一类新弱化缓冲算子的构造
一类新弱化缓冲算子的构造
韩然;吴正朋;李梅
【摘 要】在灰色系统缓冲算子公理体系下,构造了1类新弱化缓冲算子,并将其与刘
氏弱化缓冲算子进行比较,研究了2类新弱化缓冲算子弱化能力的差异特性,从而大
大地拓广了弱化缓冲算子的应用范围.对序列前一部分增长(衰减)速度过快,而后一
部分增长(衰减)速度过慢的冲击扰动系统数据序列在建模预测过程中常常出现的定
量预测结果与定性分析结论不符的问题,提供了多种解决方案.
【期刊名称】《中国传媒大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(017)004
【总页数】6页(P57-62)
【关键词】弱化缓冲算子;灰色系统
【作 者】韩然;吴正朋;李梅
【作者单位】中国传媒大学理学院,北京,100024;中国传媒大学理学院,北
京,100024;中国传媒大学理学院,北京,100024
【正文语种】中 文
【中图分类】O159
1 引言
灰色系统的特色是研究“小样本”与“贫信息”等不确定性问题。因此充分开发利
用已占有的信息来挖掘系统本身固有的规律是灰色系统理论的基本准则。我们可以
通过社会、经济、生态等系统的行为特征数据来寻求因素之间或自身的变化规律。
灰色系统理论认为，尽管客观系统的表象复杂、数据离乱，但它们总有自身的整体
功能，必然蕴藏某种内在的规律，关键是如何选择适当的方法来挖掘和利用它。在
文献［1-3］［6］中，刘思峰等学者提出了冲击扰动缓冲算子的概念，并构造出
一种得到较广泛应用的强化缓冲算子。本文在他们的工作的基础上，又构造出一类
新弱化缓冲算子，从而推广了缓冲算子的类型。
2 基本概念
定义2.1设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，若
(1)∀k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)＞0，则称 X 为单调增长序列。
(2)∀k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)＜0，则称 X 为单调衰减序列。
(3)若，∃k1，k2∈{2，3，…，n}，有 x(k1)-x(k1-1)＞0，x(k2)-x(k2-1)＜0，则
称 X 为振荡序列。令，称 M-m 为振荡序列 X 的振幅。
定义2.2设X为系统行为数据序列，D为作用于X的算子，X经算子D作用后所
得到序列记为XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，则称 D 为序列算子。
对序列连续作用，可得二阶算子，一直可以作用到r阶算子，分别记为XD2，…，
XDr。
公理2.1［4］(不动点公理)设为系统行为数据序列，D为序列算子，则有
x(n)d=x(n)。
公理2.2［4］(信息充分利用公理)系统行为数据序列X中的每一个数据x(k)(k=1，
2，…，n)，都应充分地参与算子作用的整个过程。
公理 2.3［4］(解析化与规范化公理)任意的 x(k)d(k=1，2，…，n)皆可以由一个
统一的 x(1)，x(2)，…，x(n)的初等表达式表达。
满足上述三公理的序列算子称为缓冲算子，XD称为缓冲序列。
定义2.3［5］设为系统行为数据序列，D为序列算子，当X为单调增长序列、单
调衰减序列或振荡序列，缓冲序列XD比行为数据序列X的增长速度(或衰减速度)
放慢或振幅变小，则称缓冲算子D为弱化算子。
定理1［5］(1)设X为单调增长序列，XD为缓冲序列，则D为弱化缓冲算子
⇔x(k)≤x(k)d(k=1，2，…，n);
(2)设X为单调衰减序列，XD为缓冲序列，则D为弱化缓冲算子⇔x(k)≤x(k)d，
(k=1，2，…，n);
(3)设X为振荡序列，XD为缓冲序列，D为弱化缓冲算子，则
由定理1可知，单调增长序列在弱化缓冲算子作用下，数据膨胀;单调衰减序列在
弱化缓冲算子作用下，数据萎缩。
3 弱化缓冲算子的构造
刘思峰等学者在其文献［4］中构造了下列弱化缓冲算子，设X=(x(1)，x(2)，…，
x(n))为系统行为数据序列，令 XD1=(x(1)d1，…，x(n)d1)，其中
则当X为单调增长序列、单调衰减序列，D1为弱化缓冲算子。
在弱化缓冲算子D1基础上，我们给出一种新的弱化缓冲算子。
定理2 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，其中
令 XD2=(x(1)d2，…，x(n)d2)
则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，D2为弱化缓冲算子。
证明:容易验证
即D2满足缓冲算子公理一。而对于缓冲算子公理二，公理三显然也成立，故D2
为缓冲算子。
下证D2为弱化缓冲算子。
(1)当X为单调增长序列时，由于
则有所以D2为弱化缓冲算子。
(2)当X为单调衰减序列时，因
所以D2为弱化缓冲算子。
(3)当X为振荡序列时，令
对任意的 i∈{1，2，…，n}有
故D2为弱化缓冲算子。
定理3 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，则
即弱化缓冲算子D2比弱化缓冲算子D1弱化能力更强。
证明:考虑
定理4 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，m
为自然数。其中
令 XDm=(x(1)dm，…，x(n)dm)
则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，Dm为弱化缓冲算子。
证明:容易验证
即Dm满足缓冲算子公理一。至于缓冲算子公理二，公理三显然也成立，因而
Dm为缓冲算子。
下证Dm为弱化缓冲算子
(1)当X为单调增长序列时，因为
则有
所以Dm为弱化缓冲算子。
(2)当X为单调衰减序列时，因为
所以Dm为弱化缓冲算子。
(3)当X为振荡序列时，令
对任意的 i∈{1，2，…，n}有
故Dm为弱化缓冲算子。
定理5 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，m为自
然数，则
即弱化缓冲算子Dm+1比弱化缓冲算子Dm弱化能力更强。
证明:考虑
定理6 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，k≤l均
为自然数，则
即弱化缓冲算子Dl比弱化缓冲算子Dk弱化能力更强。
证明:由定理5即得。
4 实例分析
以上海市国际互联网用户数为例［7］，验证本文构造的弱化缓冲算子在GM(1，
1)模型预测中的应用。选取该市2002—2007年国际互联网用户数(单位:万户)作
为原始数据:
X=(420，432，633，803，957，1080)从原始数据可以发现，上海市上网用户
数增长势头迅猛，增长率分别为:2.857%，46.53%，26.856%，19.178%，
12.85%，年平均增长率为21.65%，显然互联网用户数不可能一直保持如此高的
增长率，因此直接用原始数据建模，预测结果将会与真实值出现很大偏差。观察数
据可以看出，原始序列前半部分增长速度较快，后半部分增长速度较慢，因此要进
行若干年后上网用户数的预测，必须弱化其增长趋势，削弱冲击扰动因素的干扰，
使得模型预测精度提高，预测结果与实际情况相符合。
以2002—2006年数据作为建模数据，以2007年数据为模拟检验数据。用D1和
D2分别对原始序列进行一阶缓冲算子作用，得到一阶缓冲序列如下:
显然，弱化缓冲算子D2比弱化缓冲算子D1弱化能力更强。对原始序列及缓冲算
子作用后的新序列分别建立GM(1，1)模型，得到的原始序列模拟值分别为:
经计算得原序列平均相对误差为5.22%;经D1作用后序列的平均相对误差为
0.945%;经D2作用后序列的平均相对误差为0.08%，并预测2007年国际互联网
用户数为1032.9万户。可以看出，经弱化缓冲算子得到的序列都比直接建模的平
均相对误差小，其中经D2作用后得到的弱化缓冲序列平均相对误差最小。而
2007年国际互联网用户的真实值是1080万户，相对于预测值1032.9万户，误
差率为4.36%，显然，在长期预测中，该预测精度会有所提升，如何适当选择
Dm中的m值进行建模及预测是接下来的研究重点。
5 结论
本文在已有的文献基础上，构造了一类新的弱化缓冲算子，对具有前半部分增长速
度较快，而后半部分增长速度较慢特征的原始数据序列，用所构造的缓冲算子能够
充分有效地消除原始数据序列中的冲击扰动因素的干扰，提高预测精度。
参考文献
【相关文献】
［1］刘思峰.冲击扰动系统预测陷阱与缓冲算子［J］.华中理工大学学报，1997，25(1):25-27.
［2］Liu Sifeng.The three axioms of buffer operator and their application［J］.The Journal
of Grey System，1991，3(1):39-48.
［3］刘思峰，党耀国，方志耕.灰色系统理论及其应用(第三版)［M］.北京:科学出版社，2004.
［4］党耀国，刘思峰，刘斌，唐学文.关于弱化缓冲算子的研究［J］.中国管理科学，2004，
12(2):108-111.
［5］党耀国，刘斌，关叶青.关于强化缓冲算子的研究［J］.控制与决策，2005，20(12):1332-
1336.
［6］谢乃明，刘思峰.强化缓冲算子的性质与若干实用强化算子的构造［J］.统计与决策，2006，
4:9-10.
［7］上海统计局.上海统计年鉴［M］.上海:上海统计出版社，2008.
一类灰色问题性质研究
一
类 灰 色 问题 性 质 研究
吴正朋 ， 张友萍 ， 尧欣怡 ， 李梅
（． １ 中国传媒大学应用数学系 ， 北京 １０２ ０ ０４； ２ 北京第二外 国语学院继续教育学 院， ． 北京 １０２ ） ０ ０４
摘要： 在灰 色系统缓冲算子公理体 系下 ， 文证 明了下 列结果 ： ｄ 本 若 是一 强化缓 冲算子 ，（ ） ｘ ｋ ｄ由 Ｘ ｋ ， ，（ ） （ ） … ｘ ｎ 所 构成 的表达 式， 为严格 单调 递增函数 ， ｆ ｆ ｇ为 的反 函数 。在 ｘ ｋ ｄ中， ｆｘ ｋ ） （） 将 （ （ ） 替换 ｘ ｋ （ （ ） ｋ＝１ …， ） 对得到 ， ｎ， 的新表 达式 ， 函数 ｇ去作 用 ， 用 最后的表达式记为 ｅ 若 ｄ为强化缓 冲算子 ， ｅ 为强化缓 冲算子． ， 则 也
子 的类 型。
１ 引言 ２ 基 本概 念
灰色系统的特 色是研究“ 小样本 ” 贫信息 ” 与“ 等不确 定性 问题 。 因此充分 开发 利用 已 占有 的信息
来 挖掘 系统 本身 固有 的规律 是灰 色 系统理论 的基 本 准则 。我们 可 以通过 社会 、 经济 、 生态 等 系统 的行为 定 义 ２ １ 系统 行 为 数据 序 列 为 Ｘ＝（ １ ， ．设 （ ）
（ ） 得 （ ） … 乏 （ ） ， ｎ， ） ｎ ）
（） １ 设 为 单 调增 长序 列 ，Ｄ为 缓 冲序列 ， Ｘ 则
Ｄ为 强化 缓 冲算 子铮 （ ≥ ） ． ＝１ ２ ） （ ｄ （ ，，
…
因为 ｄ为强化 缓 冲算子 ， 则 （ ｄ （ ， ） ≤ ） 故 ｌ （ ） 厂 ） ， 厂 ） ｄ ；（ （ （ ） 又 ｇ为严格 单调 递增 函数 ，
线性缓冲算子及其矩阵表示研究
系统 行 为数据 序列 ， Ｄ是一 个线 性缓 冲算 子 ， Ｄ Ｘ
＝
显然 ， 性 缓 冲 算 子 本 质 上 就 是 线 性 变 换 ． 线 将
。，
（ １ ｄ （ ） ， ， Ｉ ｄ （ ） ， ２ ｄ … （ ） ），贝 ｔ ０有 Ｘ Ｄ ＝
针对灰色预测建模 中存在波动较大数据 问 题， 文献 ［ ］ １ 中首 度 提 出 了缓 冲 算 子 的概 念 和 公 理 系统 ， 对 缓 冲算 子 的 特性 进 行 研 究 ， 启 了 并 开
利 用 缓 冲算 子 研 究 波 动 数 据 的 大 门． 献 ［ 文 ２— １ ］ 文献 ［ ］ １在 １ 的基 础 上 ， 造 了许 多 不 同 的强 构 化 缓 冲算 子和 弱化 缓 冲算子 ， 对 其性 质 进行 了 并 更 深入 的研 究 ， 揭示 了一 些缓 冲算 子之 间的 内在 联系． 文献 ［２ 构 造 了一类 线 性弱 化缓 冲算 子 和 １］ 强化 缓 冲算 子 ， 从 矩阵 的角 度研 究 它 们 的复 合 并
２１ ０ １年 １ Ｏ月
重庆文理学院学报 （ 自然科学版）
Ｊｕ ａ ｏ Ｃ ｏｇｉｇＵ ｉ ｒｔ ｆ ｒ ｎ ｃｅｃｓ（ ａ ｒｌ ｃｅｃ ｄｔｎ ｏ ｒ ｌ ｆ ｈｎｑｎ ｎｖ ｓｙｏ Ａ ｔ ａｄＳｉｎｅ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｅＥ ｉｏ ） ｎ ｅｉ ｓ ｕ ｎ ｉ
０ｃ ．．２ １ ｔ ０１
子及 线性 缓 冲算子 矩 阵的概 念 ； 然后 ， 出 了利 用线性 缓 冲算 子矩 阵判 断线性 缓 冲弱化 算 子和 给
线性 缓 冲强化 算 子 的方 法．
《灰色系统理论及其应用》——读书笔记
第一章灰色系统的概念与基本原理1.1 灰色系统理论的产生于发展动态1.1.1 灰色系统理论产生的科学背景1、在系统研究中，由于内外扰动的存在和认识水平的局限，人们得到的信息往往带有某种不确定性。
随着科学技术的发展和人类社会的进步，人们对各类系统不确定性的认识逐步深化，对不确定性系统的研究也日益深入。
邓聚龙于80年代创立的灰色系统理论。
2、中国学者邓聚龙在1982年创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。
3、灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。
1.1.2 灰色系统理论的产生与发展动态1、灰色系统理论的产生——1982年，北荷兰出版公司的《系统与控制通讯》（Systems & Control Letters）杂志刊载了我国学者邓聚龙的第一篇灰色系统系统论文“灰色系统的控制问题”（The control problem of grey systems）；同年，《华中工学院学报》刊载了邓聚龙的第一篇中文灰色系统论文“灰色控制系统”。
这两篇开创性论文的公开发表，标志着灰色系统理论的问世。
1.1.3 不确定性系统的特征与科学的简单性原则1、信息不完全、不准确是不确定性系统的基本特征。
2、系统演化的动态特性、人类认识能力的局限性和经济、技术条件的制约，导致不确定性系统的普遍存在。
3、信息不完全是不确定性系统的基本特征之一。
信息不完全是绝对的，信息完全则是相对的。
4、概率统计中的“大样本”，实际上表达了人们对不完全的容忍程度。
通常情况下，样本量超过30即可视为“大样本”。
5、不确定性系统的另外一个基本特征是数据不准确。
从不准确产生的本质来划分，又可分为概念型、层次型和预测型三类：（1）概念型。
概念型不准确源于人们对某种事物、观念或意愿的表达，如人们通常所说的“大”、“小”、“多”、“少”、“高”、“低”、“胖”、“瘦”、“好”、“差”以及“年轻”、“漂亮”、“一堆”、“一片”、“一群”等，都是没有明确标准的不准确概念，难以用准确的数据表达。
4 灰色系统理论20140414
Xi (xi (1), xi (2), , xi (n)) 为因素Xi的行为序列。
• 初值化算子（D1）：若 xi (k)d1 xi (k) / xi (1), xi (1) 0，则称 Xi D1 (xi (1)d1, xi (2)d1, , xi (n)d1) 为Xi在初值化算子D1下的像，即初值像。
i (k) x0(k) xi(k) i (i (1), i (2), , i (n)), i 1, 2, , m
M
max i
max k
i
(k
),
m
min i
min k
i
(k
)
0i
(k)
mM i (k) M
,
(0,1)
北航
0i
1 n
– 计算差序列，i (k) x0(k) xi(k) 。见下表。
编号 专业 外语 教学量 科研 论文 著作 出勤
|X1-X0| 1
0
1
2
4
7
0
|X2-X0| 2
1
2
4
2
6
1
|X3-X0| 0
2
0
3
3
5
2
|X4-X0| 3
1
1
1
5
6
3
|X5-X0| 1
3
3
0
1
6
1
|X6-X0| 1
0
4
2
3
•
均值化算子（D2）：若
xi (k)d2
xi (k xi
)
,
xi
1 n
一类新的跳频序列集构造方法
【 摘 要 】在 跳频 多址通 信 中， 有 良好相 关性 能的跳 频序列 集至 关重要 。首先在 有 限扩域 和子域 之 间定 义 了一类特 殊 函数 ， 具
然 后根 据 ｄ型 函数 特 有 的性 质 ， 合这 两种 函数 ， 复 构造 了一类新 的达 到 Ｐ ｎ— ａ ｅ ｇ Ｆ ｎ界 的最佳 跳频序 列集 。最 后 ， 出小结 ， 出 给 提 后续 解决 的 问题 。
【 ｅ ｏｄ 】ｄｆｍ ｆｎｔｎ ｆ ｑｅｃ—ｏｐ ｇｓ ｕｎｅ； ａ ｍｎ ｏ ｅ ｔｎ Ｋ ｙ ｗ ｒｓ ｒ ｃｏ； ｅｕｎｙｈｐｉ ｅ ｅｃｓ ｈｍ ｉ ｃ ｒｌｉ ｏ ｕ ｉ ｒ ｎ ｑ ｇ ｒ ａｏ
列 集 达 到 了Ｐ ｎ － ａ 界 。 ｅｇ Ｆ ｎ
０ 引 言
跳 频多址技 术广泛 应用 于现代蓝牙 通信 、 超宽带通
ｌ 基 本 概 念
Ｆ＝ ０ … ， 一 Ｖ， ， ）表 示 可 利 用 的 频 隙 集 ，
＝
信 以及军事通 信和雷 达系统 中 ， 而其关 键技术 之一是跳 频序列 的设计 ， 跳频序列 是指控 制载波 频率 随机 跳变 的 地址码 序列 ， 它具 有两个 作用 ： ）在跳频 组 网中标 示 网 １
法 ， 跳频 序列 的设 计是 要 寻找具 有优 良汉 明异 相 自相
式 ：， ｛ ，ｒ 作 如 Ｙ 中 ］ ： 按 操 。 果＝， Ｍｙ ＝ ＋ 明 白相关 函数。序列 的最大异相汉 明 自 丁是汉
相关值和序列 ， Ｙ的最大汉 明互相关值分别表示为
ｆ（） ∑ ｛ 『 Ｈ ＝ 巩（｝ ）
｛（ Ｙ＝ ∑ ｛ ， ） Ｉ ） Ｈ 日 ｝
，
（ ２ ） 一
关 值和汉 明互相关值 的随机序 列 ， 在直 扩序列设计 中 ， ｄ
灰色系统理论及其应用
灰色系统理论及其应用第一章灰色系统的概念与基本原理1.1灰色系统理论的产生和发展动态1982年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。
目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。
国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。
灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。
1.2几种不确定方法的比较概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。
其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。
也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。
模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。
比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。
概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。
要求大样本，并服从某种典型分布。
灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。
如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。
1.3灰色系统理论的基本概念定义1.3.1信息完全明确的系统称为白色系统。
基于余切函数的数据弱化处理方法
２ ０ １ ４年 第 ５期
苏海 军 ： 基 于 余切 函数 的数 据 弱 化 处 理 方 法
析化 、 规 范化公 理 ） ； 则称 Ｄ 为缓 冲算 子．
（ 是）・ｃ ｏ ｔ （ ｇ（ （ 走） ） ）一 （ 是）
定义 ４ Ｅ １ ３ 设 Ｄ 为作 用 于 系 统行 为数 据 序 列
余 切 函数 为 基础 的弱 化缓 冲算 子 ． 实例证明， 该 弱
化 缓 冲算子 能 有效 弱 化 数 据 ， 消 除 冲 击 扰 动 因 素
对 原始数 据 的干扰 ， 提 高 ＧＭ（ １ ， １ ） 模 型在 冲击扰 动 系统 中 的预测精 度 ， 而且 过程 简 洁．
充分参与算子作用 的全过程（ 信息充分利用公理 ） ； （ ３ ） 任 意 的 （ 志 ） ， 志一１ ， ２ …． ， 订皆由一个 统
… …
阶算子 作用 序列 ．
定义 ３ ［ １ ］ 设 Ｄ 为作 用 于 系 统行 为数 据 序 列 Ｘ 的算 子 ， 若满足： （ １ ） ｚ（ ） ： ＝ ： ｚ（ ” ）（ 不 动点 公理 ） ； （ ２ ） Ｘ 中的每一个数 据 ｘ（ ｋ ） ， ｋ＝ １ ， ２ ， ． ． ． ， １ １ ＂ 都
Ｘ 的算 子 ， 当 Ｘ 分 别 为 单增 （ 减） 序列时， 若 序 列 ＸＤ 比序 列 Ｘ 的增 长 （ 衰减 ） 速度 减缓 ， 则称 Ｄ 为
一 ｚ（ ） （ ｃ ｏ ｔ （ ｇ（ （ 走） ） ）一 １ ） ０
所以， （ ） 为弱化 缓 冲算子 ． 推论
第２ ４ 卷 第 ５期
Ｖｏ １ ． ２ ４ Ｎｏ ． ５
四川文 理学 院学 报
Ｓ ｉ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ａｒ ｔ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ
一类新的模糊约束满足问题的建模与求解
2
2 . 1
FC SP 问题建模
模糊期望约束满足模型 ( FECSP)
1 2
= ( 0 15 , 0 17 , 0 19) = ( 0 03 , 0 05 , 0 07) = ( 0 22 , 0 26 , 0 30) = ( 0 08 , 0 11 , 0 13) = ( - 0 13 , - 0 17 , - 0 20 ) = ( 1, ∋0 1
2
波动率分别为三角模糊变量
[ 2- 4]
典 CSP的推广 , 主要包括以下三个部分 . 1 ) 决策向量 x = (x 1, x 2, ∀, xn ), 其中 x j # D j, j = 1 , 2 , ∀, n, D j 为 x j 的定义域 , 记 D = {D 1, D 2, ∀, D n } 为定义域集合 . 2 ) 模糊参数向量 = ( 1,
收稿日期 : 2009- 11 - 15; 修订日期 : 2010- 01 - 25. 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 70971092) .
)
416 )
系
统
工
程
学
报
第 25 卷
的约束条件都具有一定的弹性. 为了满足实际问 题的需要, 近些年一些学者对经典 CSP 进行了扩 展, 提出了软约 束满足问题的 概念 , 如 部分约束 满足 问 题 ( partial constra in t sat isfaction prob le m, [ 1] PCSP ) , 随机约 束满足问 题 ( random constraint satisfaction prob le m, RCSP) , 模糊约束满足问题 [ 5- 12] ( fu zzy constra in t satisfaction problem, FCSP) ,派 生约束满足问题 ( hierarch ical constra in t satisfact io n [ 13] prob le m, H CSP ) 和加权约束满足问题 ( general valued constraint satisfact ion prob lem, GVC [ 14- 15] SP) . 其中 FCSP 备受关注, FCSP 视每一个 约束为一个模糊集 , 且该模糊约束的隶属函数可 以取 0 到 1 之间的任意值, 从而可以表示介于 满 足 !和 不满足 !之间的任意约束. FCSP虽具有约束满足的弹性, 但未能从根本 上分析弹性存在的根源 . 事实上 , 软约束 ( 弹性约 束 )来源于不确定性 , 并 且集中体现在参数的不 确定性上 . 现实世界中众多 CSP的参数均具有不 确定性, 这些不确定性使得传统的硬约束无法满 足实际问题的需要. 由于存在样本误差或数据缺 失, 利用概率理论得到的这些参数的点估计或者 [ 16] 区间估计值往往不够精 确. 模 糊理论 给出了 解决参数不确定性的另一途径. 基于模糊理论 , 本文将约束中具有 不确定的参数 刻画为模糊变 量, 提出了一类新的模糊约束满足问题 FCSP. 本 文重点介绍连续 FCSP 的建模与求解 . 将带有模 糊参数的约束看作为一个模糊事件, 利用可信性 测度作为其度量. 并把全部约束的联合可信性作 为优化目标函数, 即把连续 FCSP 问题转化为无 约束优化问题 . 利用基于模糊模拟的猴群算法求 解无约束优化问题, 从而找到原 FCSP 问题的近 似最优解 .
利用调和平均数构造灰色缓冲算子
一、引言在今天的文章中，我们将探讨如何利用调和平均数构造灰色缓冲算子。
灰色系统理论是一种针对不完全信息和不确定性问题的数学工具，而调和平均数是灰色系统理论中常用的运算工具。
通过构造灰色缓冲算子，我们可以更好地处理不完全信息和不确定性问题，为系统分析和决策提供更可靠的依据。
二、灰色系统理论概述灰色系统理论是由我国科学家黄锡凌教授于1982年提出的，它是一种研究不完全信息系统的理论工具。
在灰色系统理论中，常常需要对不完全信息进行分析和处理，以求得对系统行为和发展趋势的预测和决策支持。
灰色理论充分考虑了不完全信息和不确定性对系统分析和决策的影响，因而具有较强的实用性和适用性。
三、调和平均数的概念与运用调和平均数是数学中常用的一种平均数，它被广泛应用在各种领域的数据分析和处理中。
调和平均数的计算方法是将一组数的倒数取平均后再取倒数，它对特殊值具有较强的抑制作用，因此对于数据中的异常值处理和稳健性分析具有重要意义。
在灰色系统理论中，调和平均数常常用于处理不完全信息和不确定性数据，尤其在系统评价、风险分析和预测模型建立中发挥着重要作用。
通过利用调和平均数，我们可以更好地处理数据的不确定性和多样性，提高系统分析和预测的准确性和可靠性。
四、利用调和平均数构造灰色缓冲算子在灰色系统理论中，灰色缓冲算子是一种重要的系统分析工具，它可以有效地消除系统数据中的噪声和异常值，提高模型的稳定性和可靠性。
利用调和平均数构造灰色缓冲算子的关键在于寻找数据序列中的基准数据，并通过调和平均数的操作对数据进行平滑处理。
在构造灰色缓冲算子时，我们可以首先利用调和平均数对数据序列进行平滑处理，然后再根据平滑后的数据构造灰色缓冲算子模型。
这样可以有效地提高模型对系统数据的适应性和鲁棒性，从而更好地支持系统分析和预测决策。
五、个人观点与总结在我看来，利用调和平均数构造灰色缓冲算子是一种具有较高实用价值的方法。
通过对不完全信息和不确定性数据的处理，我们可以更好地分析和预测系统的行为和发展趋势，为决策提供更可靠的支持。
几类新型无穷维矩阵Hamilton算子的一般化构造
几类新型无穷维矩阵Hamilton算子的一般化构造杜鹃;任文秀;霍晓霞【摘要】利用无穷维Hamilton算子的验证方法,推导出三种形式的矩阵Hamilton算子的判别条件,进而利用这些条件构造出六类新型Hamilton算子,同时说明了结论的正确性和一般性.最后,对于在形式化过程中未实现的算子做了分析,并对未来工作做了展望.【期刊名称】《内蒙古工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(037)001【总页数】7页(P7-13)【关键词】微分形式;判别条件;一般化;无穷维矩阵Hamilton算子【作者】杜鹃;任文秀;霍晓霞【作者单位】内蒙古工业大学理学院,呼和浩特 010051;内蒙古工业大学理学院,呼和浩特 010051;内蒙古工业大学理学院,呼和浩特 010051【正文语种】中文【中图分类】O1750 引言20世纪70年代,F.Magrin[1],Vinogradov[2]等人首次提出无穷维Hamilton系统的概念.后来,Gel’fand,Dorfman,Olver等人[3-5]做了进一步的探索.无穷维Hamilton系统在数学、物理、力学、控制、工程等领域都有广泛应用,因此将发展方程(组)平移到该体系下具有重要研究价值.而该系统的结构性质取决于其所对应的Hamilton算子.因此,无穷维Hamilton算子是一个重要的科研方向,可用于研究发展方程的对称、守恒律、双Hamilton系统等问题[6-9],而这些都离不开对Hamilton算子的验证.然而,该问题的难点在于雅克比恒等的证明,所以人们一般采用比较简单等价证明方法,即微分形式的语言:prvD θ(Θ)=0(1)由于Hamilton算子种类繁多,为了避免重复繁琐的证明过程,考虑将其形式化具有重要意义.例如,Cooke[10]用该方法构造出三阶和五阶标量Hamilton算子的一般式.贾[11]用同样的方法构造并分别证明了三种形式的矩阵Hamilton算子,但类型比较少,而且缺乏一般化.因此本文将对矩阵Hamilton算子做进一步探讨.主要构造了如下三种形式的候选矩阵Hamilton算子采用同样的方法分别得出使其成为Hamilton算子对应的判定条件,这是本文的关键.对于二阶算子D0,利用判定条件构造出四个类型的矩阵Hamilton算子,如分离变量型、指数型、幂型等,并用具体实例加以说明构造的意义.对于三阶算子K0,J0,推导出T,L满足的条件,从而构造出新型Hamilton算子,并对于在一般化过程中遇到的不能成为Hamilton算子的类型做了讨论,最后做了一些展望.1 本文主要结果本节首先给出与本文相关的公式及符号约定,然后分别将二、三阶矩阵Hamilton 算子形式化,并给出判别条件,从而构造出新型Hamilton算子,并对结论进行了验证.1.1 符号约定本节介绍的公式、符号类同文献[4],具体如下:第一,如果不做特殊声明,本文中出现的任何形如f(u,v)的函数都用f记;第二,延拓算子是对应于u=(u1,u2,…)T的单位向量;第三,标量Hamilton算子f Dx+Dx·f与f Dx·f具有等价性.1.2 二阶矩阵Hamilton算子的构造本小节主要将二阶矩阵Hamilton算子形式化.具体结论如下:命题1 若二阶矩阵微分算子具有以下形式且满足下面条件其中H=h1+h2,则D0一定是Hamilton算子.证明首先,由于算子D0满足下式故算子D0为斜伴随算子.其次,令θ=(θ,ξ)T是对应于变量u=(u,v)T的单位向量.算子D0对应的泛函双向量为通过计算D0θ并约定D0θ=(θ*,ξ*)T可得所以因为对于任意的函数M=M(u,v,ux,vx)其中,从而prvD0θ(Θ)=(fuH+2fvg-f Hu-HvH+Tuf+TvH)ξx∧θ∧θx+(HuH+Hvg-2guf-gvH+TuH+Tvg)ξx∧ξ∧θx}dx,其中T=h2-h1.令上式中三向量ξx∧θ∧θx,ξ∧θ∧θx,ξ∧θ∧ξx,ξx∧ξ∧θx的各系数为零,整理即得(a)-(d),从而prvD0θ(Θ)=0因此D0为Hamilton算子.命题得证.通过观察(a)-(d),由f,g,h1,h2的不同情形构造如下几个类型的Hamilton算子.型1 若算子D1具有以下形式且满足fu=hv,fv=hu则D1一定是Hamilton算子.证明在算子D0中,令f=g=f,h1=h2=h便得到算子D1.然后分别代入等式(a)-(d)的左边并整理得2h(fu-hv)+2f(fv-hu),h′(fu-hv)+f′(fv-hu),h′(hu-fv)+f′(hv-fu),2h(hu-fv)+2f(hv-fu),显然,条件(a)-(d)成立当且仅当fu=hv,fv=hu.由命题1可知D1为Hamilton算子. 特别地,由型1可得出如下结论:结论1 若算子D11具有以下形式其中fv=hu,则D11一定是Hamilton算子.结论2(分离变量型) 若算子D12具有以下形式其中,P=P(u),Q=Q(v),Pu=Qv,则D12一定是Hamilton算子.令结论2中P=u,Q=v,即为文[4]中当σ=1时,多变气体动力学方程所对应的一个Hamilton算子.根据命题1,还可以构造出如下类型的Hamilton算子,篇幅所限,这里不再给出证明. 型2(指数型) 若算子D2具有以下形式ki(i=1,2,3)为常数,则D2一定是Hamilton算子.特别地,令型2中的k1=k3=0,k2=1,即为文[12]中水动力系统所对应的一个Hamilton算子.型3(幂型) 若算子D3具有以下形式λ,ki(i=1,2,…,5)为常数,则D3一定是Hamilton算子.特别地,令型3中的k1=k3=1,λ=γ-2,其余常数为零,即为文[5]中气体动力学方程所对应的一个Hamilton算子.型4 若算子D4具有以下形式则D4一定是Hamilton算子.型4等价于文[11]中命题6的Hamilton算子,从而验证了该结论的正确性.1.3 三阶矩阵Hamilton算子的构造本小节将两种三阶矩阵Hamilton算子形式化,并给出如下具体结论:命题2 若三阶矩阵微分算子具有以下两种形式或其中T,L是斜伴随算子且分别满足则K0,J0一定是Hamilton算子.证明首先,故K0为斜伴随算子当且仅当T*=-T,即T是斜伴随算子.其次,令θ=(θ,ξ,τ)T是对应于变量u=(u,v,w)的单位向量.算子K0对应的泛函双向量为通过计算K0θ并约定K0θ=(θ*,ξ*,τ*)T可得故得从而因此,当时,K0为Hamilton算子.同理可验证,若L满足为Hamilton算子,证明略. 根据以上命题,通过对斜伴随算子T,L的分析,可构造出如下类型的Hamilton算子. 型1 三阶矩阵微分算子或一定是Hamilton算子.证明对于算子K1,这里T=f(w)Dx+Dx·f(w),由命题2,斜伴随性显然.其次,因此,K1为Hamilton算子.同理可证J1为Hamilton算子.型1中的J1是文[13]中非散射Boussinesq方程所对应的一个Hamilton算子的一般化.型2 三阶矩阵微分算子的形式为或其中,P=P(w),Q=Q(u),则K2,J2一定是Hamilton算子.证明对于算子K2,这里由命题2,斜伴随性显然.其次,因此,K2为Hamilton算子.同理可证J2为Hamilton算子.型2中J2与文[11]证明所得的Hamilton算子一致,再次验证了本文结论的正确性.2 结语本文由矩阵Hamilton算子一般化而得出的判别条件具有较重要意义.其一,可以构造出新型Hamilton算子;其二,验证其它同类型的Hamilton算子;其三,对于Hamilton算子对的证明也具有重要意义.原因在于如果算子D,K为Hamilton算子,二者为Hamilton算子对只需验证D+K为Hamilton算子即可.值得注意的是,命题1的判别条件仅仅是一个充分条件,对于一些具体的Hamilton算子并不满足这些条件,如文[12]中的二阶幂型Hamilton算子.本文在构造其它类型三阶Hamilton算子的过程中发现,验证条件(1)往往不能成立.比如下面三种形式对于E1,若斜伴随算子T,L为(P)型时(其中f,P为关于u,v,w的函数),其结果取决于Dx的系数,结果为零当且仅当Dx的系数为常数,即E1是平凡的,没有构造的必要.对于E2,特别地,若A是斜伴随算子,则A=B.相应地,若A也有T,L的如上两种形式,以上结果同样取决于Dx的系数,通过计算发现E2也是平凡的.同理,E3也是.值得一提的是还存在一类形如E=(Γ+ΓT)Dx+Γx的算子(DNLP型算子)[13],得出使其成为三阶矩阵Hamilton算子所满足的条件是构造的难点.今后值得进一步探讨的问题有：第一,其它类型二、三阶矩阵Hamilton算子的一般化问题;第二,高阶情形的一般化构造,如DNLP型;第三,本文所构造的新型矩阵Hamilton算子在Hamilton算子对、守恒律等相关问题上的应用.参考文献:[1] Magrin.A simple model of the integrable Hamiltonianequation[J].Journal of Mathematical Physics,1978,19(5):1156～1162. 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