初中奥数竞赛培优专题讲座：专题十 分类与讨论(PDF版)
八年级数学培优.竞赛资料(共24讲)
B AC D EF 第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A F C E DB 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAB （E ）OC F 图③DAAE第1题图A BCDEBCDO第2题图AFECB D【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQEFB ACDG第2题图21ABCPQE F D⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）第1题图a αcca50° b72° 58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DA ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCEF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFCD 第1题图B第2题图第3题图ABE D CAB C DEAEBDC＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
初中数学《专题分类讨论题》公开课优质课PPT课件
颗粒归仓
(1)分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法 之一，在研究此类问题的解法时，需认真审题，全面考虑， 对可能存在的各种情况进行讨论，做到不重、不漏、条理 清晰．
(2)分类讨论的一般步骤：①弄清分类原因；②确定分 类标准；③逐类进行讨论；④归纳作出结论．
► 类型之二 根据对称性进行分类讨论
例2如图,直线y=-2x+2与x,y轴分别交于A,B两点，将△AOB绕
点O逆时针旋转90°得到△COD,抛物线 y ax2 bx c(a 0) 经过点A,B,D. （3）若将△AOB绕点O逆时针旋转 一周，记点B的对应点为点E, 连接 EB,ED,在旋转过程中，是否存在 这样的点E,使△EBD为等腰三角形？ 若存在，请求出点E的坐标，若不 存在，请说明理由.
中考数学专题复习——分类讨论
分类讨论思想介绍
在解答某些数学问题时，因为存在一些不 确定的因素，解答无法用统一的方法或结论给 出统一的表述，对这类问题依情况加以分类， 并逐类求解，然后综合求解，这种解题的方法 叫分类讨论法.
► 类型之一 概念、定义中的分类讨论
例1 函数y ax2 ax 3x 1 与x轴只有一个交点，
► 类型之二 几何图形不确定的分类讨论
例2如图,直线y=-2x+2与x,y轴分别交于A,B两点，将△AOB绕
点O逆时针旋转90°得到△COD,抛物线 y ax2 bx c(a 0) 经过点A,B,D. （5）点P是抛物线上一点，点Q 为抛物线对称轴上一点，若以点 C、D、P、Q为顶点的四边形是 平行四边形，求点Q的坐标.
► 类型之三 运动变化之中的分类讨论
例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点M从点
中考数学专题复习：分类讨论课件
要点一
总结词
要点二
答案
考察代数式的分类讨论，包括因式分解、分式的化简等。
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)，(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab，(x^2 + y^2)^2 - x^2y^2 = (x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 - xy)。
函数中的分类讨论练习题及答案
详细描述
在概率统计中，数据分布和特点多种多样。根据数据的分布类型、特点、范围等特点，可以将数据分为离散型数 据、连续型数据、正态分布数据等多种类型。针对每种类型的数据，需要分别讨论其特点和性质，以便更好地进 行数据处理和分析。
03
分类讨论的常见题型及解 题方法
代数式中的分类讨论题型及解题方法
总结词
详细描述
在代数式中，根据代数式的形式和特点，可以将代数式分为整式、分式、根式 等多种形式。每种形式都有其特定的性质和运算规则，因此需要对每种形式进 行分类讨论，以确保解题的准确性和完整性。
函数中的分类讨论
总结词
函数中的分类讨论主要涉及对不同类型和性质的函数进行分类，并针对每种函数进行讨 论。
详细Hale Waihona Puke 述拆项分解、整体代换、因式分解
详细描述
在代数式中，有时需要对多项式进行拆项或因式分解，或者利用整体代换的方法来简化问题。分类讨 论在这种情况下非常有用，因为它可以帮助我们更好地理解和处理不同的情况。
函数中的分类讨论题型及解题方法
总结词
定义域、单调性、极值点
详细描述
在处理函数问题时，我们经常需要考虑函数的定义域、单调 性和极值点。通过分类讨论，我们可以更好地理解和处理这 些不同的性质，从而找到解决问题的最佳方法。
中考数学复习专题讲座(十)分类讨论思想
中考数学复习专题讲座(十)------分类讨论思想Ⅰ、专题精讲：1.我们在解数学题时，如果遇到题中的对象不确定，就要根据已知条件和题目的要求，分不同的情况作出符合题意的解答，这就是分类讨论。
2.分类讨论包括：①对字母的取值情况进行分析，并根据题意作出取舍；②在不同的数的范围内，准确求出代数式的不同表达形式③对符合题意的图形，作出不同形状、不同的位置关系。
3.分类讨论的原则：（1）分类中的每一部分都是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行;(4) 正确的分类讨论必须是全面的，既不重、也不漏． Ⅱ、典型例题剖析类型1：分式方程无解的分类讨论问题例题1： =+=-+-a 349332无解，求x x ax x 解：去分母，得：1.6,801a 31-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68-==a a 或 练习： ==--+a 2112无解，求x a x 类型2： “一元二次方程”系数的分类讨论问题例题2：已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。
（1） 当02=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1-（2） 当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：41-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m ，且02≠m 综（1）（2）得，41-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02≠m 的条件）总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。
一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。
这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。
例题4：当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数。
中考数学专题复习：分类讨论-课件
A
P
B
在矩形ABCD中：①当QABA=BACP 时，△QAP∽△ABC，则612t
=
2t 6
，
解得t=
6 5
=1.2秒。所以当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。
②当QBCA=
AP AB
时，△PAQ∽△ABC，则
66t= 122t，
Hale Waihona Puke 解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，△PAQ∽△ABC。
10。已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点 （点Ａ在点Ｂ的左边），与ｙ轴交于点Ｃ,直线ｘ＝ｍ（ｍ＞ １）与ｘ轴交于点Ｄ。
0, 解得，t1
16 3
, t2
16(不符合题意，舍去）
综合上面的讨论可知：当t 7 秒或t 16 秒时，以B、P、Q三点为顶点的
2
3
三角形是等腰三角形。
（１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标；
（２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ ＞ １）上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象
限），使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶
点的三角形相似，求点Ｐ的坐标。
ｙ
Ｏ ＡＢ
Ｃ
Ｘ Ｄ
解（1）A（－1，0），B（1，0），C（０，－2）
(2) 当 △ PDB
∽
△
BOC时，
PD
BO=
有Ｐ（ｍ，
m 2
－
1 2
）
BD CO
当 △ PDB ∽ △ COB时， 有P（m, 2m－2）；
Ｏ ＡＢ
Ｃ
P
Ｘ Ｄ
11. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC， C 90°，BC 16，DC 12，
AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位 长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单 位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当 点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。 （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求
初二数学竞赛辅导资料(共12讲)讲义
目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。
其中《因式分解》为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。
注：有(*)标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲实数（一）第二讲实数（二）第三讲平面直角坐标系、函数第四讲一次函数（一）第五讲一次函数（二）第六讲全等三角形第七讲直角三角形与勾股定理第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发）第九讲竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程与应用第十一讲因式分解的方法第十二讲因式分解的应用第十三讲考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第1讲 实数（一）【知识梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数 1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a |≥0在数轴上，表示实数a 的点到原点的距离叫做实数a 的绝对值，用|a |来表示设a 为实数，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0)0(0)0(||a a a a a a绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a 与b 互为相反数，则|a |＝|b |；若|a |＝|b |，则a ＝±b ③对任意实数a ，则|a |≥a ， |a |≥－a ④|a ·b |＝|a |·|b |，||||||b a b a =(b ≠0) ⑤||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |（2）实数的偶次幂是非负数如果a 为任意实数，则n a 2≥0（n 为自然数），当n ＝1时，2a ≥0（3）算术平方根是非负数，即a ≥0，其中a ≥0.算术平方根的性质：()a a =2（a ≥0）||2a a =＝⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0)0(0)0(a a a a a2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数 （2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零 （3）若非负数不大于零，则此非负数必为零 3的式子，被开方数必须为非负数； 4a =5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。
全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义(11—20讲)
全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2)二元一次方程组解的讨论甲内容提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）乙例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。
解得a=10, c ≠14。
③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=23152331a y a x ∵⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-0231502331a a解不等式组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><531331a a 解集是6311051<<a 答：当a 的取值为6311051<<a 时，原方程组的解是正数。
初三数学培训讲义第10讲 分类讨论思想专题
第十讲分类讨论思想专题一、主要知识点回顾分类讨论思想：1．分类讨论思想就是按照数学对象的相同点与不同点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。
分类问题的关键是要弄清引起分类讨论的原因，明确分类的对象与标准。
2．解题策略：解题时首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏；再对所分类进行讨论，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
二、感悟与实践【题型1】概念型的分类讨论例题1：已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）。
A．50°B．80°C．50°或65°D．50°或80°变式练习1：（1）等腰△ABC的两边长为7和3，则△ABC的周长为。
（2）直线443y x=+分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则这样的的点C最多．．有个。
【题型2】性质型分类讨论例题2：（2011广州）下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）。
A．y＝x2B．y＝x-1 C．1yx=错误！未找到引用源。
D．34y x=错误！未找到引用源。
变式练习2：（1）（2011随州）已知函数y＝()()()()22113513≤x xx x⎧--⎪⎨-->⎪⎩，则使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）。
A．3 B．2 C．1 D．0（2）若函数()()22222≤x xyx x⎧+⎪=⎨⎪⎩ ＞，则当函数值8y=时，自变量x的值是（）。
A ．B ．4C ．4D ．4或【题型3】含参数型的分类讨论例题3：（2011荆门）如图1，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，点B 的坐标为()42, ，一次函数1y kx =-的图象平分它的面积，关于x 的函数()232y mx m k x m k =-+++的图象与坐标轴只有两个交点，求m 的值。
八年级奥数杯赛培优精品讲义(可直接打印)
．
（“英才杯”竞赛试题）
5．探索规律： 31 3 ，个位数是 3； 32 9 ，个位数是 9； 33 27 ，个位数是 7； 34 81 ，个位数是 1；
35 243 ，个位数是 3； 36 729 ，个位数是 9；…那么 37 的个位数字是
， 330 的个位数字
是
．
（长沙市中考试题）
ab ac ad ae bc bd be cd ce de
．
（创新杯训练试题）
解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求 x 值，可考虑高次多项式用低次 多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在 x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值
例题与求解
【例 1】 1，2，3，…，98 共 98 个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是
．
（全国初中数字联赛试题）
解题思路：因 a2 b2 (a b)(a b) ，而 a b a b 的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差
的数，要么为奇数，要么能被 4 整除．
【例 2】（1）已知 a, b 满足等式 x a2 b2 20, y 4(2b a) ，则 x, y 的大小关系是( )
B． y 4x
C． x 12 y D． y 12x
（江苏省竞赛试题）
9．已知 2a 3, 2b 6, 2c 12, 则 a, b, c 的关系是（
）
A． 2b a c
B． 2b a c
C． 2b a c
D． a b c
（河北省竞赛试题）
2n4 2(2n )
．
32001 1 32002 1 （填“＞”“＜”“＝”）．
全国初中数学竞赛辅导第四十二讲《分类与讨论》北师大版
第四十二讲分类与议论分类在数学中是常有的，让我们先从一个简单的例子开始．有四张卡片，它们上边各写有一个数字： 1，9， 9， 8．从中拿出若干张按随意序次摆列起来获得一个数，这样的数中有多少个是质数？由于按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别赐予议论．任取一张卡片，只好得 3 个数： 1，8，9，此中没有质数；任取二张卡片，可得7个数： 18， 19， 81， 89， 91， 98， 99，此中 19， 89 两个是质数；任取三张卡片，可得 12 个数： 189， 198，819， 891，918， 981， 199，919， 991， 899， 989， 998，此中 199，919， 991 三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因此是 3 的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋ 3=5 个．上边的解题方法称为分类议论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，常常把所要议论的对象分红若干类，而后逐类议论，得出结论．分类议论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都一定在并且只在所分的一类中．分类议论一般分为三个步骤，第一确立分类对象，即对谁实行分类．第二是对对象实行分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要依据同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类．最后对议论的结果进行综合，得出结论．例1求方程x2- │ 2x-1 │ -4=0的实根．x2+2x-1-4=0 ，x2-2x ＋ 1-4=0 ，x1＝ 3， x2=-1 ．说明在去绝对值时，常常要分类议论．例 2 解方程 x2-[x]=2，此中[x]是不超出x 的最大整数．解由[x] 的定义，可得x≥[x]=x 2-2 ，2因此 x -x-2 ≤ 0，解此不等式得-1 ≤ x≤ 2．现把 x 的取值范围分红 4 个小区间 ( 分类 ) 来进行求解．(1)当-1 ≤ x≤ 0 时，原方程为x2 -(-1)=2，因此 x=-1( 因 x=1 不知足 -1 ≤ x＜ 0) ．(2)当 0≤ x＜ 1 时，原方程为x2=2．(3)当 1≤ x＜ 2 时，原方程为x2 -1=2 ，因此(4)当 x=2 时，知足原方程．例 3 a 是实数，解方程x│ x+1│ +a=0．剖析方程中既含有绝对值，又含有参数a，若以平方化去绝对值的话，则引入了高次方程，把问题更为复杂化了．对这类问题，宜议论x 的取值范围来求解．解 (1) 当 x＜ -1 时，原方程变形为x2＋ x-a=0 ．①当△ =1＋ 4a≥ 0( 且 a=-x │ 1＋ x│＞ 0) ，即 a＞ 0 时，①的解为(2) 当 x≥ -1 时，原方程为x2＋ x＋ a=0．②又 x≥-1 ，即综上所述，可得：当a＜ 0 时，原方程的解为例 5 已知三角形中两角之和为n，最大角比最小角大24°，求 n 的取值范围．解设三角形的三个角度数分别是α ，β ，γ ，且有α≥ β ≥ γ．由题设α -γ=24．(1)若β +γ =n，则α =180° -n ，γ=α-24 °＝ 156° -n ，β＝ n- γ＝ 2n-156 °．因此156° -n ≤ 2n-156 °≤ 180° -n ，(2)若α ＋γ =n，则β=180° -n ，于是因此因此 112 °≤ n≤ 128°．(3) 若α ＋β =n，则γ=180° -n ，α=γ +24°=204° -n ，β =n- α =2n-204 °．于是180°- n ≤ 2n-204 °≤ 204° -n ，因此 128 °≤ n≤ 136°．综上所述， n 的取值范围是 104°≤ n≤ 136°．2是 24 的倍数．例 6 证明：若 p 是大于 5 的质数，则 p -1剖析对于整数的问题，我们常把它分红奇数和偶数(即按模 2 分类)来议论，有时也把整数按模 3 分红三类： 3k， 3k ＋1， 3k ＋2．一般地，可依据问题的需要，把整数按模 n 来分类．此题我们按模 6来分类．证把正整数按模 6 分类，可分红 6 类： 6k，6k+1， 6k＋ 2， 6k＋ 3， 6k ＋4， 6k ＋ 5．因 p 是大于 5 的质数，故p 只好属于6k+1， 6k+5 这两类．当 p=6k＋ 1 时，22p -1=36k+12k=12k(3k+1)．因 k，3k＋ 1 中必有一个偶数，此时24│ p2-1 ．当 p=6k＋ 5 时，p2-1=36k 2＋ 60k ＋ 24＝12k2 ＋ 12k=12k(k ＋ 1) ≡ 0(mod 24) ．因此， P2-1 是 24 的倍数．例7证明A=││ x-y │ +x+y-2z │ +│ x-y │ +x+y+2z＝4max｛ x， y， z｝，此中 max｛ x， y， z｝表示 x， y， z 这三个数中的最大者．剖析欲证的等式中含有三个绝对值符号，且此中一个在另一个内，要把绝对值去掉仿佛较为困难，但等式的另一边对我们有所提示，假如 x 为 x， y， z 中的最大者，即证 A=4x，挨次再考虑 y， z 是它们中的最大值即可证得．证 (1) 当 x≥ y，x≥ z 时，A=│ x-y+x+y-2z │＋ x-y+x+y+2z=2x-2z+2x+2z=4x.(2)当 y≥ z， y≥ x 时，A=│ y-x+x+y-2z │ +y-x+x+y+2z=2y-2z+2y+2z=4y．(3)当 z≥ x， z≥ y 时，由于│x-y │＋ x＋ y=max｛x， y｝≤ 2z，因此A=2z-│ x-y │ -x-y+ │x-y │ +x+y+2z=4z ．进而 A=4max｛x， y，z｝．例 8 在 1× 3 的矩形内不重叠地放两个与大矩形相像的小矩形，且每个小矩形的每条边相应地与大矩形的一条边平行，求两个小矩形周长和的最大值．解两个小矩形的搁置状况有以下几种：(2)两个小矩形都“横放”，如图 2-124 及图 2-125 所示，这时两个小矩形的周长和的最大值是2(a ＋3a) ＋ 2[1-a ＋ 3(1-a)]＝ 8．(3) 两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，如图2-126 ，这时两个小矩形的周长和为练习二十一1．解不等式：│x+1│＋│ x│＜ 2．2．解对于x 的不等式： a(ax-1)＞x-1.3．解方程：││x-3 │ -2 │ =a．4．解方程： x2-2[x]-3=0．6．设等腰三角形的一腰与底边分别是方程x2-bx ＋ a=0 的两根，当这样的三角形只有一个时，求 a 的取值范围．7． x，y 都是自然数，求证：x2+y+1 和 y2＋ 4x＋3 的值不可以同时是完整平方．。