非等间距NGM(1,1,k)模型的改进算法及其应用

非等间距NGM(1,1,k)模型的改进算法及其应用 张锴;王成勇;贺丽娟 【摘 要】针对观测数据的非等间距性以及NGM(1,1,k)模型建立的不足,本文构建了灰作用量优化的非等间距NGM(1,1,k)模型.基于数值积分原理,推导出模型背景值改进算法的非等间距Simpson数值积分公式.然后利用原始数据序列的观测值与模拟值的相对误差平方和最小为目标,构建新的效用函数作为求解新模型的时间响应函数中的最优常数表达式,从而形成了完整的非等间距NGM(1,1,k)模型的改进算法.最后,通过两个算例验证了所提出模型的有效性和实用性,表明了优化模型可以有效地提高预测精度.

【期刊名称】《工程数学学报》 【年(卷),期】2019(036)002 【总页数】17页(P138-154) 【关键词】非等间距序列;NGM(1,1,k)模型;背景值;时间响应函数 【作 者】张锴;王成勇;贺丽娟 【作者单位】文华学院数学科学系,武汉 430074;湖北文理学院数学与计算机科学学院,襄阳 441053;文华学院数学科学系,武汉 430074

【正文语种】中 文 【中图分类】N941.5

1 引言 灰色预测[1]是灰色系统理论的主要内容之一，而灰色预测模型在数据量较小的情况下可得到较为准确的拟合与预测结果，其已广泛应用于交通管理、城市环境、能源分析等众多领域[2-4]．GM(1,1)模型是灰色预测模型中最为常用的模型，其对具有近似齐次指数律特性的数据序列拟合精度较高，但是对具有非齐次指数增长趋势的数据序列，难以取得比较高的建模精度．针对这一问题，文献[5]首先提出了针对非齐次指数序列建模的NGM(1,1,k)(Non-homogenous discrete exponential Grey Model,NGM(1,1,k))；文献[6]研究了NGM(1,1,k)模型的病态性问题，通过理论推导证明了NGM(1,1,k)模型在建模过程中并不存在严重的病态性；文献[7]通过优化灰导数得出无偏NGM(1,1,k)模型；文献[8]通过时间响应函数直接求解模型参数，得到NGM(1,1,k)模型的无偏形式；文献[9]将NGM(1,1,k)称为非齐次GM(1,1)模型，通过递推解法推导非齐次灰色无偏预测公式，并给出了不同初始条件对公式的影响．而后，文献[10]使用平均弱化缓冲算子对数据预处理，将其应用到了中长期电量预测中． 上述研究极大地推动了灰色预测理论的发展，但是目前NGM(1,1,k)模型的理论基础仍然不够完善，尤其是NGM(1,1,k)模型的理论基础仍然缺乏依据，并且没有针对NGM(1,1,k)模型背景值优化方面的研究．另一方面，在时间响应函数优化中，现有研究通常采用一阶累加序列误差平方和作为优化依据，但是这一优化条件与模型精度并不完全相关．并且实际工作中，由于受到各种因素的相互影响，往往造成时间间隔以及观测数据的波动性，导致非等间距数据序列的出现．因此，建立非等间距NGM(1,1,k)的改进模型具有一定的现实意义和理论意义． 本文首先回顾NGM(1,1,k)模型，分析该模型建立的不足．考虑到工程实践中收集的数据更多为非等间距数据序列，尝试建立一个三参数的非等间距NGM(1,1,k)模型；为了进一步提升新模型的模拟精度，基于积分几何意义的视角，利用函数逼近的思想，推导出背景值改进算法的非等间距Simpson 数值积分公式；同时对新NGM(1,1,k)模型的时间响应函数进行优化，以原始数据序列的观测值与模拟值的相对误差平方和最小为目标构建新的效用函数，以此为条件求出最优常数，最终形成完整的非等间距NGM(1,1,k)模型的改进算法． 2 NGM(1,1,k)灰色预测模型 NGM(1,1,k)模型是灰色预测模型理论体系的一种拓展，建立NGM(1,1,k)模型是为了弥补GM(1,1)模型在近似非齐次指数序列模拟预测时的不足，拓广灰色预测模型的应用范围．NGM(1,1,k)模型的建模机理如下． 定义1[5] 称

为基于非齐次指数离散函数的灰色预测模型(NGM(1,1,k))，将一阶微分方程 称为NGM(1,1,k)模型的白化形式． 定理1[5] 设原始非负序列

X(0)的一次累加生成序列为其中 X(1)的紧邻均值生成序列Z(1) ={z(1)(1),z(1)(2),··· ,z(1)(n)}，其中 NGM(1,1,k)模型的时间响应式为 定理2[5] 若为参数列，且 则NGM(1,1,k)模型x(0)(k)+az(1)(k)=kb 的最小二乘估计参数列满足 为了分析NGM(1,1,k)模型建立的不足，不妨假设有一原始数据 满足非齐次指数律，其一次累加生成序列为 如果取 则有 该式说明NGM(1,1,k)模型所得预测结果中β,A,B 存在联系，并不是相互独立的．而x(0)(k)=Aeβ(k−1)+B 为三参数函数，β,A,B 是不存在直接联系的．因此，NGM(1,1,k)模型的预测结果无法表达任意非齐次指数律序列，其适用范围非常有限．并且在实际工作中，由于会受到不同因素的相互干扰，所得到的数据序列可能不完备或者会缺少部分原始数据，这就造成非等间距数据序列的出现．因此，有必要建立更适合工程实践中的新NGM(1,1,k)模型． 3 新NGM(1,1,k)模型及其改进算法 3.1 灰作用量优化的非等间距NGM(1,1,k)模型 定义2[11] 设序列

若间距其中i=2,3,··· ,n，则称X(0)是非等间距序列． 定义3[11] 设序列

若其中 则称X(1)为非等间距序列X(0)的一次累加生成序列(1-AGO 序列)． 定义4 设X(0)为非负的非等间距序列，X(1)为X(0)的一次累加生成序列，称 为灰作用量优化的非等间距NGM(1,1,k)模型，其中 其一阶微分方程 称为非等间距NGM(1,1,k)模型的白化微分方程，其中a,b,c 为未知参数． 定理3 序列X(0),X(1),Z(1)如定义4 所示，对非等间距序列x(1)(t)，若为参数列，且设

则离散非等间距NGM(1,1,k)模型 的最小二乘估计参数列满足 证明 对x(1)(t)建立如下形式的微分方程，即非等间距NGM(1,1,k)模型的白化微分方程

将其在区间[ki−1,ki]上积分，即 化简则有 因为 所以 这里 称为x(1)(t)在相应区间[ki−1,ki]上的背景值，将(3)式以矩阵形式表示为 若记 =[a,b,c]T, 称为待辨识参数向量，a,b,c 为待辨识参数． 线性方程组 有解的充分必要条件为

其中为所有矩阵 的{1}-逆． 待辨识参数向量的最小二乘解为

定理4 设如定理3 所示，若记则： 1)白化微分方程的解(也称时间响应函数)为

2)非等间距NGM(1,1,k)模型x(0)(k)+az(1)(k)=bk+c 的时间响应序列为 3)还原值 证明 设y =−ax(1)+bt+c，将其代入(2)式可得解出根据常微分方程理论，时间响应函数为

其中C1 为微分方程解的待定常数．由初始条件解出 进而可以得到时间响应序列为 还原值为 3.2 非等间距NGM(1,1,k)模型背景值的改进算法 非等间距NGM(1,1,k)模型(1)的背景值计算利用了数值积分中的梯形公式，而实际值应该等于曲线x(1)(t)在区间[ki−1,ki]上与t 轴所围成的曲边梯形的面积，图1 中的阴影部分面积即为传统背景值计算公式的误差来源． 图1:梯形公式构造背景值的误差示意图 可以考虑从积分的几何意义对于背景值的算法进行改进，即在区间[ki−1,ki]中不断地插入分点，利用函数逼近的思想求出曲边梯形的面积．数值积分中，我们常常用简单、易于积分且又逼近于被积函数f(x)的函数φ(x)来构造求积公式．由于多项式不但计算方便，而且容易积分，因此，常取φ(x)为一个多项式．记φ(x)关于基点a ≤x1

其中lj(x)为Lagrange 基本多项式．由于插值多项式Ln(x)的次数越高，对被积函数光滑性的要求也越高，同时，当n →∞时，Ln(x)也不一定收敛于f(x)，所以常常使用分段低次插值，低次插值多项式的次数n∈[2,4]，一般取2 次多项式． 定义5[12] 若n 次多项式lj(x),j =0,1,··· ,n 在n+1 个节点x0足条件

就称这n+1 个多项式l0(x),l1(x),··· ,ln(x)为节点x0,x1,··· ,xn 上的n 次插值基函数．Lagrange 插值多项式 式中 常用的数值积分公式是利用Lagrange 插值公式推出来的，由 两边积分，得 其中 为求值系数，称In[f]为插值求积公式． 定义6 X(1)如定义3 所示，若记

称 为非等间距Simpson 数值积分公式．特别的，当∆ki−1 =∆ki =∆ki+1 时，称 为等间距抛物线公式或Simpson 数值积分公式． 将公式(2)中的x(1)(t)在区间 上积分，且记则

由(4)式和(5)式可得 当m=i −1 时，有 同理，当m=i,i+1 时，有 代入(5)式可得 整理得到 进一步可以看到，当∆ki−1 =∆ki =∆ki+1 时，有 该式即等间距抛物线公式或Simpson 公式． 将一次累加生成序列建立的白化微分方程(2)式在区间[ki−1,ki+1]上积分，得

因为 则有 (6)式变为 将(7)式的中的积分使用非等间距Simpson 数值积分公式替代，即 定理5 设X(0)为非负的非等间距序列，X(1)为X(0)的一次累加生成序列(1-AGO 序列)，Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列，若=[a,b,c]T 为未知参数列，且记

则离散非等间距NGM(1,1,k)模型的最小二乘估计满足 证明 将(7)式用矩阵的形式表示为