湘教版-数学-九年级上册-第四章锐角三角函数复习教案

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九年级数学上册第4章锐角三角函数 4.4 解直角三角形的应用教案 (新版)湘教版

4.4 解直角三角形的应用教学目标1.使学生理解直角三角形的意义；2.使学生能够用直角三角形的三个关系式解直角三角形；3.通过列方程解直角三角形，培养学生运用代数方法解几何问题的能力；4.培养学生运用化归的思想方法将未知的问题转化为已知的问题去解决. 教学重点和难点正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形是重点；选择适当的关系式解直角三角形是难点. 教学过程设计一、直接运用三个关系解直角三角形 1.定义.由直角三角形中已知的边和角，计算出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形. 2.解直角三角形依据.图6-32，直角三角形ABC 的六个元素(三条边，三个角)，a,b,c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，除直角C 外，其余五个元素之间的关系如下：(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理) (2)锐角之间的关系： ∠A ＋∠B ＝90°. (3)边角之间的关系： sinA ＝c aA =∠斜边的对边；cosA ＝c bA =∠斜边的邻边；tanA ＝baA A =∠∠的邻边的对边；cotA ＝abA A =∠∠的对边的邻边；这三个关系式中，每个关系式都包含三个元素，知其中两个元素就可以求出第三个元素 .(1)是已知两边求第一边；(2)是已知一锐角求另一角；(3)是已知两边求锐角，已知一边一角求另一边.这些关系式是解直角三角形的依据，已知其中两个元素(至少有一个是边)就可以求出其余的三个未知元素. 3.例题分析.例1 △ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c,且b ＝3,∠A ＝30°，解这个直角三角形.分析：①未知元素是∠B ，a ，c ； ②∠B 最容易求，∠B ＝90°－∠A ；③由tanA ＝b a，可以求a ； ④由cosA ＝ca，可以求c ；解：①∠B ＝90°-∠A =90°－30°＝60°； ②因不tanA ＝ba ，所以a ＝b ·tanA ＝3×tan30°＝3333=⨯； ③因为cosA ＝ca，问：(1)用cotA 是否可以求出a?从而说明要优选关系式. (2)求c 边还可以用什么方法?(答：也可以用勾股定理求得)练习1 在△ABC 中，∠C ＝90°，c ＝2,∠B ＝30°,解这个直角三角形. (答：∠A ＝60°，a ＝，b ＝1.)例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，，求∠A 、∠B 、c 边.分析：此题解法灵活性很强.求c 边可根据求得，也可先用正(余)切求出∠A(或∠B)，再用正余弦求得c 边。

湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3解直角三角形教学设计

湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3解直角三角形教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3节主要是解直角三角形。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念和性质的基础上进行学习的，通过解直角三角形，让学生进一步理解三角函数的定义和应用，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数的概念和性质有一定的了解。

但解直角三角形这一节内容涉及的知识点较多，运算较为复杂，对学生来说是一个较大的挑战。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解概念，突破难点，提高学生的运算能力和解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解解直角三角形的概念和性质；2.学会用锐角三角函数解直角三角形；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的概念和性质，用锐角三角函数解直角三角形；2.难点：理解解直角三角形的性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生自主探究，合作交流；2.利用多媒体辅助教学，直观展示解直角三角形的过程；3.运用练习法，巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件；2.准备一些典型的解直角三角形的题目；3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际生活中的直角三角形，如建筑工人测量高度、运动员测量跳远距离等，引导学生思考如何计算这些直角三角形的未知边长。

2.呈现（10分钟）讲解解直角三角形的概念和性质，引导学生理解直角三角形的三个锐角函数的定义和关系。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些典型的解直角三角形的题目，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

5.拓展（10分钟）讲解一些关于解直角三角形的拓展知识，如如何利用解直角三角形求解其他三角形的边长等。

九年级数学上册第4章锐角三角函数单元复习ppt课件新版湘教版

nmile，
解：(1)如图，过 D 作 DE⊥AB 于 E，在 Rt△AED 中，AD＝20 2 ， ∠DAE＝45°，∴DE＝20 2 ×sin45°＝20，
在 Rt△BED 中，BD＝20
5
，∴sin
∠ABD＝EBDD
＝ 20 20 5
＝
5 5
(2)如图，过 D 作 DF⊥BC 于 F，在 Rt△BED 中，DE＝20，BD＝20 5 ， ∴BE＝ BD2－DE2 ＝40，∵四边形 BFDE 是矩形， ∴DF＝EB＝40，BF＝DE＝20，∴CF＝BC－BF＝30，在 Rt△CDF 中，CD＝ DF2＋CF2 ＝50， ∴小岛 C，D 之间的距离为 50 nmile
B． 2 × sin 2 0 ＝ D． 2 × tan 2 0 ＝
14．(2019·黄石)如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为___1_5__3_海里(结果保留根号).
第4章锐角三角函数
单元复习(四) 锐角三角函数
1．在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝12，sin A＝13 ，则 BC 等于( B )
A．14
B．4 C．36 D．316
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BACC ＝12 ，
则下列结论中正确的是(D )
A．sin A＝12
B．sin
15．(2019·泸州)如图，海中有两个小岛 C，D，某渔船在海中的 A 处测得小岛 D 位于东北方向上，且相距 20 2 该渔船自西向东航行一段时间到达点 B 处，此时测得小岛 C 恰好在点 B 的正北方向上，且相距 50 nmile，又测得点 B 与小岛 D 相距 20 5 nmile. (1)求 sin ∠ABD 的值； (2)求小岛 C，D 之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).

湘教版数学九年级上册第四单元锐角三角函数共10课时教案

第四单元第1课时北东65ºA B C一艘帆船从西向东航行到B 处时，灯塔A 在船的正北方向，帆船从B 处继续向正东方向航行2000m 到达C 处，此时灯塔A 在船的北偏西65º的方向．试问：C 处和灯塔A 的距离约等于多少米？（精确到1m ）第四单元第2课时第四单元第3课时探究二：计算探究三：利用计算器求余弦或正弦值第四单元第4课时阅读教材P117-119，思考：（一）知识探究1、在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角a的，记作tan α，即：2、锐角α的正弦，余弦和正切统称为角α的。

的邻边角的对边角ααα=tan 3、如图，在Rt ΔABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tanA=,tanB= .B CA正切锐角三角函数4334一、特殊的正切值例1：如何求tan 30°，tan60°的值呢？解:如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°，从而AC 2=AB 2-BC 2=(2BC )2-BC 2=3BC 2.于是BC = AB .121 1 33tan 303333 BC === = .AC ︒··因此由此得出AC = BC .3tan 603AC == .BC︒由于∠B =60°，因此说一说：tan 45°的值是多少？你能说出道理吗？答：tan 45°= 1.现在你能求出图中东方明珠塔的高BD 吗？1.7m1000mtan25==.1000BC BC AC 解：∵在Rt △ABC 中，∠A =25°，AC =1000m ，∠A 的对边为BC ，邻边为AC ，∴从而BC ≈ 1000×tan25°≈ 466.3(m).因此铁塔的高BD =466.3+1.7=468(m).结论从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值sin α(或cos α，tan α)与它对应，因此我们把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数.现在我们把30°，45°，60°的正弦、余弦、正切值列表如下：α30°45°60°sin αcos αtan α1222323222123331第四单元第5课时、典例精讲像这样，我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形．2、13.0第四单元第6课时第四单元第7课时如图，小明想测量塔AB 的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，第四单元第8课时例 2 如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这第4单元第9课时第四单元第10课时三.解直角三角形的几个重要关四.解直角三角形的应用。

最新湘教初中数学九年级上册《4.0第4章锐角三角函数》精品教案

第四章锐角三角函数教学目标【知识与技能】1.了解锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数.3.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想.【情感态度】通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【教学重点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.【教学难点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.教学过程【布置作业】完成本课时对应练习，并提醒学生预习下一节的内容。

一、知识结构【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二、释疑解惑，加深理解1.正弦的概念：在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦.记作sinα，即：sinα=角α的对边/斜边.2.余弦的概念：在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦.记作cosα.即cosα=角α的邻边/斜边.3.正切的概念：在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切.记作tanα，即：tanα=角α的对边/角α的邻边4.特殊角的三角函数值：5.三角函数的概念：我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数.6.解直角三角形的概念：在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.7.仰角、俯角的概念：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．8.坡度的概念：坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)；记作i，坡度通常用l∶m的形式；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点.加深学生的印象.三、运用新知，深化理解1.已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD=90°，tanB=2/3，求sin∠DAC．解：过D作DE∥AB交AC于E，则∠ADE=∠BAD=90°，由tanB=2/3，得ADAB=2/3,设AD=2k,AB=3k,∵D是△ABC中BC边的中点，∴DE=3/2k∴在Rt△ADE中，AE=5/2k，2.计算：tan230°＋cos230°－sin245°tan45°3.如图所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=3/5，则下列结论正确的个数为（）①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝2 10 cm．A．1个B．2个C．3个D．4个分析：由菱形的周长为20 cm知菱形边长是5 cm．综上所述①②③正确．【答案】 C4.如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P的距离(结果保留根号)．分析：由题意知，在△ABP中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC⊥AB交AB于C．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，∴当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是40 6海里．【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展.四、复习训练，巩固提高1.如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2 B．23 C．3 D．3分析：∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线上一点，∴∠EBP=∠QBF=30°，∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF·cos30°=2×3/2=3.∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=23.在Rt△BEP中，∵∠EBP=30°，∴PE=1/2BP=3.【答案】 C2.如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．（参考数据：3≈1.73）解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，∴x=50(3+3)≈236.6.答：山AB的高度约为236.6米.3.如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，3≈1.732）．解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，∴GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米.设AG=x米，GF=y米，∴这棵树AB的高度约为8.4米.五、师生互动，课堂小结师生共同总结，对于本章的知识.你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流. 课后作业布置作业:教材“复习题4”中第1、3、6、8、12、14题.教学反思根据学生掌握的情况，对掌握不够好的知识点、题型多加练习、讲解.力争更多的学生学好本章内容.。

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《锐角三角函数复习》学案
考标要求：
1、了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念和性质。

2、熟记特殊角（30°45°60°）的三角函数值。

3、掌握使用计算器求已知锐角三角函数的值,由已知三角函数值求对应的锐角。

4、掌握锐角三角函数的简单应用——解直角三角形。

重点、难点：
1、重点：锐角三角函数的概念和性质的熟练应用。

2、难点：综合运用锐角三角函数的知识解决有关问题。

一、基础知识的复习：
（一）锐角三角函数
1、三角函数的定义：如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C 的对边分别
是a,b,c （1）正弦sinA=
()()
（2）余弦：cosA=
()()
（3）正切：tanA=()(
)
2、特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值：
由上表可知：（1）当0°<α<90°时，锐角三角函数的增
减性：
sin α、tan α的值随角度的增大而，cos α的值随角度的增大而。

（2）任意锐角的正弦、余弦的取值范围：
B
C
a
b
<sin α< , <cos α
< . 3、互为余角的三角函数间的关系
若∠A+∠B=90°，则sinA= cosA= tanA · =1 4、同角三角函数间关系
（1）平方关系：sin 2 α+ =1 （2）商的关系：tan α= （二）解直角三角形
1.直角三角形中边、角间的关系
（1）三边关系：（2）两锐角之间的关系：（3）边角之间的关系： 2.相关概念：方位角、坡度（坡比）i= tan α、坡角、仰角、俯角等仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫，在水平线下方的角叫．
坡度：坡面的垂直高度h 与水平宽度l 之比叫做坡度(或叫做坡比)，记作i= =tan α
方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角．如图③，表示北偏东60°方向的一个角．
二、考题解析
1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA= 则cosA= _____ tanA=_____ 2. 若tan(β+20°）= β为锐角，则β=_______
3.计算
4. 一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B 处.在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，求此时灯塔M 与渔船的距离？
60tan 45cos 30sin )1(2⋅-22)145(sin 230tan 3121)2(-+-- 331
三、巩固训练： 1、填空题
（1）、在Rt △ABC 中，∠C=90°，3a=3b ，则tanA=
（2）、在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，sinA=1
2
，cosB=则△ABC 的形状
是。

2、选择题
（3）、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 则BC 等于( )
A 、45
B 、5
C 、
D 、
（4）、在△ABC 中,,900=∠C sin 2
3
=
A , 则cos
B 等于( ) A 、1 B 、
23 C 、22 D 、2
1 3、解答题
（5）计算
（6）如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD, 点A 是小刚的眼睛，测得屏幕下端D 处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B 处，又测得该屏幕上端C 处的仰角为45°，延长AB 与楼房垂直相交于点E,测得BE ＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD. （结果保留根号）
3
1
51451
2 0 2
45 sin 18 ) 1 ( - ︒ + - 2015 22
四、课堂小结：
通过本节的学习，你有哪些收获？
五：课外作业
（一）、完成《考试指南》P 107备考训练（二）、拓展延伸，链接中考：
1. 如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（）
A ．1
2
B ．1
3
C ．
14
D
2．在Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，AC ＝4，则
______tan _____,cos ==A B ；
3、已知Rt △ABC 中,若,900=∠C cos 24,13
5
==BC A ,则._______=AC 4、Rt △ABC 中,,900=∠C 3
5
tan ,3==B BC ，那么.________=AC 5、 104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--
6、20113015
(1)()(cos68)338sin 602π
---+++-
7、已知α是锐角，且sin(α+15°)=2
计算1
14cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫
---++ ⎪⎝⎭
的值。