平行四边形的计算和证明问题专项练习及答案

平行四边形的计算和证明问题专项练习1.已知抛物线36bx x 2

3y 2++=

经过A （2，0）。设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B 。

（1）求b 的值，及点P 、点B 的坐标；

（2）如图，在直线y=3x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP ≌△AMB ？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由。

2.如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴

交于点()0,3C -。

（1）求该抛物线的解析式及顶点M 的坐标；

（2）求△BCM 面积与△ABC 面积的比；

（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ ∥AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q ，使以A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由。

3.在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 延长线上的点，BE 与AD 的交点为P 。

（1）若BD=AC ，AE=CD ，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE 的度数；

（2）若3AC BD =，3CD =，求∠APE 的度数。

平行四边形的计算和证明问题专项练习参考答案1.解：（1）由于抛物线36232++=

bx x y 经过A （2，0），所以36242

30++⨯=b ，解得34-=b .所以抛物线的解析式为36342

32+-=x x y .（*）将（*）配方，得()3242

32--=x y ，所以顶点P 的坐标为（4，-23）

令y =0，得

()03242

32=--x ，解得6,221==x x ，所以点B 的坐标为（6，0）。（2）在直线y=

3x 上存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形。

理由如下：设直线PB 的解析式为kx y =+b ，把B （6,0）,P (4,-23)分别代入，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+.

324,

06b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.

36,3b k 所以直线PB 的解析式为363-=x y .

又直线OD 的解析式为x

y 3=所以直线PB ∥OD .

设直线OP 的解析式为mx y =，把P (4,-2

3)代入，得324-=m 解得23

-=m .如果OP ∥BD ，那么四边形OPBD 为平行四边形.

设直线BD 的解析式为n x y +-

=23，将B (6,0)代入，得0=n +-33，所以33=n

所以直线BD 的解析式为33x 23y +-

=，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==.3323,3x y x y 得⎪⎩⎪⎨

⎧==.32,2y x 所以D 点的坐标为（2,23）

（3）符合条件的点M 存在.验证如下：

过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，则PC =23，AC =2，由勾股定理，可得AP =4，PB =4，又AB =4，所以△APB 是等边三角形，只要作∠PAB 的平分线交抛物线于M 点，连接PM ,BM ,由于AM =AM ,∠PAM =∠BAM ,AB =AP ，可得△AMP ≌△AMB 。因此存在这样的点M ,使△AMP ≌△AMB.

2.解：（1）设抛物线解析式为()()

13y a x x =+-∵抛物线过点()

03，∴()()

30103a -=+-∴1

a =-抛物线解析式为()()21323

y x x x x =+-=--∵()2

22314y x x x =--=--，∴()

1,4M （2）如图，连接BC 、BM 、CM ，作MD ⊥x 轴于点D

∵BCM BMD BOC OCMD S S S S ∆∆∆=+-梯形=

()1113412433222⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯=7893222+-=14362ABC S ∆=⨯⨯=ABC :S 3:61:2BCM S ∆∆==（3）存在这样的点Q 。

①当Q 点在x 轴下方时，作QE ⊥x 轴于点E

∵AC ∥PQ 且AC=PQ ，∴OC=EQ=3

由2323

x x -=--解得：10x =（舍）22

x =∴()2,3Q -

②当Q 点在x 轴上方时，作QF ⊥x 轴于点F

∵AC ∥PQ 且AC=PQ

∴Rt △OAC ≌Rt △FPQ ∴OC=FQ=3

由2323

x x =--解得：11x =21x =

∴()1Q 或()1Q +

综上，满足条件的Q 点坐标为()2,3-或()1或()

1+3.解：（1）如下图，∠APE=45°。（2）解法一：如图1，将AE 平移到DF ，连接BF ，EF 。

图1

则四边形AEFD 是平行四边形。

∴AD ∥EF ，AD=EF 。

∵AC =，CD =，∴3=BD AC ，3==DF CD AE CD 。∴AC CD BD DF

=。∵∠C =90°，

∴18090BDF C ∠=︒-∠=︒。

∴∠C=∠BDF 。

∴△ACD ∽△BDF 。

∴AD AC BF BD ==1=∠2。

∴EF AD BF BF

==。∵∠1+∠3=90°，

∴∠2+∠3=90°。

∴BF ⊥AD 。

∴BF ⊥EF 。

∴在Rt △BEF 中，tan BF BEF EF ∠=

=。∴∠APE =∠BEF =30°。解法二：如图2，将CA 平移到DF ，连接AF ，BF ，EF 。

图2

则四边形ACDF 是平行四边形。

∵∠C =90°，

∴四边形ACDF 是矩形，∠AFD =∠CAF =90°，∠1+∠2=90°。

∵在Rt △AEF 中，tan 33

AE AE AF CD ∠===，

在Rt △BDF 中，tan 13

BD BD DF AC ∠===，∴3130∠=∠=︒。

∴∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°。

∴∠AFD =∠EFB 。

又∵2

DF AF BF EF ==，∴△ADF ∽△EBF 。

∴∠4=∠5。

∵∠APE+∠4=∠3+∠5，

∴∠APE =∠3=30°。