2.4边缘分布与独立性

0 x y 0 y x 其它
二、边缘分布律 若随机变量X与Y的联合分布律为 (p80) (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i, j＝1, 2, … 则称 pij ，i＝1, 2, … P{X＝xi}＝pi.＝

j
为(X, Y)关于X的边缘分布律； P{Y＝ yj}＝p.j＝
x=-y
x=y
y dx 0 y 1 fY ( y ) y 0 others
设(X,Y)的概率密度为 cy 0 x 1,0 y x f ( x, y) others 0 (1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度. 答：c 6
p ，j＝1, 2, …
i 1 ij
为(X, Y)关于Y的边缘分布律。
边缘分布律自然也满足分布律的性质。
例2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 解：
x\y
1 0
p{Y=yi}
1 0 p{X=xi}. 1/10 3/10 2/5 3/10 3/10 3/5 2/5 3/5
2 连续型随机变量的条件概率密度
定义. 给定y，设对任意固定的，极限
lim P{ X x | y Y y }
0
P{ X x, y Y y } lim 0 P{ y Y y } 存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数. 记作 FX |Y ( x | y) P{X x | Y y}
pi| j P{ X xi | Y y j } ＝
pij p. j
,
j 1,2,...
为Y＝ yj的条件下，X的条件分布律;
同理，对固定的i, pi. >0, 称
P j|i P{Y y j | X xi }＝
pij pi.
,
j 1,2,...
为X＝ xi的条件下，Y的条件分布律;
2.4.二维随机变量的独立性
一、边缘分布函数 FX(x)＝F (x, +)＝ ylim F( x , y ) ＝P{Xx} 称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数； FY(y)＝F (+, y)＝
x
lim F( x , y ) ＝P{Yy} 称为二
维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数. 边缘分布实际上是二维随机变量的某个低维 分量的分布。
类似定义，当 f X ( x ) 0 时
fY |X ( y | x ) FY |X ( y | x) y f ( x, y ) f X ( x)
例.已知(X,Y)的概率密度为
21 2 x y f ( x, y ) 4 0 x2 y 1 其它
y
1
求条件概率密度 fY |X ( y | x) x
a<b,c<d，有
p{a<Xb,c<Yd}=p{a<Xb}p{c<Yd} 量X与Y独立。 即 事件{a<Xb}与事件{c<Yd}独立，则称随机变
定理：随机变量X与Y独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y)
或f(x,y)=f(x)f(y)
例4.已知随机变量(X,Y)的分布律为
3
1
f 2 ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
故 X ,Y 不独立
设(X,Y)服从如图区域D上 的均匀分布， 求关于X的和关于Y的边缘 概率密度
1 dy 1 x 0 x 1 f X ( x ) dy 0 x 1 x others 0
解:(1)由归一性

dx cdy 1 c 6
0 x2
1
x
0 x 0 or x 1 (2) f X ( x ) f ( x, y )dy x
x2
6dy 6( x x 2 ) 0 x 1
四 二维随机变量条件分布
1.离散型随机变量的条件分布律 若对固定的j, p.j>0, 则称


为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。
例3
设(X,Y)服从如图区域G {( x, y) | x2 y2 4} 上的 均匀分布， 求关于X的和关于Y的边缘概率 密度
EX .设(X,Y)的概率密度为
c x 2 y x f ( x, y ) others 0
（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度
例1.已知(X,Y)的分布函数为
1 e x xe y F ( x, y ) 1 e y ye y 0
求FX(x)与FY(y)。
1 e x 解：FX (x)=F(x,+)= 0 1 e y ye y FY (y)=F(+,y)= 0 x0 x0 y0 y0
x 0 1 y 0 1 0.15 0.15 a b
且知X与Y独立，求a、b的值。 解:由归一性
0.15 0.15 a b 1 a b 0.7
由独立性
0.15 (a 0.15) 0.3
a 0.35, b 0.35
例5 已知 ( X, Y ) 的联合 d.f.为
8xy, 0 x y,0 y 1 f ( x, y ) 其他 0,
讨论X ,Y 是否独立？
由图知边缘 d.f. 为
4 x(1 x ), 0 x 1, f X ( x) 其他 0,
2
1
显然，
4 y , 0 y 1, fY ( y ) 其他 0,
1 21 2 f X ( x) f ( x, y)dy 4 x ydy 1 x 1 x2 0 others 带入公式：

解:
f ( x, y) fY | X ( y | x ) f X ( x)
五、随机变量的相互独立性
定义 称随机变量X与Y独立，如果对任意实数
可证当 f y ( y ) 0 时
FX |Y ( x | y )

f (u, v )du
fY ( y )
x
若记 f X |Y ( x | y ) 为在Y=y条件下X的条件概率密度， 则由(3.3.3)知,当 fY ( y ) 0 时， . FX |Y ( x | y ) f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) x fY ( y )
0 3/5
故关于X和Y的分布律分别为： X 1 0 Y 1 P 2/5 3/5 P 2/5
三、二维连续型随机变量的边缘密度函数 设(X, Y)～f (x, y), (x, y)R2, 则称
f X ( x) f ( x, y)dy


为(X, Y)关于X的边缘密度函数；
同理，称
fY ( y) f ( x, y)dx
x 6 ydy 3 x 2 f X ( x) 0 0 0 x 1 others
1 6 ydx 6 y (1 y ) 0 y 1 fY ( y ) y 0 others