高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.3 第3课时
第3课时直线与平面垂直的判定学习目标 1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直．知识点一直线与平面垂直的定义定义如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 与平面α互相垂直记法a ⊥α有关概念直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面，垂线和平面的交点P 称为垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC 沿折痕AD 折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD ，DC 与桌面接触)．观察折痕AD 与桌面的位置关系．思考1折痕AD 与桌面一定垂直吗？答案不一定．思考2当折痕AD 满足什么条件时，AD 与桌面垂直？答案当AD ⊥BD 且AD ⊥CD 时，折痕AD 与桌面垂直．梳理文字语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面符号a ⊥m ，a ⊥n ，m ∩n ＝A ，m ⊂α，n ⊂α，⇒a ⊥α语言图形语言1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(×) 2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(×)3．若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(×)类型一线面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．答案③④解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确．故填③④.反思与感悟(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.跟踪训练1设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.答案②解析对于①，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于②，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m 与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故②正确；对于③，也有可能是l，m 异面；对于④，l，m还可能相交或异面．类型二线面垂直的判定定理的应用命题角度1证明线面垂直例2如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.引申探究若本例中其他条件不变，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.证明∵PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE，又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，又∵PB⊂平面PBC，∴AE⊥PB，又∵AF⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.反思与感悟应用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．跟踪训练2如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.证明连结BD，AE，CE，D1O，D1E，B1D1，设正方体的棱长为a，易证AE＝CE.∵AO＝OC，∴OE⊥AC.在正方体中易求出D1O＝DD21＋DO2＝6a，2a，OE＝BE2＋OB2＝32a，D1E＝D1B21＋B1E2＝32∴D1O2＋OE2＝D1E2，∴D1O⊥OE.∵D1O∩AC＝O，D1O，AC⊂平面ACD1，∴OE⊥平面ACD1.命题角度2证明线线垂直例3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE.证明(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.反思与感悟线线垂直的证明，常用方法是利用线面垂直的定义证明，即欲证线线垂直，可先证线面垂直．跟踪训练3如图所示，若MC⊥菱形ABCD所在的平面，求证：MA⊥BD.证明连结AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.1．若一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，则能保证该直线与平面垂直的是_____．(填序号)①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．答案①③解析由线面垂直的判定定理可知，①③能判定直线与平面垂直；②中梯形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直；④中正六边形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直．2．给出下列命题，其中正确命题的序号是________．①垂直于平面内任意一条直线的直线垂直于这个平面；②垂直于平面的直线垂直于这个平面内的任意一条直线；③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．答案①②③④解析由直线与平面垂直的定义知，①②正确；③④显然正确．3.如图，平行四边形ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝________.答案13解析∵AF⊥平面ABCD，又DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥CD.∵DE＝AF＝2，CD＝3，∴CE＝DE2＋CD2＝22＋32＝13.4．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD的形状是________．答案菱形解析如图，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，则平行四边形ABCD是菱形．5.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明如图，连结PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，所以EF⊥PC.因为BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，又F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.1．线线垂直和线面垂直的相互转化2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．3．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．一、填空题1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是________．(填序号)①m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α；②m⊥b，b∥α；③m∩b＝A，b⊥α；④m∥b，b⊥α.答案④解析由线线平行及线面垂直的判定知④正确．2．如图(1)，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个如图(2)所示的几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，则下面结论成立的是________．(填序号)①SG⊥平面EFG;②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF;④GD⊥平面SEF.答案①解析在图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，因此在图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF.又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.3．已知ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论正确的是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1;④AC1⊥BD1.答案①②③解析正方体中由BD∥B1D1，易知①正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1易得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即②正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即③正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故填①②③.4.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM 与直线BC的位置关系为________．答案AM⊥BC解析∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC.又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又AM⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AM.5．已知直线l，m，n与平面α，给出下列说法：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；④若m∥n，n⊂α，则m∥α.其中正确的说法为________．(填序号)答案①③解析由l ⊥α，得l 与α相交，所以①正确；若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，因为m ，n 不一定相交，所以l 不一定垂直于α，所以②不正确；由m ⊥α，n ⊥α，可得m ∥n ，又l ∥m ，所以l ∥n ，所以③正确；由m ∥n ，n ⊂α，得m ∥α或m ⊂α，所以④不正确．6.如图所示，PA ⊥平面ABC ，在△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________．答案4解析∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC .又AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△PAB ，△PAC ，△ABC ，△PBC ，共4个．7.如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA ＝AB ，则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为________．考点直线与平面所成的角题点直线与平面所成的角答案2解析因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC与平面ABC 所成的角．在Rt △PAC 中，AC ＝12AB ＝12PA ，所以tan ∠PCA ＝PA AC＝2.8．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PC ⊥PB ，则定点P 在底面上的投影是底面△ABC ________心．考点直线与平面垂直的判定题点三角形的四心答案垂解析设O 是P 在底面ABC 上的投影，∵PB⊥PA，PB⊥PC，PA∩PC＝P，∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC.①又∵O是P在底面ABC上的投影，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC.②由①②可得，AC⊥平面PBO，∴AC⊥BO.同理可得AO⊥BC，∴O是△ABC的垂心．9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝______.答案90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.10．在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)答案A1C1⊥B1C1(答案不唯一)解析如图所示，连结B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)11．在正四棱锥P—ABCD中，PA＝3AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面2PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．答案无数解析设正四棱锥的底面边长为a ，则侧棱长为32a .∵PM ⊥BC ，∴PM ＝＝22a .连结PG 并延长与AD 相交于N 点，则PN ＝22a ，MN ＝AB ＝a .∴PM 2＋PN 2＝MN 2，∴PM ⊥PN .∵AD ∥BC ，∴PM ⊥AD ，又PN ∩AD ＝N ，∴PM ⊥平面PAD ，∴在平面PAD 中经过G 点的任意一条直线都与PM 垂直．二、解答题12.如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.证明：BE ⊥平面BB 1C 1C .证明过点B 作CD 的垂线交CD 于点F ，则BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2.在Rt △BFE 中，BE ＝3，在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，所以BE ⊥BC .又由BB 1⊥平面ABCD ，得BE ⊥BB 1，且BB 1∩BC ＝B ，故BE ⊥平面BB 1C 1C .13.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ＝AD .求证：(1)CD ⊥PD ；(2)EF ⊥平面PCD .证明(1)因为PA ⊥底面ABCD ，所以CD ⊥PA .又在矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG .因为底面ABCD 是矩形，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，所以GF 綊12CD ，所以GF 綊AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF .因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，由(1)知，CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .三、探究与拓展14．设三棱锥P —ABC 的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题：①若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则H 是△ABC 的垂心；②若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，则PA ＝PB ＝PC .其中正确命题的序号是________．答案①②③解析因为PH ⊥底面ABC ，所以PH ⊥BC ，又PA ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAH ，所以BC ⊥AH ，同理BH ⊥AC ，得H 是△ABC 的垂心，所以①正确；由PA ，PB ，PC 两两互相垂直，易推出BC ⊥AH ，BH ⊥AC ，得H 是△ABC 的垂心，所以②正确；由∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，得PA ，PB ，PC 在平面ABC 上的射影相等，所以PA ＝PB ＝PC ，所以③正确．15.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求证：MN ⊥平面PCD .考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明(1)取PD 的中点E ，连结NE ，AE ，如图．又∵N 是PC 的中点，∴NE ∥DC 且NE ＝12DC .又∵DC ∥AB 且DC ＝AB ，AM ＝12AB ，∴AM ∥CD 且AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，且NE ＝AM ，∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE .∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .(2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PDA 即为PD 与平面ABCD 所成的角，∴∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ，∴AE ⊥PD .又∵MN ∥AE ，∴MN ⊥PD .∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球学案(无答案)苏教版必修2(202
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圆柱、圆锥、圆台和球一、学习目标1。
了解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念；2。
认识圆柱、圆锥、圆台和球及其简单组合体的机构特征．二、学习重、难点圆柱、圆锥、圆台和球的概念的理解.三、学习过程（一）引入新课1．下面几何体有什么共同特点或生成规律？2．圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念．3．圆柱、圆锥、圆台和球的表示．4．旋转体的有关概念．(二）例题剖析例1如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？例2 指出图1、图2中的几何体是由哪些简单的几何体构成的．直角三角形ABC 中，︒=∠90A ，将三角形ABC 分别绕边AB ，AC ,BC 三边所在直线旋转一周，由此形成的几何体是哪一种简单的几何体?或由哪几种简单的几何体构成？（三） 巩固练习1．指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成．图1 图2例32．如图，将平行四边形ABCD 绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的?3．充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成?四、课堂小结 圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念及图形特征．A B C D。
最新苏教版高中数学必修二第一章-立体几何初步1.2.1ppt课件
【规范解答】 平面 α 与长方体表面的交线如图．
【问题导思】 平静的湖面、平整的操场、桌面、黑板面等都给我们以 平面的印象． 平面有边界吗？有厚薄之分吗？ 【提示】 没有 没有．
1.概念
平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没 有 厚薄 ，是 无限延展 的．
2．表示
(1)图形表示
图 1－2－1
平面通常用平行四边形来表示．当平面水平放置的时候，
【思路探究】 解答本题要正确理解立体几何中表示点、 线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”， “∩”的意义，在此基础上，实现三种语言的互译．
【自主解答】 (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝ PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.用图形表示：
(2)符号语言表示 平面 ABD∩平面 BDC＝BD， 平面 ABC∩平面 ADC＝AC. 图形表示：
证明点线共面的常用方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在 此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 α， 再证明其余元素确定平面 β，最后证明平面 α，β 重合；(3) 反证法．
如图 1－2－3 所示，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，E， F，G，H，M，N 分别是 AB，BC，CC1，AA1，C1D1，D1A1 的中点，求证 E，F，G，H，M，N 六点共面．
图 1－2－3
【证明】 连结 A1C1，HG， ∵M，N 为 D1C1，D1A1 的中点， ∴MN∥A1C1. 又正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A1C1∥HG， ∴MN∥HG，∴MN 和 HG 确定一个平面 α， ∴M，N，G，H 四点共面于 α. 同理，MG∥NF. ∴MG 和 NF 确定一个平面 β. ∴M，G，N，F 四点共面于 β.
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.1.4
1.1.4直观图画法学习目标1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．知识点斜二测画法1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则2．立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法．1．用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(×)2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．(×)3．在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变．(×)类型一平面图形的直观图例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图．解 (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画出对应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图①②所示．(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连结B ′C ′，如图②. (3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图③.引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解 画法：(1)如图①所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系，画出对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD . 连结B ′C ′，D ′A ′，如图②所示．(3)所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图③所示．反思与感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．确定多边形顶点的位置是关键之二，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可．跟踪训练1如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．★★答案★★2 2解析正方形的直观图如图所示．由直观图的画法知，O′A′＝1，又∠A′O′C′＝45°，过点A′作A′D′⊥O′C′，垂足为D′，∴点A′到x′轴的距离为A′D′＝O′A′·sin 45°＝2 2.又A′B′∥x′轴，∴点B′到x′轴的距离也是2 2.类型二直观图的还原与计算命题角度1由直观图还原平面图形例2如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．解①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y 轴，且使DB＝2D′B′；③连结AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．反思与感悟由直观图还原平面图形的关键(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴的平行线确定其在xOy 中的位置．跟踪训练2如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________．★★答案★★菱形解析如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．命题角度2 原图形与直观图的面积的计算例3 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．解 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2. 在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2. 连结BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°(或135°)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S . 跟踪训练3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是________．★★答案★★2解析 直观图中等腰直角三角形的直角边长为1，因此面积为12.又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为 2. 类型三 简单几何体的直观图例4 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的直观图．解 (1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32 cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．反思与感悟 直观图中应遵循的基本原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段．(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”．跟踪训练4 用斜二测画法画出六棱锥P －ABCDEF 的直观图，其中底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面上的投影是正六边形的中心O .(尺寸自定)解 (1)画出六棱锥P －ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在的直线为x 轴，对称轴MN 所在的直线为y 轴，两轴相交于点O ，如图(1)，画出相应的x ′轴、y ′轴、z ′轴，三轴相交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O ′为中点，在x ′轴上取A ′D ′＝AD ，在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ，以点N ′为中点，画出B ′C ′平行于x ′轴，并且等于BC ，再以M ′为中点，画出E ′F ′平行于x ′轴，并且等于EF ；③连结A ′B ′，C ′D ′，D ′E ′，F ′A ′，得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点．在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.使P′O′＝PO.(3)成图．连结P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴(被遮挡的部分为虚线)，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3)．1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的________．(填序号)★★答案★★③解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.2．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为__________．★★答案★★16或64解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 3．有一个长为 5 cm，宽为 4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2.考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算★★答案★★52解析该矩形直观图的面积为24×5×4＝5 2.4．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的________．(填序号)★★答案★★③解析在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或与y轴平行的线段在新坐标系中的长度变为原来的12，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直观图还原成原图形为③.5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)解(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在z轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连结AA′，BB′，CC′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得正三棱台的直观图．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．一、填空题1．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．★★答案★★(4,2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2)．2.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则△ABC的形状是______三角形．★★答案★★直角解析∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，故△ABC为直角三角形．3．一个长方体的长、宽、高分别是4,8,4，则画其直观图时对应的长度依次为____________．★★答案★★4,4,4解析根据斜二测画法规则可知，水平线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，竖直线段长度不变，所以其长度分别为4,4,4.4．下面各组图形中2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是________．(填序号)★★答案★★③解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．5．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是________．(填序号)★★答案★★①解析直观图中正方形的对角线长为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有①满足条件，故①正确．6．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy 中，原四边形OABC为______(填形状)，面积为________ cm2.★★答案★★矩形8解析由题意并结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2)．7．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是________．(填序号)①原来相交的仍相交；②原来垂直的仍垂直；③原来平行的仍平行；④原来共点的仍共点．★★答案★★①③④解析根据斜二测画法，原来互相垂直的线段未必垂直．8．如图所示，△A′B′O′为水平放置的△ABO的直观图，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是____________．★★答案★★OD，BD，AB，BO解析由题图可知，在△ABO中，OD＝2，BD＝4，AB＝17，BO＝25，故OD<BD<AB<BO. 9．给出以下说法，其中不正确的是________．(填序号)①水平放置的矩形的直观图可能是梯形；②水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；③水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形；④水平放置的菱形的直观图可能是平行四边形．★★答案★★①②解析由斜二测画法规则可知①②不正确．10．如图所示，四边形OABC是上底为2 cm，下底为6 cm，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中，梯形的高为________ cm.★★答案★★2 2解析 作CD ，BE ⊥OA 于点D ，E ，则OD ＝EA ＝OA －BC 2＝2(cm)， ∴OD ＝CD ＝2 cm ，∴在直观图中梯形的高为12×2×22＝22(cm)． 二、解答题11．如图，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算解 由已知，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示，这是一个底边长为2，高为2的平行四边形，故原图形的面积为2 2.12.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC.解(1)过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于点D′，E′.(2)在直角坐标系xOy中，在x轴上取两点E，D，使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴的平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′，连结OB，OC，BC，并擦掉辅助线及x轴，y轴，即画出原△ABC.13.如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积．解方法一画x′轴，y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，作△ABC的直观图如图所示，则A ′C ′＝AC ＝12 cm ，B ′D ′＝12BD ＝6(cm)， 故△A ′B ′C ′的高为22B ′D ′＝32(cm)， 所以S △A ′B ′C ′＝12×12×32＝182(cm 2)． 即水平放置的直观图的面积为18 2 cm 2.方法二 △ABC 的面积为12AC ·BD ＝12×12×12＝72(cm 2)． 由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC 水平放置的直观图的面积是24×72＝182(cm 2)．三、探究与拓展14．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，B ′C ′∥y ′轴，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为________．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算★★答案★★73 2解析由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝73，AB边上的中线长度为73 2.15．用斜二测画法画出正三棱柱ABC—A′B′C′的直观图．解(1)画轴．如图，画出x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．作水平放置的正三角形的直观图△ABC.(3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，使得AA′＝BB′＝CC′.(4)成图．顺次连结A′，B′，C′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图．。
苏教版高中数学必修二第一章-立体几何初步1.2.2ppt课件
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
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鉴于本节知识的特点，教学时建议采用“从特殊到一 般”、“从具体到抽象”的：教学方法，启发引导学生思考、 探索、类比、归纳．突出概念教学及理论体系的建构，培养 学生的等价转化能力．
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●教学建议 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位 置关系，是在平面中两直线的位置关系及平面基本性质的基 础上提出来的，它既是研究空间点、直线、平面之间各种位 置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础．同时，通过 公理 4 及等角定理，借助画平行线的方式，使两条异面直线 移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角及判定空 间平行关系时经常要使用的方法，要让学生在学习中认真体 会把空间问题平面化的思想方法．因此本节课的内容其重要 性不言而喻，它对知识起到了承上启下的作用．
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●重点难点 重点：异面直线的概念、公理 4 的运用． 难点：异面直线概念的理解． 重难点突破：以“问题导思”及学生身边的实例引出空 间两直线的位置关系问题，在学生获得空间中两直线存在 “既不相交，也不平行”的位置关系的直观感知后，以长方 体为载体引出异面直线的概念，并以“共面”与“异面”及 “有无公共点”为标准将空间两直线的位置关系分类．以长 方体为载体，通过“观察”引入公理 4 及等角定理，在此基 础上完成异面直线所成角的求法的教学． 整个过程自然流畅， 重难点突破过渡自然．
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.3 第5课时
第5课时线面垂直的综合应用学习目标 1.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角.2.理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离.3.线面平行与垂直的有关定理的综合运用．知识点一直线与平面所成的角思考直线与平面所成的角是如何定义的？取值范围是什么？答案平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．直线与平面所成的角θ的取值范围是[0°，90°]．梳理有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，图中直线PA 斜足斜线与平面的交点，图中点A射影过平面外一点P 向平面α引斜线和垂线，那么过斜足A 和垂足O 的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)，线段OA 就是斜线段PA 在平面α内的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，图中为∠PAO ，规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°知识点二两种距离1．点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．2．直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．类型一与线面角有关的问题例1已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB＝∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC 的平分线上．证明如图所示，作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连结OE，OF，OA.PE⊥AB，PF⊥AC∠PAE＝∠PAFPA＝PA⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE＝AF.⇒AB⊥平面PEO⇒AB⊥OE.同理，AC⊥OF.在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE＝AF，OA＝OA，所以Rt△AOE≌Rt△AOF.于是∠EAO＝∠FAO，因此，点P在α内的射影O在∠BAC的平分线上．反思与感悟(1)求直线和平面所成角的步骤①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口．跟踪训练1如图所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，C1H⊥AB，证明：点H是C1在平面ABC内的射影．证明连结AC1.∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵C1H⊂平面ABC1，∴AC⊥C1H.又AB⊥C1H，AB∩AC＝A，∴C1H⊥平面ABC，∴点H是C1在平面ABC上的射影．类型二直线与平面垂直的判定与性质的综合应用例2如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.反思与感悟证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直又可借助于线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．跟踪训练2如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝2a，D为棱B1B的中点．求证：(1)A1C1∥平面ACD；(2)直线A1D⊥平面ADC.证明(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1.又A1C1⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴A1C1∥平面ACD.(2)∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形，∴∠A1DB1＝∠ADB＝45°，∴∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC.又∠BAC＝90°，∴AC⊥AB.∵AA1∩AB＝A，∴AC⊥平面A1ABB1，又A1D⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1D.又AD∩AC＝A，AD，AC⊂平面ADC，∴A1D⊥平面ADC.1．下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°<θ<90°；②直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90°；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是________．(填序号)答案①④解析②应为0°≤θ≤90°；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．2．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A的长为________．答案a2－b23．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为______．答案垂直解析AB⊥平面BCC1B1，又MN⊂平面BCC1B1，∴AB⊥MN.4.若长方体ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为________．答案3解析依题可知∠B1AB＝60°，A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，∴A1A即为A1C1到底面ABCD的距离．由题意得A1A＝B1B＝3.5.如图所示，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点．(1)求证：BC ⊥平面A 1AC ；(2)若D 为AC 的中点，求证：A 1D ∥平面O 1BC .证明(1)∵AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的任意一点，∴BC ⊥AC .又在圆柱OO 1中，AA 1⊥底面⊙O ，∴AA 1⊥BC ，又AA 1∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面A 1AC .(2)取BC 的中点E ，连结DE ，O 1E ，∵D 为AC 的中点，∴在△ABC 中，DE ∥AB ，且DE ＝12AB ，又在圆柱OO 1中，A 1O 1∥AB ，且A 1O 1＝12AB ，∴DE ∥A 1O 1，DE ＝A 1O 1，∴四边形A 1DEO 1为平行四边形，∴A 1D ∥EO 1.而A 1D ⊄平面O 1BC ，EO 1⊂平面O 1BC ，∴A 1D ∥平面O 1BC .立体几何中经常遇到由一个点向一个平面引垂线的问题，垂线的位置是由这个点在平面内的射影来确定的，因此这个点的射影就是一个关键量，一般来说，可以直接由这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助一些常见结论进行确定，如：(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线．一、填空题1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是____．答案8解析在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，∴AB ⊥PA ，PA ⊥DA ，PA ⊥AC .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴BP ＝CP ，可得PD ⊥BC ，∴图中直角三角形有△PAC ，△PAB ，△PAD ，△ABC ，△ABD ，△ADC ，△BPD ，△DPC ，共8个．2．下列命题：①a ⊥b ⊂a ⊥b;②a ⊥a ∥b ⊥α；③a ⊥b ∥a ⊥b;④a ⊥b ⊂a ⊥α；⑤a ∥a ⊥b ⊥α；⑥a ⊥b ⊥b ∥α或b ⊂α.其中正确的命题是________．(填序号)答案①②③⑥3．已知△ABC 的三条边长分别是5,12,13，点P 到A ，B ，C 三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC 的距离为________．答案332解析由点P 到△ABC 三个顶点的距离相等可知，P 在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心．∵△ABC 为直角三角形，∴其外心是斜边的中点，即点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 斜边的中点D ，如图．∴点P 到平面ABC 的距离为PD ＝332.4．下列四个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形的序号)答案①④解析设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，∵M，N分别为中点，∴MN∥AC.∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC.∵BB′∩DB＝B，BB′⊂平面DBB′，DB⊂平面DBB′，∴AC⊥平面DBB′，∵DB′⊂平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MN∥AC，∴DB′⊥MN，同理可证DB′⊥MF，DB′⊥NF，∵MF∩NF＝F，MF⊂平面MNF，NF⊂平面MNF，∴DB′⊥平面MNF，即l垂直于平面MNP，故①正确；④中由①证明可知l⊥MP，∵MN∥AC，AC⊥l，∴l⊥MN，∴l⊥平面MNP.5.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论中正确的是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③过点A1与异面直线AD和CB1成90°角的直线有2条．答案①②解析由题图可知，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，由于BD∥B1D1，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，故①正确；由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1.同理可得B1C⊥AC1.再根据直线和平面垂直的判定定理可得AC1⊥平面CB1D1，故②正确；过点A1与直线AD成90°角的直线必和BC也垂直，过点A1与CB1成90°角的直线必和CB1垂直，则该直线必和平面B1C1CB垂直，满足条件的只有直线A1B1，故③不正确．6．已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是________．答案3或1解析若A，B在α同侧，如图①，则P到α的距离为3；若A，B在α异侧，如图②，则P到α的距离为PO′－OO′＝3－2＝1.7．如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M 为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的命题为________．(填序号)答案①②③解析∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，故①③正确．∵M是PB的中点，O是AB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC.故②正确．8.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质判定线线垂直答案6解析∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，CO⊂平面ABC，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．9.如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)答案B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)解析由直四棱柱可知CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形、正方形等条件．10.如图是底面边长为a 的正三棱柱(侧棱与底面垂直且底面为正三角形的棱柱)，则AA 1到平面BB 1C 1C 的距离为________．答案32a 解析∵AA 1∥BB 1，∴AA 1∥平面BB 1C 1C ，∴AA 1到平面BB 1C 1C 的距离等于A 到平面BB 1C 1C 的距离．取BC 的中点D ，连结AD ，则AD ⊥BC .又AD ⊥BB 1.∴AD ⊥平面BB 1C 1C .又AD ＝AB ·sin 60°＝32a ，∴AA 1到平面BB 1C 1C 的距离为32a .11．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP 与BD 1垂直，则动点P 的轨迹为________．答案线段CB 1解析如图，先找到一个平面总是保持与BD 1垂直，连结AC ，AB 1，B 1C ，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，易得BD 1⊥CB 1，BD 1⊥AC ，则BD 1⊥平面ACB 1，又点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，根据平面的基本性质，得点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段CB1.二、解答题12．在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF.证明在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF，则A′D⊥A′E，A′D⊥A′F.又A′E∩A′F＝A′，A′E，A′F⊂平面A′EF，∴A′D⊥平面A′EF，又EF⊂平面A′EF，∴A′D⊥EF.13.如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝2，BB1＝2，求证：(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.证明(1)连结A1B，交AB1于点O，连结OD，则点O是A1B的中点．又点D是BC的中点，所以A1C∥OD.又OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D.(2)因为D为BC的中点，所以AD⊥BC.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.又BC∩BB1＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1.又BC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥BC1.设B1D∩BC1＝F，在Rt△DBB1和Rt△BB1C1中，BD BB1＝12，BB1B1C1＝22，所以△DBB1∽△BB1C1，所以∠BDF＝∠C1BB1.又∠C1BB1＋∠FBD＝90°，所以∠BDF＋∠FBD＝90°，所以BC1⊥B1D.又BC1⊥AD，AD∩B1D＝D，AD⊂平面AB1D，B1D⊂平面AB1D，所以BC1⊥平面AB1D.三、探究与拓展14.如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45°.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)求点A到平面PBC的距离．(1)证明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是圆O的直径，C为圆上一点，∴BC⊥AC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC ⊥平面PAC .(2)解如图，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，∵BC ⊥平面PAC ，AD ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AD ，∴AD ⊥平面PBC ，∴AD 即为点A 到平面PBC 的距离．∵∠PBA 为PB 与平面ABC 所成的角，即∠PBA ＝45°，∴PA ＝AB ＝2，AC ＝1，可得PC ＝ 5.∵AD ·PC ＝PA ·AC ，∴AD ＝2×15＝255，即点A 到平面PBC 的距离为255.15.如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，M 为A 1B 1的中点．(1)证明：MC ⊥AB ；(2)若AA 1＝26，侧棱CC 1上是否存在点P 使得MC ⊥平面ABP ？若存在，求出PC 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明取AB 的中点N ，连结MN ，CN ，则MN ⊥底面ABC ，MN ⊥AB .因为△ABC 是正三角形，所以NC ⊥AB ，由MN ∩NC ＝N ，MN ⊂平面MNC ，NC ⊂平面MNC ，可得AB ⊥平面MNC ，从而AB ⊥MC .(2)解由(1)知，MC ⊥AB ，若存在点P 使得MC ⊥平面ABP ，则必有MC ⊥BP .过M 作MQ ⊥B 1C 1，垂足为Q ，连结QC ，则QC 是MC 在平面BCC 1B 1内的射影，只需QC ⊥BP 即可，此时Rt △QC 1C 与Rt △PCB 相似，QC 1C 1C ＝PC CB，所以PC ＝QC 1·CB C 1C ＝3×426＝6，点P 恰好是CC 1的中点．。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.4 第1课时
1.2.4平面与平面的位置关系第1课时两平面平行学习目标 1.了解平面与平面的位置关系，掌握面面平行的判定定理、性质定理.2.会利用“线线平行”、“线面平行”及“面面平行”相互之间的转化，来证明“线线平行”、“线面平行”及“面面平行”等问题.3.了解两个平面间的距离的概念．知识点一两个平面的位置关系知识点二平面与平面平行的判定定理思考1三角板的一条边所在的直线与平面α平行，这个三角板所在的平面与平面α平行吗？答案不一定．思考2三角板的两条边所在的直线分别与平面α平行，这个三角板所在的平面与平面α平行吗？答案平行．梳理知识点三 平面与平面平行的性质定理观察长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中的两个平面：平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1.思考1 平面A 1B 1C 1D 1中的所有直线都平行于平面ABCD 吗？ 答案 是的．思考2 若m ⊂平面ABCD ，n ⊂平面A 1B 1C 1D 1，则m ∥n 吗？ 答案 不一定，也可能异面．思考3 过BC 的平面交平面A 1B 1C 1D 1于B 1C 1，B 1C 1与BC 是什么关系？ 答案 平行． 梳理1．若平面α∥平面β，l ⊂平面β，m ⊂平面α，则l ∥m .( × ) 2．夹在两平行平面间的平行线段相等．( √ )3．若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．( × )类型一 两平面平行的判定例1 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在P A ，BD ，PD 上，且PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD .求证：平面MNQ ∥平面PBC .证明 ∵PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD ，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC.∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.反思与感悟判定平面与平面平行的常用方法(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．(2)利用判定定理．要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ.(客观题用)跟踪训练1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?解当点Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连结PQ，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥P A.又∵AP⊂平面APO，QB⊄平面APO，∴QB∥平面APO.∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.同理可得D1B∥平面P AO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面P AO.类型二 面面平行的性质定理的应用命题角度1 由面面平行的性质定理求线段长例2 如图，平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，求SC 的长．解 设AB ，CD 确定平面γ，因为γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD ，所以△SAC ∽△SBD ， 所以SC SC ＋CD ＝SA SB ，即SC SC ＋34＝89，所以SC ＝272. 引申探究若将本例改为：点S 在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS 的长．解 设AB ，CD 确定平面γ，γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD . 因为α∥β，所以AC ∥BD ， 所以△ACS ∽△BDS ，所以AS BS ＝CS DS .设CS ＝x ，则89＝x34－x ，所以x ＝16，即CS ＝16.反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2 如图所示，平面α∥平面β，△ABC ，△A ′B ′C ′分别在α，β内，线段AA ′，BB ′，CC ′共点于O ，O 在平面α和平面β之间，若AB ＝2，AC ＝2，∠BAC ＝60°，OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________．答案439解析 AA ′，BB ′相交于点O ，所以AA ′，BB ′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB ，A ′B ′，所以AB ∥A ′B ′，且OA OA ′＝AB A ′B ′＝32.同理可得OA OA ′＝AC A ′C ′＝32，OA OA ′＝BC B ′C ′＝32.所以△ABC ，△A ′B ′C ′面积的比为9∶4， 又△ABC 的面积为3， 所以△A ′B ′C ′的面积为439. 命题角度2 利用面面平行证明线线平行例3 如图所示，四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 均在平行四边形A ′B ′C ′D ′外，且AA ′，BB ′，CC ′，DD ′互相平行，求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明 ∵四边形A ′B ′C ′D ′是平行四边形， ∴A ′D ′∥B ′C ′.∵A ′D ′⊄平面BB ′C ′C ，B ′C ′⊂平面BB ′C ′C ， ∴A ′D ′∥平面BB ′C ′C . 同理AA ′∥平面BB ′C ′C .∵A ′D ′⊂平面AA ′D ′D ，AA ′⊂平面AA ′D ′D ， 且A ′D ′∩AA ′＝A ′，∴平面AA ′D ′D ∥平面BB ′C ′C .又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面ABCD与平面BB′C′C的交线，∴AD∥BC.同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．反思与感悟本类题的解题思路一般为先得出线面平行，再得面面平行，最后由面面平行的性质定理得线线平行．跟踪训练3如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．证明如图，连结AC，BD，交点为O，连结A1C1，B1D1，交点为O1，连结BD1，EF，OO1，设OO1的中点为M，由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形．又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M，所以E，B，F，D1四点共面．又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，所以ED1∥BF.同理可证EB∥D1F.所以四边形BED1F是平行四边形．类型三平行关系的综合应用例4设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：MP∥β.证明如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，连结DE，BE.∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.又α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)，取AE的中点N，连结NP，MN，∴M，P分别为AB，CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP⊄β，DE⊂β，MN⊄β，BE⊂β，∴NP∥β，MN∥β，∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP⊂平面MNP，MP⊄β，∴MP∥β.反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练4如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.(1)证明方法一如图，连结AC，CD1.∵P，Q分别是AD1，AC的中点，∴PQ ∥CD 1.又PQ ⊄平面DCC 1D 1， CD 1⊂平面DCC 1D 1， ∴PQ ∥平面DCC 1D 1.方法二 取AD 的中点G ，连结PG ，GQ ，则有PG ∥DD 1，GQ ∥DC ，且PG ∩GQ ＝G ， ∴平面PGQ ∥平面DCC 1D 1.又PQ ⊂平面PGQ ， ∴PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)解 由(1)知PQ ＝12D 1C ＝22a .(3)证明 方法一 取B 1D 1的中点O 1，连结FO 1，BO 1， 则有FO 1∥12B 1C 1，FO 1＝12B 1C 1.又BE ∥12B 1C 1，BE ＝12B 1C 1，∴BE ∥FO 1，BE ＝FO 1.∴四边形BEFO 1为平行四边形，∴EF ∥BO 1. 又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO 1⊂平面BB 1D 1D ， ∴EF ∥平面BB 1D 1D .方法二 取B 1C 1的中点E 1，连结EE 1，FE 1，则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1，且FE 1∩EE 1＝E 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D .又EF ⊂平面EE 1F ， ∴EF ∥平面BB 1D 1D .1．下列条件中，可以用来判定平面α与平面β平行的是________．(填序号) ①α内有无穷多条直线与β平行； ②直线a ∥α，a ∥β；③直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥α； ④α内的任何直线都与β平行． 答案 ④2．已知α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，若α∥β，且a ⊂α，b ⊂β，则直线a ，b 的位置关系是________． 答案 平行或异面解析 利用正方体模型及两个平面的位置关系的定义，可得直线a ，b 的位置关系是平行或异面．3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列四对截面中彼此平行的是________．(填序号) ①截面A 1BC 1和截面ACD 1； ②截面BDC 1和截面B 1D 1C ； ③截面B 1D 1D 和截面BDA 1； ④截面ADC 1和截面AD 1C . 答案 ①解析 易证A 1B ∥CD 1，BC 1∥AD 1，由面面平行的判定定理，可得截面A 1BC 1∥截面ACD 1，所以①符合条件；因为截面BDC 1和截面B 1D 1C 相交，截面B 1D 1D 和截面BDA 1相交，截面ADC 1和截面AD 1C 相交，所以②③④不符合条件．故填①.4．若一平面截平行六面体，与两组相对的面相交，则截面四边形的形状一定是__________． 答案 平行四边形解析 由面面平行的性质定理可得．5.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E ＝C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .证明 过E 作EG ∥AB 交BB 1于点G ，连结GF ，则B 1E B 1A ＝B 1GB 1B，∵B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ， ∴C 1F C 1B ＝B 1GB 1B， ∴FG ∥B 1C 1∥BC .又∵EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ， ∴平面EFG ∥平面ABCD . 又∵EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD .1．证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(4)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．2．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．3．空间中各种平行关系相互转化的示意图一、填空题1．给出下列条件：①两个平面不相交；②两个平面没有公共点；③一个平面内所有直线都平行于另一个平面；④一个平面内有一条直线平行于另一个平面；⑤一个平面内有两条直线平行于另一个平面．其中能判断两个平面平行的是________．(填序号)答案①②③解析由两个平面的位置关系知①正确；由两个平面平行的定义知②③正确；两个平面相交，其中一个平面内可以有无数条直线与另一个平面平行，故④⑤错误，故填①②③.2．已知平面α∥平面β，直线a ⊂平面α，则下列命题中正确的是________．(填序号) ①a 与β内的所有直线平行； ②a 与β内的无数条直线平行； ③a 与β内的任何直线都不平行； ④a 与β没有公共点． 答案 ②④3．已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB 的长为6，AB 与α所成的角为60°，则α与β之间的距离为________． 答案 3 3解析 过B 作BC ⊥α于C (图略)，则∠BAC ＝60°， 在Rt △ABC 中，BC ＝AB ·sin 60°＝3 3.4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱A 1D 1上的动点，O 为底面ABCD 的中心，E ，F 分别是A 1B 1，C 1D 1的中点，则下列平面中与OM 扫过的平面平行的是________．(填序号) ①平面ABB 1A 1; ②平面BCC 1B 1； ③平面BCFE; ④平面DCC 1D 1. 答案 ③解析 AB ，DC 的中点分别为E 1和F 1，OM 扫过的平面即为平面A 1E 1F 1D 1(如图)． 故平面A 1E 1F 1D 1∥平面BCFE .5．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系是____________． 答案 平行或相交解析 若三点在平面α的同侧，则α∥β；若三点在平面α的异侧，则α与β相交． 6．已知α∥β且α与β间的距离为d ，直线a 与α相交于点A ，与β相交于点B ，若AB ＝233d ，则直线a 与α所成的角等于________． 答案 60°解析 设直线a 与α所成的角为θ. 由题意得AB ＝d sin θ＝23d 3.∴sin θ＝32.又0°≤θ≤90°，∴θ＝60°.7.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，过BB 1的中点E 作一个与平面ACB 1平行的平面交AB 于点M ，交BC 于点N ，则MNAC＝____.答案 12解析 ∵平面MNE ∥平面ACB 1，由面面平行的性质定理，可得EN ∥B 1C ，EM ∥B 1A . 又∵E 为BB 1的中点，∴M ，N 分别为BA ，BC 的中点， ∴MN ＝12AC ，即MN AC ＝12.8．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，P A ＝PB ＝AB ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，平面AGF ∥平面PEC ，PD ∩平面AGF ＝G ，ED 与AF 相交于点H ，则GH ＝________.考点 平面与平面平行的性质 题点 与面面平行性质有关的计算 答案32解析 由ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，且AB ＝CD ， 又E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴AE ＝FD ， 又∠EAH ＝∠DFH ， ∠AEH ＝∠FDH ， ∴△AEH ≌△FDH ， ∴EH ＝DH .∵平面AGF ∥平面PEC ， 又平面PED ∩平面AGF ＝GH ， 平面PED ∩平面PEC ＝PE ，∴GH ∥PE ， 则G 是PD 的中点． ∵P A ＝PB ＝AB ＝2， ∴PE ＝2×sin 60°＝3， ∴GH ＝12PE ＝32.9.如图，已知α∥β，GB ，GD 分别交α，β于点A ，B ，C ，D ，且GA ＝9，AB ＝12，则ACBD ＝________.答案 37解析 因为α∩平面GAC ＝AC ，β∩平面GBD ＝BD ， 且α∥β，所以AC ∥BD ，又因为GA ＝9，AB ＝12， 所以AC BD ＝GA GB ＝99＋12＝37.10.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足______时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案 M ∈线段FH解析 ∵HN ∥BD ，HF ∥DD 1， HN ∩HF ＝H ，BD ∩DD 1＝D ， ∴平面NHF ∥平面B 1BDD 1， 故线段FH 上任意一点M 与N 连结， 有MN ∥平面B 1BDD 1.11．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是平面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长为________．答案22解析 当且仅当点Q 为B 1D 1的中点时，PQ ∥平面AA 1B 1B ，取A 1D 1中点O ，连结OQ ，OP ，则OQ ∥A 1B 1，OP ∥A 1A . 故易证平面OPQ ∥平面ABB 1A 1， 则PQ ∥平面ABB 1A 1.在Rt △POQ 中，OQ ＝OP ＝12，∴PQ ＝22. 二、解答题12．如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2)求S △MNG ∶S △ADC .(1)证明 如图，连结BM ，BN ，BG 并延长交AC ，AD ，CD 分别于点P ，F ，H . ∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心，∴BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2. 连结PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ， MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD . 同理MG ∥平面ACD ， 又MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD . (2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.13.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．三、探究与拓展14．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1，BC 上移动，始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是________．(填序号)答案 ③解析 过M 作MQ ∥DD 1，交AD 于点Q ，连结QN .∵MN ∥平面DCC 1D 1，MQ ∥平面DCC 1D 1， MN ∩MQ ＝M ，∴平面MNQ ∥平面DCC 1D 1.又平面ABCD 与平面MNQ 和DCC 1D 1分别交于QN 和DC ，∴NQ ∥DC ，可得QN ＝CD ＝AB ＝1，AQ ＝BN ＝x ， ∵MQ AQ ＝DD 1AD＝2，∴MQ ＝2x . 在Rt △MQN 中，MN 2＝MQ 2＋QN 2，即y 2＝4x 2＋1，∴y 2－4x 2＝1(x ≥0，y ≥1)，∴函数y ＝f (x )的图象为焦点在y 轴上的双曲线上支的一部分． 15.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．解方法一存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1. 证明如下：如图，取BB1的中点F，连结DF，则DF∥B1C1，因为AB的中点为E，连结EF，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，EF∩DF＝F，所以平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.方法二假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1.如图，取BB1的中点F，连结DF，EF，则DF∥B1C1.又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，所以DF∥平面AB1C1.又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面AB1C1.因为EF⊂平面DEF，所以EF∥平面AB1C1.又因为EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，所以EF∥AB1，因为点F是BB1的中点，所以点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.。
高中数学(苏教版,必修二) 第一章立体几何初步 1.2.3第2课时 课时作业(含答案)
第2课时直线与平面平行的性质【课时目标】1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．直线与平面平行的性质定理：经过一条直线和一个平面________，经过这条直线的平面和这个平面__________，那么这条直线就和交线________．(1)符号语言描述：______________．(2)性质定理的作用：可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作__________的方法．一、填空题1．已知直线l∥平面α，直线m⊂α，则直线l和m的位置关系是________．2．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为____________．3．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是________(填序号)．①α内的所有直线与m异面；②α内不存在与m平行的直线；③α内存在唯一的直线与m平行；④α内的直线与m都相交．4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是________．5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线条数为________．6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是__________(填序号)．①l1平行于l3，且l2平行于l3；②l1平行于l3，且l2不平行于l3；③l1不平行于l3，且l2不平行于l3；④l1不平行于l3，但l2平行于l3．7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)8．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q 在CD上，则PQ＝________．9．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________．二、解答题10．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．11．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．求证：CD∥平面EFGH．能力提升12．如图所示，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将固定容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③A1D1始终水面EFGH平行．其中正确的命题序号是________．13．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l ．(1)求证：BC ∥l ；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：线线平行――→在平面内作或找一直线线面平行――→经过直线作或找平面与平面相交的交线线线平行．第2课时 直线与平面平行的性质 答案知识梳理平行 相交 平行⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b 直线和直线 平行线作业设计1．平行或异面 2．平行或相交 3．② 4．平行解析 ∵E 、F 分别是AA 1、BB 1的中点，∴EF ∥AB ． 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB ∥GH ． 5．0或1解析 设这n 条直线的交点为P ，则点P 不在直线a 上，那么直线a 和点P 确定一个平面β，则点P 既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b ，则直线b 过点P ．又直线a ∥平面α，则a ∥b ．很明显这样作出的直线b 有且只有一条，那么直线b 可能在这n 条直线中，也可能不在，即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多有一条．6．①解析 ∵l 1∥l 2，l 2⊂γ，l 1⊄γ， ∴l 1∥γ．又l 1⊂β，β∩γ＝l 3， ∴l 1∥l 3∴l 1∥l 3∥l 2．7．①②⇒③(或①③⇒②)解析 设过m 的平面β与α交于l ． ∵m ∥α，∴m ∥l ，∵m ∥n ，∴n ∥l ， ∵n ⊄α，l ⊂α，∴n ∥α． 8．223a解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3．9．m ∶n解析 ∵AC ∥平面EFGH ，∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，∴EF ＝HG ＝m·BE BA ，同理EH ＝FG ＝n·AEAB．∵EFGH 是菱形，∴m·BE BA ＝n·AEAB，∴AE ∶EB ＝m ∶n ．10．证明 如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点， 又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM ．根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA ∥平面BMD ．∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴PA ∥GH ．11．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH ．又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ．而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD．而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．12．①③13．(1)证明因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．(2)解MN∥平面PAD．证明如下：如图所示，取DC的中点Q．连结MQ、NQ．因为N为PC中点，所以NQ∥PD．因为PD⊂平面PAD，NQ⊄平面PAD，所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．又NQ⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．所以MN∥平面PAD．。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.1.4
1.1.4直观图画法学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．知识点斜二测画法1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则2．立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法．1．用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(×)2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．(×)3．在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变．(×)类型一平面图形的直观图例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图．解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝1OD，过点D′作x′轴的平行2线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连结B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图③.引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系，画出对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝1OE，以E′为中点画出2C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.连结B′C′，D′A′，如图②所示．(3)所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图③所示．反思与感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．确定多边形顶点的位置是关键之二，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可．跟踪训练1如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．答案22解析正方形的直观图如图所示．由直观图的画法知，O ′A ′＝1，又∠A ′O ′C ′＝45°，过点A ′作A ′D ′⊥O ′C ′，垂足为D ′，∴点A ′到x ′轴的距离为A ′D ′＝O ′A ′·sin 45°＝22.又A ′B ′∥x ′轴，∴点B ′到x ′轴的距离也是22.类型二直观图的还原与计算命题角度1由直观图还原平面图形例2如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．解①画出直角坐标系xOy ，在x 轴的正方向上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′；②过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于点D ′，在OA 上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，且使DB ＝2D ′B ′；③连结AB ，BC ，得△ABC .则△ABC 即为△A ′B ′C ′对应的平面图形，如图所示．反思与感悟由直观图还原平面图形的关键(1)平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x ′、y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴的平行线确定其在xOy 中的位置．跟踪训练2如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6cm ，C ′D ′＝2cm ，则原图形是________．答案菱形解析如图所示，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2(cm)，∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．命题角度2原图形与直观图的面积的计算例3如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．解如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2.在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连结BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.反思与感悟(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°(或135°)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S .跟踪训练3如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是________．答案2解析直观图中等腰直角三角形的直角边长为1，因此面积为12.又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为 2.类型三简单几何体的直观图例4用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm 、3cm 、2cm 的长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的直观图．解(1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．反思与感悟直观图中应遵循的基本原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段．(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”．跟踪训练4用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)解(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x 轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝12MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且等于EF；③连结A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点．在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.使P′O′＝PO.(3)成图．连结P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴(被遮挡的部分为虚线)，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3)．1．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的________．(填序号)答案③解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.2．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为__________．答案16或64解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 3．有一个长为5cm，宽为4cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2.考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案52解析该矩形直观图的面积为24×5×4＝5 2.4．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的________．(填序号)答案③解析在x 轴上或与x 轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y 轴上或与y 轴平行的线段在新坐标系中的长度变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为③.5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1cm,2cm ，高为2cm)解(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC ，其中O 为△ABC 的重心，BC ＝2cm ，线段AO 与x 轴的夹角为45°，AO ＝2OD .(2)过O 作z 轴，使∠xOz ＝90°，在z 轴上截取OO ′＝2cm ，作上底面等边三角形的直观图△A ′B ′C ′，其中B ′C ′＝1cm ，连结AA ′，BB ′，CC ′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得正三棱台的直观图．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox 、Oy 轴，在直观图中画成O ′x ′、O ′y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．一、填空题1．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．答案(4,2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2)．2.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则△ABC的形状是______三角形．答案直角解析∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，故△ABC为直角三角形．3．一个长方体的长、宽、高分别是4,8,4，则画其直观图时对应的长度依次为____________．答案4,4,4解析根据斜二测画法规则可知，水平线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，竖直线段长度不变，所以其长度分别为4,4,4.4．下面各组图形中2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是________．(填序号)答案③解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．5．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是________．(填序号)答案①解析直观图中正方形的对角线长为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有①满足条件，故①正确．6．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在坐标系xOy 中，原四边形OABC为______(填形状)，面积为________cm2.答案矩形8解析由题意并结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2)．7．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是________．(填序号)①原来相交的仍相交；②原来垂直的仍垂直；③原来平行的仍平行；④原来共点的仍共点．答案①③④解析根据斜二测画法，原来互相垂直的线段未必垂直．8．如图所示，△A′B′O′为水平放置的△ABO的直观图，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是____________．答案OD，BD，AB，BO解析由题图可知，在△ABO中，OD＝2，BD＝4，AB＝17，BO＝25，故OD<BD<AB<BO.9．给出以下说法，其中不正确的是________．(填序号)①水平放置的矩形的直观图可能是梯形；②水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；③水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形；④水平放置的菱形的直观图可能是平行四边形．答案①②解析由斜二测画法规则可知①②不正确．10．如图所示，四边形OABC 是上底为2cm ，下底为6cm ，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中，梯形的高为________cm.答案22解析作CD ，BE ⊥OA 于点D ，E ，则OD ＝EA ＝OA －BC 2＝2(cm)，∴OD ＝CD ＝2cm ，∴在直观图中梯形的高为12×2×22＝22(cm)．二、解答题11．如图，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算解由已知，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示，这是一个底边长为2，高为2的平行四边形，故原图形的面积为2 2.12.如图，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC .解(1)过C ′，B ′分别作y ′轴的平行线交x ′轴于点D ′，E ′.(2)在直角坐标系xOy 中，在x 轴上取两点E ，D ，使OE ＝O ′E ′，OD ＝O ′D ′，再分别过E ，D 作y 轴的平行线，取EB ＝2E ′B ′，DC ＝2D ′C ′，连结OB ，OC ，BC ，并擦掉辅助线及x 轴，y 轴，即画出原△ABC .13.如图所示，在△ABC 中，AC ＝12cm ，AC 边上的高BD ＝12cm ，求其水平放置的直观图的面积．解方法一画x ′轴，y ′轴，两轴交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，作△ABC 的直观图如图所示，则A ′C ′＝AC ＝12cm ，B ′D ′＝12BD ＝6(cm)，故△A ′B ′C ′的高为22B ′D ′＝32(cm)，所以S △A ′B ′C ′＝12×12×32＝182(cm 2)．即水平放置的直观图的面积为182cm 2.方法二△ABC 的面积为12AC ·BD ＝12×12×12＝72(cm 2)．由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC 水平放置的直观图的面积是24×72＝182(cm 2)．三、探究与拓展14．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，B ′C ′∥y ′轴，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为________．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案732解析由斜二测画法规则知AC ⊥BC ，即△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，所以AB ＝73，AB 边上的中线长度为732.15．用斜二测画法画出正三棱柱ABC —A ′B ′C ′的直观图．解(1)画轴．如图，画出x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．作水平放置的正三角形的直观图△ABC .(3)画侧棱．过A ，B ，C 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA ′，BB ′，CC ′，使得AA ′＝BB ′＝CC ′.(4)成图．顺次连结A ′，B ′，C ′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图．。
2021年高中数学第1章立体几何初步1.2.3直线与平面的位置关系课件13苏教版必修2
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
稳固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
〔1〕AB1在面BB1D1D中的射影
线段B1O
〔2〕AB1在面A1B1CD中的射影
D1 A1
C1 B1
D
C
O
A
B
稳固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
〔1〕AB1在面BB1D1D中的射影 〔2〕AB1在面A1B1CD中的射影
么它与平面垂直.
〔)
b
a
α
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，
那么这条直线垂直于这个平面.
关键：线不在多，相交那么
行 线线垂直
m
线面垂直
n m n P
l
l
m
α
l n
l
m
n
P
例1.如图，a∥b、a⊥α. 求证：b⊥α.
a
b
n
m
证 明 :在 平 面 内 作 两 条 相 交 直 线 m ,n .
〔1〕利用定义；垂直于平面内任意一条直线
〔2〕利用判定定理．
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
如图,假设一条直线PA和一 个平面α相交,但不垂直,那 么这条直线就叫做这个平面 的斜线,斜线和平面的交点A 叫做斜足。
斜线 P A 斜足
2.直线和平面所成的角
斜线
如图,过斜线上斜足以外的一点 向平面引垂线PO,过垂足O和斜
斜足
足A的直线AO叫做斜线在这个平
面上的射影.平面的一条斜线和
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直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角， 叫做这条斜线和这个平面所成的角．包括0°角、直角、锐 角，因此直线和平面所成角的范围是 0，.π2求 斜线与平面所 成的角一般步骤：
①找出斜线在给定平面内的射影；②指出并论证斜线 与平面所成的角；③在含有斜线与平面所成的角的三角形中， 利用平面几何或三角函数知识求出这个角．
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5．直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平 面a内的____________________，我们就说直线a与平面α互 相垂直．
6．过一点有且只有一条直线与平面垂直，同样， ____________________.
7．从平面外一点引平面的垂线， ____________________，叫做这个点到这个平面的距离．
5．任意一条直线都垂直 6．过一点有且只有一个平面与直线垂直 7．这个点和垂足间的回
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8．直线与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的______， 那么这条直线垂直于这个平面．
(2)符号语言：假设________，________，________， ________，________，那么l⊥α.
(1)文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这 条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平 行．简称为：“____________________〞．
(2)符号语言：假设______∥________，______， ________，那么l∥m.