高二数学三阶行列式2
三阶行列式的计算方法
三阶行列式的计算方法行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算中有着重要的应用。
在行列式中，三阶行列式是最基本的一种，它的计算方法相对简单，但也需要一定的技巧和方法。
接下来，我们将详细介绍三阶行列式的计算方法。
首先，我们来看一个三阶行列式的一般形式：$$。
\begin{vmatrix}。
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\。
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\。
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\。
\end{vmatrix}。
$$。
其中，$a_{ij}$表示行列式中的元素，下标$i$表示行，下标$j$表示列。
要计算这个三阶行列式，我们可以利用“对角线法则”来进行计算。
对角线法则是指，我们可以利用行列式元素的排列顺序，按照对角线的方向进行计算。
具体来说，我们可以按照如下方式进行计算：首先，我们按照主对角线的方向进行计算，即从左上角到右下角的方向。
将主对角线上的元素相乘，然后再将结果与次对角线上的元素相乘，最后将两个结果相减，即可得到三阶行列式的值。
举个例子来说明：$$。
\begin{vmatrix}。
2 & 1 &3 \\。
-1 & 0 & 2 \\。
4 & 3 & -2 \\。
\end{vmatrix}。
$$。
按照对角线法则，我们可以进行如下计算：$2 \times 0 \times (-2) + 1 \times 2 \times 4 + 3 \times (-1) \times 3 3 \times 0 \times4 2 \times 2 \times (-1) (-2) \times 1 \times 3 = -12 + 8 27 0 + 4 + 6 = -27$。
因此，这个三阶行列式的值为$-27$。
除了对角线法则，我们还可以利用“按行（列）展开法”来计算三阶行列式。
线性代数三阶行列式计算方法
线性代数三阶行列式计算方法
线性代数里的三阶行列式(3×3 Determinants)指定义在$R^3$空间里的不可推广的格拉姆积分(Gram integral).
现在，让我们来介绍三阶行列式的计算方法。
先来说一下一阶行列式的计算方法，一阶行列式由一行或一列（或一维）的一个数构成，而该数就是行列式的值。
接下来我们来看看如何计算二阶行列式。
二阶行列式由一行或一列（二维）的两个数构成，可以采用两个数的积来计算它的值。
接下来介绍三阶行列式的计算方法，三阶行列式由一行或一列（三维）的三个数构成，可以采用三个数的积作为行列式的值。
更具体的，可以分为以下几步：
1）将三阶行列式的三个数分别拆分为两个二阶矩阵，这可以分两种情况：一是将该行或该列分割成两个二阶行列式，即将每行或每列分为两个部分，每个部分为一个二阶行列式；二是将该行或该列分割成三个一阶行列式，即将每行或每列分为三个部分，每个部分为一个一阶行列式。
2）求每个二阶行列式或三个一阶行列式的值。
3）根据符号法，将所有的值相乘，然后再加上或减去模式，便可得出三阶行列式的值。
以上就是三阶行列式计算方法的具体介绍，希望能对读者有所帮助。
第26讲 二阶行列式与三阶行列式(讲义 练习)(解析版)
第26讲 二阶行列式与三阶行列式知识点概要1.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法： 设二元一次方程组（*）⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项） 用加减消元法解方程组（*）:当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号21a a21b b 表示算式1221b a b a -，即21a a21b b 1221b a b a -=．从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。
记=D 21a a21b b ，=x D 21c c21b b ，=y D 21a a21c c ，则：①当=D 21a a21b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x y x. ②当D =0时，0x y D D ==方程组（*）无穷组解； ③当D =0时，0≠x D 或0≠y D ，方程组（*）无解。
系数行列式1122a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。
2.三阶行列式（1）三阶行列式的展开方法： ①对角线方式展开：②按某一行(或列)展开法：333231232221131211a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- =11a 33322322a a a a -12a 33312321a a a a +13a 32312221a a a a记322211a a M =3323a a ，111111)1(M A +-=，312112a a M =3323a a ，=12A 1221)1(M +-，312113a a M =3222a a ，133113)1(M A +-=称j M 1为元素j a 1的余子式，即将元素j a 1所在的第一行、第j 列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称j A 1为元素j a 1的代数余子式，j j j M A 111)1(+-=（)3,2,1=j .则三阶行列式就可以写成D =333231232221131211a a a a a a a a a =131312121111A a A a A a ++.这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。
矩阵论基础1.1二阶和三阶行列式
矩阵论基础1.1⼆阶和三阶⾏列式第⼀节⼆阶和三阶⾏列式在介绍⾏列式概念之前，我们先构造⼀个数学玩具：把4个数放在⼀个正⽅形的四个⾓上，在加上两条竖线，即，规定这个玩具对应于⼀个结果：两个对⾓线上的数的乘积之差。
即例如所在⽅向的对⾓线称为主对⾓线，所在⽅向的对⾓线称为副对⾓线。
定义1 4个数称为⼀个⼆阶⾏列式；所在的⾏称为第⼀⾏，记为（r来源于英⽂row），所在的列称为第⼆列，记为（c来源于英⽂column），因其共有两⾏两列，所以称为⼆阶⾏列式，是第⼆⾏第⼀列的元素。
⼀般地⽤表⽰第i⾏第j列的元素，i是⾏标，j是列标。
可叙述为：⼆阶⾏列式的对应值等于主对⾓线上两元素之积减去的副对⾓线上⼆元素之积所得的差, 这⼀计算法则称为对⾓线法则.此玩具的⽤途在于：求解⽅程组⽤消元法，先消去所在的项，⽅程(2)´a11，⽅程(1)´a21得（3）-（4），得再消去所在的项，⽅程(2)´a12，⽅程(1)´a22得（5）-（6），得我们发现其规律为：若记是⽅程组的系数⾏列式，则是⽤常数项替代D中的第⼀列所得的⾏列式；是⽤常数项替代D中的第⼆列所得的⾏列式。
若D≠0，⽅程组的恰好是：,此规律被称为Cramer定理。
例1 求解⼆元线性⽅程组解：,,,因此 , .同理类推，⽤对⾓线法则可以定义3阶⾏列式如下：其中来⾃三条主对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加正号；来⾃三条副对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加负号。
例2 计算3阶⾏列式解：D=1×2×2+3×1×1+3×1×（-1）-1×2×3-（-1）×1×1-2×1×3=-7D1=6×2×2+4×1×1+11×1×（-1）-1×2×11-（-1）×1×6-2×1×4=-7D2=1×4×2+3×11×1+3×6×（-1）-1×4×3-（-1）×11×1-2×6×3=-14D3=1×2×11+3×1×6+3×1×4-6×2×3-4×1×1-11×1×3=--21实际上，D，D1，D2，D3来⾃线性⽅程组。
§1二阶与三阶行列式
性质
总结词
二阶行列式具有交换律、结合律、代数余子式等性质。
详细描述
二阶行列式满足交换律，即|A|=|AT|，其中AT是矩阵A的转置矩阵。结合律表现为|AB|=|A|*|B|，其中A、B为可 乘矩阵。代数余子式是去掉一个二阶行列式中的一个元素后得到的二阶行列式，其值等于原行列式除以被去掉元 素所在的行和列的乘积。
等于零、代数余子式的乘积等于零等。
应用
03
代数余子式在计算高阶行列式的值、求解线性方程组等领域有
广泛的应用。
转置行列式
定义
转置行列式是将n阶行列式的行和列互换后得到的新 行列式。
性质
转置行列式的值等于原行列式的值，即|A|=|AT|。
应用
转置行列式在求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等 领域有广泛的应用。
性质
线性性质
三阶行列式满足线性性质，即|ka b c| = k|a b c|，其中k是标量。
交换律
|a b c| = |c b a|。
结合律
(|a b c| + |d e f|) = |a b c| + |d e f||a d|。
分配律
|a+b c d| = |a b c| + |b c d||a b c|。
矩阵的转置
行列式可以用于计算矩阵的转置，通过计算转置矩阵的行列式，可以得到原矩阵 的行列式。
05
CATALOGUE
二阶与三阶行列式的扩展
高阶行列式
定义
高阶行列式是n阶方阵的展开式，其一般形式为D=∑(-1)^t * M(t1,t2,...,tn) * A(t1,t2,...,tn)，其中t为对角线上的元素下标的排列顺序，M为排列数，A为n阶行列式中 元素的下标构成的排列。
二阶与三阶行列式
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
二阶与三阶行列式
2 3 4 1 . 3 4 1 2 4 1 2 3
解 把所有列都加到第一列上去，然后，从第一列提 取公因子，再把第二、三、四行都减去第一行.
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 10 1 10 2 10 3 10
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
1 1 10 1 1
2 3 4 1
3 4 1 2
3
4 1 2 3 4 1 0 1 1 3 10 2 0 2 2 2 3 0 1 1 1
4
1 2
2r2 r3 0 1 1 3 10 120. r1 r4 0 0 3 1 0 0 0 4
例5.5 设
a11 D am1 c11 cn1 a11
D1 am1
0 x2
x2 x1
x3 x1 x3 x3 x1 x3
n2
x3 x1
xn
xn x1
1 x2 x1 x3 x1 xn x1 x2 x2
n2
1 x3 x3
n2
1 xn
n2
( x2 x1 )( x3 x1 )
a11 ai1 D a j1 an1 a j2 an 2 a jn ann a12 ai 2 a1n ain a j1 kai1 a j 2 kai 2 an1 an 2 a jn kain ann a11 ai1 a12 ai 2 a1n ain .
例5.3 计算
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
1、二阶、三阶行列式
4、克拉默法则。
Ynu hyq
5
线性代数 二阶、三阶行列式
Ynu hyq
6
线性代数 二阶、三阶行列式
一、二阶行列式
1、引入
一元一次方程 ax = b 当 a≠0 时， x a 1b 例 解二元线性方程组 2 x1 3 x 2 22 x 2 x 10 2 1 得 于是 二元 （三元）线性方程组
1
线性代数 二阶、三阶行列式
a11 a21 a31 a n1
a12 a22 a32 an 2
a13 a1n a23 a3 n a33 a3 n an 3 ann
Ynu hyq
2
线性代数 二阶、三阶行列式
1、知道n 阶行列式的定义，熟练掌握行列式 的基本性质及展开定理，掌握计算行列式 的一般方法，熟悉范德蒙行列式，了解行 列式的乘法定理及某些特殊分块矩阵行列 式的计算方法； 2、正确使用克拉默（Cramer）法则解线性方 程组。
Ynu hyq
22
线性代数 二阶、三阶行列式
3、三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
a11 若系数行列式 D a21 a31 b1 a12 a13 a11 D1 b2 a22 a23 , D2 a21 b3 a32 a33 a31
Ynu hyq
3
线性代数 二阶、三阶行列式
本章要点
• 1、n 阶行列式的定义及基本性质，展开 定理，行列式的乘法定理，某些特殊分块 矩阵的行列式，范德蒙行列式； 2、克莱姆（Cramer）法则。
3阶行列式计算方法
3阶行列式计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，由一系列数的排列所组成，常用于描述线性方程组的解以及计算面积、体积等。
其中，3阶行列式是比较常见的一种，其计算方法如下：1. 先列出行列式的表达式。
一个3阶行列式通常的表示方式是：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$其中，a11~a33为3x3矩阵的各元素。
2. 保留第1行的各元素，将第1列剩下的元素构成2阶矩阵，并求出其行列式的值。
例如：将上述行列式中的第1行保留，去掉第1列，得到2阶矩阵：$$\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$求出该矩阵的行列式值记作A1，即：$$A1= a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}$$3. 保留第2行的各元素，将第1列和第3列剩下的元素构成2阶矩阵，并求出其行列式的值。
例如：将上述行列式中的第2行保留，去掉第1列和第3列，得到2阶矩阵：$$\begin{vmatrix}a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$求出该矩阵的行列式值记作A2，即：$$A2= a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}$$4. 保留第3行的各元素，将第2列剩下的元素构成2阶矩阵，并求出其行列式的值。
例如：将上述行列式中的第3行保留，去掉第2列，得到2阶矩阵：$$\begin{vmatrix}a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}$$求出该矩阵的行列式值记作A3，即：$$A3= a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}$$5. 最后，将上述三个值按照一定顺序代入以下公式求行列式的值：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}A1-a_{21}A2+a_{31}A3$$其中，一定要记住加减号的顺序。
三阶行列式的计算方法
三阶行列式的计算方法三阶行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算和方程组的求解中起着重要作用。
在本文中，我们将介绍三阶行列式的计算方法，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，让我们来回顾一下三阶行列式的定义。
对于一个三阶行列式：\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \]其计算方法为：\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} a_{13}a_{22}a_{31} a_{12}a_{21}a_{33} a_{11}a_{23}a_{32} \]这就是三阶行列式的展开公式，接下来我们将详细介绍如何利用这个公式来计算三阶行列式的值。
首先，我们可以按照展开公式的顺序，逐步计算每一项的值。
以一个具体的例子来说明：\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix} \]按照展开公式，我们可以计算出：\[ 1\times5\times9 + 2\times6\times7 + 3\times4\times83\times5\times7 2\times4\times9 1\times6\times8 \] 计算得到的结果即为这个三阶行列式的值。