关于序列收敛性的一个注记
kd + r j= kd +1
∑
xj +
1 kd 1 d x j − ∑ ak ∑ n j= d k= 1 1
Md 1 d kd 1 k −1 + ∑ ∑ x jd + r − ar n= d r 1= n kj 0
x + + xn x1 + + xn xn − 1 + 注意到， xn = ，结论成立。 n n
如果序列 {xn }n = 0 有不同的收敛子列，则 {xn }n = 0 一定不是 Cauchy 收敛，但它的算术平均可能收敛。
∞ ∞
下面给出这样一个结论，它在概率论中非常有用。 命题 3 设 d 是一正整数。序列 {xn }n = 0 满足
吴健 等
关键词
Cauchy收敛，Cesaro收敛，Abel收敛
1. 引言
众所周知，序列的收敛性 {xn }n = 0 在数学分析中扮演着极其重要的角色(见[1]-[4])，通常的收敛均是
∞
Cauchy 收敛。 定义 1 对于有界序列 {xn }n = 0 ，如果 lim xn = x 则称序列 {xn }n = 0 Cauchy 收敛到 x 。
摘
要
本文讨论Cauchy收敛、Cesaro收敛、以及Abel收敛性之间的关系。给出若干反例说明这三种收敛性一 个比一个弱，并且通过增加适当的条件给出较弱形式的逆命题。
文章引用: 吴健, 周廖, 孙成恩. 关于序列收敛性的一个注记[J]. 理论数学, 2016, 6(5): 398-401. /10.12677/pm.2016.65054
和
∞ s (1 − s ) (1 − s ) ∑ xk s k = 2 k =1 (1 + s )
因此， {xn }n = 0 Abel 收敛到 0，但是 Cesaro 意义下发散。
∞
基金项目
安徽省大学生创新基金项目资助(201410360300)。
参考文献 (References)
[1] [2] [3] [4] [5] Korevaar, J. (2004) Tauberian Theory. A Century of Developments. Grundlehren der Mathematichen Wissenschaften 329. Springer-Verlag, xvi+483. Montgomery, H.L. and Vaughan, R.C. (2007) Multiplicative Number Theory I. Classical Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge, 147-167. Tauber, A. (1897) Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen [A Theorem about Infinite Series]. Monatshefte fur Mathematik und Physik, 8, 273-277. /10.1007/BF01696278 (in German) Wiener, N. (1932) Tauberian Throrems. Annals of Mathematics, 33, 1-100. /10.2307/1968102 Stoll, M. (2004) Introduction to Real Analysis. Chinese Machine Press, Beijing.
证当 n > N * 成立
结论成立。 注 1 如果定理 1 中的 x 取 ±∞ ， 结论仍然成立。 即： 如果 lim n →∞ xn = ±∞ ， 则 lim n →∞
n
x0 + + xn −1 = ±∞ 。 n
0,1, 但通过附加适当的条件其逆命题也可以 定理 1 的逆命题一般来说不成立，例如：取 xn = ( −1) , n =
2
1 ， s ∈ [0,1) ，故对 ∑ n =1 ns n −1 =
∞
x − (1 − s )
∑
nA s
= (1 − s )
∑
n ( x − An ) s n −1 x − An
n≥0 n≥ N
≤ (1 − s ) ≤ 2
2
N ( N + 1)
∑ n =1 ns n −1
∞
(1 − s )
2
sup x − An + sup x − An
Pure Mathematics 理论数学, 2016, 6(5), 398-401 Published Online September 2016 in Hans. /journal/pm /10.12677/pm.2016.65054
∞ ∞ n →∞
即： lim xn = x 意味着对 ∀ε > 0 ，存在 N > 0 ，使得对 ∀n > N ，有 xn − x < ε 。
n →∞
在实际应用中有一些序列并不能满足上述条件。因此，许多学者就提出了考虑在更弱的条件下序列 的收敛问题。其中最著名的就是 Cesaro 收敛和 Abel 收敛。 x + + xn −1 ∞ ∞ = x 。则称序列 {xn }n = 0 Cesaro 收敛到 x 。 定义 2 对于有界序列 {xn }n = 0 ，如果 lim n 0 n 定义 3 对于有界序列 {xn }n = 0 ，如果 lim x 。则称序列 {xn }n = 0 Abel 收敛到 x 。 (1 − s ) ∑ n = 0 xn s n = −
Keywords
Cauchy Convergence, Cesaro Convergence, Abel Convergence
关于序列收敛性的一个注记
吴 健，周 廖，孙成恩
安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽 马鞍山
收稿日期：2016年8月18日；录用日期：2016年9月2日；发布日期：2016年9月7日
∞
n →∞
lim xnd + r = ar ， 1 ≤ r ≤ d
则
n →∞ = k
lim ∑ xk =
n
1 d ∑ ak dk 1 1=
n
证明 由定理 1，有
n →∞
lim ∑ xkd + r = ar
k =1
记 M = supn ≥ 0 xn ，= n kd + r ， 1 ≤ r ≤ d ，则
Open Access
Abstract
In this paper, we discuss the relationship between Cauchy convergence, Cesaro convergence and Abel convergence. Some examples are given to show that the three kinds of Cenvergence are weaker one by one. Furthermore, by adding some mild conditions the weaker type inverse propositions are presented.
令 n → ∞ ，则 k → ∞ 且
∞
kd → 1 。结论成立。 n
∞
定理 2 如果序列 {xn }n = 0 Cesaro 收敛到 x ，则序列 {xn }n = 0 Abel 收敛到 x 证明 不妨假设级数 ∑ n = 0 xn s n 的收敛半径小于或等于 1。即
∞
limsupn →∞ xn
1 n
因此，如果 An → x 。
limsup x − R ( s ) ≤ lim sup x − An = 0
s →1− N →∞ n ≥ N
注 2 定理 2 的逆一般来说也不成立，例如：假设 xn =
n
( −1)
n +1
n ，易知 {xn }n = 0 的收敛半径为 1，并且
∞
1 1 + , 若n是奇数 1 2 2n = x ∑ k 1 n k =1 − , 若n是偶数 2
n = (1 − s ) A1 + ∑ n =1 ( n + 1) An +1 − nAn s ∞
{
(
)
}
= R (s)
往证 lim s →1− R ( s ) = x 。事实上，如果 lim n →∞ An = x ，那么因为 (1 − s ) 任意的 N ：
2 2 ∞ ∞ n −1 n = n 1= n 1
成立。 命题 1 设序列 {xn }n = 0 单调递增，且 Cesaro 收敛到 x ，则序列 {xn }n = 0 Cauchy 收敛到 x 。
∞ ∞
399
吴健 等
证明 见参考文献[5]。 命题 2 设序列 {xn }n = 0 Cesaro 收敛到 x ， 且满足 lim n →∞ n ( xn − xn −1 ) = 则序列 { xn } 是 Cauchy 收敛到 x 。 0，
∞
证明
x2 − x1 ， ， y= xn − xn −1 。 令 y1 = x1 ， y= 2 n
则 lim n →∞ nyn = 0 且
xn = yn + yn −1 + + y1 。
于是
x + + xn lim xn − 1 n n y + ( y1 + y2 ) + + ( y1 + + yn ) = lim ( y1 + + yn ) − 1 n n y + 2 y3 + + ( n − 1) yn = lim 2 n n nyn +1 = lim = 0 n ( n + 1) − n
序列收敛定义
序列收敛定义好的，以下是为您生成的关于“序列收敛定义”的文章：---# 【序列收敛定义】一、开场白嘿，朋友们！不知道你们有没有过这样的经历，比如说在玩游戏的时候，分数越接近某个固定值，就越觉得刺激。
其实啊，这就和我们今天要聊的“序列收敛”有点关系。
那到底什么是序列收敛呢？让我们一起来探索这个神秘又有趣的数学概念。
二、什么是【序列收敛】？简单来说，序列收敛就是一系列的数最终越来越靠近一个确定的数。
打个比方，想象你在跑步，终点是一个固定的位置，你每跑一步就离终点更近一点，最终无限接近终点，这个过程就有点像序列收敛。
可别把序列收敛和随意的数字排列搞混了。
有些人可能会错误地认为，只要数字看起来有规律就是收敛，其实不是这样的。
比如 1，3，5，7，9 这样的数列，它是在不断增大，但没有一个确定的“归宿”，就不是收敛的。
三、关键点解析1. 核心特征或要素- 极限值的存在：就像前面说的跑步终点，这个终点对应的数就是极限值。
比如序列 1/2，2/3，3/4，4/5，... 它会越来越靠近 1 ，这里的 1 就是极限值。
- 无限接近：意味着不管你怎么靠近，都能更靠近。
像序列 0.9，0.99，0.999，... 会无限地接近 1 。
- 距离越来越小：相邻的数之间的差距会越来越小。
比如序列 1，0.5，0.25，0.125，... 相邻两个数的差距在逐渐缩小。
2. 容易混淆的概念序列收敛和序列有界经常容易被搞混。
序列有界只是说序列中的数都在某个范围内，比如都在 0 到 10 之间，但不一定会靠近某个特定的值。
而序列收敛不仅要求有界，还要求无限靠近一个确定的值。
四、起源与发展序列收敛的概念在数学的发展中由来已久。
早在古希腊时期，数学家们就在研究一些无限的过程中，隐隐约约地触及到了这个概念。
随着数学的不断发展，特别是微积分的出现，序列收敛成为了分析学中的重要基础。
在当下，序列收敛在数学、物理、工程等众多领域都有着至关重要的作用。
证明数列收敛的方法
证明数列收敛的方法数列的收敛性是数学分析中非常重要的概念之一，它指的是当数列的项随着自变量的增大而趋于一个极限值时，这个极限值就是该数列的极限。
而要证明一个数列收敛，通常可以通过极限定义、单调有界性、柯西收敛准则等方法来进行证明。
首先，我们来看一下数列极限的定义。
若对于任意一个正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，an-L <ε，其中L为常数，则称数列{an}的极限为L，记作lim(n→∞)an=L。
这意味着当n足够大时，数列的项an与极限L之间的差距可以无限小。
那么，我们可以通过这个定义来证明数列的收敛性。
方法一：使用极限定义证明数列收敛假设我们要证明数列{an}收敛于L，需要证明对于任意一个正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，an-L <ε。
具体步骤如下：1. 给定一个正数ε，我们需要找到一个正整数N。
假设对于任意正整数n，当n>N 时有an-L <ε成立。
2. 我们可以根据数列的定义和不等式性质来进行推导，最终得到一个关于n和ε的不等式。
3. 根据这个不等式，我们可以确定一个适当的N，使得当n>N时不等式成立。
4. 通过以上步骤，我们可以证明数列{an}的极限为L。
举个例子来说，假设我们有数列an=1/n，我们想证明它收敛于0。
首先我们给出一个正数ε，我们需要找到一个正整数N，使得当n>N时，1/n-0 <ε成立。
显然当n>1/ε时，不等式成立。
所以我们可以取N=1/ε，这样当n>N时，就有1/n-0 <ε成立。
因此，我们通过极限定义证明了数列an=1/n收敛于0。
方法二：使用单调有界性证明数列收敛除了极限定义，我们还可以利用单调有界性来证明数列的收敛性。
如果一个数列是单调递增的，并且它的上界存在，那么这个数列必定收敛。
同样地，如果一个数列是单调递减的，并且它的下界存在，那么这个数列也必定收敛。
这可以通过柯西收敛准则来证明。
序列与级数的收敛性判断方法
序列与级数的收敛性判断方法序列与级数是数学中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
在研究序列与级数的性质时，我们常常需要判断它们的收敛性。
本文将介绍一些常用的判断序列与级数收敛性的方法。
一、序列的收敛性判断方法1. 有界性判断法对于一个序列来说，如果存在一个实数M，使得对于所有的正整数n，都有|an|≤M成立，那么称该序列是有界的。
有界序列一定是收敛的，而且收敛到的极限值就是序列的上确界或下确界。
2. 单调性判断法如果一个序列是单调递增的，并且有上界，那么它一定是收敛的。
同样地，如果一个序列是单调递减的，并且有下界，那么它也是收敛的。
这是因为有界单调序列必定存在极限。
3. 夹逼定理夹逼定理是判断序列收敛性的常用方法。
如果一个序列an满足对于所有的正整数n，都有bn≤an≤cn成立，并且序列bn和cn都收敛到同一个极限L，那么序列an也收敛到L。
4. 子序列的收敛性判断法如果一个序列的子序列收敛到某个极限L，那么该序列也收敛到L。
这是因为子序列是原序列的一部分，它们的收敛性是相互联系的。
二、级数的收敛性判断方法1. 正项级数的收敛性判断法如果一个级数的每一项都是非负数，并且序列{Sn}的部分和有上界，即存在一个实数M，使得对于所有的正整数n，都有Sn≤M成立，那么该级数是收敛的。
2. 比较判别法比较判别法是判断级数收敛性的常用方法。
如果一个级数的每一项都是非负数，并且存在另一个级数{bn}，使得对于所有的正整数n，都有0≤an≤bn成立，那么如果级数{bn}收敛，那么级数{an}也收敛；如果级数{bn}发散，那么级数{an}也发散。
3. 比值判别法比值判别法是判断级数收敛性的重要方法。
对于一个级数an，如果存在正实数r，使得对于充分大的正整数n，都有|an+1/an|≤r成立，那么：- 如果0≤r<1，那么级数an是绝对收敛的；- 如果r>1，那么级数an是发散的；- 如果r=1，那么比值判别法无法确定级数an的收敛性。
Riesz空间中序收敛的几点注记
易知 ， 若一 个 网是 １ 一 序 收敛 的 ， 则 它一 定是 ２ 一序 收敛 的 ， 反 之不成 立 。 具体 的反 例请 详见 文献 ［ ６ ］ 。 但
若放 在完 备 的空 间里讨 论 ， 易知这 ２种 序收 敛是 等价 的。 而 当空 间不是 完备 的 ， 则 有 如下性 质 ： 性质 Ｉ ［ １ 若 Ｅ是 Ｒｉ ｅ ｓ ｚ 空间， 对 于 Ｅ中 的网 （ ｚ 。 ） ∈ Ａ ， 和 ∈ Ｅ， 则（ ） ∈ 在 Ｅ 中 ２ 一序收敛 于 Ｘ等 价 于（ ｚ ） 。 在Ｅ 中 １ 一序收敛 于 ｚ， 其 中 是 Ｅ 的完 备化 空 间 。 注： 笔者 未介 绍 的概念 和专 业术 语请参 见 文献 ［ ２ — ５ ］ 。
这 是经 典 的序收敛 概 念 ， 它在 Ｒ ｉ ｅ ｓ ｚ 空 间及 其算 子理 论 中有着 广泛 的应 用 。
２
定义 ２ ［ ］ Ｒ ｉ ｅ ｓ ｚ 空间 中 的网 （ ｚ ） ∈ ＾是 ２ 一 序 收敛 于 的 （ ｚ 一
ｚ ） ， 若 有 一个 网 （ ） ∈ ｅ ， 满 足对 任意
笔者 在此 基础 上讨论 了这几 种序 收敛对 算 子 的影 响 。
１ 序收敛的几种概念
定义 Ｉ 【 ２ ］ Ｒｉ ｅ ｓ ｚ空间 中 的网 （ ｚ ） ∈ ＾是序 收敛 于 Ｘ 的 ， 若存 在一 个 网 （ 儿） ∈ Ａ ， 使 得对 任意 的 口∈ Ａ，
有 Ｙ ０ ， 且 ｌ ｚ 一ｚ ｌ ≤ Ｙ 。 。
［ 中图分类号］Ｏ１ ７ １ ． ２
［ 文献标志码］Ａ
［ 文章编号］１ ６ ７ ３— １ ４ ０ ９（ ２ ０ １ ３ ）０ ７— ０ ０ ０ ６ —０ ２
在Ｒ ｉ ｅ ｓ ｚ 空 间及其 算子 理论 中 ，序 收敛具 有非 常重 要 的作用 。文 献 Ｅ ｌ ｉ 比较 了几种 序 收敛 的关 系 ，
随机变量序列依概率收敛的注记
的一切 波 莱 尔集 组 成 的 盯 代 数 ， Ｐ是 （ ０ ， １ ） 上 的勒
贝格 测 度 。令 叼１ １ （ ∞） ＝ １；
ｆ ｔ ， ｍ （ ｏ ， ｆ ｏ ， ｍ ｅ （ ｏ ，
因而在 这种 情况 下 ｛ ） 不 收敛 。
４ 依概 率收敛 不一定 ｒ 阶收敛
２ ０ １ ４年 ４月
安康学院学报 ห้องสมุดไป่ตู้
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ａｎ ｋ ａ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ａｐ ｒ ． ２０１ ４
第２ ６卷 第 ２ 期
Ｖｏ ｌ ＿ ２ ６ Ｎ ｏ ． ２
随机变量序列依概率收敛 的注记
王 昭海
（ 安康学院 数学 与统计 系，陕西 安康 ７ ２ ５ ０ ０ ０）
亭 （ ∞） ） ＝ ｌ ，则称 ｛ ｝ 依 概率 １收敛 于 孝 ，又 称 ｛ ｝ 。
几乎 处处 收敛 于 随机变 量 ，记 作
作者简介 ：王昭海，男 ，陕西安康人 ，安康 学院数 学与统计 系副教授 ，主要从 事非经典数理逻辑和概 率统计的研 究。
８ ６
如果 ｛ ｝ 几 乎 处处 收敛 于 孝 ，则 它一 定 也依 概 率 收敛 于 亭 。但反 之不 成立 ，即若 孝 定有 亭 亭 ，不 一 。例 如 ，取 ｎ ＝ （ ０ ， １ ） ，ｆ 是 由（ ０ ， １ ） 上
＝
１ ， ２ ， …） 与 的 分 布 函 数 Ｆ∽ 满 足
）
＝
如果随机变量 序列 孝 。 ， 孝 ， …满足 Ｐ （ １ ｉ ａ孝 ｒ （ ｃ ｃ ， ）
ｎ一
Ｆ∽，于是 ，ｌ ｉ ｍ Ｅ ） ＝ Ｆ∽，所 以，｛ 孝 ） 依分布收
关于函数列一致收敛的注记
不一 致收 敛。事实 上, 由例 1 知 函数列{ f } 在 n
[ 0, 1] $ 内每 一点等 度连续 , 但在 不等度 连续。 故由推论 1 知{ f }在[ 0, 1]上 不一致收 敛。
n
我 们顺便指出 , 命题 1 是著 名的 As c o l i Ar z el a 定理的 特殊 情况, 即 C[ a , b] 中 一致有 界且 等度 连续 的子 集在是 相等 紧的 ；而命 题 2 是紧 嵌 入定 理的 特 殊情 形, 即 C1[a , b ]中 的 有界集在 C[a, b]中是相对紧的, 这里C1[ a, b] 表示
连续可微函数全体, 以范数
,
构成 的 Ba n a c h 空 间( 参见
[ 3 ] )。利用 As co l i - Ar zel a定理和 推论 1, 我们 又可 以得 到:
推 论2: 若[a, b]上连续 函数列{f }一 致有界 n
且在每一 x ∈[a, b]处等 度连续, 则 有子列在[a, b] 上一 致收 敛。
致) 等度连续的, 如果对任意 e>0, 存在 d>0, 使得对
所有 x 、x ∈[a, b], 只要 12
, 对 所有 f∈
B, 都有
。易 见, 函数集 B在
点 x 处 等度 连续 是一 个 局部 性质 , 而 在区 间 0
[ a, b] 上等 度连续 是一 个整体 性质 , 具有一 致
性 。但是 类似于 连续函 数的 Ca nt o r 定 理, 即
则 存在 e >0, 对每 一正 整数 n , 存在 x` 、 xn ∈
0
各种收敛性的运算法则及证明,2014.9
数列： ,n n x x y y →→，则1． n n x y x y ±→±.2． 如0y ≠，则n n x x y y→. 3． 如f 连续，则()()n f x f x →.4. 如,n n x x x y →→，则x y =.对随机变量数列，这些性质是否保持？一．对几乎处处收敛, 如 a.s. a.s.,n n X X Y Y −−→−−→，则1． a.s.n n X Y X Y ±−−→±, 2. 如0X ≠ a.s.，则 a.s. a.s.11,n n n Y Y X X X X−−→−−→. 3．f 连续，则 a.s.()()n f X f X −−→.证 已知,,A B ∃ ()()0P A P B ==. 使得,lim ()();,lim ()()c c n n n n A X X B Y Y ωωωωωω→∞→∞∀∈=∀∈=. 1．所以 N A B ∃，有()()()0P N P A P B ≤+=,c c c N A B ωω∀∈⇒∈, 故lim ()(),lim ()()n n n n X X Y Y ωωωω→∞→∞==同时成立.所以 lim(()())()()n n n X Y X Y ωωωω→∞±=±，故1成立. 2. D ∃，()0P D =, 使c D ω∀∈, ()0X ω≠，故N A D ∃=，有()0P N =.c c c N A D ω∀∈=，有111lim ()lim ()()n n n n X X X ωωω→∞→∞==，故2成立. 3. c A ω∀∈，因f 连续, 有lim (())(lim ())(())n n n n f X f X f X ωωω→∞→∞==.二． 对依概率收敛. 如P n X X −−→，P n Y Y −−→, 除了一中的2，仅当0X a =≠时，有11P n X a−−→，对一般的X ，不一定成立外, 其余都对. 1.（i ）因为(|()|)(||2)(||2)n n n n P X Y X Y P X X P Y Y εεε±-±≥≤-≥+-≥,所以P n n X Y X Y ±−−→±.（ii ）分析: 要证0,ε∀>lim (||)0n n n P X Y XY ε→∞-≥=, 即0,0εδ∀>∀>, N ∃, 使得当n N ≥时, 有(||)n n P X Y XY εδ-≥<即可.因为(||)(||||2)(||||2)n n n n n P X Y XY P X Y Y P X X Y εεε-≥≤-≥+-≥(||||2,||)(||)(||||2,||)(||)n n n n n P X Y Y X T P X T P X X Y Y T P Y T εε≤-≥≤+>+-≥≤+> (||(2))(||/2)(||/2)(||))(||).n n n P Y Y T P X X T P X T P X X T P Y T εε≤-≥+->+>+-≥+> 又由()lim ()1,()lim ()0,x x F P X x F P X x →+∞→-∞+∞=<=-∞=<= 得 ()lim (||)lim ()()1()()0.x x P X x P X x P X x F F →+∞→+∞>=>+<-=-+∞+-∞= 因此, 0,0T δ∀>∃>，有(||2)(||)4P X T P Y T δδ><><. 对120,0T N >∃>，当1n N ≥时，有(||2)n P X X T δ-><.所以当1n N ≥时，有(||)(||2)(||2)4n n P X T P X X T P X T δ>≤->+><,又由P n Y Y −−→，P n X X −−→，所以20,20,N εδ∀>>∃, 当2n N ≥有(||2)4n P Y Y T εδ-≥<，(||2)4n P X X T εδ-≥<.故(||)n n P X Y XY εδ-≥≤.所以P n n X Y XY −−→.2 因为Pn X a −−→, 所以(||||)(||)0n n P X a P X a εε-≥≤-≥→,所以||||P n X a −−→, 取||2a ε=，有 (||||2)(||||)(||||)0n n n P X a P X a P X a εε<=-≤-≤-≥→.故2||11||||||||||,||||||22||||||0,22n n n n n n n n n X a a a P P P X a a X X P X X a a X a a P X a P X εεεε⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫-≥=≥≤-≥≥+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫≤-≥+<→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以11P n X a−−→. 3.证0,0T δ∀>∃>， 使得当||2X T >时，有(||2)P X T δ><，对20T >，1,N ∃当1n N ≥时，有(||2)6n P X X T δ-><，由此当1n N ≥时(||)(||2)(||2)n n P X T P X X T P X T δ>≤->+><.又因为 g 在[],T T -上一致连续，所以 对10,0εε>∃>，使当[]12,,x x T T ∈-且121||x x ε-<时，有12|()()|g x g x ε-<. 因而由[]12,,12121|()()|||x x T T g x g x x x εε∈--≥⇒-≥. 对120,N ε>∃，当2n N ≥有1(||)n P X X εδ-><.故120,0,max(,)N N N εδ∀>>∃=.当n N ≥时，有1(|()()|)(|()()|,||,||)(||)(||)(||)6n n n n n P g X g X P g X g X X T X T P X T P X T P X X εεεδδδ-≥≤-≥<<+>+>≤-≥++≤ 故()()P n g X g X −−→.三．对完全收敛性，只有±时，其余不对.四．对依分布收敛，1.2.都不对，反例见21页，特别当Y C =时，1 是对的, 即d n n n X Y X C ±−−→±. 3是对的. 取i ()()e tf x g x =, 则()g x 连续有界, 由定理1.4.1的推论, 有i ()i ()()()()()e e ()nntf X tf X f X n f X t Eg X E E t ϕϕ==→=, 所以, ()()d n f X f X −−→.五．对p L 收敛. 由r C 不等式有 p Ln n X Y X Y ±−−→±. 这是因为 |()|(||||)0p p p n n r n n E X Y X Y C E X X E Y Y ±-±≤-+-→.但由 ,,()n n p n n p n p X Y L X Y L f X L∈⇒∈∈， 因此, 推不出 ,()()p p L Ln n n X Y XY f X f X −−→−−→.。
高考数学应试技巧之收敛性分析
高考数学应试技巧之收敛性分析数学是高考中的一门核心科目，在高考数学的学习过程中，学生需要掌握大量的数学知识和技巧。
其中，数列与级数是高考数学中相对比较难的部分。
特别是对于数列的收敛性分析，更是需要注意。
本文将对高考数学中关于数列收敛性的知识进行深入探究，为广大考生提供一些实用的应试技巧。
1. 数列的概念和定义数列是指按照一定次序排列的一组数，可以用以下式子表示：$${a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}, \cdots $$其中，每个数$a_n$称为数列的第n项，n称为项数。
例如，$1,2,3, \cdots ,n, \cdots $就是一个数列。
2. 数列收敛的概念数列的收敛意味着随着项数的增加，数列中的数可以逐渐靠近一个确定的数，称为数列的极限。
数列的极限可以用以下符号表示：$$ \lim\limits_{n \to \infty} a_n=L$$其中，L为数列的极限。
表示当n趋近于无穷大时，$a_n$趋近于L。
3. 数列的收敛和发散如果数列存在极限L，则称该数列收敛于L。
反之，如果数列不存在极限，则称该数列发散。
在高考中，数列的收敛和发散是一个需要关注的问题。
4. 数列收敛的必要条件数列收敛的必要条件是存在数L，使得对于任意正数$\varepsilon$，都存在正整数N，当n>N时，$|a_n - L|<\varepsilon$。
这种条件被称为数列收敛的$\varepsilon$-$N$定义。
5. 数列收敛的判定方法在高考中，可以通过以下几种方法进行数列收敛的判定：(1) 夹逼准则夹逼准则是判定数列收敛的一种重要方法。
夹逼准则是建立在以下定理的基础上的：对于数列${a_n}$、${b_n}$和${c_n}$，如果$a_n\le b_n\le c_n$，且$\lim\limits_{n \to\infty}a_n=\lim\limits_{n \to \infty}c_n=L$，那么$\lim\limits_{n \to \infty}b_n=L$。
非同分布ρ—混合序列的完全收敛性的注记
非同分布ρ—混合序列的完全收敛性的注记
纪玉卿;马全甫
【期刊名称】《河南教育学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】1999(008)003
【摘要】本文继续讨论了ρ－混合随机变量序列的部分和的完全收敛性总是在对混合系数趋于零的速度较弱限制下，得到了理想的结果，改进并推进了邵启满的结果。
【总页数】3页(P4-6)
【作者】纪玉卿;马全甫
【作者单位】许昌师专;许昌师专
【正文语种】中文
【中图分类】O211.5
【相关文献】
1.ρ-混合序列完全收敛性的一个注记 [J], 刘筱平;鄢寒;吴群英
2.非同分布ψ-mixing序列的完全收敛性 [J], 邓学斌
3.非同分布φ—混合序列的完全收敛性 [J], 薛留根
4.非同分布NA序列的完全收敛性 [J], 梁汉营; 李倩茹
5.非同分布ρ-混合序列的完全收敛性 [J], 纪玉卿;谭水木;薛留根
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随机变量序列的几种收敛性注记
科教论坛科技风2020年10月DOC10.19392/ki.1671-7341.202028033随机变量序列的几种收敛性注记杨元启三峡大学理学院湖北宜昌443002摘要：随机变量序列的收敛性理论主要源自测度论中可测函数序列的收敛性理论，但由于概率测度的特殊性，使得随机变量序列的敛散性有自己的特点。
这些理论既是概率论的重点，也是难点。
本文准备详细介绍随机变量序列的各种收敛性概念,讨论他们之间的联系，并以适当的例题来说明收敛的性质。
关键词:几乎必然收敛;依概率收敛；完全收敛;一致可积性本科教材中关于随机变量序列的收敛概念一般只有两种:依概率收敛和依分布收敛,分别关联大数定律和中心极限定理。
但根据序列收敛的强弱,有多种强弱不同的收敛概念,它们的侧重点不一样，相互之间也有联系，讨论如下。
设79,9，”=1,2,3｝是概率空间(*,,p)上的随机变量序列，随机变量9的分布函数记作F(0=p(X<x+,x(R,X n 的分布函数记作F(0#以下是几种常用的收敛性：(1)若对F(0)的每个连续点0,有0)=F(0)，则称随机变量序列｛X”｝依分布收敛于X,记作X”厶X；(2)若对任意&>0,li rn P(X…-X|'&)=0,则称随机变P量序列｛X”｝依概率收敛于随机变量X,记作X”一X；(3)设r>0,=X”存在，且”X”-X|'=0,则称随机变量序列｛X”｝r阶收敛于随机变量X,记作X”二X,这时易知=X>也存在；(4)若P(”im X…=X)=1,则称随机变量序列｛X”｝几乎必然收敛于随机变量X,记作X”上$X；(5)若对任意的&>0,都有lim-P(|X»-X|'&)=0称随”$"7=”c机变量序列｛X”｝完全收敛于随机变量X,记作X”一X#下面几个概念与随机变量序列的收敛性关系密切：(1)对任给的&>0,存在(使得对任一"(F,当P(")d 时，便有spf j X”|$p<&,则称随机变量列｛X”｝是一致绝对连续的；(2)若epJj X”|$P<",则称随机变量列｛X”｝积分一致 有界；(3)若sp|X”|$P=0,则称随机变量列｛X”｝是一致可积的；由测度论的理论,有下列结论:(1)｛X”｝是一致可积的充要条件是｛X”｝是一致绝对连续的且积分一致有界；(2)X”上$X当且仅当对于任意的&>0,^｛*”7X”-X丨'&｝｝=0以及X”上$x当且仅当对于任意的&>0,P(/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”P(3)X…-$X当且仅当对｛X”｝的任一子序列｛X”？，均存在子序列7X”》｝0｛X”？,使得X”7上$x；“、a・s.,、，P(4)X”一X时必有X”一X；r P(5)X”---------$X时必有X”----------$X；P<(6)X”---------$X时必有X”----------$X；C., a.s.(7)X”---------$X时必有X”----------$X；(8)”F"IX-XI=0的充要条件是｛X”｝是一致可积且PX”$X上述部分结论的证明可以从本文所列文献中找到，这里就不赘述了#我们只证(2)和(7)#先介绍一个引理#"8888弓【理如果-P("”)<8,则P(/U"”)=0,P(*/"”.)=1,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为0,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为1;如果P("”)=8,而｛"”｝是两两独立的事件序列，则P8888(/*"”)=1,P(*/"”.)=0,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为1,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为0#这是著名的波雷尔-康特立引理#(2)的证明:若X”上$X,即*中除了某个概率测度为零的集合8以外的所有点)对于任何&>0,当”>”0(&,)时就有t”_X I<&,也就是说，满足对任意的”,总存在>'”，使得X”-X的点)必属于零测度集8,亦即/*7X”-X'”一1>—”&｝08,因此P(/*7|X>-X|'&｝)=0；”=1>=”所以说X”上$X当且仅当对于任意的&>0,P (/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”66科技风2020年10月另外，根据概率的连续性，显然有P(/*i19-91>&!)=+=17=+0i U/P{U7丨9”-9|'&}=0,反之,若对于任意的&>0, >=+有U m：{U79”-9|'&}=0,则由于/U79”-9|'&8 +$">=++=1>=+"880U7X m-9|'&,有0!：(/U7X m-9|)!Um：>=++=1>=++$8 {U+7.|9>-9|}=0综上有：as889—」9%对于任意的&>0,P(/U7丨9”-9|)=0+=1>—+%对于任意的&>0,fm P{U7丨9”-9|}=0#+—8>—+C8(7)的证明：因为9―$9,即任意的&>0,Um-：+$87=+ (9,,-9'&)—0,因此Um：{U7丨9”-9|}<Um-：+$8>=++$8>=+ (9m-9|'&)=0,即|=9#以下通过几个例子进一步讨论随机变量序列的性质#例1设{9”}为相互独立的随机变量序列，若9…上$证明:设9…上$0,则对任意的&>0,有：(/U79-0)=0”=17=+即：(limyp7I9t1>&)=0,由｛9…｝相互独立及波雷尔-康特立引理，知-:(9>'&)<8,因此Um-：>=1”$8>=+ (9”|'&)=0,此即9 0注：(1)显然，此结论可改为：若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于9…亠0'或者，若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于2&>0,-：7(191>&)!<8#+=1(2)若｛9｝独立，｛,”｝为常数列，则9上$0等价于2&>0,-：7(19<8#”—1例2设｛9”｝为以概率1单调的随机变量序列，且9…: a.s.—9,则9”一9#:证明:不妨设2)(*,｛9”｝为单调递增，由于9…-$9,因此对｛9”｝的任一子序列｛9”？,均存在子序列｛9”？0 79…7!,使得9”7上$9,而｛9”｝为单调递增，故2)(*,9”$ 9,因此9”9#例3设随机变量序列｛9+｝依分布收敛于常数，，则9”:-----，#「1久',证明：常数，的分布函数；(0)=匸，｛9”｝依分布0x<<收敛于，,对任意的&>0,：(丨9”-|'&)=：(9”<,-&+：(9”'a+&)<;”(a-&)+—：(9”«+£&二；”(Q-&)+—;”(a+&:-0)=0+1-1二0,所以9”---a#例4设｛9”｝是独立同分布的随机变量序列，二阶矩有2”：界,则十*-@@―”(”+1)@12”证明:记=91=#,A91=*2,则*2<8,=(,2八-忑)—”(”1)@=1 )”乔17=( -9心A含9)=心-2”2”川-弘予，A(»-9)=4*2亍-==232”+11*2$0,(”$8)2=13”(”+1)2”由契贝雪夫不等式有2&>0,P(I十丁--=91I'&)”(”1)=12”<”(”&)@——$0,(+$»)，亦即尸石-9厶=91# &”(”+1)=1例5设｛9”｝为独立同分布的随机变量序列，密度函数「2-0a)兀'a</(0=L，记B”=m/791，…9”!，则B”—a# 050<af1-2"(0"a)兀'a 证明：容易算得公共分布函数;(0)-,0050<a'a时,：(B”>0)=：(m/791，…9”!>0)=：(/{9=>0)=1=(1-F(0))”=2一0-)2&>0,P(I”-a l'&)=：(B”'a+&)+P(B”<a-&)=2兀+：(*79=<a-&!)=1=2^+-：(9=<a-&)=1—e-&+0$0,”$8:<所以B”$a，因此,B”$a#例6设{9”}为独立同分布的随机变量序列,P(9”=1)1”9»=：(9”=0)=*,B”=-出”=1,2,3,则B”的分布收敛于27=12［0,1］上的均匀分布#证明：9»的特征函数为/()=*(1+e")—as寺2“,；的特征函数为+()-寺(1+e")=cos2)71“,7=1,2,3,由于97独立同分布,7=1,2,3,故B”的特征函数为,”(-=3(cos7=1tsin命抽')=丁-----------eM-,由于”/0”(-=〒Cn寺=Sm2”+丄(2“-1)，而［0,1］上的均匀分布的特征函数恰为丄*2“-1), It It由逆极限定理知B”的分布收敛于［0,1］上的均匀分布#参考文献：［1］王寿仁.概率论基础与随机过程［M&.北京：科学出版社，1997.［2］严家安.测度论讲义.北京:科学出版社,2000.［3］周民强.实变函数论.北京：北京大学出版社,2003.［4］严士健，王隽骧，刘秀芳.概率论基础.北京：科技出版社,$982.67。