全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师3(理)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(三)第三单元指数函数、对数函数、幂函数
(120分钟150分)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列函数中,既是单调函数,又是奇函数的是
A.y=x5
B.y=5x
C.y=log2x
D.y=x-1
解析:B、C不具有奇偶性,D不具有单调性.
答案:A
2.设函数f(x)=则f(f(16))的值是
A.9
B.
C.81
D.
解析:因为f(16)=lo16=-4,所以f(f(16))=f(-4)=3-4=.
答案:D
3.已知幂函数y=f(x)的图象过点(,),则log3f()的值为
A.B.- C.2 D.-2
解析:设幂函数为y=xα,则=()α,所以α=,所以y=,所以log3(=log33-2=-2.
答案:D
4.函数y=(-的值域为
A.(-∞,27]
B.(0,27]
C.[27,+∞)
D.(-27,27)
解析:令u=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3,因为y=()x是减函数,所以0 答案:B 5.设a=lo6,b=()0.2,c=,则 A.a B.c C.c D.b 解析:由指、对函数的性质可知:a=lo6 答案:A 6.函数f(x)=|lo(3-x)|的单调递减区间是 A.(-∞,2] B.(2,3) C.(-∞,3) D.[3,+∞) 解析:因为f(x)=-- - 而f(x)=-lo(3-x)在(-∞,2]上单调递减. 答案:A 7.设函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的图象过点(2,10),其反函数的图象过点(4,1),则a-b等于 A.5 B.3 C.2 D.-1 解析:由题意知解得a=3或a=-2(舍),b=1,所以a-b=2. 答案:C 8.由于盐碱化严重,某地的耕地面积在最近50年内减少了10%.如果按此规律,设2012年的耕地面积为m,则2017年的耕地面积为 A.(1-0.1250)m B.0.m C.0.9250m D.(1-0.)m 解析:设每年耕地减少的百分率为a,则有(1-a)50=1-10%,所以a=1-0.,则从2012年起,过x年后耕地面积y与x的函数关系是y=m(1-a)x=0.m.当x=5时,y=0.m. 答案:B 9.已知函数f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=ln - ,则函数f(x)的大致图象为 解析:当x>0时,-x<0,所以f(-x)=ln=-ln(1+x),所以f(x)=ln(1+x),其图象是将f(x)=ln x的图象向左平移一个单位,由于f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故选D. 答案:D 10.已知函数f(x)=()x-,那么函数f(x)零点所在的区间可以是 A.(-1,0) B.(0,) C.(,) D.(,1) 解析:因为f(-1)=()-1-(-1=4+1=5>0,f(0)=()0-=1>0,f(1)=-1<0,f()=(- (<0,f()=(-(>0,所以f()·f()<0,故选C. 答案:C 11.定义一种运算(a,b)*(c,d)=ac+bd,若函数f(x)=(1,log5x)*(()x,log2),x0是方程 f(x)=0的解,且x1>x0,则f(x1)的值 A.恒为正值 B.等于零 C.恒为负值 D.不小于0 解析:由定义f(x)=(1,log5x)*(()x,log2)=()x+log5x·log2=()x-log5x. 因为函数f(x)是单调递减函数,所以f(x1) 答案:C 12.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图 象与函数g(x)= -的图象在(-12,12)内交点的个数为 A.18 B.20 C.21 D.22 解析:因为f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2,x∈[-1,1]时,f(x)=x2,画出函数f(x)与 g(x)= -在(-12,12)内的图象,发现f(x)=x2在x轴右侧的图象与g(x)=lg x有9个交点,f(x)=x2在x轴左侧的图象与g(x)=-在(-12,0)内有11个交点,一共有20个交点. 答案:B 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.函数y=-的定义域是. 解析:要使函数有意义,必须满足- -即0<1-x≤1,所以0≤x<1. 答案:[0,1) 14.log2+lg20+lg5++(-7.6)0=. 解析:原式=log2+lg(20×5)+2+1=+2+3=. 答案: 15.定义区间[x1,x2](x1 解析:因为满足值域为[3,9]的定义域为[-2,-1]或[1,2],所以区间[a,b]长度为1. 答案:1 16.已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)+x+3a=0有两个实数根,则实数a 的取值范围是. 解析:因为方程f(x)+x+3a=0有两个实数根,所以f(x)的图象与函数y=-x-3a的图象有两个交点,如图所示,可知-3a≤1,所以a≥-. 答案:[-,+∞) 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.(本小题满分10分) 设函数f(x)=ln(x2-ax+2)的定义域为A. (1)若2∈A,-2?A,求实数a的范围; (2)若函数y=f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围. -,所以a≤-3. 解析:(1)由题意,得 故实数a的范围为(-∞,-3].5分 (2)由题意,得x2-ax+2>0在R上恒成立, 则Δ=a2-8<0,解得-2 故实数a的范围为(-2,2).10分 18.(本小题满分12分) 点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,)在幂函数g(x)的图象上. (1)求f(x)与g(x)的解析式; (2)当x为何值时,有f(x)>g(x). 解析:(1)设f(x)=xα,则由题意得2=()α,∴α=2,即f(x)=x2, 再设g(x)=xβ,则由题意得=(-2)β,β=-2,即g(x)=x-2.6分 (2)在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象,如图所示.f(x)与g(x)交于(-1,1)点和(1,1)点,由图象可知:当x>1或x<-1时,f(x)>g(x).12分 19.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=3+log2x,x∈[1,16],若函数g(x)=[f(x)]2+2f(x2). (1)求函数g(x)的定义域; (2)求函数g(x)的最值. 解析:(1)函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)满足 解得1≤x≤4,即函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,4].5分 (2)因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2]. g(x)=[f(x)]2+2f(x2)=(3+log2x)2+6+2log2x2 =lo x+10log2x+15=(log2x+5)2-10, 当log2x=0时,g(x)min=15,当log2x=2时,g(x)max=39, 即函数g(x)的最大值为39,最小值为15.12分 20.(本小题满分12分) 若已知某火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和,在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为 y=k[ln(m+x)-ln(m)]+5ln2(其中k≠0).当燃料重量为(-1)m吨(e为自然对数的底数,e≈2.72)时,该火箭的最大速度为5千米/秒. (1)求火箭的最大速度y(千米/秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式y=f(x); (2)已知该火箭的起飞重量是816吨,则应装载多少吨燃料,才能使该火箭的最大飞行速度达到10千米/秒,顺利地把卫星发送到预定的轨道? 解析:(1)依题意,把x=(-1)m,y=5代入函数关系y=k[ln(m+x)-ln(m)]+5ln2, 解得k=10.所以所求的函数关系式为y=10[ln(m+x)-ln(m)]+5ln2=ln()10.6分 (2)设应装载x吨燃料方能满足题意,此时m=816-x,y=10, 代入函数关系式y=ln()10,得ln-=1,解得x≈516吨, 应装载516吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.12分 21.(本小题满分12分) 对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为不等函数. ①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0; ②当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立. 已知函数g(x)=x3与h(x)=2x-a是定义在[0,1]上的函数. (1)试问函数g(x)是否为不等函数?并说明理由; (2)若函数h(x)是不等函数,求实数a组成的集合. 解析:(1)当x∈[0,1]时,总有g(x)=x3≥0,满足①; 当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时, g(x1+x2)=(x1+x2)3=++3·x2+3x1·≥+=g(x1)+g(x2),满足②, 所以函数g(x)是不等函数.5分 (2)h(x)=2x-a(x∈[0,1])为增函数,h(x)≥h(0)=1-a≥0,所以a≤1. 由h(x1+x2)≥h(x1)+h(x2),得-a≥-a+-a, 即a≥+-=1-(-1)(-1). 因为x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1, 所以0≤-1≤1,0≤-1≤1,x1与x2不同时等于1, 所以0≤(-1)(-1)<1,所以0<1-(-1)(-1)≤1. 当x1=x2=0时,[1-(-1)(-1)]max=1,所以a≥1. 综合上述,a∈{1}.12分 22.(本小题满分12分) 已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,且当x∈(-1,0)时, f(x)=-. (1)求函数f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当λ取何值时,方程f(x)=λ在(-1,1)上有实数解? 解析:(1)因为f(x)是x∈R上的奇函数,所以f(0)=0. 设x∈(0,1)时,-x∈(-1,0), 所以f(-x)=- - - =-=-f(x),所以f(x)=, 所以f(x)= -∈- ∈ 4分 (2)设0 f(x1)-f(x2)=--=--, 因为0 所以f(x1)-f(x2)>0, 所以f(x)在(0,1)上为减函数.8分 (3)因为f(x)在(0,1)上为减函数, 所以 同理,f(x)在(-1,0)上时,f(x)∈(-,-). 又f(0)=0,当λ∈(-,-)∪(,)或λ=0时,方程f(x)=λ在x∈(-1,1)上有实数解. 12分