高中数学定积分的概念
高二数学定积分知识点总结
高二数学定积分知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的引入在高中数学中，我们学过了不定积分的概念和性质，定积分就是在这个基础上引入的。
当我们对一个函数进行积分时，如果我们要计算的量是函数在一个区间上的面积或者体积，那么我们就需要用到定积分。
定积分可以看做是一个变量的特定区间上的累积和。
1.2 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=n(b-a)，在第i个小区间上任取一点ξi，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a,b]f(x) dx=lim{n→∞}∑{i=1}^{n}f(ξi)Δx其中lim{n→∞}表示当n趋向于无穷大时的极限。
1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义即函数f(x)在[a, b]上的定积分就是函数y=f(x)与x轴所围区域的有向面积。
1.4 定积分的性质（1）定积分的线性性质：∫[a,b][f(x)+g(x)] dx=∫[a,b]f(x) dx+∫[a,b]g(x) dx（2）定积分的估值性质：若f(x)在[a, b]上连续，则必定存在α∈[a, b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(α)(b-a)1.5 定积分的计算定积分的计算主要是通过不定积分的计算来实现。
通过不定积分求出F(x)的原函数后，即可得到∫[a,b]f(x) dx=F(b)-F(a)。
二、定积分的应用2.1 定积分的物理意义定积分在物理学中有着重要的应用，它可以用来计算物体的质量、重心、压力、力矩等。
在力学中，定积分常用来计算物体的质心以及转动惯量等。
2.2 定积分的几何应用定积分可以用来求曲线与坐标轴所围成的曲边梯形或者曲边梯形的面积，也可以用来计算曲线的弧长、曲线旋转体的体积等几何问题。
2.3 定积分的工程应用在工程问题中，定积分可以用来计算各种曲线的长度、曲线所围成的区域面积、曲线所绕成的物体的体积等。
2.4 定积分的经济应用在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本、总利润等与变量有关的经济指标。
高中数学定积分的概念及相关题目解析
高中数学定积分的概念及相关题目解析在高中数学中，定积分是一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍定积分的概念，并通过具体的题目解析来说明其考点和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用定积分。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分结果的确定值。
定积分的符号表示为∫，下面是定积分的定义：设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选取每个小区间中的一个点ξi，作为f(x)在该小区间上的取值点。
那么，定积分的近似值可以表示为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Σf(ξi)Δx当n趋向于无穷大时，定积分的近似值趋向于定积分的准确值，即：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx这个准确值就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
二、定积分的考点和解题技巧1. 计算定积分的基本方法对于一些简单的函数，可以直接使用定积分的定义进行计算。
例如，计算函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx = lim(n→∞)Σ(ξi)²Δx在这个例子中，可以将区间[0, 1]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = 1/n。
然后，选取每个小区间中的一个点ξi，可以选择ξi = i/n。
这样，定积分的近似值可以表示为：∫[0, 1]x²dx ≈ Σ(ξi)²Δx = Σ(i/n)²(1/n)当n趋向于无穷大时，可以求出定积分的准确值。
在这个例子中，计算过程如下：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σ(i/n)²(1/n)= lim(n→∞)(1/n³)Σi²= lim(n→∞)(1/n³)(1² + 2² + ... + n²)= lim(n→∞)(1/n³)(n(n+1)(2n+1)/6)= 1/3因此，函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分的值为1/3。
高中数学定积分知识点
高中数学定积分知识点高中数学中的定积分，是一个重要的数学概念。
它在微积分中起到了至关重要的作用，不仅仅是理论上的基础，也是解决实际问题的关键工具。
在本文中，我们将探讨一些关于高中数学定积分的知识点，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
首先，我们需要明确定积分的定义和基本性质。
定积分可以理解为一个函数在某个区间上的累积效应。
它可以表示为函数f(x)在[a, b]区间上的面积或曲线下方的积分值。
定积分的计算有多种方法，其中一种常见的方法是使用黎曼和来逼近。
定积分有一些基本的性质，其中包括线性性质、可加性质、保号性质等。
这些性质使我们能够更加灵活地使用定积分来求解各种问题。
此外，定积分还有一个重要的应用是计算曲线的弧长。
通过定积分，我们可以精确地计算出曲线的弧长，而不需要使用近似方法。
在应用定积分解决实际问题时，我们通常需要先建立一个数学模型。
这个模型可以是一个函数，描述了变量之间的关系。
然后，我们可以使用定积分来求解这一函数在某个区间上的累积效应，得到我们想要的结果。
例如，在物理学中，我们可以使用定积分来计算物体的质量、面积、体积等。
除了常见的计算求解问题，定积分还有一些更深入的概念和应用。
例如，定积分可以用来计算函数的平均值。
通过将函数在某个区间上的定积分除以区间的长度，我们可以得到函数在该区间上的平均值。
这对于理解函数在一个区间内的变化趋势是非常有帮助的。
此外，定积分还可以用于求解微分方程。
微分方程是描述自然现象中变化的方程，定积分可以帮助我们从微分方程的解中得到更多的信息。
例如，通过将微分方程转化成定积分的形式，我们可以求解出函数的图像、特定点的坐标等。
值得一提的是，高中数学中的定积分只是微积分的一个基础，对于后续的学习和研究，定积分还有更多的应用和拓展。
通过进一步学习和研究，我们可以了解到曲线的曲率、曲线下的曲面积分等更加复杂的概念和方法。
综上所述，高中数学中的定积分是一个非常重要的概念，它不仅仅是理论上的基础，也是解决实际问题的关键工具。
高中数学总结归纳 对定积分的概念剖析
对定积分的概念剖析学习定积分对理解中学教材是必要的，如祖日恒原理.只有学习了定积分才能更好地理解它，要想学好本部分，也需从定义学起. 一、关于定积分的概念 １.定积分的定义：如果函数()f x 在区间[]a b ，上连续（如图1），用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L ．将区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间1[]i i x x -，上任取一点(12)i i n ξ=L ，，，，作和式11()()nni i i i baf x f n ξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[]a b ，上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即1()lim ()nbi an i b af x dx f n ξ→=-=∑⎰∞，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[]a b ，叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．注意：1．定积分是一种“和”的极限，蕴含着分割、近似代替，求和、取极限的思想方法，这种思想方法来源于“计算底边在区间[]a b ，上，高为()y f x =的曲边梯形的面积”． ①分割：将大曲边梯形分割成很多个小曲边梯形，即在区间[]a b ，内取1n -个点，它们依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<=<L ，这些点把区间[]a b ，等分成n 个小区间1[]12i i x x i n -=L ，，，，，．②近似代替：当分点较多，又分割的较细时，即在每个小区间上f 的值变化不大时，在每个小区间1[]i i x x -，上任取一点i ξ，以()i f ξ为高，1[]i i x x -，为底的小矩形面积近似代替相应区间上的小曲边梯形的面积（近似代替可以有以直代曲，以匀速代变速，以恒力代变力，以圆柱代圆锥等多种方式）．③求和：将区间[]a b ，上近似代替小曲边梯形的小矩形的面积加起来，就是所求曲边梯形面积的近似值.④取极限：当上述分割越来越细，即分点无限增多，同时小区间的长度趋近于零时，则求和公式的极限就是曲边梯形的面积.许多实际问题，如求体积、变力作功、变速直线运动的路程等，都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”归结成这种特殊结构的“和”的极限.抛开实际问题的具体意义，从数学结构上来考虑问题，就产生了定积分的定义.2．在定义中均假设a b <，当a b =或a b >时，有()0baf x dx =⎰或()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰．3．定积分是一种“和”的极限值，所以是一个常数，与被积函数()f x 在积分区间[]a b ，有关，与积分变量用什么字母表示无关．4．如果被积函数()f x 在积分区间[]a b ，上连续，那么定积分()ba f x dx ⎰必定存在，如无特别声明，我们总假定被积函数()f x 在积分区间上连续． 2．定积分的几何意义：（1）当函数()0f x ≥时，定积分()ba f x dx ⎰在几何上表示：由曲线()y f x =、直线x a x b ==，及x 轴所围成的曲边梯形（图2）的面积S ．即()baS f x dx =⎰．（2）如果在区间[]a b ，，函数()0f x ≤时，那么曲边梯形位于x 轴下方（图3）．在1()lim ()nbi an i b a f x f n ξ→=-=∑⎰∞．右端的和式中，由于0b a n ->，()0i f ξ≤，故()0i b af nξ-≤０．从而积分()0baf x dx ⎰≤，这时它等于图3所示曲边梯形面积的负值，即()b af x dx S =-⎰或()baS f x dx =-⎰Ｓ．（3）当()f x 在区间[]a b ，上有正有负时，积分()baf x dx ⎰在几何上表示图4所示的几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）123()baf x dx S S S =-+-⎰．二、典例分析例1 根据定积分的几何意义计算定积分：312x dx -⎰．解：由几何意义，所求定积分表示由直线13x x ==，及02y y x ==-，所围成图形的面积，即图中阴影部分面积．因此311121111122x dx -=⨯⨯+⨯⨯=⎰．例2 利用定积分定义计算：21(1)x dx +⎰．解：被积函数()1f x x =+，在区间[12]，上连续，故可积． 将区间[12]，分成n 等份，每个区间的长度为1x n ∆=，在11[]11i i i i x x n n --⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，，上取点111i i i x nξ--==+，(12)i n =L ，，，． 于是111()()112i i i i f f x n nξ---==++=+， 从而得到21111121()2n nn i i i i i i f x n n n n ξ===--⎛⎫⎛⎫∆=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑·221[012(1)]n n n n =+++++-L · 21(1)12222n n n n n --=+=+·． 所以21115(1)lim 22222n n x dx n →-⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭⎰∞．。
高中定积分的计算
高中定积分的计算在高中数学学习中，定积分是一个重要的概念和计算方法。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在物理、经济等其他学科中也具有重要意义。
本文将介绍高中定积分的基本概念、计算方法和一些常见的应用场景。
一、定积分的基本概念定积分是微积分中的重要内容，是对曲线下面积的一种度量。
定积分的计算可以理解为将曲线下的面积划分为无限多个无穷小的矩形，并将这些矩形的面积加起来，得到整个曲线下的面积值。
在高中数学中，定积分可以用下面的形式表示：∫[a,b] f(x) dx其中，f(x)表示被积函数，[a,b]表示积分区间，dx表示积分的自变量。
定积分的结果是一个数值，表示被积函数在积分区间内的曲线下面积。
二、定积分的计算方法高中定积分的计算方法主要有三种：几何法、代数法和牛顿-莱布尼茨公式。
1. 几何法：这种方法利用几何图形的面积性质来计算定积分。
常见的几何图形包括矩形、三角形、梯形等。
通过将曲线下的面积分割成这些几何图形，然后计算它们的面积并相加，就可以得到定积分的值。
2. 代数法：代数法是通过对被积函数进行积分运算来计算定积分。
这种方法可以利用积分的基本性质和常见函数的积分公式来进行计算。
通过将被积函数进行积分并确定积分上下限，就可以得到定积分的结果。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：这是一种基于导数和原函数的关系来计算定积分的方法。
根据牛顿-莱布尼茨公式，如果一个函数F(x)是f(x)的原函数，那么在积分区间[a,b]上，有：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)这种方法适用于已知被积函数的原函数的情况，可以直接通过求原函数的差值来计算定积分。
三、定积分的应用场景高中数学的定积分不仅仅是一种计算方法，还具有一些实际应用场景。
以下是一些常见的应用示例：1. 面积计算：定积分可以用来计算曲线下的面积，例如计算二次曲线的面积、圆的面积等。
2. 长度计算：通过对曲线方程求导得到曲线的斜率，再利用定积分计算曲线的弧长。
高中数学知识点归纳定积分基础知识
高中数学知识点归纳定积分基础知识高中数学的定积分是数学中非常重要的一个概念，它是微积分的核心内容之一。
在学习定积分的过程中，我们需要了解一些基础知识，本文将对高中数学中定积分的基础知识进行归纳总结。
一、定积分的概念定积分是积分学中重要的概念之一，它可以看作是函数在一个区间上的加权平均。
定积分的定义是：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，然后在每个小区间上取一点ξ_i，构成一个积分和S_n，当n趋向于无穷大时，若极限存在且与ξ_i的选法无关，则称该极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫(a,b)f(x)dx。
二、定积分的计算方法在计算定积分时，可以使用不同的方法，具体的计算方法如下：1. 几何意义法：根据定积分的几何意义，可以将定积分看作是曲线与坐标轴所围成的面积。
根据几何图形的性质，可以求得定积分的值。
2. 定积分的性质法：根据定积分的性质，可以利用一些性质对定积分进行化简。
比如定积分的线性性质、区间可加性等。
3. 换元法：对于一些较复杂的函数，可以通过变量代换的方法将其化简为简单的形式，然后进行定积分的计算。
4. 分部积分法：对于一些乘积形式的函数，可以通过分部积分的方法将其化简为简单的形式，然后进行定积分的计算。
5. 积分表法：对于一些常见的函数，可以通过积分表中的公式直接进行定积分的计算。
三、定积分的应用领域定积分在数学中有广泛的应用领域，具体包括以下几个方面：1. 几何应用：定积分可以用来计算曲线与坐标轴所围成的面积、曲线的弧长、曲线的平均值等。
2. 物理应用：在物理学中，定积分可以用来求解物体在一定时间内的位移、速度、加速度等。
3. 统计学应用：在统计学中，定积分可以用来计算概率密度函数下的概率、求解统计分布的期望值等。
4. 经济应用：在经济学中，定积分可以用来计算收入曲线下的总收入、成本曲线下的总成本等。
总结：高中数学中的定积分是微积分学习的重要内容，通过学习定积分的基础知识，我们可以更好地理解和应用定积分。
定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解
定积分、微积分基本定理1．定积分、微积分基本定理【定积分】定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积．即由所围成图（f X）[a，b] y＝0，x＝a，x＝b，y＝（f X）形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．定积分的求法：求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．【微积分基本定理】在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．其中，微积分的核心（基本）定理是푏푎F（x）＝（f x）（f x）푓(푥)푑푥= 퐹(푏)―퐹(푎)，其中，而必须在区间（a，b）内连续．2例 1：定积分|3 ―2푥|푑푥=1解：1 | 3﹣2x | dx2=321(3 ―2푥)푑푥+232(2푥―3)푑푥3＝（﹣2）1 +（x2﹣3x）|233x x |221/ 2=12通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有；第二，每一段对应的被积分函数的表dx达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．例 2：用定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥．―3解：根据定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，―3故3―39 ―푥2푑푥=12 × 휋× 32 =9휋．2这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．【考查】定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．2/ 2。
高二数学-定积分概念-课件
0
( x f (t)dt)2
0
( x f (t)dt)2
0
0
依题意，在[0, x](x 0)上, f (t) 0, (x t) f (t) 0,
且(x t) f (t) 0,故
x
f (t)dt 0,
x
(x t) f (t)dt 0,
0
0
F(x) 0(x 0),从而F(x)在(0,)内单调增加。
(2) lim 4 sin n xdx 0. n 0
解： （利用积分中值定理）
(1)
1 2
xn
dx
n
(1 0)
(0 1)
0 1 x 1 2
2
原式 lim n 0.
n 2(1 )
(2)
4
sin
n
xdx
sin
n
(
0)
0
4
原式 lim sin n 0.
n 4
(0 )
n
n
(iii)求和： A Ai f (i )xi
i1
i1
o a xi1i xi
bx
(iv)取极限：令 max{ x1,xn}，则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )xi
1.定积分定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，
(i)分割： 在[a,b]内插入若干个分点a x0 xn1 xn b，
x
0
(1) (1) 2
例4 设f (x)在[0,)内连续，且f (x) 0.证明
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内卫单调增加函数。
0 f (t)dt
证
x
x
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b
n
a
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
b
a
f
(x)dx，即 b b aa
ff
n
((xx))ddxxlimlim n0 i1i
n
f
1
b(ni)axfi。(i
)
定积分的概念
一般地，设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，用分点
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的
曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 b f (x)dx 在几何上表示 y a
上述曲边梯形面积的负值。
yf (x)
b
S a[ f (x)]dx
b
S a[ f (x)]dx
b f (x)dx ．， a
例2：计算定积分 1 (2x - x2 ) dx 0
练习：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所 围成的图形面积
3 x + 3 dx - 3 x2 - x + 3 dx 3 -x2 + 3x dx
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义．
二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义．
g(x)dx
a
b
S1
ya
fg((x))dx
b
S2
g ( x)dx
a
O aa
bx
（三）、定积分的基本性质 性质1.
b
b
a kf ( x )dx ka f ( x )dx
性质2.
b
b
b
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
Oa
b
c
b
f (x)dx S f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
bx
b
c
b
a f (x)dx aS f (x)dxc f (x
yf (x)
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分
的面积?
y
yf (x)
b
b
S S1 S2
a
f (x)dx
Sn
n i 1
f ( i ) x n
n ( i )3 1 i1 n n
1 n4
n
i3
i 1
1 n4
1 n2 (n 1)2 4
1 (1 1 )2 4n
3 取极限
1 x3dx
0
lim
n
Sn
lim
n
1 (1 4
1 )2 n
1 4
练习：利用定积分计算： 2 x3 dx 0
教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:
分割---近似代替----求和------取极限得到解决.
n
小矩形面积和S=
i1
f (i )x
n i1
f
(i
)
n i 1
ba n
f (i )
如果 x 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn
无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f (x) 在区
间[a,b] 上的定积分。记为： S
b
f (x)dx
a
定积分的定义：
即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1
b
n
a x0 x1 x2 L xi1 xi L xn b 将区间[a,b] 等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 x
（
x
b
n
a
），在每个小区间 xi1
,
xi
上取一点
i i 1,2,L ,n ，作和式：
Sn
n i 1
f (i )x
a
f
(i )
定积分的相关名称：
———叫做积分号， y
f(x) ——叫做被积函数，
y f (x)
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限，
O
a
bx
[a, b] —叫做积分区间。
积分上限
n
b
f ( x)dx I
a
lim
b
f (x)dx。
aa
aa
bx
b f ( x )dx
c1 f ( x )dx
c2 f ( x )dx
b
f ( x )dx
a
a
c1
c2
例 1：利用定积分的定义，计算 1 x3dx 的值。 0
解：1 分割：在区间0 ,1上等间隔地插入 n 1个点，
n
i 1
f (i )xi
被
被
积
积分下限
积
积
分
函
表
变
数
达
量
式
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
b
f(x)dx
b
b
f (t)dt
f(u)du。
a
a
a
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
b
a
(3) f(x)dx - f (x)dx
a
b
(二)、定积分的几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
Oa
bx
特别地，当 ab 时，有b a
f (x)dx0。
将 区 间 0 ,1 等 分 成 n 个 小 区 间 ， 记 第 i 个 区 间 为
i
n
1
,
i n
(i 1, 2 ,L
, n) ，其长度为 x
i i 1 nn
1 n
。
2 近似代替，求和
取 i
i (i 1, 2,...n) 则 n
1 0
x3dx
a
a
a
三: 定积分的基本性质 性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b
c
b
a f ( x )dx a f ( x )dx c f ( x )dx
y
y=f(x)
思考：从定积分的几何
意义解释性质⑶
b
f
b
(xf)(dxx)dx
c
c
f
(fx)(xd)bxdfx(bx)bdfx(fx()xdc)xdf。 x(。 x)dx