2021届高考数学专题汇编：数列放缩方法

数列放缩法
常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，基本结构有4种：
1.形如∑a i n i=1<k （k 为常数）
2.形如∑a i n i=1<f (n )
3.形如∏a i n i=1<k （k 为常数）
4.形如∏a i n
i=1<f (n )
例1.求证：12
+
12
2+
12
3+⋯+
12n
<1(n ∈N ∗)
变式1求证：1
2+
222
+
323
+⋯+
n 2n
<2(n ∈N ∗)
变式2求证：12+1
+
122+1
+⋯+
12n +1
<1(n ∈N ∗)
变式3求证：1
2+1+2
22+2
+⋯+n
2n+n
<2(n∈N∗)
例2.求证：1
1×3+1
3×5
+⋯+1
(2n−1)(2n+1)
<1
2
(n∈N∗)
变式1求证：1
1×3+1
3×5
+⋯+1
(2n−1)(2n+1)
≤1
3
(n∈N∗)
变式2求证：1
2×3+1
3×5
+⋯+1
(n+1)(2n+1)
<5
12
(n∈N∗)
例3.求证：1+1
22
+1
32
+⋯⋅1
+n2
<2(n∈N∗)
变式1求证：1+1
22
+1
32
+⋯⋅1
+n2
<7
4
(n∈N∗)
变式2求证：1+1
22
+1
32
+⋯⋅1
+n2
<5
3
(n∈N∗)
变式3求证：1+1
32
+1
52
+⋯⋅1
（2n−1）
2
<5
4
(n∈N∗)
例4.已知数列{a n}，a n=2n
2n−1(n∈N∗)求证：∑a i(a i−1)
n
i=1
<3
变式.已知数列{a n}，a n=2n
2n−1(n∈N∗)求证：∑a i(a i−1)
n
i=1
<
25 9
例5. 求证：1
3−2+1
32−22
+⋯+1
3n−2n
<3
2
(n∈N∗)
变式.求证：1
3−2+1
32−2
+⋯+1
3n−2
<17
14
(n∈N∗)
例6. 求证：2(√n+1−1)<1+
√2+
√3
+⋯+
√n
<2√n(n∈N∗)
变式.求证：1+
√2+
√3
+⋯+
√n
<√2(√2n+1−1)(n∈N∗)
例7. 求证：12
×34
×56
⋯
2n−12n
<√
12n+1
(n ∈N ∗)
变式.求证：(1+1)(1+1
4)(1+1
7)⋯(1+1
3n−2)>√3n +13
(n ∈N ∗
)
常见放缩公式： 平方型：1
n (n+1)
<
1n 2<
1n (n−1) (n ≥2)
1n 2
<
1
n 2−1=1
2(1
n−1−1
n+1
)(n ≥2) 1n 2=44n 2<44n 2−1=2(12n −1−12n +1) 1(2n −1)2<14n (n −1)=14(1n −1−1
n )(n ≥2)
立方型：
1n 3
<
1n (n 2−1
)
=1
2n (
1
n−1
−
1n+1
)=12
[1(
n−1)n
−
1n (n+1)
] (n ≥2)
根式型：
2(√n+1−√n)=
2
√n+1+√n
<
1
√n
=
2
2√n
<
2
√n+√n−1
=2(√n−√n−1)
1√n =
2√2
2√2n
<
2√2
√2n−1+√2n+1
=√2(√2n+1−√2n−1)
1√n+2=
2
2√n+2
<
2
√n+2+√n
=√n+2−√n
1
√n(n+1)<
1
√n+√n−1
=√n−√n−1
指数型：
1
a n−
b n ≤
1
a n−1(a−b)
(a>b≥1)
证：1
a n−
b n =1
a n−1[a−b⋅(b
a
)
n−1
]
≤1
a n−1[a−b⋅(b
a
)
]
=1
a n−1(a−b)
1 a n−b ≤
1
a n−1(a−b)
(a>b≥1)
证：1
a n−
b =1
a n−1(a−b
a n−1
)
≤1
a n−1(a−b
a0
)
=1
a n−1(a−b)
1 3n <
1
3n−2
≤
1
3n−1
1 4n <
1
4n−3
≤
1
4n−1
1 4n <
1
4n−1
≤
1
3⋅4n−1
奇偶型：
2n−1 2n <
2n−1
√(2n−1)(2n+1)
<√
2n−1
2n+1。