2007年高考.山东卷.理科数学试题及解答
2007年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
一 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项。
1 若cos sin z i θθ=+(i 为虚数单位),则21z =-的θ值可能是
(A )6π (B ) 4π (C )3π (D ) 2
π
2 已知集合{}1,1M =-,1124,2x N x x Z +??
=<<∈????
,则M N ?=
(A ){}1,1- (B ) {}1- (C ){}0 (D ) {}1,0-
3下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是
(A )(1),(2) (B ) (1),(3) (C )(1),(4) (D ) (2),(4)
4 设11,1,,32a ??∈-???
?,则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为
(A )1,3 (B ) 1,1- (C )1,3- (D ) 1,1,3-
5 函数sin(2)cos(2)63
y x x ππ
=+
++的最小正周期和最大值分别为 (A ),1π (B )
π(C )2,1π (D )
2π
6 给出下列三个等式:()()()f xy f x f y =+,()()()f x y f x f y +=,
()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-。下列函数中不满足其中任何一个等式的是
(A )()3x
f x = (B ) ()sin f x x = (C )2()lo
g f x x = (D ) ()tan f x x =
7 命题“对任意的x R ∈,32
10x x -+≤”的否定是
(A )不存在x R ∈,3
2
10x x -+≤ (B )存在x R ∈,3
2
10x x -+≤
(C )存在x R ∈,3210x x -+> (D )对任意的x R ∈,32
10x x -+>
8 某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与19秒之间,将测试结果按如下方式分成六组:第一组,成绩大于等于13秒且小于14秒;第二组, 成绩大于等于14秒且小于15秒;……第六组,成绩大于等
于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分
布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分 比为x ,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y , 则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为 (A )0.9,35 (B ) 0.9,45 (C )0.1,35 (D ) 0.1,45
秒
9 下列各小题中,p 是q 的充要条件的是
(1):2p m <或6m >;2
:3q y x mx m =+++有两个不同的零点。
(2)()
:
1;()
f x p f x -= :()q y f x =是函数。 (3):cos cos ;p αβ= :tan tan q αβ=。 (4):;p A B A ?= :U U q C B C A ?。
(A )(1),(2) (B ) (2),(3) (C )(3),(4) (D ) (1),(4)
10 阅读右边的程序框图,若输入的n 是100,则输出的
变量S 和T 的值依次是
(A )2500,2500 (B ) 2550,2550 (C )2500,2550 (D ) 2550,2500
11.在直角ABC ?中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式
不成立的是
(A )2AC AC AB =?u u u r u u u r u u u r (B ) 2BC BA BC =?u u u r u u u r u u u r
(C )2AB AC CD =?u u u r u u u r u u u r (D ) 22
()()AC AB BA BC CD AB
???=u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r
12 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是
1
2
.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为 (A )51()2 (B ) 2551()2C (C )33
51()2
C (
D ) 235551()2C C
第Ⅱ卷(共90分)
注意事项:
1.用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔直接答在试题卷上. . 得 分 评卷人
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,答案须填在题中横线上.
(13)设O 是坐标原点,F 是抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点,A 是抛物线上的一点,FA 与x 轴正向的夹角为60°,则OA 为 .
(14)设D 是不等式组????
???≥≤≤≥+≤+1
,40,32102y x y x y x ,表示的平面区域,则D 中的点P (x ,y )到直线x +y =10距离的最
大值是 .
(15)与直线x +y -2=0和曲线x 2+y 2
-12x -12y +54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .
(16)函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny +1=0上,其中mn >0,则
n
m 2
1+的最小值为 .
6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)设数列{}n a 满足a 1+3a 2+32
a 3+…+3n -1
a n =
N*,3
∈n n
. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项; (Ⅱ)设b n =
n
a n
,求数列{}n b 的前
n 项和S n . (18)(本小题满分12分)
设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程2
0x bx c ++=实根的个数(重根按一个计).
(Ⅰ)求方程2
0x bx c ++=有实根的概率; (Ⅱ)求ξ的分布列和数学期望;
(Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程2
0x bx c
++=有实根的概率. (19)(本小题满分12分)
如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知122DC DD AD AB ===,AD DC ⊥,AB DC ∥. (Ⅰ)设E 是DC 的中点,求证:1D E ∥平面11A BD ; (Ⅱ)求二面角11A BD C --的余弦值.
B
C
D A
1A
1D
1C
1B
E
得 分 评卷人
(20)(本小题满分12分)如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A 1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 1处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 1处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 得 分 评卷人 分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3;最小值为1; (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
(Ⅱ)若直线l 1y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标. 得 分 评卷人
分)设函数f (x )=x 2
+b ln(x +1),其中b ≠0. (Ⅰ)当b >
2
1
时,判断函数f (x )在定义域上的单调性; (Ⅱ)求函数f (x )的极值点;
(Ⅲ)证明对任意的正整数n ,不等式ln(3211)11(n
n n
->+)都成立.
参考答案:
DBDAAB ,CADDCB 13.【答案】:
21
p 14.【答案】:4 2.
15.【答案】:. 2
2
(2)(2)2x y -+-= 16.【答案】: 8。
17【答案】: (I)2
1
12333 (3)
,3n n n a a a a -+++=
2212311
33...3(2),3
n n n a a a a n ---+++=≥
111
3(2).333n n n n a n --=-=≥
1
(2).3
n n a n =≥
验证1n =时也满足上式,*
1().3
n n a n N =∈
(II) 3n
n b n =?,
23132333...3n n S n =?+?+?+?
231233333n n n S n +-=+++-?
1
1332313
n n n S n ++--=
-?-, 1113
33244
n n n n S ++=?-?+?
18【答案】:(I )基本事件总数为6636?=,
若使方程有实根,则2
40b c ?=-≥
,即b ≥。 当1c =时,2,3,4,5,6b =; 当2c =时,3,4,5,6b =; 当3c =时,4,5,6b =; 当4c =时,4,5,6b =; 当5c =时,5,6b =; 当6c =时,5,6b =,
目标事件个数为54332219,+++++=
因此方程2
0x bx c ++= 有实根的概率为19.36
(II)由题意知,0,1,2ξ=,则
17(0)36P ξ==,21(1),3618P ξ===17
(2)36
P ξ==,
故ξ的分布列为
ξ的数学期望012 1.361836
E ξ=?
+?+?= (III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ,“方程2
0ax bx c ++= 有实根” 为事件N ,则
11()36P M =
,7
()36
P MN =, 23413132333...3n n S n +==?+?+?+?
()7
()()11
P MN P N M P M =
=.
19【答案】:(I)连结BE ,则四边形DABE 为正方形, 11BE AD A D ∴==,且11BE AD A D P P , 11A D EB ∴四边形为平行四边形, 11D E A B ∴P .
1111D E A BD A B A BD ??Q 平面,平面, 11.D E A BD ∴P 平面
(II) 以D 为原点,1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,不妨设
1DA =,则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).D A B C A 1(1,0,2),(1,1,0).DA DB ∴==u u u u r u u u r
设(,,)n x y z =r
为平面1A BD 的一个法向量, 由1,n DA n DB ⊥⊥r u u u u r r u u u r 得200x y x y +=??+=?
, 取1z =,则(2,2,1)n =--r
.
设111(,,)m x y z =u r
为平面1C BD 的一个法向量, 由,m DC m DB ⊥⊥u r u u u r u r u u u r 得11112200
y z x y +=??+=?,
取11z =,则(1,1,1)m =-u r
.
cos ,m n m n m n
?<>==
=u r r
u r r u r r 由于该二面角11A BD C --为锐角, 所以所求的二面角11A BD C --
20【答案】解如图,连结12A B
,22A B =
1220
60
A A =
?= 122A A B ?是等边三角形,1121056045B A B ∠=?-?=?,
在121A B B ?中,由余弦定理得
22212111211122
2
2cos 4520220200
2
B B A B A B A B A B =+-??
=+-??=,
12B B =
因此乙船的速度的大小为
6020
=
答:乙船每小时航行海里.
21【答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>
3,1a c a c +=-=,22,1,3a c b ===
22 1.43
x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ,由2214
3y kx m
x y =+??
?+=??得
222(34)84(3)0k x mkx m +++-=,
22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->,22340k m +->.
2121222
84(3)
,.3434mk m x x x x k k
-+=-?=++ 222
2
121212122
3(4)
()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+
Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-,
1212122
y y
x x ∴?=---,1212122()40y y x x x x +-++=, 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k --+++=+++,
2271640m mk k ++=,解得
1222,7
k
m k m =-=-,且满足22340k m +->.
当2m k =-时,:(2)l y k x =-,直线过定点(2,0),与已知矛盾;
当27k m =-时,2:()7l y k x =-,直线过定点2
(,0).7
综上可知,直线l 过定点,定点坐标为2
(,0).7
22【答案】(I) 函数2
()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.
222'()211
b x x b
f x x x x ++=+=++,
令2
()22g x x x b =++,则()g x 在1,2??-+∞ ???上递增,在11,2??-- ??
?上递减,
min 11
()()22
g x g b =-=-+.
当12b >时,min 1
()02
g x b =-+>,
2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立.
'()0,f x ∴>
即当1
2
b >时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增。
(II )分以下几种情形讨论: (1)由(I )知当1
2
b >
时函数()f x 无极值点.
(2)当12b =时,2
12()2'()1x f x x +=+, 11,2x ?
?∴∈-- ??
?时,'()0,f x >
1,2x ??
∈-+∞ ???时,'()0,f x >
1
2
b ∴=时,函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。
(3)当12
b <时,解'
()0f x =
得两个不同解1x =
2x =.
当0b <
时,11x =
<-
,21x =>-, ()()121,,1,,x x ∴?-+∞∈-+∞
此时()f x 在()1,-+∞
上有唯一的极小值点2x =.
当1
02
b <<
时,()12,1,,x x ∈-+∞ '()f x 在()()121,,,x x -+∞都大于0 ,'()f x 在12(,)x x 上小于0 ,
此时()f x
有一个极大值点112x --=
和一个极小值点212
x -+=.
综上可知,0b <时,()f x 在()1,-+∞
上有唯一的极小值点212
x -+=;
1
02
b <<时,()f x
有一个极大值点112x -=
和一个极小值点212x -+=; 1
2
b ≥时,函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。
(III ) 当1b =-时,2
()ln(1).f x x x =-+
令3
3
2
()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则
32
'
3(1)()1
x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正,
()h x ∴在[)0,+∞上单调递增,当()0,x ∈+∞时,恒有()(0)0h x h >=.
即当()0,x ∈+∞时,有3
2
ln(1)0,x x x -++>2
3
ln(1)x x x +>-,
对任意正整数n ,取1x n =得23111ln(1)n n n
+>-