上海市复旦附中青浦2019-2020高三数学函数的值域和最值作业(扫描版,简答)
沪教版(上海)2019-2020学年度高中数学高三年级综合备考三角系列之三角函数的值域与最值 ③
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学综合备考三角系列之三角函数的值域与最值 ③教学目标掌握三角函数值域与最值的几种形式与求解方法；【熟练掌握函数sin y a x b =+；sin cos y a x b x =+；2sin sin y a x b x c =++；22sin sin cos cos y a x b x x c x =++ 等转化为sin()y A x ωϕ=+的方法，从而进一步研究他们的值域和最值等。
】知识梳理求三角函数最值与值域问题常见四种类型：（1）sin ,y a x b x D =+∈.利用三角函数有界性，确定sin x 的范围，再确定y 的最值或值域.（2）sin cos ,a x b y x x D +=∈.利用辅助角公式得()x y ϕ=+（其中tan b a ϕ=），再求y 的最值或值域. （3）2sin sin ,.a x b x y c x D ++∈=利用换元法设sin t x =，则2,at c y bt ++=，转化为二次函数求最值或值域. （4）22sin sin cos cos ,.a x b x x c x x D y =++∈ 利用降次公式221cos 21cos 2sin ,cos ,22x x x x -+==1sin cos sin 22x x x =转化为类型（2）. 典例精讲例1. （★★★）求函数()tan cot 2sin 2,0,2f x x x a x x π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭的最小值.解：()sin cos 22sin 22sin 2cos sin sin 2x x f x a x a x x x x=++=+， 令(]0,1t ∈则22,y at t=+(]0,1t ∈， 0a ∴≤①时22y at t =+在(]0,1上单调递减，min 22.y a =+ 0a >②时22y at t =+在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 01a ∴<≤时22y at t=+在(]0,1上单调递减min 22.y a =+ 1a >时22y at t =+在⎛ ⎝上单调递减，在⎫⎪⎪⎭上单调递增，min y =min 22,1.1a a y a +<⎧⎪∴=⎨≥⎪⎩ 例2. （★★★★）求下列函数的值域：（1）3cos 1sin 2x y x -=+； （2）sin cos 2sin cos 2,0,2y x x x x x π⎡⎤=+++∈⎢⎥⎣⎦. 解：（1）sin 23cos 1y x y x +=-，即sin 3cos 12y x x y -=--()12,x y ϕ-=--()sin x ϕ-=因为()sin 1x ϕ-≤1≤，即22129y y +≤+，解得y ≤≤. 【若本题中分子中含有sin x ，分母中含有cos x ，也可以利用数形结合思想解决，方法详见巩固练习5。
2019-2020学年上海市复旦附中高三(上)月考数学试卷(一)(9月份)-学生版+解析版
2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 （用数字作答）． 2．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð ．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 ． 5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 ．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为 ．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 ．8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 ．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 ．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 ．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 ． 二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．19．（2016•东城区一模） 已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）． （1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围 （2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系;（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 40 （用数字作答）． 【解答】解：设求的项为15(2)r r r T C x +=， 今2r =，222235240T C x x ∴==． 2x ∴的系数是402．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð {|02}x x <… ．【解答】解：全集U R =，集合{|2}A x x =<， {|0}{|0}B x x x x =<=…，那么{|02}U AB x x =<…ð．故选：{|02}x x <…．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ( ．【解答】解：函数y ，260x ∴->，解得x <y ∴的定义域是(．故答案为：(．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 y =(0)x …．【解答】解：由1)y x =-…得，x =[0y ∈，)+∞，所以函数1)y x =-…的反函数是y =(0)x …．故答案为：y =(0)x …．5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 1{|2}3x x -<<【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，0a ∴<，且15322ba-+==-，13322ca-=-=， 0b ∴>，0c >，53b c =，23a c =-， ∴不等式20cx bx a ++<，即20b a x xc c ++<，即 252033x x +-<，即 23520x x +-<， 求得它的解集为1{|2}3x x -<<，故答案为：1{|2}3x x -<<．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为12或13-或 0 ．【解答】解：2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=且N M ⊆ {3M ∴=-，2} N =∅或{3}-或{2}N =∅时，0a =， {3}N =-时，13a =-，{2}N =时，12a =， 故答案为：11,,023-．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 3[2，3] ．【解答】解：22325()34()24f x x x x =--=--，325()24f ∴=-，又(0)4f =-，故由二次函数图象可知：m 的值最小为32； 最大为3．m 的取值范围是：332m 剟．故答案3[2，3]8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 [3-，1] 【解答】解：根据题意化简得：22422xa a x x x+++-…对任意(1,)x ∈+∞恒成立， 令24()xf x x x x=+-， 222224()4(21)(1)(3)()1()()x x x x x x f x x x x x ---+-∴'=+=-- 令()03f x x '=⇒=或1-（舍负）令()03f x x '>⇒>；令()013f x x '<⇒<<； 3x ∴=时函数()f x 取得最小值且f （3）5=；2225a a ∴++…，化简得：2230a a +-…，即(1)(3)0a a -+…，解得31a -剟． 故答案为：[3-，1]．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 {|11x x <<，或6}x > ． 【解答】解：由于关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，故有0a >，且1ba-=． 故关于x 的不等式2056ax bx x +>--，即10(6)(1)x x x ->-+． 用穿根法求得不等式的解集为{|11x x <<，或6}x >， 故答案为{|11x x <<，或6}x >．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 (-∞，3)(3-⋃，)+∞【解答】解：由224936x y -=，得22194x y -=，∴y =由00x >⎧，解得3x >；由00x <⎧⎪⎨<⎪⎩，解得3x <-．∴函数()y f x =的定义域为(-∞，3)(3-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，3)(3-⋃，)+∞．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ①②④【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则 对于①：x X ∀∈，设,x a bQ =+∈，则x b =+，而b X ，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =； 对于②：x X ∀∈，设,,x a ab Q =+∈，令,x m n Q ∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222am a b =-，222bn a b =--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x =+=--120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设x a b Q =+∈，则1(x a b =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =． 综上，①②④正确， 故答案为①②④．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 5 【解答】解：据题意知，A 的元素个数小于等于1，且A I ⊆，A ∴的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}， I ∴的所有好子集的个数为5．故答案为：5． 二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数a ，b ，c 满足c b a <<， 若“0ac <”，则0a >，“ab ac >”成立， 若“ab ac >”，则0a >，但“0ac <”不一定成立， 故“0ac <”是“ab ac >”成立的充分不必要条件， 故选：A ．14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”， 则根据题意需分两种情况：①当240a -=时，即2a =±，若2a =时，原不等式为410x -…，解得14x …，故舍去，若2a =-时，原不等式为10-…，无解，符合题意； ②当240a -≠时，即2a ≠±，22(4)(2)10a x a x -++-…的解集是空集，∴22240(2)4(4)(1)0a a a ⎧-<⎨=+--⨯-<⎩，解得625a -<<， 综上得，实数a 的取值范围是[2-，6]5．则当11a -剟时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题， 反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个， 故选：B ．15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π【解答】解：圆M 的面积为4π，∴圆M 的半径为2，根据勾股定理可知OM =过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ，60OMN ∴∠=︒，在直角三角形OMN 中，3ON ==，∴圆N ∴圆N 的面积为：7π．故选：A ．16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+【解答】解：依题意，1()f x -=([1,4])x ∈，所以函数121[()](2)y f x f x x --=+=x 满足14124x x ⎧⎨⎩剟剟，即12x 剟，又y x =[1，2]上的增函数，所以函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是[12+， 故选：C ． 三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．【解答】解：依题意，得2{|20}(A x x x =-->=-∞，1)(2-⋃，)+∞，310(0,3]B x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭…，于是可解得(2A B =，3]．设集合{|20}C x x p =+<，则(,)2px ∈-∞-．由于α是β的充分条件， 所以AB C ⊆．则须满足362pp <-⇒<-．所以，实数p 的取值范围是(,6)-∞-．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．【解答】解：（1）依题意，当x R ∈时，2680mx mx m -++…恒成立．当0m =时，x R ∈； 当0m ≠时，00m >⎧⎨⎩…即2(6)4(8)0m m m m >⎧⎨--+⎩…． 解之得01m <…，故实数m 的取值范围01m 剟．（2）当0m =时，y =当01m <…，ymin y ∴=因此，()1)f m m 剟， 易得0888m -剟．()f m ∴的值域为[0，．19．（2016•东城区一模） 已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．【解答】证明：（Ⅰ）1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC1AC AA ∴⊥．90BAC ∠=︒，AC AB ∴⊥．又1A A ⊂平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，1A A AB A =，AC ∴⊥平面11A ABB ． 1A B ⊂平面11A ABB ， 1AC A B ∴⊥．（Ⅱ）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz ---，如图所示：则1(0A ，0，1)，B ，1(0,2,)2E ，F ．∴1(3,0,1)A B =-，31(1,)2EF =--． ∴1112cos ,||||A B EF A B EF A B EF 〈〉==． 直线EF 与1A B 所成的角为45︒．（Ⅲ）1(0,0,)2G ，(0,2,0)GE =，31()2GF =-．1(0AA =，0，1)．设平面GEF 的法向量为(n x =，y，)z ， 则n GE n GF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴2010.2y y z =⎧+-= 令z =(1,0,3)n =．1113cos ,||||n AA n AA n AA ∴<>==1A 在平面EFG 内的射影为H ，1HA A ∴∠为1AA 与平面EFG 所成的角的余角，113cos |cos ,|HA A n AA ∴∠=<>=． 16HA A π∴∠=．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）． （1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围． 【解答】解：（1）221212()24x x k x x +=…，当且仅当122kx x ==时等号成立，故u 的取值范围为2(0,]4k ．（2）解法一（函数法）:2222121212121212121221121212111111()()22x x x x k k x x x x x x x x u x x x x x x x x x x x x u+----=+--=+-=-+=-+ 由204k u <…，又1k …，210k -…， 21()2k f u u u -∴=-+在2(0,]4k 上是增函数所以121211()()x x x x --22222221142222()4424k k k k k u k u k k --=-+-+=-+=-…即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．解法二（不等式证明的作差比较法）: 21212112()()()2k x x x x k---- 21212212211424x x k x x x x x x k =+----+ 212122122114()(2)4x x k x x x x k x x =----+- 2221212122121244()4k x x k x x x x k x x x x ---=--，将2212124()k x x x x -=-代入得： 21212112()()()2k x x x x k---- 2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---=212()0x x -…，1k …时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<， ∴2221212212()(44)04x x k x x k k x x ---…， 即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立． （3）解法一（函数法）:记21212111()()2()k x x u f u x x u---=++=，则222()()24k k f k -=，即求使2()()4k f u f …对2(0,]4k u ∈恒成立的2k 的范围．由（2）知，要使21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立，必有01k <<， 因此210k ->，∴函数21()2k f u u u -=++在上递减，在)+∞上递增，要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f …，必有24k …4216160k k +-…，解得208k <…．解法二（不等式证明的作差比较法）:由（2）可知222212*********()(44)112()()()24x x k x x k k x x x x k k x x -------=，要不等式恒成立，必须2212440k x x k --…恒成立 即212244k x x k -…恒成立由21204k x x <…得222444k k k-…，即4216160k k +-…，解得208k <…． 因此不等式21212112()()()2k x x x x k---…恒成立的2k的范围是208k <… 21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围 （2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由【解答】（1）解：由：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭， ()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．可得函数()f x y x =，2()f x y x=在(0,)+∞为增函数， 2()22f x y x ax b x ==++，若1()f x ∈Ω，则02a-…，即0a …2()2f x by x a x x ==++， 22by x'=+， 当0b …，0x >时，0y '>，此时2()f x ∈Ω，不符合题意，舍去； 当0b <时，令0y '=，解得x ，此时函数在(0,)x ∈+∞有极值点，因此2()f x ∉Ω． 综上可得：当0b <时，1()f x ∈Ω且2()f x ∉Ω． （2）证明：由1()f x ∈Ω，若取120x x <<， 则12121212()()()f x f x f x x x x x x +<<+． 由表格可知：f （a ）d =，f （b ）d =，f （c ）t =，()4f a b c ++=， 0a b c a b c <<<<++，∴4d d t a b c a b c<<<++， 0d ∴<，4a d a b c <++，4b d a b c <++，4at a b c<++，24d t ∴+<，（3）对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <， 我们先证明()0f x …对(0,)x ∈+∞成立． 假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >， 记02()0f x m x => 2()f x y x=是增函数． ∴当0x x >时，022()()0f x f x m x x >=>， 2()f x mx ∴>，∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立矛盾． 即()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．∴存在()f x T ∈，()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解． 假设存在20x >，使得2()0f x =， 2()f x y x =是增函数． 一定存在320x x >>，使322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾． ()0f x ∴=在(0,)+∞上无解．综上，我们得到存在()f x T ∈，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立．∴存在常数0M …，使得存在()f x T ∈，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立．又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x=-在(0,)+∞上是增函数， ()f x T ∴∈，而任取常数0k <，总可以找到一个0n x >，使得n x x >时，有()f x k >．M ∴的最小值为0．。
上海市复旦附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
上海市复旦附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若命题甲：x≠2或y≠3；命题乙：x+y≠5，则()A. 甲是乙的充分非必要条件B. 甲是乙的必要非充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件2.下列既是偶函数，又在区间[−3,−1]上单调递增的是()A. f(x)={√x,x≥0,√−x,x<0B. f(x)=ln|x|C. f(x)=−x4D. f(x)=−1x3.设函数f(x)=e x−e−x，g(x)=lg(mx2−x+14)，若对任意x1∈(−∞,0]，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)，则实数m的最小值为()A. −13B. −1 C. −12D. 04.设f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)，且A={x|x=f(x),x∈R}，B={x|x=f[f(x)],x∈R}，如果A是只有一个元素的集合，则A与B的关系为()A. A=BB. A⫋BC. B⫋AD. A∩B=⌀二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数y=log12(3−4x)的定义域为_________．6.函数f(x)=(x−1)2，(x≤0)的反函数是______ ．7.计算：log23·log98=________．8.幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m+12m2在(0,+∞)是减函数，则m=__________．9.函数y=log12(x2−4x−5)的递增区间为______ ．10.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(−x0)=−f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”，设f(x)=3x+2m−1(m∈R,m≠0)是定义在[−1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是__________．11.已知关于x的方程2kx2−2x−5k−2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是______．12.设函数f(x)={21−x,x≤1,1−log2x,x>1,则满足f(x)≤2的x的取值范围是__________．13.设f(x)的反函数为f−1(x)，若函数f(x)的图象过点(1,2)，且f−1(2x+1)=1，则x=__________．14.已知函数f(x)=(e x−1)2+(e−x−1)2，则函数f(x)的最小值为__________．15.若关于x的方程x2−x−m=0的两个实根均大于−1，则实数m的取值范围是________．16.设函数f(x)=|2x−ax2|，若对任意x1∈(−∞,0)，总存在x2∈[2,+∞)，使得f(x2)≤f(x1)，则实数a的取值范围______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知函数f(x)=x2+ax(a∈R).记函数ℎ(x)=|x2−1|+f(x)，若函数ℎ(2x)在x∈(−∞,1)上有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围．18.已知函数f(x)=log2x−1x+1．(1)求函数f(x)的定义域A；(2)设集合B={x|(x−a)(x−a−2)<0}，若A∩B=B，求实数a的取值范围．19.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p=f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？20.已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x+2，若函数g(x)的定义域为(1,2)，求函数g[f(x)]的定义域．21.已知函数f(x)=2x+2−x．(1)设a∈R，求关于x的函数y=22x+2−2x−2af(x)在x∈[0,+∞)时的值域g(a)表达式；(2)若关于x的不等式mf(x)≤2−x+m−1在x∈(0,+∞)时恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查将判断一个命题是另一个命题的什么条件转化为判断命题的真假、考查互为逆否命题的真假一致．写出命题“若甲则乙”和“若乙则甲”的逆否命题，判断出逆否命题的真假；据互为逆否命题的真假一致，判断出甲是否推出乙；乙是否推出甲，判断出甲是乙的什么条件．解：∵“x =2且y =3则x +y =5”是真命题所以其逆否命题“x +y ≠5则x ≠2或y ≠3”为真命题即命题乙成立能推出命题甲成立又“x +y =5则x =2且y =3”假命题，例如x =1，y =4满足x +y =5所以其逆否命题“x ≠2或y ≠3则x +y ≠5“是假命题即甲成立推不出乙成立故甲是乙的必要不充分条件故选B2.答案：C解析：本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质，是解答的关键．逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论．A .f(x)={√x,x ≥0,√−x,x <0是偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递减，故A 错误；B .f(x)=ln |x|是偶函数，在区间[−3,−1]上单调递减，故B 错误；C .f(x)=−x 4是偶函数，在区间[−3,−1]上单调递增，故C 正确；D .f(x)=−1x 是奇函数，故D 错误．故选C ．3.答案：A解析：解：∵f(x)=e x−e−x在(−∞,0]为增函数，∴f(x)≤f(0)=0，∵∃x2∈R，使f(x1)=g(x2)，∴g(x)=lg(mx2−x+14)的值域包含(−∞,0]，当m=0时，g(x)=lg(−x+14)，显然成立；当m≠0时，要使g(x)=lg(mx2−x+14)的值域包含(−∞,0]，则mx2−x+14的最大值大于等于1，∴{m<04m×14−(−1)24m≥1，解得−13≤m<0，综上，−13≤m≤0，∴实数m的最小值−13故选：A．由题意求出f(x)的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f(x1)=g(x2)转化为函数g(x)的值域包含f(x)的值域，进一步转化为关于m的不等式组求解．本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．4.答案：A解析：本题考查集合的相等，但关键难点是二次函数和复合函数的的解的问题，属中高档试题，难度较大，A只有一个元素，所以f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x=(x−x0)2，f(x)=(x−x0)2+ x，由此得出f[f(x)]=x，化简并提取公因式，可以证明此方程也有且只有一个零点x0，即可证明A= B．解：∵A只有一个元素，∴f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x=x2+(b−1)x+c=(x−x0)2，∴f(x)=(x−x0)2+x，∴f[f(x)]=[(x−x0)2+x−x0]2+[(x−x0)2+x]=(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x，令f[f(x)]=x，即(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x=x(∗)，则(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2=0，即[(x−x0)2+2(x−x0)+2](x−x0)2=0，∵(x−x0)2+2(x−x0)+2=0的判别式△=4−8=−4<0，∴无解，∴方程(∗)也只有一个实数解x0，综上所述A=B，故选A．)5.答案：(−∞,34解析：本题主要考查了函数的定义域与值域的应用，解题的关键是熟练掌握函数的定义域与值域的计算，根据已知及函数的定义域与值域的计算，求出函数的定义域．(3−4x)，解：∵y=log12∴3−4x>0，∴x<3．4).故答案为(−∞,346.答案：f−1(x)=−√x+1，(x≥1)解析：解：∵函数f(x)=(x−1)2，(x≤0)，∴x−1=−√y，∴x=−√y+1，互换x，y，得：y=−√x+1.(x≥1)，∴f−1(x)=−√x+1，(x≥1)．故答案为：f−1(x)=−√x+1，(x≥1)．由函数f(x)=(x−1)2，(x≤0)，求出x=−√y+1，互换x，y，得：y=−√x+1.(x≥1)，由此能求出结果．本题考查反函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数的性质的合理运用．7.答案：32解析：本题考查对数运算，由换底公式求解即可．解：原式=log23·log28log29=log23·3log222log23=32．故答案为32．8.答案：−1解析：因为所给函数是幂函数，所以m2−2m−2=1，解得m=3或m=−1，又因为函数在(0,+∞)是减函数，所以m+12m2<0,m=−1．9.答案：(−∞,−1)解析：解：函数y=log0.5(x2−4x−5)的定义域为(−∞,−1)∪(5,+∞)令t=x2−4x−5，则y=log0.5t，∵y=log0.5t为减函数，t=x2−4x−5的单调递减区间是(−∞,2)，单调递增区间是(2,+∞)故函数y=log0.5(x2−4x−5)的单调递增区间是(−∞,−1)．故答案为：(−∞,−1)．由已知中函数y=log0.5(x2−4x−5)的解析式，先确定函数的定义域，进而根据二次函数和对数函数的性质，分别判断内，外函数的单调性，进而根据复合函数“同增异减”的原则，得到答案．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对数函数的单调区间，复合函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”的原则，是解答本题的关键．10.答案：[−13,0)解析：本题考查定义新函数问题，f(x)=3x+2m−1是定义在[−1,1]上的“倒戈函数”，即存在x0∈[−1,1]满足f(−x0)=−f(x0)，即4m=−3−x0−3x0+2有根，即可求出答案．解：因为f(x)=3x+2m−1是定义在[−1,1]上的“倒戈函数”，所以存在x0∈[−1,1]满足f(−x0)=−f(x 0)，所以3−x 0+2m −1=−3x 0−2m +1，所以4m =−3−x 0−3x 0+2，构造函数y =−3−x 0−3x 0+2，x 0∈[−1,1]，令t =3x 0,t ∈[13,3]，y =−1t −t +2,y ∈[−43,0]，所以−43≤4m <0,所以−13≤m <0． 故答案为[−13,0) ． 11.答案：(−∞,−43)∪(0,+∞)解析：本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.利用二次函数的性质即可求解．解：令f(x)=2kx 2−2x −5k −2，因为关于x 的方程2kx 2−2x −5k −2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则函数f(x)有两个不同的零点，且一个小于1，一个大于1．显然k ≠0，且{k <0f(1)=−3k −4>0或{k >0f(1)=−3k −4<0, 解出k <−43或k >0．故答案为(−∞,−43)∪(0,+∞)． 12.答案：[0,+∞)解析：本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式讨论x 的取值范围，解不等式即可．根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x 进行分类讨论．解：由分段函数可知，若x ≤1，由f(x)≤2得，21−x ≤2，即1−x ≤1，∴x ≥0，此时0≤x ≤1，若x >1，由f(x)≤2得1−log 2x ≤2，即log 2x ≥−1，即x ≥12，此时x >1，综上：x≥0，故答案为[0,+∞)．13.答案：12解析：由题意函数f(x)的图象过点(1,2)，则其反函数的性质一定过点(2,1)，又f−1(2x+1)=1，故2x+1=2，解得x=1．214.答案：0．解析：解：将函数f(x)展开重新配方得f(x)=(e x+e−x)2−2(e x+e−x)，令t=e x+e−x则g(t)= t2−2t=(t−1)2−1,t∈[2,+∞)所以函数f(x)最小值为0.,2)15.答案：[−14解析：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．解：关于x的方程x2−x−m=0的两个实根均大于−1，设根为x1，x2，记f(x)=x2−x−m，则△=1+4m≥0，即m≥−1，4f(−1)>0，即m<2，,2)，∴实数m的取值范围是[−14,2)．故答案为[−1416.答案：[0,1]解析：本题考查了不等式的恒成立问题，属于难题． 解：若对任意，总存在，使得f(x 2)⩽f(x 1)， 即f(x)在上的最小值小于等于f(x)在的最小值，①当a <0时，当x ∈(−∞,0)时，存在x 0∈(−∞,0)，使得函数f(x 0)=0，即当x ∈(−∞,0)时，f(x)min =0，当x ∈[2,+∞)时，f(x)>0恒成立，此时不满足对任意x 1∈(−∞,0)，总存在x 2∈[2,+∞)，使得f(x 2)≤f(x 1)；②当a =0时，f(x)=|2x |， f(x)在的最小值趋向于0，f(x)在的最小值也趋向于0， 故满足f(x 2)⩽f(x 1)；③当a >0时，当x ∈(−∞,0)时，f (x )=ax 2−2x ，f′(x )=2ax +2x 2=2(ax 3+1)x 2，令f′(x )>0，得−√a 3<x <0，令f′(x )<0，得x <−√a 3， 故函数f(x)在(−∞,−√a 3)上单调递减，在(−√a 3,0)上单调递增， 此时f (x )min =f (−√a 3)=3√a 3， 当x ∈[2,+∞)时，若此范围内函数有零点，即2a =x 3≥8，0<a ≤14时，满足条件，当a >14时，f (x )=ax 2−2x ，此时f′(x )=2ax +2x 2>0，函数f(x)在[2,+∞)上单增，则f (x )min =f (2)=4a −1，此时4a −1≤3√a 3，即(2√a 3+1)2(√a 3−1)≤0，解得14<a ≤1； 综上，实数a 的取值范围为[0,1]，故答案为[0,1]．17.答案：解：={2x 2+ax −1,x ≤−1或x ≥1ax +1, −1<x <1, 令2x =t(x <1)，则0<t <2，即ℎ(t)在(0,2)上有两零点t 1,t 2，由y =2x 2+ax −1恒过点(0,−1)，且y =ax +1在(0,1)上最多有一个零点，所以0<t 1<1<t 2<2，所以{at 1+1=02t 22+at 2−1=0, 即{a =1t 1∈(−∞,−1)a =1t 2−2t 2∈(−72,−1), 所以−72<a <−1．解析：本题考查零点与方程根的关系，考查换元法的应用，属中档题．先求出ℎ(x)的解析式，再令2x =t ，则ℎ(2x )在x ∈(−∞,1)上有两个零点x 1，x 2可转换为即ℎ(t)在(0,2)上有两零点t 1,t 2，根据题意求出答案．18.答案：解：(1)由题意A ={x|x−1x+1>0}={x|x >1或x <−1}，即A =(−∞,−1)∪(1,+∞)…(6分)(2)B ={x|(x −a)(x −a −2)<0}=(a,a +2)．因为A ∩B =B ，所以B ⊆A ，进而a +2≤−1或a ≥1，故a ≤−3或a ≥1…(8分)解析：(1)利用真数大于0，可得函数f(x)的定义域A ；(2)化简集合B ，利用A ∩B =B ，B ⊆A ，进而a +2≤−1或a ≥1，即可求实数a 的取值范围． 本题考查对数函数，考察集合的包含关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．19.答案：解：(1)当0<x ≤100时，p =60；当100<x ≤600时，p =60−(x −100)×0.02=62−0.02x ．∴p ={60, 0<x ≤100,62−0.02x,100<x ≤600.(2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y =60x −40x =20x ；当100<x ≤600时，y =(62−0.02x)x −40x =22x −0.02x 2．∴y ={20x, 0<x ≤100,22x −0.02x 2,100<x ≤600.当0<x ≤100时，y =20x 是单调增函数，当x =100时，y 最大，此时y =20×100=2000； 当100<x ≤600时，y =22x −0.02x 2=−0.02(x −550)2+6050，∴当x =550时，y 最大，此时y =6050．显然6050>2000．∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．解析：本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．20.答案：(0,12)解析：∵g[f(x)]且函数g(x)的定义域为(1,2)，∴f(x)∈(1,2)，∴1<f(x)<2，∴1<2x +1<2，∴0<x <12，∴g[f(x)]的定义域(0,12)． 21.答案：解：(1)令t =f (x )=2x +2−x则t ≥2,22x +2−2x =t 2−2y =22x +2−2x −2af (x )=t 2−2at −2，当a ≤2时，当t =2时，函数取最小值2−4a ，无最大值；此时函数的值域为[2−4a,+∞)，a >2时，当t =a 时，函数取最小值−a 2−2，无最大值；此时值域为[−a 2−2,+∞)；(2)若关于x 的不等式mf(x)≤2−x +m −1在x ∈(0,+∞)时恒成立，即m (2x +2−x )≤2−x +m −1在x ∈(0,+∞)时恒成立，即m ≤2−x −12x +2−x −1=1−2x 2x +2−x −1=1−1(2−x )2−2−x +1在x ∈(0,+∞)时恒成立，当x =1时，2−x =12，此时(2−x )2−2−x +1取最小值34，故1(2−x )2−2−x +1取最大值43，故1−1(2−x )2−2−x +1取最小值−13，故m ≤−13．解析：本题考查的知识点是的奇偶性，单调性，值域，恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用．(1)令t =f (x )=2x +2−x .则t ≥2,22x +2−2x =t 2−2，y =22x +2−2x −2af (x )=t 2−2at −2，结合二次函数的性质分类讨论，可得不同情况下，函数的值域；(2)若关于x 的不等式mf(x)≤2−x +m −1在x ∈(0,+∞)时恒成立，即m ≤2−x −12x +2−x −1在x ∈(0,+∞)恒成立，求出2−x −12x +2−x −1的最小值，可得答案．。
上海市复旦附中2019-2020高三9月综合练习一数学
复旦附中高三数学综合练习（一）一. 填空题1. 在5(12)x +的展开式中，2x 的系数为 （用数字作答）2. 已知全集U =R ，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U A C B =I3. 函数y =的定义域是4. 函数y （1x ≤-）的反函数是5. 不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 6. 若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为7. 若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25[,4]4--，则m 的取值范围是 8. 已知222241a a x x x++≤+-对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是9. 设关于x 的不等式0ax b +>的解集为(1,)+∞，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为10. 已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是11. 设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2{|}x X x∈；③1212{|,}x x x x X +∈；④1212{|,}x x x x X ∈； 与X 相等的集合的序号是12. 设集合{1,2,3,4,5}I =，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||min()A A ≤（其中||A 表示集合A 中元素的个数），min()A 表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为二. 选择题13. 已知实数a 、b 、c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“ab ac >”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件14. 已知原命题“如果||1a ≤，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个15. 已知平面α截一球面得圆M ，球中过小圆心M 的直径为AB ，过点M 且与AB 成30°角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（ ）A. 7πB. 9πC. 11πD. 13π16. 已知函数2()f x x =，[1,2]x ∈的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是（ ）A. 1[,4]2- B. [1,4] C. [1+ D. [1++三. 解答题17. 设函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =B ，已知:x A B α∈I ，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围.18. 已知函数y =R . （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域.19. 已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11AA =，AB =，2AC =，E 、F 分别为棱1CC 、BC 的中点.（1）求证：1AC A B ⊥； （2）求直线EF 与1A B 所成的角；（3）若G 为线段1AA 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠.20. 已知集合121212{(,)|0,0,}D x x x x x x k =>>+=（其中k 为正常数）. （1）设12u x x =，求u 的取值范围； （2）求证：当1k ≥时，不等式21212112()()()2k x x x x k--≤-对任意12(,)x x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立的k 的范围.21. 考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：1{()|f x Ω=对任何不同的两个正数1x 、2x ，都有211212()()0}x f x x f x x x ->-，2{()|f x Ω=对任何不同的两个正数1x 、2x ，都有22211212()()0}x f x x f x x x ->-， （1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围； （2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系；（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()g x （x D ∈）的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. 402. [0,2)3. (3,2)-4. 1()2f x -=(0)x ≥5. 1(2,)3-6. 0或12或13-7. 3[,3]28. [3,1]-9. (1,1)(6,)-+∞ 10. (,3)(3,)-∞-+∞ 11. ①②④ 12. 12二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. C三. 解答题 17. 6p <-18.（1）[0,1]；（2） 19.（1）略；（2）4π；（3）6π20.（1）2(0,]4k ；（2）略；（3）21.（1）0a ≥，0b >；（2）24d t +<；。
上海市复旦附中2019-2020学年度高一数学第一学期期末考试(详解版)
复旦大学附属中学2019-2020学年第一学期高一年级数学期末考试试卷 2020.01时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数12log (5)y x =-的定义域为________2. 函数2()1(1)f x x x =+≤-的反函数为_____________________ 3. 已知2log 3a =，试用a 表示9log 12=____________________ 4. 幂函数223()(1)(,)mm f x a x a m --=-∈¥为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m += _______ 5. 函数23log ()y x x =-的递增区间为________________________ 6. 方程22log (95)log (32)2x x-=-+的解为x =________________7. 已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为___________ 8. 若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是______9. 已知1()(33)2x xf x -=-的反函数为1()f x -，当[3,5]x ∈-时，函数1()(1)1F x f x -=-+ 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=_______10. 对于函数(),y f x x D =∈，若对任意,,a b c D ∈，(),(),()f a f b f c 都可为某一三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”。
已知()1x x e t f x e +=+是三角形函数，则实数t 的取值范围是____11. 若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰好有三个实数根，则实数m 的取值范围是_____12. 已知函数2131()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()lg(2)()1x g x a x a x =⋅++∈+R ，若对任意的{}12,|,2R x x x x x ∈∈>-，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13. 若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 14.下列函数中既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递增的是( )A 、y=||1x B 、2y x -= C 、2|log |y x = D 、23y x =15.设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R x ∈, 有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；（2）若存在0R x ∈, 使得对任意R x ∈, 且0x x ≠, 有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；（3）若存在0R x ∈, 使得对任意R x ∈, 有0()()f x f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值. 这些命题中，真命题的个数是（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个16. 已知函数nx x m x f x ++⋅=22)(，记集合},0)(|{R x x f x A ∈==，集合},0)]([|{R x x f f x B ∈==，若B A =，且都不是空集，则n m +的取值范围是( )A 、[0,4)B 、 [1,4)-C 、[3,5]-D 、[0,7)三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数1()421xx f x a +=-⋅+.（1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1,1]-上存在零点，求实数a 的取值范围.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数21()log 1axf x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值； （2）设集合4={|1}7A x x≥-，2={|()log (1)}B x f x x m +-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的取值范围.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台，其总成本为()P x (万元，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元总成本固定成本生产成本销售收入()Q x 万元满足20.522,(016)()224,(16)x x x Q x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式利润销售收入总成本； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若函数f (x )满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量 x 0，都有函数值f (x 0)ÎD ，则称函数f (x )在D 上封闭. （1）若下列函数的定义域为 D =(0,1)，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由。
上海市2019-2020年青浦区高中高三数学 上学期 9月月考
2020届青浦高中高三上开学考一. 填空题1. 已知全集{1,0,1,2,3}U =-，集合{0,1,2}A =，{1,0}B =-，则()U C A B =U2. 复数12i z =+（i 为虚数单位），则||z = 3. 函数1()f x a x =+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a =4. 831(2)8x x-展开式中的常数项为5. 函数())cos 4f x x x π=+的图像相邻的两条对称轴之间的距离是6. 已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，则k =7. 已知非零向量a r 、b r 满足||2||a b =r r ，且()a b b -⊥r r r，则a r 与b r 的夹角为8. 已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ，若121n n S S +=+，则n a = 9. 首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其 中甲连续参加2天，其余每人各参加1天，问有多少种不同的安排种数 （结果用数值表示）10. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若1F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r，则C 的渐近线方程为11. 已知AC 、BD 为圆22:(1)(2)16O x y -+-=的两条相互垂直的弦，垂足为12(1,2)M n n+-，则四边形ABCD 的面积n S 的极限值为12. 已知正方形ABCD 的边长为1，当每个i λ（1,2,3,4,5,6i =）取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最大值是二. 选择题13. 抛物线218y x =-的焦点坐标是（ ） A. 1(0,)32-B. 1(,0)32- C. (0,2)- D. (2,0)- 14. 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为S ，则“10a <”是“0S <”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分也非必要 15. 函数2sin ()cos x xf x x x +=+在[,]ππ-的图像大致为（ ）A. B. C. D.16. 设函数()f x的定义域为R，满足(1)2()f x f x+=，且当(0,1]x∈时，()(1)f x x x=-，若对任意,]x m∈∞（-，都有8()9f x≥-，则m的取值范围是（）A.9(,]4-∞ B.7(,]3-∞ C.5(,]2-∞ D.8(,]3-∞三. 解答题17. 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，22PA AD AB===，E是PB的中点.（1）求三棱锥P ABC-的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角.（结果用反三角函数值表示）18. 已知函数()(1)||f x x x a=--（a∈R）.（1）当1a=时，求不等式()1f x≥的解集；（2）当2a=时，若对任意互不相等的12,(,4)x x m m∈+，都有1212()()f x f xx x->-成立，求实数m的取值范围.19. 如图，A B C--为海岸线，AB为线段，圆弧BC为四分之一圆弧，39.2BD km=，22BDC∠=︒，68CBD∠=︒，58BDA∠=︒.（1）求圆弧BC的长度；（2）若40AB km=，求D到海岸线A B C--的最短距离.（精确到0.001km）20. 已知椭圆2222:1x y a b Γ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点(2T -在椭圆上，且12||||4TF TF +=.（1）求椭圆Γ的方程；（2）过点(1,0)作斜率为k 的直线l 交椭圆Γ于M 、N 两点，若35OM ON ⋅=-uuu r uuu r ，求直线l 的方程；（3）点P 、Q 为椭圆Γ上的两个动点，O 为坐标原点，若直线OP 、OQ 的斜率之积为14-，求证：22||||OP OQ +为定值.21. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53213a a -=，416S =. （1）求数列{}n a 的前n 项和；（2）是否存在正整数m 、n （2n m >>），使得2S 、2m S S -、n m S S -成等比数列？若存在，求出所有的m 、n ，若不存在，说明理由；（3）设123(1)nn n T a a a a =-+-+⋅⋅⋅+-，若对一切正整数n ，不等式111[(1)]2n n n n n T a a λ+-+<+-⋅恒成立，求实数λ的取值范围.参考答案一. 填空题1. {1,0,3}-2.3. 14. 285.2π6. 3或57. 3π8.121322n n n -=⎧⎨⋅≥⎩9. 24 10. y = 11. 32 12.二. 选择题13. C 14. A 15. D 16. B三. 解答题17.（1）23；（2）.18.（1）[2,)+∞；（2）5(,][2,)2-∞-+∞U . 19.（1）16.310km ；（2）35.752.20.（1）2214x y +=；（2）(1)y x =±-（3）证明略. 21.（1）2n S n =；（2）不存在；（3）(4,2)λ∈-.。
上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷 (含答案解析)
上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 设x ∈R ，则“x 2<1”是“lgx <0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 定义在R 上的函数f(x)的反函数为f −1(x)且对于任意x ∈R ，都有f(−x)+f(x)=3，则f −1(x −1)+f −1(4−x)=( )A. 0B. −2C. 2D. 2x −43. 如果双曲线x 2m−y 2n=1(m >0,n >0)的渐近线方程渐近线为y =±12x ，则双曲线的离心率为( )A. 54B. 32C. √54 D. √524. 已知函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x +y)+f(x −y)(x,y ∈R)，则f(10)=( )A. 14B. 4C. −14D. −4二、填空题（本大题共12小题，共52.0分） 5. 计算n →∞lim(1−n n+1)的结果是______．6. 复数z =ai 1+2i (a <0)，其中i 为虚数单位，|z|=√5，则a 的值为______ ．7. 已知向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(−2,4)，且(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则实数x =______8. 集合A ={0,1，2，3}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =______．9. (x 2−2x +1)4的展开式中x 7的系数是______ ．10. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 对应的边分别为a ，b ，c ，若∠A =2π3，a =2，b =2√33，则∠B 等于_______．11. 若圆锥底面圆的半径为3，体积为12π，则该圆锥的侧面积是________。
12. 首项和公比均为12的等比数列{a n }，S n 是它的前n 项和，则n →∞limS n =______．13. 在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为____;乙、丙两人都选物理的概率是____． 14. 比较大小：(1)a 2+b 2_______2ab(a,b ∈R)；(2)ab +ba_________2(ab>0)．15.已知函数f(x)=2sin(x+π3),x∈(0,π3)，则f(x)的值域为__________．16.函数f(x)=2sin(2x+π6)−1在x∈[π12,π2]上的值域为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n，T n=b1+b2+⋯+b n，求T n．18.已知函数f(x)=2sin (x+π3)⋅cosx．(1)若0≤x≤π2，求函数f(x)的值域；(2)设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A为锐角，且b=2，a=√7，f(A)=√32，求cos(A−B)的值．19.随着人们生活水平的逐步提高，保健品市场正在逐步扩大．某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，保健品的年销量(k为常数)，如果不搞促销活动，保健品的年x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3−x=kt+1销量只有1万件．已知2019年生产保健品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件保健品需再投入32万元的生产费用．每件保健品的售价为其生产成本的150％与平均每件促销费用的一半之和，且当年生产的保健品正好能销完．(1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t的函数；(2)该企业2019年的促销费用投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润=销售收入−生产成本−促销费用，生产成本=固定费用+生产费用)20.已知函数f(x)=x，若数列{a n}(n∈N∗)满足：a1=1，a n+1=f(a n)x+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足：c n=2n，求数列{c n}的前n项的和S n．a n21.设实数a∈R，函数f(x)=a−2是R上的奇函数．2x+1(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)当x∈(−1,1)时，求满足不等式f(1−m)+f(1−m2)<0的实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．先分别求解”x2<1”、“lgx<0”中x的取值范围，再根据必要条件、充分条件、充要条件定义判断即可．解：∵x2<1，即−1<x<1，lgx<0，即0<x<1，∴由0<x<1推出−1<x<1，而由−1<x<1推不出0<x<1，∴“x2<1”是“lgx<0”的必要不充分条件．故选B．2.答案：A解析：本题考查反函数的运算性质，属于基础题，利用反函数的运算性质即可得出．解：∵在R上的函数f(x)的反函数为f−1(x)，且对于任意x∈R，都有f(−x)+f(x)=3，∴f−1(3)=−x+x=0，则f(f−1(x−1)+f−1(4−x))=x−1+4−x=3，∴f−1(x−1)+f−1(4−x)=0．故选A．3.答案：D解析：解：∵双曲线方程为x2m −y2n=1(m>0,n>0)∴a2=m，b2=n，得a=√m，b=√n因此双曲线的渐近线方程y=±ba x，即y=±√nmx∴√n m =12，得m =4n ，所以c =√a 2+b 2=√5n 双曲线的离心率e =c a=√5n m=√5n 4n=√52故选：D ．根据双曲线方程得a =√m ，b =√n.结合双曲线的渐近线方程，得a =2b ，即m =4n ，再利用离心率的计算公式即可算出该双曲线的离心率．本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．4.答案：C解析：令y =1，则4f(x)f(1)=f(x +1)+f(x −1)，所以f(x)=f(x +1)+f(x −1)，所以f(x +1)=f(x +2)+f(x)，所以f(x +2)+f(x −1)=0，即f(x)+f(x +3)=0，所以f(10)=−f(7)=f(4)=−f(1)=−145.答案：0解析：解：n →∞lim(1−nn+1)=n →∞lim(1−11+1n)=1−11−0=0．故答案为：0．利用数列的极限的运算法则求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．6.答案：−5解析：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 解：复数z =ai1+2i =ai(1−2i)(1+2i)(1−2i)=ai+2a 5，∵|z|=√5，∴√(2a5)2+(a 5)2=√5，化为：a 2=25，(a <0)． 解得a =−5． 故答案为：−5．7.答案：112解析：解：a⃗−b⃗ =(3,x−4)；∵(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ；∴(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =−6+4(x−4)=0；∴x=11．2故答案为：11．2可求出a⃗−b⃗ =(3,x−4)，根据(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ 即可得出(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量坐标的减法和数量积的运算，向量垂直的充要条件．8.答案：{0,1，2}解析：解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={0,1，2}．故答案为：{0,1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：−8解析：解：(x2−2x+1)4=(x−1)8的展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅(−1)r⋅x8−r，令8−r=7，求得r=1，可得展开式中x7的系数是−8，故答案为：−8．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于07，求得r的值，即可求得展开式中的x7的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．10.答案：π6解析：本题主要考查正弦定理的应用.直接利用正弦定理求解sin B ，进而得到角B 的大小．解：在三角形ABC 中，由正弦定理得asinA =bsinB ， 即2√32=2√33sinB，解得sinB =12，因为b <a ， 则B =π6，故答案为π6．11.答案：15π解析：本题主要考查圆锥侧面积，解答本题的关键是求出圆锥的母线长l =√r 2+ℎ2=√32+42=5，然后再求它的侧面积．解：设圆锥的高为h ，底面半径为r ， ∵圆锥底面圆的半径为3，体积为12π，，即ℎ=4，∴圆锥的母线长l =√r 2+ℎ2=√32+42=5， ∴圆锥的侧面积，故答案为15π．12.答案：1解析：解：根据题意，等比数列{a n }的首项和公比均为12， 则其前n 项和S n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n ，则n →∞limS n =1； 故答案为：1．。
上海市复旦附中2019-2020高三9月综合练习一
复旦附中高三数学综合练习（一）一、填空题1、在5)21(x +的展开式中，2x 的系数为________（用数字作答） 2、已知全集R U =，集合}2|{<=x x A ，}0|{<=x x B ，那么B A C U =___________3、函数261x y -=的定义域是__________4、函数)1(222-≤-=x x y 的反函数是___________5、不等式02>++c bx ax 的解集是⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21，则不等式02<++a b x cx 的解集为___________ 6、若集合}06|{2=-+=x x x M ，}01|{=-=ax x N ，且M N ⊆，则实数a 的值为_______ 7、若函数432--=x x y 的定义域为],0[m ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则m 的取值范围是___________ 8、已知142222+-≤++xx x a a 对于任意的),1(+∞∈x 恒成立，则a 的取值范围是__________9、设关于x 的不等式0>+b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式0652>--+x x b ax 的解集为__________10、已知函数)(x f y =满足0>xy ，且369422=-y x ，则该函数的定义域是_________ 11、设Q 是有理数，集合}0,,,2|{≠∈+==x Q b a b a x x X ，在下列集合中：①}|2{X x x ∈；②⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈X x x |2；③},|{2121X x x x x ∈+；④},|{2121X x x x x ∈；与X 相等的集合的序号是_____________12、设集合}5,4,3,2,1{=I ，若非空集合A 满足：①I A ⊆；②)min(||A A ≤（其中||A 表示集合A 中元素的个数，)min(A 表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为________二、选择题13、已知实数c b a 、、满足a b c <<，那么“0<ac ”是“ac ab >”成立的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件14、已知原命题“如果1||≤a ，那么关于x 的不等式01)2()4(22≥-++-x a x a 的解集为φ”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个15、已知平面α截一球面得圆M ，球中过小圆心M 的直径为AB ，过点M 且与AB 成︒30角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为π4，则圆N 的面积为（ ）A 、π7B 、π9C 、π11D 、π1316、已知函数]2,1[,)(2∈=x x x f 的反函数为)(1x f-，则函数)2()]([121x f x f y --+=的值域是（ ） A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,21 B 、]4,1[ C 、]4,21[+ D 、]224,21[++ 三、解答题17、设函数)2lg()(2--=x x x f 的定义域为集合A ，函数13)(-=xx g 的定义域为集合B ，已知α：B A x ∈，β：x 满足02<+p x ，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围18、已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为（1）求实数m 的取值范围（2）当m 变化时，若y 的最小值为)(m f ，求函数)(m f 的值域19、已知三棱柱111C B A ABC -中，ABC AA 底面⊥1，︒=∠90BAC ，11=AA ，3=AB ，2=AC ，F E 、分别为棱BC CC 、1的中点（1）求证：B A AC 1⊥（2）求直线EF 与B A 1所成的角（3）若G 为线段1AA 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求A HA 1∠20、已知集合},0,0|),{(212121k x x x x x x D =+>>=（其中k 为正常数）（1）设21x x u =，求u 的取值范围（2）求证：当1≥k 时，不等式222112211⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k x x x x 对任意D x x ∈),(21恒成立 （3）求使不等式222112211⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k x x x x 对任意D x x ∈),(21恒成立的k 的范围21、考虑下面两个定义域为),0(+∞的函数)(x f 的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--=Ω0)()(,|)(212112211x x x f x x f x x x x f 都有、对任何不同的两个正数 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--=Ω0)()(,|)(21221122212x x x f x x f x x x x f 都有、对任何不同的两个正数 （1）已知bx ax x x f ++=232)(，若1)(Ω∈x f ，且2)(Ω∉x f ，求实数a 和b 的取值范围（2）已知c b a <<<0，1)(Ω∈x f 且)(x f 的部分函数值由下表给出：比较t d +2与4的大小关系（3）对于定义域为D 的函数)(x g ，若存在常数k ，使得不等式k x g <)(对任何D x ∈都成立，则称k 为))((D x x g ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数)(x f 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何T x f ∈)(和),0(+∞∈x ，都有M x f <)(，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由。
上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期数学11月份综合练习09(简答)
复旦附中高三数学综合练习092019.11一. 填空题1. 1和4的等比中项为2. 函数1()3x f x -=（0x <）的反函数是1()f x -=3. 已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，若角θ的终边落在第三象限内， 且3cos()25πθ+=，则cos2θ= 4. 如图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm5. 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =中任取两个数，欲使取到的一个数大于k ，另一个数小 于k （其中k A ∈）的概率是25，则k = 6. 方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为7. 已知集合[1,2]A =，2{|40}B x x ax =-+≥，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 8. 设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ，若对任何*n ∈N ，都有23n n S S <，则q 的取值范围是9. 已知α、β均为锐角，且sin cos()sin ααββ+=，则tan α的最大值是 10. 函数()sin f x x ω=（0ω>）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、i A 、p A ，使得△k i p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2020ω=11. 已知函数2()|1||1|f x x x a x =+-++有两个不同的零点，则a 的取值范围是12. 设定义域为(0,)+∞的递增函数()f x 满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有6()f x x>-，且6(())5f f x x+=，则(10)f =二. 选择题13. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线则下列命题一定正确的是（ ）A. l 与1l 、2l 都不相交B. l 与1l 、2l 都相交C. l 至多与1l 、2l 中的一条相交D. l 至少与1l 、2l 中的一条相交 14. 设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则20191222019222a a a ++⋅⋅⋅+的值为（ ） A. 2 B. 0 C. 1- D. 115. 已知{}n a 的前n 项和为n S ，则“2n S an bn c =++（0a ≠，*n ∈N ）”是“{}n a 是等差数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 设()f x 是定义域为R 的奇函数，()g x 是定义域为R 的偶函数，a 、b 是非零常数，若函数()()af x bg x +的值域为[1,3)，则函数()()af x bg x -的值域为（ ）A. (3,1]--B. [1,3)C. 与a 、b 的取值有关D. 以上都不对三. 解答题17. 如图所示，已知长方体1111ABCD A B C D -的棱长2AB =，1BC =，12AA =，求： （1）异面直线1BC 与1CD 所成角的大小； （2）点B 到平面1ACD 的距离.18. 已知数列{}n a 和{}n b ，对任何正整数m ，记1122()||||||m m S m a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-. （1）若21n a n =-，2n b n =-，求(1)S ，(3)S ；（2）若12n n a -=，213n b n =-，求()S m 关于m 的表达式.19. 已知函数()f x 、()g x 满足关系式()()()2g x f x f x π=⋅+.（1）设()cos sin f x x x =+，求()g x 的解析式；（2）当()|sin |cos f x x x =+时，存在12,x x ∈R ，对任意x ∈R ，12()()()g x g x g x ≤≤ 恒成立，求12||x x -的最小值.20. 已知函数2()f x x ax b =++（,a b ∈R ）.（1）若不等式()0f x ≤的解集为[1,3]，求实数a 和b 的值；（2）若对任意[1,1]a ∈-，都存在[2,3]x ∈-，使得()0f x >成立，求实数b 的范围； （3）已知集合{|()0}A x f x =≤，5{|(())}4B x f f x =≤，若A B =≠∅，求实数a 的取值范围.21. 对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数， 则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期，已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期 函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4f T π=.（1）证明：()sin3xh x x =+是以6π为周期的余弦周期函数； （2）设a b <，证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =；（3）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上有解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.参考答案一. 填空题1. 2±2. 31log 1(0)3x x +<<3.7254. 4π5. 4或76. 27. (,4]-∞8. (0,1]9. 10. 40392π11. (3--- 12. 125二. 选择题13. D 14. C 15. D 16. A三. 解答题 17.（1）；（218.（1）(1)0S =，(3)9S =；（2）当4m ≤，2393()212m m m S m -=-+；当5m ≥，2393()2772mm m S m -=-+.19.（1）()cos2g x x =；（2）34π.20.（1）5a =-，4b =；（2）(6,)-+∞；（3）∵A B =≠∅，∴05(())()()04f f x f x f x ≤⇒≤≤，即55(0)44f b =⇒=， ∴()0a f x -≤≤与()0f x ≤解集相同，∴254a a --≤且250a ∆=-≥，即a ∈21.（1）解：()6h x π是以为余弦周期的余弦周期函数 （2）证明：()()()()()()[]0,f a c f b f a c f b c f x c a b f x R ⎫≤≤⇒-⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⇒-⎬⎪⎭在上必有解定义域值域都为()()[](),,,,c f a f b x a b f x c ∈∈=⎡⎤⎣⎦00故对于任意必存在使得（3）略。
2019-2020学年上海市复旦附中高三(上)第一次综合测试数学试卷(10月份)(39)
2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）第一次综合测试数学试卷（10月份）（39）一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“a≤0”是“函数f(x)=lnx+ax+1x在[1,+∞)上为减函数”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要2.一个直三棱柱的每条棱长都是4√3，且每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A. 84πB. 96πC. 112πD. 144π3.若集合A={x|xx−1≤0},B={x|x2<2x}则A∩B=()．A. {x|0<x<1}B. {x|0≤x<1}C. {x|0<x≤1}D. {x|0≤x≤1}4.定义：min{a,b}表示a，b两数中较小的数．例如：min{2,4}=2.已知f(x)=min{−x2,−x−2},g(x)=2x+x+m(m∈R)，若对任意x1∈[−2,0]，存在x2∈[1,2]，都有f(x1)≤g(x2)成立，则m的取值范围为()A. [−4,+∞)B. [−6,+∞)C. [−7,+∞)D. [−10,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）5.“x>0”是“x≠0”的______条件；(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”)6.函数f(x)=x2(x>0)的反函数为______．7.已知集合A={y|y=x2−32x+1,x∈[34,2]}，B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围________．8.若f(x)=12x−1+a是奇函数，则a=__________．9.已知a>3，求a+1a−3的最小值______ ．10.若集合A={−1,1},B={0,2}，集合C={z|z=x+y,x∈A,y∈B}，则集合C的真子集个数为__________．11.已知sinα+cosα=12,α∈(0,π)，则1−tanα1+tanα=_______．12.已知|a−8b|+(4b−1)2=0，则log2a b=__________．13.已知函数f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则f(x+2)的定义域是__________，值域是__________．14.函数f(x)=1x2−2x+3，x∈[0,3]的最大值为______ ．15.已知函数y=log√22(x2+4x+5)，x∈[−1,3]的值域为__________．16.已知函数f(x+1)=x2−2x+1的定义域为[−2,0]，则函数f(x)的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且a =√5，b =3，sinC =2sinA ．(1)求c 的值；(2)求cos2A 的值和三角形ABC 的面积．18. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P −ABCD 中，AD//BC ，∠ABC =90°，PA ⊥平面ABCD ，PA =3，AD =2，AB =2√3，BC =6．(1)求异面直线BD 与PC 所成角的大小；(2)求二面角P −DC −B 的余弦值．19. 由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y(个浓度单位)与时间x(个时间单位)的关系为y ={−24x+3−x +8, 0≤x ≤322312−12x , 32<x ≤236.只有当河流中碱的浓度不低于1(个浓度单位)时，才能对污染产生有效的抑制作用．(1)如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？(2)当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．20. 已知函数f(x)=log 2(x +2)，g(x)=a ⋅4x −2x+1−a +1．(1)判断函数ℎ(x)=f(x)+f(x −6)的单调性，并说明理由；(2)若对任意的x1，x2∈[1,2]，f(x1)<g(x2)恒成立，求a的取值范围．21.已知函数f(x)是R上的增函数，对任意实数m，n，都有f(m+n)=f(m)+f(n)，且f(4)=2．(Ⅰ)求f(2)的值；(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(Ⅲ)对任意x∈[0,4]，都有f(x)−f(2a−1)<1，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：函数f(x)=lnx +ax +1x ，在[1,+∞)在为减函数，∴f′(x)=1x +a −1x 2≤0，在[1,+∞)上恒成立，∴a ≤1x 2−1x， 设g(x)=1x 2−1x ，∴g′(x)=x−2x 3，当x ∈[1,2]，g′(x)<0，g(x)为减函数，当x ∈[2,+∞)，g′(x)>0，g(x)为增函数，∴g(x)min =g(2)=14−12=−14， ∴a ≤−14，∴当a ≤−14，函数f(x)=lnx +ax +1x 在[1,+∞)上为减函数，∴“a ≤0”是“函数f(x)=lnx +ax +1x 在[1,+∞)上为减函数”的必要不充分条件， 故选：C ．先根据导数和函数单调性的关系求出a 的范围，再结合充分条件，必要条件的定义即可判断． 本题考查了导数和函数的单调性的关系和充分必要条件的定义，属于中档题．2.答案：C解析：解：∵一个直三棱柱的每条棱长都是4√3，且每个顶点都在球O 的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为O 1，O 2，则球O 的球心O 为线段O 1O 2的中点， 设球O 的半径为R ，则R 2=(4√32)2+(23×√32×4√3)2=28，∴球O 的表面积S =4πR 2=112π．故选：C ．设此直三棱柱两底面的中心分别为O 1，O 2，则球O 的球心O 为线段O 1O 2的中点，设球O 的半径为R ，利用勾股定理求出R 2，由此能求出球O 的表面积．本题考查三棱柱的外接球的表面积的求法，是较易题．3.答案：A解析：【分析】本题考查了交集及其运算．【解答】解：由已知解得：集合A={x|0≤x<1}，B={x|0<x<2}，所以A∩B={x|0<x<1}．故选：A．4.答案：C解析：【分析】本题考查函数的最值以及不等式恒成立和存在性问题的求解．首先将要求的问题转化为最值问题，然后结合函数图象即可求解．【解答】解：如图，当x1∈[−2,0]时，f(x1)max=f(−1)=−1；当x2∈[1,2]时，g(x2)为增函数，则g(x2)max=g(2)=6+m．由题意知f(x1)max⩽g(x2)max，即−1≤6+m，即m≥−7．故选C．5.答案：充分不必要解析：解：原命题：若“x>0”则“x≠0”，此是个真命题其逆命题：若“x≠0”，则“x>0”，是个假命题，因为当“x≠0”时“x<0”，也可能成立，故不一定得出“x >0”，综上知“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件故答案为：充分不必要．将题设中的命题改写成命题的形式，分别判断它的真假及其逆命题的真假，再依据充分条件，必要条件的定义作出判断得出正确答案本题考查充分条件必要条件的判断，解题的关键是熟练掌握充分条件与必要条件的定义，本题是基本概念考查题，难度较低，在高考中出现的机率较小6.答案：f −1(x)=√x(x >0)解析：解：由f(x)=y =x 2(x >0)解得x =√y ，∴f −1(x)=√x(x >0)故答案为f −1 (x)=√x(x >0)由y =x 2(x >0)解得x =√y(y >0)，再交换x 与y 的位置即得反函数．本题考查了反函数，属基础题．7.答案：m ≥34或m ≤−34解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，先化简集合A ，利用充分条件和必要条件的关系进行求值．【解答】解：A ={y |y =x 2−32x +1,x ∈[34,2]}={y| 716≤y ≤2}，B ={x | x +m 2≥1}={x | x ≥1−m 2}，∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A ∈B 且A ≠B ，∴1−m 2≤716，解得m ≥34或m ≤−34，故m 的取值范围为(−∞,−34]∪[34,+∞)．8.答案：12解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性．【解答】解：因为f(x)是奇函数，所以f(x)=−f(−x)，所以12x −1+a =−12−x −1−a ，解得a =12．故答案为12．9.答案：5解析：解：∵a >3，a +1a−3=a −3+1a−3+3≥2√(a −3)⋅1a−3+3=5， 当且仅当a −3=1a−3即a =4时取等号， ∴a +1a−3的最小值是5， 故答案为：5． a +1a−3=a −3+1a−3+3，利用基本不等式可求函数的最值． 该题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属基础题，熟记基本不等式的使用条件及常见不等式变形是解题关键． 10.答案：7 解析：【分析】 本题主要考查了真子集个数的判断，属于基本题型． 求出集合C 中的元素，是解决本题的关键． 【解答】 解：∵A ={−1,1},B ={0,2}， ∴集合C ={z |z =x +y,x ∈A,y ∈B}={−1,1,3}， 则集合C 的真子集个数为7． 故答案为7． 11.答案：−√7解析：【分析】本题考查同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．由条件利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号求得cosα−sinα的值，可得的值．【解答】解：∵已知sinα+cosα=12，α∈(0,π)，∴1+2sinαcosα=14，求得2sinαcosα=−34，结合α∈(0,π)，可得α为钝角，，则=−√7， 故答案为−√7．12.答案：14解析：【分析】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果． 【解答】解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14，所以log 2a b =log 2214=14． 故答案为14． 13.答案：[−2,−1][1,2]解析：∵f(x)的定义域为[0,1]，∴0≤x +2≤1，∴−2≤x ≤−1.即f(x +2)的定义域为[−2,−1]，值域仍然为[1,2]．14.答案：12解析：解：设g(x)=x 2−2x +3=(x −1)2+2，∵在[0,1]单调递减，在[1,3]单调递增，∴g(1)=2，g(3)=2，g(3)=6，∴2≤g(x)≤6，∴函数f(x)=1x 2−2x+3的值域为[16,12]故答案为：12．先利用g(x)=x 2−2x +3=(x −1)2+2，求出值域，再利用f(x)=1g(x)求解．本题考查了二次函数的性质，整体求解函数值域，最值问题，属于容易题．15.答案：[−2log 226,−2]．解析：令t =x 2+4x +5，则y =log √22t ，因为x ∈[−1,3]，所以t ∈[2,26]，y ∈[−2log 226,−2]． 16.答案：9解析：解：因为f(x +1)=x 2−2x +1=(x +1)2−4(x +1)+4，所以函数解析式为f(x)=x 2−4x +4，又因为f(x +1)=x 2−2x +1的定义域为[−2,0]，所以x +1∈[−1,1]，所以f(x)的定义域为[−1,1]，并且f(x)在[−1,1]上是减函数，所以f(x)的最大值为f(−1)=1+4+4=9；故答案为：9．首先求出函数的解析式，然后求二次函数的最值． 本题考查了复合函数的定义域求法、解析式的求法以及二次函数解析式最值求法． 17.答案：解：(Ⅰ)∵a =√5，sinC =2sinA ，∴根据正弦定理得：c =sinC sinAa =2a =2√5； (Ⅱ)∵a =√5，b =3，c =2√5，∴由余弦定理得：cosA =2×3×2√5=2√55， 又A 为三角形的内角， ∴sinA =√55， ∴sin2A =2sinAcosA =45，cos2A =cos 2A −sin 2A =35， 三角形ABC 的面积S =12×3×2√5×√55=3．解析：(1)利用正弦定理得到c =sinCsinA a ，将a 的值及sinC =2sinA 代入，即可求出c 的值；(2)利用余弦定理表示出cos A ，将a ，b 及求出的c 值代入，求出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin A 的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin2A 及cos2A 的值，可求三角形ABC 的面积．此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 18.答案：解：如图以A 为坐标原点，以直线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ， 则A(0,0,0),B(2√3,0,0,),C(2√3,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3)．(1)∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2,0),PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,6,−3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即异面直线BD 与PC 所成的角为π2；(2)由题意得：PA ⊥平面ABCD ，则平面BCD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，设平面PCD 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∵DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,4,0),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−3)， ∴{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x +4y =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −3z =0, 解得平面PCD 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−3,−2)，∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+9+4=−25， 由图可得二面角P −DC −B 为锐二面角， 即二面角P −DC −B 的余弦值为25．解析：本题考查求异面直线的夹角、二面角的余弦值，注意解题方法的积累，属于中档题．(1)以A 为坐标原点，以直线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz.通过BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即得异面直线BD 与PC 所成的角为π2； (2)所求值即为平面BCD 的一个法向量与平面PCD 的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．19.答案：解：(1)由题意，{−24x+3−x +8≥10≤x ≤32⇒{1≤x ≤30≤x ≤32⇒1≤x ≤32 {2312−12x ≥132<x ≤236⇒32<x ≤116 综上，得1≤x ≤116即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为116−1=56(2)当0≤x ≤32时，y′=24−(x+3)2(x+3)>0，所以y =−24(x+3)−x +8单调递增 当2<x ≤4时，y =2311−12x 单调递减所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，即x >32，由{0≤x −32≤3232<x ≤236得32<x ≤3，当x >3时，第一、二次投放的固体碱的浓度均在下降(或降为0)． 所以最大浓度发生的时间位于区间(32,3]当32<x ≤3时，y =2312−12x +[−24(x−32)+3−(x −32)+8] =−32(x +32)−24x +32+413≤−12+413=53故当且仅当x +32=16x+32,即x =52时，y 有最大值53．解析：(1)利用分段函数解析式，分别列出不等式，解之，即可求得x 的范围，从而可得能够维持有效抑制作用的时间；(2)确定函数y =−24(x+3)−x +8单调递增，当2<x ≤4时，y =2311−12x 单调递减，进而可得函数，利用基本不等式，即可求得最值．本题考查分段函数，考查解不等式，考查函数的单调性，考查利用基本不等式求函数的最值，确定函数的解析式是关键．20.答案：解：(1)因为ℎ(x)=log 2(x +2)+log 2(x −4)，定义域为(4,+∞)，设x 2>x 1>4， ℎ(x 2)−ℎ(x 1)=log 2x 2+2x 1+2+log 2x 2−4x 1−4， ∵x 2>x 1>4，∴x 2+2x1+2>1,x 2−4x 1−4>1， ∴log 2x 2+2x 1+2>0,log 2x 2−4x 1−4>0，即ℎ(x 2)>ℎ(x 1)，所以函数ℎ(x)在定义域上为增函数．(2)依题意有，f(x)max <g(x)在[1,2]上恒成立．因为f(x)在[1,2]上单调递增，所以f(x)max =log 24=2，a ·4x −2x+1−a +1>2在[1,2]上恒成立，令t =2x ∈[2,4]，即at 2−2t −a +1>2，所以a >2t+1t 2−1，设g(t)=2t+1t 2−1，g′(t)=−2t 2−2t−2(t −1)<0，故g max =g(2)=53即a 的取值范围为(53,+∞)．解析：(1)先求出函数ℎ(x)的解析式，利用定义即可判断；(2)根据题意可知，只要f(x)max <g(x)恒成立即可，分参换元，求函数y =2t+1t 2−1的最大值，即可以得到a 的取值范围．本题主要考查函数单调性的证明以及不等式恒成立问题的解法，解题关键是转化分参，属于中档题． 21.答案：解：(Ⅰ)因为对任意实数m ，n 都有f(m +n)=f(m)+f(n)，令m =n =2，所以f(4)=f(2)+f(2)=2，解得f(2)=1；(Ⅱ)函数f(x)为奇函数，证明如下：因为f(m +n)=f(m)+f(n)对任意实数m ，n 都成立，令m =x ，n =−x ，所以f(0)=f(x)+f(−x)．令m =n =0，所以f(0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0，所以f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数；(Ⅲ)因为对于任意x ∈[0,4]，都有f(x)−f(2a −1)<1，所以f(x)<1+f(2a−1)，即f(x)<f(2)+f(2a−1)．又因为f(2)+f(2a−1)=f(2+2a−1)=f(2a+1)，所以f(x)<f(2a+1)，因为函数f(x)在R是增函数，所以2a+1>x．因为任意x∈[0,4]，都有2a+1>x成立，所以2a+1>(x)max，，由此得2a+1>4，即a>32, +∞)．所以a的取值范围是(32解析：(Ⅰ)可令m=n=2，代入计算可得所求值；(Ⅱ)函数f(x)为奇函数，可令m=n=0，求得f(0)，再令m=x，n=−x，结合奇偶性的定义，即可得到所求结论；(Ⅲ)由条件和f(2)=1，可得f(x)<f(2a+1)，再由单调性和恒成立思想，可得a的范围．本题考查抽象函数的函数值和性质，注意运用定义法和转化思想，考查方程思想和赋值法，化简整理的运算能力，属于中档题．。