高中数学选修2-1——空间向量及立体几何(教案)

空间向量及立体几何

【知识导图】

知识讲解

知识点1 空间向量的基本概念

（1）空间向量的表示：与平面向量相同，用有向线段表示，向量a的起点为A，终点为B，则向量a也可以记做AB，其模记为a或AB。

（2）特殊向量

零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0，方向任意；

单位向量：模长为1的向量成为单位向量；

相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记做-a。知识点2 空间向量的运算

1.空间向量的加、减运算

a+b可以由平行四边形法则(如图1)或三角形法则(如图2)得到。

a-b两向量相减可看成两向量相加a+(-b)，加法运算大家都会了，那减法就看成a与b反向量相加。

多个空间向量相加也与平面向量相同，下图中，向量e =a +b +c +d ．

2.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角

已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝

1

2

，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a ，b 则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，即

cos ,a b a b a b ?=． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 知识点3 空间向量的坐标运算

设123123111222(,,),(,,),(,,),(,,)a a a a b b b b A x y z B x y z ==，则 (1)112233(,,)a b a b a b a b +=+++ 112233(,,)a b a b a b a b -=---

123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ 122233a b a b a b a b ?=++

c =a +b

a

图2

b

c =a +b

a

图1

b

b

a

图3

d =a -b

a

图4

b

d =a -b

a

b

c

d

e

(2) //(0)a b a b b λ?=≠即112233,,a b a b a b λλλ===；

a b ⊥? 0a b ?=?1122330a b a b a b ++=

(3) 21||a a a =+；212121(,,)AB OB OA x x y y z z =-=--- 21||()AB d AB x x ==-+ ； 21cos ,||||a b a b a b a ?=

=+

知识点4 空间向量与立体几何的关系

直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为21,n n （若只涉及一个平面α，则用n 表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。

1、平行问题（结合图象，直观感觉） 1）线线平行b k a b a m l =??//// 2）线面平行0//=??⊥?n a n a l α 3）面面平行

2121////n k n n n =??βα

2、垂直问题（结合图象，直观感觉） 1）线线垂直0=??⊥?⊥b a b a m l 2）线面垂直n k a n a l =??⊥//α 3)面面垂直02121=??⊥?⊥n n n n βα

3、夹角问题

1）异面直线CD AB ,所成的角θ（范围： 2

0π

θ≤<）

cos cos ,.AB CD AB CD AB CD

θ?=<>=

2）线面角θ（范围：2

0π

θ≤

≤

），=

><=,cos sin θ

3）二面角θ（范围：πθ≤≤0）

4、距离问题

1）点A 到点B

222)()()(B A B A B A z z y y x x -+-+-= 2）点A 到线l 的距离d 在直线l 上任取点B

=><=,cos cos θ

θθ2cos 1sin -=，

∴θsin =d

A B

3）点A到面α的距离d 在平面α上任取点B

=

>

<

=,

cos

cosθ

d=

=

=θ

cos

4）异面直线间m

l,间的距离d

在直线l上任取点A，在直线m上任取点B

向量n与异面直线m

l,的方向向量b

a,都垂直

=

>

<

=,

cos

cosθ

∴d=

=

=θ

cos

5）直线l 到平面α的距离

在直线l 上任取一点A ，转化为点A 到面α的距离d 6）平面α到平面β的距离

在平面β上任取一点A ，转化为点A 到面α的距离d

例题解析

【例题1】如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线

1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）

A

．

55 B ．53 C ．255 D ．35

【答案】A

【解析】: 设1=CB ，则)0,2,0(),1,0,0(),0,0,2(),1,2,0(11C B A B ()1,2,21-=AB ，

()1,2,01-=BC ，则5

5

,cos 11=

>=

面ABC 1D 1所成角的正弦值 ． 【答案】

5

10 【解析】：如图建立空间直角坐标系，AB ＝（0，1，0），1AD ＝（－1，0，1），AE ＝（0，

2

1

，1）

设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝（x ，y ，z ）, 由 0=?AB n 可解得n ＝（1，0，1）

01=?AD n

设直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角为θ，则5

10sin =

??=

n

AE n AE θ， 【例题3】已知，，，若c b a ,,三向量共面，则实数等于（ ） A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】D

【解析】由题三个向量共面可设：c ma nb =+，则：(7,5,)(2,,3)(,4,2)m m m n n n λ=-+--

得：725432m n m n m n

λ=-??=-+??=-?，解得：337177m n ?=????=??

，993465777λ=-=

【例题4】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.

(Ⅰ) 证明：1AC AB =；

（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o

160CBB ∠=，AB =BC

求二面角111A A B C --的余弦值.

(2,1,3)a →=-(1,4,2)b →=--(7,5,)c λ→

=λ627637647657

E

z D 1

y

A C 1

B 1

A 1

B

D C

【解析】 (Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1

BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥又 1B O CO =，故1AC AB =

（Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO =CO 又因为AB =BC ，所以

BOA BOC ???故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直．

以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系

O -xyz ． 因为0

160CBB ∠=，所以1CBB ?为等边三角形．又AB =BC ，则

3A ? ??，()1,0,0B ，13B ?? ? ???，30,C ??

? ??

? 133AB ?= ??，1131,0,,A B AB ?== ??1131,B C BC ??

==- ? ???

设(),,n x y z =是平面的法向量，则

11100n AB n

A B ?=??=??，即33

033

30

3y z x z -=????-=??

所以可取(1,3,3n =

设m 是平面的法向量，则11110

m A B n B C ?=??=??，同理可取(1,3,3m =

则1cos ,7n m n m n m

=

=

，所以二面角111A A B C --的余弦值为17

. 【例题5】五边形ABSCD 中，四边形ABCD 为长方形，三角形SBC 为边长为2的正三角形，将三角形SBC 沿BC 折起，使得点S 在平面ABCD 上的射影恰好在AD 上．

(1)当AB ＝2时，证明：平面SAB ⊥平面SCD ；

(2)若AB ＝1，求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值．

【解析】(1)证明：作SO ⊥AD ，垂足为O (图略)，依题意得SO ⊥平面ABCD ，∴SO ⊥AB ，SO ⊥CD ，

又AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面SAD ，AB ⊥SA ，AB ⊥SD ．

利用勾股定理得SA ＝SB 2－AB 2＝4－2＝2，同理可得SD ＝ 2. 在△SAD 中，AD ＝2，SA ＝SD ＝2，∴SA ⊥SD ． ∴SD ⊥平面SAB ，又SD ?平面SCD ， 所以平面SAB ⊥平面SCD ．

(2)连接BO ，CO ，∵SB ＝SC ，∴Rt △SOB ≌Rt △SOC ，BO ＝CO ，

又四边形ABCD 为长方形，∴Rt △AOB ≌Rt △DOC ，∴OA ＝OD ． 取BC 中点为E ，得OE ∥AB ，连接SE ，∴SE ＝3， 其中OE ＝1，OA ＝OD ＝1，OS ＝3－12＝ 2. 由以上证明可知OS ，OE ，AD 互相垂直，

不妨以OA ，OE ，OS 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．

∵OE ＝1，∴OS ＝2，∴DC →＝(0,1,0)，SC →＝(－1,1，－2)，BC →

＝(－2,0,0)， 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面SCD 的法向量，

则有?????

m ·DC →＝0，m ·

SC →＝0，即???

y 1＝0，

－x 1＋y 1－2z 1＝0，令z 1＝1得m ＝(－2，0,1)．

设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面SBC 的法向量，

则有?????

n ·BC →＝0，n ·

SC →＝0，即???

－2x 2＝0，

－x 2＋y 2－2z 2＝0，令z 1＝1得n ＝(0，2，1)．

则|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝1

3

.

所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为1

3

.

达标训练

基础

1．设向量，向量，若，则实数的值为（ ） A ．—1 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C

【解析】 ，，由向量，可得()()211,102x x -?-=?=，

故选C .

2．已知(,5,21)A x x x --(1,2,2)B x x +-，当||AB 取最小值时，x 的值等于（ ） A ．

87 B ．－87 C ．19 D ．19

14

【答案】A 【解析】

由题意得，||(AB x ==，当8

7

x =时，||AB 取得最小值，故选A ．

3．空间四边形ABCD 中，若向量(3,5,2)AB =-，(7,1,4)CD =---，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF 的坐标为（ ）

A ．(2,3,3)

B ．(2,3,3)---

C ．(5,2,1)-

D ．(5,2,1)--

()21,3m x =-()1,1n =-m n

⊥x ()21,3m x =-()1,1n =-m n ⊥

【答案】B 【解析】

取AC 中点M ，连接MF ME ,,??? ??-==

1,25,2321,??

? ??---==2,21,2721,而()33,2---=-=，ME MF EF ,故选B .

巩固

4．已知点A （1，1，1），点B （3，3，3），点P 在x 轴上，且|PA |=|PB |，则P 点坐标为（ ）

A ．（6，0，0）

B ．（0，2，0）

C ．（0，0，6）

D ．（2，0，0） 【答案】A

【解析】 因为点P 在x 轴上，所以设(,0,0)P x ，又因为PA PB =，所以

=6x =，故选A ．

5．若a ＝（0，1，－1），b ＝（1，1，0），且（a ＋λb ）⊥a ，则实数λ的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 【答案】D 【解析】

()()()

()()0,1,1,1,1,0,1,10a b a b a b a a b a λλλλλ=-=∴+=+-+⊥∴+=

1102λλ∴++=∴=-

6．已知向量，，且，则 .

【答案】3 【解析】

由，，可得()4,1,a b λλλ+=-，再由，可得

32λ=-或，因，所以3λ=，故答案填3.

拔高

7.菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝5

4

，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.

(0,1,1)a =-(4,1,0)b =||29a b λ+=0λ>λ=(0,1,1)a =-(4,1,0)b =||29a b λ+=

0λ>

(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B -D ′A -C 的正弦值．

【解析】(1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ．

又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF

CD ， 故AC ∥EF .

因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .

由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝1

4. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.

于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD ．

(2)如图，以H 为坐标原点，HF →

的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H -xyz ，则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)，B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，

AB →＝(3，－4,0)，AC →＝(6,0,0)，AD ′→

＝(3,1,3)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，则

???

??

m ·AB →＝0，m ·

AD ′→＝0，即?????

3x 1－4y 1＝0，

3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，

则?????

n ·AC →＝0，n ·

AD ′→＝0，即?????

6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)．

于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝－1450×10

＝－7525.sin 〈m ，n 〉＝29525.

因此二面角B -D ′A -C 的正弦值是295

25

.

8.边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧︵CD 所在平面垂直，M 是︵

CD 上异于C ，D 的点．

(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；

(2)当三棱锥M -ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 【解析】 (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．

因为BC ⊥CD ，BC ?平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM . 因为M 为︵

CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ?平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．

(2)以D 为坐标原点，DA →

的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .

当三棱锥M -ABC 体积最大时，M 为︵

CD 的中点．

由题设得D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，M (0,1,1)， AM →＝(－2,1,1)，AB →＝(0,2,0)，DA →

＝(2,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面MAB 的法向量，

则?????

n ·AM →＝0，n ·

AB →＝0，即?????

－2x ＋y ＋z ＝0，2y ＝0.可取n ＝(1,0,2)．

DA →是平面MCD 的法向量，因此cos 〈n ，DA →〉＝n ·DA →

|n ||DA →|＝55，sin 〈n ，DA →

〉＝255.

所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是25

5

.

9.在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，且BC ＝BB 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°.

(1)求证：BD ⊥CC 1；

(2)若动点E 在棱C 1D 1上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面BDB 1所成角的正弦值为

714

. 【解析】(1)连接A 1B ，A 1D ，AC ，

因为AB ＝AA 1＝AD ，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，

所以△A 1AB 和△A 1AD 均为正三角形，于是A 1B ＝A 1D ． 设AC 与BD 的交点为O ，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， 又四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 而A 1O ∩AC ＝O ，所以BD ⊥平面A 1AC ． 又AA 1?平面A 1AC ，所以BD ⊥AA 1， 又CC 1∥AA 1，所以BD ⊥CC 1.

(2)由A 1B ＝A 1D ＝2，及BD ＝2AB ＝2，知A 1B ⊥A 1D ， 于是AO ＝A 1O ＝12BD ＝2

2AA 1，从而A 1O ⊥AO ，

结合A 1O ⊥BD ，AO ∩AC ＝O ，得A 1O ⊥底面ABCD ， 所以OA 、OB 、OA 1两两垂直．

如图，以点O 为坐标原点，OA →

的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz ，

则A (1,0,0)，B (0,1,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)，C (－1,0,0)，DB →

＝(0,2,0)， BB 1→＝AA 1→＝(－1,0,1)，D 1C 1→＝DC →

＝(－1,1,0)， 由DD 1→＝AA 1→

＝(－1,0,1)，易求得D 1(－1，－1,1)．

设D 1E →＝λD 1C 1→

(λ∈[0,1])，则(x E ＋1，y E ＋1，z E －1)＝λ(－1,1,0)，即E (－λ－1，λ－1,1)，所以DE →

＝(－λ－1，λ，1)．

设平面B 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，

由?????

n ·DB →＝0，n ·

BB 1→＝0，得?????

y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1,0,1)，

设直线DE 与平面BDB 1所成角为θ，则

sin θ＝||

cos 〈DE →，n 〉＝|1×－λ－1＋0×λ＋1×1|2×λ2＋－1－λ2＋1＝714

，解得λ＝12或λ＝－13(舍去)， 所以当E 为D 1C 1的中点时，直线DE 与平面BDB 1所成角的正弦值为

7

14

. 小结

用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：

(1)适当的选取基底{a ，b ，c }；(2)用a ，b ，c 表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题． 两个理解

(1)共线向量定理还可以有以下几种形式：

①a ＝λb ?a ∥b ；②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R 使λa ＝μb .③若OA ，

OB 不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP ＝λOA ＋μOB 且λ＋μ＝1.

(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”． 四种运算

空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习．

课后作业

基础

1．在空间直角坐标系O xyz -中，已知平面α的一个法向量是(1,1,2)n =-，且平面α过点

(2,3,1)A ．若(,,)P x y z 是平面α上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是__________．

【答案】230x y z +--=

【解析】(2,3,1)AP x y z =---，由AP n ⊥得，(2)(3)2(1)0AP n x y z ?=-+---=，即230x y z +--=．

2．已知(2,1,2)a =-，(1,3,3)b =--，(13,6,)c λ=，若向量,,a b c 共面，则λ= ．

【答案】3

【解析】由于a b c 、、三个向量共面，所以存在实数m n 、，使得=c ma nb +，

即有13=26323m n m n m n λ-??=-+??=-?，解得9

53m n λ=??=??=?

.

3．在空间直角坐标系中,以点A （4,1,9）,B （10,-1,6）,C （x ,4,3）为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形,则实数x 的值为 ． 【答案】2

【解析】(6,2,3)AB =--，(4,3,6)AC x =--，由题意6(4)6180AB AC x ?=--+=，解得2x =，此时有AB AC =，所以2x =．

巩固

4．已知向量)2,1,2(-=→

a ，)1,2,2(=→

b ，则以→

a ，→

b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A

．

2

B

C ．4

D ．8 【答案】B

【解析】首先由向量的数量积公式可求→a 与→b 夹角的余弦值9

4

,cos =

?>=

<→

→→

→→

→b

a b a b a ，然后根据同角三角函数的关系得9

65

,sin >=

<→

→b a ，最后利用正弦定理表示平行四边形的面65,sin >=<=→

→→

→b a b a S ．

5．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311

488

OP OA OB OC =

++，则P ，

A ，

B ，

C 四点（ ）

A ．不共面

B ．共面

C ．共线

D ．不共线 【答案】B

【解析】由已知可得111

488

OP OA OA OB OC -=-++， 即1111

8

888

OP OA OA OB OC OA -=-+

+-， 可得11111

()()()88888

AP OA OB OC OA BA AC AC AB =--+-=-+=+,所以AP ，

AC ，AB 共面但不共线，故P ，A ，B ，C 四点共面．

6．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC ?的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(,,)x y z 为（ ）

A ．111,,444??

??? B ．333,,444?? ??? C ．111,,333?? ??? D ．222,,333?? ???

【答案】A 【解析】

由G 是1OG 上一点，且13OG GG =，可得1113333

()4444

OG OG OA AG OA AG ==+=+ 又因为1G 是ABC ?的重心，所以121

[()]32

AG AB AC =

+ 3321

[()]

4432OG OA AB AC ∴=+?+31111[()()]44444

OA OB OA OC OA OA OB OC =+-+-=++ 而OG xOA yOB zOC =++，所以111,,444x y z ===，所以111

(,,)(,,)444

x y z =，选A .

拔高

7.在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．

(1)证明：PO ⊥平面ABC ；

(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M -PA -C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 解析】(1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB ．因为AB ＝BC ＝

2

2

AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝1

2AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB ．

由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，得PO ⊥平面ABC ．

(2)如图，以O 为坐标原点，OB →

的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O -xyz .

由已知得O (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,23)，AP →

＝(0,2,23)．取平面PAC 的一个法向量OB →

＝

(2,0,0)．

设M (a,2－a,0)(0＜a ≤2)，则AM →

＝(a,4－a,0)．

设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由AP →·n ＝0，AM →

·n ＝0得

?

?

?

2y ＋23z ＝0，

ax ＋4－a y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a )， 所以cos 〈OB →

，n 〉＝23a －423a －42＋3a 2＋a 2.

由已知可得|cos 〈OB →

，n 〉|＝32，所以

23|a －4|23

a －4

2＋3a 2＋a

2

＝3

2

， 解得a ＝－4(舍去)，a ＝4

3，所以n ＝?

??

? ?

?--34,334,338. 又PC →＝(0,2，－23)，所以cos 〈PC →

，n 〉＝34.

所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为

34

. 8.在边长为23的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°.点E ，F 分别在边CD ，CB 上，点E 与点C ，D 不重合，EF ⊥AC ，EF ∩AC ＝O .沿EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置，使平面PEF ⊥平面

ABFED ．

(1)求证：PO ⊥平面ABD ；

(2)当PB 与平面ABD 所成的角为45°时，求平面PBF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．

【解析】(1)证明：∵EF ⊥AC ，∴PO ⊥EF .

∵平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF ∩平面ABFED ＝EF ， 且PO ?平面PEF ，∴PO ⊥平面ABD ． (2)如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O -xyz ， 连接BO ，∵PO ⊥平面ABD ，

∴∠PBO 为PB 与平面ABD 所成的角，即∠PBO ＝45°，∴PO ＝BO .

设AO ∩BD ＝H ，∵∠DAB ＝60°，∴△BDC 为等边三角形，∴BD ＝23，HB ＝3，HC ＝3. 设PO ＝x ，则OH ＝3－x ，由PO 2＝OH 2＋HB 2，得x ＝2，即PO ＝2，OH ＝1. ∴P (0,0,2)，A (4,0,0)，B (1，3，0)，D (1，－3，0)，F ???

?

??

03320，，

.

设平面PAD 、平面PBF 的法向量分别为m ＝(a ，b ，c )，n ＝(x ，y ，z )， 由?????

m ·

PA →＝4a －2c ＝0，m ·

PD →＝a －3b －2c ＝0，取a ＝1，得m ＝(1，－3，2)．

同理，得n ＝(－1，3，1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝

m·n

|m |·|n |＝－1010

， 所以平面PBF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为

10

10

. 9.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M ，N ，Q 分别是CC 1，BC ，AC 的中点，点P 在直线A 1B 1上运动，且A 1P →＝λA 1B 1→

(λ∈[0

，

1])．

(1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥平面PNQ ；

(2)是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 的夹角为60°？若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由． 【解析】(1)证明：连接A 1Q .

∵AA 1＝AC ＝1，M ，Q 分别是CC 1，AC 的中点，∴Rt △AA 1Q ≌Rt △CAM ， ∴∠MAC ＝∠QA 1A ，∴∠MAC ＋∠AQA 1＝∠QA 1A ＋∠AQA 1＝90°，∴AM ⊥A 1Q . ∵N ，Q 分别是BC ，AC 的中点，∴NQ ∥AB .又AB ⊥AC ，∴NQ ⊥AC . 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，∴NQ ⊥AA 1.

又AC ∩AA 1＝A ，AC ，AA 1?平面ACC 1A 1，∴NQ ⊥平面ACC 1A 1，∴NQ ⊥AM . 由NQ ∥AB 和AB ∥A 1B 1可得NQ ∥A 1B 1， ∴N ，Q ，A 1，P 四点共面，∴A 1Q ?平面PNQ .

∵NQ ∩A 1Q ＝Q ，NQ ，A 1Q ?平面PNQ ，∴AM ⊥平面PNQ ， ∴无论λ取何值，总有AM ⊥平面PNQ .

(2)解：如图，以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

则A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，M ??? ??21,1,0，N ??? ??02121，

，，Q ??

? ?

?02

10，，， NM →＝??

? ??-212121，，，A 1B 1→

＝(1，0，0)．