【优质课件】高教版中职数学拓展模块2.2双曲线2优秀课件.ppt
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【高教版】中职数学拓展模块：2.2《双曲线》ppt课件(3)
巩 固 知 识 典 型 例 题
解题关键是判断双 曲线的焦点在哪个数 轴．方法是观察标准 方程中含x项与含y项的 系数的符合，如果含x 项（或含y项）的系数 为正数，那么焦点在x 轴（或y轴）上，并且 该项的分母为a2 ．
例2 求下列双曲线的焦点坐标和焦距．
x2 y2 1；（2） y 2 x2 4． （1） 144 25
从实验中发现：笔尖（即
点M）在移动过程中，与两个 定点F1、F2 的距离之差的绝对 值始终保持不变（等于拉链两 边的长度之差）．
M
我们将平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值为 常数（小于 F1 F2 ）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线. 这两
动 脑 思 考 探 索 新 知
个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距． 实验画出的图形就是双曲线．下面我们根据实验的步骤 来研究双曲线的方程． 取过焦点 F1、F2的直线为x轴，线段 F1F2 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如 图，设双曲线的焦距为2c，则 两个焦点 F1、F2 的坐标分别为 （－c，0），（c，0）．
第2章
椭圆、双曲线、抛物线
2.2
双曲线
我们先来做一个实验． 取一条两边长度不等的拉链（如图），将拉链的两边分别 固定在两个定点F1、F2 （拉链两边的长度之差小于 F1、F2的距离）
创 设 情 境 兴 趣 引 入
上，把铅笔尖固定在拉链锁口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢 慢移动，画出图形的一部分；再将拉链的两边交换位置分别固 定在 F1、F2 处，用同样的方法 可以画出图形的另一部分．
设M(x，y)为双曲线上的任意一点，M与两个焦点F1、F2 的距离之差的绝对值为2a，则
MF1 MF2 2a，
中职双曲线的定义及标准方程PPT课件
(二次项系数为正,焦整点理版课在件 相应的轴上)
11
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义
方程
焦点
a.b.c 的关 系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
by22
1(ab0)
x2 a2
by22
1(a0,b0)
y2 a2
x2 b2
1(ab0)
y2 a2
bx22
1(a0,b0)
F（±c，0） F（±c，0） F（0，±c） F（0，±c）
a>b>0，
a>0，b>0，但a不 一定大于b，
a2=b2+c整2理版课件
c2=a2+b2
12
1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双 曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等 于6，则 x2 y2 1 (1)双曲线的标准方程为__9____1_6_______
5.化简
整理版课件
9
y
M 代数式化简得：
F1 O F2
x (c2 a 2 )x2 a 2y2 a 2(c2 a 2 )
可令：c2-a2=b2
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
即:a x2 2b y22 （ 1a0,b0)
其中c2=整a理2版+课b件 2
此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程
(2)双曲线上一点Ｐ， |ＰF1|=10,则|Ｐ
F2|=__4_或__1_6___
整理版课件
13
2.如果方程x2 y2 1表示双曲线, 2m m1
求m的取值范围.
变式一: 方程 x2 y2 1 表示双曲线时，则
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
高教版拓展模块 3.2.2 双曲线的几何性质 说课课件(共43张PPT).ppt
学生学情分析
教学过程分析
教学策略与
评价分析
实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲
y线.ຫໍສະໝຸດ B222
− 2 = 1中 =
2
渐近线方程为 = ±
A2
A1 b
F1 O a F2
B1
x
3.2.2 双曲线的几何性质
四、理论推证
教学内容解析
双曲线的离心率
学生学情分析
类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长之比
何研究这些性质？
学生学情分析
教学过程分析
教学策略与
评价分析
对称性
范围
顶点
离心率
3.2.2 双曲线的几何性质
二、数学实验
教学内容解析
教学目标设置
思考
2 2
观察双曲线 2 − 2 = 1，你能归纳出双曲线的范围吗？
学生学情分析
教学过程分析
教学策略与
评价分析
思考
2 2
你能用不等式推导双曲线 2 − 2 = 1的范围吗？
八、课外探究
教学内容解析
教学目标设置
学生学情分析
教学过程分析
教学策略与
评价分析
设计意图
拓展作业则通过阅读教材扩展内容，激发学生的自主学习
兴趣，培养创新思维。这样的作业设计既保证了基础知识的
掌握，又促进了学生能力的全面发展。
3.2.2 双曲线的几何性质
教学内容解析
教学目标设置
学生学情分析
教学过程分析
双曲线的几何性质
教学内容解析
教学目标设置
2
2
标准方
程 2 − 2 = 1( > 0， > 0)
教学过程分析
教学策略与
评价分析
实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲
y线.ຫໍສະໝຸດ B222
− 2 = 1中 =
2
渐近线方程为 = ±
A2
A1 b
F1 O a F2
B1
x
3.2.2 双曲线的几何性质
四、理论推证
教学内容解析
双曲线的离心率
学生学情分析
类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长之比
何研究这些性质？
学生学情分析
教学过程分析
教学策略与
评价分析
对称性
范围
顶点
离心率
3.2.2 双曲线的几何性质
二、数学实验
教学内容解析
教学目标设置
思考
2 2
观察双曲线 2 − 2 = 1，你能归纳出双曲线的范围吗？
学生学情分析
教学过程分析
教学策略与
评价分析
思考
2 2
你能用不等式推导双曲线 2 − 2 = 1的范围吗？
八、课外探究
教学内容解析
教学目标设置
学生学情分析
教学过程分析
教学策略与
评价分析
设计意图
拓展作业则通过阅读教材扩展内容，激发学生的自主学习
兴趣，培养创新思维。这样的作业设计既保证了基础知识的
掌握，又促进了学生能力的全面发展。
3.2.2 双曲线的几何性质
教学内容解析
教学目标设置
学生学情分析
教学过程分析
双曲线的几何性质
教学内容解析
教学目标设置
2
2
标准方
程 2 − 2 = 1( > 0， > 0)
职高数学拓展模块(高教版)课件：双曲线及其标准方程[1]
![职高数学拓展模块(高教版)课件：双曲线及其标准方程[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e6506acf50e2524de5187e61.png)
0 垂直平分线
12 不存在
1、定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对 值等于常数（小于 F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线。 2、双曲线的标准方程
(1)焦点在 x 轴上
x2 y2 1, 2 2 a b (a 0 , b 0 )
(2)焦点在 y 轴上
y2 x2 1, 2 2 a b (a 0 , b 0 )
x2 y 2 (4) 1(m 0, n 0) m n
F1( 6,0), F2 ( 6,0)
(2)a 2, b 2, c 2 , F1(2,0), F2 (2,0)
F1 (0, 7 ), F2 (0, 7 )
(4)a m, b n , c m n , F1( m n ,0), F2 ( m n ,0)
2
F1 (0,-c)
两种标准方程的特点
y
M
M o
y
F2
F1
F2
x
F1
x
y x x y 1 a 0 ， b 0 1 a 0 ， b 0 2 2 a b a 2 b2 ① 方程用“-”号连接。 ② a , b 大小不定。
2 2
2
2
a b 。 如何确定焦点位置？？ 2 ④如果 x 的系数是正的，则焦点在 x 轴上； 2 如果 y 的系数是正的，则焦点在 y 轴上。
双曲线的一支 （2）若常数2a=0,轨迹是什么? 垂直平分线 （3）若2a= F1F2 轨迹是什么？ 两条射线 （4）若2a> F1F2 轨迹是什么？
不存在
二、如何求双曲线的标准方程？
以F1,F2所在的直线为X轴， 1. 建系. 线段F1F2的中点为原点建立 直角坐标系, 设M（x , y）, 双曲线的 2.设点． 焦距为2c（c>0）,常数=2a(a>0）, 则F1(-c,0),F2(c,0)，
中职数学 拓展模块 第2章 椭圆、双曲线和抛物线
(1)6x2 10 y2 60; (2) x2 y2 1; 16 9
(3) x2 y2 1. 95
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为20，离心率为 3/5 ； （2）a=4，b=1，焦点在y轴上. 3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果 是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率.
9 16 y2 x2 (4) 1; 93 (5) y2 x2 1. 9 16
2.2 双曲线
练一练
2.求下列双曲线的标准方程：
（1）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点；
8
（2）过点(3,9
5
2)且
c
10 ;
a3
（3）经过点(3,2 7) 和(6 2,7).
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的性质
行业PPT模板：/hangye/ PPT素材下载：/sucai/ PPT图表下载：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ Excel教程：/excel/
第2章 椭圆、双曲线和抛物线
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线的定义与标准方程
在画板上选取两定点F1，F2，将拉 链（拉链的两边等长）拉开一段，其中 一边固定在F1处，在另一边上截取一段A F2（并使A F2小于F1，F2之间的距离）， 而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处 （即点M处），于是随着拉链的逐渐打 开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线； 同理，将拉链的两边交换位置，可画出 另外一支曲线，如图2-6所示.
可得椭圆的标准方程为 （2-1）
2.1 椭圆
我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程 .它 表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0）， F2（c，0），其中c>0，
(3) x2 y2 1. 95
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为20，离心率为 3/5 ； （2）a=4，b=1，焦点在y轴上. 3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果 是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率.
9 16 y2 x2 (4) 1; 93 (5) y2 x2 1. 9 16
2.2 双曲线
练一练
2.求下列双曲线的标准方程：
（1）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点；
8
（2）过点(3,9
5
2)且
c
10 ;
a3
（3）经过点(3,2 7) 和(6 2,7).
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的性质
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第2章 椭圆、双曲线和抛物线
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线的定义与标准方程
在画板上选取两定点F1，F2，将拉 链（拉链的两边等长）拉开一段，其中 一边固定在F1处，在另一边上截取一段A F2（并使A F2小于F1，F2之间的距离）， 而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处 （即点M处），于是随着拉链的逐渐打 开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线； 同理，将拉链的两边交换位置，可画出 另外一支曲线，如图2-6所示.
可得椭圆的标准方程为 （2-1）
2.1 椭圆
我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程 .它 表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0）， F2（c，0），其中c>0，
双曲线第二定义及应用优质课件PPT
练习1：求与定点 距离的比是定值
A(5,0)
5
及定直线
l
:
x
16 5
的
的动点M的轨迹方程。
解：设M(x,y), 4
则| MA| 5 d4
(x 5)2 y2 5
x 16
4
5
化简x2得 y2 1 16 9
练习1：求与定点 距离的比是定值
A(c,0)
5
及定直线
l
:
x
16 5
的
的动点M的轨迹方程。
x
解法 3： xP c,(c2 a2 b2)
P
代入双曲线方 yP程 得 ba2
又 s iP n 1 F 2 F 1 3 得 ta P n 1 F 2 F 2 1 2
F1
0
F2
y |P2F| b2 1
|F1F2| 2ac 2 2
将 b2c2a2代入 ec 得 2 a
Thank you
感谢聆听 批评指导
x a2 c
x a2 c
|M 2 | |M F 1 | 2 a F e 1 a x
焦半径公式：
y
M2(x2,y2)
（一）M1位于双曲线右支
M1(x1,y1)
|M 1F 1|e1x a
|M 1F 2|e1x a
F1
O
F2 x （二）M2位于双曲线左支
|M 2F 1| e2x a
|M 2F 2| e2x a
F A2
22
x
x a2 c
x a2 c
x a 2 a a a
c
c
准线方程 x： a2 c
两条准线比双曲线 的顶点更接近中心
x2 y2 a2 b2 1
A(5,0)
5
及定直线
l
:
x
16 5
的
的动点M的轨迹方程。
解：设M(x,y), 4
则| MA| 5 d4
(x 5)2 y2 5
x 16
4
5
化简x2得 y2 1 16 9
练习1：求与定点 距离的比是定值
A(c,0)
5
及定直线
l
:
x
16 5
的
的动点M的轨迹方程。
x
解法 3： xP c,(c2 a2 b2)
P
代入双曲线方 yP程 得 ba2
又 s iP n 1 F 2 F 1 3 得 ta P n 1 F 2 F 2 1 2
F1
0
F2
y |P2F| b2 1
|F1F2| 2ac 2 2
将 b2c2a2代入 ec 得 2 a
Thank you
感谢聆听 批评指导
x a2 c
x a2 c
|M 2 | |M F 1 | 2 a F e 1 a x
焦半径公式：
y
M2(x2,y2)
（一）M1位于双曲线右支
M1(x1,y1)
|M 1F 1|e1x a
|M 1F 2|e1x a
F1
O
F2 x （二）M2位于双曲线左支
|M 2F 1| e2x a
|M 2F 2| e2x a
F A2
22
x
x a2 c
x a2 c
x a 2 a a a
c
c
准线方程 x： a2 c
两条准线比双曲线 的顶点更接近中心
x2 y2 a2 b2 1
《双曲线的标准方程和性质》中职数学拓展模块2.2ppt课件1【语文版】
本 讲 栏 目
解析 椭圆1x62 ＋y92＝1 的焦点在 x 轴上，且 a＝4，b＝3，c＝
开
7，所以焦点为(± 7，0)，顶点为(±4,0).于是双曲线经过点
关
(± 7，0)，焦点为(±4,0)，则 a′＝ 7，c′＝4，所以 b′2
＝9，所以双曲线的标准方程为x72－y92＝1.
研一研·问题探究、课堂更高效
本 讲 栏 目 开
轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)， ∵a＝25,2c＝|AB|
＝ 1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝50 7，
关 ∴c＝25 7，b2＝c2－a2＝3 750，
故双曲线的标准方程为6x225－3 y7250＝1.
(D )
本 讲 栏 目 开 关
2．2.1 双曲线及其标准方程
【学习要求】
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.
本 讲
2.掌握双曲线的标准方程.
栏 目
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
开 关
【学法指导】
本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别
中建立双曲线的定义及标准方程.
F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，
∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，
故点 P 的轨迹是双曲线的右支.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 双曲线的标准方程
问题 1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线
的标准方程？
答案 (1)建系：以直线 F1F2 为 x 轴，F1F2 的中点为原点建立
填一填·知识要点、记下疑难点
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解：把方程化为标准方程 y2 x2 1 16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
离心率 e c 5 a4
渐进线方程为 y 4 x 3
例2 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e
5， 4
焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：3焦点为 2 5，0 ，
设所求双曲线方程为 x2 y2 10 m 20
20 m m
能够生在同一个平面。然而我
们又无缘,漫漫长路无交点.为何
看不见,等式成立要条件。难到
正如书上说的,无限接近不能达
到。为何看不见,明月也有阴晴
圆缺,此事古难全,但愿千里共婵
娟。”
4
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 a2
≥
1, 即x 2
≥
解：
x2 y2 1
64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
思考:一个双曲线的渐近线的方程为:y 3 x ,它的
离心率为 5 或 5 .
4
43
练习
(1) ：x2 8 y2 32 的实轴长8 2虚轴长为___4__ 顶点坐标为 4 2,0 ,焦点坐标为_____6_,_0__
B1
(3)渐近线对双曲线的开口的影响 y b x a
A2
ax
y b x a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e c ,叫做双曲线的离心率.
⑵ e 的范围: c>a>0 e >1 a
⑶ e 的含义:
b
c2 a2
( c )2 1
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
y
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
b B2
的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
A1 -a o a A2
x
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
对称轴：x轴，y轴 对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 对称中心：原点
（-a,0) (a,0)
(-a,0) (a,0)
(0,b) (0,-b)
实轴：2a
长轴：2a 短轴：2b 虚轴：2b
e = ac ( 0＜e ＜1 )
e=
c a
(e1)
1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程.
1
复习回顾： 1.定义： 2.双曲线的标准方程:
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
其中 c2 a2 b2
类似于椭圆几何性质的研究. 现在就用方 程来探究一下!
3
• “如果我是双曲线，你就是那渐
近线。如果我是反比例函数,你
就是那坐标轴。虽然我们有缘,
离心率为__3___2__
x2 (2) :
4
y2 1
的渐近线方程为：
4
x2 y 2 4的渐近线方程为：
x42 y 2 1的渐近线方程为：
x42 y2 4 的渐近线方程为：
4
y x 2
y x 2
yx 2
y x 2
例3：求下列双曲线的标准方程：
（1）与双曲线 x2 y2 1有相同渐近线，且过点 3，2 3 ；
，
1
3
3 2 81
设所求双曲线方程为 x2 9
故所求双曲线方程为 x2
y2 0 则 4
4
y2
2即 x2
y92
1 4
1
，解得
2
94
18 8
例3：求下列双曲线的标准方程：
（3）与双曲线 x2 y2 1有相同焦点，且过点 3 2，2 ； 16 4
9 16
解：1设所求双曲线方程为 x2 y2 0
则
9
12
9
，解得
116
9 16
故所求双曲线方程为
x2
y2
4
1
即 x2
y2
1
9 16 4 9 16
44
22渐渐近近线线方方程程y 为：2 xy可化 为23 xx且 过y 点0
9 2
e2 1
a
a
a
∴当 e (1, ) 时, b (0, ) ,且e 增大, b 也增大.
a
a
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 （4）等轴双曲线的离心率e= ?2 , 反过来也成立.
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
a2
(-x,y)
(x,y)
x≥a, x ≤ a
-a o a
x
另外,
x2 a2
y2 b2
0 可知并夹在两
(-x,-y)
(x,-y)
相交直线之间.(如图)
2、对称性 关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.
(下一页)顶点
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
x≥a 或 x ≤a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1 O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0 )
y≥a 或 y ≤a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
ybx a
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
ya x b
9
图象
y
M
F1 0 F2 X
Y F1 0
p F2 X
范围 对称性
顶点
离心率 渐近线
|x|a,|y|≤b
|x| ≥ a，yR
(下一页)渐近线
4、渐近线 动画演示点在双曲线上情况
⑴双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0) 的渐近线为 y
y
b a
x
如何记忆双曲线的渐近线方程？
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0)
b B2
的渐近线为 y x
A1
o
(2)利用渐近线可以较准确的画出
双曲线的草图
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
离心率 e c 5 a4
渐进线方程为 y 4 x 3
例2 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e
5， 4
焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：3焦点为 2 5，0 ，
设所求双曲线方程为 x2 y2 10 m 20
20 m m
能够生在同一个平面。然而我
们又无缘,漫漫长路无交点.为何
看不见,等式成立要条件。难到
正如书上说的,无限接近不能达
到。为何看不见,明月也有阴晴
圆缺,此事古难全,但愿千里共婵
娟。”
4
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 a2
≥
1, 即x 2
≥
解：
x2 y2 1
64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
思考:一个双曲线的渐近线的方程为:y 3 x ,它的
离心率为 5 或 5 .
4
43
练习
(1) ：x2 8 y2 32 的实轴长8 2虚轴长为___4__ 顶点坐标为 4 2,0 ,焦点坐标为_____6_,_0__
B1
(3)渐近线对双曲线的开口的影响 y b x a
A2
ax
y b x a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e c ,叫做双曲线的离心率.
⑵ e 的范围: c>a>0 e >1 a
⑶ e 的含义:
b
c2 a2
( c )2 1
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
y
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
b B2
的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
A1 -a o a A2
x
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
对称轴：x轴，y轴 对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 对称中心：原点
（-a,0) (a,0)
(-a,0) (a,0)
(0,b) (0,-b)
实轴：2a
长轴：2a 短轴：2b 虚轴：2b
e = ac ( 0＜e ＜1 )
e=
c a
(e1)
1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程.
1
复习回顾： 1.定义： 2.双曲线的标准方程:
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
其中 c2 a2 b2
类似于椭圆几何性质的研究. 现在就用方 程来探究一下!
3
• “如果我是双曲线，你就是那渐
近线。如果我是反比例函数,你
就是那坐标轴。虽然我们有缘,
离心率为__3___2__
x2 (2) :
4
y2 1
的渐近线方程为：
4
x2 y 2 4的渐近线方程为：
x42 y 2 1的渐近线方程为：
x42 y2 4 的渐近线方程为：
4
y x 2
y x 2
yx 2
y x 2
例3：求下列双曲线的标准方程：
（1）与双曲线 x2 y2 1有相同渐近线，且过点 3，2 3 ；
，
1
3
3 2 81
设所求双曲线方程为 x2 9
故所求双曲线方程为 x2
y2 0 则 4
4
y2
2即 x2
y92
1 4
1
，解得
2
94
18 8
例3：求下列双曲线的标准方程：
（3）与双曲线 x2 y2 1有相同焦点，且过点 3 2，2 ； 16 4
9 16
解：1设所求双曲线方程为 x2 y2 0
则
9
12
9
，解得
116
9 16
故所求双曲线方程为
x2
y2
4
1
即 x2
y2
1
9 16 4 9 16
44
22渐渐近近线线方方程程y 为：2 xy可化 为23 xx且 过y 点0
9 2
e2 1
a
a
a
∴当 e (1, ) 时, b (0, ) ,且e 增大, b 也增大.
a
a
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 （4）等轴双曲线的离心率e= ?2 , 反过来也成立.
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
a2
(-x,y)
(x,y)
x≥a, x ≤ a
-a o a
x
另外,
x2 a2
y2 b2
0 可知并夹在两
(-x,-y)
(x,-y)
相交直线之间.(如图)
2、对称性 关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.
(下一页)顶点
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
x≥a 或 x ≤a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1 O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0 )
y≥a 或 y ≤a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
ybx a
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
ya x b
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图象
y
M
F1 0 F2 X
Y F1 0
p F2 X
范围 对称性
顶点
离心率 渐近线
|x|a,|y|≤b
|x| ≥ a，yR
(下一页)渐近线
4、渐近线 动画演示点在双曲线上情况
⑴双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0) 的渐近线为 y
y
b a
x
如何记忆双曲线的渐近线方程？
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0)
b B2
的渐近线为 y x
A1
o
(2)利用渐近线可以较准确的画出
双曲线的草图