4 套利定价模型 APT解析
apt套利定价模型公式
apt套利定价模型公式APT套利定价模型（Arbitrage Pricing Theory，简称APT）是一种金融模型，用于对资产价格进行定价和分析。
该模型于1970年代由Stephen Ross提出，它构建了一个多因素模型，旨在解释和预测资产的期望回报。
与传统的CAPM（Capital Asset Pricing Model，资本资产定价模型）不同，APT考虑了多个因素对资产价格的影响，使其更具普适性和准确性。
APT模型的核心观点是，资产价格的变动受到多个因素的共同影响，其中包括市场风险、利率风险、通货膨胀率、产业周期等。
这些因素会影响到不同的资产类别，并决定了各个资产的预期收益率。
通过收集和分析这些因素的变动情况，可以更准确地预测资产价格的走势，从而指导投资者进行投资决策。
APT模型的数学表达为：E(Ri) = Rf + β1 * F1 + β2 * F2 + ... + βn * Fn其中，E(Ri)表示资产i的预期收益率，Rf表示无风险收益率，β1, β2, …, βn表示资产对各个因素的敏感性系数，F1, F2, …, Fn表示因子的预测值。
通过计算得到的预期收益率与实际收益率进行比较，可以判断资产的相对价值和投资潜力。
APT模型的应用范围非常广泛，可以用于股票、债券、期货等各类金融资产的定价和风险管理。
投资者可以通过分析和预测不同因素的变动情况，选择合适的资产组合，以实现最佳的投资回报。
同时，APT 模型也可用于解释资产价格的波动原因，帮助投资者更好地理解市场机制和行为。
在实际应用中，投资者可以根据个人的投资目标和风险偏好，选择合适的因素和权重进行模型构建。
同时，及时更新和调整模型的因素和权重是非常重要的，以适应市场环境的变化。
此外，投资者还需谨慎选择数据源和预测方法，以提高模型的准确性和可靠性。
总之，APT套利定价模型是一种全面、灵活且准确的金融模型，对资产价格的定价和预测具有重要意义。
第六章因子模型和套利定价理论(APT)
– 更准确
CAPM与APT
– 建立在均值—方差分析基础上的CAPM是一 种理论上相当完美的模型，它解释了为什么 不同的证券会有不同的回报率。除CAPM理 论外，另一种重要的定价理论是由Stephen Ross在70年代中期建立的套利定价理论 (APT)。在某种意义上来说，它是一种比 CAPM简单的理论。
• 最优投资组合理论+市场均衡=CAPM
• 因子模型+无套利=APT
• CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化 的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均 值-方差模型时所作的假设。这其中最关键的假 设是，所有投资者的无差异曲线建立在证券组 合回报率的期望和标准差之上。
• 相反，APT所作的假设少得多。APT的基本假 设之一是，当投资者具有在不增加风险的前提 下提高回报率的机会时，每个人都会利用这个 机会，即，个体是非满足的。另外一个重要的 假设是，证券市场证券种类特别多，并且彼此 之间独立。
rt a b1GDPt b2INFt et
• 平面在GDP增长率方向的斜率（=2.2）表示证券B的回报 率对GDP增长率变化的敏感度。
• 平面在通货膨胀率方向的斜率（=0.7）表示证券B的回报 率对通货膨胀率变化的敏感度。
到一条符合这些点的直线。这条直线的斜率 为2，说明A的回报率与GDP增长率有正的关 系。GDP增长率越大，A的回报率越高。
– 写成方程的形式，A的回报率与GDP预期增 长率之间的关系可以表示如下
•
•
• 这里
rt a bGDPt et
• rt =A在 t 时的回报率,
•GDPt =GDP在 t 时的预期增长率,
4第四章 APT模型
市场)的定价水平应相同。
➢ 一价法则隐含的意思是：如果一只证券的回报能通 过其它证券的组合合成创造出来，该组合的价格与 基础证券的价格肯定是相等的；
➢ 一价法则的成立意味着套利机会的消失；相反，当 一价法则被违背时，就会出现明显的套利机会。
➢ 一般来讲，在一个完全竞争、有效的市场总是遵循 一价法则的。
根据APT，该股票的期望收益率为
r rf 1.0I 0.5R 0.75c
6% 1 6% 0.5 2% 0.75 4%
16%
股票当前的预期收益率E(r) = 15％(因为所有因素 的预期到的变动都定义为0 )。基于风险的要求收益 率超过了实际的预期收益率，我们可以得出结论说 该股票定价过高。
（b）假定下面第一列给出的三种宏观因素的值是市 场预测值，而实际值在第二列给出。在这种情况下， 计算该股票修正后的期望收益率。
要素 通货膨胀 行业生产 石油价格
预期变化率(%) 实际变化率（％）
5
4
3
6
2
0
-0.3% 17.8%
ri E(ri ) mi ei
其中E(ri )为基于可得信息的期望收益
mi为未预期到的宏观事件的影响
ei为未预期到的公司特有事件的影响
于是：E(mi
)
0,
E(ei
)
0,
2 i
2 m
2 (ei
)
Cov(ri
,
rj
)
Cov(m
ei
,
m
e
j
)
2 m
8
（一）单因素模型
进一步的，
考虑不同企业对宏观经济事件有不同的敏感度，
套利定价模型(APT)
双因素以及多因素 2bi 2 依照单因素模型对0的分析，仍然可以可到0 rf 关于1的含义，考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为 1， 对第二种因素的敏感度为0，从而可得1 rp1 rf 对第二种因素的敏感度为1，从而可得2 rp 2 rf 从而，可得两因素模型的定价公式： ri rf （rp1 rf ）bi1 （rp 2 rf ）bi 2 同样道理，在多因素模型下，APT资产定价公式为： ri rf （rp1 rf ）bi1 （rp 2 rf ）bi 2 （rp 3 rf ）bi 3 （rpk rf ）bik 即一种证券的预期收益率等于无风险利率加上k个因素的风险报酬。
谢谢！
L x1 x2 x3 xn 0 0 L b1 x1 b2 x2 b2 x3 bn xn 0 1 可得到： ri 0 1bi ; 此即为单因素模型APT定价公式，其中0，1是常数。
应用价值
这里就四点来看： 1.大多数机构投资者评价投资业绩时 2.监管当局确定监管对象的资本成本时 3.法院就未来收入损失判断赔偿金额涉及 收益率时 4.企业资本预算决策确定最低收益率时
不管如何，拿到APT才是关键
多因素模型的定价公式
因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度
rit rf （rp1t rf ）bi1t （rp 2t rf ）bi 2t （rp 3t rf ）bi 3t （rpkt rf ）bikt
关于2的含义，另考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为0，
套利定价模型的意义
1.套利机制是实现金融市场均衡的重要机制
套利定价理论(APT)
套利定价模型（APT Model） 套利定价模型（APT Model）
套利定价模型的假设。 APT与CAPM相同的假设包括：投资者都有相同的预 期；投资者追求效用最大化；市场是完美的；收益由 一个因素模型产生。 APT的最基本假设就是投资者都相信证券i的收益随意 受k个共同因素影响，证券i的收益与这些因素的关系 可以用下面这个因素模型表示出来：
9
ri = the return on asset i bi1 = the change in the return on asset i per unit change in factor 1 f1 = the value of factor 1 bi2 = the change in the return on asset i per unit change in factor 2 f2 = the value of factor 2 ... = terms of the form bij*fj with j going from 3 to m-1 fm = the value of factor m bim = the change in the return on asset i per unit change in factor m m = the number of factors ei = the portion of the return on asset i not related to the m factors
E ( ri ) = λ0 + β i1λ1 + β i 2 λ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + β ik λ k
12
套利定价模型（APT Model） 套利定价模型（APT Model）
套利定价模型基本假设
套利定价模型（APT，Arbitrage Pricing Theory）的基本假设主要包括以下几个方面：
1. 完全市场假设：所有可以买卖的证券组合，都以无风险利率为交易成本，并且市场是完全竞争的，不存在信息不对称。
2. 投资组合的完全可加性假设：假设投资者只能选择证券这一投资工具，并且可以无限制地购买单个证券或由这些证券构成的投资组合。
3. 投资组合可以完全分散化：投资者可以根据自己的风险偏好和收益要求，将资产分散投资在各种可以购买的证券上。
这一假设表示每个单一证券的重要性可忽略不计。
4. 同质预期假设：市场所有参与者具有相同的信息、知识和市场预期，具有相同预期的市场参与者会对相同或相似的投资行为产生相同的价格影响。
5. 市场不完全性在市场非完全有效的情况下，投资者可以根据某些信息或者逻辑分析，发现并利用其中的套利机会，获取超额收益。
6. 套利机会的存在性假设：存在某些可交易证券或证券组合，其未来收益无法被预期的风险收益率所描述，即存在未被完全定价的证券或套利机会。
7. 套利成本的存在性假设：当投资者进行套利操作时，可能会产生一些额外的成本，如交易成本、持有成本等。
这些假设为套利定价模型提供了理论基础，使其能够更好地解释实际市场中的价格行为和异常现象。
同时，这些假设也限制了套利定价模型的应用范围和解释能力，使其无法适用于所有市场情况。
因此，在实际操作中，投资者需要根据市场具体情况，灵活运用各种投资策略和工具，以获取最佳的投资收益。
金融经济学(APT-套利定价)
j
=均值为零的第 j 个因子，
e i =证券 i 的随机项。
因子模型说明，所有具有等因子敏感度的证券 或证券组合，除去非因子风险外，其行为是一 致的。因此，所有具有等因子敏感度的证券或 者证券组合的期望回报率是一样的。 否则就存在第二类套利机会，投资者就会 利用它们，直到消除这些套利机会为止。 这就是APT的实质。
多因子模型
对于n种证券相关的m（m<n)个因子，证券i的 收益可以表示为
ri = a +
∑b
j =1
m
ij
f j + ei
其中，i = 1,..., n; j = 1,..., m
E [ ei ] = 0 , c o v ( ei , f j ) = 0 c o v ( ei , ek ) = 0 , i ≠ k
用数学表示就是
⎧ ⎪∑ wi = 0 （I） ⎪ i =1 ⎪ n ⎨∑ bi wi = 0 （II） ⎪ i =1 ⎪ n ⎪∑ wi ri > 0 （III） ⎩ i =1
n
D(∑ wi ri ) = D(∑ wi [ri + bi f + ei ]
i =1 i =1 n
n
n
=D(∑ wi bi f )
σ ij = cov(ri , rj ) = cov(ai + bi1 f1 + bi 2 f 2 + ei ,
a j + b j1 f1 + b j 2 f 2 + e j )
= bi1b j1σ 21 + bi 2b j 2σ 2 2 + (bi1b j 2 + bi 2b j1 ) cov( f1 , f 2 ) f f
APT模型实证分析
APT模型实证分析1.0.0. 研究方法与样本选取1.1.0. 基本假设套利定价模型（APT）如同资本资产定价模型，描述了风险溢价和单个证券或投资组合收益率之间的关系，它主要基于以下三个基本假设：1．组合是无风险的；2．组合的敏感性因子为0；3．组合期望收益率大于0。
1.2.0.套利定价模型套利定价模型的基本形式为i=1,2,3…nr i组合=C+ ∑βi F i+εi，r i表示投资组合i的收益率，即为组合内各个证券收益率的加权平均和；F i 是第i种系统风险因素；βi表示第i种风险因素的β值，也等于组合内各单个证券β值加权平均和；1.3.0.因素分析为了使因素选取更为准确恰当，我们将从股票定价的基本模型——股利折现模型出发，对各个因素进行分析。
股利折现模型的基本形式为：P i=∑(Div i/（1+r）i), i=1,2,3…,n其中Divi表示第i期的股利，r表示折现率。
所以可以看出，折现率，预期的红利水平，和当期的价格都将对于个股的收益率产生影响。
由此，我们确定如下因素作为股票收益率的系统风险因素。
1.3.1.市场风险溢价根据CAPM模型的基本结论，单个股票的收益水平应该市场风险有相关关系，所以市场风险溢价可以认为是影响单个股票收益水平的系统风险因素；1.3.2.GDP增长率宏观经济环境的变化对于股票市场上大多数公司的收益水平都有影响，进而对于股利的支付水平也有影响，所以也应把GDP作为系统风险因素考虑再内；1.3.3.通货膨胀率的变化与上面的宏观因素一样，通货膨胀率的变化也会影响到实际利率水平，进而对折现率有影响；1.4.0 .模型构造根据上面所选取的因素，对于各个因素分别选取了恰当的指标进行度量：1.4.1.市场风险溢价(Rm-rf)根据CAPM模型的基本理论，这里我们用Rm-rf作为市场风险溢价的度量因素，其中Rm为市场收益率，用上海综合指数收益率代表，rf为市场无风险利率，用央行公布的一年期定期存款的利率代表；1.4.2.GDP增长变化(GDPM,GDPY)由于理性的投资者对于GDP的变化有一定预期，应以GDP增长的变化作为风险因素考虑，那么可以用lnGDP(t)-lnGDP(t-1)代表，另外需要说明的是由于GDP月度数据的不可得性，本文参考了国内大多数文献对于GDP月度数据的处理办法，用当月工业增加值对于GDP季度数据进行加权，然后对于经处理过后GDP的月度数据观察可以发现，数据呈现出很明显的周期性，因为也把GDP相对于去年同期增长变化水平作为令一个解释因素，即lnGDP(t)-lnGDP(t-12)；1.4.3.通货膨胀率的变化(In)这里采用当月居民物价指数作为通货膨胀率的代表；最后把单个股票的超额收益率（rie）作为解释变量，构造线性模型表示为如下形式：rie=C+β1*rme+ β2* GDPM+β3*GDPY+β4*IN+i1.5.0.样本选取首先需要说明的是，本文的数据均为月度数据。
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• 套利定价理论(Arbitrage Pricing Theory,简称 APT)是由斯蒂夫•罗斯(Stephen Ross)于 1976年提出的。他试图提出一种比CAPM传 统更好的解释资产定价的理论模型。经过十 几年的发展，APT在资产定价理论中的地位 已不亚于CAPM。
多因素模型下证券或组合的 期望方差协方差计算
K • 期望收 E (ri ) ai k 1 bik E ( Fk ) 益率 K 2 2 2 2 • 方差或 i bij ( ) Fj i j 1 因素风 险 2 j s bij bis cov(F j , Fs )
ri aiI iI rI iI
敏感性＝β 系数
单因素模型下风险的解
• 总风险分解成 • 两部分 • 因素风险，类似 系统风险 • 非因素风险，类 似非系统风险
n
b ( P )
2 P 2 P 2 F 2
b
2 P 2
2 F
( P )
2 2 i 1 i n 2源自 对公式的说明• • • • 可以用矩阵的方式表示 x表示权重改变量，未知，需要求解 满足公式的x都是套利组合 解一般是不唯一的
构建套利组合后的“处境”
从一个旧证券组合变成了一个新的证券组合 • 新的证券组合＝旧的证券组合＋套利组合 • 套利组合期望收益率＞0 • 新组合的敏感性=旧组合的敏感性 • 新组合因素风险＝旧组合因素风险 • 由于存在非因素风险 • 新组合风险不一定等于旧组合的风险
单因素模型下期望方差计算
• 期望收益率
E (ri ) ai bi E ( F )
i
• 方差或因素风险 2 • 证券间协方差
b ( i )
2 i 2 F 2 2 F
ij bi b j
市场模型——特殊的单因素模型
• 如果将市场组合m的收益率rm作为单因素 模型中的F，就得到一个特殊的单因素模型 • M的收益率用市场价格指数收益率代替 • 以市场指数收益率作为单因素的单因素模 型称为市场模型，表达式为：
单因素模型的一般表述
• 单因素模型认为：只有一个因素F对证券 收益率产生普遍的影响 • 建立证券I的收益率在任意时期t的估计式
rit ai bi Ft it
Ft为t期因素F的预期值； bi为证券i对因素F的敏感性； rit为证券i在第t期的实际收益率； ε it为证券i在第t期的误差
套利组合条件公式表示
x1 x2 ... xn 0 bP1 x1 b11 ... xn bn1 0 bPK x1 b1K ... xn bnK 0 ~ x1 E1 ... xn En 0 , Ei E ( ri )
单因素模型
• 单因素模型假设：证券市场中的各个证券之 间的联动性仅仅是由单独一个因素对证券普 遍产生影响 • 例如，如果投资者认为证券的收益率仅仅受 到工业产值的预期增长率G 的影响 • 从历史数据出发，通过回归分析可以建立证 券收益率与G之间的线性关系
rt a b Gt t , t 1,2,...,T
套利的定义
• 套利是利用同一种实物资产或证券的不同价格来赚 取无风险利润的行为 • 套利最具代表性的是以较高的价格出售证券，同时 以较低价格购进相同的证券 • 现实中难以存在 • 套利行为是现代有效市场的一个决定性要素 • 套利所得到利润是无风险的，投资者一旦发现这种 机会就会设法利用它们 • 一些投资者要比其他人具有更多的资源和意愿去从 事套利活动 • 只有极少的积极投资者能够发现套利机会 • 随着他们的买进和卖出，套利机会将消除
APT的研究思路
• 首先，分析市场是否处于均衡状态； • 其次，如果市场非均衡，分析投资者会如 何行动； • 再次，分析投资者的行为会如何影响市场 并最终使市场达到均衡； • 最后，分析在市场均衡状态下，资产的预 期收益由什么决定。
套利组合 p57
为实现套利，需要买入一些证券，同时卖 出一些证券，该过程就是构建套利组合 构建套利组合需要满足的3个条件 第一，不增加额外资金。套利组合中买入 证券需要的资金来自卖出证券所的资金 第二，套利不承担风险。因素模型中的风 险是因素风险 第三，套利提供正利润。新证券组合的收 益率必须大于前组合的收益率
bP i 1 xi bi , ( P ) x ( i )
多因素模型
• 假设证券收益率受K个共同因素 • F1，F2，…，FK的普遍影响 • 用多元线性回归，建立如下的证券i的收 益率与K个因素的关系式
rit ai bi1 F1t ... biK FKt it
第一节 因素模型和套利 p54
• Factor Arbitrage • 风险都是由因素风险引起，只要避免了因 素风险就避免了全部的风险 • APT假设证券回报率与未知数量的未知因 素相联系 • 分析每种证券对因素变动的敏感性 • 每个证券对于该因素的变化是如何应对的 • 套利行为必须是“没有风险”的
• 证券间 ij s 1 bis b js 协方差 2 bis b jl bil b js cov(Fs , Fl )
K 2 Fs s l
套利和近似套利 p56
• “无套利”是APT的最基本假设 • 如果每个投资者对各种证券的期望收益和敏 感性均有相同的估计，那么在均衡状态下各 种证券取得不同期望收益率的原因是什么 ?
近似套利的定义
• 用因素模型说明“近似套利机会” • 如果不同的证券或组合对各个因素的敏感性相同，那 么，除了非因素风险之外，不同的证券或组合应该提 供相同的期望收益率 • 如果两种证券组合所提供的收益率不同，便提供了 “近似套利机会” • 卖出收益率低的，同时买进收益率高的证券或组合， 就肯定可以获得正利益 • 利用这些套利的机会后，原来的套利机会消失 • 近似＝除了非因素风险之外 • 如果组合完全分散化，非因素风险将“消失”