)距离之比为12的点的轨迹， （1）求此曲线C 方程；（2）若点T (m,−2)在曲线C 的内部，求m 的取值范围；（3）是否存在斜率是l 的直线l ，使l 被曲线C 截得的弦AB ，且以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年北京北京高一上数学期末试卷一、填空题1.【答案】【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】【考点】复数的模【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】【考点】平行向量的性质平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】【考点】平面向量数量积的运算向量的模【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】【考点】直线系方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】【考点】直线系方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】【考点】直线的一般式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】【考点】命题的真假判断与应用平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】i【考点】复数的运算【解析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式．【解答】m，n∈R，且m+2i＝2−ni，可得m=2，n=−2，m+ni m−ni =2−2i2+2i=1−i1+i=(1−i)(1−i)2=−i．它的共轭复数为i，故答案为i．11.【答案】【考点】直线的截距式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】m<5（或(−∞, 5)）【考点】二元二次方程表示圆的条件【解析】根据圆的一般式方程x2+y2+dx+ey+f=0(d2+e2−4f>0)，列出不等式4+16−4m>0，求m的取值范围．【解答】解：关于x，y的方程x2+y2−2x−4y+m=0表示圆时，应有4+16−4m>0，解得m<5，故答案为：(−∞, 5)．13.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】[0, 16]【考点】平面向量数量积的运算【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系，可得C(2, 4)，D(−2, 4)，P(2cosα, 2sinα)，得到PC→、PD→坐标，用向量数量积的坐标公式化简，得PC→⋅PD→=16−16sinα，再结合α∈[0, π]，不难得到PC→⋅PD→的取值范围．【解答】解：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系则圆弧APB方程为x2+y2=4，(y≥0)，C(2, 4)，D(−2, 4)因此设P(2cosα, 2sinα)，α∈[0, π]∴PC→=(2−2cosα, 4−2sinα)，PD→=(−2−2cosα, 4−2sinα)，由此可得PC→⋅PD→=(2−2cosα)(−2−2cosα)+(4−2sinα)(4−2sinα)=4cos2α−4+16−16sinα+4sin2α=16−16sinα化简得PC→⋅PD→=16−16sinα∵α∈[0, π]，sinα∈[0, 1]∴当α=0或π时，PC→⋅PD→取最大值为16；当α=π2时，PC→⋅PD→取最小值为0．由此可得PC→⋅PD→的取值范围是[0, 16]故答案为：[0, 16]16.【答案】【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】【考点】向量的共线定理平行向量的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 18. 【答案】解：（1）由题意知A 是BC 的中点，且OD →=23OB →， 由平行四边形法则得OB →+OC →=2OA →， 则OC →=2OA →−OB →=2a →−b →，则DC →=OC →−OD →=2a →−b →−23b →=2a →−53b →． （2）由图知EC → // DC →，∵ EC →=OC →−OE →=2a →−b →−λa →=(2−λ)a →−b →，DC →=2a →−53b →， ∴2−λ2=−1−53，解得λ=45．【考点】向量加减混合运算及其几何意义 【解析】（1）根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用a →，b →表示向量OC →，DC →． （2）根据向量关系的条件建立方程关系，求实数λ的值． 【解答】解：（1）由题意知A 是BC 的中点，且OD →=23OB →，由平行四边形法则得OB →+OC →=2OA →， 则OC →=2OA →−OB →=2a →−b →，则DC →=OC →−OD →=2a →−b →−23b →=2a →−53b →． （2）由图知EC → // DC →，∵ EC →=OC →−OE →=2a →−b →−λa →=(2−λ)a →−b →，DC →=2a →−53b →， ∴2−λ2=−1−53，解得λ=45．19.【答案】【考点】平行向量的性质 复数的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 20.【答案】 【考点】直线与圆的位置关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 21.【答案】 【考点】圆锥曲线的轨迹问题与直线有关的动点轨迹方程【解析】此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试联考试题(含解析)
2019-2020学年高一数学上学期期末考试联考试题（含解析）第Ⅰ卷一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定集合，由集合运算的定义求解．【详解】因为集合，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】使解析式有意义，因此必须有且．【详解】由，得，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围．3.若直线与平行，则的值为（）A. 1B. -1C.D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行的充要条件计算．【详解】因为直线与平行，所以，解得.故选：B.【点睛】本题考查两直线平行的充要条件．两直线平行，是必要条件，不是充要条件，仅由求出参数值，一般要代入直线方程检验是否平行．4.函数的零点所在的区间是( )A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.已知,,,则的边上的中线所在的直线方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】计算得到，，再计算直线方程得到答案.【详解】的中点为,,∴边上的中线所在的直线方程为,即.故选：【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.6.若直线被圆截得的弦长为,则( )A. B. 5 C. 10 D. 25【答案】B【解析】【分析】圆的圆心坐标为,半径，根据弦长得到，计算得到答案.【详解】圆的圆心坐标为,半径,直线被圆截得的弦长为,可得圆心到直线的距离为,则.故选：【点睛】本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力.7.若实数，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】与中间值 0和1比较后可得．【详解】因为对数函数是单调递减的，所以，同理，，所以，而，所以.故选：B.【点睛】本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论．8.已知圆柱的底面圆的面积为，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】圆柱轴截面的对角线是球的直径，由此可求得球半径．【详解】因为圆柱的底面圆的面积为，所以圆柱的底面圆的半径为，又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，所以该球的半径，则该球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查球与内接圆柱的关系，可通过作圆柱的轴截面与球联系，圆柱的轴截面矩形的外接圆是球的大圆．9.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除A、B，再根据函数值的正负情况，即可判断.【详解】由题意，，即是定义在上的奇函数，所以排除A，B；当时，；当时，，排除D故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图，得到原几何体，结合三视图中的线段长度，计算出每部分的表面积，从而得到答案.【详解】由三视图可知,该几何体由一个半球与一个圆锥拼接而成，且球的半径和圆锥底面圆半径相同，如图所示由三视图可知，半球半径为，所以半球的表面积为，圆锥的底面圆半径为，母线长为，所以圆锥的侧面积为，所以该几何体的表面积.故选：A.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，求球的表面积和圆锥侧面积，属于简单题.11.已知,,点是圆:上的动点,则的最小值为( )A. 9B. 14C. 18D. 26【答案】D【解析】【分析】设为坐标原点，，化简得到，再计算得到答案.【详解】设为坐标原点,,则,又,所以.故选：【点睛】本题考查了圆相关的最值问题，变换是解题的关键.12.设,,分别是方程,,的实根,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项【详解】由题,对于,由与的图像,如图所示,可得；对于,由与的图像,如图所示,可得；对于,由与的图像,如图所示,可得或故【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想第Ⅱ卷二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为______.【答案】【解析】【分析】求出圆心坐标和半径可得．【详解】因为圆心的坐标为，，所以该圆的标准方程为.故答案为：．【点睛】本题考查求圆的标准方程，属于基础题．14.已知函数是幂函数，则______.【答案】27【解析】【分析】根据幂函数定义求出参数．【详解】因为是幂函数，所以，解得，即，所以.故答案为：27.【点睛】本题考查幂函数的概念，属于基础题．15.已知圆：与圆：，则两圆的公共弦所在的直线方程为______.【答案】【解析】分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．【详解】将圆：化为，联立两圆方程两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查两圆相交，求公共弦所在直线方程．不需要求出交点坐标，只要两圆方程相减即得．16.如图，在中，，，分别为，边上的中点，且，.现将沿折起，使得到达的位置，且，则______.【答案】【解析】【分析】由于折叠过程中与和的垂直关系保持不变，因此可得平面，结合平行的性质可得，然后在直角三角形中可求得.【详解】易知，，，所以平面，因为，，所以.又，所以平面，所以，从而.故答案为：．【点睛】本题考查空间图形折叠问题，考查线面垂直的判定定理和性质定理．属于中档题．三､解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.已知直线的方程为，与垂直且过点.（1）求直线的方程；（2）若直线经过与的交点，且垂直于轴，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由垂直求出直线斜率，写出点斜式方程后化简即可．（2）求出直线与的交点坐标可得方程．【详解】解：（1）由与垂直，则可设：，∵过，∴，解得，∴：.（2）联立与，可得与的交点坐标为，又垂直于轴，则直线的方程为.【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线垂直的条件．属于基础题．19.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）若是上的单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即时要是增函数，且端点处函数值不小于0.【详解】解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，当时，，则，所以，所以.（2）若是上的单调函数，且，则实数满足，解得，故实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．20.已知圆的圆心在轴正半轴上，且圆与轴相切，点在圆上.（1）求圆的方程；（2）若直线：与圆交于，两点，且，求的值.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设出圆心坐标为，得圆标准方程，利用在圆上求出参数；（2）求出圆心到直线的距离，然后通过勾股定理列式求得．【详解】解：（1）设圆心，则圆的方程可设为.因为点在圆上，所以，解得.故圆的方程为.（2）由（1）可知圆的圆心，半径.因为，所以圆心到直线的距离，即，解得或.【点睛】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．圆的弦长可通过圆心到直线的距离，圆的半径由勾股定理求得：弦长（为弦心距）．21.如图，在三棱锥中，，，，，平面，过作于，过作于，连接.（1）证明：.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面，得，从而得平面，即得，于是有平面，从而，得出平面.最后得证线线垂直；（2）由（1）得是三棱锥的高，求出高和底面面积即可得体积．【详解】（1）证明：因为平面，所以.又，，所以平面，所以，又，，所以平面，从而.又，，所以平面.因为平面，所以.（2）解：由（1）知是三棱锥的高，所以.由已知，又，，由（1）知平面，则，所以，所以，所以.【点睛】本题考查证明线线垂直，考查求三棱锥体积．在证线线垂直时用的是线面垂直的性质定理，而要证线面垂直就要证线线垂直，本题利用线面垂直判定定理和性质定理进行线线垂直与线面垂直的多次转换，务必注意．22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴上单调递增；（2）总存，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，∴当时，，∴，整理得，，∵，∴，即，∴，∴．即的取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．2019-2020学年高一数学上学期期末考试联考试题（含解析）第Ⅰ卷一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定集合，由集合运算的定义求解．【详解】因为集合，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】使解析式有意义，因此必须有且．【详解】由，得，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围．3.若直线与平行，则的值为（）A. 1B. -1C.D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行的充要条件计算．【详解】因为直线与平行，所以，解得.故选：B.【点睛】本题考查两直线平行的充要条件．两直线平行，是必要条件，不是充要条件，仅由求出参数值，一般要代入直线方程检验是否平行．4.函数的零点所在的区间是( )A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.已知,,,则的边上的中线所在的直线方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】计算得到，，再计算直线方程得到答案.【详解】的中点为,,∴边上的中线所在的直线方程为,即.故选：【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.6.若直线被圆截得的弦长为,则( )A. B. 5 C. 10 D. 25【答案】B【解析】【分析】圆的圆心坐标为,半径，根据弦长得到，计算得到答案.【详解】圆的圆心坐标为,半径,直线被圆截得的弦长为,可得圆心到直线的距离为,则.故选：【点睛】本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力.7.若实数，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】与中间值 0和1比较后可得．【详解】因为对数函数是单调递减的，所以，同理，，所以，而，所以.故选：B.【点睛】本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论．8.已知圆柱的底面圆的面积为，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】圆柱轴截面的对角线是球的直径，由此可求得球半径．【详解】因为圆柱的底面圆的面积为，所以圆柱的底面圆的半径为，又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，所以该球的半径，则该球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查球与内接圆柱的关系，可通过作圆柱的轴截面与球联系，圆柱的轴截面矩形的外接圆是球的大圆．9.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除A、B，再根据函数值的正负情况，即可判断.【详解】由题意，，即是定义在上的奇函数，所以排除A，B；当时，；当时，，排除D故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图，得到原几何体，结合三视图中的线段长度，计算出每部分的表面积，从而得到答案.【详解】由三视图可知,该几何体由一个半球与一个圆锥拼接而成，且球的半径和圆锥底面圆半径相同，如图所示由三视图可知，半球半径为，所以半球的表面积为，圆锥的底面圆半径为，母线长为，所以圆锥的侧面积为，所以该几何体的表面积.故选：A.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，求球的表面积和圆锥侧面积，属于简单题.11.已知,,点是圆:上的动点,则的最小值为( )A. 9B. 14C. 18D. 26【答案】D【解析】【分析】设为坐标原点，，化简得到，再计算得到答案.【详解】设为坐标原点,,则,又,所以.故选：【点睛】本题考查了圆相关的最值问题，变换是解题的关键.12.设,,分别是方程,,的实根,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项【详解】由题,对于,由与的图像,如图所示,可得；对于,由与的图像,如图所示,可得；对于,由与的图像,如图所示,可得或故【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想第Ⅱ卷二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为______.【答案】【解析】【分析】求出圆心坐标和半径可得．【详解】因为圆心的坐标为，，所以该圆的标准方程为.故答案为：．【点睛】本题考查求圆的标准方程，属于基础题．14.已知函数是幂函数，则______.【答案】27【解析】【分析】根据幂函数定义求出参数．【详解】因为是幂函数，所以，解得，即，所以.故答案为：27.【点睛】本题考查幂函数的概念，属于基础题．15.已知圆：与圆：，则两圆的公共弦所在的直线方程为______.【答案】【解析】分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．【详解】将圆：化为，联立两圆方程两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查两圆相交，求公共弦所在直线方程．不需要求出交点坐标，只要两圆方程相减即得．16.如图，在中，，，分别为，边上的中点，且，.现将沿折起，使得到达的位置，且，则______.【答案】【解析】【分析】由于折叠过程中与和的垂直关系保持不变，因此可得平面，结合平行的性质可得，然后在直角三角形中可求得.【详解】易知，，，所以平面，因为，，所以.又，所以平面，所以，从而.故答案为：．【点睛】本题考查空间图形折叠问题，考查线面垂直的判定定理和性质定理．属于中档题．三､解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.已知直线的方程为，与垂直且过点.（1）求直线的方程；（2）若直线经过与的交点，且垂直于轴，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由垂直求出直线斜率，写出点斜式方程后化简即可．（2）求出直线与的交点坐标可得方程．【详解】解：（1）由与垂直，则可设：，∵过，∴，解得，∴：.（2）联立与，可得与的交点坐标为，又垂直于轴，则直线的方程为.【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线垂直的条件．属于基础题．19.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）若是上的单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即时要是增函数，且端点处函数值不小于0.【详解】解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，当时，，则，所以，所以.（2）若是上的单调函数，且，则实数满足，解得，故实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．20.已知圆的圆心在轴正半轴上，且圆与轴相切，点在圆上.（1）求圆的方程；（2）若直线：与圆交于，两点，且，求的值.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设出圆心坐标为，得圆标准方程，利用在圆上求出参数；（2）求出圆心到直线的距离，然后通过勾股定理列式求得．【详解】解：（1）设圆心，则圆的方程可设为.因为点在圆上，所以，解得.故圆的方程为.（2）由（1）可知圆的圆心，半径.因为，所以圆心到直线的距离，即，解得或.【点睛】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．圆的弦长可通过圆心到直线的距离，圆的半径由勾股定理求得：弦长（为弦心距）．21.如图，在三棱锥中，，，，，平面，过作于，过作于，连接.（1）证明：.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面，得，从而得平面，即得，于是有平面，从而，得出平面.最后得证线线垂直；（2）由（1）得是三棱锥的高，求出高和底面面积即可得体积．【详解】（1）证明：因为平面，所以.又，，所以平面，所以，又，，所以平面，从而.又，，所以平面.因为平面，所以.（2）解：由（1）知是三棱锥的高，所以.由已知，又，，由（1）知平面，则，所以，所以，所以.【点睛】本题考查证明线线垂直，考查求三棱锥体积．在证线线垂直时用的是线面垂直的性质定理，而要证线面垂直就要证线线垂直，本题利用线面垂直判定定理和性质定理进行线线垂直与线面垂直的多次转换，务必注意．22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴上单调递增；（2）总存，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，∴当时，，∴，整理得，，∵，∴，即，∴，∴．即的取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．。