平行四边形证明题中考练习
24．（10分）如图（1），在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝
90，
AB 与CE 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ． （1）求证：CF ＝CH ； （2）如图（2），△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE =
45时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．
24. 如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B 、P 在直线a 的异侧，
BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接PM 、PN ； （1） 延长MP 交CN 于点E （如图2）。
求证：△BPM ≅△CPE ； 求证：PM = PN ；
（2） 若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变。
此时
PM =PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3） 若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变。
请直接判断四边形MBCN
的形状及此时PM =PN 还成立吗？不必说明理由。
四、【安徽省】
20.如图，AD ∥FE ，点B 、C 在AD 上，∠1＝∠2，BF ＝BC 。
⑴求证：四边形BCEF 是菱形
⑵若AB ＝BC ＝CD ，求证：△ACF ≌△BDE
23.（本题7分）
a
A
B C P
M
N A B
C
M N a
P
A
B C P N M a
圖1 圖2 圖3
A
C D B M E F H 图（1）
A
C D
B
M E F
H
图（2）
如图，四形ABCD 中，对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AD ，BD ， BC ，AC 的中点。
（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；
（2）当四边形ABCD 满足一个什么条件时，四边形EFGH 是菱形？并证明你的结论。
18．如图，分别以Rt ABC ∆的直角边AC 及斜边AB 向外作等边ACD ∆，等边ABE ∆．已知
∠BAC ＝30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ． ⑴试说明AC ＝EF ；
⑵求证：四边形ADFE 是平行四边形．
26.如图10，若四边形ABCD 、四边形CFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE . （1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图11的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（2）当正方形GFED 绕D 旋转到如图12的位置时，延长CE 交AG 于H ，交AD 于M . ①求证：AG ⊥CH ;
②当AD =4，DG
时，求CH 的长。
22. （本题满分8分）
如图6，已知ABC △是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，
∠60EFB =°，DC EF =.
(1) 求证：四边形EFCD 是平行四边形；
A
B
C
D E
F
G
H O 第18题图
A B
C
D E
F C
D
E
图110
A
D
图11
F E
B
C
G
A
D
B
C
E
F
H M
图12
A
E C
B
F
D 图6
(2) 若BF EF =,求证AE AD =.
24．（9分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DCB = 90°，E 是AD 的中点，
点P 是BC 边上的动点（不与点B 重合），EP 与BD 相交于点O. （1）当P 点在BC 边上运动时，求证：△BOP ∽△DOE ；
（2）设（1）中的相似比为k ，若AD ︰BC = 2︰3. 请探究：当k 为下列三种情况时，四
边形ABPE 是什么四边形？①当k = 1时，是 ；②当k = 2时，是 ；③当k = 3时，是 . 并证明．．．k = 2时的结论.
21．（本题满分9分）
如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，
∠AEF =90o ，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． （1）证明：∠BAE =∠FEC ； （2）证明：△AGE ≌△ECF ； （3）求△AEF 的面积．
24.（10分） 如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G
是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.
（1）证明：△ABE ≌△DAF ；
（2）若∠AGB =30°，求EF 的长.
24.如图9，边长为5的正方形OABC 的顶点O 在坐标原点处，点A C 、分别在x 轴、y 轴 的正半轴上，点E 是OA 边上的点（不与点A 重合），EF CE ⊥，且与正方形外角平分 线AC 交于点P .
（1）当点E 坐标为(30)，
时，试证明CE EP =； （2）如果将上述条件“点E 坐标为（3，0）”改为“点E 坐标为（t ，0）（0t >）”，结论
CE EP =是否仍然成立，请说明理由；
（3）在y 轴上是否存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形？若存在，用t 表示点M
A
B
C D
E P
O A C B D E F
G 1
42
3题图24
的坐标；若不存在，说明理由.
27．（本题满分12分）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD
∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．（1）求∠AED的度数；
（2）求证：AB=BC；
（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30º．
求DF
FC的值．
图9
A
B C
D
E
图1
A
B C
D
E
F
图2。
平行四边形证明题
1如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC．求证：四边形ADCE是平行四边形．2、如图，F、C是线段AD上的两点,AB∥DE，BC∥EF,AF=DC,连接AE、BD，求证：四边形ABDE 是平行四边形．3、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：四边形BCEF是平行四边形．4、如图,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证:四边形DEBF是平行四边形．5如图,已知□ABCD的对角线AC , BD相交于点O ，直线EF经过点O ，且分别交AB ，CD于点E ，F。
求证：四边形BFDE是平行四边形．．6、如图,平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD,垂足分别是E、F．求证:△ABE≌△CDF．7、已知ABCD是平行四边形，用尺规分别作出△BAC与△DAC共公边AC上的高BE、DF．求证：BE=DF．8、如图,在▱ABCD中，点E是DC的中点,连接AE，并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE和△CEF的面积相等（2）若AB=2AD，试说明AF恰好是∠BAD的平分线9、如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点,且AE=CF．试说明：∠EBF=∠FDE．10如图,在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（)11、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,DE∥AC，交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F，求证：AD=CF．12、如图，在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG．(1)求证：AE=CG；（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由．13、如图,点B、C、E是同一直线上的三点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE．求证：BG=DE；14、已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．求证:AP=EF．15、如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在AB，AD上,AE=AF．求证：CE=CF．15、如图，四边形ABCD是矩形,直线L垂直分线段AC，垂足为O，直线L分别于线段AD，CB的延长线交于点E,F，证明四边形AFCE是菱形．16、如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF,DF∥BE，DF=BE．(1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC平分∠BAD，求证：▱ABCD为菱形．17、如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4．求：（1）对角线AC，BD的长;（2）菱形ABCD的面积．18、如图，四边形ABCD是矩形,点E是边AD的中点．求证：EB=EC．19、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,∠AOB=60°，AB=3，求BD的长．20、在矩形ABCD中,已知AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，求CE的长．21、已知:矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BOC=120°,AC=4cm,求矩形ABCD的周长．。
平行四边形证明题精选(初中数学)
平行四边形证明题精选(初中数学)1. 证明平行四边形的性质已知四边形ABCD，证明ABCD是平行四边形的方法有：- 证明对角线互相平分- 证明对边平行- 证明对边长度相等且对角线互相垂直证明对角线互相平分证明方法如下：1. 连接对角线AC和BD；2. 证明线段AC与线段BD的中点E重合，即AE=CE及BE=DE；3. 通过副诱导线的证明，得出结论：ABCD是平行四边形。
证明对边平行证明方法如下：1. 假设AB∥CD；2. 通过诱导线的证明，得出结论：ABCD是平行四边形。
证明对边长度相等且对角线互相垂直证明方法如下：1. 假设AB=CD且AC⊥BD；2. 通过诱导线的证明，得出结论：ABCD是平行四边形。
2. 平行四边形的性质应用在解决平行四边形证明题时，可以根据平行四边形的性质进行推导。
以下是一些常见的平行四边形证明题：证明1已知平行四边形ABCD，证明△ACF≌△EBD。
证明方法：1. 延长AC和BD相交于点F；2. 通过对角线互相平分的证明，得出△ACF≌△EBD。
证明2已知平行四边形ABCD，证明AF=CD。
证明方法：1. 连接AF；2. 通过对边平行的证明，得出AF≥CD；3. 通过对角线互相平分的证明，得出AF≤CD；4. 综合以上两个结论，得出AF=CD。
证明3已知平行四边形ABCD，证明∠DAB=∠BCD。
证明方法：1. 延长AD和BC相交于点E；2. 通过对角线互相平分的证明，得出∠DAB=∠BCD。
以上是初中数学中的一些平行四边形证明题示例及解题方法。
希望能对你的学习有所帮助！。
中考数学模拟题汇总《平行四边形的判定与证明》专项练习(附答案解析)
中考数学模拟题汇总《平行四边形的判定与证明》专项练习(附答案解析)一、综合题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC=∠B．（1）求证：DE=CF；（2）若AC=6cm，AB=10cm，求四边形DCFE的面积．2．已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝OC.（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；（2）若AD与⊙O相切，求∠B.3．已知：如图，点D在ΔABC的边AB上，CF//AB，DF交AC于E，EA=EC．（1）如图1，求证：CD=AF；（2）如图2，若AD=BD，请直接写出和ΔBDC面积相等的三角形．4．如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE=CF，DF=BE，且DF//BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若tan∠CAB=25，∠CBG=45°，BC=4√2，则▱ABCD的面积是．5．已知，如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．（1）求证：△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．6．如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.（1）求证：BE=DF；（2）设ACBD=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由.7．如图，在ΔABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE // BC，EF // AB．（1）求证：ΔADE∽ΔEFC；（2）如果AB=6，AD=4，求SΔADESΔEFC的值．8．如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．BC，9．如图，等边△ABC的边长是4,D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=12连接CD和EF .（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长.10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD交于点H.（1）求证：四边形DEBC是平行四边形；（2）若BD＝9，求DH的长.11．已知锐角△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO．（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；（2）如图2，CE⊥AB于点E，交AD于点F，过点O作OH⊥BC于点H，求证：AF＝2OH；，BC＝2√15，求AC的长．（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝AO，tan∠BAO＝1312．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)，B(5，0)，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标.（2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长.13．如图，CD是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，AD与⊙O相切于点D，点B是⊙O上一点（点B不与点C，D重合），连接AO，AB，BC .（1）当BC与AO满足什么位置关系时，AB是⊙O的切线？请说明理由；（2）在（1）的条件下，当∠DAO=度时，四边形AOCB是平行四边形.（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足14．如图，已知函数y= kx为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点EOD，求a、b的值；（1）若AC= 32（2）若BC∥AE，求BC的长．15．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．16．如图.在一次数学研究性学习中，小华将两个全等的直角三角形纸片Rt△ABC和Rt△DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图），其中∠ACB=∠DFE=90°，发现四边形ABDE是平行四边形.如图，小华继续将图中的纸片Rt△DEF沿AC方向平移，连结AE，BD，当点F与点C重合时停止平移.（1）请问：四边形ABDE是平行四边形吗？说明理由.cm时，请判断四边形ABDE的形（2）如图，若BC=EF=6cm，AC=DF=8cm，当AF=92状，并说明理由.参考答案与解析1．【答案】（1）证明：在△CDE 和△ECF 中，∵∠ACB=∠ECF=90°，点D 、E 是分别是AB 、BC 的中点．∴CD=BD=AD ，∴∠B=∠DCE ，∠CED=∠ECF=90°， 又∵∠FEC=∠B ．．∠FEC=∠DCE ，又∵CE=EC ．∴△CDE ≌△ECF （ASA ），∴DE=CF ；（2）解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∴BC=√AB 2−AC 2=√102−62=8cm ， ∵点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴DE ∥CF ，又DE=CF ， ∴四边形DCFE 是平行四边形，∴DE=12AC=12×6=3cm ，CE=12BC=12×8=4cm ， ∴S 四边形DCFE =DE ×CE=3×4=12cm ． 2．【答案】（1）证明：∵OA ＝OC ＝AD ， ∴∠OCA ＝∠OAC ，∠AOD ＝∠ADO ， ∵OD ∥AC ， ∴∠OAC ＝∠AOD ，∴180°﹣∠OCA ﹣∠OAC ＝180°﹣∠AOD ﹣∠ADO ， 即∠AOC ＝∠OAD ， ∴OC ∥AD ， ∵OD ∥AC ，∴四边形OCAD 是平行四边形；（2）解：∵AD 与⊙O 相切，OA 是半径， ∴∠OAD ＝90°， ∵OA ＝OC ＝AD ， ∴∠AOD ＝∠ADO ＝45°，∵OD∥AC，∴∠OAC＝∠AOD＝45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝45°.3．【答案】（1）证明：∵CF//AB∴∠DFC=∠ADF，∠DAC=∠ACF又∵EA=EC∴ΔADE≌ΔCFE(AAS)∴CF=AD又∵CF//AD∴四边形ADCF为平行四边形∴DC=AF（有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）（2）解：ΔADC，ΔADF，ΔCFD，ΔCFA∵AD=BD，∴SΔADC=SΔBDC (等底等高面积相等)∵四边形ADCF是平行四边形，∴SΔADC=SΔCDF=SΔADF=SΔACFF (等底等高面积相等) ．故与ΔBDC面积相等的三角形为：ΔADC，ΔADF，ΔCFD，ΔCFA．4．【答案】（1）证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵DF//BE，∴∠DFA=∠BEC，∵DF=BE，∴ΔADF≅ΔCBE(SAS)，∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD//CB，四边形ABCD是平行四边形（2）245．【答案】（1）证明：∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，在△ADF和△CBE中{DF=BE∠DFA=∠BECAF=CE，∴△AFD≌△CEB（SAS).（2）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∵△AFD≌△CEB，∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．6．【答案】（1）证明：如图，连接DE，BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE=12OA=12OC=OF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE=DF .（2）解：由（1）已证：四边形DEBF是平行四边形，要使平行四边形DEBF是矩形，则BD=EF，∵OE=12OA=12OC=OF，∴EF=OE+OF=12OA+12OC=OA=12AC，即AC=2EF，∴k=ACBD =2EFEF=2，故当k=2时，四边形DEBF是矩形. 7．【答案】（1）证明：∵DE//BC，EF//AB，∴∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC．（2）解：∵AB＝6，AD＝4，∴DB＝6－4＝2，∵DE//BC，EF//AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∴EF＝DB=2，∵△ADE∽△EFC，SΔADE SΔEFC =(ADEF)2=(42)2=4．8．【答案】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）。
平行四边形的证明题
平行四边形的【2 】证实题一．解答题（共30小题）1．如图,已知四边形ABCD为平行四边形,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF;（2）若 M.N分离为边AD.BC上的点,且DM=BN,试断定四边形MENF的外形（不必解释来由）．2．如图所示,▱AECF的对角线订交于点O,DB经由点O,分离与AE,CF交于B,D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分离为E,F．（1）求证：△ABE≌△CDF;（2）若AC与BD交于点O,求证：AO=CO．4．已知：如图,在△ABC中,∠BAC=90°,DE.DF是△ABC的中位线,衔接EF.AD．求证：EF=AD．5．如图,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC,猜想线段CD与线段AE的大小关系和地位关系,并加以证实．6．如图,已知,▱ABCD中,AE=CF,M.N分离是DE.BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．7．如图,平行四边形ABCD,E.F两点在对角线BD上,且BE=DF,衔接AE,EC,CF,FA．求证：四边形AECF是平行四边形．8．在▱ABCD中,分离以AD.BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,衔接BE.DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．如图所示,DB∥AC,且DB=AC,E是AC的中点,求证：BC=DE．10．已知：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向D以1cm/s的速度活动,到D点即停滞．点Q自点C向B以2cm/s的速度活动,到B点即停滞,直线PQ截梯形为两个四边形．问当P,Q同时动身,几秒后个中一个四边形为平行四边形？11．如图：已知D.E.F分离是△ABC各边的中点,求证：AE与DF互相等分．12．已知：如图,在▱ABCD中,对角线AC交BD于点O,四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE.四边形DCOE都是平行四边形．13．如图,已知四边形ABCD中,点E,F,G,H分离是AB.CD.AC.BD的中点,并且点E.F.G.H有在统一条直线上．求证：EF和GH互相等分．14．如图：▱ABCD中,MN∥AC,试解释MQ=NP．15．已知：如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD订交于点O,EF经由点O并且分离和AB,CD订交于点E,F,点G,H分离为OA,OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．16．如图,已知在▱ABCD中,E.F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G.H分离在BA和DC的延伸线上,且AG=CH,衔接GE.EH.HF.FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形;（2）若点G.H分离在线段BA和DC上,其余前提不变,则（1）中的结论是否成立？（不用解释来由）17．如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延伸线一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延伸线交于点F,衔接AE.CF．（1）求证：AF=CE;（2）假如AC=EF,且∠ACB=135°,试断定四边形AFCE是什么样的四边形,并证实你的结论．18．如图平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,点E.F分离在CD.BC的延伸线上,AE ∥BD,EF⊥BF,垂足为点F,DF=2（1）求证：D是EC中点;（2）求FC的长．19．如图,已知△ABC是等边三角形,点D.F分离在线段BC.AB上,∠EFB=60°,DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形;（2）若BF=EF,求证：AE=AD．20．如图,四边形ABCD,E.F.G.H分离是AB.BC.CD.DA的中点．（1）请断定四边形EFGH的外形？并解释为什么;（2）若使四边形EFGH为正方形,那么四边形ABCD的对角线应具有如何的性质？21．如图,△ACD.△ABE.△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时,证实：四边形ADFE为平行四边形;（2）当AB=AC时,按序衔接A.D.F.E四点所组成的图形有哪几类？直接写出组成图形的类型和响应的前提．22．如图,以△ABC的三边为边,在BC的同侧分离作三个等边三角形即△ABD.△BCE.△ACF,那么,四边形AFED是否为平行四边形？假如是,请证实之,假如不是,请解释来由．23．在△ABC中,AB=AC,点P为△ABC地点平面内一点,过点P分离作PE∥AC 交AB于点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F．若点P在BC边上（如图1）,此时PD=0,可得结论：PD+PE+PF=AB．请直策运用上述信息解决下列问题：当点P分离在△ABC内（如图2）,△ABC外（如图3）时,上述结论是否成立？若成立,请赐与证实;若不成立,PD,PE,PF与AB之间又有如何的数目关系,请写出你的猜想,不须要证实24．如图1,P为Rt△ABC地点平面内随意率性一点（不在直线AC上）,∠ACB=90°,M为AB边中点．操作：以PA.PC为邻边作平行四边形PADC,持续PM并延伸到点E,使ME=PM,衔接DE．探讨：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论;（2）请你运用图2,图3选择不同地位的点P按上述办法操作;（3）阅历（2）之后,假如你以为你写的结论是准确的,请加以证实;假如你以为你写的结论是错误的,请用图2或图3加以解释;（留意：错误的结论,只要你用反例赐与解释也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“随意率性△ABC”,其他前提不变,运用图4操作,并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．25．在一次数学实践探讨活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD朋分成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等;（1）依据小强的朋分办法,你以为把平行四边形朋分成知足以上全等关系的直线有很多组;（2）请在图中的三个平行四边形中画出知足小强朋分办法的直线;（3）由上述试验操作进程,你发明所画的两条直线有什么纪律？26．如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=Rt∠,AB=AD=10cm,BC=8cm．点P从点A动身,以每秒3cm的速度沿折线ABCD 偏向活动,点Q从点D动身,以每秒2cm的速度沿线段DC偏向向点C活动．已知动点P.Q同时发,当点Q活动到点C时,P.Q活动停滞,设活动时光为t．（1）求CD的长;（2）当四边形PBQD为平行四边形时,求四边形PBQD的周长;（3）在点P.点Q的活动进程中,是否消失某一时刻,使得△BPQ的面积为20cm2？若消失,要求出所有知足前提的t的值;若不消失,请解释来由．27．已知平行四边形的三个极点的坐标分离为O（0,0）.A（2,0）.B（1,1）,则第四个极点C的坐标是若干？28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm,过D作AB,BC边上的高DE.DF,且cm,,求平行四边形ABCD的面积．29．如图,在平面直角坐标系中,已知O为原点,四边形ABCD为平行四边形,A.B.C的坐标分离是A（﹣3,）,B（﹣2,3）,C（2,3）,点D在第一象限．（1）求D点的坐标;（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个极点的坐标是若干？（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？30．如图所示．▱ABCD中,AF等分∠BAD交BC于F,DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．1.解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∵AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,∴∠AEB=∠CFD=90°,∴△ABE≌△CDF（A．A．S．）,∴BE=DF;（2）四边形MENF是平行四边形．证实：有（1）可知：BE=DF,∵四边形ABCD为平行四边行,∴AD∥BC,∴∠MDB=MBD,∵DM=BN,∴△DNF≌△BNE,∴NE=MF,∠MFD=∠NEB,∴∠MFE=∠NEF,∴MF∥NE,∴四边形MENF是平行四边形．2.解答：证实：∵四边形AECF是平行四边形∴OE=OF,OA=OC,AE∥CF,∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO,∴△FDO≌△EBO,∴OD=OB,∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形．3.解答：证实：（1）∵BF=DE,∴BF﹣EF=DE﹣EF,即BE=DE,∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°,∵AB=CD,∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）;（2）∵△ABE≌△CDF,∴∠ABE=∠CDF,∴AB∥CD,∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO．4.解答：证实：∵DE,DF是△ABC的中位线,∴DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AEDF是平行四边形,又∵∠BAC=90°,∴平行四边形AEDF是矩形,∴EF=AD．5.解答：解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和地位关系是：平行且相等．证实：∵CE∥AB,∴∠DAO=∠ECO,∵OA=OC,∴△ADO≌△ECO,∴AD=CE,∴四边形ADCE是平行四边形,∴CD AE．6.解答：证实：由平行四边形可知,AD=CB,∠DAE=∠FCB,又∵AE=CF,∴△DAE≌△BCF,∴DE=BF,∠AED=∠CFB又∵M.N分离是DE.BF的中点,∴ME=NF又由AB∥DC,得∠AED=∠EDC∴∠EDC=∠BFC,∴ME∥NF∴四边形MFNE为平行四边形．7.解答：证实：衔接AC交BD于点O,∵四边形ABCD为平行四边形,∴OA=OC,OB=OD．∵BE=DF,∴OE=OF．∴四边形AECF为平行四边形．8.解答：证实：∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,AD=CB,∠DAB=∠BCD．又∵△ADE和△CBF都是等边三角形,∴DE=BF,AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF,∠BAE=∠DAB﹣∠DAE,∴∠DCF=∠BAE．∴△DCF≌△BAE（SAS）．∴DF=BE．∴四边形BEDF是平行四边形．9.解答：证实：∵E是AC的中点,∴EC=AC,又∵DB=AC,∴DB=EC．又∵DB∥EC,∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．10.解答：解：设P,Q同时动身t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形,依据已知得到AP=t,PD=24﹣t,CQ=2t,BQ=30﹣2t．（1）若四边形PDCQ是平行四边形,则PD=CQ,∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形;（2）若四边形APQB是平行四边形,则AP=BQ,∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB是平行四边形11.解答：证实：∵D.E.F分离是△ABC各边的中点,依据中位线定理知：DE∥AC,DE=AF,EF∥AB,EF=AD,∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相等分．12.解答：证实：∵▱ABCD中,对角线AC交BD于点O,∴OB=OD,又∵四边形AODE是平行四边形,∴AE∥OD且AE=OD,∴AE∥OB且AE=OB,∴四边形ABOE是平行四边形,同理可证,四边形DCOE也是平行四边形．13.解答：证实：衔接EG.GF.FH.HE,点E.F.G.H分离是AB.CD.AC.BD的中点．在△ABC中,EG=BC;在△DBC中,HF=BC,∴EG=HF．同理EH=GF．∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相等分．14.解答：证实：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AM∥QC,AP∥NC．又∵MN∥AC,∴四边形AMQC为平行四边形,四边形APNC为平行四边形．∴AC=MQ AC=NP．∴MQ=NP．15.解答：证实：如答图所示,∵点O为平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,∴OA=OC,OB=OD．∵G,H分离为OA,OC的中点,∴OG=OA,OH=OC,∴OG=OH．又∵AB∥CD,∴∠1=∠2．在△OEB和△OFD中,∠1=∠2,OB=OD,∠3=∠4,∴△OEB≌△OFD,∴OE=OF．∴四边形EHFG为平行四边形．16、解答：（1）证实：∵四边形ABCD是平行四边形,17、∴AB=CD,AB∥CD,∴∠GBE=∠HDF．又∵AG=CH,∴BG=DH．又∵BE=DF,∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF,∠GEB=∠HFD,∴∠GEF=∠HFE, ∴GE∥HF,∴四边形GEHF是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）17.解答：（1）证实：∵AF∥EC,∴∠DFA=∠DEC,∠DAF=∠DCE,∵D是AC的中点,∴DA=DC,∴△DAF≌△DCE,∴AF=CE;（2）解：四边形AFCE是正方形．来由如下：∵AF∥EC,AF=CE,∴四边形AFCE是平行四边形,又∵AC=EF,∴平行四边形AFCE是矩形,∴∠FCE=∠CFA=90°,而∠ACB=135°,∴∠FCA=135°﹣90°=45°,∴∠FAC=45°,∴FC=FA,∴矩形AFCE是正方形．18.解答：（1）证实：在平行四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD,又∵AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB=DE,∴CD=DE,即D是EC的中点;（2）解：衔接EF,∵EF⊥BF,∴△EFC是直角三角形,又∵D是EC的中点,∴DF=CD=DE=2,在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∵∠ABC=60°,∴∠ECF=∠ABC=60°,∴△CDF是等边三角形,∴FC=DF=2．故答案为：2．19.解答：证实：（1）∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB,∴EF∥DC（内错角相等,两直线平行）,∵DC=EF,∴四边形EFCD是平行四边形;（2）衔接BE∵BF=EF,∠EFB=60°,∴△EFB是等边三角形,∴EB=EF,∠EBF=60°∵DC=EF,∴EB=DC,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AB=AC,∴∠EBF=∠ACB,∴△AEB≌△ADC,∴AE=AD．20.解答：解：（1）如图,四边形EFGH是平行四边形．衔接AC,∵E.F分离是AB.BC的中点,∴EF∥AC,EF=AC同理HG∥AC,∴EF∥HG,EF=HG∴EFGH是平行四边形;（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等．∵假若四边形EFGH为正方形,∴它的每一组邻边互相垂直且相等,∴依据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应当互相垂直且相等．21、解答：（1）证实：∵△ABE.△BCF为等边三角形,∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°．∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形,∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．（2）解：组成的图形有两类,一类是菱形,一类是线段．当图形为菱形时,∠BAC≠60°（或A与F不重合.△ABC不为正三角形）当图形为线段时,∠BAC=60°（或A与F重合.△ABC为正三角形）．22.解答：解：四边形AFED是平行四边形．证实如下：在△BED与△BCA中,BE=BC,BD=BA（均为统一等边三角形的边）∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA∴△BED≌△BCA（SAS）∴DE=AC又∵AC=AF∴DE=AF在△CBA与△CEF中,CB=CE,CA=CF∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE∴△CBA≌△CEF（SAS）∴BA=EF又∵BA=DA,∴DA=EF故四边形AFED为平行四边形（两组对边分离相等的四边形是平行四边形）．23.解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．证实：过点P作MN∥BC分离交AB,AC于M,N两点,由题意得PE+PF=AM．∵四边形BDPM是平行四边形,∴MB=PD．∴PD+PE+PF=MB+AM=AB,即PD+PE+PF=AB．图3结论：PE+PF﹣PD=AB．24.解答：解：（1）DE∥BC,DE=BC,DE⊥AC．（2）如图4,如图5．（3）办法一：如图6,衔接BE,∵PM=ME,AM=MB,∠PMA=∠EMB,∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE,∠MPA=∠MEB,∴PA∥BE．∵平行四边形PADC,∴PA∥DC,PA=DC．∴BE∥DC,BE=DC,∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC,DE=BC．∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,∴DE⊥AC．办法二：如图7,衔接BE,PB,AE,∵PM=ME,AM=MB,∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE,PA=BE, 余下部分同办法一：办法三：如图8,衔接PD,交AC于N,衔接MN,∵平行四边形PADC,∴AN=NC,PN=ND．∵AM=BM,AN=NC,∴MN∥BC,MN=BC．又∵PN=ND,PM=ME,∴MN∥DE,MN=DE．∴DE∥BC,DE=BC．∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．（4）如图9,DE∥BC,DE=BC．25.解答：解：（1）很多;（2）作图的时刻要起首找到对角线的交点,只要过对角线的交点,任画一条直线即可．如图有：AE=BE=DF=CF,AM=CN．（3）这两条直线过平行四边形的对称中间（或对角线的交点）．26.解答：解：（1）过点A作AM⊥CD于M,依据勾股定理,AD=10,AM=BC=8,∴DM==6,∴CD=16; （2）当四边形PBQD为平行四边形时,点P在AB上,点Q在DC上,如图,由题知：BP=10﹣3t,DQ=2t∴10﹣3t=2t,解得t=2此时,BP=DQ=4,CQ=12∴∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=;（3）①当点P在线段AB上时,即时,如图∴．②当点P在线段BC上时,即时,如图BP=3t﹣10,CQ=16﹣2t∴化简得：3t2﹣34t+100=0,△=﹣44＜0,所以方程无实数解．③当点P在线段CD上时,若点P在Q的右侧,即6≤t≤,则有PQ=34﹣5t,＜6,舍去若点P在Q的左侧,即,则有PQ=5t﹣34,,t=7.8．分解得,知足前提的t消失,其值分离为,t2=7.8．27.解答：解：当BC∥OA,BC=OA时,C和B的纵坐标相等,若选择AB为对角线,则C1（3,1）;若选择OB为对角线,则C2（﹣1,1）;当AB∥OC,AB=OC时,选择OA为对角线,则C3（1,﹣1）．故第四个极点坐标是：C1（3,1）,C2（﹣1,1）,C3（1,﹣1）．28.解答：解：设AB=x,则BC=18﹣x,由AB•DE=BC•DFF得：,解之x=10,所以平行四边形ABCD的面积为．29.解答：解：（1）由B.C的坐标可知,AD=BC=4,则可得点D的横坐标为1,点D的纵坐标与点A的纵坐标相等,为,可得点D的坐标为（1,）．（2）依题意得A1.B1.C1.D1的坐标分离为A（﹣3+,0）,B（﹣2+,2）C（2+,2）,D（1+,0）．（3）如图,平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积为平行四边形DEFG的面积, 由题意可得GD=AD﹣AG=4﹣,平行四边形DEFG的高为2﹣=,∴重叠部分的面积为（4﹣）•=4﹣2．30.解答：证实：在平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴∠DAF=∠F,又AF等分∠BAD,∴∠DAF=∠BAF,∴∠BAF=∠F,∴AB=BF,又AF等分∠BAD,DE⊥AF,∴∠AOD=∠ADO,又∠BOE=∠AOD=∠EDC,∠ADO=∠E,∴∠EDC=∠E,∴CE=CD,又AB=CD,∴BE=CF．。
平行四边形专题证明题33道-含答案
图1 平行四边形专题练习1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝5．以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .6．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．7．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．二、选择题（每题3分，共30分）8．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( )A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°图2 图3 图49．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等10．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm11．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．3E AF D C B H G12．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤13．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm图5 图614、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=，∠=（）则AEFA．110° B．115°C．120° D．130°15、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组16、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题17、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。
平行四边形证明典型题
平行四边形证明典型题1．如下图，已知平行四边形ABCD，E为AD上的点，且AE=AB,BE和CD的延长线交于F，且∠BFC=40°，求平行四边形ABCD各内角的度数.2.已知平行四边形一组邻角的比是2∶3，求它的四个内角的度数.3.如下图所示，ABCD是平行四边形，以AD、BC为边在形外作等边三角形ADE和CBF，连结BD、EF，且它们相交于O，求证：EO=FO，DO=BO.4.已知：平行四边形ABCD中，AD=2AB，延长AB到F，使BF=AB，延长BA到E使AE=AB，求证：CE⊥DF5.如图所示，已知平行四边形ABCD，直线FH与AB、CD相交，过A、B、C、D向FH作垂线，垂足为E、H、G、F，求证：AE-DF=CG-BH6.平行四边形ABCD中，E为DC中点，延长BE与AD的延长线交于F，求证：E为BF中点，D为AF的中点.7.如图所示，平行四边形ABCD中，以BC、CD为边向内作等边三角形BCE和CDF.求证：△AEF为等边三角形.8.如图所示，在△ABC中，BD平分∠B，DE∥BC交AB于E，EF∥AC交BC于F，求证：BE=FC9.如图所示，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是CD中点，分别延长BA和DC到G、H，使AG=CH，连结GF、EH，求证：GF∥EH10.如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于G，CE与DF相交于H.求证：EF与GH互相平分11.在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于O，EF过O交AB于E，交DC于F，且OE=OF，求证：四边形ABCD是平行四边形.12.如图所示，已知△ABC，分别以AB、BC、AC为边向BC同侧作等边三角形ABE、BCD、ACF.求证：DEAF为平行四边形.13.已知：如下图，在四边形ABCD中，AB=DC,AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，AE=CF,求证：四边形ABCD是平行四边形.14.点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB的面积为7cm2，求平行四边形ABCD 的面积.15.有两个村庄A和B位于一条河的两岸，假定河岸是两条平行的直线，现在要在河上架一座与河岸垂直的桥PQ，问桥应架在何处，才能使从A到B总的路程最短.【中考真题演练】1.(河南省中考题)已知：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC的平行线MN分别交DA、DC延长线于点M、N，交AB、BC于点P、Q.求证：MQ＝NP.2.(黄冈市中考题)如图所示，平行四边形ABCD中，G、H是对角线BD上两点，且DG＝BH，DF＝BE.求证：四边形EHFG是平行四边形.3.(江西省中考题)已知：如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，G、H分别是AD、BC的中点，GH交BD于点O.求证：GH与EF互相平分.。
中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案2
DSE 金牌数学专题系列经典专题系列初中数学中考特殊四边形证明及计算一. 解答题1．（1）如图①, ▱ABCD的对角线AC, BD交于点O, 直线EF过点O, 分别交AD, BC于点E, F．求证: AE=CF.（2）如图②, 将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠, 点A落在点A1处, 点B落在点B1处, 设FB1交CD于点G, A1B1分别交CD, DE于点H, I．求证：EI=FG.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）. 718351分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形, 可得AD∥BC, OA=OC, 又由平行线的性质, 可得∠1=∠2, 继而利用ASA, 即可证得△AOE≌△COF, 则可证得AE=CF.（2）根据平行四边形的性质与折叠性质, 易得A1E=CF, ∠A1=∠A=∠C, ∠B1=∠B=∠D, 继而可证得△A1IE≌△CGF, 即可证得EI=FG．（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG.（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG．解答：证明: （1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, OA=OC,∴∠1=∠2,在△AOE和△COF中,, ∴△AOE≌△COF（ASA）, ∴AE=CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠C, ∠B=∠D, 由（1）得AE=CF,由折叠的性质可得: AE=A1E, ∠A1=∠A, ∠B1=∠B,∴A1E=CF, ∠A1=∠A=∠C, ∠B1=∠B=∠D, 又∵∠1=∠2, ∴∠3=∠4, ∵∠5=∠3, ∠4=∠6, ∴∠5=∠6, 在△A1IE与△CGF中,, ∴△A1IE≌△CGF（AAS）, ∴EI=FG．点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中, 注意掌握折叠前后图形的对应关系, 注意数形结合思想的应用．2. 在△ABC中, AB=AC, 点P为△ABC所在平面内一点, 过点P分别作PE∥AC交AB于点E, PF∥AB交BC于点D, 交AC于点F. 若点P在BC边上（如图1）, 此时PD=0, 可得结论: PD+PE+PF=AB.请直接应用上述信息解决下列问题:当点P分别在△ABC内（如图2）, △ABC外（如图3）时, 上述结论是否成立？若成立, 请给予证明；若不成立, PD, PE, PF与AB之间又有怎样的数量关系, 请写出你的猜想, 不需要证明．考点：平行四边形的性质. 718351专题：探究型.分析：在图2中, 因为四边形PEAF为平行四边形, 所以PE=AF, 又三角形FDC为等腰三角形, 所以FD=PF+PD=FC, 即PE+PD+PF=AC=AB, 在图3中, PE=AF可证, FD=PF﹣PD=CF, 即PF﹣PD+PE=AC=AB．解答：解: 图2结论: PD+PE+PF=AB.证明: 过点P作MN∥BC分别交AB, AC于M, N两点,∵PE∥AC, PF∥AB,∴四边形AEPF是平行四边形,∵MN∥BC, PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形,∴AE=PF, ∠EPM=∠ANM=∠C,∵AB=AC,∴∠EMP=∠B,∴∠EMP=∠EPM,∴PE=EM,∴PE+PF=AE+EM=AM.∵四边形BDPM是平行四边形,∴MB=PD.∴PD+PE+PF=MB+AM=AB,即PD+PE+PF=AB.图3结论：PE+PF﹣PD=AB.图3结论: PE+PF﹣PD=AB．图3结论：PE+PF﹣PD=AB．点评：此题主要考查了平行四边形的性质, 难易程度适中, 读懂信息, 把握规律是解题的关键．3. 如图, △ABC是等边三角形, 点D是边BC上的一点, 以AD为边作等边△ADE, 过点C作CF∥DE交AB于点F.（1）若点D是BC边的中点（如图①）, 求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B.C外如图②）, 那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立, 请给出证明；若不成立, 请说明理由.考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质. 718351专题：证明题.分析：（1）根据△ABC和△AED是等边三角形, D是BC的中点, ED∥CF, 求证△ABD≌△CAF, 进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）根据ED∥FC, 结合∠ACB=60°, 得出∠ACF=∠BAD, 求证△ABD≌△CAF, 得出ED=CF, 进而求证四边形EDCF是平行四边形, 即可证明EF=DC．（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC.（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．解答：（1）证明: ∵△ABC是等边三角形, D是BC的中点,∴AD⊥BC, 且∠BAD= ∠BAC=30°,∵△AED是等边三角形,∴AD=AE, ∠ADE=60°,∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°,∵ED∥CF,∴∠FCB=∠EDB=30°, ∵∠ACB=60°, ∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°,∴∠ACF=∠BAD=30°, 在△ABD和△CAF中,，∴△ABD≌△CAF（ASA）, ∴AD=CF, ∵AD=ED,∴ED=CF, 又∵ED∥CF, ∴四边形EDCF是平行四边形, ∴EF=CD．（2）解: △AEF和△ABC的面积比为: 1: 4；（3）解: 成立.理由如下: ∵ED∥FC,∴∠EDB=∠FCB,∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF, ∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA,在△ABD和△CAF中,∴△ABD≌△CAF（AAS）,∴AD=FC,∵AD=ED,∴ED=CF,又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=DC.∴EF=DC．点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多, 综合性较强, 难度较大．4. 如图, 在菱形ABCD中, AB=10, ∠BAD=60度. 点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）.（1）点N为BC边上任意一点, 在点M移动过程中, 线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动, 在什么时刻, 梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动, 过点M作MP∥AB, 交BC于点P．当△MPN≌△ABC时, 设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S, 求出用t表示S的关系式, 井求当S=0时的值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质. 718351专题：压轴题.分析：（1）菱形被分割成面积相等的两部分, 那么分成的两个梯形的面积相等, 而两个梯形的高相等, 只需上下底的和相等即可.（2）易得菱形的高, 那么用t表示出梯形的面积, 用t的最值即可求得梯形的最大面积．（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半, 求得不重合部分的面积, 让菱形面积的一半减去即可．（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可.（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可．解答：解: （1）设: BN=a, CN=10﹣a（0≤a≤10）因为, 点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动, 点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）所以, AM=1×t=t（0≤t≤10）, MD=10﹣t（0≤t≤10）.所以, 梯形AMNB的面积=（AM+BN）×菱形高÷2=（t+a）×菱形高÷2；梯形MNCD的面积=（MD+NC）×菱形高÷2=[（10﹣t）+（10﹣a）]×菱形高÷2当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时,即t+a=10, （0≤t≤10）, （0≤a≤10）所以, 当t+a=10, （0≤t≤10）, （0≤a≤10）时, 可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等的两部分．（2）点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动, 设点N移动的时间为t, 可知0≤t≤5,因为AB=10, ∠BAD=60°, 所以菱形高=5 ,AM=1×t=t, BN=2×t=2t．所以梯形ABNM的面积=（AM+BN）×菱形高÷2=3t×5 ×= t（0≤t≤5）.所以当t=5时, 梯形ABNM的面积最大, 其数值为．（3）当△MPN≌△ABC时,则△ABC的面积=△MPN的面积, 则△MPN的面积为菱形面积的一半为25 ；因为要全等必有MN∥AC,∴N在C点外, 所以不重合处面积为×（at﹣10）2×∴重合处为S=25 ﹣,当S=0时, 即PM在CD上,∴a=2.∴a=2．点评：本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质, 注意使用两条平行线间的距离相等等条件．5. 如图, 在下列矩形ABCD中, 已知: AB=a, BC=b（a＜b）, 假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形, 现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题:命题（Ⅰ）: 图①中, 若AH=BG=AB, 则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅱ）: 图②中, 若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点, 则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅲ）：图③中, 若EF垂直平分对角线AC, 变BC于点E, 交AD于点F, 交AC于点O, 则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．请解决下列问题:（1）命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个, 并证明它是真命题或假命题；（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的, 但不全等的内接菱形）.（3）试探究比较图①, ②, ③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；命题与定理. 718351分析：（1）①先证明是平行四边形, 再根据一组邻边相等证明；②根据三角形中位线定理得到四条边都相等；③先根据三角形全等证明是平行四边形, 再根据对角线互相垂直证明是菱形；（2）先作一条对角线, 在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交, 连接四个交点即可．（3）分别表示出三个菱形的面积, 根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系, 分a＞2b, a=2b和a＜2b三种情况讨论．（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论.（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论．解答：解: （1）都是真命题；若选（Ⅰ）证明如下:∵矩形ABCD,∴AD∥BC,∵AH=BG,∴四边形ABGH是平行四边形,∴AB=HG,∴AB=HG=AH=BG,∴四边形ABGH是菱形；若选（Ⅱ）, 证明如下:∵矩形ABCD,∴AB=CD, AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∵E、F、G、H是中点,∴AE=BE=CG=DG, AH=HD=BF=FC,∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF,∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形；若选（Ⅲ）, 证明如下∵EF垂直平分AC,∴FA=FC, EA=EC,又∵矩形ABCD,∴AD∥BC,∴∠FAC=∠ECA,在△AOF和△COE中,，∴△ADF≌△COE（SAS）∴AF=CE,∴AF=FC=CE=EA,∴四边形AECF是菱形；（2）如图4所示: AH=CF, EG垂直平分对角线FH, 四边形HEFG是菱形；（3）SABGH=a2 ,SEFGH= ab,S菱形AECF= ,∵﹣a2==＞0（b＞a）∴S菱形AECF＞SABGH.∵﹣ab= = = ＞0,∴S菱形AECF＞SEFGH.∵a2 ﹣ab=a（a﹣b）∴当a＞b, 即0＜b＜2a时, S菱形ABGH＞S菱形EFGH；当a= b, 即b=2a时, S菱形ABGH=S菱形EFGH；当a＜b, 即b＞a时, S菱形ABGH＜S菱形EFGH．综上所述:当O＜b＜2a时, SEFGH＜SABGH＜S菱形AECF.当b=2a时, SEFGH=SABGH＜S菱形AECF．当b＞2a时SABGH＜SEFGH＜S菱形AECF.点评：本题主要考查了菱形的判定与性质, 三角形中位线定理, 全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点．注意第（3）题需要分类讨论, 以防错解．6. 在平行四边形ABCD中, ∠BAD的平分线交直线BC于点E, 交直线DC的延长线于点F, 以EC.CF为邻边作平行四边形ECFG.（1）如图1, 证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2, 若∠ABC=90°, M是EF的中点, 求∠BDM的度数；（3）如图3, 若∠ABC=120°, 请直接写出∠BDG的度数．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判定与性质. 718351分析：（1）平行四边形的性质可得AD∥BC, AB∥CD, 再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE, 根据等角对等边可得CE=CF, 再有条件四边形ECFG是平行四边形, 可得四边形ECFG为菱形；（2）首先证明四边形ECFG为正方形, 再证明△BME≌△DMC可得DM=BM, ∠DMC=∠BME, 再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度数；（3）分别连接GB、GC, 求证四边形CEGF是平行四边形, 再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB, 求证△BEG≌△DCG, 然后即可求得答案．（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形. 由AD ∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案.（3）分别连接GB.GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC 及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．解答：解: （1）证明: ∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, AB∥CD,∴∠DAF=∠CEF, ∠BAF=∠CFE,∴∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,又∵四边形ECFG是平行四边形,∴四边形ECFG为菱形.（2）如图, 连接BM, MC,∵∠ABC=90°, 四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形,又由（1）可知四边形ECFG为菱形,∠ECF=90°,∴四边形ECFG为正方形.∵∠BAF=∠DAF,∴BE=AB=DC,∵M为EF中点,∴∠CEM=∠ECM=45°,∴∠BEM=∠DCM=135°,在△BME和△DMC中,∵，∴△BME≌△DMC（SAS）,∴MB=MD,∠DMC=∠BME.∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°,∴△BMD是等腰直角三角形,∴∠BDM=45°；（3）∠BDG=60°,延长AB.FG交于H, 连接HD.∵AD∥GF, AB∥DF,∴四边形AHFD为平行四边形,∵∠ABC=120°, AF平分∠BAD,∴∠DAF=30°, ∠ADC=120°, ∠DFA=30°,∴△DAF为等腰三角形,∴AD=DF,∴平行四边形AHFD为菱形,∴△ADH, △DHF为全等的等边三角形,∴DH=DF, ∠BHD=∠GFD=60°,∵FG=CE, CE=CF, CF=BH,∴BH=GF,在△BHD与△GFD中,∵，∴△BHD≌△GFD（SAS）,∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.点评：此题主要考查平行四边形的判定方法, 全等三角形的判定与性质, 等边三角形的判定与性质, 菱形的判定与性质等知识点, 应用时要认真领会它们之间的联系与区别, 同时要根据条件合理、灵活地选择方法．7. 在△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, 若点D在线段BC上, 以AD为边长作正方形ADEF, 如图1, 易证: ∠AFC=∠ACB+∠DAC；（1）若点D在BC延长线上, 其他条件不变, 写出∠AFC.∠ACB.∠DAC的关系, 并结合图2给出证明；（2）若点D在CB延长线上, 其他条件不变, 直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 718351专题：几何综合题.分析：（1）∠AFC.∠ACB.∠DAC的关系为: ∠AFC=∠ACB﹣∠DAC, 理由为: 由四边形ADEF为正方形, 得到AD=AF, 且∠FAD为直角, 得到∠BAC=∠FAD, 等式左右两边都加上∠CAD得到∠BAD=∠CAF, 再由AB=AC, AD=AF, 利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACF全等, 根据全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB, 又∠ACB为三角形ACD的外角, 利用外角的性质得到∠ACB=∠ADB+∠DAC, 变形后等量代换即可得证；（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°, 可以根据∠DAF=∠BAC=90°, 等号两边都减去∠BAF, 可得出∠DAB=∠FAC, 再由AD=AF, AB=AC, 利用SAS证明三角形ABD与三角形AFC全等, 由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB, 根据三角形ADC的内角和为180°, 等量代换可得证．（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC 的内角和为180°，等量代换可得证.（2）∠AFC、∠ACB.∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．（2）∠AFC.∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．解答：解: （1）关系: ∠AFC=∠ACB﹣∠DAC, …（2分）证明: ∵四边形ADEF为正方形,∴AD=AF, ∠FAD=90°,∵∠BAC=90°, ∠FAD=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD, 即∠BAD=∠CAF, …（3分）在△ABD和△ACF中,，∴△ABD≌△ACF（SAS）, …（4分）∴∠AFC=∠ADB,∵∠ACB是△ACD的一个外角,∴∠ACB=∠ADB+∠DAC, …（5分）∴∠ADB=∠ACB﹣∠DAC,∵∠ADB=∠AFC,∴∠AFC=∠ACB﹣∠DAC；…（6分）（2）∠AFC.∠ACB.∠DAC满足的关系式为: ∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°, …（8分）证明: ∵四边形ADEF为正方形,∴∠DAF=90°, AD=AF,又∠BAC=90°,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAF﹣∠BAF=∠BAC﹣∠BAF, 即∠DAB=∠FAC,在△ABD和△ACF中,∴△ABD≌△ACF（SAS）,∴∠ADB=∠AFC,在△ADC中, ∠ADB+∠ACB+∠DAC=180°,则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°.则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°．点评：此题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定与性质, 三角形的内角和定理, 以及三角形的外角性质, 熟练掌握判定及性质是解本题的关键．8. 已知四边形ABCD是正方形, O为正方形对角线的交点, 一动点P从B开始, 沿射线BC运动, 连接DP, 作CN⊥DP于点M, 且交直线AB于点N, 连接OP, ON. （当P在线段BC上时, 如图1: 当P在BC的延长线上时, 如图2）（1）请从图1, 图2中任选一图证明下面结论: ①BN=CP；②OP=ON, 且OP⊥ON；（2）设AB=4, BP=x, 试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．考点：正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质. 718351专题：代数几何综合题.分析：（1）根据正方形的性质得出DC=BC, ∠DCB=∠CBN=90°, 求出∠CPD=∠DCN=∠CNB, 证△DCP ≌△CBN, 求出CP=BN, 证△OBN≌△OCP, 推出ON=OP, ∠BON=∠COP, 求出∠PON=∠COB即可；（2）同法可证图2时, OP=ON, OP⊥ON, 图1中, S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP, 代入求出即可；图2中, S四边形OBNP=S△POB+S△PBN, 代入求出即可．（2）同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可.（2）同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可．解答：（1）证明: 如图1,∵正方形ABCD,∴OC=OB, DC=BC, ∠DCB=∠CBA=90°, ∠OCB=∠OBA=45°, ∠DOC=90°, DC∥AB,∵DP⊥CN,∴∠CMD=∠DOC=90°,∴∠BCN+∠CPD=90°, ∠PCN+∠DCN=90°,∴∠CPD=∠CNB,∵DC∥AB,∴∠DCN=∠CNB=∠CPD,∵在△DCP和△CBN中∴△DCP≌△CBN,∴CP=BN,∵在△OBN和△OCP中，∴△OBN≌△OCP,∴ON=OP, ∠BON=∠COP,∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP,即∠NOP=∠BOC=90°,∴ON⊥OP,即ON=OP, ON⊥OP．（2）解: ∵AB=4, 四边形ABCD是正方形,∴O到BC边的距离是2,图1中, S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP,= ×（4﹣x）×2+ ×x×2,=4（0＜x＜4）,图2中, S四边形OBNP=S△POB+S△PBN=×x×2+×（x﹣4）×x= x2﹣x（x＞4）,即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：.即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是: ．即以O、P、B.N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：．即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：．点评：本题考查了正方形性质, 全等三角形的性质和判定, 分段函数等知识点的应用, 解（1）小题的关键是能运用性质进行推理, 解（2）的关键是求出符合条件的所有情况, 本题具有一定的代表性, 是一道比较好的题目, 注意：证明过程类似．9. 如图, 四边形ABCD是正方形, 点E, K分别在BC, AB上, 点G在BA的延长线上, 且CE=BK=AG. （1）求证: ①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图: 以线段DE, DG为边作出正方形DEFG（要求: 只保留作图痕迹, 不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF, 猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形, 并证明你的猜想:（4）当时, 请直接写出的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图. 718351分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等, 再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F, 得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形, 然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值.（4）由已知表示出的值．解答：（1）证明: ∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA, ∠DCE=∠DAG=90°.又∵CE=AG,∴△DCE≌△DAG,∴DE=DG,∠EDC=∠GDA,又∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE+∠GDA=90°∴DE⊥DG.（2）解: 如图.（3）解: 四边形CEFK为平行四边形.证明: 设CK、DE相交于M点∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,∴AB∥CD, AB=CD, EF=DG, EF∥DG,∵BK=AG,∴KG=AB=CD,∴四边形CKGD是平行四边形,∴CK=DG=EF, CK∥DG,∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°,∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形CEFK为平行四边形.（4）解: ∵,∴设CE=x, CB=nx,∴CD=nx,∴DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=（n2+1）x2,点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图, 解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论, 此题较复杂．10. 如图, 点P是正方形ABCD对角线AC上一动点, 点E在射线BC上, 且PB=PE, 连接PD, O为AC中点. （1）如图1, 当点P在线段AO上时, 试猜想PE与PD的数量关系和位置关系, 不用说明理由；（2）如图2, 当点P在线段OC上时, （1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3, 当点P在AC的延长线上时, 请你在图3中画出相应的图形（尺规作图, 保留作图痕迹, 不写作法）, 并判断（1）中的猜想是否成立？若成立, 请直接写出结论；若不成立, 请说明理由．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 718351分析：（1）根据点P在线段AO上时, 利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD, PE=PD；（2）利用三角形全等得出, BP=PD, 由PB=PE, 得出PE=PD, 要证PE⊥PD；从三方面分析, 当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时, 当点E与点C重合时, 点P恰好在AC中点处, 当点E在BC的延长线上时, 分别分析即可得出；（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上, 利用垂直平分线的性质只要以P为圆心, PB为半径画弧即可得出E点位置, 利用（2）中证明思路即可得出答案．（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案.（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．解答：解: （1）当点P在线段AO上时,在△ABP和△ADP中,∴△ABP≌△ADP,∴BP=DP,∵PB=PE,∴PE=PD,过点P做PM⊥CD, 于点M, 作PN⊥BC, 于点N,∵PB=PE, PN⊥BE,∴DM=NE,在Rt△PNE与Rt△PMD中,∵PD=PE, NE=DM,∴Rt△PNE≌Rt△PMD,∴∠DPM=∠EPN,∵∠MPN=90°,∴∠DPE=90°,故PE⊥PD,PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD, PE⊥PD；（2）∵四边形ABCD是正方形, AC为对角线,∴BA=DA, ∠BAP=∠DAP=45°,∵PA=PA,∴△BAP≌△DAP（SAS）,∴PB=PD,又∵PB=PE,∴PE=PD.（i）当点E与点C重合时, 点P恰好在AC中点处, 此时, PE⊥PD.（ii）当点E在BC的延长线上时, 如图．∵△ADP≌△ABP,∴∠ABP=∠ADP,∴∠CDP=∠CBP,∵BP=PE,∴∠CBP=∠PEC,∴∠PEC=∠PDC,∵∠1=∠2,∴∠DPE=∠DCE=90°,∴PE⊥PD.综合（i）（ii）, PE⊥PD；（3）同理即可得出: PE⊥PD, PD=PE.点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识, 此题涉及到分类讨论思想, 这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．巩固训练:1．如图, 矩形ABCD的对角线交于点O, AE⊥BD, CF⊥BD, 垂足分别为E, F, 连接AF, CE．（1）求证: 四边形AECF是平行四边形；（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G, 则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质. 718351专题：证明题；几何综合题；探究型.分析：（1）根据矩形的性质可知: AB=CD, ∠ABE=∠CDF, ∠AEB=∠CFD=90°, 得到△ABE≌△CDF, 所以AE∥CF, AE=CF, 可证四边形AECF为平行四边形；（2）因为AE∥FG, 得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD, 得到∠BAG=∠DAG, 从而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G, 可得△CAG是等腰三角形．（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE. 利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO. 所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形.（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形．解答：（1）证明: ∵矩形ABCD,∴AB∥CD, AB=CD.∴∠ABE=∠CDF, 又∠AEB=∠CFD=90°,∴AE∥CF,∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF.∴四边形AECF为平行四边形.（2）解: △ACG是等腰三角形.理由如下: ∵AE∥FG,∴∠G=∠GAE.∵AG平分∠BAD,∴∠BAG=∠DAG.又OA= AC= BD=OD,∴∠ODA=∠DAO.∵∠BAE与∠ABE互余, ∠ADB与∠ABD互余,∴∠BAE=∠ADE.∴∠BAE=∠DAO,∴∠EAG=∠CAG, ∴∠CAG=∠G,∴△CAG是等腰三角形.∴△CAG是等腰三角形．点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定, 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等, 先根据已知条件或求证的结论确定三角形, 然后再根据三角形全等的判定方法, 看缺什么条件, 再去证什么条件．2. 如图, 在Rt△ABC中, ∠BAC=90°, E, F分别是BC, AC的中点, 延长BA到点D, 使AD= AB. 连接DE, DF. （1）求证: AF与DE互相平分；（2）若BC=4, 求DF的长．考点：平行四边形的判定. 718351专题：计算题；证明题.分析：（1）连接EF、AE, 证四边形AEFD是平行四边形即可.（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等, 求得AE长即可．（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可.（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质: 平行四边形的对边相等，求得AE长即可．（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可．解答：（1）证明: 连接EF, AE.∵点E, F分别为BC, AC的中点,∴EF∥AB, EF= AB.又∵AD= AB,∴EF=AD.又∵EF∥AD,∴四边形AEFD是平行四边形.∴AF与DE互相平分.（2）解: 在Rt△ABC中,∵E为BC的中点, BC=4,∴AE= BC=2.又∵四边形AEFD是平行四边形,∴DF=AE=2.点评：本题考查了平行四边形的判定, 有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3. 如图, 以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD.△BCE、△ACF.请回答下列问题:（1）求证: 四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时, 四边形ADEF是矩形．考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定. 718351专题：证明题；探究型.分析：1.本题可根据三角形全等证得DE=AF, AD=EF, 即可知四边形ADEF是平行四边形2、要使四边形ADEF是矩形, 必须让∠FAD=90°, 则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°2.要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°2、要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°解答：证明: （1）∵等边△ABD.△BCE、△ACF,∴DB=AB, BE=BC．又∠DBE=60°﹣∠EBA, ∠ABC=60°﹣∠EBA,∴∠DBE=∠ABC. ∴△DBE≌△CBA. ∴DE=AC.又∵AC=AF, ∴AF=DE．同理可证: △ABC≌△FCE, 证得EF=AD．∴四边形ADEF是平行四边形.（2）假设四边形ABCD是矩形, ∵四边形ADEF是矩形, ∴∠DAF=90°.又∵等边△ABD.△BCE、△ACF, ∴∠DAB=∠FAC=60°．∴∠BAC=360﹣∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB=150°.当△ABC满足∠BAC=150°时, 四边形ADEF是矩形．当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形.当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．点评：此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定.4. 已知: 如图, 矩形ABCD中, AB=2, AD=3, E、F分别是AB.CD的中点.（1）在边AD上取一点M, 使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上. 设BM与EF相交于点N, 求证: 四边形ANGM是菱形；（2）设P是AD上一点, ∠PFB=3∠FBC, 求线段AP的长．考点：菱形的判定；矩形的性质. 718351专题：计算题；证明题.分析：（1）设AG交MN于O, 由题意易得AO=GO, AG⊥MN, 要证四边形ANGM是菱形, 还需证明OM=ON, 又可证明AD∥EF∥BC. ∴MO: ON=AO: OG=1: 1, ∴MO=NO；（2）连接AF, 由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF, ∴PA=PF, ∴PA= , 求得PA= ．（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA= ，求得PA= .（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA=，求得PA=．解答：（1）证明: 设AG交MN于O, 则∵A.G关于BM对称,∴AO=GO, AG⊥MN.∵E、F分别是矩形ABCD中AB.CD的中点,∴AE=BE, AE∥DF且AE=DF, AD∥EF∥BC．∴MO: ON=AO: OG=1: 1.∴MO=NO.∴AG与MN互相平分且互相垂直.∴四边形ANGM是菱形.（2）解: 连接AF,∵AD∥EF∥BC,∴∠PAF=∠AFE, ∠EFB=∠FBC.又∵EF⊥AB, AE=BE,∴AF=BF,∴∠AFE=∠EFB.∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC.∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC. ∴∠PFA=∠FBC=∠PAF.∴PA=PF.∴在Rt△PFD中, 根据勾股定理得: PA=PF= ,解得：PA= .。
平行四边形证明练习题
平行四边形证明练习题一．解答题1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．2．在▱ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2求证：△ABE≌△CDF．4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长及AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．5．如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．6．已知：如图，▱ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．7．如图，已知在▱ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF．8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF．10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC．求证：（1）DE=DC；（2）△DEC是等边三角形．13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）连接DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．求证：四边形EFGH是平行四边形．15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE及DF之间的关系：_________（2）请证明你的猜想．16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．17．如图，已知E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF．18．如图，BD是▱ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC 于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形．19．如图，在▱ABCD中，对角线AC及BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE是平行四边形．20．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：EF=DG且EF∥DG．22．已知如图所示，▱ABCD的对角线AC、BD交于O，GH过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F 在AC上且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．平行四边形证明练习题参考答案及试题解析一．解答题（共22小题）1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定及性质．分析：根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．解答：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴∠ADE=∠CBF又∵BE=DF，∴BF=DE，∵在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴∠DAE=∠BCF．点评：本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．2．在▱ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定及性质．分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF即可推出答案．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF．点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出△ABE≌△CDF是证此题的关键．3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2求证：△ABE≌△CDF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．分析：利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，∴在：△ABE及△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解决本题的关键．4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长及AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定及性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，根据平行线的性质即可求得∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又由E是CD边的中点，根据AAS即可求得△EBC≌△EFD，则问题得证．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又∵EC=ED，∴△EBC≌△EFD（AAS），∴BC=DF．点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定及性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．5．（2013•莒南县二模）如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定及性质．分析：根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE 是平行四边形，从而得出BE=DF，BE∥DF．解答：解：由题意得：BE=DF，BE∥DF．理由如下：连接DE、BF．∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．点评：本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．6．已知：如图，▱ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定．分析：根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=CD，根据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF，根据SAS证出即可．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∴∠BAC=∠DCF，∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF．点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证△ABE≌△CDF的三个条件是解此题的关键．7．如图，已知在▱ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF．考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定及性质．分析：根据平行四边形的性质得到DC=AB，DC∥AB，根据平行线的性质得到∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，能推出△AOF≌△COE，得到CE=AF，即可证出答案．解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，∵OA=OC，∴△AOF≌△COE，∴CE=AF，∵DC=AB，∴DE=BF．点评：本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解此题的关键是根据平行四边形的性质证出△AOF和△COE全等．8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？考点：等腰梯形的性质；平行线的判定及性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定．分析：根据等腰三角形性质求出∠B=∠C，根据等腰三角形性质推出∠AEC=∠B=∠C，推出AE∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．解答：解：是平行四边形，理由：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴AB=DC，∠B=∠C，∵AB=AE，∴∠AEB=∠B，∴∠AEB=∠C，∴AE∥DC，又∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形．点评：本题考查了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的应用，关键是根据题意推出AE∥CD，培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目较好，综合性比较强．9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定及性质；平行四边形的判定．分析：连接BE，DF，BD，BD交AC于O，根据平行四边形性质求出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，根据平行四边形的判定推出四边形BEDF是平行四边形即可．解答：证明：连接BE，DF，BD，BD交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB，∵AE=CF，∴OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE=BF．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定等应用，关键是能熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，此题的证明方法二是证△AED≌△CFB，推出DE=BF．10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；平行线的性质；全等三角形的判定及性质．分析：求出∠AED=∠CFB=90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△CFB，推出∠ADE=∠CBD，得到AD∥BC，根据平行四边形的判定判断即可．解答：证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△AED和Rt△CFB中，∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL），∴∠ADE=∠CBD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD∥BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定及性质．专题：证明题．分析：求出AE=DE，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出AF=DC，得出AF∥BD，AF=BD，根据平行四边形的判定推出即可．解答：证明：∵E为AD中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△CED中∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=DC，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴AF=BD，即AF∥BD，AF=BD，故四边形AFBD是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，关键是推出AF=DC=BD．12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC．求证：（1）DE=DC；（2）△DEC是等边三角形．考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定；平行四边形的判定及性质．分析：（1）证出平行四边形ABED，推出DE=AB，即可推出答案；（2）根据BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，推出DC=EC即可证出答案．解答：证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∵AB=DC，∴DE=DC．（2）证明：∵BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，∴DC=EC，由（1）知：DE=DC，∴DE=DC=EC，∴△DEC是等边三角形．点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定等知识点的理解和掌握，证出平行四边形ABED和DC=EC是解此题的关键．13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）连接DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．考点：平行四边形的判定及性质；全等三角形的判定及性质．分析：（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到AD及BC平行且相等，由AD及BC平行得到内错角∠DAF及∠BCA相等，再由已知的AE=CF，根据“SAS”得到△ADF及△CBE 全等；（2）由（1）证出的全等，根据全等三角形的性质得到DF及EB相等且∠DFA及∠BEC 相等，由内错角相等两直线平行得到DF及BE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形DEBF的形状．解答：证明：（1）∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC（1分）∴∠DAF=∠BCA（2分），∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE（3分）∴△ADF≌△CBE（4分）（2）四边形DEBF是平行四边形（5分）∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA=∠BEC，DF=BE，∴DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形（6分）点评：本题综合考查了全等三角形的判断及性质，以及平行四边形的判断及性质．其中第2问是一道先试验猜想，再探索证明的新型题，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类几何试题将成为今后中考的热点试题．14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．求证：四边形EFGH是平行四边形．考点：平行四边形的判定及性质；全等三角形的判定及性质．分析：易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．解答：证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；又∵AE=CG，AH=CF（已知），∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH；∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系及区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE及DF之间的关系：平行且相等（2）请证明你的猜想．考点：平行四边形的判定及性质．分析：（1）BE平行且等于DF；（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．解答：（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD交AC于O，∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，主要检查学生能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．考点：平行四边形的判定及性质；全等三角形的判定及性质．分析：由三角形全等（△ABE≌△CDF）得到BE=DF，所以四边形BFDE是平行四边形，根据对角相等即可得证．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）；∵BE∥DF（已知），∴∠BEF=∠DFE（两直线平行，内错角相等），∴∠AEB=∠CFD（等量代换），∴△ABE≌△CDF（AAS）；∴BE=DF（全等三角形的对应边相等），∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴∠1=∠2（平行四边形的对角相等）．点评：本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用．平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形．17．如图，已知E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF．考点：平行四边形的判定及性质．分析：根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，根据线段的中点的定义得到EB=AB，DF=CD，即BE=DF，BE∥DF，得到平行四边形EBFD，根据平行四边形的性质即可得到答案．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点，∴EB=AB，DF=CD，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴ED=BF．点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定的理解和掌握，能灵活运用平行四边形的性质和判定进行证明是解此题的关键．18．如图，BD是▱ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC 于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形．考点：平行四边形的判定及性质；角平分线的定义．分析：根据平行四边形性质和角平分线定义求出∠FDB=∠EBD，推出DF∥BE，根据平行四边形的判定判断即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∵DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，∴∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，∴∠FDB=∠EBD，∴DF∥BE，∵AD∥BC，即ED∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形．点评：本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质和判定等的应用，关键是推出DF∥BE，主要检查学生能否运用定理进行推理，题型较好，难度适中．19．如图，在▱ABCD中，对角线AC及BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE是平行四边形．考点：平行四边形的判定及性质；全等三角形的判定及性质．分析：利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质推知OA=OC，OB=OD；然后由已知条件“点E、F分别为AO、OC的中点”可以证得OE=OF；最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”即可证得结论．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）．又∵点E、F分别为AO、OC的中点，∴OE=OF．∴四边形BFDE是平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）．点评：本题考查了平行四边形的判定及性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系及区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．20．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．考点：全等三角形的判定及性质；垂线；直角三角形全等的判定；平行四边形的判定及性质．分析：求出∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，推出AF=CE，连接BE、DF，根据HL证Rt△ABF≌Rt△CDE，推出DE=BF，得出平行四边形DEBF，根据平行四边形的性质推出即可．解答：解：BD平分EF，理由是：证法一、连接BE、DF．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵DE∥B F，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BD平分EF；证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DEG（AAS），∴EG=FG，即BD平分EF．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，垂线，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，关键是得出平行四边形DEBF，题目比较好，难度适中．21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：EF=DG且EF∥DG．考点：三角形中位线定理；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定及性质．分析：根据三角形的中位线推出DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，推出GF=DE，GF∥DE，得出平行四边形DEFG，根据平行四边形的性推出即可．解答：证明：∵BD、CE是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE=BC，同理：GF∥BC，GF=BC，∴GF=DE，GF∥DE，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF=DG，EF∥DG．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的中位线，三角形的中线等知识点，主要检查学生能否熟练的运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．22．已知如图所示，▱ABCD的对角线AC、BD交于O，GH过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F 在AC上且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．考点：平行四边形的判定及性质．分析：根据平行四边形性质得出OA=OC，A D∥BC，推出OE=OF，∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，根据AAS证△AGO≌△CHO，推出OG=OH，根据平行四边形的判定推出即可．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∵AE=CF，∴OE=OF，∵AD∥BC，∴∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，在△AGO和△CHO中，∴△AGO≌△CHO（AAS），∴OG=OH，∵OE=OF，∴四边形EHFG是平行四边形．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质和判定等知识点，注意：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．。
(完整版)平行四边形典型证明题(已分类)
平行四边形证明题1.在□ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交DC 于E ，若∠DAE ＝25o，求□ABCD 各角度数.2.如图，把一张长方形ABCD 的纸片沿EF 折叠后，ED 与BC 的交点为G ，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置上，若∠EFG=55°，求∠AEG 度数．3.如图在□ABCD 中，E ，F 为BD 上的点，BE =DF ，那么四边形AECF 是什么图形？并证明.4.如图，在□ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的两点，且∠DAE=∠BCF ． （1）求证：AE=CF ． （2）求证：AE ∥CF5.如图，□ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，CF 平分∠BCD 交AD 于点F ，求证：四边形AECF 是平行四边形.DA CBE6. 如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边中点. （1）求证：四边形ADEF 是平行四边形.（2）若AB=AC=10，BC=12，求四边形ADEF 的周长和面积.7.如图，在ABC △中，点D E ，分别是AB AC ，边的中点，若把ADE △绕着点E 顺时针旋转180°得到CFE △． 求证：四边形DBCF 是平行四边形。
8.如图，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，先沿对角线BD 对折，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G .(1)求证：AG ＝C′G ．(2) 求△BDG 的面积9.如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O.若 AO=3， ∠OBC=30°，求矩形的周长和面积。
10.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°．(1)求∠2的度数．(2)求证：BO＝BE．11. 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.(1)试判断四边形OCED的形状，并证明(2)若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．12.在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F，求证：（1）EO=FO（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？13.如图,BD是菱形ABCD的对角线,点E,F分别在边CD,DA上,且CE=AF.求证:∠DBF=∠DBE.14.如图，在菱形ABCD 中，E 为AD 中点，EF ⊥AC 交CB 的延长线于F.求证：AB 与EF 互相平分.15.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ． 求证：四边形AFCE 是菱形．16.在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE 、CF ． 四边形AECF 是什么形状？并证明.17.已知：如图所示，△ABC 中，E 、F 、D 分别是AB 、AC 、BC 上的点，且DE ∥AC ，DF ∥AB ，要使四边形AEDF 是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是____＿ 试证明：这个多边形是菱形. ABDCF EDCFEBA HG18.如图，在正方形ABCD 中，点G 是BC 上任意一点，连接AG ，过B ，D 两点分别作BE ⊥AG ，DF ⊥AG ， 垂足分别为E ，F 两点，求证：△ADF ≌△BAE .19.如图，已知点E 为正方形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，过点D 作DG ⊥AE ，垂足为G ，延长DG 交AB 于点F ．求证：①BF =CE ．②DF ⊥AE20.如图, 在正方形ABCD 中, M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N ．试说明：MD=MN ．21.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB ，过点D 分别作DE ⊥BC,DF ⊥AC ，垂足分别为E,F.求证：四边形DECF 为正方形AF BE CDG 图6A M DBCEN22.在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D,将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处，将△ADC沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB,FC使其交于点M,判断四边形AEMF的形状并证明.23.如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.(1)求证:四边形AEBD是矩形.(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并证明.24.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为多少？25.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上的一个动点，当PC+PD的值最小时，最小值为 .。
2022年中考复习《平行四边形》专项练习附答案
平行四边形1、〔德阳市2021年〕如图．在ABCD中，AB＝6、AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，DC的延长线于点F, BG⊥AE，垂足为G，假设BG＝42，那么△CEF的面积是A、22B、2C、32D、42答案：A解析：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，∠BAF=∠F，∴∠F=∠DAF，∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；∵AB=CD=6，∴CF=3；∠BEA=∠DAF＝∠BAF，所以，BA＝BE，∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=42可得：AG=2，又∵BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的面积等于82，又∵▱ABCD，∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，面积1：4，∴△CEF的面积为,22．2、〔2021杭州〕在▱ABCD中，以下结论一定正确的选项是〔〕A．AC⊥BD B．∠A+∠B=180°C．AB=AD D．∠A≠∠C考点：平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得∠A+∠B=180°．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．应选B．点评：此题考查了平行四边形的性质．此题比拟简单，注意掌握数形结合思想的应用．3、〔2021•内江〕如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，那么DE：EC=〔〕A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：EC的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．应选B．点评：此题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．4、〔2021•自贡〕如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，那么△EFC的周长为〔〕A．11 B．10 C．9D．8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．应选D．点评：此题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．5、〔2021•泸州〕四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以下条件不能判定这个四边形是平行四边形的是〔〕A．A B∥DC，AD∥BC B．A B=DC，AD=BC C．A O=CO，BO=DO D．A B∥DC，AD=BC考点：平行四边形的判定．分析：根据平行四边形判定定理进行判断．解答：解：A、由“AB∥DC，AD∥BC〞可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，那么该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB=DC，AD=BC〞可知，四边形ABCD的两组对边相等，那么该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO=CO，BO=DO〞可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，那么该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB∥DC，AD=BC〞可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；应选D．点评：此题考查了平行四边形的判定．〔1〕两组对边分别平行的四边形是平行四边形．〔2〕两组对边分别相等的四边形是平行四边形．〔3〕一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．〔4〕两组对角分别相等的四边形是平行四边形．〔5〕对角线互相平分的四边形是平行四边形．6、〔2021泰安〕如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，假设DG=1，那么AE的边长为〔〕A．2 B．4 C．4 D．8考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC 中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF 的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．解答：解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，那么AF=2AG=2，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF〔AAS〕，∴AF=EF，那么AE=2AF=4．应选B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．7、〔2021•益阳〕如图，在平行四边形ABCD中，以下结论中错误的选项是〔〕A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCD C．A B=CD D．A C⊥BD考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可．解答：解：∵在平行四边形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠1=∠2，故此选项正确，不合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BC D，AB=CD，故B，C选项正确，不合题意；无法得出AC⊥BD，故此选项错误，符合题意．应选D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键．8、〔2021•湘西州〕如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，那么△EDF与△BCF的周长之比是〔〕A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质分析：根据平行四边形性质得出AD=BC，AD∥BC，推出△EDF∽△BCF，得出△EDF与△BCF 的周长之比为，根据BC=AD=2DE代入求出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△EDF∽△BCF，∴△EDF与△BCF的周长之比为，∵E是AD边上的中点，∴AD=2DE，∵AD=BC，∴BC=2DE，∴△EDF与△BCF的周长之比1：2，应选A．点评：此题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，相似三角形的周长之比等于相似比．9、〔2021•荆门〕四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出以下四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有〔〕A．3种B．4种C．5种D．6种考点：平行四边形的判定．分析：根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．解答：解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；应选：B．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．10、〔2021•恩施州〕如下图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，那么DF：FC=〔〕A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，那么△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，那么DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴D F：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．应选D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答此题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．11、〔2021•绥化〕如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，那么的值为〔〕A．1B．C．D．考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出H是AO的中点，再根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，然后求出CH=3AH，再求解即可．解答：解：∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AH=HO，∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴AO=CO，∴CH=3AH，∴=．应选C．点评：此题考查了平行四边形对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质是解题的关键．12、〔2021哈尔滨〕如图，在ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，那么AB的长为( )．(A)4 (B)3 (C) 52(D)2考点：平行四边形的性质及等腰三角形判定．分析：此题主要考查了平行四边形的性质：平边四边形的对边平行且相等；等腰三角形判定，两直线平行内错角相等；综合运用这三个性质是解题的关键解答：根据CECE平分∠BCD得∠BCE=∠ECD,AD∥BC得∠BCE=∠DEC从而△DCE为等腰三角形，ED=DC=AB,2AB=AD=AE+ED=3+AB,解得AB=3应选B13、〔2021•黔西南州〕▱ABCD中，∠A+∠C=200°，那么∠B的度数是〔〕A．100°B．160°C．80°D．60°考点：平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC，∵∠A+∠C=200°，∴∠A=100°，∴∠B=180°﹣∠A=80°．应选C．点评：此题考查了平行四边形的性质．此题比拟简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．14、〔2021•钦州〕如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路线图〔箭头表示行进的方向〕．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为〔〕A．甲＜乙＜丙B．乙＜丙＜甲C．丙＜乙＜甲D．甲=乙=丙考点：平行四边形的判定与性质．专题：应用题．分析：延长ED和BF交于C，如图2，延长AG和BK交于C，根据平行四边形的性质和判定求出即可．解答：解：图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长ED和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，应选D．点评：此题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．15、〔2021福省福州4分、8〕如图，△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为〔〕A． B． C． D．考点：平行四边形的判定与性质；作图—复杂作图．分析：首先根据题意画出图形，知四边形ABCD是平行四边形，那么平行四边形ABCD的对角线相等，即AD=BC．再利用刻度尺进行测量即可．解答：解：如下图，连接BD、BC、AD．∵AC=BD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC．测量可得BC=AD=，应选：B．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是正确理解题意，画出图形．16、〔2021台湾、31〕如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE 为平行四边形，其作法如下：〔甲〕连接BD、CE，两线段相交于P点，那么P即为所求〔乙〕先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，那么P即为所求．对于甲、乙两人的作法，以下判断何者正确？〔〕A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确考点：平行四边形的判定．分析：求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．解答：解：甲正确，乙错误，理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是=108°，AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE=×〔180°﹣108°〕=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°﹣36°=72°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣72°﹣72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠BAE=108°，∴∠BAM=∠EAM=54°，∵AB=AE=AP，∴∠ABP=∠APB=×〔180°﹣54°〕=63°，∠AEP=∠APE=63°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；应选C．点评：此题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．17、〔2021安顺〕在平行四边形ABCD中，E在DC上，假设DE：EC=1：2，那么BF：BE= ．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由题可知△ABF∽△CEF，然后根据相似比求解．解答：解：∵DE：EC=1：2∴EC：CD=2：3即EC：AB=2：3∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF=AB：EC=3：2．∴BF：BE=3：5．点评：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．18、〔2021•滨州〕在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，那么OE= 5 ．考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．分析：先画出图形，根据平行线的性质，结合点E是边CD的中点，可判断OE是△DBC的中位线，继而可得出OE的长度．解答：解：∵四边形ABCD是平行四变形，∴点O是BD中点，∵点E是边CD的中点，∴OE是△DBC的中位线，∴OE=BC=5．故答案为：5．点评：此题考查了平行四边形的性质及中位线定理的知识，解答此题的关键是根据平行四边形的性质判断出点O是BD中点，得出OE是△DBC的中位线．19、〔13年安徽省4分、13〕如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别为S、S1、S2。